平面直角坐标系中的距离公式(一)两点间的距离公式

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坐标点的距离公式

坐标点的距离公式一、平面直角坐标系中两点间的距离公式。

1. 公式推导。

- 在平面直角坐标系中，设两点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。

- 过A、B两点分别向x轴和y轴作垂线，两垂线相交于点C。

- 则AC = x_2 - x_1，BC=y_2 - y_1。

- 根据勾股定理，直角三角形ABC中，AB^2=AC^2+BC^2。

- 所以AB=√((x_2 - x_1)^2)+(y_2 - y_1)^{2}。

2. 应用示例。

- 例1：已知A(1,2)，B(4,6)，求AB的距离。

- 解：根据两点间距离公式，x_1 = 1,y_1=2,x_2 = 4,y_2 = 6。

- 则AB=√((4 - 1)^2)+(6 - 2)^{2}=√(3^2)+4^{2}=√(9 + 16)=√(25)=5。

- 例2：若两点M(-2,3)，N(1,-1)，求MN的距离。

- 解：这里x_1=-2,y_1 = 3,x_2=1,y_2=-1。

- MN=√((1-(-2))^2)+(-1 - 3)^{2}=√((1 + 2)^2)+(-4)^{2}=√(9+16)=√(25)=5。

3. 拓展。

- 两点间距离公式可以用于判断三角形的形状。

- 例如，已知三角形三个顶点坐标A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)。

- 先求出AB=√((x_2 - x_1)^2)+(y_2 - y_1)^{2}，BC=√((x_3 - x_2)^2)+(y_3 -y_2)^{2}，AC=√((x_3 - x_1)^2)+(y_3 - y_1)^{2}。

- 然后根据三边长度关系判断三角形形状。

如果AB = BC=AC，则为等边三角形；如果AB = BC或者AB = AC或者BC=AC，则为等腰三角形；如果AB^2+BC^2=AC^2或者AB^2+AC^2=BC^2或者BC^2+AC^2=AB^2，则为直角三角形。

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

张喜林制2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式教材知识检索考点知识清单1．两点间的距离公式：设),(),(2211y x B y x A 、是平面上的两点，则=||AB2．中点公式：已知),,(),(2211y x B y x A 、设M(x ，y)是线段AB 的中点，则=x =y ,3．平行四边形的两条对角线的平方和等于它的四边的要点核心解读1．两点间的距离公式(1)平面上的点),(y x P 到原点)0,0(O 的距离=),(P O d .22y x +(2)平面上任意两点间的距离公式：设,(),211x B y x A 、（),2y 则.)()(),(212212y y x x B A d -+-=(3)求两点间距离的步骤：①给两点坐标赋值：?,,,,2121====y y x x ？？？②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③计算;)()(22y x d ∆+∆=④给出两点的距离．2．中点公式已知),,(),(2211y x B y x A 、设点),(y x M 是线段AB 的中点(如图2-1 -2 -1)，过点A 、B 、M 分别向x 轴、y 轴作垂线、、21AA AA ,2121MM MM BB BB 、、、垂足分别为、、、)0,((B )(0,)0,(211211x y A x A )0,(),,0(122x M y B ).,0(2y M 因为M 是线段AB 的中点，所以点1M 和点2M 分别是11B A 和22B A 的中点，即⋅==22221111,B M M A B M M A所以⋅-=--=-y y y y x x x x 2121,即 2,22121y y y x x x +=+= 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．3．解析法的应用解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下规律：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴；②若为对称图形则取对称轴为x 轴或y 轴；③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题转化为代数问题来求解．典例分类剖析考点1 平面上两点闻距离的求法及应用命题规律主要强调两点间距离公式的应用，两点间的距离公式作为解析几何的重点之一，常会考查．[例1] (1)已知),3,1()3,6()1,2(C B A 、、求证：△ABC 为直角三角形．(2)已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离为10，求点P 的坐标．[解析] (1)要判断三角形是否为直角三角形，其中一种方法是考虑各边长之间是否满足勾股定理，即需求出三条边长．[答案] 由两点间的距离公式得;20)13()26(),(=-+-=B A d;5)13()21(),(=-+-=C A d;25)33()61(),(22=-+-=C B d,||||||222BC AC AB =+∴∴ △ABC 为直角三角形．(2)设点P 的坐标为（x ，O ），由,10),(=P A d 得,10)60()3(22=-+-x解得11=x 或,5-=x∴ 点P 的坐标为(-5，0)或(11，0)．母题迁移 1．已知等边△ABC 的两个顶点、的坐标为),0,2()0,4(B A 、-试求：(1) C 点的坐标；(2)△ABC 的面积．考点2 中点坐标公式及其应用命题规律考查中点坐标公式及其应用．[例2] △ABC 三个顶点的坐标分别为,2)4,4(（、B A --),2,4()2-C 、求三边中线的长．[答案] 设AB 的中点D 的坐标为D （x,y ）,由中点公式得,1224,1224-=+-=-=+-=y x 即 ⋅--)1,1(D同理，BC 的中点E(3，0)，AC 的中点F(O ，-3)．),(||D C d CD =∴22)]2(1[)41(---+--=;26=),(||E A d AE =)40()43(+++=;65=),(||F B d BF =)23()20(-⋅-+-=.29=母题迁移 2．△ABC 三个顶点的坐标为),1,0(-A ),2,2(),3,1(-C B 求中线AD 的长．考点3 两点问距离公式的几何意义命题规律利用两点间距离公式的几何意义求某些函数的最值．[例3] 求函数++-=3712)(2x x x f 134+-x x 的最小值．[答案] ,1)6(3722+-=+-x x r x ∴+-=+-,9)2(1342x x x 可设,6（A 、、)3,2()1B )0,P(x 则.||||)(PB PA x f +=要求)(x f 的最小值，只需在x 轴上找一点P ，使||||PB PA +最小即可．设B 关于x 轴的对称点为,/B 则)3,2(/-B （如图2 -1 -2-2所示）． |,|||||||||//AB PB PA PB PA ≥+=+,24)13()62(||22/=--+-=AB∴ 当A P B 、、/三点共线时取等号，即||||PB PA +的最小值为,24也就是)(x f 的最小值为.24[点拨] (1)涉及无理式，尤其是含平方的算式，我们可联想到两点间的距离，故构造两点间的距离来解题．(2)本题切忌将两个无理函数最小值的和当作f(x)的最小值．母题迁移 3．求函数1342222+-++-=x x x x y 的最小值．优化分层测讯学业水平测试1．已知),15,2().5,3(B A -则=),(B A d （）25.A 135.B 175.C 55.D2．已知两点),,(),(d c B b a A 、且,02222=+-+d c b a 则( )．A ．原点一定是线段AB 的中点 B.A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确3．点P(2，-1)关于点(3，4)的对称点是( )．)5,1.(A )9,4.(B )3,5(⋅C )4,9.(D4．已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，则点P 的坐标为5．在△ABC 中，设),5,2()7,3(-B A 、若AC 、BC 的中点都在坐标轴上，则点C 的坐标为6．已知，平面内平行四边形的三个顶点).3,1()1,2(--B A 、),4,3(C 求第四个顶点D 的坐标．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．以A(5，5)、B(1，4)、C(4，1)为顶点的三角形是( )．A.直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形2．已知△ABC 的三个顶点是)0,()0,(a B a A 、-和),23,2(a aC 则△ABC 的形状是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．斜三角形3．已知点),2,4()0,2(B A 、若|,|2||BC AC =则C 点的坐标为( )．)1,1(-⋅A ），或（15)1,1(--⋅B )3,1()1,1(或-⋅C D ．无数个 4．已知点A （x ，5）关于点C(l ，y)的对称点是),3,2(--B 则点),(y x P 到原点的距离是( )．4.A 13.B 15.C 17.D5．已知菱形的三个顶点为),0,0(),(),(、、a b b a -则它的第四个顶点是( )．),2(b a A ⋅ ),(b a b a B +-⋅ ),.(a b b a C -+ ),(a b b a D --⋅6．光线从点A （-3，5）射到x 轴上，经过反射后经过点B(2，10)，则光线从A 到B 的距离为( )．25.A 52.B 105.C 510.D7．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图2 -1-2 -3所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若,30,60km CD AE km AB ===为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中4321P P P P 、、、是AC 的五等分点，则转播台应建在( )．1.P A 处2.P B 处3.P C 处4.P D 处8．（2006年福建）对于直角坐标平面内的任意两点).,(11y x A ),,(22y x B 定义它们之间的一种“距离”：+-=||||12x x AB .||12y y -给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则|;|||||AB CB AC =+②在△ABC 中，若,90 =∠C 则;||||||222AB CB AC =+③在△ABC 中，.||||||AB CB AC >+其中真命题的个数为( )．0.A 1.B 2.C 3.D二、填空题（5分x4 =20分）9．已知),,2()6,(b B a A -、点P(2，3)平分线段AB ，则=+b a10．已知),3,0()3,5()1,1(C B A 、、则△ABC 的形状为11．已知),3().2,1(b B A -两点间的距离为,24则=b12.已知两点),2,3()4,1(A P 、-则点A 关于点P 的对称点的坐标为三、解答题（10分x4 =40分）13.求函数84122+-++=x x x y 的最小值．14.已知△ABC 三顶点的坐标为,8)3,11()8,3(--（、、C B A ),2-求BC 边上的高AD 的长度．15.若a 、b 、c 、d 都是实数，试证明≥+++2222db c a .)()(22d c b a +++16.在△ABC 所在平面上求一点P ，使222||||||PC PB PA ++取得最小值.。

两个坐标点之间的距离公式初中

两个坐标点之间的距离公式初中在初中数学中，我们学习了许多与图形和坐标点相关的知识。

其中，计算两个坐标点之间的距离是一个重要的概念。

本文将介绍两个坐标点之间的距离公式。

首先，我们要了解什么是坐标点。

在平面直角坐标系中，每个点都可以用两个数值来表示，这两个数值分别称为横坐标和纵坐标。

横坐标表示点在 x 轴上的位置，纵坐标表示点在 y 轴上的位置。

例如，点 A 可以表示为(x₁, y₁)，点 B 可以表示为(x₂, y₂)。

现在，我们希望计算点 A 和点 B 之间的距离。

根据勾股定理，我们可以使用以下公式计算两点之间的距离：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]其中 d 表示两个点之间的距离，x₁ 和y₁ 分别表示点 A 的横坐标和纵坐标，x₂和y₂ 分别表示点 B 的横坐标和纵坐标。

让我们通过一个例子来理解这个公式。

假设点 A 的坐标是 (2, 3)，点 B 的坐标是 (5, 7)。

我们可以将这些值带入上述公式，计算两点之间的距离：d = √[(5 - 2)² + (7 - 3)²]简化计算，得到：d = √[(3)² + (4)²] = √[9 + 16] = √25 = 5因此，点 A 和点 B 之间的距离是 5。

这个公式的原理是利用勾股定理，在平面直角坐标系中计算两点之间的直线距离。

无论坐标点位于任何象限，这个公式都适用。

另外，我们还可以使用图形直接计算两个坐标点之间的距离。

我们可以将两个点以及它们的连线画出来，然后使用直尺测量两点之间的距离。

这种方法在纸上计算时相对简便，但不太适合计算多个坐标点之间的距离。

总结起来，初中数学中计算两个坐标点之间的距离，我们可以使用勾股定理的公式进行计算。

这种计算方法快速而准确，适用于平面直角坐标系中的任何点。

通过掌握这个公式，我们可以更好地理解和应用坐标点之间的距离概念，并在解决实际问题中灵活运用。

距离公式及中点公式

距离公式及中点公式距离公式和中点公式是数学中经常用到的公式，它们在解决空间几何问题和平面几何问题时非常有用。

本文将介绍距离公式和中点公式的概念、推导及应用。

一、距离公式距离公式用于计算平面上两点之间的距离。

假设平面上有点A(x1,y1)和点B(x2, y2)，我们可以使用以下距离公式来计算它们之间的距离：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]其中d表示点A和点B之间的距离。

这个公式的推导可以从勾股定理开始。

以点A和点B为两条直角边，连接点A和点B的线段为斜边，根据勾股定理可得到上述距离公式。

这个公式可以应用于多种问题，比如计算两个坐标点之间的直线距离或者判断某个点到直线的距离等。

通过计算平面上两点之间的距离，我们可以更好地理解它们之间的几何关系。

二、中点公式中点公式用于计算平面上线段的中点坐标。

假设平面上有一条线段AB，其中点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，我们可以使用以下中点公式来计算该线段的中点坐标：M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)其中M表示线段AB的中点坐标。

这个公式的推导非常简单，我们只需要计算线段的横坐标和纵坐标的平均值即可得到中点的坐标。

中点公式常用于平面几何和坐标系的计算中。

通过求解线段的中点坐标，我们可以更准确地确定线段的位置、长度和方向，并能够在计算中起到简化问题的作用。

三、应用示例接下来我们通过两个应用示例来演示距离公式和中点公式的具体应用。

应用示例一：平面直角坐标系中两点距离计算假设平面直角坐标系中有两点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离。

根据距离公式，代入坐标值进行计算得：d = √[(5 - 2)² + (7 - 3)²] = √[3² + 4²] = √(9 + 16) = √25 = 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。

平面直角坐标系中的距离公式一两点间的距离公式

平面直角坐标系中的距离公式一两点间的距离公式在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用距离公式来计算。

这个公式是根据勾股定理推导出来的，即在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。

假设平面直角坐标系中有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以利用这两个点的坐标来计算它们之间的距离。

根据勾股定理，点A和点B之间的距离d可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，x2 - x1表示两点在x轴上的距离，y2 - y1表示两点在y轴上的距离。

将这两个距离的平方相加，再开根号即可得到两点之间的距离。

举个例子来说明这个公式的使用。

假设有两个点A(1, 2)和B(4, 6)，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离：d = √((4 - 1)² + (6 - 2)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5所以，点A和点B之间的距离为5个单位。

这个距离公式的推导过程并不复杂，但它在实际应用中非常重要。

在几何学和物理学中，我们经常需要计算两点之间的距离。

例如，在建筑设计中，我们需要计算建筑物的尺寸和距离；在导航系统中，我们需要计算车辆之间的距离；在物理学中，我们需要计算物体之间的距离和位移等。

此外，这个距离公式还可以推广到三维空间中。

在三维空间中，我们可以使用类似的方法来计算两点之间的距离。

只需要将平面直角坐标系中的距离公式扩展到三个坐标轴上即可。

总之，在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用距离公式来计算。

这个公式是根据勾股定理推导出来的，可以帮助我们计算任意两个点之间的距离。

无论是在几何学、物理学还是其他领域，这个公式都具有广泛的应用价值。

平面直角坐标系中的距离公式

平面直角坐标系中的距离公式在平面直角坐标系中，可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。

平面直角坐标系由x轴和y轴构成，每个点都有唯一的坐标表示(x,y)。

设两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，根据勾股定理，两点之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)根据这个公式，我们可以计算出平面直角坐标系中任意两点之间的距离。

下面我们通过几个例子来说明如何使用距离公式。

例1：计算两点之间的距离设点A(2,3)和点B(5,7)。

我们可以使用距离公式来计算两点之间的距离。

根据公式：d=√((5-2)²+(7-3)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以点A和点B之间的距离为5个单位。

例2：判断点的位置关系设点A(0,0)和点B(3,4)。

我们可以使用距离公式来计算两点之间的距离。

根据公式：d=√((3-0)²+(4-0)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以点A和点B之间的距离为5个单位。

如果我们进一步观察可以发现，点A到原点(0,0)的距离也是5个单位。

这说明点A和点B在平面上的位置关系是相等距离，也即位于同一个圆上。

这是因为在平面直角坐标系中，两点之间的距离就是它们在平面上的直线距离。

所以两点的距离可以帮助我们判断它们在平面上的位置关系。

例3：计算线段长度除了计算两点之间的距离，距离公式还可以用于计算线段的长度。

线段的长度是线段上各个点之间的距离之和。

设有线段AB的两个端点坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)。

要计算线段AB的长度，可以计算每个相邻点之间的距离，然后将它们的距离相加。

设有n个相邻点，距离公式可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) + √((x3 - x2)² + (y3 - y2)²) + ... + √((xn - xn-1)² + (yn - yn-1)²)这样就可以计算出线段的长度。

平面直角坐标系公式

设A(x1,y1),B(x2,y2)两点的中点为M(x0,y0),则（1）中点坐标公式：x0=(x1+x2)/2；(y0=(y1+y2)/2（2）两点间距离公式：AB=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]（本质上就是勾股定理1.点到点距离公式：设A（a，b）B（c，d），则AB=√[(a-c)^2+(b-d)^22.点到线距离公式：设直线Ax+By+C=0（一般的解析式可以先化成这个），点A（x0，y0），则A到直线的距离长度=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)3.解析式y=kx+b中，k的实质是该直线与x轴正方向夹角的正切值，当这个角大于90度时，需要用到诱导公式tan（90+a）=-tan（a）4.设直线1为y=k1x+b1，直线2为y=k2x+b2，当k1k2=-1时，直线1垂直于直线25.直线y=kx+b的平行直线系为y=kx+m6.过定点（x0，y0）的直线系为（y-y0）=k（x-x0）7.已知抛物线y=ax^2+bx+c和平行于x轴的直线y=m，则抛物线在直线上截出的距离=√（b^2-4ac+4am）/|a|，这个公式一般用于求某些线段的最值，通常可以得到一个y=根式+km的函数，这个函数的最值我们还不会求，可以设这个根式为n，反解出m来，然后得到关于n的二次函数，求二次函数的最值和相应的n值，进而求出m的值即可，这种方法叫换元法，我自己发现的，不知道高中会不会用到我也是初三的，一般有用的就是这几个，并且除非逼不得已，不然尽量别用，因为一方面计算量大，另一方面即使算对了，老师也不一定看得懂，有可能会得0分也不好说。

部分压轴题中也会在平面直角坐标系中出现圆，下面的公式是关于圆的1.圆的标准方程（x-a）^2+(y-b）^2=r^2，其中，圆心是（a，b），半径是r2.圆的一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中，圆心是（-D/2,-E/2)半径是1/2√（D^2+E^2-4F)3.过圆上定点的切线系方程，设P（x0，y0）是圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上的一个点，过这个点的切线为xx0+yy0+D[(x+x0)/2]+E[(y+y0）/2]+F=04.过圆外一点P(x0，y0）引圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的切线，切线长为√（x0^2+y0^2+Dx0+Ey0+F）5.判断直线与圆位置关系的方法：1.知道圆心和半径的情况下，利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线的距离，比较距离与半径，得出圆与直线的位置关系2.知道直线和圆的解析式的情况下，联立二式，组成一个二元二次方程组，消去一元，得到一个一元二次方程，算出判别式德塔，德塔大于0，证明方程有两个不等实数根，即直线与圆有两个不同交点，此时相交，相应的，德塔小于0，相离，德塔等于0，相切。

高中数学课件-平面直角坐标系中的距离公式

A．1
B．2
1 C.2
D．4
B [∵63＝m4 ≠－143，∴m＝8，直线 6x＋my＋14＝0 可化为 3x＋
4y＋7＝0，两平行线之间的距离 d＝|－332＋－472|＝2.]
21
3．已知两平行直线，其距离可利用公式 d＝ |CA1－2＋CB2|2求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
.
思考：点到直线的距离公式对于 A＝0 或 B＝0 时的直线是否仍然适用？
4
提示：仍然适用，①当 A＝0，B≠0 时，直线 l 的方程为 By＋C ＝0，
即 y＝－CB，d＝y0＋CB＝|By|0B＋| C|，适合公式． ②当 B＝0，A≠0 时，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0，x＝－CA，d＝ x0＋CA＝|Ax|0A＋| C|，适合公式．
则这两条直线间的距离是________． 5 [d＝|3－(－2)|＝5.]
8
两点间的距离公式
【例 1】 (1)若 x 轴的正半轴上的点 M 到原点的距离与点(5，－
3)到原点的距离相等，则点 M 的坐标为( )
A．(－2,0)
B．(1,0)
C.32，0
D．( 34，0)
(2)直线 2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为
5
3．两平行线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
距离d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
6
1．已知 A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则||CACB||的值为( )
1 A.3 C．3
1 B.2 D．2

坐标内两点间的距离公式

坐标内两点间的距离公式在平面直角坐标系中，很多时候需要计算两点间的距离。

计算两点间的距离是解决很多问题的基础，比如测量线段长度、计算几何图形的面积等等。

那么，该如何计算坐标内两点间的距离呢？下面将为你详细介绍。

首先，让我们先来了解一下什么是坐标。

坐标是一个点在平面直角坐标系中的位置表示，通常用(x,y)表示。

其中(x,y)中的x称为横坐标，y称为纵坐标。

因此，两点之间的距离可以通过它们在坐标系中的坐标来计算。

那么，该如何计算两点间的距离呢？很简单，只需要应用勾股定理即可。

勾股定理指出，在直角三角形中，较长边的平方等于两短边平方和。

换言之，假设有直角三角形ABC，其中∠ABC为直角，AB与AC分别为短边和长边，则有BC²=AB²+AC²。

同样的，我们可以应用勾股定理来计算两点间的距离。

假设在平面直角坐标系中有两点坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，它们之间的距离d可以通过如下公式计算：d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]其中√表示平方根，(x2-x1)²表示横坐标之差的平方，(y2-y1)²表示纵坐标之差的平方。

这个公式用起来十分方便。

以原点和点(3,4)为例，它们之间的距离d可以通过如下步骤计算：1. 计算横坐标之差：3-0=32. 计算纵坐标之差：4-0=43. 将横坐标之差和纵坐标之差的平方相加：3²+4²=9+16=254. 对横坐标之差和纵坐标之差的平方和取平方根：√25=5因此，原点和点(3,4)之间的距离为5。

同样的，我们也可以用这个公式来计算坐标系中任意两点之间的距离。

总之，坐标内两点间的距离是通过横坐标和纵坐标之差的平方和计算出来的。

应用勾股定理，我们可以得到一个简单而方便的公式。

在实际应用中，可以通过这个公式来计算任意两点之间的距离，解决各种实际问题。

1.5 平面直角坐标系中的距离公式

（2）两平行直线间的距离： d C2 C1 ， A2 B2
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理为对应相等的形式。
作业:
A2 B2 d AB Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
A
B
y
l R
Q
O
P d
x
S
d Ax0 By0 C A2 B2
注：在使用该公式前，须将 A=0或B=0，此公式也成立，直线方程化为一般式．但当A=0或B=0时一般不用此
例2、已知点A（1，3），B（3，1）， C（-1,0），求三角形ABC的面积.
例3：求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
y
O
l1:2x-7y+8=0 P(3l2,:0)2xx-7y-6=0
两平行线间的距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
则点P到直线l2的距离为: PQ Ax0 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
By0 A2 B2
C2
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1
A2 B2
（两平行线间的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为对应相同的形式。
d Q
x1

By0 C A
,
y2

Ax0 C B
O
Sx
PR

x0 x1

Ax0 By0 C A
, PS

y0 y2

Ax0 By0 C B

两点之间的距离公式及中点坐标公式

所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D (x,y)
x2 35
则
2
2
M
C(5,2)
y2 02
O
A(-3,0)
x
2
2
B(2,-2)
解得 x=0 ∴D(0精,选4p)pt课件
18
y=4
〖课堂检测〗 1、求两点的距离：（1) A（6，2） , B（-2,5）（2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
复习
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A
B
x1 o
x2
所以A,B两点的距离为:
d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式
精选ppt课件P对应，这时（ x,y）称为点P的坐标，并记为P（x,y），x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标。
B1
(X2,0)
x
16
即： x x1 x2 2
y y1 y2 2
这就是线段中点坐标的计算公式，简称
—— 中点公式
精选ppt课件
17
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
2、已知A（a，0）, B（0,10）两点的距离等于17，求a的值。
3、已知 : AB的C三D 个顶点坐标分别是
A(- 1,-2),B(3,1),C(0,2).求:第D点的坐
标。
精选ppt课件
19
1.两点间的距离公式；

平面直角坐标系点距离公式

平面直角坐标系点距离公式在平面直角坐标系中，有一个小秘密，那就是点与点之间的距离公式。

想象一下，我们在一个空旷的地方，四周都是坐标点。

每个点都有它的身份，比如说，点A和点B。

它们就像两位好朋友，各自有自己的地址，A在( x1, y1 )，B在( x2, y2 )，它们可不能搞错位置。

你知道的，地址一错，那可就麻烦大了，朋友找不到朋友，简直是个大乌龙。

所以，要想知道这两个点之间的距离，得用上一个神奇的公式，听起来像魔法一样：距离d = √(x2 x1)² + (y2 y1)²。

乍一听，有点复杂，但其实一点也不难。

咱们可以把它拆开来看看。

x2减去x1，这就好比朋友之间的水平距离，然后y2减去y1，哎呀，这就是它们的垂直距离。

别忘了平方！这一过程就像把它们的竞争力放大，瞬间变得更加强劲。

然后，把这两个值加在一起，像在做一份美味的沙拉，把不同的材料混合在一起。

用个根号把它们取出来，哇，这样就得到了点A和点B之间的真实距离了。

想象一下，你跟朋友约好在某个咖啡馆见面，算好距离，就能提前预判到达的时间，简直就是生活的“GPS”啊。

举个例子，假如点A在(2, 3)，点B在(5, 7)，先来算算x的部分。

5减去2，结果是3。

再说y的部分，7减去3，得4。

分别把3和4平方，3的平方是9，4的平方是16。

加起来就是25。

哎呀，别激动，最后再开个根号，这一开，哇，得到了5！这距离就像你跟朋友的关系，虽然有时远，但其实很近。

说到这，真想给你们讲讲距离公式的魅力。

想象一下，生活中我们时常在用着这个公式，但没意识到。

比如说，逛街的时候，左右逢源，见到好友，虽然远远的招手，却能准确找到对方的位置。

是不是很神奇？甚至有时候我们不只是计算距离，也在感受彼此的心灵距离。

这让我想到了一件事，距离不仅仅是空间上的，也可以是情感上的。

就像有时候虽然身边的人近在咫尺，但心里却隔着千山万水。

有句话说得好，心灵的距离比空间的距离更难测量。

平面直角坐标系中的距离计算

平面直角坐标系中的距离计算在平面直角坐标系中，距离计算是一项重要的几何运算。

它被广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。

本文将介绍如何在平面直角坐标系中计算两点之间的距离，以及如何使用这个计算结果解决实际问题。

一、点的坐标表示在平面直角坐标系中，每个点都可以用一对有序数对表示，即(x, y)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。

例如，点A的坐标为(2, 3)，表示它在x轴上的坐标是2，在y轴上的坐标是3。

二、两点之间的距离计算公式在平面直角坐标系中，可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。

假设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)三、根据距离计算解决实际问题1. 简单应用假设有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以使用上述距离计算公式来计算它们之间的距离。

根据公式，我们可以得出：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。

2. 应用举例：直线的长度在工程和建筑领域，我们常常需要计算直线的长度。

假设我们有一条直线AB，其中A点的坐标为(1, 1)，B点的坐标为(4, 5)。

为了计算直线AB的长度，我们可以使用距离计算公式：d = √((4 - 1)² + (5 - 1)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，直线AB的长度为5个单位。

3. 应用举例：点到直线的垂直距离在数学和物理领域，我们经常需要计算一个点到一条直线的垂直距离，比如到直线AB的垂直距离。

为了计算这个距离，我们首先需要求出直线AB的斜率。

假设A点的坐标为(1, 1)，B点的坐标为(4, 5)，则直线的斜率k可以通过以下公式计算：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)= (5 - 1) / (4 - 1)= 4 / 3斜率为4/3。

坐标系2点距离公式

坐标系2点距离公式在我们学习数学的旅程中，坐标系可是个非常重要的小伙伴，而其中的两点距离公式，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开好多难题呢！还记得我之前给学生们讲这部分内容的时候，有个叫小明的同学，总是一脸迷茫。

那天阳光正好，透过窗户洒在教室里，可小明的眉头却皱得紧紧的。

我在黑板上写下了坐标系两点距离公式，开始给大家讲解。

“同学们，咱们假设在平面直角坐标系中有两个点 A(x₁, y₁) 和B(x₂, y₂)，那这两点之间的距离 d 就可以通过这个公式来计算：d =√[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 。

”我一边说，一边在黑板上比划着。

大部分同学都在认真听，还跟着我在本子上写，可小明还是一副懵懵的样子。

我走过去问他：“小明，是哪里不明白呀？”小明挠挠头说：“老师，这公式感觉好复杂，我记不住。

”我笑了笑，给他举了个例子：“比如说，A 点的坐标是(1, 2)，B 点的坐标是(4, 6)，那 x₁就是 1，y₁就是 2，x₂是 4，y₂是 6 。

咱们先算(x₂ - x₁)²，就是 (4 - 1)² = 9 ；再算 (y₂ - y₁)²，就是 (6 - 2)² = 16 。

然后把这两个加起来，9 + 16 = 25 ，最后开个平方根，d 就等于 5 。

这就是 A、B 两点的距离啦。

”小明眨眨眼睛，好像有点明白了，但还是不太确定。

于是我让大家做几道练习题巩固一下。

过了一会儿，我看小明还是做得不太顺利，就又给他单独讲了一遍。

经过几次练习，小明终于掌握了这个公式，脸上露出了开心的笑容。

其实啊，坐标系两点距离公式在我们生活中也有很多用处呢。

比如，你要规划从家到学校的最短路线，或者计算两个城市在地图上的实际距离，都可能会用到它。

再比如，你想在一个大操场上找到两个特定位置之间的最短距离，也能通过这个公式来帮忙。

想象一下，学校要举办运动会，布置场地的时候，工作人员就可以用这个公式来确定起跑线和终点线之间的准确距离，保证比赛的公平公正。

平面直角坐标系中的距离公式(一)两点间的距离公式

仄里曲角坐标系中的距离公式(一)二面间的距离公式之阳早格格创做教教目标取央供1、知识圆里：（1）使教死掌握仄里内二面间的距离公式及推导历程；（2）使教死掌握怎么样修坐适合的曲角坐标系去办理相映问题.2、本领圆里：培植教死怯于探索、擅于创造、独力思索的本领3、情感做风价格瞅圆里：培植教死没有竭超出自尔的革新本量教教沉面：（1）仄里内二面间的距离公式；（2）怎么样修坐适合的曲角坐标系教教易面：怎么样根据简曲情况修坐适合的曲角坐标系去办理问题教教历程：一、导进新课已知仄里上的二面111222(,),(,)P x y P x y ，怎么样供111222(,),(,)P x y P x y 的距离12PP .二、新知商量1、提出问题：（1）如果A 、B 是X 轴上二面，C 、D 是Y 轴上二面，它们的坐标分别是,,,A B C D x x y y ，那么,AB CD又怎么样供？（2）供(3,4)B 到本面的距离；（3）已知仄里上的二面111222(,),(,)P x y P x y ，怎么样供12,P P 的距离12PP . 2、办理问题（1）由图形瞅察得出A B AB x x =-，C D CD y y =-；（2）3,4OM BM ==，由勾股定理可供得OB（3）由图易知11221PQ N N x x ==-∴2221212PP PQ P Q =+()()22122121PP x x y y ⇒=-+-3、计划截止（1）A B AB x x =-，C D CD y y =-；（2）供(3,4)B 到本面的距离是5；（3）()()22122121PP x x y y =-+-三、例题粗道例1、供下列二面间的距离.（1）(1,0),(2,3)A B -；（2）(4,3),(7,1)A B -解：（1）()()22213032AB =++-=；（2）()()2274135AB =-+--=例2、已知△ABC 的三个顶面是13(1,0),(1,0),(,)22A B C -，试推断△ABC 的形状. 解：∵2AB =，221310322AC ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 221310122BC ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有222AC BC AB +=∴△ABC 是曲角三角形.例3、△ABC 中，D 是BC 边上任性一面（D 取B ，C 没有沉合），且22AD BD DC AB +=，供证：△ABC 为等腰三角形.说明：做AO ⊥BC ，垂脚为O ，以BC 地圆曲线为X 轴，以OA 地圆曲线为Y 轴，修坐曲角坐标系，设A ()0,a ，B (),0b ，C (),0c c ，D (),0d果为22AD BD DC AB +=，所以，由二面间距离公式可得又0d b -≠故b d c d --=-即b c -=所以AB AC =，即△ABC 为等腰三角形.四、课堂训练P训练1 1、274五、课堂小结通过本节课的教习，央供大家：（1）掌握仄里内二面间的距离公式；（2）能机动使用此公式办理一些简朴问题；（3）掌握怎么样修坐适合的曲角坐标系去办理相映问题.六、课堂做业P习题2-1 A组 11、1274B组 1七、课后深思。

平面直角坐标系中距离的计算

平面直角坐标系中距离的计算在平面直角坐标系中，我们可以用两个坐标值来表示一个点的位置。

假设有两个点A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)。

要计算点A和点B之间的距离，我们可以使用勾股定理。

勾股定理是一个三角形中的定理，它表明在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。

在平面直角坐标系中，我们可以将两点之间的距离看作是一个直角三角形的斜边长度。

根据勾股定理，我们可以得到以下公式：距离AB = √((Bx - Ax)^2 + (By - Ay)^2)其中，^2表示取平方根，√表示开平方。

现在，我们来看一个具体的例子，假设点A的坐标为(2, 3)，点B 的坐标为(5, 7)。

我们可以使用上述公式来计算它们之间的距离。

距离AB = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5所以，点A和点B之间的距离为5个单位长度。

除了直接使用勾股定理计算两点之间的距离，我们还可以使用其他方法来得到相同的结果。

例如，我们可以利用向量的性质来计算两点之间的距离。

向量是具有大小和方向的量，可以表示平面上的位移。

在平面直角坐标系中，我们可以使用向量来表示从一个点到另一个点的位移。

假设有两个点A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，我们可以定义一个向量AB，它的坐标表示为(Bx - Ax, By - Ay)。

根据向量的性质，我们知道两个向量的长度相等当且仅当它们的坐标差的长度相等。

所以，我们可以使用向量的长度来计算两点之间的距离。

向量的长度计算公式如下：向量的长度= √((Bx - Ax)^2 + (By - Ay)^2)与勾股定理的计算公式相同。

通过向量的长度计算方法，我们可以得到与前面相同的结果，即点A和点B之间的距离为5个单位长度。

在实际应用中，计算平面上两点之间的距离是非常常见的。

无论是在几何学、物理学还是计算机图形学中，都需要用到这个概念。

平面直角坐标系中的距离公式(一)两点间的距离公式

平面直角坐标系中的距离公式【2 】(一)两点间的距离公式教授教养目的与请求 1.常识方面：（1）使学生控制平面内两点间的距离公式及推导进程;（2）使学生控制若何树立恰当的直角坐标系来解决响应问题.2.才能方面：造就学生勇于摸索.擅长发明.自力思虑的才能3.情绪立场价值不雅方面：造就学生不断超越自我的创新品德教授教养重点：（1）平面内两点间的距离公式;（2）若何树立恰当的直角坐标系教授教养难点：若何依据具体情形树立恰当的直角坐标系来解决问题教授教养进程：一.导入新课已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ,若何求111222(,),(,)P x y P x y 的距离12PP .二.新知探讨1.提出问题：（1）假如A.B 是X 轴上两点,C.D 是Y 轴上两点,它们的坐标分离是,,,A B C D x x y y ,那么,AB CD 又怎么样求？（2）求(3,4)B 到原点的距离;（3）已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ,若何求12,P P 的距离12PP . 2.解决问题（1）由图形不雅察得出A B AB x x =-,C D CD y y =-; （2）3,4OM BM ==,由勾股定理可求得OB （3）由图易知11221PQ N N x x ==- 21221PQ M M y y ==- ∴2221212PP PQ P Q =+()()22122121PP x x y y ⇒=-+-3.评论辩论成果（1）A B AB x x =-,C D CD y y =-;（2）求(3,4)B 到原点的距离是5;（3）()()22122121PP x x y y =-+-三.例题精讲例1.求下列两点间的距离.（1）(1,0),(2,3)A B -;（2）(4,3),(7,1)A B -解：（1）()()22213032AB =++-=;（2）()()2274135AB =-+--=例2.已知△ABC 的三个极点是13(1,0),(1,0),(,)22A B C -,试断定△ABC 的外形.解：∵2AB =,221310322AC ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,221310122BC ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,有222AC BC AB +=∴△ABC 是直角三角形.例 3.△ABC 中,D 是BC 边上随意率性一点（D 与B,C 不重合）,且22AD BD DC AB +=,求证：△ABC 为等腰三角形. 证实：作A O ⊥BC,垂足为O,以BC 地点直线为X 轴,以OA 地点直线为Y 轴,树立直角坐标系,设A()0,a ,B (),0b ,C (),0c c ,D (),0d 因为22AD BD DC AB +=,所以,由两点间距离公式可得2222()()b a d a d b c d +=++--()()()()d b d b d b c d ⇒--+=--又0d b -≠故b d c d --=-即b c -=所以AB AC =,即△ABC 为等腰三角形.四.教室演习74P 演习1 1.2五.教室小结经由过程本节课的进修,请求大家：（1）控制平面内两点间的距离公式;（2）能灵巧应用此公式解决一些简略问题;（3）控制若何树立恰当的直角坐标系来解决响应问题.六.教室功课74P 习题2-1 A 组 11.12B 组 1七.课后反思。

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2、解决问题
PP2 3、讨论结果(1) AB
（3）已知平面上的两点
（1 ）由图形观察得出
(2) OM 3, BM
由勾股定理可求得
(3) 由图易知PQ
P>Q
PQ P2Q
X A X B,CD
PX, y i), F2(x2, y2)，如何求
OB
AB X
A X B，
CD
PR的距离RP2。

平面直角坐标系中的距离公式（一一）两点间的距离公式教学目标与要求
1知识方面：
（1 ）使学生掌握平面内两点间的距离公式及推导过程；
（2 ）使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题。

2、能力方面：
培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力
3、情感态度价值观方面：培养学生不断超越自我的创新品质教学重点：
（1）平面内两点间的距离公式；（2）如何建立适当的直角坐标系
教学难点：
如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题教学过程：
一、导入新课
已知平面上的两点P l（x i, y i）, P2（x2, y2），如何求R（x i, yd P2（X2, y2）的距离RP。

二、新知探究
1、提出问题：（1）如果A、B是X轴上两点,
X A,x B,y c, y D，那么AB , CD又怎么样求
（2）求B（3,4）到原点的距离;
C、D是Y轴上两点，它们的坐标分别是
y c y D ；
y c
PP2
(2) 求B(3,4)到原点的距离是 5;
2 2
(3) RP 2
Q X 2 % 讨2 y i
三、例题精讲例1、求下列两点间的距离。

(1)
A( 1,0), B(2,3); (2) A(4,3), B(7, 1)
解：(1)AB J 2 1 2~3 0 2 3J2 ； 2 2 7 4 1 3 5
•••△ ABC 是直角三角形。

求证：△ ABC 为等腰三角形。

证明：作AO 丄BC,垂足为O,以BC 所在直线为X 轴，以OA 所在直线为Y 轴，建立直角坐标系，
设 A 0,a , B b,0 , C c c,0 , D d,0
- y
因为 AD |2 I BDgDC I AB 2 , 例2、已知△ ABC 的三个顶点是 A( 1,0), B(1,0),C (1，f)，试判断厶 ABC 的形状。

四、课堂练习
P74 练习1 1、2
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求大家：（1）掌握平面内两点间的距离公式；（2）能灵活运用此公式解决一些简单问题；
（3）掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题。

六、课堂作业
P74 习题2-1 A 组11、12
B 组 1
七、课后反思。