2010年全国高中数学联赛福建赛区
2012年全国高中数学联赛福建赛区
2012年全国高中数学联赛福建赛区获奖学生及指导教师名单奖次姓名所在学校指导教师一等奖（41名）李君诚龙岩一中方秦金陈景林福州一中王欣苏肇祺厦门双十中学赵祥枝陈洁锋南安一中林建源吴秉杰福建师大附中连信榕陈景发泉州七中杜成北黄熹之福州一中王欣赖泽华泉州五中陈显林永锋泉州七中曹东方高登峰长乐一中刘宇璋郑予凡福州三中林风林楠莆田一中吴天然蔡宇涵福州一中陈德燕涂霁原福建师大附中黄振胜张毅厦门外国语学校周志伟郑婉怡长乐一中刘宇璋林坚福建师大附中连信榕吴艺杰厦门一中徐小平郑延敏厦门一中周翔刘淇禄厦门双十中学许波付祖悦福州一中李迅林梓楠厦门一中徐小平陈集懿仙游一中刘金星一一等奖（41名）张泽华福州一中林玲刘锦鹏三明二中林保平范兴鹏永定一中李辉林真厦门外国语学校吴铭辉林杰安溪一中陈荣海林继航福州一中夏彦婴洪伟峻福州一中宋梅玉郭靖邦福建师大附中连信榕高志杰安溪一中叶良清许昭贤安溪一中苏文新蔡健福州一中郭艺斌林雨福州一中丘远青陈泽群南安一中梁淮森林若轩厦门外国语学校周志伟黄安祥厦门双十中学郭俊芳洪景渠厦门双十中学许波叶豪大田一中郑锐严炜泉州五中黄寒凝二等奖（51名）陈天乐福建师大附中林峰康泽淇厦门双十中学赵祥枝苏室勋同安一中谢继林杨铮厦门双十中学赵祥枝张禛厦门一中周翔林超超泉州五中许华军郑文超南安一中陈聪贤二林鹏凯厦门双十中学赵祥枝林子楹厦门一中徐小平钟少涵龙岩一中方秦金等奖（51名）蔡熠莆田一中吴天然郑俊萍莆田一中吴天然刘雨晨龙岩一中方秦金岳宇福州一中王欣刘定峰厦门一中张帆罗融厦门双十中学赵祥枝吴茂恺福清一中陈贻康王海滨永春一中李金进谢宇航南安一中梁淮森潘兴禄福鼎一中曹齐平许良坤厦门双十中学赵祥枝林迪熙厦门外国语学校周志伟钱成德漳州一中林良斌许泽君福州一中林玲颜仁学南安一中梁淮森钟玺峰泉州实验中学刘晓波曾奕辉三明二中林保平张德洁尤溪一中陈祥湾李响厦门一中徐小平庄镕胜厦门双十中学赵祥枝卓杰鹏泉州七中杜成北蔡宇超漳州一中林良斌戴志聪泉州七中赖呈杰二陈垚鑫泉州五中黄寒凝林青恺福安一中林旭杨以恒泉州五中黄寒凝曾武贤漳州立人学校林智生苏杭厦门双十中学许波等奖（51名）叶茂胜晋江养正中学周彩瑛林志常泉州七中林志敏陈靖国安溪一中叶良清张其斌长汀一中魏木水谢雨彤宁德一中金新雄汪慧铭泉州七中纪建灵石壮壮厦门双十中学张瑞炳白蔚楠安溪一中苏文新卢长胜连城一中黄椿施宇福清一中余小萍陈思杰厦门一中徐小平黄哲雄泉州一中陈志文吴超厦门双十中学许波三等奖（67名）李甲辰安溪一中苏文新黄志喜福鼎一中丁合剑戴飞栋厦门双十中学张瑞炳许悦厦门双十中学张瑞炳林泽宇长乐一中刘宇璋郑炜豪泉州实验中学刘晓波王雨亭厦门双十中学张瑞炳陈龙漳平一中叶培杰三等奖林炳辉长乐一中刘宇璋郭颖超仙游一中刘金星陈兵莆田一中吴天然吴婧旸漳州实验中学郭欢陈扬锐尤溪一中陈师民陈晓越莆田一中吴天然林毓斌仙游一中黄开云（67名）谢新锋南安一中梁淮森罗飞扬安溪一中苏文新郑文俊福州一中宋梅玉傅坤隆泉州七中赖艳红蔡崇泽晋江养正中学周彩瑛陈炳森漳州一中冯真丽丁嘉靖泉州五中李晖黄垚开永定一中李辉包迪福州三中耿熹连庭泉州五中苏建民郑思鹏福州一中宋梅玉陈轶伦厦门一中李寅童留永信晋江季延中学陈煌图黄泽龙厦门一中张帆洪世鑫南安一中梁淮森江旭厦门外国语学校周志伟陈晓灿永春一中王冬生李毅福州一中陈德燕许恭瀚泉州五中赵清木三等奖（67名）三等奖（67名）陈楷民厦门双十中学王成焱翁智荣莆田一中吴天然彭钦一龙岩一中方秦金陈雨薇泉州五中杨苍洲叶智恺福州一中丘远青叶韫盛福建师大附中连信榕许晓毅安溪一中陈荣海苏楠淇厦门双十中学赵祥枝陈明豪长乐一中刘宇璋黄一帆泉州十一中柳明全卢皓川福州一中陈德燕张策南平一中周文绥柯薇福州一中郭艺斌杜一阳厦门一中张帆杨婉娴漳州实验中学郭欢林弘韬福建师大附中连信榕冯楷锐泉州五中郭智恒吴剑灿莆田一中吴天然严江鹏仙游私立一中林凤芬肖智超漳州正兴学校朱金海程思衍厦门双十中学李祥增张晟三明二中林保平王晨昀南安国光中学陈俊青郑蓊睿福州一中丘远青林焱仙游一中刘金星林江滨厦门双十中学赵祥枝三等奖（67名）温拓扑福州一中卓道章林譞福州一中郑超翔杨亦萍福州一中郭艺斌杜启明泉州实验中学刘晓波李庆涛三明一中廖新武练成龙三明一中黎明王震莆田一中林敏。
2010年全国高中数学联赛获奖名单
加试 180 180 180 180 180 180 140 150 140 140 130 180 140 150 150 140 130 140 130 130 130 120 140 110 130 130 120 150 130 140 100 140 110 160 140 90 100 100 90 130 120 100 110 90 140 100 100 80 90 100
M103151 M103152 M103153 M103154 M103155
胡小东 陈萍萍 朱磊克 狄嘉威学 乐清市乐成公立寄宿学校 乐清市乐成公立寄宿学校 镇海中学 镇海中学
高二 高三 高二 高三 高二
97 86 86 85 63
90 100 100 100 120
性别 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 女 男 女 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男 男
学校 年级 镇海中学 高三 金华一中 高三 乐清市乐成公立寄宿学校 高二 金华一中 高三 乐清市乐成公立寄宿学校 高二 乐清市乐成公立寄宿学校 高三 镇海中学 高三 乐清市乐成公立寄宿学校 高三 金华一中 高二 金华一中 高三 高三 温州中学 金华一中 高三 镇海中学 高三 诸暨中学 高三 乐清市乐成公立寄宿学校 高三 金华一中 高二 学军中学 高二 诸暨中学 高三 乐清市乐成公立寄宿学校 高三 诸暨中学 高三 金华一中 高三 乐清市乐成公立寄宿学校 高三 诸暨中学 高三 乐清市乐成公立寄宿学校 高一 诸暨中学 高三 高三 温州中学 诸暨中学 高三 高三 温州中学 镇海中学 高三 镇海中学 高三 乐清市乐成公立寄宿学校 高三 温岭市温岭中学 高三 新昌中学 高三 高三 温州中学 嘉兴一中 高三 衢州二中 高三 乐清市乐成公立寄宿学校 高三 高三 温州中学 余姚中学 高二 镇海中学 高二 鄞州中学 高三 乐清市乐成公立寄宿学校 高三 诸暨中学 高三 乐清市乐成公立寄宿学校 高三 北仑中学 高三 学军中学 高二 诸暨中学 高三 浙江省杭州第二中学 高二 诸暨中学 高二 镇海中学 高二
1高斯函数
第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x],即y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+nn 1-]=[nx]; 证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa +11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 .3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 .2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+[4y]+ 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字(见表). [x]表 示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 .2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= .3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+ 第一讲:高斯函数 3[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:对应的m 值 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . ③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = .②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 .2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .4 第一讲:高斯函数②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23] ③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.[练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数).6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 第一讲:高斯函数 5⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= . 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ]. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.8.不等问题:[例8]:(1981年美国数学奥林匹克试题)对正整数n 和一切实数x.求证:[nx]≥1][x +2]2[x +…+nnx ][. [解析]:为方便,记a n =1][x +2]2[x +…+nnx ][.用数学归纳法证明:①当n=1时,a 1=[x],[nx]=[x]⇒原不等式成立;②假设当k<n 时,原不等式均成立,即a 1≤[x],a 2≤[2x],…,a n-1≤[(n-1)x];注意到:a k -a k-1=kkx ][⇒ka k -ka k-1=[kx]⇒na n =a 1+(2a 2-a 1) 6 第一讲:高斯函数+(3a 3-2a 2)+…+[na n -(n-1)a n-1]=a 1+(2a 2-2a 1)+(3a 3-3a 2)+…+(na n -na n-1)+(a 1+a 2+…+a n-1)=[x]+[2x]+[3x]+…+[nx]+(a 1+a 2+…+a n-1)≤n[nx]⇒a n ≤[nx].[练习8]:1.(第10届地中海地区数学奥林匹克试题)设x 为大于1的实数.证明:(][}{x x x +-}{][x x x +)+(}{][x x x +-][}{x x x +)>29.2.(2005年国家集训队训试试题)求所有正整数m 、n,使得不等式[(m+n)α]+[(m+n)β]≥[m α]+[m β]+[n(α+β)]对任意实数α、β都成立.3.(2005年国家集训队选拔考试试题)设n 是任意给定的正整数,x 是正实数.证明:∑++-=nk x kx x k x 1])1)[1(][(≤n.第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x]与y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n1]+[x+n2]+…+[x+nn 1-]=[nx];证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+ n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa+11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .解:因f(x)+f(-x)=(x a +11-21)+(x a -+11-21)=x a +11+xxa a +1-1=0⇒f(-x)=-f(x);设f(x)=k+α,其中,k ∈Z,0≤α<1,①若α=0,则f(x)=k ⇒-f(x)=-k ⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-k ⇒[f(x)]+[f(-x)]=0;②若α≠0,则f(x)=k+α⇒-f(x)=-k-α= -(k+1)+(1-α)⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-(k+1)⇒[f(x)]+[f(-x)]=-1⇒[f(x)]+[f(-x)]的值域是{-1,0}. 2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 . 解:令g(x)=kx+k,由图知g(2)≤1,g(3)>1⇒41<k ≤31. 3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 . 解:令f(k)=[51-k ]-[52-k ],则f(k+5)=[515-+k ]-[525-+k ]=[1+51-k ]-[1+52-k ]=[51-k ]-[52-k ]=f(k),故f(k)是周期为5的函数;计算可知:f(2)=0,f(3)=0,f(4)=0,f(5)=0,f(6)=1;由x k =x k-1+1-5f(k)⇒x k -x k-1=1-5f(k)⇒x 2008=x 1+(x 2- x 1)+(x 3-x 2)+…+(x 2008-x 2007)=x 1+2007-5[f(2)+f(3)+…+f(2008)]=x 1+2007-5[4001(f(2)+f(3)+…+f(6))+f(2)+f(3)]=3;同理可得y 2008=402.所以,2008棵树的种植点为(3,402).2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+ [4y ]+[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字 (见表). [x]表 示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 . 解:因c=20,y=8,d=18,m=4⇒d+[2.6m-0.2]+y+[4y ]+[4c]-2c=18+[10.2]+8+[2]+[5]-40=3≡3(mod7)⇒2008年6月18日是星期三.2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值. 解:因为0<1<2π,2π<2、3<π,π<4<23π,23π<5、6<2π⇒sin1、sin2、sin3∈(0,1),sin4、sin5∈(-1,0)⇒[sin1]=第一讲:高斯函数 3[sin2]=[sin3]=0,[sin4]=[sin5]=-1⇒[sin1]+[sin2]+[sin3]+[sin4]+[sin5]=-2.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= . 解:因为0<1<2π,2π<2<π,43π<3<π,π<4<23π,23π<5<2π,47π<6<2π⇒sin1∈(0,1),cos2∈(−1,0),tan3∈(−1, 0),sin4∈(−1,0),cos5∈(0,1),tan6∈(−1,0)⇒[sin1]+[cos 2]+[tan 3]+[sin 4]+[cos5]+[tan 6] =0+(-1)+(-1)+(-1) +0+(-1)=-4.3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数. 解:当20052k <1,即k<44时,[20052k ]=0;当1≤20052k <2,即45≤k<63时,[20052k ]=1;当2≤20052k <3,即64≤k<77时,[20052k ]=2; 当3≤20052k <4,即78≤k<89时,[20052k ]=3;当4≤20052k <5,即90≤k<100时,[20052k ]=4;当5≤20052k <6,即100≤k<109时,月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对应的m 值111212345678910[20052k ]=5;当6≤20052k <7,即110≤k<118时,[20052k ]=6;当7≤20052k <8,即119≤k<126时,[20052k ]=7;…,集合{n|n=[20052k ], 1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数=1503.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . 解:由k<)1(+k k <k+21⇒2)1(+n n <a n <2)1(+n n +21n ⇒n+1<n a n 2<n+2⇒[n a n 2]=n+1. ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . 解:设f(x)=nx 3+2x-n,易知,当n 为正整数时,f(x)为增函数;f(1)=2>0,且当n ≥2时,f(1+n n )=n(1+n n )3+21+n n -n=3)1(+n n (- n 2+n+1)<0⇒x n ∈(1+n n ,1)⇒n<(n+1)x n <n+1⇒a n =[(n+1)x n ]=n ⇒10051(a 2+a 3+…+a 2011)=2013. ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 解:由b n =[5n a ]=[523-n ]⇒b 5k+r =[52)5(3-+r k ]=[3k+523-r ]=3k+[523-r ](r=0,1,2,3,4)⇒b 5k =3k-1,b 5k+1=b 5k+2=3k,b 5k+3=3k+1,b 5k+4=3k+2⇒b 5k-4+b 5k-3+b 5k-2+b 5k-1+b 5k =15k-10⇒b 1+b 2+…+b 2007=(b 1+b 2+…+b 5)+…+(b 401×5-4+b 401×5-3+b 401×5-2+b 401×5-1+b 401×5)+(b 401×5+1+b 401×5+2)=152)4011(401+-10×401+(3×401+3×401)=(15×201-4)401=1207411.3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 4 第一讲:高斯函数2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:1.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .解:当2t ≤k<2t+1时,[log 2k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[2t ,2t+1)中的正整数有2t 个.设f(x)=[log 2x],注意到29=512,所以, [log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]=∑=5001)(k k f =f(1)+∑-=1222)(k k f +∑-=12232)(k k f +∑-=12243)(k k f +∑-=12254)(k k f +∑-=12265)(k k f +∑-=12276)(k k f +∑-=12287)(k k f +∑=50028)(k k f =0+1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26+7×27+8(28-11)=3498.②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . 解:因为1≤k ≤9⇒[lgk]=0;10≤k ≤99⇒[lgk]=1;100≤k ≤999⇒[lgk]=2;1000≤k ≤2010⇒[lgk]=3;所以,[lg1]+ [lg2]+[lg3]+…+[lg2010]=60×1+900×2+1011×3=4923.③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.解:由[log 36]=[log 37]=[log 38]=1⇒[log 36]+[log 37]+[log 38]=3;[log 39]=[log 310]=…=[log 326]=2⇒[log 39]+[log 310]+ …+[log 326]=36;[log 327]=[log 328]=…=[log 380]=3⇒[log 327]+[log 328]+…+[log 380]=162;[log 381]=[log 382]=…= [log 3242]=4⇒[log 381]+[log 382]+…+[log 3242]=648;3+36+162+648=849;[log 3243]=[log 3244]=…=[log 3728]=5⇒ [log 3243]+[log 3244]+…+[log 3728]=2430⇒n=474.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .解:当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n](n=20,21,…,210);当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n]+1;所以,{log 21}+{log 22}+…+{log 21991}=[log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11;由a=2,1024=210<1991<211⇒m=10,由1991-210=967⇒b=967⇒ [log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11=[2×9-2]29+2+10×968+1991-11=19854.2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .解:当k 为整数时,[k ]+[-k ]=0(k=12,22,…,19892),当k 不是整数时,设k =n+α(0<α<1),则[k ]=n,[-k ]=[-n-α]=[-(n+1)+(1-α)]=-(n+1)⇒[k ]+[-k ]=-1⇒[1]+[2]+[3]+…+[19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]=-1989×1990+1989=-19892.②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.解:因为nlg2和nlg5是无理数,那么可以表示nlg2=m+a 其中m=[nlg2],a={nlg2}≠0,而nlg5=n-nlg2=n-m-a=(n-m-1)+(1- a)⇒[nlg5]=n-m-1⇒[nlg2]+[nlg5]=n-1=2012⇒n=2013.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = . 解:由1222012++k k <1⇒2012+2k <2k+1⇒2k>2012⇒k>11⇒当k>11时,[1222012++k k ]=0;当k=0时,[1222012++k k ]=1006;当k=1时,[1222012++k k]=503;当k=2时,[1222012++k k ]=250;当k=3时,[1222012++k k ]=126;当k=4时,[1222012++k k ]=63;当k=5时,[1222012++k k ]=31;当k=6时,[1222012++k k ]=16;当k=7时,[1222012++k k ]=8;当k=8时,[1222012++k k ]=4;当k=9时,[1222012++k k ]=2;当k=10、第一讲:高斯函数 511时,[1222012++k k ]=1⇒∑+=+20121]222012[k k k =1006+503+250+126+63+31+16+8+4+2+1+1=2012.②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.解:设下x=a n ×2n+a n-1×2n-1+…+a 2×22+a 1×21+a 0×20,其中a i ∈{0,1}(i=0,1,2,…,n),则x-2[2x ]=a 0;[2x ]-2[22x]=a 1; [22x ]-2[32x ]=a 2,…,[nx 2]-2[12+n x ]=a n ⇒a 0+a 1+a 2+…+a n =(x-2[2x ])+([2x ]-2[22x ])+([22x ]-2[32x ])+…+([n x2]- 2[12+n x])=x-([2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[12+n x ])=x-m=x 的“亏损数”⇒亏损数”为9的最小正整数x=1+2+22+…+28=511. 4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .解:由81<2x <8⇒-3<x<3⇒[x]=-3,-2,-1,0,1,2;①若[x]≤-2,则x 2=2[x]+3<0,没有实数解;②若[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1; ③若[x]=0,则x 2=3,没有符合条件的解;④若[x]=1,则x 2=5,没有符合条件的解;⑤若[x]=2,则x 2=7⇒有一个符合条件的解x=7⇒ A ∩B={-1,7}.②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .解:因|x|<2⇒[x]的值可取-2,-1,0,1;当[x]=-2,则x 2=0无解;当[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1;当[x]=0,则x 2=2无解;当[x]=1,则x 2=3⇒x=3⇒A ∩B={-1,3}.③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . 解:由0≤2cos 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,cosx=0,tanx 无意义;当[tanx]=1时,cosx=±22, 注意:[tanx]=1⇒x=k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,cosx=1⇒sinx=0⇒tanx=0,矛盾. ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 . 解:由0≤2sin 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,sinx=0,tanx=0⇒x=k π;当[tanx]=1时,sinx=±22,注意:[tanx]=1⇒x=2k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,sinx=1⇒cosx=0⇒tanx=0无意义.2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .6 第一讲:高斯函数解:由4[x]2-36[x]+45<0⇒23<[x]<215⇒2≤[x]≤7⇒2≤x<8. ②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23]解:因[|x 2-1|]=10⇔10≤|x 2-1|<11⇔-11<x 2-1≤-10,或10≤x 2-1<11⇔x ∈(-23,-11]∪[11,23),选(C).③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 解:显然x>0;①若x ≥3,则[x]≥3⇒x [x]≥27>29;②若0<x<2,则0≤[x]<2⇒x [x]<22=4<29;③若2≤x<3,则[x]=2⇒x 2=29 ⇒x223. 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .解:由x ≥[x]=872+x ⇒1≤x ≤7⇒[x]=1,2,3,4,5,6,7⇒x=1,33,41,7.②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .解:1,2005,2006,2007.③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .解:设2x+1=k,则x=21-k ,3x-465=6389-k =k+6383-k ,于是原方程等价于[k+6383-k ]-k=0⇒[6383-k ]=0⇒0≤6383-k<1⇒338≤k<344⇒k=13,14⇒解是x=6,213. ④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 解:设2x-21=k ∈Z,则x=412+k ,3x+1=k+1+432+k ,于是原方程等价于[432+k ]=-1,即-2<432+k ≤-1⇒-211<k ≤-27⇒k=-5,-4⇒x=-49,-47⇒所有实根之和为-4. 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q ])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.第一讲:高斯函数 7 [练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).解:由x-1<[x]≤x;①当x ≥3时,x 3-3[x]≥x 3-3x=x(x 2-3)≥3(32-3)=18;②当x ≤-3时,x 3-3[x]<x 3-3(x-1)=x(x 2-3)+3≤ -3[(-3)2-3]+3=-15;③当-3<x<3时,[x]=-3,-1,-1,0,1,2;若[x]=-3,则x 3=3[x]+4=-5,不合要求;若[x]=-2,则x 3=3[x]+4= -2⇒x=-32,合要求;若[x]=-1,则x 3=3[x]+4=-1,不合要求;若[x]=0,则x 3=3[x]+4=4,不合要求;若[x]=1,则x 3=3[x]+4= 7⇒x=37,合要求;若[x]=2,则x 3=3[x]+4=10⇒x=310,合要求⇒(-32)3+(37)3+(310)3=15.2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .解:由[x 3]+[x 2]+[x]∈Z ⇒{x}−1∈Z ⇒{x}=0⇒x ∈Z ⇒x 3+x 2+x=-1⇒(x+1)(x 2+1)=0⇒x=-1.②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. 解:设[x]=n,x-[x]=α(0≤α<1),则x 2−2x=(n+α)2-2(n+α)=n 2-2n+α2+2(n-1)α,所以原方程等价于[n 2-2n+α2+2(n-1)α]=n 2-2n ⇔[α2+2(n-1)α]=0⇔0≤α2+2(n-1)α<1;当α=0时,不等式成立,此时,x=n;当α≠0时,由0≤α2+2(n-1)α<1⇔0<α<1)1(2+-n -(n-1)⇔0<x-n<1)1(2+-n -(n-1)⇔x ∈(n,1)1(2+-n +1)(n=1,2,…). ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 解:由[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x 7]=1993⇒[x]<1993⇒x<1994⇒[！x 7]=0⇒[x]+[！x 3]+[！x5]=1993⇒x>5！;设x=5！n+r(0≤r<5！=120)⇒(120n+r)+(20n+[6r ])+n=1993⇒141n+r+[6r ]=1993=14×141+19⇒n=14,r+[6r]=19⇒r=17⇒x=1697. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.解:因为当3k≤n<3k+1时,[log 3n]=k(k=0,1,2,…),且区间[3k,3k+1)内的正整数个数=3k+1-3k=2×3k,所以,S k =[log 31]+[log 32]+ [log 33]+[log 34]+…+[log 3(3k+1-1)]=2(0×30+1×31+2×32+…+k ×3k)=(23k-43)3k +43;令(23k-43)3k+43≤2007⇒(2k- 1)3k≤2675⇒k ≤5;S 5=1391,2007-1391=6×101⇒n=36+100=829. ②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数). 解:{5,6}.6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 ⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= .解:若a 为负整数,则a 2>0,2b(a+b)<0,不可能,故a ≥0;于是a 2=2b(a ＋b)<2(a+1)⇒a 2-2a-2<0⇒0≤a<1+3⇒a=0,1,8 第一讲:高斯函数2;a=0时,b=0;a=1时,2b 2+2b-1=0⇒b=213-;a=2时,b 2+2b-2=0⇒b=3-1. 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .解:由[x]2+[y]2=50⇒[x]=±1,[y]=±7;[x]=±5,[y]=±5;[x]=±7,[y]=±1.每组解有4种情况,每种情况下的面积为1⇒图形的面积是12.②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.解:设[x]=a,[y]=b,即所有这样的点(x,y)组成的图形就是a ≤x<a+1,b ≤y<b+1界定的区域,它的面积为1,又2011是质数,所以满足[x][y]=2011的点(x,y)组成的图形是4个面积为1的区域,即[x]=1,[y]=2011;[x]=2011,[y]=1;[x]=−1,[y] =−2011;[x]=−2011,[y]=−1.这些图形的总面积是4.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .解:由[x][y]=2013=1×2013=3×671=11×183=33×61,共有16种情况,每种情形下的面积为1,所以,所有点(x,y)组成的图形面积为16.3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7解:设a n =(3+8)2n +(3-8)2n =(17+122)n +(17-122)n ,则a 1=34,a 2=342-2=1154,a n+2=34a n+1-a n ⇒a 1≡2(m0d8),a 2≡2(m0d8),a 3≡34×2-2≡2(m0d8)⇒a n ≡2(m0d8);又因0<(3-8)2n <1⇒[(3+8)2n ]=a n -1⇒[(3+8)2n]≡1(m0d8).选(A).②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .解:因(2+3)2010+(2-3)2010为整数,则(2+3)2010的小数部分为1-(2-3)2010,又因0<(2-3)2010<0.21005<(0.008)300,所以0.9<1-(2-3)2010<1,可知(2+3)2010的小数点后一位数字是9.7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？解:设[x ]=n,由[x ]≤x <[x ]+1⇒n ≤x <n+1⇒n 2≤x <(n+1)2⇒n 2≤[x ]<(n+1)2⇒n ≤][x <n+1⇒n ≤[][x ]<n+1⇒[][x ]=n ⇒[][x ]=[x ]成立.②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ].第一讲:高斯函数 9解:因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+[n+(n+1)]=4n+2⇒n +1+n <24+n ⇒[n +1+n ]≤[24+n ];若存在某个正整数n,使得[n +1+n ]≠[24+n ],则[n +1+n ]<[24+n ];设[24+n ]=k,则n +1+n <k ≤24+n⇒2n+1+2)1(+n n <k 2≤4n+2⇒2)1(+n n <k 2-(2n+1)≤2n+1⇒4n(n+1)<[k 2-(2n+1)]2≤4n(n+1)+1(因4n(n+1)与4n(n+1)+1是连续整数)⇒[k 2-(2n+1)]2=4n(n+1)+1⇒k 2=4n+2,但任意整数的平方被4除不余2,矛盾. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. 解:设[r]=n,r=n+α(0≤α<1),则[r+100i ]=[n+α+100i ]=n(当0<α+100i <1时),或n+1(当1≤α+100i<2时),设其中有 73-k 个n,k 个n+1,则(73-k)n+k(n+1)=546⇒n=7+7335k -⇒k=35,n=7⇒α+10056<1,α+10057≥1⇒10043≤α<10044⇒7+10043≤r<7+10044⇒743≤100r<744⇒[100r]=743. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 解:设f(x)=[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x],则f(x)单调不减;由f(x)≤[(1+2+4+8+16+32)x]=[63x]≤63x ⇒x ≥6312345>195;f(196)=63×196=12348⇒x<196⇒x ∈(195,196);令t=x-195,则t ∈(0,1),且f(x)=[195+t]+[2(195+t)]+ [4(195+t)]+[8(195+t)]+[16(195+t)]+[32(195+t)]=63×195+[t]+[2t]+[4t]+[8t]+[16t]+[32t]<12285+0+1+3+7+15+31 =12342⇒方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解.3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.解:由a n+1-a n =b([c n ++1]-[c n +]),由题知,a n+1-a n =0,或2⇒b([c n ++1]-[c n +])=0,或2;由c n ++1-c n +=cn c n ++++11≤1⇒c n +<c n ++1≤c n ++1⇒[c n +]<[c n ++1]≤[c n +]+1⇒[c n ++1]-[c n +]=0,或1;显然b ≠0,当b([c n ++1]-[c n +])=2时,b=2,[c n ++1]-[c n +]=1;由a 1=2[c +1]+d=1⇒c ≥-1,d=1-2[c +1];注意到2k a =2k-1⇒2[c k +2]+d=2k-1⇒2[c k +2]+1-2[c +1]=2k-1⇒[c k +2]-[c +1]=k-1对任意的k ∈N +恒。
2010年全国高中数学联赛福建赛区
奖次
学生姓名
所在学校
指导教师
一
等
奖
（57名）
蓝捷
上杭一中
林文柱
刘鸿辉
厦门双十中学
黄雄
黄国快
晋江养正中学
许贻旺
陈振雄
晋江季延中学
陈浩
王陶
厦门双十中学
张瑞炳
二
等
奖
（45名）
金迪
厦门双十中学
黄雄
吴志煌
晋江季延中学
林笃锦
张荣燊
泉州五中
黄种生
曾大通
惠安一中
陈荣桂
张志荣
平和正兴学校
叶连雄
陈少峰
晋江季延中学
陈婷
林森
福州一中
吴威
林弘杰
永春一中
李金进
林文峰
漳州一中
林良斌
田成锦
泉州七中
王雄伟
涂炼祥
龙岩一中
连亮曦
王施敏
福州一中
夏彦婴
谢崇发
龙岩一中
连亮曦
许灵达
晋江养正中学
许贻旺
颜荣圻
厦门双十中学
黄雄
黄熹之
福州一中
王欣
施嘉察
晋江养正中学
许贻旺
曾炜赫
漳州一中
张兵源
高凌斌
顺昌一中
黄敬平
林宇凯
福州一中
陈婷
张亚能
泉州七中
所在学校
指导教师
一
等
奖
（57名）
徐伟生
德化一中
徐建新
孙铭
厦门外国语学校
肖骁
许有疆
德化一中
陈丽真
杨震
莆田一中
肖志强
2012年全国高中数学联赛福建赛区
郑文俊
福州一中
宋梅玉
傅坤隆
泉州七中
赖艳红
蔡崇泽
晋江养正中学
周彩瑛
陈炳森
漳州一中
冯真丽
丁嘉靖
泉州五中
李晖
黄垚开
永定一中
李辉
包迪
福州三中
耿熹
连庭
泉州五中
苏建民
郑思鹏
福州一中
宋梅玉
陈轶伦
厦门一中
李寅童
留永信
晋江季延中学
陈煌图
黄泽龙
厦门一中
张帆
洪世鑫
南安一中
梁淮森
江旭
厦门外国语学校
周志伟
陈晓灿
永春一中
许波
叶豪
大田一中
郑锐
严炜
泉州五中
黄寒凝
二
等
奖
（51名）
陈天乐
福建师大附中
林峰
康泽淇
厦门双十中学
赵祥枝
苏室勋
同安一中
谢继林
杨铮
厦门双十中学
赵祥枝
张禛
厦门一中
周翔
林超超
泉州五中
许华军
郑文超
南安一中
陈聪贤
二
等
奖
（51名）
林鹏凯
厦门双十中学
赵祥枝
林子楹
厦门一中
徐小平
钟少涵
龙岩一中
方秦金
蔡熠
莆田一中
吴天然
郑俊萍
许悦
厦门双十中学
张瑞炳
林泽宇
长乐一中
刘宇璋
郑炜豪
泉州实验中学
刘晓波
王雨亭
厦门双十中学
张瑞炳
陈 龙
漳平一中
2010年福建高考试题数学理解析版
2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类） 第I 卷（选择题共50 分）、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 cos13° -cos43° sin13° 的结果等于6.如图，若「i 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH // A 1 D 1，则下列结论中不正确的是A. EH // FG C. 是棱柱目要求的。
1.计算 sin43y 2=4x 2. 以抛物线 2 2A.x +y +2x=0 C. x +y -x=03. 设等差数列｛ a n ) A.6 B. 74.函数f C 」2D V2的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为2 2B.x +y +x=0 2 2D. x +y -2x=0前n 项和为S n .若a 1= -11,a 4+a 6= -6，则当C.8D.9J?-I-2X -37X <0（X ）= L _2+ln 凡•的零点个数为B. 1C.2S n 取最小值时，n 等于「嚳]A. 05.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输岀的i 值等于A.2B.3C.4D.5D.3B.四边形EFGH D. |是棱台7若点 O 和点F （-2, 0）分别为双曲线2 X22 - y =1 (a>0)的中心和左 a焦占 八A. [3- 2.3,'：)B. [3+2^：=)C. f )D.[-,-:=)4是矩形点P 为双曲线右支上的任意一点，则 的取值范围为JC > 1,/ x- 2y + 3 > 0,8.设不等式组 所表示的平面区域是僞，平面区域02与。
1关于直线3x-4y-9对称。
对于。
1中的任意点A 与J 中的任意点B ，I AB I 的最小值等于28 12 A.B. 4C.D. 2559. 对于复数a,b,c,d ，若集合S= ｛a,b,c,d ｝具有性质"对任意 x,y ^s ,必有x,y ^S ”，则当 d 二 1,《护=1,5 时，b+c+d 等于 A. 1 B. -1 C. 0 D. i10. 对于具有相同定义域 D 的函数f (x )和g (x ),若存在函数h (x ) =kx+b ( k,b 为常数)，对任给的正数€m ，存在相应的xo ^D ，使得当x^D 且x>xo 时，总有1°<应(忑)-呂⑴v 阻则称直线l : y=kx+b 为曲线 y=f (x )与y=g (x )的"分渐近线”。
NOIP2010福州赛区提高组(高中组)获奖名单
附件1：NOIP2010福州赛区高中组(提高组)获奖名单一等奖（25名）编号姓名就读学校年级指导教师1蔡煜成福州一中高三陈颖2林人瑞福建师大附中高二周成3刘佳倩福州一中高三陈颖4朱佳凡福州三中高三12魏丽真5杨志灿福建师大附中高一黄丽华6廖彤亮福州一中高二陈颖7卓亮福州一中高二陈颖8潘哲逸福建师大附中高三周成9解锐福州一中高三陈颖10林晨超福州一中高三陈颖11江川福州一中高二陈颖12魏嘉荣福州三中高三12宋立林13潘人建福州一中高一陈颖14黄文瀚福州三中高二12魏丽真15陈许同福州一中高二陈颖16刘甫晟福州三中高一12宋立林17马宏菩福州一中高二陈颖18潘晨福州一中高二陈颖19陈孔韬福州一中高二陈颖20陈炘福建师大附中高二周成21赖国堃福建师大附中高二周成22李欣福建师大附中高二周成23李浩然福建师大附中高一黄丽华24刘均福建师大附中高三周成25陈璞福州一中高一陈颖二等奖（43名）26邹豪风福州一中高二陈颖27林昶兆长乐一中高二董永建28林杰长乐一中高二董永建29刘存毅长乐一中高二董永建30周敏轩福州八中高三陈光31倪际楠福建师大附中高三周成32夏润福建师大附中高二周成33邹明杉福州八中高三陈光34陈约翰福州一中高二陈颖35郑子威福建师大附中高一黄丽华36林起阳福州三中高二12黄晓燕37陈勇丞长乐一中高三董永建38张功喜长乐一中高二董永建39陈舒悦福州一中高二陈颖40罗成福州三中高二7黄志刚41陈炜捷格致中学高一江信龙42游绩榕福建师大附中高三周成43张高翔福建师大附中高一黄丽华44张昱福州八中高三陈光45阮思绮福州三中高三12魏丽真46翁荻平潭一中高二高珍珍47吴亚薇福州一中高二陈颖48刘剑豪长乐一中高一董永建49梁峻榕福州八中高三陈光50姜之麟福州一中高一陈颖51林宇哲福州一中高二陈颖52陈一鸥福建师大附中高三周成53曾海天福州一中高二陈颖54易方正福建师大附中高三周成55黄凌福州三中高二12魏丽真56陈凡福州三中高二12宋立林57郭子楠长乐一中高二董永建58柯薇福州一中高一陈颖59姜彦长乐一中高一董永建60郑宇辉长乐一中高二董永建61游金兴长乐侨中高二王云飞62欧松长乐一中高二董永建63林菡福建师大附中高三周成64林先辉长乐一中高二董永建65黄恒意长乐一中高一董永建66林潇长乐侨中高二王云飞67游贯众福建师大附中高三周成68郑豪长乐一中高三董永建三等奖（70名）69赵纪元格致中学高二江信龙70张志伟长乐一中高二董永建71张泽平长乐一中高二董永建72郑传焜福建师大附中高一黄丽华73叶夏伊长乐一中高三董永建74郑桂梁长乐一中高三董永建75陈彦彬福建师大附中高三周成76张伟奇长乐一中高三董永建77肖尧福州一中高一陈颖78洪海杰福清一中高三陈鑫79郑林炎长乐一中高三董永建80卢皓川福州一中高一陈颖81曾本鹏长乐一中高一董永建82严尊福清一中高二陈鑫83陈炜岳福建师大附中高一黄丽华84唐凌汇福州三中高二12黄志刚85黄拓锦福州三中高一8黄志刚86陈文韬长乐一中高一董永建87谢雨松福州三中高二10黄志刚88林升长乐一中高一董永建89王正钧福州三中高二12宋立林90林宋皓福州一中高一陈颖91陈亨泓福州三中高二14黄志刚92叶哲福清一中高二陈鑫93王成福州八中高三陈光94潘东禹长乐一中高二董永建95叶宇欣福州一中高二陈颖96凌煜林福州二中高二颜永辉97汪肖荣福州八中高三陈光98林元福州三中高二14黄志刚99刘畅福州三中高二5黄志刚100董智瑀福州三中高二12黄志刚101林葳洁福州一中高一陈颖102林培辉长乐一中高三董永建103董煦福州八中高二陈光104林汉钊福州一中高一陈颖105陈 英长乐一中高一董永建106许晨星长乐一中高一董永建107黄晟昊长乐一中高一董永建108徐浩成福州三中高一12宋立林109石翔熹福州三中高一12宋立林110包迪福州三中高一12黄志刚111李敏长乐一中高三董永建112刘心楠长乐一中高一董永建113林晓明福州八中高二陈光114郑师宜长乐一中高一董永建115王克勤福清一中高二陈鑫116林鑫长乐一中高一董永建117刘权长乐一中高一董永建118郑志锋长乐一中高一董永建119叶韫盛福建师大附中高一黄丽华120雷兆和福州一中高一陈颖121潘嵩长乐一中高一董永建122艾宇杰福建师大附中高一黄丽华123刘建新格致中学高一江信龙124陈为福州三中高一12黄志刚125蔡乐文长乐一中高一董永建126叶嘉楠福州三中高一5黄志刚127林炳辉长乐一中高一董永建128刘锦翔福州八中高一林荣辉129欧燕铭长乐一中高一董永建130张端鸿长乐一中高一董永建131朱赫福州三中高一11宋立林132林锦长乐一中高一董永建133蔡子熙长乐一中高二董永建134吴茂恺福清一中高一施一心135欧照诚闽侯一中高二戴瑱136林享福州三中高二黄志刚137陈明星长乐一中高一董永建138郑文俊福州一中高一陈颖139林逸豪福州八中高一林荣辉140林泽宇长乐一中高一董永建141郑泽凡福州八中高一林荣辉142林之萱福州三中高一12黄志刚143官明正长乐一中高一董永建144郭晓东福州八中高一林荣辉145许明福州一中高一陈颖146陈郑焜福州一中高一陈颖147沈予昊福建师大附中高三周成148汤劲戈福州八中高一林荣辉149唐龙翰福州一中高一陈颖150潘永春福州阳光国际学校高二王莹151刘忠迪福清一中高二陈鑫152郑昊凡 铜盘中学高二曹世火153林霆福州八中高一林荣辉154游榕晖福州一中高三陈颖155李锦泽福州三中高一7宋立林156吴旋福州一中高三陈颖157林锦长乐一中高一董永建158兰少宏福建师大附中高一黄丽华159蔡兴炜福州阳光国际学校高二叶进坚160金胜莺长乐一中高一董永建161李鑫福州三中高一12黄志刚162吴靖长乐一中高一董永建。
2010年数学竞赛获奖名单
邓贤模 张皓 王晨伟 王玲 黄昊皓 邹寒乔 何婷逸 黄喆威
李淮旭 曾雨 椰林
杨曦 代珊
林伊陶 赵晴
徐铖敏 黄戈 黄思源 杨榆 罗清扬
曾子航 蔡林 阳清
余悦琪
门璐 熊慧
陈柯宇 刘彦均 钟旺
桂瑞良
龚宇 王凯加 王思贤
李欧艺阳周秋 张砚嘉芮
廖留尘 刘婧媛
绿盛学 校：
彭
璐
自贡六中： 伍金顺
余川
赖琬婷 陈 艳自 贡34中：回 龙中学：
郝祎婷 荣县中学
梁 茂 板桥中学
胡采曦 解放路中学
王银季 蜀光中学
赵梓涵 荣县中学
张藩藉 荣县中学
兰 彧 荣县中学
唐利彬 荣县中学
唐媛艺 荣县中学
万奇挧 王大山中学
夏 青 荣县中学
谢津宝 富南学校
涂珊珊 自贡19中
指导教师 李斌 田华 李劲松 刘瑞洪 李斌 王小惠 李劲松 李劲松 李劲松 李劲松 李劲松 万永利 曹晴 范荣华 刘方利
李瑞杰 吴雨潼 刘朔源
张洛源
刘亚萍 陈隽豪
富顺二中： 富顺三中： 骑龙镇中心： 东湖镇中： 互助乡中： 板桥中心校： 童寺中心校： 永年中心校： 东湖观音寺： 富顺城关： 赵化中学：
荣县： 荣县中学： 旭东中学： 富南中学： 长山镇中学： 双古中学：
李志强 陈孟旸 胡丹 杨兴广 何俊 丁启航 吴茂 钟泽彬 曾建 陈银杰 李胜 刘道林 22人 刘如鑫 代玉霞 吴艾株 但利波 王皓宇
朱侯睿 蔡林玉 官子欣 范婷婷 张慧 黄志东
市一等
板桥中心校： 李宇洪
赵颖 丁威戈 黄昌彬
赵曙熙 王 阳 粟 邱 刘诒嘉 蔡定芸 刘才国 金正垚 吴 恒
双古中学： 朱 强 过水中学： 刘 琴 高山中学： 杨 通 留佳中学： 袁德能
2012年全国高中数学联赛福建赛区
三明二中
林保平
张德洁
尤溪一中
陈祥湾
李响
厦门一中
徐小平
庄镕胜
厦门双十中学
赵祥枝
卓杰鹏
泉州七中
杜成北
蔡宇超
漳州一中
林良斌
戴志聪
泉州七中
赖呈杰
二
等
奖
（51名）
陈垚鑫
泉州五中
黄寒凝
林青恺
福安一中
林旭
杨以恒
泉州五中
黄寒凝
曾武贤
漳州立人学校
林智生
苏杭
厦门双十中学
许波
叶茂胜
晋江养正中学
周彩瑛
林志常
泉州七中
林志敏
刘锦鹏
三明二中
林保平
范兴鹏
永定一中
李辉
林真
厦门外国语学校
吴铭辉
林杰
安溪一中
陈荣海
林继航
福州一中
夏彦婴
洪伟峻
福州一中
宋梅玉
郭靖邦
福建师大附中
连信榕
高志杰
安溪一中
叶良清
许昭贤
安溪一中
苏文新
蔡健
福州一中
郭艺斌
林雨
福州一中
丘远青
陈泽群
南安一中
梁淮森
林若轩
厦门外国语学校
周志伟
黄安祥
厦门双十中学
郭俊芳
洪景渠
厦门双十中学
莆田一中
吴天然
刘雨晨
龙岩一中
方秦金
岳宇
福州一中
王欣
刘定峰
厦门一中
张帆
罗融
厦门双十中学
赵祥枝
吴茂恺
福清一中陈贻康王源自滨永春一中李金进谢宇航
2012年全国高中数学联赛福建赛区
郑文俊
福州一中
宋梅玉
傅坤隆
泉州七中
赖艳红
蔡崇泽
晋江养正中学
周彩瑛
陈炳森
漳州一中
冯真丽
丁嘉靖
泉州五中
李晖
黄垚开
永定一中
李辉
包迪
福州三中
耿熹
连庭
泉州五中
苏建民
郑思鹏
福州一中
宋梅玉
陈轶伦
厦门一中
李寅童
留永信
晋江季延中学
陈煌图
黄泽龙
厦门一中
张帆
洪世鑫
南安一中
梁淮森
江旭
厦门外国语学校
周志伟
陈晓灿
永春一中
莆田一中
吴天然
刘雨晨
龙岩一中
方秦金
岳宇
福州一中
王欣
刘定峰
厦门一中
张帆
罗融
厦门双十中学
赵祥枝
吴茂恺
福清一中
陈贻康
王海滨
永春一中
李金进
谢宇航
南安一中
梁淮森
潘兴禄
福鼎一中
曹齐平
许良坤
厦门双十中学
赵祥枝
林迪熙
厦门外国语学校
周志伟
钱成德
漳州一中
林良斌
许泽君
福州一中
林玲
颜仁学
南安一中
梁淮森
钟玺峰
泉州实验中学
刘晓波
陈靖国
安溪一中
叶良清
张其斌
长汀一中
魏木水
谢雨彤
宁德一中
金新雄
汪慧铭
泉州七中
纪建灵
石壮壮
厦门双十中学
张瑞炳
白蔚楠
安溪一中
2010全国数学竞赛福建赛区获奖名单
潘文雅
泉州实验中学
石浩冰
郑炜豪
泉州实验中学
李友欣
黄浩桓
连城二中
吴科
郑茜文
福州屏东中学
朱爱斌
三等奖（114名）
姓名
学校
指导教师
姓名
学校
指导教师
陈云翔
福州华伦中学
胡春来
柯振宁
福州华伦中学
胡春来
陈永枭
福州十八中
韩振卿
陈炜捷
福州十九中
杜石水
于召新
罗源三中
黄菁
杨灿
闽清城关中学
黄学声
陈娉婷
平潭城关中学
林雯娴
厦门外国语学校
赖健祥
林妍
厦门一中
黎强
曾华隆
厦门一中
黎强
郑一村
福安扆山中学
陈益忠
朱司煌
蕉城附中
余敏
郑娴琦
霞浦六中
陈秀玲
张明泽
仙游金石中学
张建连
王清
秀屿山亭中学
柯志扬
蔡昆廷
安溪凤城中学
叶浩
许世壕
惠安广海中学
黄应杰
庄泽文
惠安广海中学
何志坚
曾杰煌
平和正兴中学
游斗忠
吴健
永定二中
卢银英
高思坦
福清融城中学
洪晶
南靖实验中学
李国来
肖智超
南靖实验中学
李国来
游淑惠
南靖实验中学
柯香玲
郑唯辰
南靖实验中学
柯香玲
李姝晛
漳州三中
林艺彬
吴麟辉
顺昌郑坊中学
曹芳顺
薛斯斯
福州二十四中
陈永清
历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)
1988年全国高中数学联赛试题第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( )A ．y=－φ(x )B ．y=－φ(－x )C ．y=－φ－1(x )D ．y=－φ－1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1<k <1 D ．0<|k |<1 3．平面上有三个点集M ，N ，P ：M={(x ，y )| |x |+|y |<1}，N={(x ，y )|(x －12)2+(y +12)2+(x +12)2+(y －12)2<22}， P={(x ，y )| |x +y |<1，|x |<1，|y |<1}．则A ．M ⊂≠P ⊂≠NB ．M ⊂≠N ⊂≠PC ．P ⊂≠N ⊂≠MD ．A 、B 、C 都不成立 4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a ，β∩γ=b ，γ∩α=c ．若有 命题甲：θ>π3；命题乙：a 、b 、c 相交于一点． 则A ．甲是乙的充分条件但不必要B ．甲是乙的必要条件但不充分C ．甲是乙的充分必要条件D ．A 、B 、C 都不对5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过1个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ； ⑵ N ≠Ø． ⑶ M ≠Ø． ⑷ P ≠Ø中，正确的表达式的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b 2，b 3，y ，b 4均为等差数列，那么b 4－b 3a 2－a 1= ．2．(x +2)2n +1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 ．3．在△ABC 中，已知∠A=α，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，则DEBC= ．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积． 四．(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1－Z 0|=|Z 1|，Z 0为定点，Z 0≠0，另一个动点Z 满足Z 1Z=－1，求点Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．五．(15分)已知a 、b 为正实数，且1a +1b =1，试证：对每一个n ∈N *，(a +b )n －a n －b n ≥22n －2n +1．1988年全国高中数学联赛二试题一．已知数列{a n }，其中a 1=1，a 2=2，a n +2=⎩⎨⎧5a n +1－3a n (a n ·a n +1为偶数)，a n +1－a n (a n ·a n +1为奇数)．试证：对一切n ∈N*，a n ≠0．二．如图，在△ABC 中，P 、Q 、R 将其周长三等分，且P 、Q 在AB 边上，求证：S ∆PQR S ∆ABC >29．三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l 1，l 2，……，l n ，…的直线族，它满足条件： ⑴ 点(1，1)∈l n ，(n=1，2，3，……)； ⑵ k n +1=a n －b n ，其中k n +1是l n +1的斜率，a n 和b n 分别是l n 在x 轴和y 轴上的截距，(n=1，2，3，……)； ⑶ k n k n +1≥0，(n=1，2，3，……)． 并证明你的结论．N ACBPQ R H1988年全国高中数学联赛解答一试题一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( )A ．y=－φ(x )B ．y=－φ(－x )C ．y=－φ－1(x )D ．y=－φ－1(－x )解：第二个函数是y=φ－1(x )．第三个函数是－x=φ－1(－y )，即y=－φ(－x )．选B ．2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1<k <1 D ．0<|k |<1 解：因是椭圆，故k ≠0，以(0，0)代入方程，得k 2－1<0，选D ． 3．平面上有三个点集M ，N ，P ：M={(x ，y )| |x |+|y |<1}，N={(x ，y )|(x －12)2+(y +12)2+(x +12)2+(y －12)2<22}， P={(x ，y )| |x +y |<1，|x |<1，|y |<1}．则A ．M ⊂≠P ⊂≠NB ．M ⊂≠N ⊂≠PC ．P ⊂≠N ⊂≠MD ．A 、B 、C 都不成立解：M 表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；N 表示焦点为(12，－12)，(－12，12)，长轴为22的椭圆内部的点的集合，P 表示由x +y=±1，x=±1，y=±1围成的六边形内部的点的集合．故选A ．4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a ，β∩γ=b ，γ∩α=c ．若有命题甲：θ>π3；命题乙：a 、b 、c 相交于一点． 则A ．甲是乙的充分条件但不必要B ．甲是乙的必要条件但不充分C ．甲是乙的充分必要条件D ．A 、B 、C 都不对解：a ，b ，c 或平行，或交于一点．但当a ∥b ∥c 时，θ=π3．当它们交于一点时，π3<θ<π．选C ．5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过1个整点的集合，N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ； ⑵ N ≠Ø． ⑶ M ≠Ø． ⑷ P ≠Ø中，正确的表达式的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 解：均正确，选D ．二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，b 2，b 3，y ，b 4均为等差数列，那么b 4－b 3a 2－a 1= ．解：a 2－a 1=14(y －x )，b 4－b 3=23(y －x )，⇒b 4－b 3a 2－a 1=83．2．(x +2)2n +1的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 ． 解：(x +2)2n +1－(x －2)2n +1=2(C 12n +12x n +C 32n +123x n －1+C 52n +125x n －2+…+C 2n +12n +122n +1)． 令x=1，得所求系数和=12(32n +1+1)．3．在△ABC 中，已知∠A=α，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，则DEBC = ．解：△AED ∽△ABC ，DE BC =ADAC=|cos α|．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．解 画1行14个格子，每个格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应的格子中写上他的顺序号(两方的人各用一种颜色写以示区别)．如果某一方7人都已失败则在后面的格子中依次填入另一方未出场的队员的顺序号．于是每一种比赛结果都对应一种填表方法，每一种填表方法对应一种比赛结果．这是一一对应关系．故所求方法数等于在14个格子中任选7个写入某一方的号码的方法数．∴共有C 714种比赛方式．三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．解：过轴所在对角线BD 中点O 作MN ⊥BD 交边AD 、BC 于M 、N ，作AE ⊥BD 于E ，则△ABD 旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE=23=63．其体积V=π3(63)2·3=239π．同样， △BCD 旋转所得旋转体的体积=239π．其重叠部分也是两个圆锥，由△DOM ∽△DAB ，DO=32，OM=DO ·AB DA =64． ∴其体积=2·13π·(64)2·32=38π．∴ 所求体积=2·239π－38π=23723π．四．(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1－Z 0|=|Z 1|，Z 0为定点，Z 0≠0，另一个动点Z 满足Z 1Z=－1，求点Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．解：Z 1=－1Z ，故得|－1Z －Z 0|=|1Z |，即|ZZ 0+1|=1．|Z +1Z 0|=|1Z 0|．即以－1Z 0为圆心|1Z 0|为半径的圆．五．(15分)已知a 、b 为正实数，且1a +1b =1．试证：对每一个n ∈N *，(a +b )n －a n －b n ≥22n －2n +1．证明：由已知得a +b=ab ．又a +b ≥2ab ，∴ ab ≥2ab ，故a +b=ab ≥4．于是(a +b )k =(ab )k ≥22k ． 又 a k +b k ≥2a k b k =2(a +b )k ≥2k +1．下面用数学归纳法证明： 1° 当n=1时，左=右=0．左≥右成立． 2° 设当n=k (k ≥1，k ∈N )时结论成立，即(a +b )k －a k －b k ≥22k －2k +1成立．则(a +b )k +1－a k +1－b k +1=(a +b )(a +b )k －(a k +b k )(a +b )+ab (a k －1+b k －1)=(a +b )[(a +b )k －a k －b k ]+ ab (a k －1+b k －1)≥4∙(22k －2k +1)+4∙2k =22(k +1)－4∙2k +1+4∙2k =22(k +1)－2(k +1)+1．即命题对于n=k +1也成立．故对于一切n ∈N *，命题成立．二试题一．已知数列{a n }，其中a 1=1，a 2=2，O N MEBCD Aa n +2=⎩⎨⎧5a n +1－3a n (a n ·a n +1为偶数)，a n +1－a n (a n ·a n +1为奇数)．试证：对一切n ∈N *，a n ≠0．（1988年全国高中竞赛试题）分析：改证a n ≢0(mod 4)或a n ≢0(mod 3)．证明：由a 1=1，a 2=2，得a 3=7，a 4=29，…… ∴ a 1≡1，a 2≡2，a 3≡3(mod 4)．设a 3k －2≡1，a 3k －1≡2，a 3k ≡3(mod 4)．则 a 3k +1≡5×3－3×2=9≡1(mod 4)；a 3k +2≡1－3=－2≡2(mod 4)；a 3k +3≡5×2－3×1=7≡3(mod 4)． 根据归纳原理知，对于一切n ∈N ，a 3n －2≡1，a 3n －1≡2，a 3n ≡3(mod 4)恒成立，故a n ≢0(mod 4)成立，从而a n ≠0．又证：a 1≡1，a 2≡2(mod 3)．设a 2k －1≡1，a 2k ≡2(mod 3)成立，则当a 2k －1∙a 2k 为偶数时a 2k +1≡5×2－3×1≡1(mod 3)，当a 2k －1∙a 2k 为奇数时a 2k +1≡2－1≡1(mod 3)，总之a 2k +1≡1(mod 3)．当a 2k ∙a 2k +1为偶数时a 2k +2≡5×1－3×2≡2(mod 3)，当a 2k ∙a 2k +1为奇数时a 2k +2≡1－2≡2(mod 3)，总之，a 2k +2≡2(mod 3)．于是a n ≢0(mod 3)．故a n ≠0．二．如图，在△ABC 中，P 、Q 、R 将其周长三等分，且P 、Q 在AB 边上，求证：S ∆PQR S ∆ABC >29．证明：作△ABC 及△PQR 的高CN 、RH ．设△ABC 的周长为1．则PQ=13．则S ∆PQR S ∆ABC =PQ ·RH AB ·CN =PQ AB ·AR AC ，但AB <12，于是PQ AB >23，AP ≤AB －PQ <12－13=16，∴ AR=13－AP >16，AC <12，故AR AC >13，从而S ∆PQR S ∆ABC >29．三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l 1，l 2，……，l n ，…的直线族，它满足条件：⑴ 点(1，1)∈l n ，(n=1，2，3，……)； ⑵ k n +1=a n －b n ，其中k n +1是l n +1的斜率，a n 和b n 分别是l n 在x 轴和y 轴上的截距，(n=1，2，3，……)； ⑶ k n k n +1≥0，(n=1，2，3，……)． 并证明你的结论．证明：设a n =b n ≠0，即k n －1=－1，或a n =b n =0，即k n =1，就有k n +1=0，此时a n +1不存在，故k n ≠±1． 现设k n ≠0，1，则y=k n (x －1)+1，得b n =1－k n ，a n =1－1k n ，∴ k n +1=k n －1k n ．此时k n k n +1=k n 2－1．∴ k n >1或k n <－1．从而k 1>1或k 1<－1．⑴ 当k 1>1时，由于0<1k 1<1，故k 1>k 2=k 1－1k 1>0，若k 2>1，则又有k 1>k 2>k 3>0，依此类推，知当k m >1时，有k 1>k 2>k 3>∙…>k m >k m +1>0，且0<1k 1<1k 2<…<1k m<1，k m +1=k m －1k m <k m －1k 1=k m －1－1k m －1－1k 1<k m －1－2k 1<…<k 1－mk 1．由于k 1－m k 1随m 的增大而线性减小，故必存在一个m 值，m=m 0，使k 1－m 0k 1≤1，从而必存在一个m 值m=m 1≤m 0，使k m 1－1≥1，而1>k m 1=k m 1－1－1k m 1－1>0，此时k m 1·k m 1+1<0．即此时不存在这样的直线族．⑵ 当k 1<－1时，同样有－1<1k 1<0，得k 1<k 2=k 1－1k 1<0．若k 2<－1，又有k 1<k 2<k 3<0，依此类推，知当N ACBPQ R Hk m <－1时，有k 1<k 2<k 3<∙…<k m <k m +1<0，且0>1k 1>1k 2>…>1k m>－1，k m +1=k m －1k m >k m －1k 1=k m －1－1k m －1－1k 1>k m －1－2k 1>…>k 1－mk 1．由于k 1－m k m 随m 的增大而线性增大，故必存在一个m 值，m=m 0，使k 1－m 0k 1≥－1，从而必存在一个m值，m=m 1(m 1≤m 0)，使k m 1－1≤－1，而－1<k m 1=k m 1－1k m 1－1<0，此时k m 1·k m 1+1<0． 即此时不存在这样的直线族．综上可知这样的直线族不存在．厦门市参加2010年福建省高中数学竞赛 暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知贵校教务处转数学教研组：根据闽科协发【2010】39号文件《关于举办2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》，以及省数学会《关于2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》，根据我市情况，有关竞赛工作通知如下：一、赛制、竞赛时间和命题范围竞赛分预赛和复赛两个阶段。
2010年全国高中数学联赛试题及详解答案(含一试和加试)
2010年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分，共64分，）1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 .2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα .5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin .8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）9. （16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.11.（20分）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得+++=32152a a a r r r .2一 试 解 答1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a . （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.3 提示 ：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1）2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d . 从而有βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα.2010年全国高中数学联赛(第3页)5. 41-提示：令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的. 当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.7.4提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B . 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x P B n x A B 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以c o s m n m n α⋅=⋅，即2cos cos αα=⇒=4所以 410sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.9. 解法一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得OEPC 1B 1A 1CBA2010年全国高中数学联赛(第5页))21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤，所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ， 即21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=. 线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.由（1）知直线AB 的方程为)2(30-=-x y y y ，即62)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222002=-+-y y y y . （3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==.2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=. 当且仅当20202249y y -=+，即0y =,66((33A B或A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为7314.2010年全国高中数学联赛(第7页)解法二：同解法一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t6572+-=t,A B 或66((33A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值是7314. 11.令252)(3-+=x x x f ，则056)(2>+='x x f ，所以)(x f 是严格递增的.又043)21(,02)0(>=<-=f f ，故)(x f 有唯一实数根1(0,)2r ∈.所以 32520r r +-=，3152rr -=4710r r r r =++++.故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<n b b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ， 去掉上面等式两边相同的项，有+++=+++321321t t t s s s r r r r r r ，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的.不妨设11t s <，则8M ++=++<21211t t s s s r r r r r ，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.加 试1. （40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC （不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．2. （40分）设k是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．3. （50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a 满足1,1,2,,k a k n ≤=，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==．求证：1112n nk k k k n a A ==--<∑∑． 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？2010年全国高中数学联赛(第9页)FE QPONMK DCBA加 试 解 答1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ． 因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）()()2222PO r KO r =-+-，同理()()22222QK QO r KO r =-+-，所以 2222PO PK QO QK -=-， 故OK ⊥PQ ． 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MC BD CD =， 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得2PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法． 当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时M10()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数． 假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++．于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++.显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明．3. 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0kniii i k ak an k ==+<≤<≤-∑∑．注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ 11111max ,nk i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑ 111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1k n =-，2010年全国高中数学联赛(第11页) 故 111n n n k k n k k k k a A nA A ===-=-∑∑∑()1111n n n k n k k k A A A A --===-≤-∑∑111n k k n -=⎛⎫<- ⎪⎝⎭∑12n -=． 4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2i n C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22j n i C -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2i n C 22j n i C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑． ① 这里我们约定001C =．当n 为奇数时，20n i ->，此时22221202n i j n i n i j C -⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑． ② 代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ 0022(1)(21)(21)n nkn k k n k k n n nn k k C C --===+-=++-∑∑31n =+． 当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2n i =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫ ⎪⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭∑()2221024233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑． 综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n+种；当n 为偶数时有33n +种．。
2012年全国高中数学联赛福建赛区
厦门双十中学
张瑞炳
林泽宇
长乐一中
刘宇璋
郑炜豪
泉州实验中学
刘晓波
王雨亭
厦门双十中学
张瑞炳
陈 龙
漳平一中
叶培杰
三
等
奖
（67名）
林炳辉
长乐一中
刘宇璋
郭颖超
仙游一中
刘金星
陈兵
莆田一中
吴天然
吴婧旸
漳州实验中学
郭欢
陈扬锐
尤溪一中
陈师民
陈晓越
莆田一中
吴天然
林毓斌
仙游一中
黄开云
谢新锋
南安一中
梁淮森
罗飞扬
安溪一中
许波
叶豪
大田一中
郑锐
严炜
泉州五中
黄寒凝
二
等
奖
（51名）
陈天乐
福建师大附中
林峰
康泽淇
厦门双十中学
赵祥枝
苏室勋
同安一中
谢继林
杨铮
厦门双十中学
赵祥枝
张禛
厦门一中
周翔
林超超
泉州五中
许华军
郑文超
南安一中
陈聪贤
二
等
奖
（51名）
林鹏凯
厦门双十中学
赵祥枝
林子楹
厦门一中
徐小平
钟少涵
龙岩一中
方秦金
蔡熠
莆田一中
吴天然
郑俊萍
厦门双十中学
赵祥枝
三
等
奖
（67名）
温拓扑
福州一中
卓道章
林譞
福州一中
郑超翔
杨亦萍
福州一中
郭艺斌
杜启明
2010年全国高中数学联赛试题及解答
10. （20 分）已知抛物线 y 2 6 x 上的两个动点 A x1 , y1 和B x2 , y2 ，其中 x1 x2 且 x1 x2 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ，求 ABC 面积的最大值. x x y y2 解法一：设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ，则 x0 1 2 2, y0 1 ， 2 2
答案：
A1 C1 B1
设正三棱柱的棱长为 2， 则 B 1,0,0 , B1 1,0, 2 , A1 1,0, 2 , P 0, 3,1 ． 从而，
BA1 2,0, 2 , BP 1, 3,1 , B1 A1 2,0,0 , B1 P 1, 3, 1 ．
当 t 0, 1 时（1）总成立；
1 3 对 0 t 1,0 t 2 t 2 ；对 1 t 0, t 2 t 0 .从而可知 a 12 . 4 2
3. 双曲线 x2 y 2 1 的右半支与直线 x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的 点）的个数是 答案：9800． 解：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k k 1, 2,
从而
3a 3a 8 b c 1 0 , z 2 2 ，由 0 z 2 1 知 a . 4 4 3 解法二： f x 3ax2 2bx c . 设 g x f x 1 ，则当 0 x 1 时， 0 g x 2 .
k AB y2 y1 y y1 6 3 . 22 y12 y2 y1 y0 x2 x1 y2 6 6
线段 AB 的垂直平分线的方程是
2012年全国高中数学联赛福建赛区
林楠
莆田一中
吴天然
蔡宇涵
福州一中
陈德燕
涂霁原
福建师大附中
黄振胜
张毅
厦门外国语学校
周志伟
郑婉怡
长乐一中
刘宇璋
林坚
福建师大附中
连信榕
吴艺杰
厦门一中
徐小平
郑延敏
厦门一中
周翔
刘淇禄
厦门双十中学
许波
付祖悦
福州一中
李迅
林梓楠
厦门一中
徐小平
一
一
等
奖
（41名）
陈集懿
仙游一中
刘金星
张泽华
福州一中
林玲
莆田一中
吴天然
刘雨晨
龙岩一中
方秦金
岳宇
福州一中
王欣
刘定峰
厦门一中
张帆
罗融
厦门双十中学
赵祥枝
吴茂恺
福清一中
陈贻康
王海滨
永春一中
李金进
谢宇航
南安一中
梁淮森
潘兴禄
福鼎一中
曹齐平
许良坤
厦门双十中学
赵祥枝
林迪熙
厦门外国语学校
周志伟
钱成德
漳州一中
林良斌
许泽君
福州一中
林玲
颜仁学
南安一中
梁淮森
钟玺峰
泉州实验中学
刘晓波
王冬生
李毅
福州一中
陈德燕
许恭瀚
泉州五中
赵清木
三
等
奖
（67名）
三
等
奖
（67名）
陈楷民
厦门双十中学
2012年全国高中数学联赛福建赛区
三明二中
林保平
张德洁
尤溪一中
陈祥湾
李响
厦门一中
徐小平
庄镕胜
厦门双十中学
赵祥枝
卓杰鹏
泉州七中
杜成北
蔡宇超
漳州一中
林良斌
戴志聪
泉州七中
赖呈杰
二
等
奖
（51名）
陈垚鑫
泉州五中
黄寒凝
林青恺
福安一中
林旭
杨以恒
泉州五中
黄寒凝
曾武贤
漳州立人学校
林智生
苏杭
厦门双十中学
许波
叶茂胜
晋江养正中学
周彩瑛
林志常
泉州七中
林志敏
陈靖国
安溪一中
叶良清
张其斌
长汀一中
魏木水
谢雨彤
宁德一中
金新雄
汪慧铭
泉州七中
纪建灵
石壮壮
厦门双十中学
张瑞炳
白蔚楠
安溪一中
苏文新
卢长胜
连城一中
黄椿
施宇
福清一中
余小萍
陈思杰
厦门一中
徐小平
黄哲雄
泉州一中
陈志文
吴超
厦门双十中学
许波
三
等
奖
（67名）
李甲辰
安溪一中
苏文新
黄志喜
福鼎一中
丁合剑
戴飞栋
厦门双十中学
张瑞炳
郑予凡
福州三中
林风
林楠
莆田一中
吴天然
蔡宇涵
福州一中
陈德燕
涂霁原
福建师大附中
黄振胜
张毅
厦门外国语学校
周志伟
郑婉怡
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2010年全国高中数学联赛福建赛区
获奖学生及指导教师名单
奖次学生姓名所在学校指导教师
一
等
奖（57名）范睿托厦门外国语学校吴铭辉高复铖福州一中危志刚黄山筱福州一中危志刚吴 旋福州一中苏 健谢晓晖厦门双十中学黄 雄黄旻捷厦门双十中学郭俊芳蔡宇涵福州一中陈德燕邹豪风福州一中丘远青肖宇光泉州一中汤向明潘振忠泉州一中郭铭纪许东磊同安一中谢继林张杰锋泉州七中陈建斌林培辉长乐一中刘宇璋巫立凡厦门双十中学张瑞炳董晴谊泉州一中汤向明黄怀毅泉州五中王辉耀吴 豪南靖一中李剑评卓凌烽福州一中陈新栋林俊杰安溪一中吴志湖蒋奕凯福州一中夏彦婴鹿 鸣厦门双十中学张瑞炳严 堃安溪一中黄金南张伟奇长乐一中刘宇璋林德芳德化一中王琼琼
奖次学生姓名所在学校指导教师徐伟生德化一中徐建新
孙 铭厦门外国语学校肖 骁
一
等
奖（57名）许有疆德化一中陈丽真杨 震莆田一中肖志强郑刘悦福州三中郑文祺陈恩俊莆田一中肖志强黄永招德化一中徐建新许若男厦门双十中学张瑞炳庄旭航泉州五中黄种生杨 洋福建师大附中林 峰何承玮福州三中张 军王经纬福安一中池水平陈若明厦门外国语学校吴铭辉林梦翔福州一中陈新栋林宇哲福州一中龚梅勇陈从翔连江一中陈志坚王文彬云霄立人学校林耀东谢 钧厦门双十中学张瑞炳张华林龙岩二中郭小峰陈水挺同安一中谢继林董张帆福州一中夏彦婴曾 林仙游一中陈凤龙陈彦哲厦门双十中学黄 雄林晨超福州一中苏 健林 煌福州一中危志刚曾祥桓平和正兴学校叶连雄周培聪厦门双十中学张瑞炳蔡期塬泉州五中庄晓玲
奖次学生姓名所在学校指导教师
一等奖蓝 捷上杭一中林文柱刘鸿辉厦门双十中学黄 雄黄国快晋江养正中学许贻旺陈振雄晋江季延中学陈 浩
（57名）王 陶厦门双十中学张瑞炳
二
等
奖（45名）金 迪厦门双十中学黄 雄吴志煌晋江季延中学林笃锦张荣燊泉州五中黄种生曾大通惠安一中陈荣桂张志荣平和正兴学校叶连雄陈少峰晋江季延中学林笃锦胡丽婷福州一中吴 威张煜乾邵武一中高启长林一吾福州一中苏 健吴姗姗泉州五中王辉耀朱有基福鼎一中吴建文黄哲轩厦门双十中学黄 雄张昕玮厦门双十中学张瑞炳陈 隽永定一中包 喜柯佳鑫龙海一中洪小娇陈星炜长乐一中邱宇元许东南安溪一中吴志湖韩 超厦门双十中学张瑞炳洪少群晋江季延中学林笃锦郑启明南安一中廖国凤陈冠群莆田二中陈金亮廖世昌安溪一中黄金南刘必旭福州一中夏彦婴
奖次学生姓名所在学校指导教师张剑华德化一中陈修周
周 晔泉州五中黄种生
曾嘉浩厦门双十中学张瑞炳
郑喆斌莆田五中郑毓青
傅家庆南安一中卓永宁
林艺彬福州三中林 风
二
等
奖（45名）游志雄仙游私立一中李志明黄思荣龙海一中叶立平林 杰漳州一中李两火刘文章泉州七中林志敏肖跃坚安溪一中黄金南庄晨帆厦门双十中学张瑞炳庄佳威厦门外国语学校肖 骁胡致远厦门双十中学陈兆坚陈荔伟莆田二中林 伟陈 晓莆田一中林清利高扬乐平潭一中林玉生蒋家鑫泉州五中董少田赖 翔漳州一中林良斌李德欣上杭一中林文柱林晓明龙岩一中连亮曦郑细林莆田二中周伟强
三
等
奖（52名）陈达兴泉州五中董少田陈建彬莆田一中苏玉蓉方子原福州一中苏 健林 灯福州一中吴 威林建和漳州一中林良斌施志国福安一中池水平郑昕烨福州一中陈 婷
奖次学生姓名所在学校指导教师卓武仪南安一中林建源
陈 龙福安一中游明霞
黄文瀚福州三中杜重成
林金勇同安一中黄献磅
潘秋强三明一中李征宇
朱晓琳泉州五中王辉耀
黄境炀泉州现代中学陈永生
三
等
奖（52名）庄少林晋江养正中学许贻旺蔡锐阳福州一中陈 婷林 森福州一中吴 威林弘杰永春一中李金进林文峰漳州一中林良斌田成锦泉州七中王雄伟涂炼祥龙岩一中连亮曦王施敏福州一中夏彦婴谢崇发龙岩一中连亮曦许灵达晋江养正中学许贻旺颜荣圻厦门双十中学黄 雄黄熹之福州一中王 欣施嘉察晋江养正中学许贻旺曾炜赫漳州一中张兵源高凌斌顺昌一中黄敬平林宇凯福州一中陈 婷张亚能泉州七中陈建彬刘英喆厦门双十中学黄 雄黄 晨莆田一中肖志强刘睿赟武夷山一中江丽华阮梦瑶龙岩一中陈木孙施佳宏福州一中李志勇
奖次学生姓名所在学校指导教师
三等张振宇仙游一中林宝坚王 薇龙海一中洪小娇郑辉煌仙游一中林宝坚陈正玮莆田二中陈金亮黄楚荧福州一中吴 威黄雅冠惠安一中陈荣桂金光宇厦门外国语学校吴铭辉林毅坤莆田一中肖志强
奖杨 磊龙岩一中连亮曦陈正海永定一中包 喜丁晓娟顺昌一中何积仰邱佳霖同安一中谢继林王珍鑫晋江养正中学许贻旺吴 瑨厦门一中王淼生吴俊杰宁化一中赖国强卓 亮福州一中刘 鹏。