材料力学扭曲

| T |max = 9.55 kN·m
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§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆筒的扭转应力
薄壁圆筒： 壁厚 d d R0/10
R0：为圆筒平均半径。 薄壁圆筒的扭转实验： 薄壁圆筒表面作圆周线，纵向线，形成小矩形。
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两端加外力偶矩 M，使 薄壁圆筒产生扭转变形。
实验现象：
MA
9549
PA n
9549
500 300
B
C
n AD
15.92kN m
MB
MC
9549
PB n
9549 150 300
4.775kN m
MD
9549
PD n
9549 200 300
6.366kN m
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(2) 各段扭矩 BC段：截面1-1 S Mx=0 T1 + MB = 0 T1 = – MB= –4.775 kN·m CA段：截面2-2 S Mx=0 T2 + MB + MC = 0 T2 = – MB – MC = –9.55 kN·m AD段：截面3-3 S Mx=0 T3 – MD = 0 T3 = MD = 6.336 kN·m
第九章 扭 转
§9-1 引 言 §9-2 动力传递与扭矩 §9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律 §9-4 圆轴扭转横截面上的应力 §9-5 极惯性矩与抗扭截面系数 §9-6 圆轴扭转破坏与强度条件 §9-7 圆轴扭转变形与刚度条件 *§9-8 非圆截面轴扭转简介
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§9-1 引 言
一、 工程实例 汽车传动轴、转向盘轴； 机床传动轴； 攻螺纹丝锥； 行车传动轴； 船舶推进轴等。
S Mz=0 ( ' d dx)dy – ( d dy)dx = 0 ∴ ' =
切应力互等定理：物体内通过任意一点的两相互垂直截面上切 应力必成对存在，且数值相等，方向相反，
两者都垂直于两截面的交线，方向同时指向 或背离这一交线。
纯剪切应力状态：单元体无正应力，只受切应力作用。
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三、剪切胡克定律
(2) 纵向线仍为直线，但倾斜了g 角；
(3) 矩形abcd变成了平行四边形a'b'c'd'。
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假设：轴的圆形横截面扭转变形后仍为同样的圆形平面，其半 径仍为直线。
可知：
(1) 横截面上无正应力；
(2) 横截面上切应力方向与半径垂直。
取截面1、截面2之间的微段dx 分析：
横截面 2 相对截面 1 转过 df；
T 2R0d
T
2 R02 d
T
2A0 d
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A0：为平均半径处圆的面积。
二、纯剪切与切应力互等定理
取微小单元体 abcd ：
左、右侧面(横截面)： 合力： d dy 其力偶矩： ( d dy)dx
a
dy
'
c
'
b
d
上、下底面(纵向截面)：'
dx
合力： ' d dx
其力偶矩： ( ' d dx)dy
2(1+ )
道任意两个，就可以确定第三个。
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§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
一、扭转切应力的一般公式
1. 扭转试验研究——变形几何关系 目的： 确定横截面上各点应变
分布规律。 圆轴扭转试验：
薄壁圆筒表面作圆周线，纵向 线，形成小矩形。 实验现象：
(1) 圆周线绕轴线相对转动，但 形状、大小、间距不变；
切应力 相等，方向与半径垂直。
d
dA
∵ d << R0，切应力 沿壁厚均布。 ∴ 横截面上各点切应力 相等，方
向与半径垂直。
取微面积：dA= d ·R0d 微内力： dA= d ·R0d
对圆心微力矩：dT = dA·R0= d ·R02d
合力偶矩即为横截面上的扭矩： T A dT 02 dR02d
工程实际中常已知轴传递的功率、转速，需换算成作用在轴上 的外力偶矩：
M 9549 P (N m) n
式中：P — 功率，千瓦(kW) n — 转速，转/分(r/min) M — 外力偶矩，牛顿·米(N·m)
可知：P 一定时，n ， M
如：一万吨轮，P =7060 kW，n =119 r/min，则：
(1) 圆周线形状、大小、 间距不变，仅绕轴线 相对转动；
(2) 纵向线倾斜了 g 角；
(3) 矩形abcd变成了平行 四边形a'b'c'd'。
推知：
a
c
a'
c'
(1) 过半径的纵向截面上无正应力；b
d b'
d'
(2) 横截面上无正应力，只有切应力。
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截面法：取横截面 m-m 分析
∵ 圆周各点对称于圆心，沿圆周各点
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二、特点
A
B O
A
g
O
f
M
B M
受力：两端受一对大小相等、方向相反的外力偶作用，力偶作
用平面与杆轴线垂直；
变形：各横截面绕杆轴线发生相对转动。
扭转角f ：任意两横截面转过的角度。如：fAB
轴：工程中以扭转变形为主的构件。
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§9-2 动力传递与扭矩
一、轴传递的功率、转速与外力偶矩之间的关系
M
x
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2. 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线。
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例1 已知一传动轴， n = 300 r/min，主动轮输入 PA = 500 kW，
从动轮输出 PB =150 kW，PC= 150 kW，PD= 200 kW，试绘
制轴的扭矩图。
MB
MC
MA MD
解：(1) 计算外力偶矩
M 9549 P 9549 7060 566520(N m) 566.5(kN m)
n
119
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二、扭矩及扭矩图
M
m
1. 扭矩
截面法：
m
设横截面上的内力偶矩为T： M
m
S Mx=0 T – M = 0
称
T =M T 为扭矩
，为横截面上内力的合力偶矩。m
T
规定：按右手螺旋法则确定扭矩的符号：
切应变 g ：单元体直角的改变量。
单位：rad (弧度)
dy
由试验可得 - g 曲线。
a
g
'
'
b
可知： 当 ≤ p 时，有
c
d
= Gg
dx
称为剪切胡克定律。
p：材料的剪切比例极限；
G：材料的切变模量，单位：GPa
p
钢 ：G = 80 GPa
对各向同性材料，有
G E
O
g
在材料的三个弹性常数中，只要知
MB
MC
MA MD
1
2
3
1
2
B
C
MB
1
1 T1
B
MB
MC
3n AD
MD
3
T3 3 D
2
2 T2
B
C
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(3) 绘制扭矩图
MB
MC
MA MD
T1 = –4.775 kN·m
T2 = –9.55 kN·m
B
C
AD
T3 = 6.336 kN·m
T
6.336
C B-
4.775
9.55
+
A
Dx
CA 段为危险截面：