职高数学知识点的总结

职高数学概念与公式
初中基础知识：
1.相反数、绝对值、分数的运算；
2.因式分解：
提公因式：xy-3x=(y-3)x 十字相乘法 如：)
2)(13(2532
-+=--x x x x
配法 如：8
25
)41(23222-
+=-+x x x 公式法：（x+y ）2=x 2+2xy+y 2 (x-y)2=x 2-2xy+y 2 x 2-y 2=(x-y)(x+y)
3.一元一次程、一元二次程、二元一次程组的解法：（1）代入法（2）消元法
6.完全平和（差）公式： 222)(2b a b ab a +=++2
22)(2b a b ab a -=+-7.平差公式：)
)((22b a b a b a -+=-8.立和（差）公式：
))((2233b ab a b a b a +-+=+)
)((2233b ab a b a b a ++-=-第一章集合
1.构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。

2.集合的三种表示法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。

注：描述法；另重点类型如：∆ },|
取值范围
元素性质元素
｛⋯∈⋯=x x x ｝｛]3,1(,13|y 2-∈+-=x x x y 3.常用数集：（自然数集）、（整数集）、（有理数集）、（实数集）、（正整N Z Q R *N 数集）、（正整数集）
+Z 4.元素与集合、集合与集合之间的关系：（1）元素与集合是“”与“”的关系。

∈∉（2）集合与集合是“” “”“”“”的关系。

⊆=⊆/注：（1）空集是任集合的子集，任非空集合的真子集。

（做题时多考虑是否满足题意）
φ
（2）一个集合含有个元素，则它的子集有个，真子集有个，非空真子集有n n 212-n 22-n 个。

5.集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的法）（1）：与的公共元素（相同元素）组成的集合
}|{B x A x x B A ∈∈=且 A B （2）：与的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。

}|{B x A x x B A ∈∈=或 A B （3）：中元素去掉中元素剩下的元素组成的集合。

A C U U A 注： B C A C B A C U U U =)(B
C A C B A C U U U =)(6.逻辑联结词：
且（）、或（）非（）如果……那么……（）∧∨⌝⇒量词：存在（） 任意（）∃∀真值表：
：其中一个为假则为假，全部为真才为真；q p ∧：其中一个为真则为真，全部为假才为假；q p ∨：与的真假相反。

p ⌝p （同为真时“且”为真，同为假时“或”为假，真的“非”为假，假的“非”为真；真“推”假为假，假“推”真假均为真。

）7.命题的非（1）是不是
→都是不都是（至少有一个不是）
→（2）……，使得成立对于……，都有成立。

∃p →∀p ⌝对于……，都有成立……，使得成立∀p →∃p ⌝（3） q p q p ⌝∨⌝=∧⌝)(q
p q p ⌝∧⌝=∨⌝)(8.充分必要条件
是的……条件
是条件，是结论
∆p q p q
（充分条件）
p q ==⇒<=≠=充分不必要→的充分不必要条件是q p （必要条件）
p q =≠⇒<===不充分必要→的必要不充分条件是q p (充要条件)
p q ==⇒⇐==充分必要→的充分必要条件是q p p q =≠⇒⇐≠=不充分不必要
→件
的既不充分也不必要条是q p 第二章不等式
1.不等式的基本性质：
注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的法；另外还可以用平法、倒数法如：
（倒数法）等。

2008200920092010--与（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！
（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。

2.重要的不等式：（均值定理）
∆（1），当且仅当时，等号成立。

ab b a 222≥+b a =（2），当且仅当时，等号成立。

),(2+∈≥+R b a ab b a b a =（3），当且仅当时，等号成立。

),,(3+∈≥++R c b a abc c b a c b a ==注：
（算术平均数）（几平均数）2
b
a +≥a
b 3.一元一次不等式的解法4.一元二次不等式的解法（1）保证二次项系数为正
（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：（3）定解：（口诀）大于两根之外，大于大的，小于小的；
小于两根之间
注：若，用配的法确定不等式的解集。

00<∆=∆或
5.绝对值不等式的解法
若，则0>a ⎩⎨
⎧-<>⇔><<-⇔<a
x a x a x a
x a a x 或||||6.分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。

注：分母不能为0.
第三章函数
1.映射:
一般地，设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任一个元素，在B A 、f A 集合中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合到集合的映射，记作：
B A B 。

B A f →:注：理解原象与象及其应用。

（1）中每一个元素必有惟一的象；
A （2）对于中的不同的元素，在中可以有相同的象；A
B （3）允中元素没有原象。

B 2.函数:
（1）定义：函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。

（2）函数的表示法：列表法、图像法、解析式法。

注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的法可以使大部分题目变得更简单。

3.函数的三要素：定义域、值域、对应法则
（1）定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的的取值围∆x 主要依据：①分母不能为0②
偶次根式的被开式0
≥③特殊函数定义域
,0≠=x x y
R x a a a y x ∈≠>=),10(,且0
),10(,log >≠>=x a a x y a 且)
(,2
,tan Z k k x x y ∈+
≠=π
π（2）值域的求法：的取值围
∆y ①正比例函数： 和 一次函数：的值域为kx y =b kx y +=R
②二次函数：的值域求法：配法。

如果的取值围不是则还需画图像
c bx ax y ++=2x R ③反比例函数：的值域为x
y 1
=
}0|{≠y y ④的值域为d cx b ax y ++=}
|{c a
y y ≠⑤的值域求法：判别式法
c
bx ax n
mx y +++=2⑥另求值域的法：换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。

（3）解析式求法：
在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。

4.函数图像的变换（1）平移
)()
(a x f y a x f y -=→=个单位
向右平移
)
()
(a x f y a x f y +=→=个单位
向左平移
a x f y a x f y +=→=)()(个单位
向上平移
a
x f y a x f y -=→=)()
(个单位
向下平移
（2）翻折
)()
(x f y x x f y -=→=上、下对折
轴
沿|
)(|)
(x f y x x f y =→=下方翻折到上方
轴上方图像
保留)
||()
(x f y y x f y =→=右边翻折到左边
轴右边图像
保留5.函数的奇偶性:
（1）定义域关于原点对称（2）若奇
若偶
)()(x f x f -=-→)()(x f x f =-→
注：①若奇函数在处有意义，则0=x 0)0(=f ②常值函数（）为偶函数a x f =)(0≠a ③既是奇函数又是偶函数0)(=x f 6.函数的单调性:
∆对于且，若
],[21b a x x ∈∀、21x x <⎩⎨
⎧><上为减函数
在称上为增函数在称],[)(),()(],[)(),()(2121b a x f x f x f b a x f x f x f 增函数：值越大，函数值越大；值越小，函数值越小。

x x 减函数：值越大，函数值反而越小；值越小，函数值反而越大。

x x 复合函数的单调性：))
(()(x g f x h =与同增或同减时复合函数为增函数；与相异时（一增一减）复合函)(x f )(x g )(x h )(x f )(x g 数为减函数。

)(x h 注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的法判断。

7.二次函数:
（1）二次函数的三种解析式:
①一般式：（）
c bx ax x f ++=2)(0≠a ②顶点式： （），其中为顶点
∆h k x a x f +-=2)()(0≠a ),(h k ③两根式： （），其中是的两根))(()(21x x x x a x f --=0≠a 21x x 、0)(=x f （2）图像与性质:
二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：∆①开口 开口向上 开口向下
→>0a →<0a ②对称轴：∆a
b
x 2-
=③顶点坐标：∆44,2(2
a
b a
c a b --
④与轴的交点：∆x ⎪⎩⎪
⎨⎧→<∆→=∆→>∆无交点交点
有有两交点0100⑤一元二次程根与系数的关系：（韦达定理）
∆⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⋅-=+a c
x x a b x x 2121
⑥为偶函数的充要条件为c bx ax x f ++=2)(0=b ⑦二次函数（二次函数恒大（小）于0）
⇔>0)(x f ⎩⎨⎧⇔<∆>轴上方
图像位于x a 00
轴下方
图像位于x a x f ⇔⎩⎨⎧<∆<⇔<0
0)(⑧若二次函数对任意都有，则其对称轴是。

x )()(x t f x t f +=-t x =⑨若二次函数的两根0)(=x f 2
1x x 、ⅰ. 若两根一正一负，则21x x 、⎩⎨
⎧<≥∆00
21x x ⅱ. 若两根同正（同负）
21x x 、
⎪⎩⎪
⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x 若同正，则⎪⎩⎪
⎨⎧><+≥∆00
02
121x x x x 若同负，则ⅲ.若两根位于，则利用画图像的办法。

21x x 、),(b a
则若,0>a ⎪⎩⎪
⎨⎧>>≥∆0)(0)(0b f a f 则若,0<a ⎪⎩
⎪
⎨⎧<<≥∆0)(0
)(0b f a f 注：若二次函数的两根；位于，位于，同样利用画图像0)(=x f 21x x 、1x ),(b a 2x ),(d c 的办法。

8.反函数:
（1）函数有反函数的条件
)(x f y =
是一一对应的关系
y x 与（2）求的反函数的一般步骤：)(x f y =①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域②由原函数的解析式，求出⋯
=x ③将对换得到反函数的解析式，并注明其定义域。

y x ,（3）原函数与反函数之间的关系∆①原函数的定义域是反函数的值域原函数的值域是反函数的定义域②二者的图像关于直线对称
x y =③原函数过点，则反函数必过点),(b a ),(a b ④原函数与反函数的单调性一致
第四章指数函数与对数函数
1.指数幂的性质与运算:（1）根式的性质：
①为任意正整数，n n n a )(a
=②当为奇数时，；当为偶数时，n a a n n =n ||a a n n =③零的任正整数次根为零；负数没有偶次根。

（2） 零次幂： 10=a )0(≠a （3）负数指数幂： n n a
a 1
=-),0(*N n a ∈≠（4）分数指数幂： n m n
m a a
=)
1,,0(>∈>+n N n m a 且（5）实数指数幂的运算法则：),,0(R n m a ∈>①
② ③
n m n m a a a +=⋅mn n m a a =)(n n n b a b a ⋅=⋅)(2.幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的次。

n
3.幂函数∆⎩⎨⎧∞+=<∞+=>=）上单调递减，
在（时，当）上单调递增
，在（时，当0000a
a a
x y a x y a x y 4.指数与对数的互化
、 b N N a a b =⇔=log )10(≠>a a 且)0(>N ①对数基本性质：①
②
③
④1log =a a 01log =a N a N a =log N
a N a =log ⑤ ⑥
∆互为倒数与a b b a log log a
b a b b a b a log 1
log 1log log =
⇔=⋅⇔∆b m
n
b a n a m log log =
5.对数的基本运算： ∆N M N M a a a log log )(log +=⋅N M N
M
a a a
log log log -=6.换底公式： ∆a
N
N b b a log log log =
)10(≠>b b 且7.指数函数、对数函数的图像和性质
∆
指数函数
对数函数
定义
)1,0(的常数≠>=a a a y x
)1,0(log 的常数≠>=a a x y a 图
像
性
质
(1) 0,>∈y R x (2) 图像经过点
∆)1,0(（3）∆
为减函数
为增函数；x x a y a a y a =<<=>,10,1(1) 0,>∈y R x (2) 图像经过点∆)0,1(（3）∆
上为减函数
在上为增函数；在),0(log ,10),0(log ,1+∞=<<+∞=>x y a x y a a a
8.利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）∆或用换底公式或是利用中间值0，1来过渡。

9.指数程和对数程
（1）指数式和对数式互化（2）同底法（3）换元法（4）取对数法
注：解完程要记得验证根是否是增根，是否失根。

∆第五章数列
等差数列
等比数列
每一项与前一项之差为同一个常数
每一项与前一项之比为同一个常数
=-12a a d
a a a a n n =-=⋯=--123q a a a a a a n n ==⋯==-1
23
12)0(≠q 定
义注：当公差时，数列为常数列
0=d 注：等比数列各项及公比均不能为0；当公比为1时，数列为常数列
通项公式
d n a a n )1(1-+=1
1-=n n q a a 推
（1）m
n a a d m
n
--=（2）d
m n a a m n )(-+=（3）若，则
∆q p n m +=+（1）m
n m n a a q =
-（2）m
n m n q a a -=（3）若，则∆q p n m +=+q
p n m a a a a =
论q
p n m a a a a +=+中项公式三个数成等差数列，则有
c b a 、、2
2c a b c a b +=
⇔+=三个数成等比数列，则有
c b a 、、ac
b =2前n 项和公式d
n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=（）q
q
a a q q a S n n n --=
--=11)1(111≠q 如：n n a n S )12(12-=-4
77a S =其它
等差数列的连续项之和仍成等差∆n 数列
等比数列的连续项之和仍成等比数∆n 列
1.已知前项和的解析式，求通项：
n n S n a ⎩⎨⎧-=-11
n n n S S S a )
2
()1(≥=n n 第六章三角函数
1.弧度和角度的互换：弧度，弧度弧度，弧度
π=o 180180
1π
=
o 01745.0≈1'
1857)180
(o o ≈=π
2.扇形弧长公式和面积公式
， （记忆法：与类似）∆r ||⋅=α扇L ∆2||2
1
21r Lr S ⋅==
α扇ah S ABC 2
1
=
∆注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算。

3.任意三角函数的定义：
记忆法：S 、C 互为倒数
斜边对边=
αsin ααsin 1
csc =
−−→←倒数 记忆法：C 、S 互为倒数
斜边邻边=αcos ααcos 1
sec =
−−→←倒数邻边对边=
αtan α
αtan 1
cot =−−→←倒数4.特殊三角函数值:
α
0=0306
=π
0454
=π
0603
=π
0902
=π
一象限
α
sin 2021222324↑
αcos 24232
22
12
0↓
α
tan 0
3
31
3不存在↑
5.三角函数的符号判定:
（1）口诀：一全二正弦，三切四余弦。

（三角函数中为正的，其余的为负）（2）图像记忆法6. 三角函数基本公式:
∆ （可用于化简、证明等）α
αααcot 1
cos sin tan ==
（1.可用于已知求；或者反过来运用。

2.注意1的运
1cos sin 22=+αααsin αcos 用）
（可用于已知（或）求或者反过来运用）
αα22sec tan 1=+αcos αsin αtan 7.诱导公式:
（1）口诀：奇变偶不变，符号看象限。

解释：指，若为奇数，则函数名要改变，若为偶数函数名不变。

)(2
Z k k ∈+⋅
απ
k k （2）分类记忆
①去掉偶数倍（即）
ππk 2②将剩下的写成再看象（四象限）（三象限）、（二象限）、（一象限）、ααπαπα-+-限定正负号（函数名称不变）；或写成，再看象限定正
（二象限）（一象限）、απ
απ
+2
-2负号（要变函数名称）
③要特别注意以上公式中互余、互补公式及运用；做题时首先观察两角之间是否是互余∆或互补的关系。

8.已知三角函数值求角α（1）确定角所在的象限
α（2）求出函数值的绝对值对应的锐角'α（3）写出满足条件的的角π2~0（4）加上期（同终边的角的集合）9.和角、倍角公式:
∆
注意正负号相同βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±
注意正负号相反
βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±
β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=
±⇔)
tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±， αααcos sin 22sin =α
αααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=， α
α
α2tan 1tan 22tan -=
αααααααcos 1cos 1cos 1sin sin cos 12tan +-±
=+=-=10.三角函数的图像与性质
性质
函数
图像
定义域
值域
同期
奇
偶性
单调性
x
y sin =R
x ∈]
1,1[-π
2=T 奇
↑
+
-
]2
2,2
2[π
ππ
πk k ↓
++]2
32,22[ππππk k
x
y cos =R x ∈]
1,1[-π
2=T 偶
↑
-]2,2[πππk k ↓
+]2,2[πππk k x
y tan =Z
k k x ∈+≠2
π
πR
π=T 奇
↑
+
-
)2
,2
(π
ππ
πk k 11.正弦型函数 )sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA (1)定义域，值域（2）期：R ]
,[A A -ω
π
2=
T （3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将的系数提出来，再看是x 怎样平移的。

（4）类型， x b x a y cos sin +=x b x a y cos sin +=)sin(22ϕ++=x b a 12.正弦定理: （为的外接圆半径）
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===R AB
C ∆其他形式：
（1）
（注意理解记忆，可只记一个）
A R a sin 2=
B R b sin 2=
C R c sin 2=（2）C B A c b a sin :sin :sin ::=13.余弦定理: A bc c b a cos 22
2
2
-+=⇒bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
14.三角形面积公式 B ac A bc C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===
∆15.三角函数的应用中，注意同次、同角、同边的原则，以及三角形本身边、角的关系。

如两边之各大于第三边、三角和为，第一个角都在之间等。

0180),0(π第七章平面向量
1.向量的概念
（1）定义：既有大小又有向的量。

（2）向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A ，终点为B 的向量表示为。

AB （3）向量的模（长度）：||||a AB 或（4）零向量：长度为0，向任意。

单位向量：长度为1的向量。

向量相等：大小相等，向相同的两个向量。

反（负）向量：大小相等，向相反的两个向量。

2.向量的运算（1）图形法则
三角形法则
平形四边形法则
（2）计算法则
加法：
减法：AC BC AB =+CA
AC AB =-（3）运算律：加法交换律、结合律 注：乘法（积）不具有结合律
3.数乘向量： （1）模为： （2）向：为正与相同；为负与相反。

a λ||||a λλa λa
4.的坐标：终点B 的坐标减去起点A 的坐标。

AB )
,(A B A B y y x x AB --=5.向量共线（平行）：惟一实数，使得。

（可证平行、三点共线问题等）∆∃λb a λ=6.平面向量分解定理：如果是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任21,e e 一向量，都存在惟一的一对实数，使得。

向量在基下的坐a 21,a a 2211e a e a a +=a 21,e e 标为。

),(21a a 7.中点坐标公式：为的中点，则M AB )(2
1
OB OA OM +=
8.注意中，（1）重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、∆ABC ∆心（切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）的含义
（2）若为边的中点，则 坐标：两点坐标相加除以2D BC )(2
1
AC AB AD +=
（3）若为的重心，则; (重心坐标：三点坐标相加除以3)O ABC ∆0=++CO BO AO 9.向量的积（数量积）:
（1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；围。

],0[π（2）积公式：><=⋅b a b a b a ,cos ||||10.向量积的性质：（1） （夹角公式）（2）⊥,cos b a b a >=
<a
b 0
=⋅⇔b a （3） （长度公式）a a a a ==⋅||||2或11.向量的直角坐标运算：（1）)
,(A B A B y y x x AB --=（2）设，则),(),,(2121b b b a a a ==)
,(2211b a b a b a ±±=±
（向量的积等于横坐标之积加纵坐标之积）
),(21a a a λλλ=2211b a b a b a +=⋅12.向量平行、垂直的充要条件设，则∥ （相对应坐标比值相等）),(),,(2121b b b a a a ==a b 2
1
21b b a a =⇔
⊥ （两个向量垂直则它们的积为0）
a b ⇔=⋅⇔0b a 02211=+b a b a 13.长度公式:
（1）向量长度公式：设，则),(21a a a =2
2
21||a a a +=（2）两点间距离公式：设点则),(),,(2211y x B y x A 212212)()(||y y x x AB -+-=14.中点坐标公式：设线段中点为，且，则
AB M ),(),,(),,(2211y x M y x B y x A （中点坐标等于两端点坐标相加除以2）
⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=2221
21y y y x x x 第八章平面解析几
1.曲线上的点与程之间的关系：C 0),(=y x F （1）曲线上点的坐标都是程的解；
C 0),(=y x F （2）以程的解为坐标的点都在曲线上。

0),(=y x F ),(y x C 则曲线叫做程的曲线，程叫做曲线的程。

C 0),(=y x F 0),(=y x F C 2.求曲线程的法及步骤∆（1）设动点的坐标为)
,(y x （2）写出动点在曲线上的充要条件；（3）用的关系式表示这个条件列出的程y x ,（4）化简程（不需要的全部约掉）3.两曲线的交点：联立程组求解即可。

4.直线
（1）倾斜角：一条直线向上的向与轴的正向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。

αl x 其围是)
,0[π（2）斜率：①倾斜角为的直线没有斜率；
②
（倾斜角的正切）
090αtan =k 注：当倾斜角增大时，斜率也随着增大；当倾斜角减小时，斜率也随着减小！αk αk ③已知直线的向向量为，则l ),(21v v v 1
2v v k l =
④经过两点的直线的斜率 ),(),,(222111y x P y x P 1
21
2x x y y K --=)
(21x x ≠⑤直线的斜率0=++C By Ax B
A K -=（3）直线的程①两点式：
1
21
121x x x x y y y y --=
--②斜截式： ∆b kx y +=③点斜式：∆)
(00x x k y y -=-
④截距式：
1=+b
y
a x 轴上的截距
在为轴上的截距，在为y l b x l a ⑤一般式： 其中直线的一个向向量为∆0=++C By Ax l )
,(A B -注：(Ⅰ)若直线 程为，则与平行的直线可设为；与垂直的l 0543=++y x l 043=++C y x l 直线可设为。

034=+-C y x （4）两条直线的位置关系
①斜截式：与∥111:b x k y l +=2
22:b x k y l +=1l 2l ⇔2
121b b k k ≠=且与重合，
⊥，
与相交1l 2l ⇔2121b b k k ==且1l 2l ⇔121-=⋅k k 1l 2l ⇔2
1k k ≠②一般式：与0:1111=++C x B x A l 0
:2222=++C x B x A l ∥
与重合1l 2l ⇔
2
2
2121C C B B A A ≠
=1l 2l ⇔
22
2121C C B B A A ==⊥ 与相交1l 2l ⇔02121=+B B A A 1l 2l ⇔
2
1
21B B A A ≠（5）两直线的夹角公式
①定义：两直线相交有四个角，其中不大于的那个角。

2
π
②围：]
2
,0[π
③斜截式：与111:b x k y l +=2
22:b x k y l +=
（可只记这个公式，如果是一般式程可化成斜截式来解）
|1|
tan 2
12
1k k k k +-=θ一般式：与0:1111=++C x B x A l 0
:2222=++C x B x A l
22
2221
21
2121||cos B
A B
A B B A A +++=
θ(6)点到直线的距离
①点到直线的距离：∆),(00y x P 0=++C By Ax 2
200|
|B A C By Ax d +++=
③两平行线和的距离：01=++C By Ax 02=++C By Ax 2
221||B A C C d +-=5.圆的程
（1）标准程：（）其中圆心，半径。

222)()(r b y a x =-+-0>r ),(b a r （2）一般程：（）
022=++++F Ey Dx y x 0422>-+F E D 圆心（） 半径：2
,2E
D --2
422F
E D r -+=
(3)参数程：的参数程为2
2
2
)()(r b y a x =-+-⎩
⎨
⎧+=+=b r y a
r x θθcos cos ))2,0[(πθ∈（4）直线和圆的位置关系：主要用几法，利用圆心到直线的距离和半径比较。

d r ；；相交⇔<r d 相切⇔=r d 相离
⇔>r d （6）圆与圆的位置关系：利用两圆心的距离与两半径之和及两半径之差
1O 2O d 21r r +比较，再画个图像来判定。

（总共五种：相离、外切、切、相交、含）
21r r -（7）圆的切线程：
①过圆上一点的圆的切线程：122=+y x ),(00y x P 2
00r y y x x =+②过圆外一点的圆的切线程：肯定有两条，设切线的斜222)()(r b y a x =-+-),(00y x P 率为，写出切线程（点斜式），再利用圆心到直线的距离等于半径列出程解出。

k k 6.圆锥曲线的定义：动点到定点（焦点）的距离和到定直线（准线）的距离之比为常数（离e 心率）的点的轨迹。

当时，为椭圆；当时，为双曲线；当时为抛物线。

10<<e 1>e 1=e 7.椭圆
动点与两定点（焦点）的距离之和等于常数a
2几定义
a
PF PF 2||||21=+标准程
（焦点在轴上）122
22=+b y a x x （焦点在轴上）122
22=+a
y b x y
图像
的关系
c b a ,,
注意：通常题目会隐藏这个条件
222c b a +=
对称轴与对称中心轴：长轴长；轴：短轴长；x a 2y b 2)
0,0(O 顶点坐标 )0,(a ±),0(b ±焦点坐标 焦距
注：要特别注意焦点在哪个轴上
)0,(c ±c 2准线程
c
a x 2
±
=离心率1
122
<-==a b a c e 曲线围b y b a x a ≤≤-≤≤-,渐近线
无
中心在的程
),(00y x 中心1)()(2
2
0220=-+-b
y y a x x ),('00y x O 8.双曲线
动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数a
2几定义
a
PF PF 2||||||21=-标准程
（焦点在轴上）12222=-b y a x x （焦点在轴上）12
2
22=-b x a y y
图像
的关系c b a ,,
注意：通常题目会隐藏这个条件
222b a c +=对称轴与对称中心轴：实轴长；轴：虚轴长；x a 2y b 2)
0,0(O 顶点坐标
)0,(a ±焦点坐标 焦距
注：要特别注意焦点在哪个轴上
)0,(c ±c 2准线程
c
a x 2
±
=
离心率1
122
>+==a
b a
c e 曲线围，a x a x ≥-≤和R
y ∈渐近线
（焦点在轴上）x a
b
y ±
=x （焦点在轴上）x b
a
y ±
=y 中心在的程
),(00y x 中心1)()(2
2
0220=---b
y y a x x ),('00y x O 注：1.等轴双曲线：（1）实轴长和虚轴长相等（2）离心率（3）渐近线⇒b a =2=e x y ±=2.（1）以为渐近线的双曲线程可设为)
0(≠λmx y ±=λ=-+))((mx y mx y （2）与双曲线有相同渐近线的双曲线可设为：∆12222=-b y a x λ
=-22
22b
y a x 9.抛物线
到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹
几定义（为抛物线上一点到准线的距离）
d MF =||d M 焦点
位置
轴正半轴
x 轴负半轴
x 轴正半轴y 轴负半轴
y
图像
标准
程px y 22=)
0(>p px y 22-=)0(>p py x 22=)0(>p py x 22-=)
0(>p 焦点坐标)0,2
(p F )0,2(p F -
)
2,0(p F )
2
,0(p F -准线
程
2
p x -=2
p x =
2
p y -
=2
p y =
顶点)
0,0(O 对称
轴轴
x 轴
y 离心
率
1
=e 注：（1）的几意义表示焦点到准线的距离。

p （2） 掌握焦点在哪个轴上的判断法
∆（3）是抛物线的焦点弦，，，则①弦长
∆AB px y 22=)0(>p ),(11y x A ),(22y x B ②；p x x AB ++=21||4
2
21p x x =221p y y -=第九章立体几
1.空间的基本要素：点、线、面
2.平面的基本性质（1）三个公理：
①如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上的所有的点都在这个平面。

②如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。

③经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（2）三个推论：
①经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

②经过两条相交直线，有且只有一个平面。

③经过两条平行直线，有且只有一个平面。

3.两条直线的位置关系：
（1）相交：有且只有一个公共点，记作“”
A b a =
（2）平行：过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。

.a 平行于同一条直线的两条直线平行
.b （3）异面：
①定义：不同在任一个平面的两条直线
②异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于的角。

注
2
π
意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线，让它们相交。

③异面直线间的距离：与两异面直线都垂直相交的直线为其公垂线；夹在两异面直线间的部分为公垂线段；公垂线段的长度为异面直线间的距离。

4.直线和平面的位置关系：（1）直线在平面：α⊆l （2）直线与平面相交：A l =α （3）直线与平面平行
①定义：没有公共点，记作：∥l α
②判定：如果平面外一条直线与平面一条直线平行，则该直线与平面平行。

③性质：如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交线平行。

5.两个平面的位置关系（1）相交：l =βα （2）平行：
①定义：没有公共点，记作：“∥”
αβ②判定：如果一个平面有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行③性质：两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行
.a 平行于同一平面的两个平面平行
.b 夹在两平行平面间的平行线段相等
.c
两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例
.d 6.直线与平面所成的角：
（1）定义：直线与它在平面的射影所成的角（2）围：]
2
,0[π
重要定理：21cos cos cos θθθ⋅=7.直线与平面垂直
（1）判定：如果一条直线垂直于平面的两条相交直线，则该直线与平面垂直（2）性质：
①如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面任直线；②垂直于同一平面的两直线平行；③垂直于同一直线的两平面平行。

8.三垂线定理及逆定理：
∆①三垂线定理：如果平面一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和斜线垂直。

②三垂线逆定理：如果平面一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

9.两个平面垂直
（1）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。

（2）性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂
直。

10.二面角
（1）定义：过二面角的棱上一点，分别在两半平面引棱的垂线，则
βα--l O l OB OA 、为二面角的平面角
AOB ∠（2）围：]
,0[π
（3）二面角的平面角构造：
①按定义，在棱上取一点，分别在两半平面引棱的垂线，则即是O OB OA 、AOB ∠②作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于，即是
OB OA 、AOB ∠③由三垂线逆定理，在一平面找一点，分别作⊥棱于，垂直于另一平面于点
∆A AO l O AB ，连结，则即是
B OB AOB ∠第十章排列、组合与二项式定理
1.分类用加法：
分步用乘法：n m m m N +⋯⋯++=21n
m m m N ⋯⋯=212.有序为排列：)!
(!
)1()2)(1(m n n m n n n n P m n -=
+-⋯⋯--=无序为组合：)!(!!
!)1()2)(1(m n m n m m n n n n P P C m m
m n m
n
-=
+-⋯⋯--==阶乘：1
23)2)(1(!⨯⨯⨯⋯⋯--==n n n n P n n 规定： 1!0=1
=n C 3.组合数的两个性质：（1） （2）m n n
m n C C -=1
1-++=m n
m n m n C C C 4.二项式定理：
n
n n n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 011111100)(+⋯⋯++⋯⋯++=+----通项：，其中叫做第项的二项式系数。

∆r r n r n r b a C T -+=1r
n
C 1+r。