六年级奥数第23讲 - 不定方程
小学奥数知识点：不定方程
小学奥数知识点：不定方程
一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程;
常规方法：观察法、试验法、枚举法;
多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一;
多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可;
涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;
解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案;
技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数;B、消元技巧：消掉范围大的未知数;。
小学6年级奥数知识目录
目录第一讲估值巧算--省略尾数法第二讲估值巧算--放缩法第三讲估值巧算--前后夹击法第四讲分数、小数四则混合运算第五讲四则混合运算的速算与巧算第六讲已知一个数的百分之几求原数第七讲日常生活中的百分数应用题第八讲求一个数是另一个数的几分之几第九讲求一个数的几分之几是多少第十讲已知一个数的几分之几求原数第十一讲棋盘中的数学问题第十二讲棋盘中的两人对弈问题第十三讲棋盘中的覆盖问题第十四讲按比例分配的一般题型及应用第十五讲比和比例在行程问题中的应用第十六讲比和比例在工效问题中的应用第十七讲比和比例在浓度问题中的应用第十八讲离散最值——最多最少问题第十九讲离散最值——最大最小问题第二十讲溶液稀释问题第二十一讲溶液加浓问题第二十二讲两种溶液混合问题第二十三讲平面最短路线问题第二十四讲立体最短路线问题第二十五讲行程中的发车问题第二十六讲行程中的过桥问题第二十七讲流水行船问题第二十八讲整数的分组第二十九讲整数的拆分第三十讲分数的拆分第三十一讲利息问题第三十二讲利润问题第三十三讲圆锥的表面积和体积第三十四讲圆柱的表面积和体积第三十五讲圆柱、圆锥混合问题第三十六讲二元一次不定方程第三十七讲多元一次不定方程第三十八讲圆与扇形的一般求法第三十九讲圆与扇形的加辅助线法第四十讲圆与扇形的分割移补法第四十一讲运筹学初步中的排队问题第四十二讲运筹学初步中的调运问题第四十三讲运筹学初步中的场地设置问题第四十四讲解题方法--设数法第四十五讲解题方法-- 找定量法第四十六讲解题方法--分析综合法第四十七讲解题方法--筛选法第四十八讲解题方法--极端考虑法第四十九讲解题方法--类比转化法第五十讲解题方法--交集法。
小学奥数小学6年级奥数之不定方程
解：设0.9米长的x段，0.4米长的y段，由题意得
0.9x 0.4 y 5.8, 9x 4 y 58, y 14 2x 2 x ,
4
解得 x 2, x 6, y 10; y 1.
答：可分割成0.9米的2段，0.4米长的10段， 或0.9米长的6段，0.4米长的1段。
第23讲 趣谈不定方程
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0). (1) 5x+10y = 14; (2) 11x+3y = 89. 解：
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0). (1) 5x+10y = 14;
(2) 11x+3y = 89.
解：（1）因为(5,10) = 5, 5Ɨ14,所以原方程无整数 解。[注] 不定方程ax+by=c中，如果（a,b)Ɨc, 那么这个方程 无整数解。
因为7+8 14 解：设这个学生出生年份是19ab年,由题意得
1991-19ab=1+9+a+b, 11a 2b 81, b 40 5a 1-a
2 a 1, a 3, a 5, a 7
... b 35, b 24, b 13, b 2 所以, 这个学生出生年份是1972年 1994 1972 22. 答：这个学生1994年22岁。
例1 求下列方程的整数解（x>0，y>0).
(1) 5x+10y = 14;
(2) 11x+3y = 89.
解：（1）因为(5,10) = 5, 5Ɨ14,所以原方程无整数 解。[注] 不定方程ax+by=c中，如果（a,b)Ɨc, 那么这个方程 无整数解。
（2)(11,3）=1,1|89，原方程整理得
(小学奥数)列不定方程解应用题
列不定方程解應用題教學目標1、熟練掌握不定方程的解題技巧2、能夠根據題意找到等量關係設未知數解方程3、學會解不定方程的經典例題知識精講一、知識點說明歷史概述不定方程是數論中最古老的分支之一．古希臘的丟番圖早在西元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程．中國是研究不定方程最早的國家，西元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，西元5世紀的《張丘建算經》中的百雞問題標誌著中國對不定方程理論有了系統研究．宋代數學家秦九韶的大衍求一術將不定方程與同餘理論聯繫起來．考點說明在各類競賽考試中，不定方程經常以應用題的形式出現，除此以外，不定方程還經常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數論問題等壓軸大題之中．在以後初高中數學的進一步學習中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學生學會利用不定方程這個工具，並能夠在以後的學習中使用這個工具解題。
二、運用不定方程解應用題步驟1、根據題目敘述找到等量關係列出方程2、根據解不定方程方法解方程3、找到符合條件的解模組一、不定方程與數論【例 1】 把2001拆成兩個正整數的和，一個是11的倍數（要儘量小），一個是13的倍數（要儘量大），求這兩個數．【考點】列不定方程解應用題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這是一道整數分拆的常規題．可設拆成的兩個數分別為11x 和13y ，則有：11132001x y +=，要讓x 取最小值，y 取最大值． 可把式子變形為：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+，可見12213x +是整數，滿足這一條件的x 最小為7，且當7x =時，148y =．則拆成的兩個數分別是71177⨯=和148131924⨯=．【答案】則拆成的兩個數分別是77和1924．【巩固】 甲、乙二人搬磚，甲搬的磚數是18的倍數，乙搬的磚數是23的倍數，兩人共搬了300塊磚．問：甲、乙二人誰搬的磚多？多幾塊？【考點】列不定方程解應用題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設甲搬的是18x 塊，乙搬的是23y 塊．那麼1823300x y +=．觀察發現18x 和300都是6的倍數，所以y 也是6的倍數．由於3002313y <÷≈，所以y 只能為6或12．6y =時18162x =，得到9x =；12y =時1824x =，此時x 不是整數，矛盾．所以甲搬了162塊，乙搬了138塊，甲比乙搬得多，多24塊．【答案】甲比乙搬得多，多24塊【巩固】 現有足夠多的5角和8角的郵票，用來付4.7元的郵資，問8角的郵票需要多少張？【考點】列不定方程解應用題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設5角和8角的郵票分別有x 張和y 張，那麼就有等量關係：5847x y +=．嘗試y 的取值，當y 取4時，x 能取得整數3，當y 再增大，取大於等於6的數時，x 沒有自然數解．所以8角的郵票需要4張．【答案】8角的郵票需要4張【例 2】 用十進位表示的某些自然數，恰等於它的各位數字之和的16倍，則滿足條件的所有自然數之和為___________________.【考點】列不定方程解應用題【難度】3星【題型】解答【關鍵字】北大附中，資優博雅杯【解析】若是四位數abcd，則()⨯+++⨯≤，矛盾，四位以上的自然數也161636<1000a b c d不可能。
(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)
不定方程如$知识梳理］在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个 方程。
当未知数的个数多于方程的个数时， 这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足 轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过， 我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而 且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种 情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中 以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整 数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确 求解。
特色讲解］【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解 所以方程有两组整数解为：dx 1 x y 3，y【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A11［解析］3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。
奥数题不定方程
不定方程知识梳理:一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）例题：模块一、利用整除性质解不定方程【例1】求方程2x-3y=8的整数解练习：求方程2x+6y=9的整数解【例2】求方程4x+10y=34的正整数解练习：求方程3x+5y=12的整数解模块二、利用余数性质解不定方程【例3】求不定方程7x +11 y = 1288的正整数解有多少组?【例4】求方程3x+5y=31的整数解练习：解方程7x + 4y = 89 ,（其中x、y均为正整数）模块三、解不定方程组5% + 3y + 3 Z =100 （其中x 、y 、z 均为正整数）% + y + z = 100二元一次方程组的解法代入消元法代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一 次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解 的方法.代人消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重 要思想，代人法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方 法. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y ，用另一个 未知数如％的代数式表示出来，即写成y = a% + b 的形式；②y = ax + b 代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于％的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出％的值；【例5】解方程 1800a +1200b + 800c =16000 （其中a 、b 、c 均为正整数） 练习：解不定方程/④回代求解：把求得的％的值代入y = ax + b 中求出y 的值，从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成r =a 的形式.加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元 一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知 数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程; ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；⑤把这个方程组的解写成［x = a 的形式.例6：解下列方程练习：解下列方程⑵[4 x - 5 y =1[4 x - y = 13一、填空题1.已知△和☆分别表示两个自然数,并且A入&r ,△+☆二.A+ ☆= 37 ----------2.箱子里有乒乓球若干个，其中25%是一级品|五分之几是二级品，其余91 个是三级品.那么，箱子里有乒乓球个.3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n棵，且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了组.4.不定方程2x + 3y + 7z = 23的自然数解是5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是.2 5 76.有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为a上,b-,c 7.已知a,b,c3 6 8都小于 10, a, b, c依次为,,.7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶（若干碗）的1 1-和全部咖啡（若干碗）的1.那么，全家有口人.4 6 -------18.某单位职工到郊外植树，其中1的职工各带一个孩子参加，男职工每人种 313棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工人.9.将一个棱长为整数（单位:分米）的长方体6个面都涂上红色，然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中，6个面都没涂红色的有12 块，仅有2面涂红色的有28块，仅有1面涂红色的有块.原来长方体的体积是立方分米.10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了（例如，把12.34元看成34.12元），并按看错的数字支付.李林将其款花去 3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么，李林应退回的款额是元.二、解答题11. 一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初每辆汽车乘22 人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客？12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种, 每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果, 并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望？13.一次数学竞赛准备了 22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支，问：获一、二、三等奖的学生各几人？14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10 元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换,找回的100 元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个？。
6年级奥数-不定方程
不定方程讲义讲义编号 LTJYsxsrl005学员编号：LTJY001 年 级：六年级 课时数： 学员姓名: 辅导科目：数学 学科教师： 学科组长签名及日期教务长签名及日期课 题一次不定方程（组）的整数解问题授课时间：备课时间：教学目标 1.理解不定方程（组）的含义2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法 重点、难点 重点：不定方程定理的理解难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用 考点及考试要求 不定方程（组）是数论中的一个重要课题教学内容【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理 3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；（4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.【学法指导】【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到⎩⎨⎧==1,1y x 是43=+y x 的一组整数解（特解），根据定理2 ，)(1,31是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或 【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来. 【实践】求方程2654731=+y 的正整数解.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x 答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉 〈方法二〉特解：)(3116125165是整数通解：t ty t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x x y -∴-=答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和.【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 . 【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值. 【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=- 由题意可得，n≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数 .16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 .【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== .2,1,07181071804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地 〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t ty t x y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+ 〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-= 【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解， 从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-= 又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-= 将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解.【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a .∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解. 答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数. 【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ， 整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ，又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为n a . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值.【分析】审清题中n a 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为32=++z y x ，由于.10,0,0≤≤≥≥z y x 得 当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y ）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y ）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组. 综上，3a =6.（2）当n=2001时，原方程为20012=++z y x ，由于.10000,0,0≤≤≥≥z y x 得当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组； 当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y ）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…； 当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y ）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，2001a =2+4+6+…+2002=1003002.【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题. 【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ） A. 一切偶数 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A 地到B 地用了4h ，而返程用了4小时40分，求AB 两地的距离.学生签名： 签字日期：。
六年级不定方程
解:设需要大客车x辆，小客车y辆， 则 48x＋30y＝306 即 8x＋5y＝51， 可以变形为：y＝（51－8x）÷5， 由于y是自然数，所以51－8x应该是5的倍数， 我们不难找出：x＝2；y＝7。
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例题精讲
例4、一个工人将99颗子弹装入两种盒子中，每个大盒子装12 颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，问这两种 盒子各有多少个？
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练习题
2、大旅游车有50个座位，小旅游车有21个座 位，现有284位乘客去八达岭旅游，要使每位 旅游者都有座位且车上没有空座位，共需多少 辆旅游车？
分析：没有空座，即 坐满，列出符合题意 的不定方程求解即可。
解:设大旅游车x辆，小旅游车y辆， 则50x＋21y＝284，变形得：x＝（ 284－21y）÷50 即284－21y是50的倍数，y只能取4 ，此时x＝4，即共需8辆旅游车 。
所以，解答这类方程，一定要 找出题中明显或隐含的限制条 件。亦可以根据整除知识，缩 小未知数的取值范围，然后试 算求解。
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例题精讲
例1、求不定方程7x＋11y＝276的自然数解。
题中不定方程的限制条件就是x、y都是自然数。将不定方程7x＋11y＝ 276变形为：x＝（276－11y）÷7，由于x、y都是自然数，说明276－ 11y应该是7的倍数，y可以从最小的自然数1开始试验。经过试验，y可 取6、13、20，相对应，x＝30、19、8。
分析：题中已经告诉我们恰好装完，则大盒子与小盒子总量就 是99颗，且注意限制条件，所需的盒子数必须大于10 。列出 符合题意的不定方程求出解。
解: 设大盒有x只，小盒有y只，列方程得：12x＋ 5y＝99，且x＋y＞10，x，y都是整数。 变形得：x＝（99－5y）÷12，99－5y是12的倍 数，可得：x＝2时，y＝15，符合条件； x＝7，y＝3时，x＋y＝10，不符合条件。 所以大盒子有2只，小盒子有15只。
小学奥数-不定方程(教师版)
小学奥数-不定方程(教师版)不定方程是解决列方程组应用问题时的一种方法。
当未知数的个数多于方程的个数时，就会出现不定方程。
不定方程也称为丢番图方程，以纪念古希腊数学家丢番图。
在数学研究中，不定方程有着举足轻重的地位。
因此，在小学阶段打下扎实的基础非常重要。
不定方程出现的原因是联立方程的条件不足，因此一般情况下会有无数多个解。
但是，我们需要注意到它的预定义条件，如未知项是自然数，数码不仅是自然数，而且是一位数等等。
题干中也可能给出限制条件，这样就使得不定方程的解得以确定。
然而，这种情况下的解不止一种。
不定方程的解有时比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中的限制范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解。
解答这类方程必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
例如，求解方程5x+2y=27的正整数解。
因为2y为偶数，27为奇数，所以5x为奇数，即x为奇数。
因此，x可以取1、3、5等奇数，对应的y分别为11、6、1.再例如，求解方程4x+10y=34的正整数解。
因为4与10的最大公约数为2，而2可以整除34，因此两边约去2后，得到2x+5y=17.5y的个位数只能是0或5，而2x的个位数是2，因此x的取值为1、6、11等。
代入方程可得到两组整数解：x=1时，y=3；x=6时，y=1.最后，以一个实际问题为例，假设有14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。
问：大、中、小号钢珠各多少个？这是一个不定方程问题。
设大、中、小号钢珠的个数分别为a、b、c，则可以列出方程12a+8b+5c=100.解方程可得a=2，b=1，c=6，因此大号钢珠有2个，中号有1个，小号有6个。
y≤15)又因为小花狗和波斯猫每次见面都要各自叫两声，所以总共叫声数为4x+3y。
又知总共见面次数为x+y，所以4x+3y=2(x+y)，化简得2x=3y，因此x和y必须同时是3的倍数。
六年级数学 不定方程
不定方程学习目标:1、理解方程、不定方程的意义，并运用不定方程解决与数学相关的问题。
2、会通过枚举法求不定方程的解。
3、会通过奇偶性、尾数法、系数法、倍数关系等方法辨析不定方程解的情况，缩小未知数的取值范围。
4、训练学生分析探讨的学习方法，培养学生的数学逻辑思维。
教学重点:1、会通过枚举法求不定方程的解。
2、会通过奇偶性、尾数法、系数法、倍数关系等方法辨析不定方程解的情况，缩小未知数的取值范围。
教学难点：会通过奇偶性、尾数法、系数法、倍数关系等方法辨析不定方程解的情况，缩小未知数的取值范围。
教学过程：一、情景体验师：今天小奥与优优正在玩猜生日游戏，小奥用了一个很神秘的方法就猜出了优优的生日，那么根据图中的信息，你们能猜出优优的生日吗？（PPT课件展示图片信息）生：3月8号。
师：你是怎么算出来的呢？生：31×3+12×8=189。
师：很好。
同学们知道这个游戏中隐藏着怎样的秘密吗？其实，这是一个很有趣的数学问题，接下来我们就来一起研究这个数学问题吧！（板书课题：不定方程）师：什么样的方程叫做不定方程呢？前两讲中我们研究了有关二元一次方程及二元一次方程组的相关数学问题，像二元一次方程这类，未知数的个数比方程的个数多，这样的方程就叫做不定方程。
比如：2x-y=12，方程中含有两个未知数，方程只有一个，这就是一个不定方程。
（可让学生举例说明）师：很明显，在不定方程中的未知数x和y可以取无数个值。
今天我们所要研究的不定方程一般都有限制条件，可以根据不定条件求出方程的解。
所以在解决这一类问题中，一定要找出问题中明显或者隐含的限制条件。
一起来看一下都有哪些问题吧！二、思维探索（建立知识模型）展示例题：例1：装饼干的盒子有大小两种，大盒每盒要11元，小盒每盒要8元，妈妈用了89元。
问大小盒子各买了多少个？师：分析问题，你发现了什么？生：盒子只能一个一个的购买，所以大小盒子都必须是整数个。
师：对，你能找出问题中的等量关系，列出方程吗？（学生自主完成，汇报结果）生：可以设有x个大盒子，y个小盒子，因为大盒子的钱数+小盒子的钱数=89元，列得方程为：11x+8y=89。
小学奥数 不定方程与不定方程组 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
不定方程与不定方程组教学目标1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）例题精讲模块一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答【解析】 方法一：由原方程，易得 2x ＝8＋3y ，x ＝4＋32y ，因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，并且，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k 为任意数．说明 由y 取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解． 方法二：根据奇偶性知道2x 是偶数，8为偶数，所以若想2x －3y ＝8成立，y 必为偶数，当y ＝0，x ＝4；当y ＝2，x ＝7；当y ＝4，x ＝10……，本题有无穷多个解。
六年级解不定方程知识点
六年级解不定方程知识点解不定方程是数学中的一种重要问题，对于六年级的学生来说，掌握解不定方程的方法和技巧是很重要的。
本文将介绍六年级解不定方程的知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、什么是不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数的方程。
通常情况下，不定方程只有一个方程，但涉及到多个未知数。
例如：2x + 3y = 7，此方程有两个未知数x和y，但只有一个方程，因此为不定方程。
二、解不定方程的方法解不定方程的方法主要有代入法和相消法两种。
1. 代入法代入法是指将一个未知数用另一个未知数表示出来，然后代入方程，通过解得到的方程进一步求解。
举个例子来说明：已知方程：2x + 3y = 7 （1）x = 2 - y （2）将式（2）中的x代入式（1），得到：2(2 - y) + 3y = 74 - 2y + 3y = 74 + y = 7y = 7 - 4y = 3将求得的y的值代入式（2）中，得到：x = 2 - 3x = -1因此，方程的解为x = -1，y = 3。
2. 相消法相消法是通过变形将方程中一些项相消来求解。
相消的基本原则是等式两边同时加减相同的值，使得一些项相消。
再举个例子来说明：已知方程：3x + 4y = 10 （3）2x - 3y = 1 （4）将方程（4）的两倍加到方程（3）上，得到：3x + 4y + 2(2x - 3y) = 10 + 23x + 4y + 4x - 6y = 127x - 2y = 12然后将方程（4）的三倍加到方程（3）上，得到：3x + 4y + 3(2x - 3y) = 10 + 33x + 4y + 6x - 9y = 139x - 5y = 13现在我们得到了两个新的方程：7x - 2y = 12 和 9x - 5y = 13。
进一步求解这两个方程可以得到x和y的值。
三、解不定方程的注意事项在解不定方程时，还需要注意以下几点：1. 确保方程的解是整数或者有理数，根据具体题目的要求，可以使用不同的方法和技巧。
六年级知识点不定方程
六年级知识点不定方程不定方程是数学中的一个重要概念，对于六年级的学生来说，掌握不定方程的解法对于提高数学解题能力至关重要。
本文将为大家介绍六年级知识点不定方程的概念、解法及应用。
一、不定方程的概念不定方程是指方程中含有未知数的数值不确定，通常表示为形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知的系数，x、y为未知数。
不定方程中，我们需要找到满足方程的整数解。
二、不定方程的解法1. 列举法列举法是最常用的解不定方程的方法。
具体步骤是：（1）将方程中的系数a、b与结果c分别取不同的整数值，列出方程的多组解；（2）逐个验证所列出的解是否满足原方程，验证通过即为方程的解。
2. 辗转相除法当方程中的系数a、b较大时，使用列举法效率较低，这时可以尝试使用辗转相除法。
具体步骤是：（1）先令a、b互换，使得a > b；（2）用b去除以a，得到余数r；（3）如果r为0，则a为原方程的最大公约数，b为原方程的解之一；（4）如果r不为0，则继续用r去除以b；（5）重复以上步骤，直到余数为0为止，最后一个余数不为0的除数即为原方程的最大公约数。
三、不定方程的应用不定方程在实际生活中有广泛的应用。
以下举例说明：1. 整数约分在分数的运算中，我们需要进行整数的约分操作。
不定方程的解法可以帮助我们快速找到分数的最大公约数，从而进行有效地约分操作。
2. 货币找零问题在日常购物中，我们经常遇到需要找零的情况。
不定方程的解法可以帮助我们计算出最少需要的货币张数，从而进行合理的找零操作。
3. 奥数问题奥数中有很多涉及不定方程的问题，掌握不定方程的解法可以帮助我们更好地解决这类问题，提高奥数竞赛的成绩。
四、总结六年级的学生通过掌握不定方程的概念、解法及应用，可以提高数学解题的能力，为提高数学成绩打下坚实基础。
在实际生活中，不定方程的应用也随处可见，能够帮助我们解决各种问题。
以上是关于六年级知识点不定方程的相关介绍。
通过学习和掌握，相信大家能够在数学学习中取得更好的成绩！。
小学奥数 不定方程 知识点+例题+练习 (分类全面)
例7、某地收取电费的标准是：若每月用电不超过50千瓦时，则每千瓦时收0.5元；若超过50千瓦时，则超出部分按每千瓦时0.8元收费。某月甲用户比乙用户多交3.3元电费，这个月甲、乙各用了多少千瓦时电？
巩固、求方程 的整数解。
巩固、求不定方程 的最小整数解
例2、一个珠宝商将珍珠放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装ห้องสมุดไป่ตู้个，恰好装完。如果珍珠数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
巩固、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？
巩固、小华和小强各用64元买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5元一枝和7元一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
教学过程
不定方程知识要点和基本方法
1、当方程（组）中未知数的个数多于方程的个数时，称这个方程（组）为不定方程（组）
2、一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解
例1、求方程 的整数解
巩固、求方程 的整数解。
2、有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？
3、设A和B都是自然数，且满足 + = ，求A+B的值。
4、甲、乙二人植树，甲每天植18棵，乙每天植21棵，两人共植了135棵树。问：甲、乙二人各干了几天？
巩固、某地收取水费的标准是：若每月用电不超过50吨，则每吨收0.5元；若超过50吨，则超出部分按每千瓦时0.45元收费。某月小明家比小刚家多交3.3元水费，这个月小明家、小刚家各用了多少吨水？
小学六年级奥数不定方程(最新)
【#小学奥数# 导语】方程（equation）是指含有未知数的等式。
是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为解或根。
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1.小学六年级奥数不定方程1、圆珠笔每支5角，彩色日记本每本8角现在有6元3角钱。
问圆珠笔和彩色日记本各买多少，才使钱正好用光？答案：圆珠笔11支，笔记本1本。
2、六年级某班同学48人到公园里去划船，如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人，那么需要小船和大船各几只？（大船小船都有）答案：小船x大船y列方程：3x+5y＝48x，y都是正整数解得：x＝1，y＝9x＝6，y＝6x＝11，y＝33、装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。
问需大、小盒子个多少个？答案：设大的x个，小的y个，有：7x+4y=41根据奇偶关系知道：x只能取奇数x=1，y=8.5舍去x=3，y=5满足x=5，y=1.5舍去2.小学六年级奥数不定方程1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少？2、某水果店运来桔子、苹果、香蕉共15筐，价值860元，已知每箱桔子40元，每箱苹果50元，每箱香蕉70元，三种水果各运多少箱？3、一次数学竞赛准备了22只铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划发给一等奖每人6只，二等奖每人3只，三等奖每人2支，后来改为一等奖每人9只，二等奖每人4只，三等奖每人1只，一、二、三等奖的学生各有几人？4、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分，小鸡至多被套中多少次？5、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒头。
不定式方程(六年级)
不定式方程一：不定方程知识精讲一．不定方程的定义1．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程．2．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一．二．不定方程的解法及步骤1．常规方法：观察法、试验法、枚举法．2．多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可．3．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．三．解不定方程的步骤1．列方程．2．消元．3．写出表达式．4．确定范围．5．确定特征．6．确定答案．四．技巧总结1．写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数．2．消元技巧：消掉范围大的未知数．三点剖析重难点：不定方程的解法以及应用．题模精讲题模一不定方程的计算例1.1.1、判断下列不定方程是否有正整数解，若有，求出所有正整数解．（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）（2）（3）（4）无整数解解析：（1），，所以，即得，（2），，所以，．（3），，所以，．（4），，所以．无整数解．例1.1.2、已知△和☆分别表示两个自然数，并且，则△+☆=__________．答案：5解析：依题意得11△+5☆=37，易知其自然数解为△=2，☆=3．所以△+☆=5．例1.1.3、有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为．已知a，b，c都小于10，a，b，c依次为__________，__________，__________．答案：7，3，2解析：由题意有．解这个不定方程，得．例1.1.4、已知代表两位整数，求方程的解．题模二不定方程的应用例1.2.1、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大盒子__________个、小盒子__________个，才能恰好把这些球装完．答案：大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个解析：设需要x个大盒子，y个小盒子，依题意得：，解得，．所以需要大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个．例1.2.2、某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有__________名男职工．答案：12名解析：设有x名男职工，y名女职工，则孩子有名，依题意得：，整理得：，化简得，解得，，，其中只有时才是整数，所以有12名男职工．例1.2.3、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元解析：设购买甲一件要x元，乙一件要y元，丙一件要z元，丁一件要w元，依题意得：注意到题目要求的是，所以完全可以不求x、y、z、w分别是多少，想办法整体求出．观察发现要直接凑出或它的倍数并不容易，一个比较明显的是可以求出，可以用来调整x和z的系数．接着可以让y和w的系数变的一样，得，得，所以．故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元．（当然本题可以直接看出得到）例1.2.4、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米解析：设已经截出了根长36厘米的管子和根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长厘米．由，得：一定是12的倍数．而380不是12的倍数，所以是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而的自然数解是存在的，如，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是厘米．例1.2.5、有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？答案：不能解析：设1分的有x张，1角的有y张，1元的有z张，10元的有w张，依题意得，得，很明显等号左边是9的倍数，而等号右边不是9的倍数，所以无自然数解，故这些纸币的总面值不能恰好是100元．例1.2.6、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的一边）答案：191解析：设用了x个13克的砝码，y个17克的砝码，要称的重量为c克，依题意，就是求使无自然数解的c的最大值．利用拓展14解法二中提到的结论，c最大取时，无自然数解，所以不能称出的最大整数克重量是191克．例1.2.7、现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出1升汽油，至少需要倒多少次？答案：26次解析：依题意，模拟的倒几次后会发现，本题和不定方程：和的解有关系．先解出这两个不定方程：的解为：的解为：其中，这个解明显要小，下面解释一下它的含义．先看它对应的过程：1、倒满1.7升；2、1.7升倒入4升；3、倒满1.7升；4、1.7升倒入4升；5、倒满1.7升；6、1.7升倒入4升中，还剩1.1升；7、4升的倒入大桶里；8、1.1升倒入4升；9、倒满1.7升；10、1.7升倒入4升；11、倒满1.7升；12、1.7升倒入4升，还剩0.5升；13、4升的倒入大桶里；14、0.5升倒入4升；15、倒满1.7升；16、1.7升倒入4升；17、倒满1.7升；18、1.7升倒入4升；19、倒满1.7升；20、倒入4升，还剩1.6升．21、4升的倒入大桶里；22、1.6升倒入4升；23、倒满1.7升；24、倒入4升；25、倒满1.7升；26、倒入4升，还剩1升．可以看出，每次从大桶中倒入两个小桶的都是1.7升，每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升，所以两个小桶中量出的1升可以看做是，倒进的1.7x 减去倒出的4y的差．那么就得到了上面的不定方程．另一个不定方程同理也很容易想明白．例1.2.8、某校开学时，七年级新生人数在500～1000范围内，男、女生的比例为．到八年级时，由于收40名转学生，男、女生的比例变为．请问，该年级入学时，男、女生各有多少人？答案：男生320人，女生280人解析：设开始时共人，后来变为人，则，．易知a为8的倍数，b为5的倍数，故可设，，方程化简为，且．解得，，入学时总人数为人，男生320人，女生280人．例1.2.9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？随堂练习随练1.1、下列方程的自然数解：（1），则；（2），则；（3），则；（4），则．答案：（1）（2）（3）无解（4）解析：枚举法．随练1.2、小高有若干张8分的邮票，墨莫有若干张15分的邮票，两人的邮票总面值是99分，那么小高的8分邮票有__________张．答案：3张解析：设小高有8分邮票x张，15分邮票y张，依题意得：，解得，所以小高有3张8分邮票．随练1.3、将426个乒乓球装在三种盒子里，大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个．现共装了24盒，则用了__________个大盒．随练1.4、新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了____________________张．答案：20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张解析：设买了x张20分的邮票，y张40分的邮票，z张50分的邮票，依题意得：，消y得，解得，，……，同时还要满足y为整数，经验证当时，符合题意，所以买了20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张．课后作业作业1、方程有________组自然数解．答案：11解析：易知y可为0至的所有自然数，即方程有11组自然数解．作业2、求的所有整数解．答案：为任意整数）解析：先找出一组基本的解，然后写出所有解即可．作业3、求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解．答案：解析：先确定z的值，把三元一次不定方程转化为二元一次不定方程，再进行计算．正整数解如下：．作业4、设A和B都是自然数，并且满足．那么__________．答案：3解析：，又因为A、B为自然数得，．作业5、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大油桶__________个，小油桶__________个．答案：大油桶3个，小油桶4个解析：设有x个大油桶，y个小邮桶，依题意得，解得，所以有3个大油桶，4个小邮桶．作业6、新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每名老师能搬12本，每名男生能搬8本，每名女生能搬5本，恰好一次搬完．问：搬书的老师__________名、男生__________名、女生__________名．答案：老师3名，男生2名，女生8名解析：设搬书的老师有x名，男生有y名，女生有z名，依题意得：，消去z得，解得，所以，所以搬书的老师有3名，男生2名，女生8名．作业7、小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒？答案：圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒解析：设圆珠笔买了x盒，铅笔买了y盒，钢笔买了z盒，依题意得：，消去x得，解得，，……将y、z代入原方程组，发现只有时，x有自然数解．所以买了圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒．作业8、卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？答案：12包解析：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有包、包、包和包，则．把系数都化成整数，得：．由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数分为一组，其余未知数分为另一组：．也就是．令，则．它的自然数解只有，所以卡莉娅共买了12包奶糖．作业9、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？答案：二人桌24张；三人桌19张；四人桌12张解析：设图书馆有三人桌x张，四人桌y张，则两人桌有2y张，依题意得：，化简得，解得，，……为符合三种桌子共五十多张，发现只有这组解符合，图书馆两人桌有24张，三人桌19张，四人桌12张．。
不定方程(组)及其应用专题讲座
例题讲解：
例题9甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵, 其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都 植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数 大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有多少人?
解：设甲小队有x人,乙小队有y人.由两小队植树
棵数相等,得到 13 x-7=10 y-5. 因为上式右端个位数为5,所以13x的个位数应是2, 得到x=4, y=5是上式的一组解,且x每增大10, y就增 大13,仍是上式的解.
x y 3y 4 ，则3x 1 3y 4 3y 4 3y 4
x 1 x 1 x 0 ， ， 程组 的正整数解。 解： （1）×2+（2）： x+y=4 （3） 由（3）得：y=4-x; 把y=4-x代入（1）：z=x-2. 因为x和y、z都是正整数，所以： x ＞ 0, 4-x＞0, 且x-2＞0； 解这个不等式组得： 4＞x＞2, 即x= 3. 那么y=4-x=4-3=1， z=x-2=3-2=1. 故此方程组的正整数解为： x= 3， y=1，z=1。 (附:当k为何负整数时，方程组{3x+2y=k+1、 4x+3y=k-1的解时满足x>y且x-y>6?)
例题讲解：
例题10甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6 棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人 都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵 数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有多少人?
解：为使10y-5在100与200之间,只有y
=5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有 4+10=14(人),共有18+14=32(人). 答：甲、乙两小队共有32人。
不定式方程(六年级)
不定式方程(六年级)一：不定方程知识精讲一．不定方程的定义1．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程.叫做二元一次方程.由于它的解不唯一.所以也叫做二元一次不定方程．2．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程.它的解也不唯一．二．不定方程的解法及步骤1．常规方法：观察法、试验法、枚举法．2．多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值.或者消去一个未知数.这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程.按照二元一次不定方程解即可．3．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．三．解不定方程的步骤1．列方程．2．消元．3．写出表达式．4．确定范围．5．确定特征．6．确定答案．四．技巧总结1．写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数.同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数．2．消元技巧：消掉范围大的未知数．三点剖析重难点：不定方程的解法以及应用．题模精讲题模一不定方程的计算例1.1.1、判断下列不定方程是否有正整数解.若有.求出所有正整数解．【1】；【2】；【3】；【4】．【1】【2】【3】【4】无整数解解析：【1】..所以.即得.【2】..所以.．【3】..所以.．【4】..所以．无整数解．例1.1.2、已知△和☆分别表示两个自然数.并且.则△+☆=__________．答案：5解析：依题意得11△+5☆=37.易知其自然数解为△=2.☆=3．所以△+☆=5．例1.1.3、有三个分子相同的最简假分数.化成带分数后为．已知a.b.c都小于10.a.b.c依次为__________.__________. __________．答案：7.3.2由题意有．解这个不定方程.得．例1.1.4、已知代表两位整数.求方程的解．题模二不定方程的应用例1.2.1、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里.大盒每盒装12个.小盒每盒装7个．问：需要大盒子__________个、小盒子__________个.才能恰好把这些球装完．答案：大盒9个.小盒6个或者大盒2个.小盒18个解析：设需要x个大盒子.y个小盒子.依题意得：.解得.．所以需要大盒9个.小盒6个或者大盒2个.小盒18个．例1.2.2、某单位的职工到郊外植树.其中有男职工.也有女职工.并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树.女职工每人种10棵树.每个孩子种6棵树.他们一共种了216棵树．请问：其中有__________名男职工．答案：12名解析：设有x名男职工.y名女职工.则孩子有名.依题意得：.整理得：.化简得.解得...其中只有时才是整数.所以有12名男职工．例1.2.3、有甲、乙、丙、丁四种货物.若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元解析：设购买甲一件要x元.乙一件要y元.丙一件要z元.丁一件要w元.依题意得：注意到题目要求的是.所以完全可以不求x、y、z、w分别是多少.想办法整体求出．观察发现要直接凑出或它的倍数并不容易.一个比较明显的是可以求出.可以用来调整x和z的系数．接着可以让y和w的系数变的一样.得.得.所以．故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元．【当然本题可以直接看出得到】例1.2.4、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管.加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米解析：设已经截出了根长36厘米的管子和根长24厘米的管子.那么被截出的管子一共长厘米．由.得：一定是12的倍数．而380不是12的倍数.所以是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽.那么最少会剩下多少厘米呢？由于一定是12的倍数.小于380且能被12整除的最大自然数是372.而的自然数解是存在的.如.也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子.能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是厘米．例1.2.5、有纸币60张.其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？答案：不能解析：设1分的有x张.1角的有y张.1元的有z张.10元的有w张.依题意得.得.很明显等号左边是9的倍数.而等号右边不是9的倍数.所以无自然数解.故这些纸币的总面值不能恰好是100元．例1.2.6、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码.用这些砝码.不能称出的最大整数克重量是多少？【砝码只能放在天平的一边】答案：191解析：设用了x个13克的砝码.y个17克的砝码.要称的重量为c克.依题意.就是求使无自然数解的c的最大值．利用拓展14解法二中提到的结论.c最大取时.无自然数解.所以不能称出的最大整数克重量是191克．例1.2.7、现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油.用这两个空桶要倒出1升汽油.至少需要倒多少次？26次解析：依题意.模拟的倒几次后会发现.本题和不定方程：和的解有关系．先解出这两个不定方程：的解为：的解为：其中.这个解明显要小.下面解释一下它的含义．先看它对应的过程：1、倒满1.7升；2、1.7升倒入4升；3、倒满1.7升；4、1.7升倒入4升；5、倒满1.7升；6、1.7升倒入4升中.还剩1.1升；7、4升的倒入大桶里；8、1.1升倒入4升；9、倒满1.7升；10、1.7升倒入4升；11、倒满1.7升；12、1.7升倒入4升.还剩0.5升；13、4升的倒入大桶里；14、0.5升倒入4升；15、倒满1.7升；16、1.7升倒入4升；17、倒满1.7升；18、1.7升倒入4升；19、倒满1.7升；20、倒入4升.还剩1.6升．21、4升的倒入大桶里；22、1.6升倒入4升；23、倒满1.7升；24、倒入4升；25、倒满1.7升；26、倒入4升.还剩1升．可以看出.每次从大桶中倒入两个小桶的都是1.7升.每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升.所以两个小桶中量出的1升可以看做是.倒进的1.7x减去倒出的4y的差．那么就得到了上面的不定方程．另一个不定方程同理也很容易想明白．例1.2.8、某校开学时.七年级新生人数在500～1000范围内.男、女生的比例为．到八年级时.由于收40名转学生.男、女生的比例变为．请问.该年级入学时.男、女生各有多少人？答案：男生320人.女生280人设开始时共人.后来变为人.则.．易知a为8的倍数.b为5的倍数.故可设..方程化简为.且．解得..入学时总人数为人.男生320人.女生280人．例1.2.9、在新年联欢会上.某班组织了一场飞镖比赛．如图.飞镖的靶子分为三块区域.分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖.脱靶不得分.投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖.要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖.要想获奖至少需要投中几个飞镖？随堂练习随练1.1、下列方程的自然数解：【1】.则；【2】.则；【3】.则；【4】.则．答案：【1】【2】【3】无解【4】解析：枚举法．随练1.2、小高有若干张8分的邮票.墨莫有若干张15分的邮票.两人的邮票总面值是99分.那么小高的8分邮票有__________张．答案：3张解析：设小高有8分邮票x张.15分邮票y张.依题意得：.解得.所以小高有3张8分邮票．随练1.3、将426个乒乓球装在三种盒子里.大盒每盒装25个.中盒每盒装20个.小盒每盒装16个．现共装了24盒.则用了__________个大盒．随练1.4、新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分.其中面值20分的邮票售价5元.面值40分的邮票售价8元.面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票.那么三种面值的邮票分别买了____________________张．答案：20分的邮票3张.40分的邮票3张.50分的邮票13张解析：设买了x张20分的邮票.y张40分的邮票.z张50分的邮票.依题意得：.消y得.解得..…….同时还要满足y为整数.经验证当时.符合题意.所以买了20分的邮票3张.40分的邮票3张.50分的邮票13张．课后作业作业1、方程有________组自然数解．答案：11解析：易知y可为0至的所有自然数.即方程有11组自然数解．作业2、求的所有整数解．答案：为任意整数】解析：先找出一组基本的解.然后写出所有解即可．作业3、求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解．答案：解析：先确定z的值.把三元一次不定方程转化为二元一次不定方程.再进行计算．正整数解如下：．作业4、设A和B都是自然数.并且满足．那么__________．答案：3解析：.又因为A、B为自然数得.．作业5、有两种不同规格的油桶若干个.大油桶能装8千克油.小油桶能装5千克油.44千克油恰好装满这些油桶．问：大油桶__________个.小油桶__________个．答案：大油桶3个.小油桶4个解析：设有x个大油桶.y个小邮桶.依题意得.解得.所以有3个大油桶.4个小邮桶．作业6、新学期开始了.几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人.每名老师能搬12本.每名男生能搬8本.每名女生能搬5本.恰好一次搬完．问：搬书的老师__________名、男生__________名、女生__________名．答案：老师3名.男生2名.女生8名解析：设搬书的老师有x名.男生有y名.女生有z名.依题意得：.消去z得.解得.所以.所以搬书的老师有3名.男生2名.女生8名．作业7、小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔.每种笔都只能整盒买.不能单买．钢笔4支一盒.每盒5元；圆珠笔6支一盒.每盒6元；铅笔10支一盒.每盒7元．小李总共花了97元.买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒？答案：圆珠笔3盒.铅笔2盒.钢笔13盒解析：设圆珠笔买了x盒.铅笔买了y盒.钢笔买了z盒.依题意得：.消去x得.解得..……将y、z代入原方程组.发现只有时.x有自然数解．所以买了圆珠笔3盒.铅笔2盒.钢笔13盒．作业8、卡莉娅到商店买糖.巧克力糖13元一包.奶糖17元一包.水果糖7.8元一包.酥糖10.4元一包.最后他共花了360元.且每种糖都买了．请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？答案：12包解析：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有包、包、包和包.则．把系数都化成整数.得：．由于我们只关心奶糖的数量.我们将未知数分为一组.其余未知数分为另一组：．也就是．令.则．它的自然数解只有.所以卡莉娅共买了12包奶糖．作业9、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张.其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外.其它两人桌每桌都只坐1人.三人桌每桌都只坐2人.四人桌每桌都只坐3人.且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？答案：二人桌24张；三人桌19张；四人桌12张解析：设图书馆有三人桌x张.四人桌y张.则两人桌有2y张.依题意得：.化简得.解得..……为符合三种桌子共五十多张.发现只有这组解符合.图书馆两人桌有24张.三人桌19张.四人桌12张．。
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【例1】求3x+4y=23的自然数解。
解：先将原方程变形， 。可列表试验求解：
X
1
2
3
4
5
6
7
Y
5
×
×
×
2
×
×
所以方程3x+4y=23的自然数解为 或
【变式1-1】求3x+2y=25的自然数解。
【变式1-2】求4x+5y=37的自然数解。
【例2】求方程组的自然数解：
解：这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程：
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
【例5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？
解：设一等奖有x人，二等奖有y人，三ห้องสมุดไป่ตู้奖有z人。则
由 ×2－ ，得12x+5y=22，可得
苹果
9
8
7
6
5
4
3
2
1
橘子
2
4
6
8
10
12
14
16
18
梨
19
18
17
16
15
14
13
12
11
【变式4-1】有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？
【变式4-2】用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）
1、求5x－3y=16的自然数解。
2、求方程的自然数解：
3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
4、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？
12x+5y=99（x＞0，y＞0，x+y＞9）
y=（99－12y）÷5
经检验，符合条件的解有： 或
答：大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
【变式3-1】某校六⑴班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）
【变式3-2】甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？
由 ×2+ ，得13x+13y=52，即x+y=4……
把 式变形，得y=4-x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3。
当x=1时，y=3
当x=2时，y=2
当x=3时，y=1
把上面的结果再分别代入 或 ，得x=1，y=3时，z无正整数解。
x=2，y=2时，z也无正整数解。
x=3时，y=1时，z=1。
5、一头猪卖 个银币，一头山羊卖 个银币，一头绵羊买 个银币。有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。问猪、山羊、绵羊各几头？
【例4】买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？
解：设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得：
4x+3y+2×（30－x－y）＝82
x＝10－
由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：
不定方程
【知识梳理】
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x-3y=9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x-3y=9的解有：
； ； ； ；……
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x=3，y=2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
【变式2-1】求方程组的自然数解： 。
【变式2-2】求方程组的自然数解：
【例3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
解：两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。
设大盒子有x个，小盒子有y个，则
x只能取1，y=2，代入 得z=5，原方程的解为
答：一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。
【变式5-1】某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环各几发？
【变式5-2】篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？