九年级数学下册13不共线三点确定二次函数的表达式确定二次函数的表达式解题类型及方法素材湘教版.
九年级数学下册《由不共线三点的坐标确定二次函数》教案、教学设计
-结合多媒体教学资源，如数学软件、网络平台等，让学生在虚拟环境中操作二次函数，增强直观感受。
-指导学生利用网络资源进行自主学习，培养学生信息检索和整合的能力。
3.培养学生的问题解决策略，提高学生的创新意识和实践能力。
-通过设置不同难度的问题，引导学生从简单到复杂逐步深入，培养问题解决的层次感。
1.针对不同学生的能力水平，合理分配作业难度，使每个学生都能在作业中找到适合自己的挑战。
2.鼓励学生在完成作业过程中积极思考、主动提问，培养他们的问题意识和解决问题的能力。
3.及时检查和反馈作业完成情况，针对学生存在的问题进行有针对性的辅导。
4.鼓励学生进行自我评价和同伴评价，培养他们的自我反思和批判性思维能力。
3.二次函数图像的性质：介绍二次函数图像的开口方向、顶点、对称轴等概念，并通过实例进行讲解。
4.二次函数图像的变换：讲解二次函数图像的平移、伸缩等变换规律，并通过数学软件或动画演示，让学生直观地感受这些变换。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组针对以下问题进行讨论：
1.如何通过三个不共线的点求解二次函数的系数？
-学生需要掌握如何通过三个不共线的点来求解二次函数的系数，这是建立二次函数模型的核心。
-理解二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴等概念，并能应用于实际问题中。
2.难点：二次函数图像的平移、伸缩变换及其对函数性质的影响，以及在实际问题中的应用。
-对于二次函数图像的变换，学生往往难以理解其背后的数学原理，需要通过直观演示和反复练习来突破。
2.对于教学难点的解决：
-采用案例教学法，选取与学生生活密切相关的实际问题，引导学生将二次函数的知识应用于情境中，增强学习的实践性。
1.3不共线三点确定二次函数的表达式教案数学九年级下册
（2）设有二次函数___________________的图像经过P，Q，M三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：_______________________________解得 a=________，b=__________，c=___________.因此，图像经过P，Q，M三点的函数表达式是_______________，这是_______函数。
这说明_______一个这样的二次函数，它的图像经过P，Q，M三点。
思考：两点确定___________________.经过点P（1，5）和点Q（1，3）确定一个______函数，表达式为_______.①点R（2，3）______直线PQ上，即P，Q，R三点_______，这三点______（能/不能）确定二次函数的表达式。
②点M（2，9）______直线PQ上，即P，Q，M三点________，这三点____（能/不能）确定二次函数的表达式。
归纳：1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像上任意三个不同点_____同一直线上。
2、若给定_____的坐标，且它们的____两两不等，则可以确定________，它的图像经过这三点。
（二）合作共研1、生生交流“自学自研”的内容2、请学生代表汇报交流后的结果3、老师适时的进行针对性的点评、点拨。
三、巩固提升1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过三点A（0,2），B（1,3），C（1，1），求这个二次函数的表达式。
2、已知有三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图像经过这三个点？（1）P（1，6），Q（2，11），R（1，14）；（2）P（1，6），Q（2，11），M（1，4）3、已知二次函数的图象顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．4、已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解析式．四、学后反思1、通过本节课，我学会了什么？2、通过本节课，我还有什么疑惑？五、课后达标（课外作业）1、已知一个二次函数的图象过点A（0, 3），B（1,0）,C（3,0）三点，求这个函数的解析式？2、已知一抛物线与x轴交于点A（2，0），B（1，0），且经过点C（2，8）.求二次函数解析式.3、已知二次函数的顶点为A(1,4)且过B(3,0),求二次函数解析式.4、已知二次函数的图象经过点（0，3），（3，0），（2，5），且与x轴交于A、B 两点.(1)试确定此二次函数的解析式;(2)判断点P(2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在,请求出△PAB的面积，如果不在,试说明理由. 可以这样想：两点确定一条直线，直线的函数表达式是一个一次函数。
《13 不共线三点确定二次函数的表达式教案》初中数学湘教2011课标版九年级下册教案27427
1.3不共线三点确定二次函数的表达式教案教学目标【知识与技能】1.掌握用待定系数法列三元一次方程组求二次函数表达式.2.探寻三点确定二次函数表达式的条件：三点不共线且横坐标两两不等.3.会判断任意三个点是否在二次函数的图象上,体验数形结合的思想.【过程与方法】通过学生自主探究、小组合作探究和学习初步掌握用待定系数法求二次函数的表达式，并从中找出它所需的条件：三点不共线且横坐标两两不等.【情感、态度与价值观】通过本节课的教学,激发学生探究问题,解决问题的能力，培养学生的合作和竞争意识.学情分析教学内容的解析《不共线三点确定二次函数的表达式》是新湘教版九年级下册第1章《二次函数》第3节的内容，它属于选学内容.安排在二次函数的图象与性质之后.本内容是在学生熟练掌握了用待定系数法求函数表达式的基础上进行地，因此对于已知不共线的三点能确定二次函数的表达式的这种情况，学生是易于掌握的.对不共线的三点能否确定二次函数的表达式相对而言就要困难一些.学生学情分析九年级的学生因临近毕业，学习繁重，加之学习竞争激励，不少学生恐怕别人超过自己，学习上保守.大部分学生不仅不回答别人的疑问，不向别人提供自己的学习方法，而且有了疑问也不愿问别人，把“问”视为浪费，同学之间的合作比七、八年级要少许多.幸好他们在学习这节课之前，一方面对二次函数的图象与性质已经有了一定的认识、特别是对于顶点式二次函数表达式的求法掌握较好，同时他们已能熟练地用待定系数法求一些函数的表达式.在此基础上学习二次函数一般式，应该难度系数不大.只是本班学生的自主探究能力较弱，归纳概括整理能力一般，因此对于规律的总结，会有一定的难度.重点难点教学重点：1.已知不在同一直线上的三点的坐标，用待定系数法求二次函数的表达式.2.会判断任意三个点是否在二次函数的图象上,体验数形结合的思想.教学难点：1.探寻三点确定二次函数表达式的条件：三点不共线且横坐标两两不等.2.会快速判断任意三个点是否能取得二次函数.教学过程4.1 教学活动【导入】课前热身1、二次函数的一般形式和顶点式各是怎样的？2、已知二次函数的顶点为A(1,-4)且过B(3,0),求二次函数表达式.【导入】质疑，导入新课1.已知二次函数图象上的任意两点的坐标，能求出它的表达式吗？如：已知一个二次函数的图象经过点（1,3）, （-1，-5）, 你能求出它的表达式吗？若不能，那怎么办？（增加一个点的坐标）已知一个二次函数的图象经过三点（1，3）（-1，-5）（3，-13），求这个二次函数的表达式.2.出示课题：1.3 不共线三点确定二次函数的表达式【讲授】出示学习目标（1）掌握用待定系数法求不共线三点所确定的二次函数的表达式.（2）会判断三个点是否在二次函数抛物线上，体验数形结合的数学思想.（3）通过小组探究和学习，培养学生的合作和竞争意识.【活动】自主探究，获取新知探究1已知三点求二次函数表达式的方法例1 已知：一个二次函数的图象经过三点（1，3）（-1，-5）（3，-13），求这个二次函数的表达式.解：设该二次函数的表达式为：y=ax²+bx+c.将三个点的坐标（1,3），（-1，-5），（3，-13）分别代入函数表达式，得到关于a,b,c的三元一次方程：a+b+c=3a-b+c=-59a+3b+c=-13解得a=-3,b=4,c=2.因此，所求的二次函数的表达式为y=-3x²+4x-13.【教学说明】让学生通过例题讲解归纳出已知三点坐标求二次函数表达式的方法.小结：用待定系数法求二次函数表达式的步骤：“一设、二找、三代、四解”①设：关系式y=ax²+bx+c(a≠0)②找：抛物线上三个点的坐标③代：把三个点的坐标代入所设表达式，得到三元一次方程组④解：解方程组，求出a、b、c，代入y=ax²+bx+c(a≠0)，得到抛物线的表达式.【活动】显身手已知：二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象过三点A（0，2），B（1，3）C（-1，-1），求这个二次函数的表达式.【活动】合作探究，获取新知探究2已知三点坐标求二次函数表达式的条件例2已知三个点的坐标，是否一定有一个二次函数，它的图象经过这三个点？（1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3）；（2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）；（3）P（1，-5），Q（-1，3），M（-1，-4）；学生分组分任务探究解（1）设有二次函数y=ax²+bx+c.它的图象经过P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：a+b+c=-5a-b+c=34a+2b+c=-3解得a=2,b=-4,c=-3因此二次函数y=2x²-4x-3的图象经过P，Q，R三点.解（2）设有二次函数y=ax²+bx+c.它的图象经过P，Q，M三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：a+b+c=-5a-b+c=34a+2b+c=-9解得a=0,b=-4,c=-1因此一次函数y=-4x-1的图象经过P，Q，R三点.这说明没有一个这样的二次函数，它的图象经过P,Q,M三点.解（3）设有二次函数y=ax²+bx+c.它的图象经过P，Q，N三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：a+b+c=-5a-b+c=3a-b+c=-4显然此方程组无解,这说明没有一个这样的二次函数，它的图象经过P,Q,N三点.【活动】议一议仔细观察例2中的三组数据（1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3）；（2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）；（3）P（1，-5），Q（-1，3），N（-1，-4）.为什么第（1）题中的P，Q，R三点能确定一个二次函数的表达式，而第（2）题中的P，Q，M和第（3）题中的P,Q,N三点不能确定一个二次函数的表达式？例2中，两点P（1，-5），Q（-1,3）确定了一个一次函数y=-4x-1.点R（2，-3）的坐标不适合y=4x-1,因此点R不在直线PQ上，即P,Q,R三点不共线.点M（2，-9）的坐标适合y=4x-1,因此点M在直线PQ上，即P,Q,M三点共线.点N（2-1，-4）的坐标不适合y=4x-1,因此点N不在直线PQ上，即P,Q,N三点不共线.但点Q和点N的横坐标相同.结论：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定一个二次函数；而给定共线三点的坐标，不能确定二次函数.【活动】课堂小结同学们：这节课你收获了什么？【测试】考考你已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？1. P（1，6）Q（2，11）R（-1，14）2. P（1，6）Q（2，11）M（-1，-4）【活动】教学反思《不共线三点确定二次函数的表达式》这一节课的设计思路是从复习学生已经掌握的二次函数的两种不同的形式及已知二次函数的顶点和另一点的坐标，求二次函数的表达式入手，从而设疑，对于二次函数如果已知它的图象上的任意两点，能求出它的表达式吗？进而设疑如果已知任意的三个点的坐标呢？引出本节课的课题。
1.3不共线三点确定二次函数的表达式 教案
湘教版九年级下册数学教案1.3 不共线三点确定二次函数的表达式教学目标1．掌握用待定系数法确定二次函数的表达式.2．知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.重点：用待定系数法确定二次函数的表达式.难点：知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.教学设计一.预习导学学生通过自主预习P21-P23完成下列各题：1. 二次函数的表达式一般式：y= ax2+bx+c顶点式：y= y=a(x-h)2+k交点式： y=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标.2.用待定系数法确定二次函数表达式的步骤有哪些？(1)设出合适的函数表达式；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程（方程组）；（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数表达式.设计意图：通过学生自主预习教材，初步理解掌握用待定系数法确定二次函数的表达式，知道满足何种条件的三点确定一个二次函数，培养学生的自学能力.二.探究展示(一)合作探究与一次函数相类似，如果已知二次函数图象上三个点的坐标（也就是函数的三组对应值），将它们代入函数表达式，列出一个关于待定系数a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，就可以确定二次函数的表达式.1.已知一个二次函数的图象经过三点（1,3）（-1，-5），（3，-13 ）求这个二次函数的表达式.将三个点的坐标（1，3），（-1，-5），（3，-13），分别代入函数表达式，得到关于a，b，c的三元一次方程组：2.已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？（1） P （1，-5）， Q （-1，3）， R （2，-3）；（2） P （1，-5）， Q （-1，3）， M （2，-9）.解 （1）设有二次函数y=ax 2+bx+c ，它的图象经过 P ，Q ，R 三点，则得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组：解得 a= 2 ，b= -4 ，c= -3 .因此，二次函数 y=2x 2-4x-3 的图象经过P ，Q ，R 三点.（2）设有二次函数y=ax 2+bx+c ，它的图象经过 P ，Q ，R 三点，则得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组：解得 a= 0 ，b= -4 ，c= -1 .因此，一次函数 y=-4x-1 的图象经过P ，Q ，M 三点.这说明没有一个这样的二次函数， 它的图象能经过P ，Q ，M 三点.例2中， 两点P （1，-5）， Q （-1，3）确定了一个一次函数y=-4x-1.点R （2，-3）的坐标不适合y=-4x-1，因此点R 不在直线PQ 上，即P ，Q ，R 三点不共线.点M （ 2，-9）的坐标适合y=-4x-1，因此点M 在直线PQ 上， 即P ，Q ，M 三点共线. 例2表明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定一个二次函数； 而给定共线三点的坐标，不能确定二次函数.a+b+c=5a-b+c=34a+2b+c=-3a+b+c=5 a-b+c=3 4a+2b+c=-9可以证明：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 还可以证明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.设计意图：通过探究，进一步理解掌握用待定系数法确定二次函数的表达式，知道满足何种条件的三点确定一个二次函数.培养学生通过解决问题的能力.(二)展示提升1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A（0，2）， B（1，3），C（-1，-1），求这个二次函数的表达式.2.已知二次函数的图象经过A（1，3）， B（-4，-12），C（3，-5）三点.(1)求此抛物线的解析式；(2)求出这条抛物线与x轴、y轴的交点P、Q、R的坐标.3.已知二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别是x1=-3，x2=1，且与y轴的交点为（0,2），求这个二次函数的表达式.设计意图：可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题的能力；同时增强学生团结协作的精神。
1新湘教版初中数学九年级下册精品教案.3 不共线三点确定二次函数的表达式
*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求二次函数解析式的方法；(重点)2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的解析式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．(难点)一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米．你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究 探究点一：不共线三点确定二次函数的表达式【类型一】 用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的解析式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的任意三个点时，设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】 用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，∵图象顶点是(－2，3)， ∴h ＝－2，k ＝3，依题意得5＝a (－1＋2)2＋3，解得a ＝2.∴二次函数的解析式为y ＝2(x ＋2)2＋3＝2x 2＋8x ＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设y ＝a (x －h )2＋k .顶点坐标为(h ，k )，对称轴为x ＝h ，最值为当x ＝h 时，y 最值＝k .变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】 用交点式确定二次函数解析式已知抛物线与x 轴相交于点A (－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解析式．解析：由于已知图象与x轴的两个交点，所以可设y＝a(x－x1)(x－x2)求解．解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x －1)，即y＝－x2＋1.方法总结：此题也可设y＝a(x－h)2＋k，因为与x轴交于(－1，0)，(1，0)，故对称轴为y轴．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：二次函数解析式的综合运用如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．解析：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，根据对称轴是x＝－3，求出b＝6，即可得出答案；(2)根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x＝－3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD＝8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为(0，5)，求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴－b2＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的解析式是y＝x2＋6x＋5；(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴△BCD的面积＝12×8×7＝28.方法总结：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及利用解析式分析二次函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.。
九年级数学(湘教版)下册教学教案：1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式【知识与技能】1.掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式.2.由已知条件的特点,灵活选择二次函数的三种形式，合适地设置函数解析式,可使计算过程简便.【过程与方法】通过例题讲解使学生初步掌握,用待定系数法求二次函数的解析式.【情感态度】通过本节教学,激发学生探究问题,解决问题的能力.【教学重点】用待定系数法求二次函数的解析式.【教学难点】灵活选择合适的表达式设法.一、情境导入，初步认识1.同学们想一想，已知一次函数图象上两个点的坐标，如何用待定系数法求它的解析式？学生回答：2.已知二次函数图象上有两个点的坐标，能求出其解析式吗？三个点的坐标呢？二、思考探究，获取新知探究1已知三点求二次函数解析式讲解：教材P21例1，例2.【教学说明】让学生通过例题讲解归纳出已知三点坐标求二次函数解析式的方法.探究2用顶点式求二次函数解析式.例3 已知二次函数的顶点为A(1,-4)且过B(3,0),求二次函数解析式.【分析】已知抛物线的顶点,设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.解：∵抛物线顶点为A(1,-4),∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4,∵点B（3，0）在图象上，∴0=4a-4,∴a=1,∴y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.【教学说明】已知顶点坐标，设顶点式比较方便，另外已知函数的最（大或小）值即为顶点纵坐标，对称轴与顶点横坐标一致.探究3用交点式求二次函数解析式例4(甘肃白银中考) 已知一抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（1，0），且经过点C（2，8）.求二次函数解析式.【分析】由于抛物线与x轴的两个交点为A（-2，0），B（1，0），可设解析式为交点式：y=a(x-x1)(x-x2).解：A（-2，0），B（1，0）在x轴上，设二次函数解析式为y=a(x+2)(x-1).又∵图象过点C（2，8），∴8=a(2+2)(2-1),∴a=2,∴y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.【教学说明】因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程简单.三、运用新知，深化理解1.若二次函数y=-x2+mx-2的最大值为，则m的值为（）A.17B.1C.±17D.±12.二次函数y=ax2+bx+c的图象大致如图所示，下列判断错误的是（）A.a＜0B.b＞0C.c＞0D.ab＞0第2题图第3题图第4题图3.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是直线x=1,且经过点P（3,0)，则a-b+c的值为（）A.0B.-1C.1D.24.如图是二次函数y=ax2+3x+a2-1的图象,a的值是 .5.已知二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5），且与x轴交于A、B两点.(1)试确定此二次函数的解析式;(2)判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在,请求出△PAB的面积;如果不在,试说明理由.【教学说明】通过练习巩固加深对新知的理解,并适当对题目作简单的提示.第3题根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为（-1，0），将此点代入解析式，即可求出a-b+c的值.第4题可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向.【答案】1.C 2.D 3.A 4.-15.解:(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.∵二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5）.∴c=3.∴9a-3b+3=0,4a+2b+3=-5.解得a=-1,b=-2.∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(2)∵当x=-2时，y=-(-2)2-2×(-2)+3=3,∴点P（-2,3)在这个二次函数的图象上.令-x2-2x+3=0,∴x1=-3,x2=1.∴与x轴的交点为(-3,0),(1,0),∴AB=4.即S△PAB=12×4×3=6.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答的基础上，教师点评：3.求二次函数解析式的三种表达式的形式.(1)已知三点坐标,设二次函数解析式为y=ax2+bx+c.(2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k.(3)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)可设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2).1.教材P23第1~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.用待定系数法求二次函数的表达式有三种基本方法,解题时可根据不同的条件灵活选用.本节内容是二次函数中的重点也是中考考点之一,同学们要通过练习,熟练掌握.。
不共线的三点确定二次函数解析式
1.3不共线三点确定二次函数的表达式一、知识要点：1．若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式（a≠0）求解析式。
2．若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式，其中（h，k）为顶点坐标。
，为3．若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中x x12抛物线与x轴交点的横坐标。
二．重点、难点：重点：求二次函数的函数关系式；难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。
三.教学过程：1.自主探究、合作交流例1．二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。
例2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；例3．已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。
例4．如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
它的跨度AB 为4m，拱高CO为0．8m。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?2.巩固练习：1．一条抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。
2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两交点的横坐标是（－12，32），与y 轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式。
3． 如图所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点A 和A 1，点B 和B 1分别关于y 轴对称，隧道拱部分BCB 1为一段抛物线，最高点C 离路面AA 1的距离为8米，点B 离地面AA 1的距离为6米，隧道宽AA 1为16米。
（1）求隧道拱抛物线BCB 1的函数表达式；（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。
3.小结。
1.3不共线三点确定二次函数解析式
3、若抛物线 y=ax2+2x+c 的对称轴是 直线 x=2且函数的最大值是 -3,求 a,c
解得
a=
∴ 所求的解析式为：y= (x-2)² -1
(3)交点式：y
a x x1 x x2
• 已知图象与x轴的两个交点的坐标及另一点 坐标，求解析式
例3 抛物线与x轴交于(2,0)，(-1,0)且过点 (0,-2)，求抛物线的解析式.
解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0) ∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1)
例1 已知一个二次函数的图象经过(1,3)， (-1,-5) ，(3,-13)三点，求这个二次函数的 表达式. 解:设二次函数表达式为:y=ax2+bx+c 将三个点的坐标(1,3)， (-1,-5) ，(3,-13) 分别代入函数表达式得： a+b+c=3
a-b+c=-5 9a+3b+c=-13
解得：a=-3,b=4，c=2
把点(0,-2)代入
a(0-2)(0+1)=-2
解得 a=1 ∴ y=(x-2)(x+1) 即:y=x2-x-2
课堂小结
求二次函数解析式的一般方法：
已知图象上三点，
通常选择一般式:y=ax2+bx+c
已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点 的坐标 +k (a≠0) 通常选择顶点式 y=a (x-h) ²
所求的抛物线解析式为:y=-3x2+4x+2
y=a (x-h) ² +k (a≠0) (2)顶点式：
已知顶点坐标及另一个点的坐标，求解析式。
知道顶点，如何设顶点式？ 如果顶点是（2,0），应设
九年级数学下册 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
确定二次函数的表达式例1 已知二次函数，当x ＝4时有最小值-3，且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式.例2 求函数解析式的题目(1) 已知二次函数的图象经过点(-1，-6)，(1，-2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式.(2) 已知抛物线的顶点为)3,1(--，与y 轴交点为)5,0(-，求此抛物线的解析式.(3) 已知抛物线与x 轴交于)0,1(-A ，)0,1(B ，并经过点)1,0(M ，求抛物线的解析式.例3 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交于点)0,6(A ，顶点B 的纵坐标是－3.(1)求此二次函数的解析式；(2)若一次函数m kx y +=的图象与x 的轴相交于)0,(1x D ，且经过此二次函数的图象的顶点B ，当623≤≤m 时， (ⅰ)求1x 的取值范围；(ⅱ)求BOD ∆(O 为坐标原点)面积的最小值与最大值.参考答案例1 分析：因为二次函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上．图象与x 轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点．又根据对称性，图象与x 轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：解：此题可用以下四种方法求出解析式.方法一：因为抛物线的对称轴是x ＝4，抛物线与ｘ轴的一个交点为(1，0)，由对称性可知另一点为(7，0)，同例1，抛物线y=ax 2＋bx ＋c 通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a 、b 、c 的三元一次方程组，可解出a 、b 、c 来.方法二：由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物线通过(1，0)点，所以由上面的方程组解出a 、b 、c.方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a(x+h)2+k ，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)2-3，式中只有一个待定系数a ，再利用抛物线通过(1，0)或通过(7，0)求出a 来. 即20(14)3a =--得出13a =. 所求二次函数解析式为221187(4)33333y x x x =--=-+. 方法四：由于抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=1，x 2=7．可以采用双根式y=a(x-x 1)(x-x 2)，其中x 1=1，x 2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数a ，再把顶点(4,-3)代入上式得:13(41)(47),3a a -=--=所求二次函数解析式为21187(1)(7)3333y x x x x =--=-+. 例2 (1)解：设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2………①将(-1，-6)、(1，-2)和(2，3)分别代入①，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-,324,2,6c b a c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-===.5,2,1c b a所以二次函数的解析式为.522-+=x x y(2)解：因为抛物线的顶点为)3,1(--，设其解析式为3)1(2-+=x a y ……①将)5,0(-代入①得35-=-a ，2-=a ，所求抛物线的解析式为.3)1(22-+-=x y即.5422---=x x y(3)解：因为点)0,1(-A ，)0,1(B 是抛物线与x 轴的交点，所以设抛物线的解析式为)1)(1(-+=x x a y ………①将)1,0(M 代入①，得1-=a ，所求抛物线解析式为).1)(1(-+-=x x y即12+-=x y说明：此三题考查用待定系数法求抛物线的解析式，关键是根据已知条件选择正确解析式的三种形式，将给我们做题带来很大的方便.(1)中给出抛物线上任意三点，所以选择一般式；(2)中给出顶点，所以选择顶点式；(3) 中给出与x 轴的两个交点，所以选择两根式.例3 分析：(1)由已知条件可知，抛物线的顶点坐标是(3，－3)，所以可设出抛物线的顶点式，再把已知点的坐标代入解析式，即可求得.(2)因为当m 取最小值时，1x 也取最小值；当m 取最大值时，1x 也取最大值.所以把m 的最大值和最小值代入直线的解析式，即可求出1x 的取值范围.解：(1)∵二次函数c bx ax y ++=2的图象经过原点O (0，0)与点A (6，0)，∴它的对称轴是3=x .∴它的顶点B 的坐标是(3，－3).设此二次函数为3)3(3--=x a y ，把(6，0)代入解析式得039=-a ，∴31=a ，故所求二次函数的解析式为 x x x y 2313)3(3122-=--=. (2)(ⅰ)令23=m 得直线1l 的解析式为231+=x k y ，把(3，－3)代入得231-=k ，故直线1l 的解析式为2323+-=x y . 令0=y ，得)0,1(D .令6=m 得直线2l 的解析式为62+=x k y ，把(3，－3)代入得32-=k ，故直线2l 的解析式为63+-=x y ，令0=y ，则得)0,2(D .故1x 的取值范围是211≤≤x .(ⅱ)∵BOD ∆的OD 边上的高(即B 点的纵坐标的绝对值)为定值3，故OD 最小，则BOD ∆面积最小，OD 最大，则BOD ∆面积最大.∵OD 最小为1，最大为2，故BOD ∆的面积最小是23，最大为3.。
1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 课件 2024-2025学年湘教版数学九年级下册
感悟新知
知1－练
例1 已知二次函数图象的顶点坐标为( 1， － 3 ) ，且过 点 P ( 2，0 ) ，求这个二次函数的表达式 .
解题秘方一：设出顶点式，再将点 P 的坐标代入 求解 .
感悟新知
解法一： (顶点式)
知1－练
设所求二次函数的表达式为 y=a (x－h) 2+k (a ≠ 0 ) .
∵其图象的顶点坐标为(1， － 3)，且过点(2，0)，
∴ a4+a－b++22cbba=+c=－=10，3，，化简，得ቐa4+ab+2+2acb+=+bc－==00.3，，解得ቐb=a－==30，6. ，c ∴这个二次函数的表达式为 y=3x2 － 6x.
不共线三点确定二 次函数的表达式
待 定 方法 系 数 法
感悟新知
知1－讲
(3)解：解此方程或方程组 ，求出待定系数的值； (4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表 达式 .
感悟新知
知1－讲
技巧提醒 特殊位置抛物线的表达式的设法技巧：
1. 顶点在原点，可设为 y=ax2； 2. 对称轴是y 轴(或顶点在 y 轴上) ，可设为 y=ax2+k； 3. 顶点在 x 轴上，可设为 y=a（x － h）2； 4. 抛物线过原点，可设为 y=ax2+bx.
两个交点 + 一点
确定二次函 数的表达式
关键 点的 坐标
顶点 + 一点
三点 ( 不共线 )
∵二次函数图象的顶点坐标为( 1， － 3 ) ，
∴ h= 1， k= － 3. ∴y=a (x － 1) 2 － 3.
又∵二次函数图象过点 P (2，0)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
九年级数学 第1章 二次函数 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式教学
系数k, b待定
找两个点 两个方程
解二元一 次方程组
2、二次函数的解析式怎样？ 要确定二次函数表达式需待定的系数是哪些？
y=ax2+bx+c(a≠0)
12/10/2021
例1、已知一个二次函数的图象过点（0，2）、
（1，0）、（-2，3）三点，求这个函数的表达式？
解：设二次函数表达式是：y=ax2+bx+c 把点(0，2)、(1，0)、(-2，3)代入表达式，得：
7、已知抛物线对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），求 该二次函数解析式。
设y=ax2+bx+c
-
b 2a
=2
a+b+c=4
设y=a(x-2)2+k
a+k=4
25a+5b+c=0
9a+k=0
8、抛物线的图象经过（2，0）与（6，0）两点，其顶点的纵坐
标是2，求它的函数关系式
提示：由题意得x
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式。
12/10/2021
解析式．
y =- 1 x2 +
12/10/2021
25
8 5
x
课堂小结 求二次函数解析式的一般方法：
▪ 已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式y=ax2+bx+c ▪ 已知图象的顶点坐标、对称轴和最值
通常选择顶点式y=a(x-h)2+k ▪ 已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，
通常选择交点式（两根式）y=a(x-x1)(x-x2) 。
顶点坐标（ 1 ，-8 ）设y=a(x-1)2-8
【中小学资料】九年级数学下册 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数表达式确定策略素材 (新版)
二次函数表达式确定策略确定二次函数表达式是本章的重点内容，学生由于初学二次函数，常常在确定表达式时出现这样那样的错误.下面举例简述几种常见的确定策略，供大家学习时参考.一、利用二次函数的定义来确定.此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足条件0≠a 且x 的最高次数为2次. 例1.若1222)(--+=m m x m m y 是二次函数，则此二次函数的表达式是 . 分析：根据题意先求出m 的值，再将m 值代入,即可求出二次函数表达式.解：由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≠+=--021222m m m m ，解得.3=m 将3=m 代入1222)(--+=m mx m m y 得：212x y =.二、利用待定系数法来确定. 利用待定系数法确定二次函数表达式，常用的有三种基本形式，如表所示：例2. 已知二次函数的图象的顶点为A(2，-2) ，并且经过B(1，0)、C(3，0)，求这条抛物线的表达式.分析：根据题意，本题可用一般式、顶点式或交点式来解决.解法1：设二次函数表达式为c bx ax y ++=2，将A(2，-2)、B(1，0)、C(3，0)代入，得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++0390224c b a c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==682c b a .所以.6822+-=x x y解法2：设二次函数表达式为2)2(2--=x a y ，将B(1，0)代入，得 2)21(02--=a ，解得2=a .所以2)2(22--=x y ，即.6822+-=x x y解法3：设二次函数表达式为)3)(1(--=x x a y ，将A(2，-2)代入，得：)32)(12(2--=-a ，解得2=a .所以)3)(1(2--=x x y ，即.6822+-=x x y三、利用平移变换来确定.将一个二次函数的图像经过上下左右的平移可得到一个新的抛物线．由于经过平移的图象形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 值不变.例3.已知抛物线1l 的表达式为2212+-=x x y ，将抛物线1l 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到抛物线2l ，请求出抛物线2l 的表达式.分析：要解此类题目，应先将已知函数的表达式写成顶点式k h x a y +-=2)(，当图象向左(右)平移n 个单位时，就在h x -上加上(减去)n ；当图象向上(下)平移m 个单位时，就在k 上加上(减去)m . 解：因为2212+-=x x y =23)1(212+-x ，由题意，得抛物线2l 的表达式为： 223)31(212-++-=x y ，即232212++=x x y .。
九下第1章二次函数1-3不共线三点确定二次函数的表达式习题新版湘教版
2 抛物线的顶点为(1，－4)，与y轴交于点(0，－3)，则
该抛物线的表达式为( )
A．y＝x2－2x－3
B．y＝2x2＋2x－3
C．y＝x2－2x＋3
D．y＝2x2－3x－3
【点拨】 设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－4(a≠0)，将点(0，
－3)的坐标代入，得－3＝a(0－1)2－4，解得a＝1，∴抛物 线的表达式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
(2)当x≤0时，y的最大值是2；当x＞0时，y的最大值为 2；x＞0 时，y 的最大值 为 3，∴抛物线的对称轴 x＝b2在 y 轴的右侧，∴b＞0， ∵a＝－1＜0，x≤0 时，y 的最大值为 2，∴c＝2. 易得4×(－4×1(－)×c1－) b2＝3，解得 b＝±2，∵b＞0，∴b＝2. ∴二次函数的表达式为 y＝－x2＋2x＋2.
②写出符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小.
【解】∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
(2)若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的 取值范围．
【解】∵x＝0 和 x＝2 时的函数值都是 1，∴抛物线的对称 轴为直线 x＝－2ba＝1，∴(1，n)是抛物线的顶点，(－1，m) 和(3，p)关于对称轴对称，若在 m，n，p 这三个实数中，只 有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且 m≤0.∵－2ba＝1， ∴b＝－2a，∴二次函数为 y＝ax2－2ax＋1，∴m＝a＋2a＋ 1≤0，∴a≤－13.
(2)当y≤－2时，请直接写出x的取值范围． 【解】当y≤－2时，x的取值范围是－3≤x≤1.
9 已知A(m－1，m2)，B(m＋3，m2)是抛物线y＝x2－2x＋ c上两个不同的点．
九年级数学下册 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
1.3不共线三点确定二次函数的表达式教学目标知识与技能：经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。
方法与过程：会用待定系数法求二次函数的表达式。
情感与态度：逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
重点：求二次函数的表达式。
难点：建立适当的直角坐标系,求出函数表达式,解决实际问题。
教师活动学生活动设计说明一、创设情境活动一如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m,施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?问题(1)如何建立坐标系呢?问题2:分别选用哪种形式？问题3:建立坐标系后如何将已知条件中的高度、跨度等转化为点的坐标呢? 给出一个具有挑战性的实际问题，通过解决此问题，让学生体会求二次函数表达式的一般方法---待定系数法，此问题解决后及时引导学生总结解法。
从现实情境和已有知识经验出发，讨论求二次函数表达式的方法二、议一议我们可以一起总结此问题的解法，①先建立适当的直角坐标系②设出抛物线的表达式③写出相关点的坐标④列方程⑤解方程{组}，求出待定系数⑥写出二次函数表达式活动二已知二次函数图象过三点，求表达式，可以设一般式由学生自主探究后小组交流，对有困难的学生教师可适当点拨。
体会由特殊到一般的数学思想在探索归纳中的应用已知抛物线经过三点A（0，2），B（1，0），C（-2，3），求二次函数的表达式例题讲解已知二次函数图象的顶点和另一点，求表达式，可以设顶点式例2、已知抛物线经过A（2，3）点，且其顶点坐标为（－1，－6），求二次函数的表达式课堂练习1.已知二次函数的图像过点A（0，-1）B（1，-1）C（2，3）求此二次函数表达式；2.已知二次函数的图像过点A（1,-1）B（-1,7）C（2，1）求此二次函数表达式；3.二次函数图像的顶点坐标为(-1,-8),图像与x轴的一个公共点A的横坐标为-3,求这个函数表达式让学生积极参与探索，多和同学交流，并虚心采纳别人合理的意见学生自己完成变式练习教师巡回指导巩固如何选用合适的方法确定二次函数的表达式课堂小结回顾本节课所学知识。
1.3不共线三点确定二次函数的表达式
例 2
已知一抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（1，0）， 且经过点C（2，8），求二次函数解析式。 【分析】由于抛物线与x轴的两个交点为 A（-2，0），B（1，0）， 可设解析式为交点式： y=a(x-x1)(x-x2). 已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式， 再把第三点代入可得一元一次方程，交点式比一般式 所得的三元一次方程求解要简单.
（2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）；
（3）P（1，-5），Q（-1，3），N（-1，-4）. （1）a=2, b=-4, c= -3;y=2x² -4x-3的图象经过P，Q，R三点。
（2）a=0, b=-4, c= -1;一次函数y=-4x-1的图象经过P，Q， M三点。这说明没有一个这样的二次函数，它的图象 经过P,Q,N三点。
这节课你收获了什么？ 【布置作业】
家 作：《学法大视野》P14-17; 课 作：P23 A组 T1或 T3或B组T4（任选一个）
湘教版九年级数学下册
1.3 不共线三点 确定二次函数的表达式（2）
【课前练习】
1、已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条
直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，
ห้องสมุดไป่ตู้身手
三点确定二次函数的解析式
（1）、当x=3时，y最小值 =－1，且图象过（0，7） 顶点式
3 2
（2）、图象过点（0,－2）（1,2）且对称轴为直线x= 顶点式（变式） 交点式 注意：已知函数的最（大或小）值或已知 对称轴方程都可以设为顶点式来求解解析式。
（3）、图象经过（0，1），（1，0），（3，0）
为什么第（1）题中的P、Q、R三点能确定一个二次函数 的表达式，而第（2）题中的P、Q、M和第（3）题中的P、 Q、N不能确定一个二次函数的表达式？
初中数学湘教九年级下1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
找一个点
y k（k 0）系数 k 需待定
确定 个方程
x
找 两 个点
y=kx+b (k≠0) 两系数k,b需待定
两个方程
解一元一次方程 解二元一次方程组
y=ax2+bx+c （a≠0）
找三个点
三个系数需待定
三 个方程
解三元一次方程组
待定系数法
例1、已知一个二次函数的图象经过点（1，3）， （-1，﹣5），（3，﹣13）。
y x2 x 2
2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与 X轴的一个交 点的横坐标是8。
y 1 (x 6)2 2 1 x2 6x 16
2
2
一般式
顶点式
1.设y=ax2+bx+c
1.设y=a(x-h)2+k
2.找（三点）
2.找（一点）
3.列（三元一次方程组） 3.列（一元一次方程）
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标。
小组讨论合作探究一般式的基本步骤？
1.设 y=ax2+bx+c 2.找 （三点） 3.列 （三元一次方程组） 4.解 （消元） .写 （一般形式） 6.查 （回代)
选择合适的方法求二次函数表达式：
1、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三点。
4.解（消元）
4.解（消元）
5. 写（一般形式）
5.写（一般形式）
6.查（回代）
6.查（回代）
二、求二次函数表达式的思想方法 1、 求二次函数表达式的常用方法：
一般式
顶点式
2、求二次函数表达式的 常用思想：
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确定二次函数的表达式解题类型及方法
二次函数常见表达式有一般式（也称三点式）、配方式（也称顶点式）和两根式（也称交点式）三种，各种表达式要注意根据不同的条件灵活选用，以简化解题过程，提高解题能力．下面针对各种条件通常采用的表达式作一简单的归纳．
一、如果已知的条件是二次函数的三组对应值，或者其图象经过三个一般的点，那么一般采用一般式y ＝2
ax bx c ++（a ≠0）．
例1 已知二次函数的图象经过点（1，2），（－1，－2），（0，3），求这个二次函数的表达式．
分析：因为已知的三点仅是一般的点，故设y ＝2ax bx c ++，则 223a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩，解得323a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
故所求的二次函数表达式为y ＝2323x x -++．
二、如果已知条件是二次函数的最大（小）值，或者是图象的顶点坐标，那么一般采用配方式y ＝()2a x m n -+（a ≠0）．
例2 已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，－3），且经过点（0，2），求这个函数的表达式．
分析：因为图象的顶点为（2，－3），故可设其表达式为y ＝()223a x --，又经过点（0，3），故
3＝()2033a --，解得a ＝
23， 所以y ＝()22333
x --． 三、如果已知条件是二次函数图象与x 轴交点坐标，那么可采用两根式y ＝a （x －1x ）（x －2x ）（a ≠0）．
例3 已知二次函数的图象交x 轴于点（－2，0）和（6，0），且经过点（1，15），求它的表达式．
分析：这里1x ＝－2，2x ＝6，故可设y ＝a （x ＋2）（x －6），
把x ＝1，y ＝15代入，得
15＝a ×3×（－5），a ＝－1，
故y ＝－（x ＋2）（x －6）．
四、综合运用各种表达式，再利用比较系数法
例4已知二次函数y ＝c bx ax ++2
的图象的顶点为（2，－3），且在x 轴上截得的线段长为32，求a ，b ，c 的值．
解法一 由已知，二次函数的解析式可化为y ＝3)2(2--x a ，
即y ＝2ax －4ax ＋4a －3，
故a a a a 12)34(4162=--=∆， 由3221=-x x 及求根公式，得3212=a a
，解得a ＝1．
故y ＝3)2(2--x ，
即y ＝2x －4x ＋1，
所以a ＝1，b ＝－4，c ＝1．
解法二 设抛物线交x 轴于A 1212(0)(0)()x B x x x ，，，≤，则由AB ＝32得 3221-=-x x ， （1）
又对称轴为x ＝2，故222
1=+x x ， （2）
由（1）、（2）解得321-=x ，322+=x ，故可设
y ＝(22a x x ---，
又抛物线经过（2，－3），故
－3＝a )3(3-，a ＝1，
所以y ＝)32)(32(--+-x x ，
即y ＝2x －4x ＋1，
所以a ＝1，b ＝－4，c ＝1．。