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小学奥数裂项公式汇总资料

裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。

(完整版)五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版.docx

整数裂项与分数裂和考试要求（1）能熟练运算常规裂和型题目；（2）复杂整数裂项运算；（3）分子隐蔽的裂和型运算。

知识结构一、复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。

其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加 1 的乘积。

整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。

所有积之和，裂项来求作。

后延减前伸，差数除以N。

N 取什么值，两数相乘积。

公差要乘以，因个加上一。

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0 时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。

对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。

此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

二、“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a bab1 1（2） a 2b2 a 2b2a ba b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

重难点（1）复整数裂的特点及灵活运用（2）分子蔽的裂和型运算。

例题精讲一、整数裂【例 1】算：1 3 2 4 3 5 4 6 L 99 101【巩固】算： 3 5 5 7 7 9 L 97 99 99 101【例 2】算1016 22 16 22 28 L 70 76 82 76 8288【巩固】 3 3 3 4 4 4 L 79 7979【例 4】计算：1 1 1 2 2 2 3 3 3 L 99 99 99 100 100 100【例 5】1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 L 1 2 3 L100【巩固】 3 3 6 3 6 9 L 3 6 L300二、分数裂和【例 6】填空：51，71，91 62123204 111， 131， 151 3054265675791113151719【巩固】计算： 1122030425672906【例7】 5 6 6 7 78 8 9 9 1056677889910【巩固】36579111357612203042【例 8】计算：132579101119 3457820212435【巩固】12379111725 3571220283042【例 9】111112010263827 2330314151119120123124【巩固】3549637791105 1 316122030425688【例10】122222321821921922021223181919201212221222321222324212 2 2262【巩固】1323132333132333431323263 13课堂检测1、1 4 4 7 7 10 L 4952 =_________57911131517192、计算： 11220304256729063 、1179817512 22 22 32 20042 20052 20052 200624、22 3L20052005 20061 20045、 11 11L 11111223299 2家庭作业1、 1 1 2 2 3 3 L 50 502、 2 4 6 4 6 8 L 96 98 1003、 1 2 3 7911 21 313 5 7 12 20 28 40 564 、(11) (22) (33) L(88) (99 ) 2349105、 1 2 1 2 3 1 2 3 4 L 1 2 3 L 502 23 2 34 2 3 L 50教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：。

(完整word版)整数裂项例题讲解

整数裂项例题讲解对于较长的复杂算式,单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的.如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。

而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。

通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项)恰好与上个裂变的前项（或后项)相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。

下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。

例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。

算式的特点概括为:数列公差为1，因数个数为2。

1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2×3=（2×3×4-1×2×3)÷(1×3）3×4=（3×4×5—2×3×4)÷（1×3)4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）……98×99=（98×99×100—97×98×99)÷(1×3）99×100=(99×100×101—98×99×100）÷(1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99×100×101—0×1×2）÷3。

裂项公式大全基本

裂项公式大全基本1.二项展开公式：二项展开公式是裂项公式的基本形式，用于展开一个二项式的幂。

假设有两个实数a和b，以及非负整数n，则二项展开公式如下：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,n-1)*a^1*b^(n-1)+C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合的个数。

2.差的平方公式：差的平方公式用于展开一个两个实数的差的平方。

假设有两个实数a 和b，则差的平方公式如下：(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.和的平方公式：和的平方公式用于展开一个两个实数的和的平方。

假设有两个实数a 和b，则和的平方公式如下：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^24.三项展开公式：三项展开公式是裂项公式的扩展形式，用于展开一个三项式的幂。

假设有三个实数a、b和c，以及非负整数n，则三项展开公式如下：(a + b + c)^n = Σ(i=0 to n) Σ(j=0 to n-i) C(n, i, j) *a^(n-i-j) * b^i * c^j其中C(n,i,j)表示三项式系数，表示从n个元素中选择i个元素的组合的个数，且这i个元素中的j个选择为c。

5.四项展开公式：四项展开公式是裂项公式的进一步扩展，用于展开一个四项式的幂。

假设有四个实数a、b、c和d，以及非负整数n，则四项展开公式如下：(a + b + c + d)^n = Σ(i=0 to n) Σ(j=0 to n-i) Σ(k=0 to n-i-j) C(n, i, j, k) * a^(n-i-j-k) * b^i * c^j * d^k其中C(n,i,j,k)表示四项式系数，表示从n个元素中选择i个元素的组合的个数，且这i个元素中的j个选择为c，这j个元素中的k个选择为d。

(完整版)五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版

（1）能熟练运算常规裂和型题目；（2）复杂整数裂项运算；（3）分子隐蔽的裂和型运算。

一、复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。

其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。

整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。

所有积之和，裂项来求作。

后延减前伸，差数除以N 。

N 取什么值，两数相乘积。

公差要乘以，因个加上一。

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。

对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。

此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

二、 “裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

考试要求知识结构整数裂项与分数裂和（1）复杂整数裂项的特点及灵活运用（2）分子隐蔽的裂和型运算。

一、整数裂项【例 1】计算：1324354699101⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L【巩固】计算：355779979999101⨯+⨯+⨯++⨯+⨯L【例 2】计算101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯L【例 3】计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100例题精讲重难点【巩固】333444797979⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯L【例 4】计算：111222333999999100100100⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯L【例 5】 ()()()()1121231234123100+++++++++++++++L L【巩固】()()()33636936300++++++++++L L二、分数裂和【例 6】填空： ()+=2165， ()+=31127， ()+=41209()+=513011，()+=614213， ()+=715615【巩固】计算：90197217561542133011209127651+-+-+-+-【例 7】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 36579111357612203042++++++【例 8】计算：132579101119 3457820212435 ++++++++=【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++【例 9】111112010263827 2330314151119120123124 +++++++++【巩固】3549637791105311 6122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【例 10】22222222 122318191920 122318191920 ++++ ++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯【巩固】333222333322223332223322322621262143214321321321212111+⋯+++⋯++-⋯+++++++-+++++++-1、 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯L =_________2、计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+3、 11798175451220153012++++++ 课堂检测4、 222222221223200420052005200612232004200520052006++++++++⨯⨯⨯⨯L5、 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L1、 1122335050⨯+⨯+⨯++⨯L2、 2464689698100⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯L家庭作业3、12379112131 3571220284056 +++++++4、12389 (1)(2)(3)(8)(9)234910 -⨯-⨯-⨯⨯-⨯-L5、12123123412350 2232342350 ++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++LLL学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：教学反馈。

整数裂项

整数裂项整数裂项基本公式(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】这是整数的裂项。

裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。

设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+，所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1910113303=⨯⨯⨯= 另解：由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++()()222129129=+++++++119101991062=⨯⨯⨯+⨯⨯330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论．【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________ 【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10………….49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【例 3】 12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以，原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭191011124=⨯⨯⨯⨯2970= 从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例 4】计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】可以进行整数裂项．357913573578⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 5791135795798⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 17192123151719211719218⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+()()()22222232352519219=-⨯+-⨯++-⨯ ()()333351943519=+++-⨯+++()()3333135194135193=++++-⨯+++++而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++22221120218101144=⨯⨯-⨯⨯⨯19900=， 21351910100++++==，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯，则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯197989910010119010098805=⨯⨯⨯⨯⨯=，现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．12342345345645675678979899100A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯4(123345567...979899)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)98(981)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24698)4(24698)=⨯++++-⨯++++ 221148495041004942=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48010200= 所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【例 5】 2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯ 【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯()213520012003=⨯+++++()21200310022=⨯+⨯÷ 2008008=其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出2135200120031002+++++= 【答案】2008008【例 6】 11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=【考点】整数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，33!3321(41)3214!3!⨯=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-，……20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!= 【答案】2009!。

整数裂项

整数裂项整数裂项基本公式(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】这是整数的裂项。

裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。

设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+，所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1910113303=⨯⨯⨯= 另解：由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++()()222129129=+++++++119101991062=⨯⨯⨯+⨯⨯330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论．【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________ 【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10………….49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【例 3】 12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以，原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭191011124=⨯⨯⨯⨯2970= 从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例 4】计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】可以进行整数裂项．357913573578⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 5791135795798⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 17192123151719211719218⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+()()()22222232352519219=-⨯+-⨯++-⨯ ()()333351943519=+++-⨯+++()()3333135194135193=++++-⨯+++++而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++22221120218101144=⨯⨯-⨯⨯⨯19900=， 21351910100++++==，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯，则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯197989910010119010098805=⨯⨯⨯⨯⨯=，现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．12342345345645675678979899100A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯4(123345567...979899)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)98(981)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24698)4(24698)=⨯++++-⨯++++ 221148495041004942=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48010200= 所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【例 5】 2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯ 【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯()213520012003=⨯+++++()21200310022=⨯+⨯÷ 2008008=其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出2135200120031002+++++= 【答案】2008008【例 6】 11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=【考点】整数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，33!3321(41)3214!3!⨯=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-，……20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!= 【答案】2009!。

小学奥数-整数裂项

小学奥数--整数裂项对于较长得复杂算式,单单靠一般得运算顺序与计算方法就是很难求出结果得。

如果算式中每一项得排列都就是有规律得，那么我们就要利用这个规律进行巧算与简算。

而裂项法就就是一种行之有效得巧算与简算方法。

通常得做法就是:把算式中得每一项裂变成两项得差，而且就是每个裂变得后项(或前项)恰好与上个裂变得前项(或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”得目得。

下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法得运用,并为整数裂项法编制一个易用易记得口诀。

后延减前伸差数除以N例1、计算1×2+2×3+３×４+4×5+…＋9８×９9＋99×100分析:这个算式实际上可以瞧作就是:等差数列１、2、3、4、5……98、９9、１０0，先将所有得相邻两项分别相乘,再求所有乘积得与。

算式得特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。

1×2＝(1×2×３-0×1×2)÷(1×3)2×３=(２×3×４-1×２×3)÷(1×３)3×4=(3×4×5-2×3×4)÷(１×３)4×5=（4×５×６－3×４×5)÷(1×3)……98×99＝(98×99×100-97×9８×99)÷(1×3)99×1０0=(９９×100×101-98×99×100）÷(1×3)将以上算式得等号左边与右边分别累加,左边即为所求得算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99×10０×１０１-0×1×2)÷3。

整数裂项的计算方法

整数裂项的计算方法嘿，咱今儿个就来唠唠整数裂项的计算方法！这可是个很有意思的玩意儿呢！你看啊，整数裂项就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开那些看似复杂难搞的数学大门。

比如说，咱有个式子像这样：1×2+2×3+3×4+……+n(n+1)。

哇，乍一看是不是有点头疼？别急，这时候整数裂项就派上用场啦！我们可以把每一项都拆分成两个数的差，就像这样：1×2=(1×2×3-0×1×2)÷3，2×3=(2×3×4-1×2×3)÷3，3×4=(3×4×5-2×3×4)÷3……以此类推。

然后你发现没，中间的那些项都可以相互抵消掉啦！最后就剩下两头的，神奇不神奇？这就好像我们在走一条长长的路，一路上有很多小障碍，但通过整数裂项这个方法，就像是找到了一条巧妙的捷径，一下子就穿过去了！再比如另一个例子，计算1²+2²+3²+……+n²。

这也能用整数裂项来搞定呢！我们可以把每一项都转化一下，变成可以裂项的形式。

你想想，数学的世界多奇妙啊！整数裂项就像是隐藏在其中的一个小秘密，等着我们去发现和运用。

咱平常学习数学，不就是要不断探索这些好玩的方法嘛！就像探险家在未知的领域里寻找宝藏一样，每找到一个新方法，都让人兴奋不已！通过整数裂项，那些原本让人头疼的式子都变得乖乖听话啦！咱可以轻松地算出结果，那种感觉，就像打了一场胜仗一样爽！所以啊，同学们可千万别小瞧了这个整数裂项的计算方法哦！它能让我们在数学的海洋里畅游得更顺畅，更开心！多去试试，多去探索，你就会发现它的魅力所在啦！怎么样，是不是迫不及待想去试试啦？赶紧的吧！。

整数裂项方法

整数裂项方法
整数裂项方法，那可真是数学世界里的一颗璀璨明珠啊！你知道吗，它就像是一把神奇的钥匙，能打开那些看似复杂难解的数学大门。

我们来看看整数裂项到底是怎么一回事。

比如说，有一个数列 1，2，3，4，5……那怎么通过裂项来找到其中的规律和奥秘呢？这就好像是在一个大宝藏中寻找隐藏的宝贝一样刺激！
把一个整数拆分成几个数的和或差，这就是裂项的核心啊！这不就像是把一个大拼图拆成小块，然后再重新组合，发现它原本的模样吗？比如说 5 可以拆成 2 和 3，也可以拆成 1 和 4，这多有趣啊！
通过裂项，我们可以把复杂的计算变得简单易懂。

就好像原本是一团乱麻，突然就被理清了头绪。

这难道不令人惊叹吗？比如计算从 1 到 100 的所有整数的和，要是直接一个个加，那得累死人啊！但用裂项方法，就轻松多了。

而且啊，整数裂项方法在解决很多实际问题中也大显身手呢！它就像是一个万能工具，不管遇到什么难题，都能派上用场。

难道你不想掌握这样神奇的方法吗？
在学习整数裂项方法的过程中，可能会遇到一些困难，但这有什么可怕的呢？不经历风雨怎么见彩虹，对吧？就像爬山一样，虽然过程中会累会辛苦，但当你爬到山顶，看到那美丽的风景时，一切都值得了。

整数裂项方法就是这样独特又精彩，它让我们看到数学的魅力和无限可能。

不用它，那不是太可惜了吗？所以啊，大家都要好好去探索和运用整数裂项方法，让自己在数学的海洋中畅游，去发现更多的奇妙和惊喜！这就是我的观点，毋庸置疑！。

小学奥数教程整数裂项.教师版全国通用

整数裂项根本公式 (1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】这是整数的裂项。

裂项思想是：瞻前顾后，互相抵消。

设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×〔4－1〕＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×〔5－2〕＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×〔51－48〕=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________ 【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】此题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进展计算．对于项数较多的情况，可以进展如下变形：所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭另解：由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论．【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ 1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×〔10－1〕＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×〔13－4〕＝7×10×13－4×7×10例题精讲知识点拨整数裂项49×52×9＝49×52×〔55－46〕＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =〔49×52×55＋1×4×2〕÷9＝15572【答案】15572【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以，原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例 3】计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】可以进展整数裂项．所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+ 而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++ 21351910100++++==，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ 【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】可进展整数裂项：原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】2147376【巩固】计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，此题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进展计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯，那么123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯如今知道A 与B 的和了，假如能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯ 其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出【答案】2008008【考点】整数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!= 【答案】2009! 【例 4】计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【考点】整数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】设原式=B A122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦1991001013333003=⨯⨯⨯= 1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=3333005000338333330050003283B A +==- 【答案】33833283。

整数裂项题目

整数裂项题目
摘要：
一、整数裂项题目的背景和定义
二、整数裂项题目的解题技巧和方法
1.分解质因数法
2.短除法
3.综合运用
三、整数裂项题目的实际应用
1.数学竞赛
2.日常生活计算
四、总结整数裂项题目的意义和重要性
正文：
整数裂项题目是数学中一种常见的题目类型，它涉及到整数的分解和计算。

对于这类题目，掌握解题技巧和方法至关重要。

首先，我们需要了解整数裂项题目的背景和定义。

整数裂项题目是指将一个整数分解为两个或两个以上的整数的乘积，这些乘积被称为裂项。

例如，将整数24裂项，可以得到24=2×2×2×3，这就是一个三项裂项。

针对整数裂项题目，有三种常用的解题技巧和方法。

第一种是分解质因数法。

通过将整数分解为质因数的乘积，再进行裂项。

例如，将整数36分解质因数，得到36=2×2×3×3，这就是一个四项裂项。

第二种方法是短除法。

短除法是一种简便的分解整数的方法，通过不断地除以最小的裂项，直至无法再
除为止。

第三种方法是综合运用。

在实际解题过程中，可以根据题目的具体情况，灵活运用以上两种方法。

整数裂项题目在实际生活中有着广泛的应用。

在数学竞赛中，这类题目经常出现，考验学生的计算能力和思维能力。

在日常生活中，我们也常常需要对整数进行裂项计算，例如计算利息、折扣等。

掌握整数裂项题目，可以帮助我们更加快速、准确地进行计算。

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