小学数学竞赛题-分数计算之换元与放缩
小学奥数教程-换元法.教师版 (10) 全国通用(含答案)
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，例题精讲教学目标换元法1-3-5.换元法.题库教师版page 1 of原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
小学思维数学：换元法-带答案解析
换元法对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令1111246a +++=，111246b ++=，则：原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a =--+1()6a b =-11166=⨯= 【答案】16【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)=【答案】15【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令621739458126358947a ++=；739458358947b +=，原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++) 例题精讲教学目标【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
小学奥数精讲 换元法
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，原式378378207207a b a b⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b=-⨯=⨯=【答案】9例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
小学数学 换元法.教师版
【题型】计算
【解析】令1 1 1 1 a ， 1 1 1 b ，则：
246
246
原式 (a 1) b a (b 1)
6
6
ab 1 b ab 1 a
6
6
1 (a b) 1 1 1
6
66
【答案】 1 6
【巩固】 (1 1 1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 1 1) (1 1 1)
21 31 41
原式
a
b
1 51
a
1 51
b
ab 1 a ab 1 b
51
51
1 (a b) 1 1 1
51
51 11 561
【答案】 1 561
【巩固】计算（1 1 1 1 ） (1 1 1 1 ) （1 1 1 1 1 ) (1 1 1 ) 5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11
【巩固】计算下面的算式
( 7.88 6.77 5.66 ) ( 9.31 10.98 10 ) ( 7.88 6.77 5.66 10 ) ( 9.31 10.98 )
【考点】换元法
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】希望杯，2 试
【解析】换 元 的 思 想 即 “ 打 包 ” ， 令 a 7.88 6.77 5.66 ， b 9.31 10.98
378 207
621 126
378 207
9
【答案】 9
1
【巩固】计算：( 0.1 0.21 0.321 0.4321 ) ( 0.21 0.321 0.4321 0.54321 )
( 0.1 0.21 0.321 0.4321 0.54321 ) ( 0.21 0.321 0.4321 )
小学奥数《简便计算》完整详细
简便计算一、加减法巧算之凑整与组合思想1、++---+++---8+…+++---+++1练习1、-+-+95-194+…+5-4+3-2+12、加法金字塔，计算下面数的和：练习2、3、计算：++9+…+142431999个919999L练习3、计算：9+99+999+…+142439个99999L二、乘除法巧算之提取公因数与组合思想1、⨯-⨯+⨯-⨯+96⨯-⨯2、⨯-⨯练习2、⨯-⨯3、⨯-⨯练习3、⨯992-⨯991三、四则混合巧算之综合技巧1、⨯⨯⨯⨯⨯⨯17⨯19÷38÷51÷65÷77练习1、(11⨯10⨯9⨯…⨯3⨯2⨯1)÷(⨯⨯⨯)2、12399个9999L ⨯12399个7777L +12399个3333L ⨯12399个6666L练习2、⨯+⨯3、1444424444399个0123456791234567901234567901234567981⨯L练习3、42857⨯63四、小数计算与换元思想、循环小数互化与错位相减技巧1、+++++++++、g1+g2+g3+g4+g8+g9练习2、g1++g3+g6（结果保留三位小数）3、+⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯-111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)22339999L4、2123912391129239()()(1)()2341023410223103410+++++++++⨯-++++⨯+++L L L L练习4、+++++++++++⨯-++++++⨯++++2123456123456112345623456()()(1)()2345672345672234567345675、(-+-+-11111234599L ＋1100)⨯(-+-+-+111111234599L )- (-+-+-+111111234599L -1100)⨯(-+-+-11111234599L )练习5、--+⨯+--+-⨯-+-11111111111111(1+)(-)(1)()1113171911131711131711131719五、估算、放缩综合技巧1、求数a =10100+10101+10102+…+10110的整数部分。
3、分数的比较及缩放
第3讲 分数的比较及缩放【内容综述】本讲主要学习两部分内容：分数如何比较大小？分数如何放大或缩小？1、分数大小比较，常用方法有：1）分母相同比分子，分子大的分数大，如26273131<； 2）分子相同比分母，分母大的分数小，如26263129<； 3）分数转化为小数比较，如2231428775.= ，33551411135929.= ，所以522373511>； 4）交叉相乘法，因为30171005225623⨯=>=⨯，所以17232230<； 5）当a b >，0n >时，b n b b n a n a a n -+<<-+，即真分数的分子与分母同时加上一个正数，越加越大； 当a b <，0n >时，b n b b n a n a a n-+>>-+，即假分数的分子与分母同时加上一个正数，越加越小； 6）平均数法，b b c c a a d d+<<+，分子与分子的平均数作为分子，分母与分母的平均数作为分母，得到的分数比原来较大分数小，比原来较大分数大，如442121773434+<<+； 2、分数的放大与缩小：分数的放大与缩小，一边是确定一个分数的整数部或最接近哪个整数，如()()211111111111n n n n n n n n n -<<<<-++--．例1. 已知A =291111+，B =271131+，C =261141+，D =31191+，E =33171+，请将A 、B 、C 、D 、E 按从小到大写出：____<____<____<____<____．【分析】通过观察发现，两个真分数的和都是40，联想到两个数，和同差小积大，可以得到五个分数的排序．【解答】因为A =114011291129+=⨯，B =114013271327+=⨯，C =114014261426+=⨯， D =1140931931+=⨯，E =1140733733+=⨯． 同时7⨯33<9⨯31<11⨯29<13⨯27<14⨯26，分子都是40，分母大的分数反而小，所以C <B <A <D <E ．【评注】当多个分数比较大小时，要找到合适的比较标准，然后根据性质比较即可．例2. 比较大小：11111、1111111、111111111． 【分析】分母与分子分别相差100、1000、10000，可以扩大10倍，分子与分母之差都是1，利用性质比较．当然也可以采用倒数法，把分子都化为1，然后比较分母．【解答】∵11011010001110 11111110001111+<=+，∴111111111111<，∵111011101000011110 111111111000011111+<=+，∴1111111111111111<，从而11111<1111111<111111111．另解：∵11111111111101111==+，1111111111111110111111==+，111111111111111111011111111==+，又∵111 111111111 >>∴11111<1111111<111111111．【评注】本题解法一，使用了给真分数分子和分母都加上相同的数，得到结果比原来的分数较大的结论．解法二要注意两次分数的变形，都是分子相同的分数比较大小．例3.下面四个算式，得数最大的是_______．（填写序号）①11(+)201719⨯，②11(+)302429⨯，③11(+)403137⨯，④11(+)504147⨯．【分析】把括号外的倍数分配进去，发现每个分数都是假分数，不妨把整数部分去掉，然后对分数部分比较大小．【解答】①1120203193 (+)20=+2+2+ 1719171951571719⨯=+=+；②1130306393 (+)30=+2+2+ 2429242924873687⨯=+=+；③11404093 (+)40=+2+ 313731373137⨯=+；④11505093 (+)50=+2+ 414741474147⨯=+；从比较中发现，999931365411>>>，且333337478577>>>，第③个算式的每个分数都是四个对应分数中最大的，所以它们的和也是最大的（其它的分数大小排序有点乱，还不能确定大小关系），所以四个算式中最大的是第④个．【评注】在第②个算式中，有一个分数624，如果把它分子与分母同时扩大1.5倍，也可以得到分子为9的分数936，这样就把分子统一起来了．例4.1）1111130313239++++的整数部分是________；2）1111130313249++++的整数部分是________．【分析】对于1）只要求这个繁分数化成小数的整数部分，不需要求出这个数的准确值，我们可以采用放大或缩小的方法，两边“夹逼”出这个数的整数部分．如果用1）的方法看是否适用？会有新的方法吗？【解答】1）设1111130313239a =++++ ，因为1311030a >=⨯，又因为139 3.91101039a <==⨯， 所以3 3.9a <<，[]3a =，即这个分数的整数部分为3．2）按上面的方法解题，设1111130313249b =++++ ，因为1 1.120350b >=⨯，又因为149 2.412020459b <==⨯， 所以..54512b <<，这时候发现算式的整数部分可能是1或2，说明我们把分数大的放得太大，小的缩得太小了．我们可以考虑“和同差小积大”． 另解：因为111111113049314832473940+>+>+>>+ 所以13049 1.8607117910103049b ⨯>==⨯⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭ ，39403940 1.9746117920203940b ⨯⨯<==⨯⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭， 即1.8607 1.9746b << ，[]1b =． 【评注】为了快速得到近似数，不妨取“中间数”来求近似值，11.9712039.55b ≈=⨯，所以这个分数的整数部分为1．解题过程中，出现符号[x ]，表示不大于x 的最大整数，也就是x 的整数部分，如[3.14]=4，[6]=6等等．例5. 若将算式111111123456782015201620172018-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 的值化为小数，则小数点后第1个数字是__________．【分析】算式是减、加交替，但裂差后不能抵消，可以采用放缩法，想办法变形为连减算式或连加算式．要求的是小数点后第一位上的数字，要合适放大和缩小．【解答】∵11111()()1234562015201620172018a =-----⨯⨯⨯⨯⨯ 111()23456<--⨯⨯920=0.45=， 且1111111()()()12345678201320142015201620172018a =-+-++-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11523412>-=⨯0.41>，∴这个算式大于0.41而小于0.45，它的小数点后第一位上的数字是4．【评注】在第一个算式中，去掉后面一些减数，得到结果变大，第二算式中，去掉后面一些加数，结果会变小．例6. 比较4710137679××××××5811147780 与13的大小，并证明你的结论； 【分析】前者很难算出它的结果，我们不妨另外构造两个算式，一个算式大于这个数，另一个小于这个数，三者相乘得到一个与13相关的数．【解答】设369127578××××××4710137679a = ，4710137679××××××5811147780b = ，5811147780××××××6912157881c = ， 则a b c <<，且33478798031565467798081813a b c ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭．又知道3544×<4655⨯⨯，6877×<5766⨯⨯，9111010×<10121111⨯⨯，…，78807979×<79818080⨯⨯，所以2×<a c b ，3××<a b c b ，331<3b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以13b >． 【评注】上面在2×<a c b 的证明中，也可以理解为真分数的分子与分母都加上1，得到新分数变大．同时构造法是本题解题的主要方法．【练习题】1. 比较大小：1）11()101213+⨯、11()202327+⨯、11()303640+⨯、11()404650+⨯．2）2016201520152016_____201620152015200020162000--．2. 已知a b <，且23a b c +=，23a c d +=，23c b e +=，请把把a 、b 、c 、d 、e 从小到大排列起来．3. 除式“1213141516171819÷9181716151413121”计算结果的小数点后前三位数字是___、___、___．4. 已知222211*********a =++++ ，比较大小：a _______53（填“>”、或“<”），请证明你的结论．5. 1357992468100⨯⨯⨯⨯⨯ 与110相比，哪个更大？为什么？【参考答案】1、③<①<②<④；2、a d c e d <<<<；3、1，3，2；、4、<（扩2倍裂差）；5、110较大；。
小学奥数之换元法(教师版)
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算
【关键词】迎春杯
【解析】⑴该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设 ， ，
有原式 ( ) ( )
⑵设 ，
原式
【答案】⑴ ⑵
【巩固】计算： =。
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算
【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级
【解析】设 、 ，则有
10) 爱老婆要做到两个不要：不要问老婆能够为额做些什么，而要问额可以为老婆做些什么;不要问老婆喜欢些什么，老婆喜欢些什么对额而言应该是常识!
对老婆煽情的话
1) 有你相伴，天空是蓝的，空气是甜的;有你相随，日子是乐的，生活是美的;有你相守，家庭是暖的，心里幸福的;老婆我爱你，最美的祝福送给你，愿幸福绕你身旁，快乐把你笼罩!
1) 有一种情，相濡以沫温馨处处在，有一种意，海枯石烂温暖处处开，有一颗心，沧海桑田温情永不变，有一句话，相知相守爱你一万年，老婆我爱你永不变!
2) 你好象生气了，我心里也不好受，如果是我酿成了此错，希望你能原谅，如果不能原谅，我自己也无法原谅自己了。
3) 你负责貌美如花，我负责赚钱养家，你负责轻松悠闲，我负责工作挣钱，你负责开心幸福，我负责操持家务，你负责快乐天天，我负责爱你永远!
7) 就数老婆好，美女都不要;打骂不还手，见面就告饶;化妆你称道，购物掏腰包;逛街不斜视，乖乖跟好了。
8) 孔雀最美，你是我的孔雀，我为你开屏;百灵最俏，你是我的百灵，我为你鸣叫。我的妻，爱你是我唯一的语言，疼你是我仅有的表现。愿我们幸福百年。
9) 浪漫在起舞，甜蜜在微笑;温馨在荡漾，喜悦在心头;内心在狂喜，心情在澎湃;真情在涌动，真爱在表白：老婆，爱你没商量，爱你永不变!
三、换元思想
小学奥数 换元法 精选例题练习习题(含知识点拨)
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算：⑴ (10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+) ⑵621739458739458378621739458378126358947358947207126358947207⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭739458358947⎛⎫+ ⎪⎝⎭【巩固】 计算： 573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 。
小学奥数—换元法
【巩固】计算：⑴ (1 0.45 0.56 ) ( 0.45 0.56 0.67 ) (1 0.45 0.56 0.67 ) ( 0.45 0.56 )
⑵
621 126
739 358
458 947
739 358
458 947
378 207
621 126
739 358
458 947
378 207
739 358
458 947
【巩固】 计算：
(5 12
7 32
3 17
)
7 32
3 17
4 13
5 12
7 32
3 17
4 13
7 32
3 17
=
。
【例 2】
计算：
1
1 2
1 2007
1 2
1 3
1 2008
1
1 2
1 2008
1 2
1 3
1 2007
【巩固】
1-3-5.换元法.题库
学生版
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【巩固】 计算
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 2
1 3
1 4
1 51 61 Nhomakorabea1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 2
1 3
1 4
1 5
【例 3】 计算：
1 2
2 3
3 4
9 10
2
1 2
2 3
3 4
9 10
1 2
1
1 2
2 3
9 10
三、换元思想
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元 法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
五年级数学思维训练二置换问题
五年级数学思维训练数学中的置换问题（解题方法）：可以利用方程尝试或者是假设都为一种。
1、鸡和兔关在同一个笼里，头有8只，脚有20只。
鸡有（）只，兔有（）只。
（列式计算）2、小惠有1角、5角的硬币20枚，共4元8角，请你算出1角硬币有（）枚，5角硬币（）枚。
3、一辆卡车运木料，晴天每天可运16次，雨天每天只能运11次，它连续运了130次，平均每天运13次。
这几天中晴天有（）天，雨天有（）天。
4、王阿姨去批发服装，甲等上衣每件17元，乙等上衣每件12元，共买了15件。
付款时营业员误将甲等和乙等的件数互换，故共收货款205元。
实际甲等上衣（）件，乙等上衣（）件，应收（）元。
王阿姨应补（）元。
5、小刚和小惠进行射击比赛。
规定每打中1发得20分，脱靶1发扣12分。
两人各打10发，共得208分，其中小刚比小惠多64分。
小刚打中（）发，小惠打中（）发。
6、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。
现在3种昆虫共有21只，有140条腿和24对翅膀。
蜘蛛有（）只，蝉有（）只，蜻蜓有（）只。
7、100个和尚吃馒头，大和尚1人吃4个，小和尚4人吃一个。
大和尚和小和尚各几人？8、传说九头鸟有9头1尾，九尾鸟有9尾1头。
现在头580只，尾900个。
九头鸟和九尾鸟各几只？用简便方法计算1、2.35+46.73+7.65—4.82—1.73—5.182、（8.25+1.35+2.75+2.65）÷（1.5×0.5）3、（4.9×1.5+5.1×1.5）÷（5.2—2.7）4、（5.1×4.2×7.2）÷（1.7×2.1×3.6）5、42.3×6.3+4.23×25+0.42×1206、2001+200.1+20.01+2.0017、100×79+184×21+84×298、28.67×67+3.2×286.7+573.4×0.059、A=0.00……08（中间20个0）B=0.00……046（中间20个0）那么A+B=A—B=A×B=B÷A=。
换元法解题技巧和方法
换元法解题技巧和方法
换元法是数学问题解决中常用的策略之一，旨在将复杂的问题转化为更简单的形式，从而更容易解决。
在解题过程中，正确选择合适的换元方法非常重要。
以下是几种常见的换元法解题技巧和方法：
1. 代入法：将题目中给出的数据或条件分别表示为一个或多个新的变量，然后利用这些新的变量重新表述问题，并解决它。
2. 平移法：引入一个新的变量，通过平移给定函数或方程的坐标系，使得原来的问题变得更容易处理。
3. 三角换元法：如果题目中涉及到三角函数，可以利用三角换元法将其转化为更简单的形式。
常见的三角换元包括正弦换元、余弦换元及正切换元。
4. 对称换元法：当题目中存在对称性时，可以选择合适的新变量，利用对称性质将原问题转化为较简单的形式。
5. 递推换元法：对于递归或迭代的问题，可以引入一个新的变量，利用递推关系将原问题转化为关于新变量的直接求解问题。
6. 迭代换元法：对于需要多次迭代的问题，可以通过引入新的变量，将原问题转化为一个迭代问题，然后使用逐次逼近的方法求解。
7. 反向换元法：当题目给出的问题较难处理时，可以考虑反向思维，使用一个合适的换元将该问题转化为更易解决的问题。
在应用换元法解题时，需要根据题目的特点和所给条件进行灵活选择，并合理确定新的变量。
此外，需要注意换元后问题的合法性和简化程度，避免引入复杂度较高的新问题。
通过熟练掌握换元法解题技巧和方法，可以提高问题解决的效率和准确性。
小学数学中的分数运算与变形
小学数学中的分数运算与变形分数是小学数学中的重要概念之一，它涉及到数的大小、比较以及各种数学运算。
在小学阶段，学生需要掌握分数运算的基本规则，并能够将分数进行变形。
本文将围绕这一主题，介绍小学数学中的分数运算与变形。
一、分数运算1. 加法和减法：当分数的分母相同时，只需对分子进行加减运算，分母保持不变，结果的分母仍为原来的分母。
当分数的分母不同时，需要找到相同的分母，然后对分子进行加减运算，分母保持不变。
最后，将结果化简为最简形式。
例如：计算 3/4 + 2/5。
将两个分数的分母取最小公倍数，即4和5的最小公倍数为20。
然后分别将3/4和2/5的分子乘以5和4，得到15/20和8/20。
最后，将15/20和8/20相加，得到23/20，化简为1 3/20。
2. 乘法：将两个分数的分子相乘，分母相乘，得到结果的分子和分母。
最后，将结果化简为最简形式。
例如：计算 2/3 × 4/5。
将2/3的分子乘以4，分母乘以5，得到8/15。
3. 除法：将一个分数的分子乘以另一个分数的倒数，得到结果的分子和分母。
最后，将结果化简为最简形式。
例如：计算 3/4 ÷ 1/2。
将3/4的分子乘以2，分母乘以1，得到6/4，即3/2。
二、分数的变形1. 分数与整数的转化：分数可以表示为整数的形式，也可以将整数转化为分数的形式。
将分数表示为整数的形式，分母为1。
例如，8/1可以转化为整数8。
将整数转化为分数的形式，分母为1。
例如，整数7可以转化为分数7/1。
2. 分数的约分与扩分：约分是指将一个分数化简为最简形式，即将分子和分母都除以一个相同的约数。
扩分是指将一个分数的分子和分母同乘以一个相同的数。
例如：将12/16约分为3/4。
分子和分母都可以被2整除，因此将分子和分母都除以2，得到最简形式的分数3/4。
例如：将2/3扩大为8/12。
将分子乘以4，分母乘以4，得到扩大后的分数8/12。
3. 分数的比较：在小学数学中，通常使用相同分母的分数进行比较。
小学数学奥赛1-3-5 换元法.教师版
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，原式378378207207a b a b⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b=-⨯=⨯=【答案】9例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
小学数学换元法.教师版
小学数学换元法.教师版对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++?++-+++?+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-?-?-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=?=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)() 23423452345234 +++?+++-++++?++ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947++?++-+++?+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，原式378378207207a b a b=?+-+?()3786213789207126207a b=-?=?=【答案】9例题精讲教学目标换元法【巩固】计算：(0.10.210.3210.4321+++)?(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)?(0.210.3210.4321++)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ?-(0.1y +)0.1x ?=?(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)?(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)?(9.3110.98+)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，2试【解析】换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =?(10b +)-(10a +)b ?=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=?(a b -)10=?(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=?=【答案】0.2【巩固】(10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++?++-+++?+=____ 。
一年级数学换元法练习题
一年级数学换元法练习题换元法是数学中常用的一种方法，它可以在求解复杂问题时简化计算过程。
对于一年级学生来说，学习换元法可以培养其逻辑思维和数学运算能力。
本文将为一年级学生提供一些数学换元法练习题，帮助他们巩固和应用所学知识。
1. 将下列算式中的“x”替换为适当的数值，使等式成立：a) 5 + x = 8b) x - 3 = 7c) 2 * x = 10d) x ÷ 4 = 2解析：a) 解答：x = 3b) 解答：x = 10c) 解答：x = 5d) 解答：x = 82. 按照规律，写出下列算式中“x”的取值范围：a) x + 5 = 10b) x - 3 = 2c) 3 * x = 15d) x ÷ 6 = 2解析：a) 解答：x ∈ [5, 10]b) 解答：x ∈ [5, ∞)c) 解答：x ∈ [5, ∞)d) 解答：x ∈ (10, ∞)3. 将下列算式写成等效的换元形式并解答：a) 5 + x = 3 + 2b) 6 * x = 24解析：a) 解答：x = 0b) 解答：x = 44. 根据换元法，求解下列算式：a) 2 * (x + 3) = 10b) 3 * (2x - 1) = 15解析：a) 解答：x = 2b) 解答：x = 45. 按照换元法的思路，解答下列问题：a) 小明有x个苹果，他分给了2个朋友，每人得到3个苹果，剩下多少个苹果？b) 小红买了x本书和5本笔记本，一共花了15元，如果每本书是2元，每本笔记本是1元，x的取值范围是多少？解析：a) 解答：剩下的苹果数为x - 2 * 3 = x - 6b) 解答：2x + 5 = 15，解方程可得x的取值范围为[5, 10]通过以上练习题的训练，相信一年级的学生们已经对数学换元法有了更深入的理解。
继续努力学习，运用所学知识解决实际问题，将会为以后的学习打下坚实的基础。