2 系统建模方法学与模型处理

13
2.2.3 动力学系统的数学模型

2.2.3.1 连续时间系统模型

1)微分方程

2)传递函数
d n y (t ) d n 1 y (t ) dy(t ) a ... a a0 y (t ) n 1 1 n n 1 dt dt dt d mu (t ) d m1u (t ) du(t ) bm b ... b b0u (t ) m 1 1 m m 1 dt dt dt ai (i 0,1,...,n 1), b j ( j 0,1,...,m), m n为常数
18
2.3 模型的转换
2.3.1 化微分方程为状态方程 系统不含输入的导数项
1 0 x x 2 0 X ... ... n a0 x 1 0 0 1 x1 0 x 0 2 u ... ... ... ... ... an 1 xn 1 ... 0 ... 0
9
2.2.2 数学建模方法学

模型可信性（有效性）：在对模型所作的预测精
度为基准的条件下，反映实际系统数据和模型数据数 据之间的一致性。 行为水平上的可信性：复制有效 状态结构水平上的可信性：预测有效 分解结构水平上的可信性：结构有效

提高模型有效性的方法

先验知识的可信性 试验数据的可信性 模型应用的可信性
10
2.2.2 数学建模方法学

模型的准确度


概念：模型对于原型的近似程度或准确性（必须有 一定的准确度）；模型具有相对的准确性（无完全 准确的模型）。 影响因素：

相似判决的准确度误差 建模的试验误差 系统的非线性 模型简化误差 模型实现的软硬件误差
11
2.2.2 数学建模方法学
6
2.2.1系统建模的抽象化与形式化描述

系统描述之间的关系


行为水平的相似关系 系统行为等价：两个系统具有完全相同的输入输出关系 系统准行为等价：若两个系统输入集之间和输出集之间的差异都没有超 出各自最大的限度，则称它们是准行为等价。 结构水平上的相似关系 系统的同态： 两个系统： S1:<T1,X1, 1,Q1,Y1, 1,1 >； S2:<T2,X2, 2,Q2,Y2, 2,2 > 具有相同的时间基、输入集、输入段集和输出集，具有不同的内部 结构 存在从S1到S2的同态映射关系h 系统的同构 如果两个系统S和S’是同态的，而且S和S’的同态映射h又是系统S的 状态集Q到系统S’的状态集Q’的一一映射，则S和S’是一对同构系 统。
3
2.2 建模方法学
2.2.1 系统建模的抽象化与形式化描述

系统模型的形式化描述：用形式语言（一系列数学符号：关 系符号、函数符号、常量符号）描述系统的信息集。即数学 模型。 S=<T,X,,Q,Y, ,> T时间集 X输入集 输入段集 Q内部状态集 Y输出集 状态转移函数 输出函数
x(k 1) Ax(k ) Bu(k ) y (k 1) Cx (k ) Du(k ) 其中{x(k )}为状态序列， { y (k )}为输出序列， {u (k )}为输入序列。 Ann参数矩阵, Bnr 输入矩阵, Cmn输出矩阵, Dmr 交联矩阵

20
2.3 模型的转换

2.3.1 化微分方程为状态方程

系统含输入的导数项（m项， 以m=n为例）
x1 x2 1u x2 x3 2u ... xn 1 xn n 1u xn a0 x1 a1 x2 ... an 1 xn 1 nu y x1 0u

建模过程
先验 知识 演绎分析
框架定义 目 的 目 标 协 调 试 验 设 计 数 据
结构特征化
参数估计
可信度分析 模 型
12
2.2.2 数学建模方法学

模型的校验、验证和确认（ VV&A ）： 模型评估理论与方法


仿真模型校验：数学模型是否按照预期执行。 模型验证：证实仿真模型是否与实际对象有 相同的行为。是否正确建立了数学模型和仿 真模型 模型确认：由权威机构对整个建模和有效性 分析过程的评价，从而判定其可接受性。

2)Z传递函数
bm z m bm1 z m1 ... b1 z b0 G( z ) n z an1 z n1 ... a1 z a0
16
2.2.3 动力学系统的数学模型

2.2.3.2 离散时间系统模型 3)离散状态空间方程：为描述系统内部的特性和运动规律。
0 0 A ... a0 1 0 0 1 0 0 ... ... ... an 1 ... ... 1 B 2 ... n
... ... a1 a2
i j 1
i bni an j i化描述

系统模型的几种描述水平 行为水平：将系统当成黑盒，对其施加一个输入，就可观测 其输出。基本的描述单位是轨迹：是从时间基区间到表示可 能的观测结果的某个集合上的映射。 状态结构水平：在该水平上，能够通过时间产生一种递推， 其基本单位是：状态集和状态转移函数。前者表示任意时刻 所有可能的结果，后者提供从当前给定状态计算未来状态的 规则。这些状态集并非可直接观测。 分解结构水平：可以将系统看作成由多个黑箱互联成的一个 整体。每个黑箱给出一个状态结构上的描述，每个黑箱都标 明输入变量和输出变量。
bm s m bm1s m1 ... b1s b0 G( s ) n s an1s n1 ... a1s a0
14
2.2.3 动力学系统的数学模型

2.2.3.1 连续时间系统模型 3)状态空间方程：为描述系统内部的特性和运动规律。
X AX Bu y CX Du 其中X [ x1 x2 ...xn ]T 状态向量，y [ y1 y2 ... ym ]T 输出向量， u [u1u2 ...ur ]T 输入向量。 Ann参数矩阵, Bnr 输入矩阵, Cmn输出矩阵, Dmr 交联矩阵
7
2.2.2 数学建模方法学

建模过程的信息源

建模目标和目的

数学模型是对真实系统的一种相似描述。而一个 真实系统有多个具体对象。 前人的研究成果。公理、定理、定律，专家知识

先验知识


试验数据

过程的信息通过现象的试验和量测而获得。
8
2.2.2 数学建模方法学

数学建模方法



机理建模：演绎法、理论建模法 运用先验知识，根据系统构成的一些假设和基本原理，通 过数学上的逻辑推导和演绎推理，从理论上建立描述系统 中各部分的数学表达式或逻辑表达式。模型存在性问题。 试验建模：归纳法、系统辨识法 根据观测到的系统行为结果，导出与观测结果相符合的模 型。即对系统输入和输出数据进行分析和处理来建立系统 模型 综合建模 对内部结构和特性基本清楚的系统，采用机理建模，否则 采用试验建模。 对于一些灰色系统，则综合采用机理建模、试验建模等。
y 1 0 ... 0X AX Bu X y CX
... ... a1 a2
19
2.3 模型的转换

2.3.1 化微分方程为状态方程

系统含输入的导数项（m项，以m=n为例）
d n y (t ) d n 1 y (t ) dy(t ) a ... a a0 y (t ) n 1 1 n n 1 dt dt dt d mu (t ) d m 1u (t ) du(t ) bm bm 1 ... b1 b0u (t ) m m 1 dt dt dt ai (i 0,1,...,n 1), b j ( j 0,1,...,m), m n为常数 取状态变量： x1 y 0u xi xi 1 i 1u i 2,3,...,n
2 系统建模方法学与模型处理



数学模型分类 建模方法学 模型转换 模型的线性化 模型的简化
1
2.1 数学模型分类

模型分类准则及分类 模型的时间集：连续时间模型、离散时间模型 描述性变量的存在性和值域：自治模型、非自治模 型 描述性变量的轨迹：连续、离散、突变 变量的函数关系：确定性、预测性、线性、刚性 空间分布：边界值、网络 子模型的组织方式：固定、变化 目标集：有目标、无目标
2
2.2 建模方法学
2.2.1 系统建模的抽象化与形式化描述 建模过程： 抽象：抽象是模型与真实的最重要的关系。可以 用集合定义。 理论构造：在几个抽象的集合基础上建立复合的 集合结构，其中包括特定的函数关系，此过程称 为理论构造。 具体化：实现抽象模型结构与真实系统之间的联 系过程称为具体化，可以用一个复杂度适当的抽 象模型，详细精确地描述一个给定的系统。
4)结构图：是系统中每个元件或环节的功能和信号流向的图解表示。
17
2.3 模型的转换

2.3.1 化微分方程为状态方程

系统不含输入的导数项
d n y (t ) d n 1 y (t ) dy(t ) a ... a a 0 y (t ) u (t ) n 1 1 n n 1 dt dt dt 引入状态变量： 1 x2 x1 y x x 2 x3 x x y 1 2 ( 2) 则有： x x y 3 ... 2 ... x n 1 xn ( n 1) n a0 x1 a1 x2 ... an 1 xn u x x y n 1 x n