【试卷】2017年湖南省长沙市中考数学试卷
湖南长沙数学(含答案) 2017年中考数学真题试卷
2017年长沙市初中毕业学业水平考试数学试卷一、选择题：1．下列实数中，为有理数的是（ ）A ．3B ．πC ．32D ．12．下列计算正确的是（ ）A ．532=+B ．222a a a =+C ．xy x y x +=+)1(D ．632)(mn mn = 3．据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（ ）A ．610826.0⨯B ．71026.8⨯C ．6106.82⨯D ．81026.8⨯4．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）5．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．之直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6．下列说法正确的是（ ）A ．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B ．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C ．数据3，5，4，1，2-的中位数是4D ．“367人中有2人同月同日生”为必然事件7．某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（ ）A ．长方形B ．圆柱C ．球D ．正三棱柱8．抛物线4)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．)4,3(B ．)4,3(-C ．)4,3(-D ．)4,2(9．如图，已知直线b a //，直线c 分别与b a ,相交，01101=∠，则2∠的度数为（ ）A ．060B ．070C ．080D ．011010．如图，菱形ABCD 的对角线BD AC ,的长分别为cm cm 8,6，则这个菱形的周长为（ ）A ．cm 5B ．cm 10C ．cm 14D ．cm 2011．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ ）A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里12．如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点D C ,重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则m n 的值为（ ）A ．22B ．21C ．215- D ．随H 点位置的变化而变化二、填空题13．分解因式：=++2422a a ．14．方程组⎩⎨⎧=-=+331y x y x 的解是．15．如图，AB 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，已知1,6==EB CD ，则⊙O 的半径为 ．16．如图，ABO ∆三个顶点的坐标分别为)0,0(),0,6(),4,2(C B A ，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的21，可以得到O B A ''∆，已知点'B 的坐标是)0,3(，则点'A 的坐标是 ．17．甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1．6米，方差分别是5.0,2.122==乙甲S S ，则在本次测试中， 同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）18．如图，点M 是函数x y 3=与x ky =的图象在第一象限内的交点，4=OM ，则k 的值为 ．三、解答题19．计算：100)31(30sin 2)2017(|3|-+--+-π20．解不等式组⎩⎨⎧+>---≥)1(31592x x xx ，并把它的解集在数轴上表示出来．21．为了传承中华优秀的传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校园团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中=a ；=b ；（2）请计算扇形统计图中B 组对应的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列举法或树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．22．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东060方向上，继续航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东030方向上．（1）求APB ∠的度数；（2）已知在灯塔P 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？23．如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CE CD =．（1）求证：OB OA =；（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的面积．24．自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元．（1）求一件B A ,型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进B A ,型商品共250件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件，已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A 型商品m 件，求该客商销售这批商品的利润v 与m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A 型商品，就从一件A 型商品的利润中捐献慈善资金a 元，求该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益．25．若三个非零实数z y x ,,满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数z y x ,,构成“和谐三数组”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．（2）若),1(),,1(),,(321y t M y t N y t M +-三点均在函数x k （k 为常数，0≠k ）的图象上，且这三点的纵坐标321,,y y y 构成“和谐三数组”，求实数t 的值；（3）若直线)0(22≠+=bc c bx y 与x 轴交于点)0,(1x A ，与抛物线)0(332≠++=a c bx ax y 交于),(),,(3322y x C y x B 两点．①若OAC ∆为等腰直角三角形，求m 的值；②若对任意0>m ，E C ,两点总关于原点对称，求点D 的坐标（用含m 的式子表示）；（3）当点D 运动到某一位置时，恰好使得OAD ODB ∠=∠，且点D 为线段AE 的中点，此时对于该抛物线上任意一点),(00y x P 总有503123461020---≥+y my n 成立，求实数n 的最小值．随州市2017年初中毕业升学考试数学试题第Ⅰ卷（共30分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2-的绝对值是（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-2.下列运算正确的是（ ）A ．336a a a +=B ．222()a b a b -=-C ．326()a a -=D ．1226a a a ÷=3.如图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ）A ．圆锥B ．长方体C ．圆柱D ．三棱柱4.一组数据2,3,5,4,4的中位数和平均数分别是（ ）A ．4和3.5B ．4和3.6C ．5和3.5D ．5和3.65.某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）A ．两点之间线段最短B ．两点确定一条直线C ．垂线段最短D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行6.如图，用尺规作图作AOC AOB ∠=∠的第一步是以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA 、OB 于点E 、F ，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）A ．以点F 为圆心，OE 长为半径画弧B ．以点F 为圆心，EF 长为半径画弧C ．以点E 为圆心，OE 长为半径画弧D ．以点E 为圆心，EF 长为半径画弧7.小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20支铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元．设每支铅笔x 元，每本笔记本y 元，则可列方程组（ ）A ．203011010585x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．201011030585x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．205110301085x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．520110103085x y x y+=⎧⎨+=⎩8.在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数()n 和芍药的数量规律，那么当11n =时，芍药的数量为（ ）A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株9.对于二次函数223y x mx =--，下列结论错误的是（ ）A ．它的图象与x 轴有两个交点B ．方程223x mx -=的两根之积为3-C ．它的图象的对称轴在y 轴的右侧D ．x m <时，y 随x 的增大而减小10.如图，在矩形ABCD 中，AB BC <，E 为CD 边的中点．将ADE ∆绕点E 顺时针旋转180︒，点D 的对应点为C ，点A 的对应点为F ，过点E 作ME AF ⊥交BC 于点M ，连接AM 、BD 交于点N .现有下列结论：①AM AD MC =+；②AM DE BM =+；③2DE AD CM =⋅；④点N 为ABM ∆的外心. 其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）11.根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为 ．12.“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是 事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）．13.如图，已知AB 是O 的弦，半径OC 垂直AB ，点D 是O 上一点，且点D 与点C 位于弦AB 两侧，连接AD 、CD 、OB ，若70BOC ∠=︒，则ADC ∠= 度．14.在ABC ∆中，6AB =，5AC =，点D 在边AB 上，且2AD =，点E 在边AC 上，当AE = 时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似．15.如图，AOB ∠的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点(3,0)N 是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，30AOB ∠=︒，要使PM PN +最小，则点P 点的坐标为 ．16.在一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，C 地位于A 、B 两地之间．甲车从A 地沿这条公路匀速驶向C 地，乙车从B 地沿这条公路匀速驶向A 地．在甲车出发至甲车到达C 地的过程中，甲、乙两车各自与C 地的距离y （km ）与甲车行驶时间()t h 之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h 时，两车相遇；②乙车出发1.5h 时，两车相距170km ；③乙车出发527h 时，两车相遇；④甲车到达C 地时，两车相距40km .其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．三、解答题 （本大题共9题，共72.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.计算：2021()(2017)(3)|2|3π---+---.18.解分式方程：2311xx x x +=--．19.如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O 沿x 轴向左平移2个单位长度得到点A ，过点A 作y 轴的平行线交反比例函数k y x =的图象于点B ，32AB =.（1）求反比例函数的解析式；（2）若11(,)P x y 、22(,)Q x y 是该反比例函数图象上的两点，且12x x <时，12y y >，指出点P 、Q 各位于哪个象限？并简要说明理由．20.风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源．风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A 处测得塔杆顶端C 的仰角是55︒，沿HA 方向水平前进43米到达山底G 处，在山顶B 处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D （D 、C 、H 在同一直线上）的仰角是45︒．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG 为10米，BG HG ⊥，CH AH ⊥，求塔杆CH 的高．（参考数据：tan55 1.4︒≈，tan350.7︒≈，sin550.8︒≈，sin350.6︒≈）21.某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x 表示成绩，单位：分）．A 组：7580x ≤<；B 组：8085x ≤<；C 组：8590x ≤<；D 组：9095x ≤<；E 组：95100x ≤<，并绘制如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频率分布直方图；（2）扇形统计图中，C 组对应的圆心角是多少度？E 组人数占参赛选手的百分比是多少？（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E 组6名选手直接进入代表队，现要从D 组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．22.如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，点O 在AB 上，经过点A 的O 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：AD 评分BAC ∠；（2）若1CD =，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．23.某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为正数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （115x ≤<）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？24.如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF 经过点C ，连接DE 交AF 于点M ，观察发现：点M 是DE 的中点．下面是两位学生有代表性的证明思路：思路１：不需作辅助线，直接证三角形全等；思路2：不证三角形全等，连接BD 交AF 于点H ．、……请参考上面的思路，证明点M 是DE 的中点（只需用一种方法证明）；（2）如图2，在（1）的条件下，当135ABE ∠=︒时，延长AD 、EF 交于点N ，求AMNE 的值；（3）在（2）的条件下，若AF k AB =（k 为大于2的常数），直接用含k 的代数式表示AMMF 的值．25.在平面直角坐标系中，我们定义直线y ax a =-为抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，0a ≠）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”． 已知抛物线223432333y x x =--+与其“梦想直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将ACM ∆以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若AMN ∆为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标；。
长沙市2017年中考数学试卷含答案解析(Word版)19
中考数学试卷（word版含解析）一、（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列四个数中，最大的数是（）A．﹣2 B．C．0 D．6【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得6＞＞0＞﹣2，故四个数中，最大的数是6．故选：D．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路全长99500米，则数据99500用科学记数法表示为（）A．0.995×105B．9.95×105C．9.95×104D．9.5×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将99500用科学记数法表示为：9.95×104．故选：C．【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n 的值．3．下列计算正确的是（）A．×=B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a52a3=6a6【分析】直接利用二次根式乘法运算法则以及结合同底数幂的乘除运算法则分别化简求出答案．【解答】解：A、×=，正确；B、x8÷x2=x6，故此选项错误；C、（2a）3=8a3，故此选项错误；D、3a52a3=6a8，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式乘法运算以及结合同底数幂的乘除运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．4．六边形的内角和是（）A．540°B．720°C．900°D．360°【分析】利用多边形的内角和定理计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：（6﹣2）×180°=720°，故选B．【点评】此题考查了多边形内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解本题的关键．5．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案．【解答】解：，解不等式2x﹣1≥5，得：x≥3，解不等式8﹣4x＜0，得：x＞2，故不等式组的解集为：x≥3，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键．6．如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．7．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．6 B．3 C．2 D．11【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解答】解：设第三边为x，则4＜x＜10，所以符合条件的整数为6，故选A．【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．8．若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（）A．C．【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求解即可．【解答】解：∵点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，∴点B的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为3﹣4=﹣1，∴B的坐标为（﹣1，﹣1）．故选C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．9．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A．B．C．D．【分析】如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图形即可求解．【解答】解：∵三角形的内角和为180°，∴选项B中，∠1+∠2=90°，即∠1与∠2互为余角，故选B．【点评】本题考查了余角的定义，掌握定义并且准确识图是解题的关键．10．已知一组数据75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（）A．75，80 B．80，85 C．80，90 D．80，80【分析】根据众数和中位数的概念分别进行求解即可．【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：75，80，80，85，90，最中间的数是80，则中位数是80；在这组数据中出现次数最多的是80，则众数是80；故选D．【点评】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．11．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A．160m B．120m C．300m D．160m【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，BD=ADtan30°=120×=40（m），在Rt△ACD中，CD=ADtan60°=120×=120（m），∴BC=BD+CD=160（m）．故选A．【点评】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．12．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b2﹣4ac≤0，从而得到①②为正确；由x=﹣1及x=﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确．【解答】解：∵b＞a＞0∴﹣＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴最多有一个交点，∴b2﹣4ac≤0，∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0中，△=b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a＜0，所以②正确；∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，∴x取任何值时，y≥0∴当x=﹣1时，a﹣b+c≥0；所以③正确；当x=﹣2时，4a﹣2b+c≥0a+b+c≥3b﹣3aa+b+c≥3（b﹣a）≥3所以④正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向；a、b的符号决定对称轴的位置；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．分解因式：x2y﹣4y=y（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：x2y﹣4y，=y（x2﹣4），=y（x+2）（x﹣2）．故答案为：y（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是m＞﹣4．【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：由已知得：△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．15．如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为2π．（结果保留π）【分析】直接利用弧长公式列式计算即可．【解答】解：∵扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，∴该扇形的弧长为：=2π．故答案为：2π．【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练记忆弧长公式是解题关键．16．如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为．【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA即可．【解答】解：∵弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，∴AC=BC=3，∠ACO=90°，由勾股定理得：OA===，故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解此题的关键是求出AC和OA的长，题目比较好，难度适中．17．如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为13．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是．【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：由题意作出树状图如下：一共有36种情况，“两枚骰子朝上的点数互不相同”有30种，所以，P==．故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点：概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。
2017年湖南省长沙市中考数学试卷-答案
【提示】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1|10|a ≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数 【考点】科学计数法 4.【答案】C【解析】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误.故选C.【提示】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解. 【考点】中心对称图形，轴对称图形的判定 5.【答案】B【解析】解：设三角形的三个内角的度数之比为x 、2x 、3x ，则23180x x x ︒++=，解得，30x ︒=，则390x ︒=，∴这个三角形一定是直角三角形故选：B. 【提示】根据三角形内角和等于180︒计算即可.【解析】解：∵直线a b ∥，∴31110∠=∠=，∴218011070∠=-=故选B.为O的直径，，设O的半径为-=-22BE x1+-(1)x，∴O的半径为OC，由垂径定理知，点xx>20.【答案】2x>，将解集表示在数轴上如下：集为2a=21.【答案】（1）0.345b =︒（3）列树形图得：1（3）将同一班级的甲、乙学生记为A 、B ，另外两学生记为C 、D ，列树形图得：22.【答案】（1）30APB ︒∠= sin6050PB ︒=【提示】（1）在ABP △中，求出PAB ∠、PBA ∠的度数即可解决问题； （2）作PH AB ⊥于H .求出PH 的值即可判定； 【考点】解直角三角形的应用 23.【答案】（1）证明见解析（2）2πS =阴影与O 相切于点AOC BOC ∠=∠3（2）1017500v m =+80125m ≤≤25.【答案】（1）不能，理由见解析 （2）t 的值为4-、2-或2 （3）①证明见解析 OP <≤1OP ≠26.【答案】（1）14m =（2）点D 的坐标为(8,16)m -11 / 11。
2017年长沙市中考数学试题及标准答案解析
2０17年长沙市初中毕业学业水平考试数学试卷一、选择题：1.下列实数中，为有理数的是（ ) A.3 B ．π C ．32 Ｄ.1２．下列计算正确的是（ )A ．532=+ B.222a a a =+ C.xy x y x +=+)1(D.632)(mn mn =3.据国家旅游局统计,2０17年端午小长假全国各大景点共接待游客约为826０000０人次，数据826000０0用科学记数法表示为（ )Ａ．610826.0⨯ B ．71026.8⨯ C.6106.82⨯ D ．81026.8⨯4.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ )5．一个三角形三个内角的度数之比为1:2：3,则这个三角形一定是( ）A ．锐角三角形 Ｂ．之直角三角形 Ｃ．钝角三角形 D.等腰直角三角形6.下列说法正确的是( )A ．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B ．可能性是1％的事件在一次试验中一定不会发生C ．数据3,５,４,1，2-的中位数是4D.“36７人中有2人同月同日生”为必然事件7．某几何体的三视图如图所示，因此几何体是( ）A ．长方形 Ｂ.圆柱 C ．球 D ．正三棱柱8．抛物线4)3(22+-=x y 的顶点坐标是( ）A ．)4,3( B.)4,3(- C ．)4,3(- D.)4,2(9．如图，已知直线b a //,直线c 分别与b a ,相交,01101=∠，则2∠的度数为（ ）A.060 B ．070 C ．080 D.011010.如图,菱形ABCD 的对角线BD AC ,的长分别为cm cm 8,6，则这个菱形的周长为（ ）A.cm 5B.cm 10 C ．cm 14 D ．cm 2011．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关．”其大意是,有人要去某关口，路程37８里,第一天健步行走，第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的路程为（ )A.2４里 B ．12里 C.6里 Ｄ.３里１2.如图,将正方形ABCD 折叠,使顶点A 与CD 边上的一点H 重合(H 不与端点D C ,重合)，折痕交AD 于点E ,交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ,设正方形ABCD 的周长为m ,CHG ∆的周长为n ,则m n 的值为（ ） Ａ．22 B.21 C.215- D ．随H 点位置的变化而变化二、填空题13.分解因式：=++2422a a . 14．方程组⎩⎨⎧=-=+331y x y x 的解是 . 1５.如图,AB 为⊙O 的直径,弦AB CD ⊥于点E ,已知1,6==EB CD ,则⊙O 的半径。
2017年湖南省长沙市中考数学试卷
B. π
2.下列计算正确的是
A. 2 3 5
C. x(1 y) x xy
C. 3 2
B. a 2a 2a2 D. (mn2 )2 mn4
() D.1
()
3.据国家旅游局统计,2017 年端午小长假全国各大景点共接待游客约为 82 600 000 人次.
上
数据 82 600 000 用科学记数法表示为
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- ---------------
13.分解因式： 2a2 4a 2
.
14.方程组
x y 1, 3x y 3
的解是
.
15.如图, AB 为 O 的直径,弦 CD AB 于点 E ,已知 CD 6,
EB 1,则 O 的半径为
.
16.如图, △ABO 三个顶点的坐标分别为 A(2, 4) , B(6,0) , O(0,0)
AB 折叠后与边 BC 交于点 G .设正方形 ABCD 的周长为 m ,
△CHG 的周长为 n ,则 n 的值为 m
()
A. 2
B. 1
2
2
C. 5 1 2
D.随 H 点位置的变化而变化
2017年长沙市中考数学试卷及答案(Word版)
湖南省长沙市2017年中考数学试卷一、选择题：1．下列实数中，为有理数的是（ ）A ．3B ．πC ．32D ．1【答案】D[【解析】试题分析：根据实数的意义，有理数为有限小数和有限循环小数，无理数为无限不循环小数，可知1是有理数.故选：D考点：有理数2．下列计算正确的是（ ）A ．532=+B ．222a a a =+C ．xy x y x +=+)1(D ．632)(mn mn =【答案】C考点：1、同类项，2、同类二次根式，3、单项式乘以多项式，4、积的乘方3．据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（ ）A ．610826.0⨯B ．71026.8⨯C ．6106.82⨯D ．81026.8⨯【答案】B[来~【解析】试题分析：由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此82600000=7.8 .2610故选：B考点：科学记数法的表示较大的数4．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）【答案】C考点：1、中心对称图形，2、轴对称图形5．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】试题分析：根据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形.故选：B.考点：直角三角形6．下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，2的中位数是4D．“367人中有2人同月同日生”为必然事件【答案】D考点：事件发生的可能性7．某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A．长方形 B．圆柱 C．球 D．正三棱柱【答案】B【解析】试题分析：根据三视图的意义，可知这个几何体是圆柱.故选：B考点：几何体的三视图8．抛物线4)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．)4,3(B ．)4,3(-C ．)4,3(-D ．)4,2(【答案】A【解析】试题分析：根据二次函数的顶点式y=a （x-h ）2+k 的顶点为（h ，k ），可知此函数的顶点为（3，4）.故选：A考点：二次函数的顶点式9．如图，已知直线b a //，直线c 分别与b a ,相交，01101=∠，则2∠的度数为（ ）A ．060B ．070C ．080D ．0110【答案】B考点：1、平行线的性质，2、邻补角10．如图，菱形ABCD 的对角线BD AC ,的长分别为cm cm 8,6，则这个菱形的周长为（ ）A ．cm 5B ．cm 10C ．cm 14D ．cm 20【答案】D试题分析：根据菱形的对角线互相垂直，可知OA=3，OB=4，根据勾股定理可知AB=5，所以菱形的周长为4×5=20.故选：D考点：菱形的性质11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ ）A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里【答案】C考点：等比数列12．如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点D C ,重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则m n 的值为（ ） A ．22 B ．21 C ．215- D ．随H 点位置的变化而变化【答案】B试题分析：设正方形ABCD的边长为2a，正方形的周长为m=8a，设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，∵∠EMG=90°，∴∠DME+∠CMG=90°．∵∠DME+∠DEM=90°，∴∠DEM=∠CMG，又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，∴CG CM MGDM DE EM==,即22CG x MGa x y a y==--∴CG=(2)(2)=,x a x x a y CG MGy y--=△CMG的周长为CM+CG+MG=2 4ax xy-在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2即（2a-x）2+y2=（2a-y）2[来#源:@中%国教*育出版~网]整理得4ax-x2=4ay∴CM+MG+CG=2444ax x ayay y-===n．所以12 nm=故选：B．考点：1、正方形，2、相似三角形的判定与性质，3、勾股定理二、填空题13．分解因式：=++2422aa．【答案】2（a+1）2考点：因式分解14．方程组⎩⎨⎧=-=+331y x y x 的解是 ． 【答案】10x y =⎧⎨=⎩【解析】试题分析：利用加减消元法，用方程①+方程②可得x=1，代入方程x+y=1可得y=0，解得方程组的解为10x y =⎧⎨=⎩.[ 故答案为：10x y =⎧⎨=⎩考点：加减消元法解二元一次方程组15．如图，AB 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，已知1,6==EB CD ，则⊙O 的半径为 ．【答案】5考点：1、垂径定理，2、勾股定理16．如图，ABO ∆三个顶点的坐标分别为)0,0(),0,6(),4,2(C B A ，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的21，可以得到O B A ''∆，已知点'B 的坐标是)0,3(，则点'A 的坐标是 ．【答案】（1，2）【解析】 试题分析：根据位似变换的性质及位似比12，可知A ′的坐标为（1，2）. 故答案为：（1，2）考点：位似变换17．甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1．6米，方差分别是5.0,2.122==乙甲S S ，则在本次测试中， 同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）【答案】乙【解析】试题分析：根据方差的意义，方差越小，数据越稳定，可知乙同学的成绩更稳定. 故答案为：乙.考点：方差18．如图，点M 是函数x y 3=与xk y =的图象在第一象限内的交点，4=OM ，则k 的值为 ．【答案】考点：一次函数与反比例函数三、解答题19．计算：100)31(30sin 2)2017(|3|-+--+-π 【答案】6【解析】试题分析：根据绝对值的性质、零次幂的性质、特殊角的三角函数值、和负整指数幂的性质可直接额计算.试题解析：原式=3+1-1+3=6考点：实数的运算20．解不等式组⎩⎨⎧+>---≥)1(31592x x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】x ＞2【解析】试题分析：分别接两个不等式，然后画出数轴，再取其公共部分即可求解集.考点：解不等式组21．为了传承中华优秀的传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校园团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中=a ；=b ；（2）请计算扇形统计图中B 组对应的圆心角的度数；[来~源:@#*^中教网]（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列举法或树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．【答案】（1）a=0.3，b=45（2）108°（3）16【解析】试题分析：（1）根据频数的和为样本容量，频率的和为1，可直接求解；（2）根据频率可得到百分比，乘以360°即可；（3）列出相应的可能性表格，找到所发生的所有可能和符合条件的可能求概率即可.试题解析：（1）a=0.3，b=45（2）360°×0.3=108°（3）列关系表格为：由表格可知，满足题意的概率为：16.考点：1、频数分布表，2、扇形统计图，3、概率22．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东060方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东030方向上．（1）求APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【答案】（1）30°（2）安全（2）只需算出航线上与P 点最近距离为多少即可过点P 作PH ⊥AB 于点H在Rt △APH 中，∠PAH=30°，PH在Rt △BPH 中，∠PBH=30°，PH∴AB=AH PH=50算出＞25，不会进入暗礁区，继续航行仍然安全.考点：解直角三角形23．如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CD CE =．（1）求证：OB OA =；（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）23S π-阴影试题解析：（1）连接OC ，则OC ⊥AB∵CD CE =∴∠AOC =∠BOC在△AOC 和△BOC 中，90AOC BOC OC OCOCA OCB ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴△AOC≌△BOC（ASA ）∴AO=BO考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积24．自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件BA,型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进BA,型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润y与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益．【答案】（1）A型商品的进价为160元，B型商品的进价为150元（2）函数关系式为：y=10m+17500（80≤m≤125）=1250-125a+17500=18750-125a （3）当0＜a＜10时，当m=125时利润最大，ymax当a=10时，y=17500，y=17500max=800-80a+17500=18300-80a当a＞10时，当m=80时利润最大，ymax【解析】试题分析：（1）设一件A型商品的进价为x元，则B型商品的进价为（x-10）元，然后根据“用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍”列分式方程求解即可；（2）设A型商品m件，B型商品（250-m）件，然后根据“欧洲客商购进BA,型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件”列不等式，根据利润=售价-进价即可求解函数的解析式；（2）设A 型商品m 件，B 型商品（250-m ）件，则80250(240160)(220150)(250)m m y m m -⎧⎨=-+--⎩≤≤ 解得80≤m ≤125函数关系式为：y=10m+17500（80≤m ≤125）（3）y=10m+17500-ma=（10-a ）m+17500当0＜a ＜10时，y 随m 的增大而增大，当m=125时利润最大，y max =1250-125a+17500=18750-125a当a=10时，y=17500，y max = 17500当a ＞10时，y 随m 的增大而减小，当m=80时，利润最大，y max =800-80a+17500=18300-80a考点：1、分式方程，2、不等式，2、一次函数及最值25．若三个非零实数z y x ,,满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数z y x ,,构成“和谐三数组”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．（2）若),1(),,1(),,(321y t M y t N y t M +-三点均在函数y=xk （k 为常数，0≠k ）的图象上，且这三点的纵坐标321,,y y y 构成“和谐三数组”，求实数的值；（3）若直线)0(22≠+=bc c bx y 与x 轴交于点)0,(1x A ，与抛物线)0(332≠++=a c bx ax y 交于),(),,(3322y x C y x B 两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围.【答案】（1）不可以（2）t=-4，-2或2（3OP OP≠1试题解析：（1）由已知1＜2＜3∴111 123＞＞又∵1≠11 + 23∴1,2,3不可以构成“和谐三组数”（2）M（t，kt），N（t+1，1kt+），R（t+3，3kt+）k t ，1kt+，3kt+组成“和谐三组数”①若kt=1kt++3kt+，得t=-4②若13t t tk k k++=+，得t=-2③若31t t tk k k++=+，得t=2综上，t=-4，-2或2∴2323231111x x b x x x x c x ++==-=⋅ ∴123x x x ，，构成“和谐三组数”②∵x 2=1∴a+b+c =0∴c =-a-b∴OP=∵a＞2b ＞3c∴-35＜b ＜2a ∴-35＜b a ＜12令t=b a ，p=22)2()1b b a a ++(=2221t t ++ ∵-35＜t ＜12且t≠-1或0 ∴12＜p ＜52且p≠1OP OP ≠1 考点：阅读理解题。
2017年长沙市中考数学真题及答案
2017年长沙市中考数学试卷(本卷共26个小题，满分120分，考试时间120分钟)一、选择题：(本大题10个小题，每小题3分，共30分)在每个小题的下面，都给出了A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡对应的题号内． 1．21的倒数是( )A ．2B ．-2C ．21 D ．-212．下列几何体中主视图、左视图、俯视图完全相同的是( )A ．圆锥B ．六棱柱C ．球D ．四棱锥3．一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是 ( )A ． 3和 3B ． 3和 4C ． 4和 3D ． 4和44．平行四边形的对角线一定具有的性质是( )A ．相等B ．互相平分C ． 互相垂直D ．互相垂直且相等5 ．下列计算正确的是( )A ．752=+B ．422)(ab ab =C ．a a a 632=+D ．43a a a =⋅6 ．如图，C 、D 是线段AB 上两点，D 是线段AC 的中点，若AB=10cm,BC=4cm,则AD 的长等于( )A ． 2 cmB ． 3 cmC ． 4 cmD ． 6 cm 7 ．一个关于x 的一元一次不等式组在数轴上的解集如图所示，则此不等式组的解集是( )A ． x >1B ．x ≥1C ．x >3D ．x ≥38．如图，已知菱形ABCD 的边长等于2DAB=60°,则对角线BD 的长为 ( )A ． 1BC ． 2D ．9．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后能与原图形完全重合的是( )ABDCADB10．函数ay x=与函数2y ax =（0a ≠）在同一坐标系中的图像可能是( )二、填空题：(本大题8个小题，每小题3分，共24分)在每小题中，请将答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．如图，直线a ∥b,直线c 与a,b 相交，∠1=70°，则∠2=度；12．抛物线23(2)5y x =-+的顶点坐标为 ；13．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 度；14．已知关于x 的 一元二次方程22340x kx -+=的一个根是1，则k= ．15．100件外观相同的产品中有5件不合格，从中任意抽出1件进行检测，则抽到不合格产品的概率为 ． 16．如图，△ABC 中，DE ∥BC,23DE BC =,△ADE 的面积为8，则△ABC 的面积为 ；17.如图，B 、E 、C、F 在同一直线上，AB ∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6，则DF= ；18.如图，在平面直角坐标系中，A(2，3),B(-2，1),在x 轴上存在点P ，使P 到A,B 两点的距离之和最小，则P 的坐标为 ；三、解答题：(本大题2个小题，每小题6分，共12分) 19．计算：201411(1)()453--++︒a bc12第11题图第13题图AED C第16题图C AF DE 第17题图20．先化简，再求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中，x =3；四、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)21．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50同学进行“舌尖上的长沙——我最喜欢的小理后绘成如图所示的不完整请根据所给信息解答以下问题： （1） 请补全条形统计图；（2） 若全校有2000名学生，请估计全校同学中最喜欢“臭豆腐”的同学有多少人；（3） 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把他们分别标号为四种小吃的序号A,B,C,D ，随机摸出一个小球然后小吃类别口味人数臭豆唆螺 糖油粑放回，再随机摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求两次都摸到“A ”的概率；22.如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，CE 与AD 相交于点O, (1) 求证：△AEO ≌△CDO ；（2）若∠OCD=30°，求△ACO 的面积；五、解答题：(本大题2个小题，每小题9分，共18分)AEOCD第22题23．为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼的进行，某施工队准备购买甲、乙两种树苗共400棵，对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元。
湖南省长沙市2017年中考数学试题(含答案)
2017年长沙市初中毕业学业水平考试数学试卷一、选择题：1．下列实数中，为有理数的是（ ）A ．3B ．πC ．32D ．12．下列计算正确的是（ ）A ．532=+B ．222a a a =+C ．xy x y x +=+)1(D ．632)(mn mn =3．据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（ ）A ．610826.0⨯B ．71026.8⨯C ．6106.82⨯D ．81026.8⨯4．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）5．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．之直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6．下列说法正确的是（ ）A ．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B ．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C ．数据3，5，4，1，2-的中位数是4D ．“367人中有2人同月同日生”为必然事件7．某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（ ）A ．长方形B ．圆柱C ．球D ．正三棱柱8．抛物线4)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．)4,3(B ．)4,3(-C ．)4,3(-D ．)4,2(9．如图，已知直线b a //，直线c 分别与b a ,相交，01101=∠，则2∠的度数为（ ）A ．060B ．070C ．080D ．011010．如图，菱形ABCD 的对角线BD AC ,的长分别为cm cm 8,6，则这个菱形的周长为（ ）A ．cm 5B ．cm 10C ．cm 14D ．cm 2011．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ ）A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里12．如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点D C ,重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则mn 的值为（ ） A ．22 B ．21 C ．215- D ．随H 点位置的变化而变化二、填空题13．分解因式：=++2422a a ． 14．方程组⎩⎨⎧=-=+331y x y x 的解是 ． 15．如图，AB 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，已知1,6==EB CD ，则⊙O 的半径为 ．16．如图，ABO ∆三个顶点的坐标分别为)0,0(),0,6(),4,2(C B A ，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的21，可以得到O B A ''∆，已知点'B 的坐标是)0,3(，则点'A 的坐标是 ．17．甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1．6米，方差分别是5.0,2.122==乙甲S S ，则在本次测试中， 同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）18．如图，点M 是函数x y 3=与xk y =的图象在第一象限内的交点，4=OM ，则k 的值为 ．三、解答题19．计算：100)31(30sin 2)2017(|3|-+--+-π 20．解不等式组⎩⎨⎧+>---≥)1(31592x x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．21．为了传承中华优秀的传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校园团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中=a ；=b ；（2）请计算扇形统计图中B 组对应的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列举法或树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．22．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东060方向上，继续航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东030方向上．（1）求APB ∠的度数；（2）已知在灯塔P 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？23．如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CE CD =．（1）求证：OB OA =；（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的面积．24．自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元．（1）求一件B A ,型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进B A ,型商品共250件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件，已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A 型商品m 件，求该客商销售这批商品的利润v 与m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A 型商品，就从一件A 型商品的利润中捐献慈善资金a 元，求该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益．25．若三个非零实数z y x ,,满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数z y x ,,构成“和谐三数组”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．（2）若),1(),,1(),,(321y t M y t N y t M +-三点均在函数xk （k 为常数，0≠k ）的图象上，且这三点的纵坐标321,,y y y 构成“和谐三数组”，求实数t 的值；（3）若直线)0(22≠+=bc c bx y 与x 轴交于点)0,(1x A ，与抛物线)0(332≠++=a c bx ax y 交于),(),,(3322y x C y x B 两点．①若OAC ∆为等腰直角三角形，求m 的值；②若对任意0>m ，E C ,两点总关于原点对称，求点D 的坐标（用含m 的式子表示）；（3）当点D 运动到某一位置时，恰好使得OAD ODB ∠=∠，且点D 为线段AE 的中点，此时对于该抛物线上任意一点),(00y x P 总有503123461020---≥+y my n 成立，求实数n 的最小值．。
2017年湖南省长沙市中考数学试卷(附答案解析版)
2017年省市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．12．（3分）下列计算正确的是（）A．=B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn6 3．（3分）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26×107C．82.6×106D．8.26×1084．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形B．正五边形C．正方形D．平行四边形5．（3分）一个三角形的三个角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形6．（3分）下列说确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4D．“367中有2人同月同日初生”为必然事件7．（3分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱8．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）9．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（）A．60° B．70°C．80°D．110°10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm11．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里D．3里12．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A．B．C．D．随H点位置的变化而变化二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2+4a+2= ．14．（3分）方程组的解是．15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．第15题第16题16．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是．17．（3分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）18．（3分）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限的交点，OM=4，则k的值为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．21．（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．组别分数段频次频率A60≤x＜70170.17B70≤x＜8030aC80≤x＜90b0.45D90≤x＜10080.08请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中a= ，b= ；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．22．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里有暗礁，问海监船继续向正向航行是否安全？23．（9分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．24．（9分）自从与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．25．（10分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值围．26．（10分）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B 两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE 的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，数n的最小值．2017年省市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2017•）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．1【考点】27：实数．【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，π，是无理数，1是有理数，故选：D．【点评】本题考查了实数，正确区分有理数与无理数是解题关键．2．（3分）（2017•）下列计算正确的是（）A．=．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn6【考点】4A：单项式乘多项式；22：算术平方根；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】分别利用合并同类项法则以及单项式乘以多项式和积的乘方运算法则化简判断即可．【解答】解：A、+无法计算，故此选项错误；B、a+2a=3a，故此选项错误；C、x（1+y）=x+xy，正确；D、（mn2）3=m3n6，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式乘以多项式和积的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．3．（3分）（2017•）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26×107C．82.6×106D．8.26×108【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将82600000用科学记数法表示为：8.26×107．故选B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2017•）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形 B．正五边形C．正方形D．平行四边形【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（3分）（2017•）一个三角形的三个角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【考点】K7：三角形角和定理．【分析】根据三角形角和等于180°计算即可．【解答】解：设三角形的三个角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：B．【点评】本题考查的是三角形角和定理的应用，掌握三角形角和等于180°是解题的关键．6．（3分）（2017•）下列说确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4D．“367中有2人同月同日初生”为必然事件【考点】X2：可能性的大小；V2：全面调查与抽样调查；W4：中位数；X1：随机事件．【分析】根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．【解答】解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；C、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，此选项错误；D、“367中有2人同月同日初生”为必然事件，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、随机事件，熟练掌握基本定义是解题的关键．7．（3分）（2017•）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．【解答】解：从正面看，是一个矩形；从左面看，是一个矩形；从上面看，是圆，这样的几何体是圆柱，故选B．【点评】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．8．（3分）（2017•）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）【考点】H3：二次函数的性质．【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．故选A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．9．（3分）（2017•）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（）A．60° B．70°C．80°D．110°【考点】JA：平行线的性质．【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠3=∠1=110°，∴∠2=180°﹣110°=70°，故选B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．10．（3分）（2017•）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，根据勾股定理得，AB===5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选D．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．11．（3分）（2017•）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里D．3里【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设第一天走了x里，则第二天走了x里，第三天走了×x…第六天走了（）5x里，根据路程为378里列出方程并解答．【解答】解：设第一天走了x里，依题意得：x+x+x+x+x+x=378，解得x=192．则（）5x=（）5×192=6（里）．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到（）5x里是解题的难点．12．（3分）（2017•）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A．B．C．D．随H点位置的变化而变化【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEH∽△CHG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，HG分别用x，y分别表示，△CHG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEH中根据勾股定理可以得到x﹣x2=y，进而求出△CMG的周长．【解答】解：设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y，∵∠EMG=90°，∴∠DME+∠CMG=90°．∵∠DME+∠DEM=90°，∴∠DEM=∠CMG，又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，∴==，即==，∴CG=，MG=，△CMG的周长为n=CM+CG+MG=，在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2即（﹣x）2+y2=（﹣y）2整理得﹣x2=，∴n=CM+MG+CG===．∴=．故选：B．【点评】本题考查翻折变换及正方形的性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）（2017•）分解因式：2a2+4a+2= 2（a+1）2．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】11 ：计算题；44 ：因式分解．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2（a2+2a+1）=2（a+1）2，故答案为：2（a+1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3分）（2017•）方程组的解是．【考点】98：解二元一次方程组．【分析】根据加减消元法，可得答案．【解答】解：两式相加，得4x=4，解得x=1，把x=1代入x+y=1，解得y=0，方程组的解为，故答案为：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．15．（3分）（2017•）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 5 ．【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．16．（3分）（2017•）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是（1，2）．【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．【分析】根据位似变换的性质进行计算即可．【解答】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键．17．（3分）（2017•）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，乙同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）【考点】W7：方差．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲=0.20，S乙=0.16，∴S甲＞S乙，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙；故答案为：乙．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．18．（3分）（2017•）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限的交点，OM=4，则k的值为4．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】作MN⊥x轴于N，得出M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得出方程，解方程求出x=2，得出M（2，2），即可求出k的值．【解答】解：作MN⊥x轴于N，如图所示：设M（x，y），∵点M是函数y=x与y=的图象在第一象限的交点，∴M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得：x2+（x）2=42，解得：x=2，∴M（2，2），代入y=得：k=2×2=4；故答案为：4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象得交点、勾股定理、反比例函数解析式的求法；求出点M的坐标是解决问题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）（2017•）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】11 ：计算题；511：实数．【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=3+1﹣1+3=6．【点评】此题考查了实数的运算，绝对值，以及零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）（2017•）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x≥﹣9﹣x，得：x≥﹣3，解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）（2017•）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．组别分数段频次频率A60≤x＜70170.17B70≤x＜8030aC80≤x＜90b0.45D90≤x＜10080.08请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中a= 0.3 ，b= 45 ；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图．【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；（2）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；【解答】解：（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a==0.3，b=100×0.45=45（人），故答案为：0.3，45；（2）360°×0.3=108°，答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，列树形图得：∵共有 12 种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有 2 种， ∴甲、乙两名同学都被选中的概率为 = ． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不 同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每 个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8 分）（2017•）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现 了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 50 海里的速度 向正航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60°方向上，继续航行 1 小时到达 B 处， 此时测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上． （1）求∠APB 的度数； （2）已知在灯塔 P 的周围 25 海里有暗礁，问海监船继续向正向航行是否安全？【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用． 菁优网所有【分析】（1）在△ABP 中，求出∠PAB、∠PBA 的度数即可解决问题； （2）作 PH⊥AB 于 H．求出 PH 的值即可判定； 【解答】解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°， ∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．（2）作 PH⊥AB 于 H． ∵∠BAP=∠BPA=30°， ∴BA=BP=50，在 Rt△PBH 中，PH=PB•sin60°=50× =25 ， ∵25 ＞25， ∴海监船继续向正向航行是安全的．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图 形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．23．（9 分）（2017•）如图，AB 与⊙O 相切于点 C，OA，OB 分别交⊙O 于 点 D，E， = （1）求证：OA=OB； （2）已知 AB=4 ，OA=4，求阴影部分的面积．【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算． 菁优网所有【分析】（1）连接 OC，由切线的性质可知∠ACO=90°，由于 = ，所以∠ AOC=∠BOC，从而可证明∠A=∠B，从而可知 OA=OB； （2）由（1）可知：△AOB 是等腰三角形，所以 AC=2 ，从可求出扇形 OCE 的面积以及△OCB 的面积 【解答】解：（1）连接 OC， ∵AB 与⊙O 相切于点 C ∴∠ACO=90°， 由于 = ，∴∠AOC=∠BOC， ∴∠A=∠B ∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB 是等腰三角形，∴BC= AB=2 ，∴sin∠COB= = ， ∴∠COB=60°， ∴∠B=30°，∴OC= OB=2，∴扇形 OCE 的面积为：=，△OCB 的面积为： ×2 ×2=2∴S 阴影=2 ﹣ π【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是求证 OA=OB，然后利用等腰三角 形的三线合一定理求出 BC 与 OC 的长度，从而可知扇形 OCE 与△OCB 的面 积，本题属于中等题型．24．（9 分）（2017•）自从与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往 来日益频繁，某欧洲客商准备在采购一批特色商品，经调查，用 16000 元采购 A 型商品的件数是用 7500 元采购 B 型商品的件数的 2 倍，一件 A 型商品的进 价比一件 B 型商品的进价多 10 元． （1）求一件 A，B 型商品的进价分别为多少元？ （2）若该欧洲客商购进 A，B 型商品共 250 件进行试销，其中 A 型商品的件数 不大于 B 型的件数，且不小于 80 件．已知 A 型商品的售价为 240 元/件，B 型商品的售价为 220 元/件，且全部售出．设购进 A 型商品 m 件，求该客商销 售这批商品的利润 v 与 m 之间的函数关系式，并写出 m 的取值围； （3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件 A 型商品，就 从一件 A 型商品的利润中捐献慈善资金 a 元，求该客商售完所有商品并捐献慈 善资金后获得的最大收益． 【考点】FH：一次函数的应用；B7：分式方程的应用．菁优网所有【分析】（1）设一件 B 型商品的进价为 x 元，则一件 A 型商品的进价为（x+10） 元．根据 16000 元采购 A 型商品的件数是用 7500 元采购 B 型商品的件数的 2 倍，列出方程即可解决问题；（2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题； （3）设利润为 w 元．则 w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500， 分三种情形讨论即可解决问题． 【解答】解：（1）设一件 B 型商品的进价为 x 元，则一件 A 型商品的进价为（x+10） 元．由题意：= ×2，解得 x=150，经检验 x=150 是分式方程的解，答：一件 B 型商品的进价为 150 元，则一件 A 型商品的进价为 160 元．（2）因为客商购进 A 型商品 m 件，所以客商购进 B 型商品（250﹣m）件． 由题意：v=80m+70（250﹣a）=10m+17500， ∵80≤m≤250﹣m， ∴80≤m≤125，（3）设利润为 w 元．则 w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500， ①当 10﹣a＞0 时，w 随 m 的增大而增大，所以 m=125 时，最大利润为（18750 ﹣125a）元．②当 10﹣a=0 时，最大利润为 17500 元． ③当 10﹣a＜0 时，w 随 m 的增大而减小，所以 m=80 时，最大利润为（18300 ﹣80a）元． 【点评】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解 题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．25．（10 分）（2017•）若三个非零实数 x，y，z 满足：只要其中一个数的倒数 等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 x，y，z 构成“和谐三组数”． （1）实数 1，2，3 可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若 M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数 （k 为常数， k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标 y1，y2，y3 构成“和谐三组数”，数 t 的值； （3）若直线 y=2bx+2c（bc≠0）与 x 轴交于点 A（x1，0），与抛物线 y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于 B（x2，y2），C（x3，y3）两点． ①求证：A，B，C 三点的横坐标 x1，x2，x3 构成“和谐三组数”；②若 a＞2b＞3c，x2=1，求点 P（ ， ）与原点 O 的距离 OP 的取值围． 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网所有【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；（2）把 M、N、R 三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用 t 和 k 分别表 示出 y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值；（3）①由直线解析式可求得 x1=﹣ ，联立直线和抛物线解析式消去 y，利用一 元二次方程根与系数的关系可求得 x2+x3=﹣ ，x2x3= ，再利用和谐三数组的定 义证明即可；②由条件可得到 a+b+c=0，可得 c=﹣（a+b），由 a＞2b＞3c 可 求得 的取值围，令 m= ，利用两点间距离公式可得到 OP2 关于 m 的二次函数， 利用二次函数的性质可求得 OP2 的取值围，从而可求得 OP 的取值围． 【解答】解： （1）不能，理由如下：∵1、2、3 的倒数分别为 1、 、 ，∴ + ≠1，1+ ≠ ，1+ ≠ ∴实数 1，2，3 不可以构成“和谐三组数”；（2）∵M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数 （k 为常数， k≠0）的图象上，∴y1、y2、y3 均不为 0，且 y1= ，y2= ，y3= ，。
2017年湖南省长沙市中考数学试卷(含解析)(word文档良心出品)
2017年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．12．（3分）下列计算正确的是（）A．=B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn63．（3分）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26×107C．82.6×106D．8.26×1084．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形 B．正五边形C．正方形D．平行四边形5．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形6．（3分）下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件7．（3分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱8．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4） B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）9．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．110°10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm11．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里 D．3里12．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H 不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC 交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A．B．C．D．随H点位置的变化而变化二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2+4a+2=．14．（3分）方程组的解是．15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．16．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是．17．（3分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）18．（3分）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．21．（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中a=，b=；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．22．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？23．（9分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．24．（9分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．25．（10分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c （a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．26．（10分）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．2017年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．1【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，π，是无理数，1是有理数，故选：D．【点评】本题考查了实数，正确区分有理数与无理数是解题关键．2．（3分）下列计算正确的是（）A．=B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn6【分析】分别利用合并同类项法则以及单项式乘以多项式和积的乘方运算法则化简判断即可．【解答】解：A、+无法计算，故此选项错误；B、a+2a=3a，故此选项错误；C、x（1+y）=x+xy，正确；D、（mn2）3=m3n6，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式乘以多项式和积的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．3．（3分）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26×107C．82.6×106D．8.26×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将82600000用科学记数法表示为：8.26×107．故选B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形 B．正五边形C．正方形D．平行四边形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据三角形内角和等于180°计算即可．【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．6．（3分）下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件【分析】根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．【解答】解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；C、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，此选项错误；D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、随机事件，熟练掌握基本定义是解题的关键．7．（3分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．【解答】解：从正面看，是一个矩形；从左面看，是一个矩形；从上面看，是圆，这样的几何体是圆柱，故选B．【点评】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．8．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4） B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．故选A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．9．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．110°【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠3=∠1=110°，∴∠2=180°﹣110°=70°，故选B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，根据勾股定理得，AB===5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选D．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．11．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里 D．3里【分析】设第一天走了x里，则第二天走了x里，第三天走了×x…第六天走了（）5x里，根据路程为378里列出方程并解答．【解答】解：设第一天走了x里，依题意得：x+x+x+x+x+x=378，解得x=192．则（）5x=（）5×192=6（里）．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到（）5x里是解题的难点．12．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H 不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC 交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A．B．C．D．随H点位置的变化而变化【分析】设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEH∽△CHG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，HG分别用x，y分别表示，△CHG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEH中根据勾股定理可以得到x﹣x2=y，进而求出△CHG的周长．【解答】解：设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y，∵∠EHG=90°，∴∠DHE+∠CHG=90°．∵∠DHE+∠DEH=90°，∴∠DEH=∠CHG，又∵∠D=∠C=90°，△DEH∽△CHG，∴==，即==，∴CG=，HG=，△CHG的周长为n=CH+CG+HG=，在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2即（﹣x）2+y2=（﹣y）2整理得﹣x2=，∴n=CH+HG+CG===．∴=．故选：B．【点评】本题考查翻折变换及正方形的性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2+4a+2=2（a+1）2．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2（a2+2a+1）=2（a+1）2，故答案为：2（a+1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3分）方程组的解是．【分析】根据加减消元法，可得答案．【解答】解：两式相加，得4x=4，解得x=1，把x=1代入x+y=1，解得y=0，方程组的解为，故答案为：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为5．【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE 中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．16．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是（1，2）．【分析】根据位似变换的性质进行计算即可．【解答】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键．17．（3分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，乙同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=1.2，S乙2=0.5，∴S甲＞S乙，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙；故答案为：乙．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．18．（3分）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为4．【分析】作MN⊥x轴于N，得出M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得出方程，解方程求出x=2，得出M（2，2），即可求出k的值．【解答】解：作MN⊥x轴于N，如图所示：设M（x，y），∵点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，∴M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得：x2+（x）2=42，解得：x=2，∴M（2，2），代入y=得：k=2×2=4；故答案为：4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象得交点、勾股定理、反比例函数解析式的求法；求出点M的坐标是解决问题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=3+1﹣1+3=6．【点评】此题考查了实数的运算，绝对值，以及零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x≥﹣9﹣x，得：x≥﹣3，解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中a=0.3，b=45；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；（2）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；【解答】解：（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a==0.3，b=100×0.45=45（人），故答案为：0.3，45；（2）360°×0.3=108°，答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，列树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为=．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定；【解答】解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=50，在Rt△PBH中，PH=PB•sin60°=50×=25，∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．23．（9分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知∠ACO=90°，由于=，所以∠AOC=∠BOC，从而可证明∠A=∠B，从而可知OA=OB；（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，所以AC=2，从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积【解答】解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2=2﹣π∴S阴影【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是求证OA=OB，然后利用等腰三角形的三线合一定理求出BC与OC的长度，从而可知扇形OCE与△OCB的面积，本题属于中等题型．24．（9分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；（2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题．【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．由题意：=×2，解得x=150，经检验x=150是分式方程的解，答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元．（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．由题意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，①当10﹣a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元．②当10﹣a=0时，最大利润为17500元．③当10﹣a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元．【点评】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．25．（10分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c （a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）①由直线解析式可求得x1=﹣，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x2+x3=﹣，x2x3=，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c=0，可得c=﹣（a+b），由a＞2b＞3c可求得的取值范围，令m=，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．【解答】解：（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒数分别为1、、，∴+≠1，1+≠，1+≠∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；（2）∵M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k ≠0）的图象上，∴y1、y2、y3均不为0，且y1=，y2=，y3=，∴=，=，=，∵y1，y2，y3构成“和谐三组数”，∴有以下三种情况：当=+时，则=+，即t=t+1+t+3，解得t=﹣4；当=+时，则=+，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2；当=+时，则=+，即t+3=t+t+1，解得t=2；∴t的值为﹣4、﹣2或2；（3）①∵a、b、c均不为0，∴x1，x2，x3都不为0，∵直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），∴0=2bx1+2c，解得x1=﹣，联立直线与抛物线解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c=0，∵直线与抛物线交与B（x2，y2），C（x3，y3）两点，∴x2、x3是方程ax2+bx+c=0的两根，∴x2+x3=﹣，x2x3=，∴+===﹣=，∴x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②∵x2=1，∴a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3（﹣a﹣b），且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，∵P（，）∴OP2=（）2+（）2=（）2+（）2=2（）2+2+1=2（+）2+，令m=，则﹣＜m＜且m≠0，且OP2=2（m+）2+，∵2＞0，∴当﹣＜m＜﹣时，OP2随m的增大而减小，当m=﹣时，OP2有最大值，当m=﹣时，OP2有最小值，当﹣＜m＜时，OP2随m的增大而增大，当m=﹣时，OP2有最小值，当m=时，OP2有最大值，∴≤OP2＜且OP2≠1，∵P到原点的距离为非负数，∴≤OP＜且OP≠1．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在（1）中注意利用和谐三数组的定义，在（2）中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在（3）①中用a、b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在（3）②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．26．（10分）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．。
2017年长沙市中考数学试卷及解析
ymax 1250 125a 17500 18750 125a ； 当 a =10 时， y 17500 ，利润为 17500 ； 当 a 10 时， y 随 m 的增大而减小，当 m 80 时利润最大， ymax 800 80a 17500 18300 80a ；
1 x n 1 ∴ m 2 故答案选择 B．
∴n
1
2x 1 1 2x 1
1 2x 1 1 x
2
二、填空题 13． 【答案】 2( a 1) 【解析】先提取公因数 2，然后运用完全平方公式即可。
2
14． 【答案】
x 1 y 0
【解析】本题为解二元一次方程组，利用加减消元或代入消元即可求解． 15． 【答案】5 【解析】 连接 OC ， ∵ CD 6 ， 由垂径定理得 CE 3 ， 设☉O 半径为 r ，EB 1 ， ∴ OE r 1 ， 2 2 2 由勾股定理得 r 1 3 r ，解得 r 5 16． 【答案】 1 , 2 【解析】由题意得， ABO ∽ ABO ，相似比为 1 : 2 由图可得 A 2 , 4 所以 A 1 , 2 【答案】乙 17． 【解析】甲、乙两名同学的平均成绩相同，乙同学的方差比甲同学的方差小，成绩更稳定．
1 1 1 m mx m 2 4 2 16 代入①式得： n 1 m 4 1 1 1 1 ∴ n m x m2 mx m2 16 4 16 2 1 1 1 ∴ n m x m m x 4 2 4 1 ∵ mx0 4 1 ∴n m 2 n 1 ∴ m 2 1 mx 4 1 1 mx m 2 2 16
axbxaxbx1648mxmx12ocoa4812设直线ae解析式为ykx联立12481648mxmx为ae中点a的横坐标分别为120故d点横坐标为6代入抛物线解析式d612modboaddobaodobdodaodoaob负值舍去代回抛物线解析式为对任意p点总成立
【精校】2017年湖南省长沙市中考真题数学
2017年湖南省长沙市中考真题数学一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1.下列实数中，为有理数的是( )B.πD.1解析：根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案.答案：D.2.下列计算正确的是( )=B.a+2a=2a2C.x(1+y)=x+xyD.(mn2)3=mn6解析：分别利用合并同类项法则以及单项式乘以多项式和积的乘方运算法则化简判断即可. 答案：C.3.据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为( )A.0.826×106B.8.26×107C.82.6×106D.8.26×108解析：将82600000用科学记数法表示为：8.26×107.答案：B.4.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A.直角三角形B.正五边形C.正方形D.平行四边形解析：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误.答案：C.5.一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，∴这个三角形一定是直角三角形.答案：B.6.下列说法正确的是( )A.检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B.可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C.数据3，5，4，1，-2的中位数是4D.“367中有2人同月同日初生”为必然事件解析：根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可.答案：D.7.某几何体的三视图如图所示，因此几何体是( )A.长方形B.圆柱C.球D.正三棱柱解析：从正面看，是一个矩形；从左面看，是一个矩形；从上面看，是圆，这样的几何体是圆柱.答案：B.8.抛物线y=2(x-3)2+4顶点坐标是( )A.(3，4)B.(-3，4)C.(3，-4)D.(2，4)解析：y=2(x-3)2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3，4).答案：A.9.如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为( )A.60°B.70°C.80°D.110°解析：∵直线a∥b，∴∠3=∠1=110°，∴∠2=180°-110°=70°.答案：B.10.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为( )A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm解析：根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=12AC，OB=12BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解.答案：D.11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为( )A.24里B.12里C.6里D.3里解析：设第一天走了x 里，则第二天走了12x 里，第三天走了12×12x …第六天走了(12)5x 里，根据路程为378里列出方程并解答.答案：C.12.如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合(H 不与端点C ，D 重合)，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G.设正方形ABCD 的周长为m ，△CHG 的周长为n ，则nm的值为( )A.2B.12D.随H 点位置的变化而变化 解析：设CH=x ，DE=y ，则DH=4m -x ，EH=4m-y ，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEH ∽△CHG ，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG ，HG 分别用x ，y 分别表示，△CHG 的周长也用x ，y 表示，然后在Rt △DEH 中根据勾股定理可以得到2m x-x 2=2m y ，进而求出△CHG 的周长.答案：B.二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13.分解因式：2a 2+4a+2=_____.解析：原式提取2，再利用完全平方公式分解即可.答案：2(a+1)2.14.方程组133x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是_____.解析：根据加减消元法，可得答案.答案：10 xy=⎧⎨=⎩.15.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为_____.解析：连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=12CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可.答案：5.16.如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是_____.解析：根据位似变换的性质进行计算即可.答案：(1，2).17.甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，_____同学的成绩更稳定(填“甲”或“乙”)解析：根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.答案：乙.18.如图，点M是函数与y=kx的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为_____.解析：作MN ⊥x 轴于N ，得出M(x ，在Rt △OMN 中，由勾股定理得出方程，解方程求出x=2，得出M(2，，即可求出k 的值.答案：.三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19.计算：|-3|+(π-2017)0-2sin30°+(13)-1. 解析：原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 答案：原式=3+1-1+3=6.20.解不等式组()295131x xx x ≥--⎧⎪⎨-+⎪⎩＞，并把它的解集在数轴上表示出来.解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集. 答案：解不等式2x ≥-9-x ，得：x ≥-3， 解不等式5x-1＞3(x+1)，得：x ＞2， 则不等式组的解集为x ＞2， 将解集表示在数轴上如下：21.为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表.请根据所给信息，解答以下问题：(1)表中a=_____，b=_____；(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率.解析：(1)首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；(2)B组的频率乘以360°即可求得答案；(3)列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率.答案：(1)本次调查的总人数为17÷0.17=100(人)，则a=30100=0.3，b=100×0.45=45(人)；(2)360°×0.3=108°，答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；(3)将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，列树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为21 126.22.为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上.(1)求∠APB的度数；(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？解析：(1)在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；(2)作PH⊥AB于H.求出PH的值即可判定.答案：(1)∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=30°.(2)作PH⊥AB于H.∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=50，在Rt△PBH中，PH=PB·sin60°=50×2，∵25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的.23.如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，»»CD CE=.(1)求证：OA=OB；(2)已知OA=4，求阴影部分的面积.解析：(1)连接OC，由切线的性质可知∠ACO=90°，由于»»CD CE=，所以∠AOC=∠BOC，从而可证明∠A=∠B，从而可知OA=OB；(2)由(1)可知：△AOB是等腰三角形，所以OCE的面积以及△OCB 的面积.答案：(1)连接OC ，∵AB 与⊙O 相切于点C ∴∠ACO=90°，由于»»CDCE =， ∴∠AOC=∠BOC ， ∴∠A=∠B ∴OA=OB ，(2)由(1)可知：△OAB 是等腰三角形，∴BC=12∴sin ∠COB=2BC OB =， ∴∠COB=60°，∴∠B=30°， ∴OC=12OB=2， ∴扇形OCE 的面积为：60423603ππ⨯=，△OCB 的面积为：122⨯=∴S 阴影=23π.24.自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元. (1)求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？ (2)若该欧洲客商购进A ，B 型商品共250件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件.已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出.设购进A 型商品m 件，求该客商销售这批商品的利润v 与m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A 型商品，就从一件A 型商品的利润中捐献慈善资金a 元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益. 解析：(1)设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为(x+10)元.根据16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题； (2)根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题； (3)设利润为w 元.则w=(80-a)m+70(250-m)=(10-a)m+17500，分三种情形讨论即可解决问题.答案：(1)设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(x+10)元.由题意：160007500210x x=⨯+，解得x=150，经检验x=150是分式方程的解，答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元.(2)因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品(250-m)件.由题意：v=80m+70(250-a)=10m+17500，∵80≤m≤250-m，∴80≤m≤125，(3)设利润为w元.则w=(80-a)m+70(250-m)=(10-a)m+17500，①当10-a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为(18750-125a)元.②当10-a=0时，最大利润为17500元.③当10-a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为(18300-80a)元.25.若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”.(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数kx(k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；(3)若直线y=2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y=ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点.①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P(ca，ba)与原点O的距离OP的取值范围.解析：(1)由和谐三组数的定义进行验证即可；(2)把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；(3)①由直线解析式可求得x1=-cb，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x2+x3=-ba，x2x3=ca，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c=0，可得c=-(a+b)，由a＞2b＞3c可求得ba的取值范围，令m=ba，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围.答案：(1)不能，理由如下：∵1、2、3的倒数分别为1、12、13，∴12+13≠1，1+12≠13，1+13≠12∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；(2)∵M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数kx(k为常数，k≠0)的图象上，∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1=k t ，y 2=1k t +，y 3=3k t +， ∴11t y k =，211t y k +=，313t y k+=， ∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”，∴有以下三种情况： 当123111y y y =+时，则13t t t k k k++=+，即t=t+1+t+3，解得t=-4； 当321111y y y =+时，则13t t t k k k ++=+，即t+1=t+t+3，解得t=-2； 当312111y y y =+时，则31t t t k k k++=+，即t+3=t+t+1，解得t=2； ∴t 的值为-4、-2或2；(3)①∵a 、b 、c 均不为0，∴x 1，x 2，x 3都不为0，∵直线y=2bx+2c(bc ≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，∴0=2bx 1+2c ，解得x 1=-c b， 联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx+2c=ax 2+3bx+3c ，即ax 2+bx+c=0，∵直线与抛物线交与B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点，∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c=0的两根，∴x 2+x 3=-b a ，x 2x 3=c a， ∴2323231111bx x b a c x x x x c x a -++===-=， ∴x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”；②∵x 2=1，∴a+b+c=0，∴c=-a-b ，∵a ＞2b ＞3c ，∴a ＞2b ＞3(-a-b)，且a ＞0，整理可得253a b b a ⎩-⎧⎨＞＞，解得5132b a -＜＜， ∵P(c a ，b a) ∴OP 2=(c a )2+(b a )2=(a b a --)2+(b a )2=2(b a )2+2b a +1=2(b a +12)2+12，令m=b a ，则-53＜m ＜12且m ≠0，且OP 2=2(m+12)2+12， ∵2＞0，∴当-53＜m ＜-12时，OP 2随m 的增大而减小，当m=-53时，OP 2有最大值2650，当m=-12时，OP 2有最小值12， 当-12＜m ＜12时，OP 2随m 的增大而增大，当m=-12时，OP 2有最小值12，当m=12时，OP 2有最大值52， ∴12≤OP 2≤52且OP 2≠1， ∵P 到原点的距离为非负数，∴2≤OP OP ≠1.26.如图，抛物线y=mx 2-16mx+48m(m ＞0)与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 左侧)，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD 、BD 、AC 、AD ，延长AD 交y 轴于点E.(1)若△OAC 为等腰直角三角形，求m 的值；(2)若对任意m ＞0，C 、E 两点总关于原点对称，求点D 的坐标(用含m 的式子表示)；(3)当点D 运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD ，且点D 为线段AE 的中点，此时对于该抛物线上任意一点P(x 0，y 0)总有n+16≥020-50成立，求实数n 的最小值. 解析：(1)根据y=mx 2-16mx+48m ，可得A(12，0)，C(0，48m)，再根据OA=OC ，即可得到12=48m ，进而得出m 的值；(2)根据C 、E 两点总关于原点对称，得到E(0，-48m)，根据E(0，-48m)，A(12，0)可得直线AE 的解析式，最后解方程组即可得到直线AE 与抛物线的交点D 的坐标；(3)根据△ODB ∽△OAD ，可得进而得到D(6，，代入抛物线y=mx 2-16mx+48m ，可得抛物线解析式，再根据点P(x 0，y 0)为抛物线上任意一点，即可得出y 0≥，令t=-2(y0)2+4，可得t最大值=-2(-32+4=103，再根据n+16≥103，可得实数n的最小值为196.答案：(1)令y=mx2-16mx+48m=m(x-4)(x-12)=0，则x1=12，x2=4，∴A(12，0)，即OA=12，又∵C(0，48m)，∴当△OAC为等腰直角三角形时，OA=OC，即12=48m，∴m=14；(2)由(1)可知点C(0，48m)，∵对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，∴必有E(0，-48m)，设直线AE的解析式为y=kx+b，将E(0，-48m)，A(12，0)代入，可得12048k bb m+=⎧⎨=-⎩，解得448k mb m=⎧⎨=-⎩，∴直线AE的解析式为y=4mx-48m，∵点D为直线AE与抛物线的交点，∴解方程组()()412448y m x xy mx m=--⎧⎪⎨=-⎪⎩，可得816xy m==-⎧⎨⎩或12xy=⎧⎨=⎩(点A舍去)，即点D的坐标为(8，-16m)；(3)当∠ODB=∠OAD，∠DOB=∠AOD时，△ODB∽△OAD，∴OD2=OA×OB=4×12=48，∴，又∵点D为线段AE的中点，∴又∵OA=12，∴，∴D(6，，把D(6，代入抛物线y=mx2-16mx+48m，可得，解得∴抛物线的解析式为，即y=6(x-8)2-3， ∵点P(x 0，y 0)为抛物线上任意一点，∴y 0≥令my 020-50=-2y 02y 0-50=-2(y 02+4，则当y0≥t 最大值2+4=103，若要使n+16≥02y 0-50成立，则n+16≥103， ∴n ≥316， ∴实数n 的最小值为196. 考试考高分的小窍门 1、提高课堂注意力2、记好课堂笔记3、做家庭作业4、消除焦虑、精中精力、5、不忙答题，先摸卷情、不要畏惧考试。
2017年湖南省长沙市中考数学试卷及解析
2017年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．12．（3分）下列计算正确的是（）A．=B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn63．（3分）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26×107 C．82.6×106 D．8.26×1084．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B． C． D．直角三角形正五边形正方形平行四边形5．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形6．（3分）下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件7．（3分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱8．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）9．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．110°10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm11．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里 B．12里 C．6里D．3里12．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A． B． C． D．随H点位置的变化而变化二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2+4a+2=________ ．14．（3分）方程组的解是_____ ．15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．16．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是．17．（3分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）18．（3分）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．21．（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．组别分数段频次频率A 60≤x＜70 17 0.17B 70≤x＜80 30 aC 80≤x＜90 b 0.45D 90≤x＜100 8 0.08请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中a=，b=；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．22．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？23．（9分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．24．（9分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．25．（10分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．26．（10分）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A 左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．2017年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．1【解答】解：，π，是无理数，1是有理数，故选：D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．=B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn6【解答】解：A、+无法计算，故此选项错误；B、a+2a=3a，故此选项错误；C、x（1+y）=x+xy，正确；D、（mn2）3=m3n6，故此选项错误；故选：C．3．（3分）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26×107 C．82.6×106 D．8.26×108【解答】解：将82600000用科学记数法表示为：8.26×107．故选B．4．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B． C． D．直角三角形正五边形正方形平行四边形【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选C．5．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：B．6．（3分）下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件【解答】解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；C、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，此选项错误；D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；故选：D．7．（3分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱【解答】解：从正面看，是一个矩形；从左面看，是一个矩形；从上面看，是圆，这样的几何体是圆柱，故选B．8．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．故选A．9．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．110°【解答】解：∵直线a∥b，∴∠3=∠1=110°，∴∠2=180°﹣110°=70°，故选B．10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，根据勾股定理得，AB===5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选D．11．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里 B．12里 C．6里D．3里【解答】解：设第一天走了x里，依题意得：x+x+x+x+x+x=378，解得x=192．则（）5x=（）5×192=6（里）．故选：C．12．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A．B．C．D．随H点位置的变化而变化【解答】解：设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y，∵∠EHG=90°，∴∠DHE+∠CHG=90°．∵∠DHE+∠DEH=90°，∴∠DEH=∠CHG，又∵∠D=∠C=90°，△DEH∽△CHG，∴==，即==，∴CG=，HG=，△CHG的周长为n=CH+CG+HG=，在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2即（﹣x）2+y2=（﹣y）2整理得﹣x2=，∴n=CH+HG+CG===．∴=．故选：B．解法二：连接AH、AG，作AM⊥HG于M．∵EA=EH，∴∠1=∠2，∵∠EAB=∠AHG=90°，∴∠HAB=∠AHG，∵AH∥AB，∴∠DHA=∠HAB=∠AHM，∵AH=AH，∠D=∠AMH=90°，∴△AHD≌△AHM，∴DH=HM，AD=AM，∵AM=AB，AG=AG，∴Rt△AGM≌Rt△AGB，∴GM=GB，∴△GCH的周长=n=CH+HM+MG+CG=CH+DH+CG+GB=2BC，∵四边形ABCD的周长=m=4BC，∴=二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2+4a+2=2（a+1）2．【解答】解：原式=2（a2+2a+1）=2（a+1）2，故答案为：2（a+1）2．14．（3分）方程组的解是．【解答】解：两式相加，得4x=4，解得x=1，把x=1代入x+y=1，解得y=0，方程组的解为，故答案为：．15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为5．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．16．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是（1，2）．【解答】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．17．（3分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，乙同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）【解答】解：∵S甲2=1.2，S乙2=0.5，∴S甲＞S乙，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙；故答案为：乙．18．（3分）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为4．【解答】解：作MN⊥x轴于N，如图所示：设M（x，y），∵点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，∴M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得：x2+（x）2=42，解得：x=2，∴M（2，2），代入y=得：k=2×2=4；故答案为：4．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．【解答】解：原式=3+1﹣1+3=6．20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：解不等式2x≥﹣9﹣x，得：x≥﹣3，解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2，将解集表示在数轴上如下：21．（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．组别分数段频次频率A 60≤x＜70 17 0.17B 70≤x＜80 30 aC 80≤x＜90 b 0.45D 90≤x＜100 8 0.08请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中a=0.3，b=45；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．【解答】解：（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a==0.3，b=100×0.45=45（人），故答案为：0.3，45；（2）360°×0.3=108°，答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，列树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为=．22．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【解答】解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=50，在Rt△PBH中，PH=PB•sin60°=50×=25，∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．23．（9分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2∴S阴影=2﹣π24．（9分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．由题意：=×2，解得x=150，经检验x=150是分式方程的解，答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元．（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．由题意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，①当10﹣a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元．②当10﹣a=0时，最大利润为17500元．③当10﹣a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元．25．（10分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．【解答】解：（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒数分别为1、、，∴+≠1，1+≠，1+≠∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；（2）∵M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k≠0）的图象上，∴y1、y2、y3均不为0，且y1=，y2=，y3=，∴=，=，=，∵y1，y2，y3构成“和谐三组数”，∴有以下三种情况：当=+时，则=+，即t=t+1+t+3，解得t=﹣4；当=+时，则=+，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2；当=+时，则=+，即t+3=t+t+1，解得t=2；∴t的值为﹣4、﹣2或2；（3）①∵a、b、c均不为0，∴x1，x2，x3都不为0，∵直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），∴0=2bx1+2c，解得x1=﹣，联立直线与抛物线解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c=0，∵直线与抛物线交与B（x2，y2），C（x3，y3）两点，∴x2、x3是方程ax2+bx+c=0的两根，∴x2+x3=﹣，x2x3=，∴+===﹣=，∴x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②∵x2=1，∴a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3（﹣a﹣b），且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，∵P（，）∴OP2=（）2+（）2=（）2+（）2=2（）2+2+1=2（+）2+，令m=，则﹣＜m＜且m≠0，且OP2=2（m+）2+，∵2＞0，∴当﹣＜m＜﹣时，OP2随m的增大而减小，当m=﹣时，OP2有最大临界值，当m=﹣时，OP2有最小临界值，当﹣＜m＜时，OP2随m的增大而增大，当m=﹣时，OP2有最小临界值，当m=时，OP2有最大临界值，∴≤OP2＜且OP2≠1，∵P到原点的距离为非负数，∴≤OP＜且OP≠1．26．（10分）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A 左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．【解答】解：（1）令y=mx2﹣16mx+48m=m（x﹣4）（x﹣12）=0，则x1=12，x2=4，∴A（12，0），即OA=12，又∵C（0，48m），∴当△OAC为等腰直角三角形时，OA=OC，即12=48m，∴m=；（2）由（1）可知点C（0，48m），∵对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，∴必有E（0，﹣48m），设直线AE的解析式为y=kx+b，将E（0，﹣48m），A（12，0）代入，可得，解得，∴直线AE的解析式为y=4mx﹣48m，∵点D为直线AE与抛物线的交点，∴解方程组，可得或（点A舍去），即点D的坐标为（8，﹣16m）；（3）当∠ODB=∠OAD，∠DOB=∠AOD时，△ODB∽△OAD，∴OD2=OA×OB=4×12=48，∴OD=4，又∵点D为线段AE的中点，∴AE=2OD=8，又∵OA=12，∴OE==4，∴D（6，﹣2），把D（6，﹣2）代入抛物线y=mx2﹣16mx+48m，可得﹣2=36m﹣96m+48m，解得m=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣4）（x﹣12），即y=（x﹣8）2﹣，∵点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，∴y0≥﹣，令t=﹣4my02﹣12y0﹣50=﹣2y02﹣12y0﹣50=﹣2（y0+3）2+4，则当y0≥﹣时，t最大值=﹣2（﹣+3）2+4=，若要使n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，则n+≥，∴n≥3，∴实数n的最小值为．。
2017长沙中考数学试题及解答
2017年长沙市初中毕业学业水平考试数学试卷一、选择题：1．下列实数中，为有理数的是（ ）A ．3B ．πC ．32D ．12．下列计算正确的是（ ）A ．532=+B ．222a a a =+C ．xy x y x +=+)1(D ．632)(mn mn =3．据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（ ）A ．610826.0⨯B ．71026.8⨯C ．6106.82⨯D ．81026.8⨯4．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）5．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．之直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6．下列说法正确的是（ ）A ．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B ．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C ．数据3，5，4，1，2-的中位数是4D ．“367人中有2人同月同日生”为必然事件7．某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（ ）A ．长方形B ．圆柱C ．球D ．正三棱柱8．抛物线4)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．)4,3(B ．)4,3(-C ．)4,3(-D ．)4,2(9．如图，已知直线b a //，直线c 分别与b a ,相交，01101=∠，则2∠的度数为（ ）A ．060B ．070C ．080D ．011010．如图，菱形ABCD 的对角线BD AC ,的长分别为cm cm 8,6，则这个菱形的周长为（ ）A ．cm 5B ．cm 10C ．cm 14D ．cm 2011．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ ）A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里12．如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点D C ,重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则m n 的值为（ ） A ．22 B ．21 C ．215- D ．随H 点位置的变化而变化二、填空题13．分解因式：=++2422a a ．14．方程组⎩⎨⎧=-=+331y x y x 的解是 ．15．如图，AB 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，已知1,6==EB CD ，则⊙O 的半径为 ．16．如图，ABO ∆三个顶点的坐标分别为)0,0(),0,6(),4,2(C B A ，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的21，可以得到O B A ''∆，已知点'B 的坐标是)0,3(，则点'A 的坐标是 ．17．甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1．6米，方差分别是5.0,2.122==乙甲S S ，则在本次测试中， 同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”） 18．如图，点M 是函数x y 3=与xk y =的图象在第一象限内的交点，4=OM ，则k 的值为 ．三、解答题19．计算：100)31(30sin 2)2017(|3|-+--+-π 20．解不等式组⎩⎨⎧+>---≥)1(31592x x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．21．为了传承中华优秀的传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校园团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中=a ；=b ；（2）请计算扇形统计图中B 组对应的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列举法或树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．22．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A 处测得灯塔P 在北偏东060方向上，继续航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P 在北偏东030方向上．（1）求APB ∠的度数；（2）已知在灯塔P 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？23．如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CE CD =．（1）求证：OB OA =；（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的面积．24．自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元．（1）求一件B A ,型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进B A ,型商品共250件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件，已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A 型商品m 件，求该客商销售这批商品的利润v 与m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A 型商品，就从一件A 型商品的利润中捐献慈善资金a 元，求该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益．25．若三个非零实数z y x ,,满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数z y x ,,构成“和谐三数组”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．（2）若),1(),,1(),,(321y t M y t N y t M +-三点均在函数xk （k 为常数，0≠k ）的图象上，且这三点的纵坐标321,,y y y 构成“和谐三数组”，求实数t 的值；（3）若直线)0(22≠+=bc c bx y 与x 轴交于点)0,(1x A ，与抛物线)0(332≠++=a c bx ax y 交于),(),,(3322y x C y x B 两点．①求证：A ，B ，C 三点的横坐标1x ,2x ,3x 构成 “和谐三数组”；②若223,1a b c x >>=，求点P （,a cb a ） 与原点O 的距离OP 的取值范围。
2017年湖南省长沙市中考数学试卷(含解析)
2017年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．12．（3分）下列计算正确的是（）A．= B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xyD．（mn2）3=mn63．（3分）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26×107C．82.6×106 D．8.26×1084．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形B．正五边形C．正方形D．平行四边形5．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形6．（3分）下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4 D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件7．（3分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A．长方形 B．圆柱C．球 D．正三棱柱8．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）9．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．110°10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm 11．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里 B．12里 C．6里D．3里12．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A．B．C．D．随H点位置的变化而变化二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2+4a+2= ．14．（3分）方程组的解是．15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD ⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．16．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是．17．（3分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）18．（3分）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．21．（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．（1）表中a= ，b= ；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．22．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P 在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？23．（9分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．24．（9分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．25．（10分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y 3）三点均在函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x 2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．26．（10分）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m （m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my 02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．2017年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．1【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，π，是无理数，1是有理数，故选：D．【点评】本题考查了实数，正确区分有理数与无理数是解题关键．2．（3分）下列计算正确的是（）A．= B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xyD．（mn2）3=mn6【分析】分别利用合并同类项法则以及单项式乘以多项式和积的乘方运算法则化简判断即可．【解答】解：A、+无法计算，故此选项错误；B、a+2a=3a，故此选项错误；C、x（1+y）=x+xy，正确；D、（mn2）3=m3n6，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式乘以多项式和积的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．3．（3分）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26×107C．82.6×106 D．8.26×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将82600000用科学记数法表示为：8.26×107．故选B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形B．正五边形C．正方形D．平行四边形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【分析】根据三角形内角和等于180°计算即可．【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．6．（3分）下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4 D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件【分析】根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．【解答】解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；C、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，此选项错误；D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、随机事件，熟练掌握基本定义是解题的关键．7．（3分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A．长方形 B．圆柱C．球 D．正三棱柱【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．【解答】解：从正面看，是一个矩形；从左面看，是一个矩形；从上面看，是圆，这样的几何体是圆柱，故选B．【点评】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．8．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．故选A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．9．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．110°【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠3=∠1=110°，∴∠2=180°﹣110°=70°，故选B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，根据勾股定理得，AB===5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选D．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．11．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里 B．12里 C．6里D．3里【分析】设第一天走了x里，则第二天走了x 里，第三天走了×x…第六天走了（）5x里，根据路程为378里列出方程并解答．【解答】解：设第一天走了x里，依题意得：x+x+x+x+x+x=378，解得x=192．则（）5x=（）5×192=6（里）．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到（）5x里是解题的难点．12．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A．B．C．D．随H点位置的变化而变化【分析】设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEH∽△CHG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，HG分别用x，y分别表示，△CHG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEH 中根据勾股定理可以得到x﹣x2=y，进而求出△CHG的周长．【解答】解：设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y，∵∠EHG=90°，∴∠DHE+∠CHG=90°．∵∠DHE+∠DEH=90°，∴∠DEH=∠CHG，又∵∠D=∠C=90°，△DEH∽△CHG，∴==，即==，∴CG=，HG=，△CHG的周长为n=CH+CG+HG=，在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2即（﹣x）2+y2=（﹣y）2整理得﹣x2=，∴n=CH+HG+CG===．∴=．故选：B．【点评】本题考查翻折变换及正方形的性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2+4a+2= 2（a+1）2．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2（a2+2a+1）=2（a+1）2，故答案为：2（a+1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3分）方程组的解是．【分析】根据加减消元法，可得答案．【解答】解：两式相加，得4x=4，解得x=1，把x=1代入x+y=1，解得y=0，方程组的解为，故答案为：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD ⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 5 ．【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD 的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．16．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是（1，2）．【分析】根据位似变换的性质进行计算即可．【解答】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键．17．（3分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，乙同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=1.2，S乙2=0.5，∴S甲＞S乙，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙；故答案为：乙．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．18．（3分）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为4．【分析】作MN⊥x轴于N，得出M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得出方程，解方程求出x=2，得出M（2，2），即可求出k的值．【解答】解：作MN⊥x轴于N，如图所示：设M（x，y），∵点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，∴M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得：x2+（x）2=42，解得：x=2，∴M（2，2），代入y=得：k=2×2=4；故答案为：4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象得交点、勾股定理、反比例函数解析式的求法；求出点M的坐标是解决问题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=3+1﹣1+3=6．【点评】此题考查了实数的运算，绝对值，以及零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x≥﹣9﹣x，得：x≥﹣3，解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．（1）表中a= 0.3 ，b= 45 ；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；（2）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；【解答】解：（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a==0.3，b=100×0.45=45（人），故答案为：0.3，45；（2）360°×0.3=108°，答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，列树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为=．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P 在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B 处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA 的度数即可解决问题；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定；【解答】解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=50，在Rt△PBH中，PH=PB•sin60°=50×=25，∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．23．（9分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知∠ACO=90°，由于=，所以∠AOC=∠BOC，从而可证明∠A=∠B，从而可知OA=OB；（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，所以AC=2，从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积【解答】解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2∴S 阴影=2﹣π【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是求证OA=OB，然后利用等腰三角形的三线合一定理求出BC与OC的长度，从而可知扇形OCE与△OCB的面积，本题属于中等题型．24．（9分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；。
2017年湖南省长沙市中考数学试卷
2017年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数中，为有理数的是（ ）A．B．πC．D．12．（3分）下列计算正确的是（ ）A．=B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn63．（3分）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（ ）A．0.826×106B．8.26×107C．82.6×106D．8.26×1084．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．直角三角形B．正五边形C．正方形D．平行四边形5．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形6．（3分）下列说法正确的是（ ）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件7．（3分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（ ）A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱8．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（ ）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）9．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（ ）A．60°B．70°C．80°D．110°10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（ ）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm11．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ ）A．24里B．12里C．6里D．3里12．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（ ）A．B．C．D．随H点位置的变化而变化二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2+4a+2= ．14．（3分）方程组的解是 ．15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 ．16．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是 ．17．（3分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中， 同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）18．（3分）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为 ．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．21．（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．（1）表中a= ，b= ；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．22．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？23．（9分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．24．（9分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．25．（10分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k ≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．26．（10分）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．2017年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2017•长沙）下列实数中，为有理数的是（ ）A．B．πC．D．1【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，π，是无理数，1是有理数，故选：D．【点评】本题考查了实数，正确区分有理数与无理数是解题关键．2．（3分）（2017•长沙）下列计算正确的是（ ）A．=B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn6【分析】分别利用合并同类项法则以及单项式乘以多项式和积的乘方运算法则化简判断即可．【解答】解：A、+无法计算，故此选项错误；B、a+2a=3a，故此选项错误；C、x（1+y）=x+xy，正确；D、（mn2）3=m3n6，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式乘以多项式和积的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．3．（3分）（2017•长沙）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（ ）A．0.826×106B．8.26×107C．82.6×106D．8.26×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将82600000用科学记数法表示为：8.26×107．故选B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（3分）（2017•长沙）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．直角三角形B．正五边形C．正方形D．平行四边形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．（3分）（2017•长沙）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（ ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据三角形内角和等于180°计算即可．【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．6．（3分）（2017•长沙）下列说法正确的是（ ）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4D．“367人中有2人同月同日出生”为必然事件【分析】根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．【解答】解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；C、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，此选项错误；D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、随机事件，熟练掌握基本定义是解题的关键．7．（3分）（2017•长沙）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（ ）A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．【解答】解：从正面看，是一个矩形；从左面看，是一个矩形；从上面看，是圆，这样的几何体是圆柱，故选B．【点评】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．8．（3分）（2017•长沙）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（ ）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．故选A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．9．（3分）（2017•长沙）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（ ）A．60°B．70°C．80°D．110°【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠3=∠1=110°，∴∠2=180°﹣110°=70°，故选B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．10．（3分）（2017•长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（ ）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC，OB=BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，根据勾股定理得，AB===5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选D．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．11．（3分）（2017•长沙）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ ）A．24里B．12里C．6里D．3里【分析】设第一天走了x里，则第二天走了x里，第三天走了×x…第六天走了（）5x里，根据路程为378里列出方程并解答．【解答】解：设第一天走了x里，依题意得：x+x+x+x+x+x=378，解得x=192．则（）5x=（）5×192=6（里）．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意得到（）5x里是解题的难点．12．（3分）（2017•长沙）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（ ）A．B．C．D．随H点位置的变化而变化【分析】设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEH∽△CHG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，HG分别用x，y分别表示，△CHG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEH中根据勾股定理可以得到x﹣x2=y，进而求出△CHG的周长．【解答】解：设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y，∵∠EHG=90°，∴∠DHE+∠CHG=90°．∵∠DHE+∠DEH=90°，∴∠DEH=∠CHG，又∵∠D=∠C=90°，△DEH∽△CHG，∴==，即==，∴CG=，HG=，△CHG的周长为n=CH+CG+HG=，在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2即（﹣x）2+y2=（﹣y）2整理得﹣x2=，∴n=CH+HG+CG===．∴=．故选：B．【点评】本题考查翻折变换及正方形的性质，正方形的有些题目有时用代数的计算证明比用几何方法简单，甚至几何方法不能解决的用代数方法可以解决．本题综合考查了相似三角形的应用和正方形性质的应用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）（2017•长沙）分解因式：2a2+4a+2= 2（a+1）2 ．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2（a2+2a+1）=2（a+1）2，故答案为：2（a+1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3分）（2017•长沙）方程组的解是 ．【分析】根据加减消元法，可得答案．【解答】解：两式相加，得4x=4，解得x=1，把x=1代入x+y=1，解得y=0，方程组的解为，故答案为：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．15．（3分）（2017•长沙）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 5 ．【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE 中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．16．（3分）（2017•长沙）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B （6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是 （1，2） ．【分析】根据位似变换的性质进行计算即可．【解答】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键．17．（3分）（2017•长沙）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中， 乙 同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=1.2，S乙2=0.5，∴S甲＞S乙，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙；故答案为：乙．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．18．（3分）（2017•长沙）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为 4 ．【分析】作MN⊥x轴于N，得出M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得出方程，解方程求出x=2，得出M（2，2），即可求出k的值．【解答】解：作MN⊥x轴于N，如图所示：设M（x，y），∵点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，∴M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得：x2+（x）2=42，解得：x=2，∴M（2，2），代入y=得：k=2×2=4；故答案为：4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象得交点、勾股定理、反比例函数解析式的求法；求出点M的坐标是解决问题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）（2017•长沙）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=3+1﹣1+3=6．【点评】此题考查了实数的运算，绝对值，以及零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）（2017•长沙）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x≥﹣9﹣x，得：x≥﹣3，解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）（2017•长沙）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．（1）表中a= 0.3 ，b= 45 ；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．【分析】（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a、b；（2）B组的频率乘以360°即可求得答案；（2）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；【解答】解：（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a==0.3，b=100×0.45=45（人），故答案为：0.3，45；（2）360°×0.3=108°，答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，列树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为=．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）（2017•长沙）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定；【解答】解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=50，在Rt△PBH中，PH=PB•sin60°=50×=25，∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．23．（9分）（2017•长沙）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知∠ACO=90°，由于=，所以∠AOC=∠BOC，从而可证明∠A=∠B，从而可知OA=OB；（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，所以AC=2，从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积【解答】解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2∴S阴影=2﹣π【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是求证OA=OB，然后利用等腰三角形的三线合一定理求出BC与OC的长度，从而可知扇形OCE与△OCB的面积，本题属于中等题型．24．（9分）（2017•长沙）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；（2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题．【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．由题意：=×2，解得x=150，经检验x=150是分式方程的解，答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元．（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．由题意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，①当10﹣a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元．②当10﹣a=0时，最大利润为17500元．③当10﹣a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元．【点评】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．25．（10分）（2017•长沙）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k ≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）①由直线解析式可求得x1=﹣，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x2+x3=﹣，x2x3=，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c=0，可得c=﹣（a+b），由a＞2b＞3c可求得的取值范围，令m=，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．【解答】解：（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒数分别为1、、，∴+≠1，1+≠，1+≠∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；（2）∵M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k ≠0）的图象上，∴y1、y2、y3均不为0，且y1=，y2=，y3=，∴=，=，=，∵y1，y2，y3构成“和谐三组数”，∴有以下三种情况：当=+时，则=+，即t=t+1+t+3，解得t=﹣4；当=+时，则=+，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2；当=+时，则=+，即t+3=t+t+1，解得t=2；∴t的值为﹣4、﹣2或2；（3）①∵a、b、c均不为0，∴x1，x2，x3都不为0，∵直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），∴0=2bx1+2c，解得x1=﹣，联立直线与抛物线解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c=0，∵直线与抛物线交与B（x2，y2），C（x3，y3）两点，∴x2、x3是方程ax2+bx+c=0的两根，∴x2+x3=﹣，x2x3=，∴+===﹣=，∴x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②∵x2=1，∴a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3（﹣a﹣b），且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，∵P（，）∴OP2=（）2+（）2=（）2+（）2=2（）2+2+1=2（+）2+，令m=，则﹣＜m＜且m≠0，且OP2=2（m+）2+，∵2＞0，∴当﹣＜m＜﹣时，OP2随m的增大而减小，当m=﹣时，OP2有最大值，当m=﹣时，OP2有最小值，当﹣＜m＜时，OP2随m的增大而增大，当m=﹣时，OP2有最小值，当m=时，OP2有最大值，∴≤OP2＜且OP2≠1，∵P到原点的距离为非负数，∴≤OP＜且OP≠1．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在（1）中注意利用和谐三数组的定义，在（2）中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在（3）①中用a、b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在（3）②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．26．（10分）（2017•长沙）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．【分析】（1）根据y=mx2﹣16mx+48m，可得A（12，0），C（0，48m），再根据OA=OC，即可得到12=48m，进而得出m的值；。
2017年湖南省长沙市中考数学试卷 (2)
2017年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．12．（3分）下列计算正确的是（）A．=B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn63．（3分）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26×107C．82.6×106D．8.26×1084．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形 B．正五边形C．正方形D．平行四边形5．（3分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形6．（3分）下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4D．“367中有2人同月同日初生”为必然事件7．（3分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱8．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4） B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）9．（3分）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．110°10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm11．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里 D．3里12．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H 不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC 交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A．B．C．D．随H点位置的变化而变化二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）分解因式：2a2+4a+2=．14．（3分）方程组的解是．15．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为．16．（3分）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是．17．（3分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）18．（3分）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．21．（8分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中a=，b=；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．22．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？23．（9分）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．24．（9分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．25．（10分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k ≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c （a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．26．（10分）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．2017年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2017•长沙）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．1【解答】解：，π，是无理数，1是有理数，故选：D．2．（3分）（2017•长沙）下列计算正确的是（）A．=B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn6【解答】解：A、+无法计算，故此选项错误；B、a+2a=3a，故此选项错误；C、x（1+y）=x+xy，正确；D、（mn2）3=m3n6，故此选项错误；故选：C．3．（3分）（2017•长沙）据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26×107C．82.6×106D．8.26×108【解答】解：将82600000用科学记数法表示为：8.26×107．故选B．4．（3分）（2017•长沙）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形 B．正五边形C．正方形D．平行四边形【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选C．5．（3分）（2017•长沙）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：B．6．（3分）（2017•长沙）下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4D．“367中有2人同月同日初生”为必然事件【解答】解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；C、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，此选项错误；D、“367中有2人同月同日初生”为必然事件，此选项正确；故选：D．7．（3分）（2017•长沙）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱【解答】解：从正面看，是一个矩形；从左面看，是一个矩形；从上面看，是圆，这样的几何体是圆柱，故选B．8．（3分）（2017•长沙）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4） B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．故选A．9．（3分）（2017•长沙）如图，已知直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=110°，则∠2的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．110°【解答】解：∵直线a∥b，∴∠3=∠1=110°，∴∠2=180°﹣110°=70°，故选B．10．（3分）（2017•长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，根据勾股定理得，AB===5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选D．11．（3分）（2017•长沙）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里 D．3里【解答】解：设第一天走了x里，依题意得：x+x+x+x+x+x=378，解得x=192．则（）5x=（）5×192=6（里）．故选：C．12．（3分）（2017•长沙）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则的值为（）A．B．C．D．随H点位置的变化而变化【解答】解：设CH=x，DE=y，则DH=﹣x，EH=﹣y，∵∠EHG=90°，∴∠DHE+∠CHG=90°．∵∠DHE+∠DEH=90°，∴∠DEH=∠CHG，又∵∠D=∠C=90°△DEH∽△CHG，∴==，即==，∴CG=，HG=，△CMG的周长为n=CH+CG+HG=，在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2即（﹣x）2+y2=（﹣y）2整理得﹣x2=，∴n=CH+HG+CG===．∴=．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）（2017•长沙）分解因式：2a2+4a+2=2（a+1）2．【解答】解：原式=2（a2+2a+1）=2（a+1）2，故答案为：2（a+1）2．14．（3分）（2017•长沙）方程组的解是．【解答】解：两式相加，得4x=4，解得x=1，把x=1代入x+y=1，解得y=0，方程组的解为，故答案为：．15．（3分）（2017•长沙）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为5．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．16．（3分）（2017•长沙）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是（1，2）．【解答】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．17．（3分）（2017•长沙）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，乙同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）【解答】解：∵S甲=0.20，S乙=0.16，∴S甲＞S乙，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙；故答案为：乙．18．（3分）（2017•长沙）如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为4．【解答】解：作MN⊥x轴于N，如图所示：设M（x，y），∵点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，∴M（x，x），在Rt△OMN中，由勾股定理得：x2+（x）2=42，解得：x=2，∴M（2，2），代入y=得：k=2×2=4；故答案为：4．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．（6分）（2017•长沙）计算：|﹣3|+（π﹣2017）0﹣2sin30°+（）﹣1．【解答】解：原式=3+1﹣1+3=6．20．（6分）（2017•长沙）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：解不等式2x≥﹣9﹣x，得：x≥﹣3，解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2，将解集表示在数轴上如下：21．（8分）（2017•长沙）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中a=0.3，b=45；（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．【解答】解：（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a==0.3，b=100×0.45=45（人），故答案为：0.3，45；（2）360°×0.3=108°，答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，列树形图得：∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为=．22．（8分）（2017•长沙）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【解答】解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=50，在Rt△PBH中，PH=PB•sin60°=50×=25，∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．23．（9分）（2017•长沙）如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2∴S=2﹣π阴影24．（9分）（2017•长沙）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．由题意：=×2，解得x=150，经检验x=150是分式方程的解，答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元．（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．由题意：v=80m+70（250﹣a）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，①当10﹣a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元．②当10﹣a=0时，最大利润为17500元．③当10﹣a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元．25．（10分）（2017•长沙）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k ≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c （a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．【解答】解：（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒数分别为1、、，∴+≠1，1+≠，1+≠∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；（2）∵M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k ≠0）的图象上，∴y1、y2、y3均不为0，且y1=，y2=，y3=，∴=，=，=，∵y1，y2，y3构成“和谐三组数”，∴有以下三种情况：当=+时，则=+，即t=t+1+t+3，解得t=﹣4；当=+时，则=+，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2；当=+时，则=+，即t+3=t+t+1，解得t=2；∴t的值为﹣4、﹣2或2；（3）①∵a、b、c均不为0，∴x1，x2，x3都不为0，∵直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），∴0=2bx1+2c，解得x1=﹣，联立直线与抛物线解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c=0，∵直线与抛物线交与B（x2，y2），C（x3，y3）两点，∴x2、x3是方程ax2+bx+c=0的两根，∴x2+x3=﹣，x2x3=，∴+===﹣=，∴x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②∵x2=1，∴a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∵a＞2b＞3c，∴a＞2b＞3（﹣a﹣b），且a＞0，整理可得，解得﹣＜＜，∵P（，）∴OP2=（）2+（）2=（）2+（）2=2（）2+2+1=2（+）2+，令m=，则﹣＜m＜且m≠0，且OP2=2（m+）2+，∵2＞0，∴当﹣＜m＜﹣时，OP2随m的增大而减小，当m=﹣时，OP2有最大值，当m=﹣时，OP2有最小值，当﹣＜m＜时，OP2随m的增大而增大，当m=﹣时，OP2有最小值，当m=时，OP2有最大值，∴≤OP2≤且OP2≠1，∵P到原点的距离为非负数，∴≤OP≤且OP≠1．26．（10分）（2017•长沙）如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．【解答】解：（1）令y=mx2﹣16mx+48m=m（x﹣4）（x﹣12）=0，则x1=12，x2=4，∴A（12，0），即OA=12，又∵C（0，48m），∴当△OAC为等腰直角三角形时，OA=OC，即12=48m，∴m=；（2）由（1）可知点C（0，48m），∵对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，∴必有E（0，﹣48m），设直线AE的解析式为y=kx+b，将E（0，﹣48m），A（12，0）代入，可得，解得，∴直线AE的解析式为y=4mx﹣48m，∵点D为直线AE与抛物线的交点，∴解方程组，可得或（点A舍去），即点D的坐标为（8，﹣16m）；（3）当∠ODB=∠OAD，∠DOB=∠AOD时，△ODB∽△OAD，∴OD2=OA×OB=4×12=48，∴OD=4，又∵点D为线段AE的中点，∴AE=2OD=8，又∵OA=12，∴OE==4，∴D（6，﹣2），把D（6，﹣2）代入抛物线y=mx2﹣16mx+48m，可得﹣2=36m﹣96m+48m，解得m=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣4）（x﹣12），即y=（x﹣8）2﹣，∵点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，∴y0≥﹣，令t=﹣4my02﹣12y0﹣50=﹣2y02﹣12y0﹣50=﹣2（y0+3）2+4，则当y0≥﹣时，t=﹣2（﹣+3）2+4=，最大值若要使n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，则n+≥，∴n≥3，∴实数n的最小值为．参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；sd2011；王学峰；星期八；知足长乐；三界无我；sjzx；守拙；dbz1018；sks；wd1899；家有儿女；弯弯的小河；神龙杉；Ldt；szl（排名不分先后）菁优网2017年7月15日。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017 年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题 3 分，共 36 分）1．（3 分）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．12．（3 分）下列计算正确的是（）A．=B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn63．（ 3 分）据国家旅游局统计， 2017 年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000 人次，数据 82600000 用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26× 107C．82.6×106D．8.26×108 4．（3 分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形B．正五边形C．正方形D．平行四边形5．（3 分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形6．（3 分）下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据 3，5，4，1，﹣ 2 的中位数是 4D．“ 367人中有 2 人同月同日出生”为必然事件7．（3 分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）A ．长方形B ．圆柱C ．球D ．正三棱柱．（ 分）抛物线 y=2（x ﹣3） 2+4 顶点坐标是（）8 3A ．（3，4）B ．（﹣ 3，4）C ．（3，﹣4）D ．（2，4）9．（3 分）如图，已知直线 a ∥b ，直线 c 分别与 a ，b 相交，∠ 1=110°，则∠ 2的度数为（）A ．60°B ．70°C ．80°D ．110°10．（ 3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 的长分别为 6cm ，8cm ，则这个菱形的周长为（）A ．5cmB ．10cmC ．14cmD ．20cm11．（ 3 分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载： “三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A ．24 里B ．12 里C ．6 里D ．3 里12．（ 3 分）如图，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的一点 H 重合（ H 不与端点 C ，D 重合），折痕交 AD 于点 E ，交 BC 于点 F ，边 AB 折叠后与边第2页（共 25页）交于点 G．设正方形 ABCD的周长为 m，△CHG的周长为 n，则的值为（）A．B．C．D．随 H 点位置的变化而变化二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13．（ 3分）分解因式： 2a2+4a+2=．14．（ 3分）方程组的解是．15．（ 3分）如图， AB 为⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB 于点 E，已知 CD=6，EB=1，则⊙O 的半径为．16．（ 3 分）如图，△ ABO 三个顶点的坐标分别为A（2，4）， B（ 6，0），O（0，0），以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△ A′ B′O，已知点 B′的坐标是（ 3， 0），则点 A′的坐标是．17．（3 分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人 10 次跳高的平均成绩恰好是 1.6米，方差分别是 S 甲 2=1.2，S乙2=0.5，则在本次测试中，同学的成绩更稳定（填 “甲”或“乙”）18．（3 分）如图，点 M 是函数 y= x 与 y= 的图象在第一象限内的交点， OM=4，则 k 的值为．三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）．（ 分）计算：| ﹣3|+ （π﹣2017） 0﹣2sin30 °+（ ）﹣ 1． 19 620．（ 6 分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．21．（ 8 分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展 “经典诵读进校园 ” 活动，某校团委组织八年级 100 名学生进行 “经典诵读 ”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．组别分数段 频次 频率 A 60≤x ＜70 17 0.17B 70≤x ＜ 80 30 aC 80≤x ＜ 90 b 0.45D90≤x ＜10080.08请根据所给信息，解答以下问题：（ 1）表中 a=， b= ；（ 2）请计算扇形统计图中 B 组对应扇形的圆心角的度数；（ 3）已知有四名同学均取得 98 分的最好成绩， 其中包括来自同一班级的甲、 乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法第4页（共 25页）22．（ 8 分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50 海里的速度向正东方航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60°方向上，继续航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上．（1）求∠ APB的度数；（2）已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？23．（ 9 分）如图， AB 与⊙ O 相切于点 C，OA，OB 分别交⊙ O 于点 D，E， =（1）求证： OA=OB；（2）已知 AB=4 ，OA=4，求阴影部分的面积．24．（9 分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用 16000 元采购A 型商品的件数是用 7500 元采购B 型商品的件数的 2 倍，一件 A 型商品的进价比一件 B 型商品的进价多 10 元．（1）求一件 A，B 型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进 A， B 型商品共 250 件进行试销，其中 A 型商品的件数不大于 B 型的件数，且不小于 80 件．已知 A 型商品的售价为 240 元/ 件， B型商品的售价为 220 元/ 件，且全部售出．设购进 A 型商品 m 件，求该客商销售这批商品的利润 v 与 m 之间的函数关系式，并写出 m 的取值范围；（ 3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件 A 型商品，就从一件 A 型商品的利润中捐献慈善资金 a 元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．25．（ 10 分）若三个非零实数 x，y，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y， z 构成“和谐三组数”．（1）实数 1，2， 3 可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若 M （ t， y1），N（ t+1， y2）， R（ t+3， y3）三点均在函数 y= （k 为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1， y2， y3构成“和谐三组数”，求实数 t 的值；（3）若直线 y=2bx+2c（ bc≠0）与 x 轴交于点 A（x1，0），与抛物线 y=ax2+3bx+3c （a≠0）交于 B（x2， y2）， C（ x3， y3）两点．①求证： A， B， C 三点的横坐标 x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若 a＞2b＞3c，x2=1，求点 P（，）与原点O的距离OP的取值范围．26．（10 分）如图，抛物线 y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 OD、 BD、 AC、AD，延长 AD 交 y 轴于点 E．（1）若△ OAC为等腰直角三角形，求 m 的值；（2）若对任意 m＞0，C、E 两点总关于原点对称，求点 D 的坐标（用含 m 的式子表示）；（3）当点 D 运动到某一位置时，恰好使得∠ ODB=∠OAD，且点 D 为线段 AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点 P（ x0，y0）总有 n+ ≥﹣ 4 my02﹣ 12 y0﹣50 成立，求实数 n 的最小值．2017 年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，每小题 3 分，共 36 分）1．（3 分）下列实数中，为有理数的是（）A．B．πC．D．1【解答】解：，π，是无理数，1是有理数，故选： D．2．（3 分）下列计算正确的是（）A．=B．a+2a=2a2C．x（1+y）=x+xy D．（mn2）3=mn6【解答】解： A、+无法计算，故此选项错误；B、a+2a=3a，故此选项错误；C、x（1+y）=x+xy，正确；D、（mn2）3=m3n6，故此选项错误；故选： C．3．（ 3 分）据国家旅游局统计， 2017 年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000 人次，数据 82600000 用科学记数法表示为（）A．0.826×106B．8.26× 107C．82.6×106D．8.26×108【解答】解：将 82600000 用科学记数法表示为：8.26×107．故选： B．4．（3 分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形B．正五边形C．正方形D．平行四边形【解答】解： A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选： C．5．（3 分）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、 3x，则 x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则 3x=90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选： B．6．（3 分）下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据 3，5，4，1，﹣ 2 的中位数是 4D．“ 367人中有 2 人同月同日出生”为必然事件【解答】解： A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；B、可能性是 1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；C、数据 3，5，4，1，﹣ 2 的中位数是 3，此选项错误；D、“ 367人中有 2 人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；故选： D．7．（3 分）某几何体的三视图如图所示，因此几何体是（）第9页（共 25页）A．长方形B．圆柱C．球D．正三棱柱【解答】解：从正面看，是一个矩形；从左面看，是一个矩形；从上面看，是圆，这样的几何体是圆柱，故选： B．8．（3 分）抛物线 y=2（x﹣3）2+4 顶点坐标是（）A．（3，4）B．（﹣ 3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）【解答】解： y=2（x﹣3）2+4 是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（ 3，4）．故选： A．9．（3 分）如图，已知直线a∥b，直线 c 分别与 a，b 相交，∠ 1=110°，则∠ 2的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．110°【解答】解：∵直线 a∥b，∴∠ 3=∠ 1=110°，∴∠ 2=180°﹣110°=70°，故选： B．10．（ 3 分）如图，菱形ABCD的对角线 AC， BD 的长分别为 6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A．5cm B．10cm C．14cm D．20cm【解答】解：∵四边形 ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA= AC= ×6=3cm，OB= BD= ×8=4cm，根据勾股定理得， AB===5cm，所以，这个菱形的周长 =4×5=20cm．故选： D．11．（ 3 分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（）A．24 里B．12 里C．6 里D．3 里【解答】解：设第一天走了x 里，依题意得： x+ x+ x+ x+ x+x=378，解得 x=192．则（）5x=（）5×192=6（里）．故选： C．12．（ 3 分）如图，将正方形 ABCD折叠，使顶点 A 与 CD 边上的一点 H 重合（ H 不与端点 C，D 重合），折痕交 AD 于点 E，交 BC于点 F，边 AB折叠后与边 BC 交于点 G．设正方形 ABCD的周长为 m，△CHG的周长为 n，则的值为（）A．B．C．D．随 H 点位置的变化而变化【解答】解：设 CH=x，DE=y，则 DH= ﹣x，EH= ﹣y，∵∠ EHG=90°，∴∠ DHE+∠CHG=90°．∵∠ DHE+∠DEH=90°，∴∠ DEH=∠CHG，又∵∠ D=∠C=90°，△ DEH∽△ CHG，∴= =，即==，∴CG=，HG=，△ CHG的周长为 n=CH+CG+HG=，在 Rt△DEH中， DH2+DE2=EH2即（﹣x）2+y2=（﹣y）2整理得﹣x2=，∴ n=CH+HG+CG=== ．∴=．故选： B．解法二：连接 AH、AG，作 AM⊥HG 于 M ．∵EA=EH，∴∠ 1=∠ 2，∵∠ EAB=∠EHG=90°，∴∠ HAB=∠AHG，∵DH∥ AB，∴∠ DHA=∠HAB=∠ AHM，∵AH=AH，∠ D=∠AMH=90°，∴△ AHD≌△ AHM，∴ DH=HM，AD=AM，∵AM=AB，AG=AG，∴Rt△AGM≌Rt△ AGB，∴GM=GB，∴△ GCH的周长 =n=CH+HM+MG+CG=CH+DH+CG+GB=2BC，∵四边形 ABCD的周长 =m=4BC，∴=二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）22【解答】解：原式 =2（a2 +2a+1）=2（a+1）2，故答案为： 2（a+1）2．14．（ 3 分）方程组的解是 ．【解答】 解：两式相加，得4x=4，解得 x=1，把 x=1 代入 x+y=1，解得 y=0，方程组的解为，故答案为：．15．（ 3 分）如图， AB 为⊙ O 的直径，弦 CD ⊥ AB 于点 E ，已知 CD=6，EB=1，则 ⊙O 的半径为 5 ．【解答】 解：连接 OC ，∵ AB 为⊙ O 的直径， AB ⊥CD ，∴ CE=DE= CD= ×6=3，设⊙ O 的半径为 xcm ，则 OC=xcm ， OE=OB ﹣ BE=x ﹣ 1，2 2 2，在 Rt △OCE 中，OC =OE+CE∴ x 2=32+（x ﹣1）2，∴⊙ O 的半径为 5，故答案为： 5．16．（ 3 分）如图，△ ABO 三个顶点的坐标分别为 A （2，4）， B （ 6，0），O （0，0），以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△ A ′ B ′O，已知点 B′的坐标是（ 3， 0），则点 A′的坐标是（1，2）．【解答】解：∵点 A 的坐标为（ 2， 4），以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点 A′的坐标是（ 2×，4×），即（1，2），故答案为：（ 1， 2）．17．（3 分）甲、乙两名同学进行跳高测试，每人 10 次跳高的平均成绩恰好是 1.6米，方差分别是 S 甲2=1.2， S 乙2=0.5，则在本次测试中，乙同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）【解答】解：∵ S甲2，，乙2=1.2 S=0.5∴S甲＞S乙，∴甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙；故答案为：乙．18．（3 分）如图，点 M 是函数 y= x 与 y=的图象在第一象限内的交点，OM=4，则 k 的值为4．【解答】解：作 MN⊥x 轴于 N，如图所示：设 M （x，y），∵点 M 是函数 y= x 与 y=的图象在第一象限内的交点，∴ M（x，x），222解得： x=2，∴M（2，2），代入 y=得：k=2×2=4；故答案为： 4．三、解答题（本大题共8 小题，共 66 分）19．（ 6 分）计算： | ﹣3|+ （π﹣2017）0﹣2sin30 °+（）﹣1．【解答】解：原式 =3+1﹣ 1+3=6．20．（ 6 分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：解不等式 2x≥﹣ 9﹣ x，得： x≥﹣ 3，解不等式 5x﹣1＞3（x+1），得： x＞ 2，则不等式组的解集为x＞2，将解集表示在数轴上如下：21．（ 8 分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级 100 名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．组别分数段频次频率A60≤x＜70170.17B70≤x＜ 8030aC80≤x＜ 90b第 16 页（共 25 页）D90≤x＜10080.08请根据所给信息，解答以下问题：（1）表中 a= 0.3 ，b= 45 ；（2）请计算扇形统计图中 B 组对应扇形的圆心角的度数；（3）已知有四名同学均取得 98 分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．【解答】解：（1）本次调查的总人数为17÷ 0.17=100（人），则 a= =0.3，b=100×0.45=45（人），故答案为： 0.3， 45；（2） 360°×0.3=108°，答：扇形统计图中 B 组对应扇形的圆心角为108°；（3）将同一班级的甲、乙学生记为 A、B，另外两学生记为 C、 D，列树形图得：∵共有 12 种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有 2 种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为= ．22．（ 8 分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50 海里的速度向正东方航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60°方向上，继续航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上．（1）求∠ APB的度数；（2）已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【解答】解：（1）∵∠ PAB=30°，∠ ABP=120°，∴∠ APB=180°﹣∠ PAB﹣∠ ABP=30°．（2）作 PH⊥AB 于H．∵∠BAP=∠BPA=30°，∴BA=BP=50，在 Rt△PBH中， PH=PB?sin60°=50× =25 ，∵25 ＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．23．（ 9 分）如图， AB 与⊙ O 相切于点 C，OA，OB 分别交⊙ O 于点 D，E， =（1）求证： OA=OB；（2）已知 AB=4 ，OA=4，求阴影部分的面积．第 18 页（共 25 页）【解答】解：（1）连接 OC，∵AB与⊙ O 相切于点 C∴∠ ACO=90°，由于=，∴∠ AOC=∠BOC，∴∠ A=∠ B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴ BC= AB=2 ，∴sin∠COB= = ，∴∠ COB=60°，∴∠ B=30°，∴OC= OB=2，∴扇形 OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2 × 2=2∴S阴影 =2 ﹣π24．（9 分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用 16000 元采购 A 型商品的件数是用 7500 元采购 B 型商品的件数的 2 倍，一件 A 型商品的进价比一件 B 型商品的进价多 10 元．（1）求一件 A，B 型商品的进价分别为多少元？（2）若该欧洲客商购进 A， B 型商品共 250 件进行试销，其中 A 型商品的件数不大于 B 型的件数，且不小于 80 件．已知 A 型商品的售价为 240 元/ 件， B型商品的售价为 220 元/ 件，且全部售出．设购进 A 型商品 m 件，求该客商销售这批商品的利润 v 与 m 之间的函数关系式，并写出 m 的取值范围；（ 3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件 A 型商品，就从一件 A 型商品的利润中捐献慈善资金 a 元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．【解答】解：（ 1）设一件 B 型商品的进价为x 元，则一件 A 型商品的进价为（x+10）元．由题意：=×2，解得 x=150，经检验 x=150 是分式方程的解，答：一件 B 型商品的进价为150 元，则一件 A 型商品的进价为160 元．（2）因为客商购进 A 型商品 m 件，所以客商购进 B 型商品（ 250﹣m）件．由题意： v=80m+70（250﹣ m）=10m+17500，∵ 80≤m≤ 250﹣m，∴ 80≤m≤ 125，（3）设利润为 w 元．则 w=（ 80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣ a） m+17500，①当 10﹣a＞0 时，即 0＜a＜10 时， w 随 m 的增大而增大，所以m=125 时，最大利润为（ 18750﹣125a）元．②当 10﹣a=0 时，最大利润为17500 元．③当 10﹣a＜0 时，即 10＜ a≤ 80 时， w 随 m 的增大而减小，所以m=80 时，最大利润为（ 18300﹣80a）元．25．（ 10 分）若三个非零实数x，y，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 x，y， z 构成“和谐三组数”．（1）实数 1，2， 3 可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若 M （ t， y1），N（ t+1， y2）， R（ t+3， y3）三点均在函数 y= （k 为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1， y2， y3构成“和谐三组数”，求实数 t第 20 页（共 25 页）（3）若直线 y=2bx+2c（ bc≠0）与 x 轴交于点 A（x1，0），与抛物线 y=ax2+3bx+3c （a≠0）交于 B（x2， y2）， C（ x3， y3）两点．①求证： A， B， C 三点的横坐标 x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若 a＞2b＞3c，x2=1，求点 P（，）与原点O的距离OP的取值范围．【解答】解：（ 1）不能，理由如下：∵ 1、 2、 3 的倒数分别为 1、、，∴+ ≠1，1+ ≠，1+ ≠∴实数 1， 2，3 不可以构成“和谐三组数”；（ 2）∵ M （t ，y1）， N（t+1， y2）， R（ t+3， y3）三点均在函数（k为常数，k ≠0）的图象上，∴ y1、y2、y3均不为 0，且 y1=，y2=，y3=，∴=，=，=，∵y1，y2，y3构成“和谐三组数”，∴有以下三种情况：当= +时，则=+，即t=t +1+t+3，解得t=﹣4；当= +时，则= +，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2；当= +时，则= +，即t+3=t+t+1，解得t=2；∴t 的值为﹣ 4、﹣ 2 或 2；（3）①∵a、b、c 均不为0，∴x1，x2，x3都不为 0，∵直线 y=2bx+2c（bc≠0）与 x 轴交于点 A（ x1，0），∴ 0=2bx1+2c，解得 x1=﹣，联立直线与抛物线解析式，消去y 可得 2bx+2c=ax2+3bx+3c，即 ax2+bx+c=0，∵直线与抛物线交与B（x2， y2）， C（ x3，y3）两点，∴x2、x3是方程 ax2+bx+c=0 的两根，∴x2+x3=﹣， x2x3 = ，∴+ ===﹣=，∴x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②∵ x2=1，∴a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∵a＞ 2b＞3c，∴ a＞ 2b＞3（﹣ a﹣b），且 a＞ 0，整理可得，解得﹣＜＜，∵P（，）∴OP2=（）2+（）2=（）2+（）2=2（）2+2 +1=2（+）2+，令 m=，则﹣＜m＜且m≠0，且OP2=2（m+）2+，∵2＞0，∴当﹣＜ m＜﹣时，OP2随m的增大而减小，当m=﹣时，OP2有最大临界值，当 m=﹣时，OP2有最小临界值，当﹣＜m＜时，OP2随m的增大而增大，当m=﹣时，OP2有最小临界值，当 m= 时， OP2有最大临界值，∴≤OP2＜且 OP2≠ 1，∵ P 到原点的距离为非负数，∴≤ OP＜且OP≠ 1．26．（10 分）如图，抛物线 y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与 x 轴交于 A，B 两点（点B 在点 A 左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 OD、 BD、 AC、AD，延长 AD 交 y 轴于点 E．（1）若△ OAC为等腰直角三角形，求 m 的值；（2）若对任意 m＞0，C、E 两点总关于原点对称，求点 D 的坐标（用含 m 的式子表示）；（3）当点 D 运动到某一位置时，恰好使得∠ ODB=∠OAD，且点 D 为线段 AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点 P（ x0，y0）总有 n+ ≥﹣ 4 my02﹣ 12 y0﹣50 成立，求实数 n 的最小值．【解答】解：（1）令 y=mx2﹣16mx+48m=m（x﹣4）（ x﹣12）=0，则 x1=12，x2=4，∴A（ 12，0），即 OA=12，又∵ C（0，48m），∴当△ OAC为等腰直角三角形时， OA=OC，即 12=48m，∴m= ；（2）由（ 1）可知点 C（0，48m），∵对任意 m＞0，C、E 两点总关于原点对称，∴必有E（ 0，﹣ 48m），设直线 AE的解析式为 y=kx+b，将 E（0，﹣ 48m）， A（ 12，0）代入，可得，解得，∴直线 AE的解析式为 y=4mx﹣48m，∵点 D 为直线 AE与抛物线的交点，∴解方程组，可得或（点 A 舍去），即点 D 的坐标为（ 8，﹣ 16m）；（3）当∠ ODB=∠ OAD，∠ DOB=∠AOD 时，△ ODB∽△ OAD，∴OD2=OA×OB=4× 12=48，∴OD=4 ，又∵点 D 为线段 AE 的中点，∴AE=2OD=8 ，又∵ OA=12，∴ OE==4，∴D（6，﹣ 2），把 D（6，﹣2）代入抛物线 y=mx2﹣16mx+48m，可得﹣ 2=36m﹣96m+48m，解得 m=，∴抛物线的解析式为 y= （x﹣ 4）（x﹣12），即 y= （x﹣8）2﹣，∵点 P（x0， y0）为抛物线上任意一点，∴ y0≥﹣，令 t=﹣4my2﹣12y ﹣ 50=﹣2y2﹣ 12y﹣50=﹣2（y +3）2+4，00000则当 y0≥﹣时， t 最大值 =﹣2（﹣+3）2+4=，若要使 n+≥﹣ 4my02﹣ 12 y0﹣50 成立，则 n+≥，∴ n≥ 3 ，∴实数 n 的最小值为．第 24 页（共 25 页）。