2018-2019学年江苏省扬州市高邮市高二下学期期中数学(理)试题(解析版)

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江苏省扬州市2018-2019学年高二下学期期末调研测试数学理试题及答案

江苏省扬州市2018-2019学年高二下学期期末调研测试数学理试题及答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = ▲ ．2．i 为虚数单位，复数21i-= ▲ ． 3．函数()lg(1)f x x =+的定义域为 ▲ ． 4．“0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写） 5．函数xy e =在1x =处的切线的斜率为 ▲ ． 6．若tan θ+1tan θ=4则sin2θ= ▲ ． 7．某工厂将4名新招聘员工分配至三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，甲、乙两名员工必须分配至同一车间，则不同的分配方法总数为 ▲ （用数字作答）． 8．函数()sin cos f x x x =-的值域为 ▲ ．9===⋅⋅⋅=，则21n m += ▲ ． 10．已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．11．已知函数()f x 是定义在[4,)-+∞上的单调增函数，且对于一切实数x ，不等式 22(cos )(sin 3)f x b f x b -≥--恒成立，则实数b 的取值范围是 ▲ ． 12．设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在．．一个从S 到T 的函数)(x f y =满足： (i)}|)({S x x f T ∈=；(ii)对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合： ①,{1,1}S R T ==-； ②*,S N T N ==；③{|13},{|810}S x x T x x =-≤≤=-≤≤；④{|01},S x x T R =<<=其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是 ▲ (写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．13．已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足4()f x x =，且()4()f x t f x +≤在[1,16]x ∈恒成立，则实数t 的最大值是 ▲ ．14．若关于x 的不等式2xax e ≥的解集中的正整数解有且只有3个，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知a R ∈，命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=． ⑴若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；⑵若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 16．（本小题满分14分）已知函数()2cos()(0,)6f x x x R πωω=+>∈的最小正周期为10π．⑴求函数()f x 的对称轴方程； ⑵设,[0,]2παβ∈，56516(5),(5)35617f f ππαβ+=--=，求cos()αβ+的值．17．（本小题满分14分）已知*(1)(,)nmx m R n N +∈∈的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含3x 项的系数为80． ⑴求,m n 的值；⑵求6(1)(1)nmx x +-展开式中含2x 项的系数．18．（本小题满分16分）如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y 轴左侧的观光道曲线段是函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<，[4,0]x ∈-时的图象且最高点B （-1，4），在y 轴右侧的曲线段是以CO 为直径的半圆弧． ⑴试确定A ，ω和ϕ的值；⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO （单位：米），在点C 与半圆弧上的一点D 之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D 到点O 之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设DCO θ∠=(弧度)，试用θ表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）19．（本小题满分16分）已知函数2()1f x ax bx =++（,a b 为实数，0,a x R ≠∈），(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩．⑴若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0,)+∞，求()F x 的表达式；⑵设0,0,0mn m n a <+>>，且函数()f x 为偶函数，判断()()0F m F n +>是否大0？⑶设ln 1()xx g x e +=，当1a b ==时，证明：对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ (其中'()g x 是()g x 的导函数) ．20．（本小题满分16分）已知函数2()(,)f x ax bx a b R =+∈，函数()ln g x x =．⑴当0=a 时，函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象有公共点，求实数b 的最大值； ⑵当0b =时，试判断函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象的公共点的个数；⑶函数)(x f 的图象能否恒在函数()y bg x =的上方？若能，求出,a b 的取值范围；若不能，请说明理由．参考答案数学（理科附加题）（全卷满分40分，考试时间30分钟）2018．621．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球1个、黄色球2个、蓝色球*()n n N ∈个．现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得1分、摸到黄球得2分、摸到蓝球得3分．若从这个口袋中随机地摸出2个球，恰有一个是黄色球的概率是158． ⑴求n 的值；⑵从口袋中随机摸出2个球，设ξ表示所摸2球的得分之和，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 22．（本小题满分10分）已知函数ax x x f +-=3)(在(1,0)-上是增函数．⑴求实数a 的取值范围A ；⑵当a 为A 中最小值时，定义数列{}n a 满足：1(1,0)a ∈-，且)(21n n a f a =+，用数学归纳法证明(1,0)n a ∈-，并判断1n a +与n a 的大小． 23．（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，90BAC ︒∠=，F 为棱1AA 上的动点，14,2A A AB AC ===． ⑴当F 为1A A 的中点，求直线BC 与平面1BFC⑵当1AF FA 的值为多少时，二面角1B FC C --的大小是45︒．24．（本小题满分10分）已知数列{}n a 为0123,,,,,()n a a a a a n N ⋅⋅⋅∈，0nn i i b a ==∑表示0a．⑴若数列{}n a 为等比数列2()nn a n N =∈，求()niini b C =∑；⑵若数列{}n a 为等差数列2()n a n n N =∈，求1()ni ini b C =∑．参考答案理科数学试题参考答案一、填空题：1．{2} 2．1i + 3．(1,)-+∞ 4．充分不必要 5．e 6．127．6 8．[9．2014 10．(0,1)(1,4) 11．1[2- 12．②③④131 14．4[,)16e e二、解答题：15⑴因为命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，令2()f x x a =-，根据题意，只要[1,2]x ∈时，min ()0f x ≥即可， ……4分也就是101a a -≥⇒≤； ……7分 ⑵由⑴可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，命题q 为真命题时，244(2)0a a ∆=--≥，解得21a a ≤-≥或 ……11分因为命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，12121a a a ≤⎧⇒-<<⎨-<<⎩，当命题p 为假，命题q 为真时，11-21a a a a >⎧⇒>⎨≤≥⎩或，综上：1a >或21a -<<． ……14分 16⑴由条件可知，21105T ππωω==⇔=， ……4分则由155()566x k x k k Z ππππ+=⇒=-+∈为所求对称轴方程； ……7分⑵56334(5)cos()sin ,cos352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔==，因为[0,]2πα∈，所以6334cos()sin ,cos 52555πααα⇔+=-⇔==，516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔==，因为[0,]2πβ∈，所以516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔== … …11分4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-． ……14分17⑴由题意，232n=，则5n =； ……3分由通项15(0,1,,5)r r r r T C m x r +==，则3r =，所以33580C m =，所以2m =；…7分⑵即求56(12)(1)x x +-展开式中含2x 项的系数，56011220122555666(12)(1)[(2)(2)]()x x C C x C x C C x C x +-=+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅22(11040)(1615)x x x x =+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅， ……11分所以展开式中含2x 项的系数为11510(6)4015⨯+⨯-+⨯=-． ……14分 18⑴因为最高点B （-1，4），所以A=4；又(4,0)E -，所以 1(4)3124TT =---=⇒=，因为2126T ππωω==⇒= ……5分代入点B （-1，4），44sin[(1)]sin()166ππϕϕ=⨯-+⇒-=，又203πϕπϕ<<⇒=； ……8分 ⑵由⑴可知：24sin(),[4,0]63y x x ππ=+∈-，得点C (0,即CO =取CO 中点F ，连结DF ，因为弧CD 为半圆弧，所以2,90DFO CDO θ∠=∠=︒，即2DO θ== ，则圆弧段DO造价预算为万元， Rt CDO ∆中，CD θ=，则直线段CD造价预算为θ万元，所以步行道造价预算()g θθ=+，(0,)2πθ∈． ……13分由'()sin )2sin )g x θθ=-+=-得当6πθ=时，'()0g θ=，当(0,)6πθ∈时，'()0g x >，即()g θ在(0,)6π上单调递增；当(,)62ππθ∈时，'()0g x <，即()g θ在(,)62ππ上单调递减所以()g θ在6πθ=时取极大值，也即造价预算最大值为（63+）万元．……16分 19⑴因为(1)0f -=，所以10a b -+=，因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以20,40a b a >⎧⎨∆=-=⎩， ……3分所以24(1)02,1b b b a --=⇒==，所以2()(1)f x x =+，所以22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩； ……5分 ⑵因为()f x 是偶函数，所以20,()1b f x ax ==+即，又0a >，所以221,0()1,0ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩， ……8分因为0mn <，不妨设0m >，则0n <，又0m n +>，所以0m n >->，此时2222()()11()0F m F n am an a m n +=+--=->，所以()()0F m F n +>； ……10分⑶因为0x >，所以2()()1F x f x ax bx ==++，又1a b ==，则2()1F x x x -=+，因为ln 1()x x g x e +=，所以'1ln 1()xx x g x e--= 则原不等式证明等价于证明“对任意实数0x >，221ln 1()1xx x x x e e---+⋅<+ ” ，即 21(1ln )1x x x x x e e-+⋅--<+. ……12分先研究 1ln x x x --，再研究1x xe+.① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=，当(0x ∈，2)e -时'()0i x >，()i x 单增；当2(x e -∈，)+∞时'()0i x <，()i x 单减 .所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+.② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，所以()j x 在(0,)+∞单减，所以，()(0)1j x j <=，即11x x e+<.综上①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e ee--++=--≤+<+.即原不等式得证，对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ ……16分 20⑴bx x f a =∴=)(0 ,由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b 取最大值， ……1分设切点横坐标为0x ，1(),()f x b g x x''==，000011,,ln b x x e b e bx x⎧=⎪∴∴=∴=⎨⎪=⎩, 即实数b 的最大值为1b e =； ……4分⑵2ln 0,0,()()xb x f x g x a x =>∴=⇔=，即原题等价于直线y a =与函数2ln ()xr x x=的图象的公共点的个数， ……5分'432ln 12ln ()x x x xr x x x --==， ()r x ∴在递增且1()(,)2r x e∈-∞，()r x 在)+∞递减且1()(0,)2r x e∈，1(,)2a e∴∈+∞时，无公共点，1(,0]{}2a e ∈-∞⋃时，有一个公共点，1(0,)2a e∈时，有两个公共点； ……9分⑶函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的上方，即()()f x bg x >在0x >时恒成立， ……10分①0a <时()f x 图象开口向下，即()()f x bg x >在0x >时不可能恒成立， ②0a =时ln bx b x >，由⑴可得ln x x >，0b ∴>时()()f x bg x >恒成立，0b ≤时()()f x bg x >不成立， ③0a >时，若0b <则2ln a x x b x -<，由⑵可得2ln x xx -无最小值，故()()f x bg x >不可能恒成立，若0b =则20ax >，故()()f x bg x >恒成立，若0b >则2(ln )0ax b x x +->，故()()f x bg x >恒成立， ……15分综上，0,0a b =>或0,0a b >≥时函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的图象的上方． ……16分21⑴由题设158231211=++n n C C C ，即03522=--n n ，解得3=n ； ……4分 ⑵ξ取值为3,4,5,6.则1112262(3)15C C P C ξ===， 11213222664(4)15C C C P C C ξ==+=，1123262(5)5C C P C ξ===，23261(6)5C P C ξ===， ……8分ξ的分布列为：故234561515553E ξ⨯+⨯+⨯+⨯==． ……10分22⑴'2()30f x x a =-+≥即23a x ≥在(1,0)x ∈-恒成立，[3,)A ∴=+∞； ……4分 ⑵用数学归纳法证明：(1,0)n a ∈-．（ⅰ）1=n 时，由题设1(1,0)a ∈-；（ⅱ）假设k n =时，(1,0)k a ∈-则当1+=k n 时，)3(21)(2131k k k k a a a f a +-==+ 由⑴知：x x x f 3)(3+-=在(1,0)-上是增函数，又(1,0)k a ∈-，所以331111((1)3(1))1()(3)0222k k k k a f a a a +--+⨯-=-<==-+<，综合（ⅰ）（ⅱ）得：对任意*N n ∈，(1,0)n a ∈-． ……8分3111(3)(1)(1)22n n n n n n n n a a a a a a a a +-=-+-=--+因为(1,0)n a ∈-，所以10n n a a +-<，即1n n a a +<． … …10分23．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,4),(0,2,4)A B C A C ，⑴因为F 为中点，则1(0,0,2),(2,0,2),(2,2,4),(2,2,0)F BF BC BC =-=-=-，设(,,)n x y z =是平面1BFC 的一个法向量，则12202240n BF x zn BC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，得x y z =-= 取1x =，则(1,1,1)n =-，设直线BC 与平面1BFC 的法向量(1,1,1)n =-的夹角为则cos 3||||22BC n BC n θ⋅===-⋅，所以直线BC 与平面1BFC……5分 ⑵设1(0,0,)(04),(2,0,),(2,2,4)F t t BF t BC ≤≤=-=-，设(,,)n x y z =是平面1BFC 的一个法向量，则1202240n BF x tz n BC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取2z =，则(,4,2)n t t =- (2,0,0)AB =是平面1FC C 的一个法向量，cos ,2||||2n AB n AB n AB t ⋅<>===⋅，得52t =，即153,22AF FA ==，所以当153AF FA =时，二面角1B FC C --的大小是45． ……10分24⑴0121222221n n n b +=+++⋅⋅⋅+=-，所以10213210()(21)(21)(21)(21)ni n ninn n n n i b C C C C C +==-+-+-+⋅⋅⋅+-∑100211322121212121n n nn n n n n n n n C C C C C C C C +=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅ 011220122(222)()n n n n n n n n n n n C C C C C C C C =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+++⋅⋅⋅+2(12)2232n n n n =+-=⋅-． ……4分 ⑵0242(1)n b n n n =+++⋅⋅⋅+=+，1230()122334(1)ni ninn n n n i b C CC C n n C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++∑，因为012233(1)n n nn n n n n x C C x C x C x C x +=++++⋅⋅⋅+，两边同乘以x ，则有01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=++++⋅⋅⋅+，两边求导，左边1(1)(1)n n x nx x -=+++，右边012233234(1)n nn n n n n C C x C x C x n C x =++++⋅⋅⋅++，即1012233(1)(1)234(1)n n n nn n n n n x nx x C C x C x C x n C x -+++=++++⋅⋅⋅++（*），对（*）式两边再求导，得12123212(1)(1)(1)213243(1)n n n n n n n n n x n n x x C C x C x n nC x ---++-+=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++ 取1x =，则有22123(3)2122334(1)n n n n n n n n C C C n n C -+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++所以221()(3)2ni n ini b C nn -==+⋅∑． ……10分。

2018-2019扬州市邗江区高二数学理科下学期期中考试卷答案

2018-2019学年度第二学期高二数学期中测试卷数学（理科）答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1、i -2、正方形的对角线相等3、54、815、-26、187、(－2,53)∪(53,+∞) 8、480 9、2k 10、512623c b a +-11、96 12、3 13、84 14、962二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15、（1）设z ＝b i （b ∈R ），则z －＝－b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i.-------------------------------------------7分（2）设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），则z －＝a －b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，z －z －2＝a ＋b i －（a －b i ）2＝a －a 2＋b 2＋（b ＋2ab ）i.因为z －z －2为实数，所以b ＋2ab ＝0，因为|b |＝3，所以a ＝－12，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋（±3）2＝132-------------------------------14分16、(1)法一 (元素分析法) 先排甲有6种，其余有A 88种，故共有6·A 88＝241 920(种)排法．法二 (位置分析法)中间和两端有A 38种排法，包括甲在内的其余6人有A 66种排法，故共有A 38·A 66＝336×720＝241 920(种)排法．法三 (等机会法)9个人的全排列数有A 99种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A 99×69＝241 920(种)．法四 (间接法)A 99－3·A 88＝6A 88＝241 920(种)．--------------------------------------------------------4分(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A 22·A 77＝10 080(种)排法．--------------------------------------------------------9分 (3)(插空法)先排4名男生有A 44种方法，再将5名女生插空，有A 55种方法，故共有A 44·A 55＝2 880(种)排法．--------------------------------------------------------------------------------------14分17、以A 为原点，{}AB AD AP ，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ．则(000)A ，，，(100)B ，，，(120)C ，，，(020)D ，，，(002)P ，，，(110)F ，，．（1）当2λ=时，由PE EC λ=得242()333E ，，，所以112()333EF =--，，，又(022)PD =-，，，所以3cos 6EF PD EF PD EF PD⋅==⋅，所以异面直线PD 与EF ． …… 7分（2）当12λ=时，由12PE EC =，得124()333E ，，．设平面AEF 的一个法向量为1(1)y z =，，n ，又124()333AE =，，，(110)AF =，，，则1100AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 得11(11)4=-，，n ．又平面AFC 的一个法向量为2(001)=，，n ，所以12121233cos ⋅==⋅，n n nn n n ．所以二面角E AFC ……14分18、(1)假设111,,a b c 成等差数列，则211b a c=+ 2()ac b a c ∴=+a b c 、、成等差数列2b a c ∴=+ 22()2,()02a c ac a c +∴=∴-=a c ∴=，又2,b ac a b c =+∴==这与a b c 、、成等差数列且公差0d ≠矛盾，所以111,,a b c不可能成等差数列------------------------------------8分（2）①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立．②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k>1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k>(1＋x )·(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p>1＋px 均成立．-----------------------------------16分19、（1）,,,,1(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,1,1),ABE ABCD EO AB ABE ABCD AB EO ABCD OD ABCD EO OD OB OD OE O xyz EAB OA OB OD OE OB O A B C D E EC ⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥-∴====∴-∴=-平面平面，且平面平面平面平面由、、两两垂直，建立如图所示的看见直角坐标系为等腰直角三角形设(0,1,0)3sin cos ,ABE OD EC EC OD EC OD EC ODEC ABE θθ=⋅∴===平面的法向量设直线与平面所成角为即直线与平面-----------------------------------------------------------------------------------------8分 (2)1=3//111(,0,)33312(,0,),3342(,0,)33=,,)000,142033(1,1,2)(1,1,1)(1,1,2)EF F EA EC FBD EF EA F FB FBD a b c BD FB a b a a c EC υυυυυ==---∴=-⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩-+=⎧⎪∴=⎨-=⎪⎩=⋅=-⋅=存在点，且时有平面证明如下由设平面的法向量为（有取得0//1//3EC FBDEC FBDEF F EC FBDEA ⊄∴=且平面平面即点满足时有平面------------------------------------------------------------------------------------------16分20、(1) a 2＝0，a 3＝2－1.-------------------------------------------2分(2) 设f(x)＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f(a n )．①当n ＝1时，不等式显然成立；假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即0≤a k ≤1，则当n ＝k ＋1时，易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，所以0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1，即0≤a k ＋1≤1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．综上所述，0≤a n ≤1.----------------------------------------------6分 ②先证a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)：当n ＝1时，0＝a 2<a 3＝2－1，即当n ＝1时不等式成立；假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即a 2k <a 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，所以a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1, 即当n ＝k ＋1时，不等式成立．所以a 2n <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立；-----------------------------11分再证a 2n <14<a 2n ＋1(n ∈N *)：由上可知a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1＝a 2n ＋1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，所以a 2n <14.由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2，所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1＝a 2n ＋2，解得a 2n ＋1>14，所以a 2n <14<a 2n ＋1(n ∈N *)成立．--------------------------------------------16分。

江苏高二高中数学期中考试带答案解析

江苏高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.过点且倾斜角为45°的直线方程为______2.已知动直线，则其倾斜角的取值范围是___________．3.若直线过圆的圆心，则实数的值为________4.圆截直线所得的弦长为8，则的值是________5.已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是________6.如果直线和直线都平行于直线，则之间的距离为_______7.已知圆的方程为，过点的圆的三条弦的长分别为，若成等比数列，则其公比的最大值为_________．8.已知直线，直线，点关于的对称点为，点关于直线的对称点为，则过点的圆的方程为_________9.设，若直线与圆相切，则的取值范围是_________10.已知，，若方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是_______11.已知，，，点是直线上的动点，若恒成立，则最大负整数的值为________12.设直线：，圆：，若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是_________13.已知圆和两点，（），若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是__________14.如图，在平面直角坐标系中，圆与轴的正半轴交于点，以点为圆心的圆与圆交于两点，若是圆上的动点且交轴与，则的最大值为________．15.如图，已知点为圆与圆在第一象限内的交点．过的直线被圆和圆所截得的弦分别为，（，不重合），若，则直线的方程是______．二、解答题1.已知圆，直线与圆相交于不同的两点，．（1）求实数的取值范围；（2）若弦的垂直平分线过点，求实数的值．2.已知圆．（1）若，过点作圆的切线，求该切线方程；（2）若为圆的任意一条直径，且（其中为坐标原点），求圆的半径．3.已知圆：，过原点作两条不同的直线，与圆都相交．（1）从分别作，的垂线，垂足分别为，，若，，求直线的方程；（2）若，且，与圆分别相交于，两点，求△面积的最大值．4.已知圆的圆心在轴上，半径为1，直线被圆所截的弦长为，且圆心在直线的下方．（1）求圆的方程；（2）设，若圆是的内切圆，求的面积的最大值和最小值．5.已知直线：，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方．（1）求圆的方程；（2）若直线过点且与圆交于，两点（在轴上方，在轴下方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6.已知⊙和点.过作⊙的两条切线，切点分别为且直线的方程为．(1)求⊙的方程；(2)设为⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．7.已知圆，圆，经过原点的两直线满足，且交圆于不同两点交，圆于不同两点，记的斜率为（1）求的取值范围；（2）若四边形为梯形，求的值．8.已知圆，两个定点，，其中，．为圆上任意一点，且（为常数)．（1）求常数的值；（2）过点作直线与圆交于两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围．江苏高二高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.过点且倾斜角为45°的直线方程为______【答案】【解析】斜率,由直线的点斜式方程可得,即.2.已知动直线，则其倾斜角的取值范围是___________．【答案】【解析】斜率，令，为上的奇函数，当时，有，当时，有，∵，∴，∴当时，的值域为，因此，动直线的倾斜角的范围为．3.若直线过圆的圆心，则实数的值为________【答案】【解析】由题可知，圆的一般方程化成标准方程为，圆心坐标为（-1,2），将圆心坐标代入到直线方程中，得出。

2018-2019江苏省扬州中学高二下学期期中考试（理）数学试题

绝密★启用前江苏省扬州中学2018-2019学年高二下学期期中考试（理) 数学试题一、填空题1．命题“x R ∃∈，20x x +>”的否定是______. 【答案】x R ∀∈，20x x + 【解析】【分析】根据存在性命题的否定的结构形式写出即可. 【详解】命题“x R ∃∈，20x x +>”的否定为“x R ∀∈，20x x +≤”.填x R ∀∈，20x x +. 【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝. 2．若复数z 满足：(1i)2z ⋅+=，则||z =______.【解析】【分析】利用复数的除法求出z 后可得其模. 【详解】因为(1i)2z ⋅+=，故211z i i==-+，故||z =. 【点睛】本题考查复数的除法及复数的模，属于容易题.3．若3()f x x =，其导数满足()03f x '=，则0x 的值为______.【答案】±1 【解析】【分析】求出()'f x 后可得关于0x 的方程，可从该方程解出0x 即可. 【详解】()2'3f x x =，则()200'33f x x ==，故01x =±，填±1.【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题.4．命题“220x x --=”是命题“1x =-”的______条件. 【答案】必要不充分【解析】【分析】求出方程220x x --=的解后可判断两者之间的条件关系. 【详解】220x x --=的解为1x =-或2x =，所以当“220x x --=”成立时，则“1x =-”未必成立；若“1x =-”，则“220x x --=”成立，故命题“220x x --=”是命题“1x =-”的必要不充分条件，填必要不充分. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.5．投掷两个骰子，向上的点数之和为12的概率为______. 【答案】136【解析】【分析】计算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数后可得所求的概率. 【详解】记A 为“投掷两个骰子，向上的点数之和为12”，则投掷两个骰子，向上的点数共有6636⨯=种，而投掷两个骰子，向上的点数之和为12只有1种，故()136P A =，故填136. 【点睛】古典概型的概率计算，关键在于基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，可用枚举法或排列组合的知识来计算，注意基本事件要符合等可能这个要求. 6．若曲线在点P 处的切线平行于直线则点P 的坐标为 .【答案】（1，0）【解析】试题分析：设点，则，即.考点：导数的几何意义.7．有3名男生4名女生排成一排，要求男生排在一起，女生也排在一起，有______种不同的排列方法.（用数字作答）【答案】288 【解析】【分析】用捆绑法可求不同的排列数. 【详解】因为男生排在一起，女生也排在一起，故不同的排法总数是34342288A A =，填288.【点睛】排列组合中，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，有时排队问题还要求特殊元素放置在特殊位置，此时用特殊元素、特殊位置优先考虑的方法.8．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =成立推导1n k =+成立时，1()12f n =+11321n ++⋯+-增加的项的个数是______（用k 表示）【答案】2k 【解析】【分析】观察()f k 中各项分母的变化规律可得增加的项的个数. 【详解】因为1()12f n =+11321k ++⋯+-，各项的分母从1变化到2k ，故()f k 共有2k 个项，1(1)12f k +=+111132121k k +++⋯+++--，{}|?•(),, A B mm a b a b a A b B *==-∈∈共有12k +，故增加的项的个数为1222k k k +-=，填2k【点睛】数学归纳法由归纳起点、归纳假设和归纳证明组成，其中归纳证明必须用到归纳假设，因此归纳证明的等式或不等式在归纳假设的基础上变化了多少项要明确. 9．若数列{}n a 为等差数列，定义1233n n n n a a a b +++++=，则数列{}n b 也为等差数列.类比上述性质，若数列{}n a 为等比数列，定义数列{}:n nb b =______，则数列{}n b 也为等比数列.【解析】【分析】可证明当{}n a 为等差数列时，{}n b 也为等差数列，从这个证明过程就可以得到等比数列中类似的结论 . 【详解】因为{}n a 为等差数列，从而12323n n n n a a a a ++++++=，所以2n n b a +=，121n n n n a d b a b +-+--==，所以{}n b 为等差数列，而当{}n a 为等比数列时，23312nn n n a a a a ++++=2n a +=，若n b =2n n b a +=，此时121n n n n b b aq a +-+==（q 为{}n a 的公比），所以{}n b【点睛】等差数列与等比数列性质的类比，往往需要把一类数列中性质的原因找到，那么就可以把这个证明的过程类比推广到另一类数列中，从而得到两类数列的性质的类比.需要提醒的是等差数列与等比数列性质的类比不是简单地“和”与“积”或“差”与“商”的类比.10．6(1)ax +的展开式中二项式系数的最大值为______.（用数字作答）【答案】20 【解析】【分析】因为展开式中共有7项，中间项的二项式系数最大. 【详解】6(1)ax +的展开式共有7项，中间项的二项式系数最大且为3620C =，填20. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，属于基础题.11．若函数2()ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，则实数m 的最小值为______.【答案】12【解析】【分析】求出'()f x ，考虑'()0f x ≥且不恒为零时实数m 的取值范围即可. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，1'()22f x mx x =+-，因为()f x 在()0,∞+上为增函数，故1220mx x+-≥在()0,∞+上恒成立，且'()f x 不恒为零.1220mx x +-≥在()0,∞+上恒成立等价于22211211m x x x ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，故21m ≥即12m ≥，而当12m =，当且仅当1x =时有'()0f x =，故'()f x 不恒为零. m 的最小值为12. 填12.【点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤且不恒为零．12．已知函数f(x)＝x 3＋3x 对任意的m ∈[－2,2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围为________．【答案】(－2，23) 【解析】∵函数f(x)＝x 3＋3x 是奇函数，且在定义域f(x)＝x 3＋3x 上单调递增，∴由f(mx －2)＋f(x)<0得f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，即mx －2<－x ，令g(m)＝xm ＋(x －2)，由题意知g(2)<0，g(－2)<0，令g(m)＝xm ＋(x －2)，g(2)<0，g(－2)<0， ∴220220x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得－2<x<23.13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且对任意0x >都有()()0x f x f x '⋅->成立，则不等式2()0x f x ⋅>的解集是______.【答案】(1,0)(1,)-⋃+∞ 【解析】【分析】令()()f xg x x=，可证()g x 为偶函数且为()0,∞+上的增函数，考虑当0x >时，()0g x >的解及当0x <时，()0g x <的解，它们的并是所求不等式的解集.【详解】2()0x f x ⋅>等价于0()0x f x ≠⎧⎨>⎩，令()()f xg x x =，则()()()2''xf x f x g x x-=，当0x >时，有()'0g x >，故()g x 为()0,∞+上的增函数，而()10g =，故当0x >时，()0g x >的解为()1,+∞，故当0x >时，()0f x >的解为()1,+∞，因()()()()f x f x g x g x x x--===-，故()g x 为偶函数，当0x >时，()0f x >等价于()0g x <，因()g x 为偶函数，故当0x <时，()0g x <的解为()1,0-即当0x <时，()0f x >的解为()1,0-，综上，2()0x f x ⋅>的解集是(1,0)(1,)-⋃+∞，填(1,0)(1,)-⋃+∞. 【点睛】如果题设中有关于函数()f x 及其导数()'f x 的不等式，我们应具体该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则.14．设曲线()(1)x f x ax e =-⋅在点()01,A x y 处的切线为1l ，()(1)x g x x e -=-⋅在点()02,B x y 处的切线为2l ，若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是______. 【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】求出()()00,f x g x ''，利用两切线垂直可以得到()()00121ax a x -+⋅-=-，参变分离后可得0003121x a x x -=⋅-+，令03t x =-，换元后可求函数0003121x y x x -=⋅-+的值域，从而得到实数a 的取值范围. 【详解】()(1)x f x ax a e '=-+，()(2)x g x x e -'=-，存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()001f x g x ''⋅=-，即()()00121ax a x -+⋅-=-,()001112a x x -⋅+=+-,0003121x a x x -=⋅-+，令0333,2t x ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦， 14(4)(1)5t y t t t t==++++,13443t t -≤+≤-，∴312y ≤≤，故312a ≤≤，∴答案为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.含参数的方程的有解问题，可通过参变分离把问题转化为不含参数的函数的值域问题.15．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，1AB AD PD ===，2CD =.设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=.（1）若13λ=，证明：PB DQ ⊥；（2）试确定λ的值，使得二面角P BD Q --的大小为45°. 【答案】（1）证明见解析；（2）21λ=.【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出,PB DQ 的坐标后可得它们的数量积为零，从而得到PB DQ ⊥.（2）计算出平面BDQ 的法向量和平面PBD 的法向量再计算它们的夹角的余弦值，根据二面角的P BD Q --的大小得到关于λ的方程，从而可求λ的值. 【详解】如图建立直角坐标系D xyz -，(0,0,1)P ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(1,1,1)PB =-，(0,2,1)PC =-(1,1,0)DB =， (0,2,)PQ PC λλλ==-， (0,2,1)DQ DP PQ λλ=+=-，（1）当13λ=时，22(0,,)33DQ =，∴22033PB DQ ⋅=-=，所以PB DQ ⊥. （2）设平面BDQ 的法向量(,,)m x y z = ，00m DB m DQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 02(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩，令1x =，则1y =-，21z λλ=-，21,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，同理可得：平面PBD 的法向量(1,1,0)n =-，2|cos ,|2||||m n m nm n ⋅<>==⋅2=，2221λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， 1λ=（舍负）.【点睛】二面角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为法向量的夹角的计算，注意向量的夹角与二面角的平面角的关系是相等或互补，所以两者的余弦值的绝对值相等，我们常利用这个关系式构建关于参数的方程.二、解答题16．命题p ：方程210x mx ++=有实数根；命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实数根.若命题p 、q 中有且仅有一个真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】12m <<或3m 或2m - 【解析】【分析】先求出p 真、q 真时m 的取值范围，根据题设条件可得p 真q 假或p 假q 真，从而可求出实数m 的取值范围. 【详解】若p 真，则方程210x mx ++=有实数根.∴2140m ∆=-≥，∴p 真时2m ≥或2m ≤-；若q 真，则方程244(2)10x m x +-+=无实数根，∴2216(2)160m ∆=--<，∴q 真时13m <<.因为命题p 、q 中有且仅有一个真命题， ①p 真q 假：所以2231m m m m ≥≤-⎧⎨≥≤⎩或或，故3m ≥或2m ≤-；②p 假q 真：所以2213m m -<<⎧⎨<<⎩，故 12m <<；综上，实数m 的取值范围为12m <<或3m ≥或2m ≤-. 【点睛】对于命题p 、q 中有且仅有一个真命题的问题，我们一般先求出p 真时参数的范围，再求出q 为真时参数的范围，通过p 真q 假和p 假q 真得到最终的参数的取值范围． 17．已知33314n nn n n C A C -+⋅+=⋅(3,)n n ∈N .（1）求n 的值；（2）求2nx ⎫⎪⎭展开式中的常数项. 【答案】（1）4；（2）8. 【解析】【分析】（1）利用排列数公式、组合数公式化简可得216n =，从而得到n 的值. （2）利用通项公式可求常数项. 【详解】（1）33314n nn n n CA C-+⋅+=⋅等价于()()()()()1!!1243!3!3!2!n n n n n n n n +⋅+--=--，整理得到()()()()()()121112466n n n n n n n n n n --+-⋅+--=，因3n ≥，故()10n n -≠，故()()()221263n n n n -+⋅+-=整理得到：216n =即4n =. （2）444314422rr rrr rr T CC x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令4403r-=，故1r =，从而展开式中的常数项为112428T C ==.【点睛】本题考查排列数、组合数的计算及二项展开式中指定项的计算，属于基础题.18．已知数列{}n a 小满足123a =-，112nn a a -=-+()*2,n n ∈N .（1）求2a 、3a ；（2）猜想数列通项公式n a ，并用数学归纳法给出证明. 【答案】（1）34-，45-；（2）()*12n n a n n +=-∈+N ,证明见解析. 【解析】【分析】（1）依据递推关系可求2a 、3a . （2）根据（1）可猜测12n n a n +=-+，按照数学归纳法的基本步骤证明即可. 【详解】（1）234a =-，345a =-；（2）猜想数列通项公式12n n a n +=-+，证明如下：当1n =时，123a =-，1223n n +-=-+，所以12n n a n +=-+成立；假设n k =时成立，即12k k a k +=-+ ，当1n k =+时，()()1111121231222n k k k a k a k k k ++++=-=-=-=-+++++-+ ， ∴1n k =+时，12n n a n +=-+成立，综上，由①②得：()*12n n a n n +=-∈+N . 【点睛】由数列的前若干项和递推关系可猜测数列的通项，然后再用数学归纳法去证明，注意数学归纳法有三个部分即归纳的起点、归纳假设和归纳证明，注意归纳证明的推理过程必须用到归纳假设.19．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球. （1）求最多取两次就结束的概率；（2）求整个过程中恰好取到2个白球的概率；（3）求取球次数的分布列和数学期望. 【答案】（1）925；（2）1531000；（3）6125.【解析】【分析】（1）设取球次数为ξ，分别计算(1)P ξ=和(2)P ξ=可得最多取两次就结束的概率. (2) 最多取球三次，恰好取到2个白球的情况共有四种：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，分别计算它们的概率可得所求的概率.（3）设取球次数为η，则1,2,3η=，分别计算(1)P =、(2)P =和(3)P =，从而可得η的分布列，再利用公式计算其数学期望. 【详解】（1）设取球次数为ξ，则121101(1)5C P C ξ===，1182111010414(2)5525C C P C C ξ==⨯=⨯=. 所以最多取两次的概率14952525P =+=. （2）由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为53333215331010101010101000P =⨯⨯⨯+⨯⨯=. （3）设取球次数为η，则21(1)105P η===，824(2)101025P η==⨯= , 882816(3)1010101025P η⎛⎫==⨯⨯+= ⎪⎝⎭，则分布列为η1 2 3P15 425 1625取球次数的数学期望为()1416611235252525E η=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率及其分布、数学期望的计算等，在概率计算的过程中，要注意对所讨论的对象进行合理的分类讨论，做到不重不漏. 20．已知函数，其中m ，a 均为实数．（1）求的极值；（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得成立，求的取值范围．【答案】(1)极大值为1，无极小值；(2)3-；(3)．【解析】试题分析：（1）求函数极值，先明确定义域为再求其导数为．由，得x = 1.分析导数在定义区间符号正负，确定函数先增后减，所以y =有极大值为1，无极小值．（2）不等式恒成立问题，先化简不等式．化简不等式的难点有两个，一是绝对值，二是两个参量可从函数单调性去绝对值，分析两个函数，一是，二是.利用导数可知两者都是增函数，故原不等式等价于，变量分离调整为,这又等价转化为函数在区间上为减函数，即在上恒成立．继续变量分离得恒成立，即.最后只需求函数在上最大值,就为的最小值.（3）本题含义为：对于函数在上值域中每一个值，函数在上总有两个不同自变量与之对应相等．首先求出函数在上值域，然后根据函数在上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需包含.由在不单调得，由每段单调区间对应的值域都需包含得，.试题解析：（1），令，得x = 1．1分列表如下：x （-∞，1） 1 （1，+∞）+ 0 -g(x) ↗极大值↘∵g(1) = 1，∴y =的极大值为1，无极小值．3分（2）当时，，．∵在恒成立，∴在上为增函数．4分设，∵> 0在恒成立，∴在上为增函数．5分设，则等价于，即．设，则u(x)在为减函数．∴在（3，4）上恒成立6分∴恒成立．设，∵=，xÎ[3，4]，∴，∴< 0，为减函数．∴在[3，4]上的最大值为v(3) =" 3" -．8分∴a≥3 -，∴的最小值为3 -．9分（3）由（1）知在上的值域为．10分∵，，当时，在为减函数，不合题意．11分当时，，由题意知在不单调，所以，即．① 12分此时在上递减，在上递增，∴，即，解得．②由①②，得．13分∵，∴成立．14分下证存在，使得≥1．取，先证，即证．③设，则在时恒成立．∴在时为增函数．∴，∴③成立．再证≥1．∵，∴时，命题成立．综上所述，的取值范围为．16分考点：函数极值，不等式恒成立。

江苏省扬州中学2018学年高二下学期期中数学试卷理科含解析

2018-2018学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．复数z=的共轭复数为．2．命题“x=π”的条件．是“sinx=0”3．设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为．4．的二项展开式中，x3的系数是．（用数字作答）5．某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与318对门，318与318对门，318与318对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．（x）＞f（x），则不等式（x）满足f′6．已知可导函数f（x）的导函数f′的解集是．7．设f（k）=+++…+（k∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）=．8．若数列{a n}的通项公式，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=．9．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是．10．已知：（x+2）8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，其中a i=（i=0，1，2…８）为实常数，则a1+2a2+…+7a7+8a8=．11．某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不排在第1节，则不同的排法种数为．（以数字作答）．12．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．13．已知函数f（x）=x3+ax2+bx在区间[﹣1，1）、（1，3]内各有一个极值点，则a﹣4b的取值范围是．14．我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线（a＞0，b＞0），与x轴，直线y=h （h＞0）及渐近线所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积．二．解答题（本大题共6题，共90分）15．已知命题：“?x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．16．已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位）．（1）求w；（2）设z∈C，在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积．17．已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的．（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项．18．如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB 于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．19．某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．（1）试求E n和F n；（2）判断lnE n和F n的大小（n∈N+），并用数学归纳法证明．20．已知函数f（x）（x∈R），f′（x）存在，记g（x）=f′（x），且g′（x）也存在，g′（x）＜0．（1）求证：f（x）≤f（x0）+f′（x0）（x﹣x0）；（x0∈R）（2）设n），且λ1+λ2+…+λn=1，x i∈R（i=1，…，n）（n ∈N+）求证：λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λn f（x n）≤f（λ1x1+λ2x2+…+λn x n）（3）已知a，f（a），f[f（a）]，f{f[（f（a）]}是正项的等比数列，求证：f（a）=a．2018-2018学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．复数z=的共轭复数为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．2．命题“x=π”的充分不必要条件．是“sinx=0”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x=π?sinx=0，反之不成立，例如取x=0，满足sinx=0．即可判断出结论．【解答】解：x=π?sinx=0，反之不成立，例如取x=0，满足sinx=0．是“sinx=0”的充分不必要条件．∴“x=π”故答案为：充分不必要．3．设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】求出cos＜＞，由此能求出异面直线l1，l2所成角的大小．【解答】解：∵异面直线l1，l2的方向向量分别为，∴cos＜＞===，∴＜＞=．∴异面直线l1，l2所成角的大小为．故答案为：．4．的二项展开式中，x3的系数是﹣10．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第r+1项，令x的指数为3得解．【解答】解：T r+1=，令5﹣2r=3得r=1，所以x3的系数为（﹣2）1?C51=﹣10．故答案为﹣105．某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与318对门，318与318对门，318与318对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】6个人拿6把钥匙可以看作是6个人的全排列，而甲乙对门的拿法种数包括甲乙拿301与318门的钥匙，其余4人任意排列，甲乙拿318与318门的钥匙，其余4人任意排列，甲乙拿318与318门的钥匙，其余4人任意排列，然后利用古典概型概率计算公式求概率．【解答】解：法一、6个人拿6把钥匙共有种不同的拿法，记甲、乙恰好对门为事件A，则事件A包括甲、乙拿了301与318，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了318与318，其余4人随意拿．共种；。

2018-2019学年江苏省扬州市邗江中学高二下学期期中考试数学(理)试题解析版

绝密★启用前江苏省扬州市邗江中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题评卷人得分一、填空题1．已知复数（为虚数单位），则=______．【答案】5【解析】【分析】直接利用复数的模的公式求解.【详解】因为复数，所以.故答案为：5【点睛】（1）本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)复数的模.2．已知集合，则___________【答案】【解析】【分析】求解出集合，根据交集定义求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3．观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为_____【答案】＋＋＋＋<试题分析：不等式的规律是：，则第⑤个不等式为考点：归纳推理点评：归纳推理，关键在于观察事实，寻求规律，然后得到结论。

对此类题目，只要用心思考，都能做得很好。

4．已知()()*111123f n n N n =++++∈ ，用数学归纳法证明()22n nf >时，()()122k k f f +-=__________．【答案】111121222k k k ++++++ 【解析】试题分析：因为假设n k =时，111(2)1232k k f =++++ ，当1n k =+时，1111111(2)1232212k k k k f ++=++++++++ ，所以()()122k k f f +-=1111111111(1)232212232k k k k ++++++++-+++++ 111121222k k k +=+++++ ．考点：数学归纳法．【方法点晴】本题主要考查了数学归纳法，由归纳法的性质，我们由()P n 对n k =成立，则它对1n k =+也成立，由此类推，对于n k ≥的任意整数均成立，其中熟记数学归纳法的步骤和推理结构是解答此类问题的关键，本题的解答中根据数学归纳法的思想，得出当n k =和1n k =+时，分别写出(2)kf 和()12k f +的表达式，即可作差求解()()122k k f f +-的表示形式，属于基础题．5．已知，是矩阵的属于特征值的一个特征向量，则矩阵的另一个特征值为___________【答案】-3【解析】【分析】由求得，则可得矩阵的特征多项式为，令求得结果.由题意得：，即可得：，解得：特征多项式为则或另一个特征值为：本题正确结果：【点睛】本题考查矩阵的特征向量问题，属于基础题.6．设随机变量，且，则事件“”的概率为_____（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据二项分布求得，再利用二项分布概率公式求得结果.【详解】由可知：本题正确结果：【点睛】本题考查二项分布中方差公式、概率公式的应用，属于基础题.7．已知命题，命题，若命题且是真命题，则实数的取值范围是______【答案】【解析】试题分析：是真命题，则为真命题，为真命题，命题为真命题，则，命题为真命题，，则，所以．考点：1、命题的真假性；2、一元二次不等式恒成立．【方法点睛】本题主要考察存在性问题，一元二次不等式恒成立问题，存在性问题等价于或，对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2），一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式．8．已知，设……，则……___________【答案】1023【解析】【分析】根据组合数公式性质可得；分别代入和求得和，作差即可得到结果.【详解】即：代入可得：代入可得：本题正确结果：【点睛】本题考查组合数的性质、二项展开式系数和的应用问题，对于与二项展开式系数和有关的问题，常采用特殊值的方式来求解.9．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）．以原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是,直线被曲线截得的线段长为_______【答案】【解析】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程；直线极坐标方程化为直角坐标方程，联立后求得交点坐标，利用两点间距离公式求得线段长.【详解】由得的普通方程为：又的直角坐标方程为：联立，解得交点坐标为：，直线被曲线截得的线段长为：本题正确结果：【点睛】本题考查直线被曲线截得的弦长问题，关键是能够将参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，进而在直角坐标系中来求解.10．下列命题错误的是__________（1）命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”；（2）若命题：，则：；（3）中，“”是“”的充要条件；（4）若向量满足，则的夹角为钝角。

江苏省扬州市扬州中学2018-2019学年高二12月月考试数学试题(含解析)

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故答案是2 + 2 先由点到直线的距离求得距离模型，再由三角函数的性质求得最值．本题主要考查建模和解模的能力．如图是 2008 年“隆力奇”杯第 13 届 CCTV 青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，则该选手的所有得分数据的中位数与众数之和为______．【答案】170 【解析】解：由茎叶图知，该组数据从小到大排列为： 78，84，84，84，86，87，92，94，97；则该组数据的中位数为 86，众数是 84，且86 + 84 = 170．故答案为：170．由茎叶图中的数据求出中位数和众数的值，再求和．本题考查了利用茎叶图求中位数和众数的应用问题，是基础题．如图是一个算法的伪代码，则输出的 i 的值为______．
>0
，化为：(�� + 2)(�� ‒ 1) < 0，解得 ‒ 2 < �� < 1．
∵ ��是 q 的必要不充分条件，
则实数 a 的取值范围是( ‒ ∞, ‒ 2]．故答案为：( ‒ ∞, ‒ 2]．利用不等式的解法化简 q，根据必要不充分条件即可得出范围．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10. 若函数��(��) = (�� ‒ 1)(�� ‒ 2)(�� ‒ 3)(�� ‒ 4)，则��'(2) = ______．【答案】2 【解析】解：设��(��) = (�� ‒ 1)(�� ‒ 3)(�� ‒ 4)； ∴ ��(��) = (�� ‒ 2)��(��)； ∴ ��'(��) = ��(��) + (�� ‒ 2)��'(��)； ∴ ��'(2) = ��(2) + (2 ‒ 2)��'(2) = ��(2) = (2 ‒ 1)(2 ‒ 3)(2 ‒ 4) = 2．故答案为：2．可设��(��) = (�� ‒ 1)(�� ‒ 3)(�� ‒ 4)，从而得出��(��) = (�� ‒ 2)��(��)，求导得出 ��'(��) = ��(��) + (�� ‒ 2)��'(��)，带入�� = 2即可求出��'(2)的值．考查基本初等函数的求导，以及积的导数的求导公式．

2018-2019学年江苏省扬州中学高二数学下学期4月月考(理科)试卷含答案

江苏省扬州中学2018—2019学年第二学期月考考试高二（理）数学 2019.4一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．写出命题“2,10x C x ∀∈+>”的否定：_____________________ 2．计算()()12i i i++的结果为__________。

3．“z z =”是“z 为实数”的______________条件（选填：充要、充分不必要、必要不充分，既不充分又不必要）4．若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++（i 为虚数单位）为纯虚数，其中m R ∈，则__________z =5．五名同学站成一排，甲不站在正中间，则不同的站法有（用数字作答）． 6. 设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +====,,n N *∈则2019()f x = . 7.用数学归纳法证明不等式11111231n n n ++⋅⋅⋅≥+++(n ∈N,n ≥2) 从n =k 到n =k +1时，左边的项数增加了_____项．8. 四位外宾参观某校，需配备两名安保人员．六人依次进入校门，为安全起见，首尾一定是两名安保人员，则六人的入门顺序共有种不同的安排方案（用数字作答）． 9. 函数()ln xf x x=的单调递增区间是． 10．在ABC Rt ∆中，若,,,900a BCb AC C ===∠则三角形ABC 的外接圆半径222b a r +=，把此结论类比到空间，空间三条侧棱互相垂直的四面体，三条侧棱长分别为c b a ,,，则此三棱锥外接球的半径是r =_____________。

11．若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f12．若已知x C 10=28-x C +18-x C +329-x C ，则x =13．已知函数()31f x x x =++,若对任意的x ,都有()()22f x a f ax ++>,则实数a 的取值范围是__________．14．对于各数互不相等的正数数组（i 1，i 2，…，i n ）（n 是不小于2的正整数），如果在p ＜q 时有i p ＜i q ，则称“i p 与i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4，则（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”是 .二、解答题（本大题共6道题，共计90分） 15．（1）已知命题；命题函数在区间上为减函数．若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值集合；（2）若集合，}，是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16．已知z 、ω为复数，(13)i z +为实数，ω=,||2且ziω=+ （1）求|z |；（2）求ω。

江苏省扬州市高二下学期期中数学试卷(理科)

江苏省扬州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·柳林期末) 函数的图象如图，则函数的单调增区间是（）A .B .C .D .2. （2分）求（x2+2）（）6的展开式的常数项是（）A . 15B . ﹣15C . 17D . ﹣173. （2分）抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（）A . 一颗是3点，一颗是1点B . 两颗都是2点C . 两颗都是4点D . 一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点4. （2分）(2017·林芝模拟) 6名学生和2位老师站成一排合影，其中2位老师不相邻的站法有（）种．A . 30228B . 30232C . 30236D . 302405. （2分） f (x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf'(x)f(x)，若，，则a,b,c的大小关系是（）A . a>b>cB . c>b>aC . c>a>bD . a>c>b6. （2分） (2016高一上·石家庄期中) 已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（）A . f（x）=x2+6xB . f（x）=x2+8x+7C . f（x）=x2+2x﹣3D . f（x）=x2+6x﹣107. （2分）在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作．设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（）A . 0.35B . 0.65C . 0.85D .8. （2分） (2017高二下·长春期末) 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地到丁地不同的路有（）A . 11条B . 14条C . 16条D . 48条9. （2分）校园内移栽4棵桂花树，已知每颗树成活的概率为，那么成活棵数的方差是（）A .B .C .D .10. （2分）直线l：（t为参数）的倾斜角为（）A . 20°B . 70°C . 160°D . 120°11. （2分） (2016高二下·洛阳期末) 计算：（x3﹣）dx=（）A . ﹣2B . ﹣C .D . 212. （2分），若，则 =（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·集宁期末) 某单位为了了解用电量（千瓦时）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温/℃181310-1用电量/千瓦时24343864由表中数据得到线性回归方程中，预测当气温为-4℃时，用电量的度数约为________．14. （1分）(2017·成都模拟) 成都七中112岁生日当天在操场开展学生社团活动选课超市，5名远端学生从全部六十多个社团中根据爱好初选了3个不同社团准备参加．若要求这5个远端学生每人选一个社团，而且这3 个社团每个社团都有远端学生参加，则不同的选择方案有________种．（用数字作答）15. （1分）(2017·合肥模拟) 已知随机变量X～N（1，σ2），若P（X＞0）=0.8，则P（X≥2）=________．16. （1分）观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为________三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分）(2019·大连模拟) 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围．18. （10分） (2016高二下·信阳期末) 甲、乙、丙三人准备报考某大学，假设甲考上的概率为，甲，丙两都考不上的概率为，乙，丙两都考上的概率为，且三人能否考上相互独立．（1）求乙、丙两人各自考上的概率；（2）设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望．19. （10分） (2018高二下·河池月考) 若，， .（1）用反证法证明：；（2）令，写出，，，的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；并用数学归纳法证明你的结论正确.20. （10分） (2018高二下·中山期末) 传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.优秀合格合计大学组中学组合计注：，其中 .（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？（2）若参赛选手共万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数.21. （10分）(2017·榆林模拟) 已知函数f（x）=lnx+ ax2﹣2bx（1）设点a=﹣3，b=1，求f（x）的最大值；（2）当a=0，b=﹣时，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3、答案：略4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13、答案：略14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。

江苏省扬州市高邮第二高级中学2018-2019学年高二数学理联考试卷含解析

江苏省扬州市高邮第二高级中学2018-2019学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数在上是减函数，则的单调减区间是（）参考答案：B2. 三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为△的（）A 内心B 外心C 垂心D 重心参考答案：C略3. 已知正项等比数列{a n}，且a2a10=2a52，a3=1，则a4=（）A．B．C．D．2参考答案：C【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a4的值．【解答】解：∵正项等比数列{a n}，且a2a10=2a52，a3=1，∴，且q＞0，解得，q=，a4==．故选：C．【点评】本题考查等比数列的第4项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4. 用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至少有两个是偶数参考答案：B略5. 用秦九韶算法求n 次多项式，当时，求需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（）A． B．n,2n,n C． 0,2n,n D．0,n,n参考答案：D6. 已知正四面体ABCD的棱长为2，所有与它的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和是（）．A． B．4 C．3D．参考答案：A7. 设函数,其中,为的导函数,则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D8. 已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q：函数y=（2a ﹣1）x为减函数，若“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]∪（，+∞）B．（﹣∞，] C．（，+∞）D．（，]参考答案：A【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据条件先求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系先求出“p且q”为真命题的范围即可求“p且q”为假命题的范围．【解答】解：若函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，则对称轴x=≤1，即a≤，即p：a≤，若函数y=（2a﹣1）x为减函数，则 0＜2a﹣1＜1，得＜a＜1，即q：＜a＜1，若“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，则，即＜a≤，则若“p且q”为假命题，则a≤或a＞，故选：A9. 已知直线ax+by﹣1=0（a，b不全为0）与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（）A．66条B．72条C．74条D．78条参考答案：B【考点】J9：直线与圆的位置关系；D3：计数原理的应用．【分析】先考虑在第一象限找出圆上横、纵坐标均为整数的点有3个，依圆的对称性知，圆上共有3×4=12个点横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有12个点任取2点确定一条直线，利用计数原理求出直线的总数，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax+by﹣1=0不经过原点，如图所示上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线利用总数减去12，再减去6即可得到满足题意直线的条数．【解答】解：当x≥0，y≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有（1，7）、（5，5）、（7，1），根据题意画出图形，如图所示：根据圆的对称性得到圆上共有3×4=12个点横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C122=66条，过每一点的切线共有12条，上述直线中经过原点的有6条，如图所示，则满足题意的直线共有66+12﹣6=72条．故选B10. 集合M＝{1,2，(m2－2m－5)＋(m2＋5m＋6)i}，N＝{3,10}，且M∩N≠?，则实数m的值为．A．－2 B．－2或4 C．－2或－3 D．－2或5 （）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则_____________.参考答案：3212. 已知空间三点，，，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为_ .参考答案：(1,1,1)13. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，过作直线的垂线，垂足分别为，记，若直线的斜率，则的取值范围为___________.参考答案：14. 某厂家为调查一种新推出的产品的颜色接受程度是否与性别有关，数据如下表:根据表中的数据，得到，因为，所以产品的颜色接受程度与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为__ ______；参考答案：略15. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB=，cosC=，c=3，则a= ．参考答案：【考点】余弦定理的应用；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】由cosB与cosC的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB与sinC的值，再由c的值，利用正弦定理求出b的值，再利用余弦定理即可求出a的值．【解答】解：∵△ABC中，cosB=，cosC=，∴sinB=，sinC=，∵c=3，∴由正弦定理=得：b===，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即9=a2+﹣2a，解得：a=，故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，正弦、余弦定理，熟练掌握基本关系是解本题的关键．16. 总体由编号为的20个个体组成，利用截取的随机数表（如下图）选取6个个体，选取方法是从所给的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为_________.参考答案：05【分析】根据随机数表的规则，依次读取在编号内的号码，取出第6个编号即为所求，重复的只算一次.【详解】解：由随机数表第行的第列和第列数字组合成的两位数为65，从65开始由左到右依次选取两个数字，将在内的编号依次取出，重复的只算一次，即依次选取个体的编号为，因此第个个体的编号为.【点睛】本题考查了利用随机数表进行抽样的问题，读懂抽样规则是解题的关键.17. 等差数列{a n}，{b n}的前n项和为S n，T n．且=，则= ．参考答案：【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】利用=，即可得出．【解答】解：∵ ====．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2018-2019学年江苏省扬州中学高二(下)期中数学试卷(理科)

2018-2019学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）试题数：20，总分：01.（填空题，5分）命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定是“___ ”．2.（填空题，5分）若复数z满足：z•（1+i）=2，则|z|=___ ．3.（填空题，5分）若f（x）=x3，其导数满足f'（x0）=3，则x0的值为___4.（填空题，5分）命题“x2-x-2=0”是命题“x=-1”的___ 条件．5.（填空题，5分）投掷两个骰子，向上的点数之和为12的概率为___ ．6.（填空题，5分）若曲线f（x）=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为___ ．7.（填空题，5分）有3名男生4名女生排成一排，要求男生排在一起，女生也排在一起，有___ 种不同的排列方法．（用数字作答）8.（填空题，5分）在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k成立推导n=k+1成立时，f（n）=1+ 12 + 13+…+ 12n−1增加的项的个数是___ （用k表示）9.（填空题，5分）若数列{a n}为等差数列，定义b n= a n+1+a n+2+a n+33，则数列{b n}也为等差数列．类比上述性质，若数列{a n}为等比数列，定义数列{b n}：b n=___ ，则数列{b n}也为等比数列．10.（填空题，5分）（1+ax）6的展开式中二项式系数的最大值为___ ．（用数字作答）11.（填空题，5分）若函数f（x）=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m的最小值为___ ．12.（填空题，5分）已知函数f（x）=x3+3x对任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）＜0恒成立，则x∈___ ．13.（填空题，5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，且对任意x＞0都有x•f'（x）-f（x）＞0成立，则不等式x2•f（x）＞0的解集是___ ．14.（填空题，5分）设曲线f（x）=（ax-1）•e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，g（x）=（1-x）•e-x在点B（x0，y2）处的切线为l2，若存在x0∈[0，32]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是___ ．15.（问答题，0分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有实数根；命题q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根，若命题p、q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．16.（问答题，0分）已知n•C n n−3 +A n 3=4•C n+13 （n≥3，n∈N ）．（1）求n 的值；（2）求（ √x 3+ 2x ）n 展开式中的常数项．17.（问答题，0分）已知数列{a n }满足a 1=- 23 ，a n =- 1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．（1）求a 2、a 3、a 4；（2）猜想数列通项公式a n ，并用数学归纳法给出证明．18.（问答题，0分）在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB || CD ，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q 为侧棱PC 上一点， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）若λ= 13 ，证明：PB⊥DQ ；（2）试确定λ的值，使得二面角P-BD-Q 的大小为45°．19.（问答题，0分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：（1）最多取两次就结束的概率；（2）整个过程中恰好取到2个白球的概率；（3）取球次数的分布列和数学期望．20.（问答题，0分）已知函数f（x）=mx-alnx-m，g（x）= xe x−1，其中m，a均为实数．（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a＜0，若对任意的x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜| 1g(x2)−1g(x1)|恒成立，求a的最小值；（3）设a=2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2），使得f （t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．2018-2019学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：20，总分：01.（填空题，5分）命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定是“___ ”．【正确答案】：[1]∀x∈R，x2+x≤0【解析】：利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2+x＞0”的否定“∀x∈R，x2+x≤0”．故答案为：∀x∈R，x2+x≤0．【点评】：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．2.（填空题，5分）若复数z满足：z•（1+i）=2，则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：根据复数的基本运算法则进行化简求解即可．【解答】：解：因为z•（1+i）=2，=1−i，故z=21+i故|z|=√2，故答案为：√2．【点评】：本题主要考查复数模长的计算，比较基础．3.（填空题，5分）若f（x）=x3，其导数满足f'（x0）=3，则x0的值为___【正确答案】：[1]±1【解析】：根据题意，求出函数的导数，进而可得若f'（x0）=3，则3x02=3，解可得答案．【解答】：解：根据题意，若f（x）=x3，其导数f'（x）=3x2，若f'（x0）=3，则3x02=3，解可得x0=±1；故答案为：±1．【点评】：本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．4.（填空题，5分）命题“x2-x-2=0”是命题“x=-1”的___ 条件．【正确答案】：[1]必要不充分【解析】：先解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1；由集合{-1}⫋{-1，2}，再根据由集合观点理解充分必要条件的定义，判断即可．【解答】：解：解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1；所以“x2-x-2=0“推不出“x=-1“；“x=-1“推出“x2-x-2=0”．故命题“x2-x-2=0”是命题“x=-1”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】：本题考查了充分必要条件的定义，一元二次方程的求解，属于基础题．5.（填空题，5分）投掷两个骰子，向上的点数之和为12的概率为___ ．【正确答案】：[1] 136【解析】：基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之和为12包含的基本事件有（6，6），只有一个，由此能求出向上的点数之和为12的概率．【解答】：解：投掷两个骰子，基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之和为12包含的基本事件有（6，6），只有一个，．∴向上的点数之和为12的概率为P= 136．故答案为：136【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（填空题，5分）若曲线f（x）=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为___ ．【正确答案】：[1]（1，0）【解析】：先设切点坐标，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，根据切线的斜率等于函数f（x）在x=m处的导数建立等式，解之即可．【解答】：解：设切点坐标为（m，m4-m）则f（m）=4m3-1=3解得：m=1则点P的坐标为（1，0）故答案为：（1，0）【点评】：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及解方程等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．7.（填空题，5分）有3名男生4名女生排成一排，要求男生排在一起，女生也排在一起，有___ 种不同的排列方法．（用数字作答）【正确答案】：[1]288【解析】：相邻问题捆绑法．即先将男生、女生各自看成一个“元素”进行排列，然后女生与男生内部再各自全排列．【解答】：解：由题意得总的排法有A22×A33×A44=288（种）．故答案为：288．【点评】：本题是一道常规题，按照计数原理和排列组合的知识求解即可．难度不大．8.（填空题，5分）在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k成立推导n=k+1成立时，f（n）=1+ 12 + 13+…+ 12n−1增加的项的个数是___ （用k表示）【正确答案】：[1]2k【解析】：分别写出n=k时，n=k+1时，f（k），f（k+1）的式子，相减可得所求增加项的个数．【解答】：解：当n=k时，f（k）=1+ 12 + 13+…+ 12k−1，当n=k+1时，f（k+1）=1+ 12 + 13+…+ 12k−1+ 12k+ 12k+1+…+ 12k+1−1，由f（k+1）-f（k）= 12k + 12k+1+…+ 12k+1−1，可得需增加的项的个数为2k+1-1-2k+1=2k，故答案为：2k．【点评】：本题考查数学归纳法的证明，注意由n=k，等式成立，推得n=k+1也成立，需增加的项的个数，考查运算能力、推理能力，属于基础题．，则数列{b n}也为等差数9.（填空题，5分）若数列{a n}为等差数列，定义b n= a n+1+a n+2+a n+33列．类比上述性质，若数列{a n}为等比数列，定义数列{b n}：b n=___ ，则数列{b n}也为等比数列．3【正确答案】：[1] √a n+1a n+2a n+3【解析】：直接由等差数列连续三项的算术平均数类比为等比数列中连续三项的几何平均数得结论．【解答】：解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，一般的思路有：由加法类比为乘法，由减法类比为除法，由算术平均数类比为几何平均数等，，则数列{b n}也为等差数列；故可以由数列{a n}是等差数列，定义b n= a n+1+a n+2+a n+33类比推断：若数列{a n}是各项均为正数的等比数列，3，则数列{b n}也是等比数列．定义b n=√a n+1a n+2a n+33．故答案为：√a n+1a n+2a n+3【点评】：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），本题是基础题．10.（填空题，5分）（1+ax）6的展开式中二项式系数的最大值为___ ．（用数字作答）【正确答案】：[1]20【解析】：展开式中共有7项，根据展开式中间项的二项式系数最大，故第4项的二项式系数最大，问题得以解决．【解答】：解：展开式中共有7项，根据展开式中间项的二项式系数最大，故第4项的二项式系数最大，故C63=20，故答案为：20．【点评】：本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题题．11.（填空题，5分）若函数f （x ）=mx 2+lnx-2x 在定义域内是增函数，则实数m 的最小值为___ ．【正确答案】：[1][ 12，+∞ ）．【解析】：先对函数求导，结合导数与单调性的关系可把原问题转化为 f′(x )=2mx +1x −2 ≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数后转化为求解函数的范围，结合二次函数的性质可求．【解答】：解：函数的定义域（0，+∞）， f′(x )=2mx +1x−2 ，由题意可得， f′(x )=2mx +1x−2 ≥0在（0，+∞）上恒成立，故-2m ≤(1x−1)2−1 ，故-2m≤-1，所以m ≥12 ．故答案为：[ 12，+∞ ）．【点评】：本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了转化思想的应用．12.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 3+3x 对任意的m∈[-2，2]，f （mx-2）+f （x ）＜0恒成立，则x∈___ ．【正确答案】：[1]（-2， 23 ）【解析】：先利用函数的奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再由导数判断出函数的单调性，利用奇偶性将不等式进行转化，再利用单调性去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得x 的不等式组，解出可得答案．【解答】：解：由题意得，函数的定义域是R ，且f （-x ）=（-x ）3+3（-x ）=-（x 3+3x ）=-f （x ），所以f （x ）是奇函数，又f'（x ）=3x 2+3＞0，所以f （x ）在R 上单调递增，所以f （mx-2）+f （x ）＜0可化为：f （mx-2）＜-f （x ）=f （-x ），由f （x ）递增知：mx-2＜-x ，即mx+x-2＜0，则对任意的m∈[-2，2]，f （mx-2）+f （x ）＜0恒成立，等价于对任意的m∈[-2，2]，mx+x-2＜0恒成立，所以 {−2x +x −2＜02x +x −2＜0，解得-2＜x ＜ 23 ，即x 的取值范围是（-2， 23 ），故答案为：（-2， 23 ）．【点评】：本题考查恒成立问题，函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查转化思想，以及学生灵活运用知识解决问题的能力．13.（填空题，5分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）=0，且对任意x ＞0都有x•f'（x ）-f （x ）＞0成立，则不等式x 2•f （x ）＞0的解集是___ ．【正确答案】：[1]（-1，0）∪（1，+∞）【解析】：构造函数g （x ）=f (x )x，依题意可得g （x ）=f (x )x为偶函数，在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，g （1）=g （-1）=0，分x ＞0与x ＜0两种情况，将不等式x 2•f （x ）＞0分别转化为x ＞0时，g （x ）＞g （1），x ＜0时，g （x ）＜g （-1），从而可解得答案．【解答】：解：令g （x ）=f (x )x，因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）=0，故f （-1）=0，所以g （-x ）=f (−x )−x = f (x )x=g （x ），即g （x ）为定义域上的偶函数；又对任意x ＞0都有x•f'（x ）-f （x ）＞0成立，所以当x ＞0时，g′（x ）= x•f′(x )−f (x )x 2＞0，即g （x ）=f (x )x在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减，又f （1）=0，故g （1）=g （-1）=0，于是，当x ＞0时，x 2•f （x ）＞0⇔ f (x )x＞0，即g （x ）＞g （1），解得x ＞1；当x ＜0时，x 2•f （x ）＞0⇔ f (x )x＜0，即g （x ）＜g （-1），解得-1＜x ＜0；综上所述，-1＜x ＜0或x ＞1；故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．【点评】：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，考查等价转化思想、分类讨论思想及函数与方程思想的综合应用，考查运算能力与规范表达能力，属于难题．14.（填空题，5分）设曲线f（x）=（ax-1）•e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，g（x）=（1-x）•e-x在点B（x0，y2）处的切线为l2，若存在x0∈[0，32]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]1≤a≤ 32【解析】：根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为-1，列出关于等式由存在x0∈[0，32 ]，得到x02-x0-2≠0，从而a= x0−3x02−x0−2，然后根据x0−3x02−x0−2在（0，1）是减函数，在（1，32）上是增函数，求出其值域即可得到a的取值范围．【解答】：解：函数f（x）=（ax-1）e x的导数为f′（x）=（ax+a-1）e x，∴l1的斜率为k1=(ax0+a−1)e x0，函数g（x）=（1-x）e-x的导数为g′（x）=（x-2）e-x，∴l2的斜率为k2=(x0−2)e−x0，由题设有k1•k2=-1，从而有（ax0+a-1）e x0•（x0-2）e−x0 =-1∴a（x02-x0-2）=x0-3．∵存在x0∈[0，32]，得到x02-x0-2≠0，∴a= x0−3x02−x0−2，又a′= −(x0−1)(x0−5)(x02−x0−2)2，令导数大于0得1＜x0＜5，故a= x0−3x02−x0−2在（0，1）是减函数，在（1，32）上是增函数，∴x0=0时取得最大值为0−30−0−2=32．x0=1时取得最小值为1．∴1≤a≤ 32．故答案为：1≤a≤ 32．【点评】：本题考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系，是中档题．15.（问答题，0分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有实数根；命题q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根，若命题p、q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：分别求出命题p ，q 的等价条件，然后利用p 、q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【解答】：解：若方程x 2+mx+1=0有实数根，则判别式△=m 2-4≥0，解得m≥2或m≤-2，即p ：m≥2或m≤-2．若方程4x 2+4（m-2）x+1=0无实数根，则判别式△=16（m-2）2-16＜0，解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3．因为p 、q 中有且仅有一个为真命题，则 ① 若p 真，q 假，则 {m ≥2或m ≤−2m ≥3或m ≤1 ，解得m≥3或m≤-2．② 若p 假q 真，则 {−2＜m ＜21＜m ＜3，解得1＜m ＜2．综上实数m 的取值范围是m≥3或m≤-2或1＜m ＜2．【点评】：本题主要考查复合命题的应用，以及一元二次方程根的个数与判别式之间的关系，比较综合．16.（问答题，0分）已知n•C n n−3 +A n 3=4•C n+13 （n≥3，n∈N ）．（1）求n 的值；（2）求（ √x 3+ 2x ）n 展开式中的常数项．【正确答案】：【解析】：（1）结合排列组合数公式展开即可求解；（2）结合二项展开式的通项即可求解．【解答】：解：（1）因为n•C n n−3 +A n 3=4•C n+13 （n≥3，n∈N ）．所以 n •n (n−1)(n−2)3×2×1 +n （n-1）（n-2）=4× (n+1)n (n−1)3×2×1，整理可得，n=4；（2）由（1）可得（ √x 3+ 2x ）n =（ √x 3+ 2x ）4，则T r+1= C 4r (√x 3)4−r (2x )r = 2r C 4rx 4−4r 3 ，令 4−4r3=0可得r=1，即常数项为T 2=8．【点评】：本题主要考查了排列组合数公式的应用及利用二项展开式的通项求解二项展开式的特点项，属于基础试题．17.（问答题，0分）已知数列{a n }满足a 1=- 23 ，a n =- 1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．（1）求a 2、a 3、a 4；（2）猜想数列通项公式a n ，并用数学归纳法给出证明．【正确答案】：【解析】：（1）数列{a n }满足a 1=- 23 ，a n =- 1an−1+2（n≥2，n∈N *）．可得a 2=- 1a1+2，a 3=- 1a 2+2．（2）猜想数列通项公式a n =- n+1n+2．用数学归纳法证明即可．【解答】：解：（1）数列{a n }满足a 1=- 23 ，a n =- 1a n−1+2（n≥2，n∈N *）．则a 2=- 1a1+2=- 1−23+2 =- 34 ，a 3=- 1a 2+2 =- 45 ．（2）猜想数列通项公式a n =- n+1n+2 ．用数学归纳法证明：（i ）n=1时，a 1=- 23 =- 1+11+2 成立，（ii ）假设n=k∈N *时成立，a k =- k+1k+2．则n=k+1时，a k+1=- 1ak +2 =- 1−k+1k+2+2=- k+2k+3 =- (k+1)+1(k+1)+2 ．因此n=k+1时，猜想成立．综上可得：数列通项公式a n =- n+1n+2 ．n∈N *．【点评】：本题考查了数学归纳法、数列递推关系、猜想归纳方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，0分）在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB || CD ，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q 为侧棱PC 上一点， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）若λ= 13 ，证明：PB⊥DQ ；（2）试确定λ的值，使得二面角P-BD-Q 的大小为45°．【正确答案】：【解析】：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PB⊥DQ ．（2）C （0，2，0），设Q （a ，b ，c ），则（a ，b ，c-1）=（0，2λ，-λ），从而Q （0，2λ，1-λ），求出平面BDP 的法向量和平面BDQ 的法向量，由此利用二面角P-BD-Q 的大小为45°．利用向量法能求出λ．【解答】：解：（1）证明：∵四棱锥P-ABCD 中，PD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB || CD ，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q 为侧棱PC 上一点， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 PC⃗⃗⃗⃗⃗ ．∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系， P （0，0，1），B （1，1，0），D （0，0，0），Q （0， 23 ， 23 ）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，-1）， DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0， 23，23 ）， ∵ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ •DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴PB⊥DQ ．（2）C （0，2，0），设Q （a ，b ，c ），则（a ，b ，c-1）=（0，2λ，-λ），∴Q （0，2λ，1-λ），DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，1）， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，0）， DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2λ，1-λ），设平面BDP 的法向量 n ⃗ =（x ，y ，z ），则 {n ⃗ •DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ •DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0，取x=1，得 n ⃗ =（1，-1，0），设平面BDQ 的法向量 m ⃗⃗ =（a ，b ，c ）， {m ⃗⃗ •DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b =0m ⃗⃗ •DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2λb +(1−λ)c =0 ，取a=1，得 m ⃗⃗ =（1，-1， 2λ1−λ ），∵二面角P-BD-Q 的大小为45°． ∴cos45°= |m ⃗⃗⃗ •n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |= 2√2×√2+(2λ1−λ)2 ，由0≤λ≤1，解得 λ=√2−1 ．【点评】：本题考查线线垂直的证明，考查满足二面角的实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.（问答题，0分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：（1）最多取两次就结束的概率；（2）整个过程中恰好取到2个白球的概率；（3）取球次数的分布列和数学期望．【正确答案】：【解析】：（1）先分别求出任取一球，取到每种颜色的球的概率，因为取出蓝色球则不再取球，所以最多取两次就结束有两种情况，第一种，第一次取球，取到蓝球，第二种情况，第一次取球，取到红球或白球，第二次取球，取到蓝球，把两种情况的概率求出，再相加即可．（2）由（1）知任取一球，取到白球的概率为 310 ，取到蓝球的概率为 15 ，取到红球的概率为12，而恰好取到2个白球包括三个互斥事件，即（白，白，非白），（白，红，白），（红，白，白），分别计算它们的概率，最后相加即可（3）设取球次数为X ，则X 的可能取值为1，2，3，X=1即第一次就抓到蓝球，X=2即第一次不是蓝球，第二次是蓝球，X=3即第一次不是蓝球，第二次不是蓝球；分别计算它们的概率，列出分布列，由期望公式计算X 的期望【解答】：解：（1）由题意知，任取一球，取到红球的概率为 55+3+2 = 12 任取一球，取到白球的概率为 35+3+2 = 310 任取一球，取到蓝球的概率为 25+3+2 = 15∵如果取出蓝色球则不再取球，∴最多取两次就结束的概率为 15 + 12×15 + 310×15 = 925（2）设A={整个过程中恰好取到2个白球}，B i ={第i 次取到白球} H i ={第i 次取到红球} L i ={第i 次取到蓝球}则P （A ）=P （B 1B 2 B 3 ）+P （H 1B 2B 2）+P （B 1H 2B 3） = 310×310 × 710 + 12× 310×310 + 310×12×310 = 1531000 （3）设取球次数为X ，则X 的可能取值为1，2，3 P （X=1）= 25+3+2 = 15 P （X=2）= 12×15 + 310×15 = 425P（X=3）= 45×45= 1625随机变量X的分布列如下从而E（X）=1×5 +2×25+3×25=25【点评】：本题考查了古典概型概率的求法，互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率计算，以及离散型随机变量的分布列及其期望的求法20.（问答题，0分）已知函数f（x）=mx-alnx-m，g（x）= xe x−1，其中m，a均为实数．（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a＜0，若对任意的x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜| 1g(x2)−1g(x1)|恒成立，求a的最小值；（3）设a=2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2），使得f （t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）对于第一问非常简单，只需按求解极值的定义求解即可．（2）在所给式子中含绝对值，一般考虑去掉绝对值，x1，x2是任给的两个数，所以可考虑用函数单调性．去掉绝对值之后，注意观察式子，你会发现，只要做适当变形，便可利用函数单调性的定义，得到一个新的函数的单调性，再结合导数求a的范围即可．（3）通过第三问的条件，你会得到f（x）在区间（0，e]不是单调函数的结论，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下来就是看怎样让f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范围．【解答】：解：（1）g′（x）= e(1−x)e x ，令e(1−x)e x=0，解得x=1，∵e x＞0，∴x∈（-∞，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，无极小值．（2）当m=1，a ＜0时，f （x ）=x-alnx-1，所以在[3，4]上f′（x ）= x−ax＞0， ∴f （x ）在[3，4]上是增函数．设h （x ）=1g (x ) = e x−1x， ∴在[3，4]上h′（x ）= e x (x−1)e x2＞0，∴h （x ）在[3，4]上为增函数．设x 2＞x 1，则|f （x 2）-f （x 1）|＜| 1g (x 2)−1g (x 1) |恒成立，变成f （x 2）-f （x 1）＜ 1g (x 2) - 1g (x 1) 恒成立，即：f （x 2）-f （x 1）＜h （x 2）-h （x 1）恒成立，即：f （x 2）-h （x 2）＜f （x 1）-h （x 1）．设u （x ）=f （x ）-h （x ）=x-alnx-1- 1e • e xx ，则u （x ）在[3，4]上为减函数． ∴u′（x ）=1- ax - 1e • e x (x−1)x 2≤0在[3，4]上恒成立．∴a≥x -e x-1+ e x−1x恒成立．设v （x ）=x-e x-1+e x−1x， ∴v′（x ）=1-e x-1+ e x−1(x−1)x 2 =1-e x-1[（ 1x + 12 ）2+ 34]， ∵x∈[3，4]，∴e x-1[（ 1x + 12 ）2+ 34 ]≥ 34 e 2， ∴v′（x ）＜0， ∴v （x ）为减函数．∴v （x ）在[3，4]上的最大值为v （3）=3- 23e 2． ∴a≥）=3- 23 e 2， ∴a 的最小值为：3- 23e 2．（3）由（1）知g （x ）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，又g （0）=0，g （e ）= e 2ee ， ∴g （x ）的值域是（0，1]． ∵f （x ）=mx-2lnx-m ；∴当m=0时，f （x ）=-2lnx ，在（0，e]为减函数，由题意知，f （x ）在（0，e]不是单调函数；故m=0不合题意；当m≠0时，f′（x ）=m(x−2m)x，由于f （x ）在（0，e]上不单调，∴0＜ 2m ＜e ，即m ＞ 2e ； ①此时f （x ）在（0， 2m ）递减，在（ 2m ，e]递增； ∴f （e ）≥1，即me-2-m≥1，解得m≥ 3e−1 ； ② ∴由 ① ② ，得m≥3e−1； ∵1∈（0，e]，∴f （ 2m）≤f （1）=0满足条件．下证存在t∈（0， 2m ]使得f （t ）≥1；取t=e -m ，先证e -m ＜ 2m 证，即证2e m -m ＞0； ③设w （x ）=2e x -x ，则w′（x ）=2e x -1＞0在[ 3e−1 ，+∞）时恒成立； ∴w （x ）在[ 3e−1 ，+∞）上递增， ∴w （x ）≥w （3e−1 ）＞0，∴ ③ 成立；再证f （e -m ）≥1；∵f （e -m ）=me -m +m≥m≥ 3e−1 ＞1， ∴m≥ 3e−1 时，命题成立． ∴m 的取值范围是：[ 3e−1，+∞）．【点评】：本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力．。

2018-2019学年江苏省扬州市扬大附中高二(下)期中考试数学试卷(理科)

江苏省扬州市扬大附中2018-2019学年高二（下）期中考试数学试卷（理科）（本卷满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分）1、已知集合{}{}2,1,0,1,0|-=>=B x x A ，则=B A .2、函数()21-=x x f 的定义域为 . 3、已知复数i z i z +=+=3,3121（i 为虚数单位）. 在复平面内，21z z -对应的点在第象限.4、首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派5人参加连续5天的志愿者活动，其中每人参加1天，则不同的安排方法有种.（结果用数值表示）5、已知i 为虚数单位，复数i i z -+=23，则=z . 6、已知函数()()⎩⎨⎧<+≥+=0,20,3x x f x x x f ，则()=-9f . 7、若1212112-+=x x C C ，则=x .8、我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，其中素数的定义是: 大于1的自然数，且除了1和其自身外不再有其他因数，例如: 2，3，5，7，······. 若在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是 .9、下列有关命题的说法中正确的有（填序号）.①“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件；②命题“R x ∈∃，使得012<++x x ”的否定是“R x ∈∀，均有012<++x x ”；③命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题为真命题.10、已知函数a x x y +-=62的定义域为R ，值域为[)+∞,0，则实数a 的值为 .11、已知()x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间(]0,∞-上单调递增. 若实数a 满足()()2212->-f f a ，则a 的取值范围是 .12、不难证明: 一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径aS r 32=，由此类比到空间，若一个正四面体的一个面的面积为S ，体积为V ，则其内切球的半径为 . 13、已知三角形ABC 的顶点A （0，-3），B （0，3），若顶点C 在抛物线x y 122=上移动，则三角形ABC 的重心的轨迹方程为 .14、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,50,72x xx x x x f ，若函数()()b x x f x g +-=5有三个零点，则实数b 的取值范围为 .二、解答题（本大题共有6小题，共90分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15、（14分）设命题:p 存在实数x ，使得关于x 的不等式x x a 39-≥成立，命题:q 函数()122+-=ax x x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21上为增函数. （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若“q p ∧”为假命题，“q p ∨”为真命题，求实数a 的取值范围.16、（14分）小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入.某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的5个密码之一，于是，他决定逐个（不重复）进行尝试.（1）求手机被锁定的概率；（2）设第X 次输入后能成功开机，求X 的分布列和数学期望E （X ）.17、（15分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为2的正方形，5,1==BC AB . （1）求锐二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；（2）在线段BC 1上是否存在点D ，使得AD ⊥A 1B? 若存在，求出1BC BD 的值；若不存在，请说明理由.A BC A 1 B 1C 118、（15分）在直角坐标系xOy 中，曲线y x C 4:2，过点（0，2）的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点.（1）若△AOB 的面积为12，求直线l 的方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当直线l 变动时，直线PA 与直线PB 关于y 轴对称? 若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.19、（16分）设()n n r r n x a x a x a x a a x a +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=+2210，其中*,N n R a ∈∈. （1）当10,2==n a 时，①求值:()n n a a a 1211--+⋅⋅⋅+-；②求r a 的最大值；（2）当n a =时，记()∑==+=n r r n n a B a a n A 010,2，试比较n A 与n B 的大小.20、（16分）已知函数()ax x x f 42-=. （1）若对于任意[]1,1-∈a ，不等式()12≤x f 恒成立，求实数x 的取值范围；（2）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()a M ，使得整个区间()[]a M ,0上，不等式()12≤x f 恒成立，求出()a M 的解析式.。

江苏省扬州市扬州中学2018-2019学年高二12月月考试数学试题(解析版)

江苏省扬州市扬州中学2018-2019学年高二12月月考试数学试题一、填空题（本大题共14小题）1.命题“，”的否定是______．【答案】．【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题得：命题“，”的否定是：．故答案为：．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．2.若点到直线的距离为d，则d的最大值是______．【答案】【解析】解：故答案是先由点到直线的距离求得距离模型，再由三角函数的性质求得最值．本题主要考查建模和解模的能力．3.如图是2008年“隆力奇”杯第13届CCTV青年歌手电视大奖赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，则该选手的所有得分数据的中位数与众数之和为______．【答案】170【解析】解：由茎叶图知，该组数据从小到大排列为：78，84，84，84，86，87，92，94，97；则该组数据的中位数为86，众数是84，且．故答案为：170．由茎叶图中的数据求出中位数和众数的值，再求和．本题考查了利用茎叶图求中位数和众数的应用问题，是基础题．4.如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为______．【答案】5【解析】解：由算法语句知：算法的功能是求满足的最小正整数的值，，，输出的i值为5．故答案为：5．算法的功能是求满足的最大正整数的值，计算S的值确定输出i的值．本题考查了当型循环结构的程序语句，根据算法的流程判断算法的功能是解题的关键．5.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，进行编号，如果从随机数表第8行第18列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号______．下面摘取了一随机数表的第7行至第9行84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 62 58 7973 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54【答案】719，050，717【解析】解：找到第8行第18列的数开始向右读，第一个符合条件的是719，第二个数是050，第三个数是717，故答案为：719，050，717．找到第8行第18列的数开始向右读，第一个符合条件的是719，第二个数是050，三个数是717．抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．6.函数的极值点是______．【答案】1【解析】解：由，得，当时，；当时，．函数在上为减函数，在上为增函数．函数的极值点为1．故答案为：1．求出原函数的导函数，确定出函数的单调区间，由此求得函数的极值点．本题考查了利用导数研究函数的单调性，关键是正确求出原函数的导函数，是基础题．7.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为______．【答案】【解析】解：抛物线焦点坐标为，准线方程，由抛物线的定义可知：，则，物线的准线方程为，故答案为：．根据抛物线的定义求得p的值，则抛物线的准线方程．本题考查抛物线的定义及性质，考查转化思想，属于基本知识的考查．8.已知样本7，8，9，x，y的平均数是8，标准差为，则xy的值是______．【答案】60【解析】解：，，，由得把代入得，故答案为：60．写出这五个数字的平均数和方差的表示式，得到关于x，y的方程组，解出方程组，得到两组解，这两组解得积都是60．本题考查平均数和方差的公式的应用，在解题过程中主要是数字的运算，只要数字的运算不出错，就是一个得分题目．9.已知条件p：，条件q：若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：条件q：，化为：，解得．是q的必要不充分条件，．则实数a的取值范围是．故答案为：．利用不等式的解法化简q，根据必要不充分条件即可得出范围．本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.若函数，则______．【答案】2【解析】解：设；；；．故答案为：2．可设，从而得出，求导得出，带入即可求出的值．考查基本初等函数的求导，以及积的导数的求导公式．11.已知直线与x轴交于P点，与双曲线C：交于A、B两点，则______．【答案】【解析】解：直线与x轴交于P点，由代入可得，解得，设，，可得．故答案为：．求得直线与x轴的交点，联立直线方程和双曲线的方程求得交点，运用两点的距离公式计算可得所求和．本题考查直线和双曲线的方程的联立求交点，考查两点的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．12.已知函数，函数是函数的导函数，即，，，，，则______．【答案】【解析】解：根据题意，，则有，，，，分析可得：，则有，，，，即有，则；故答案为：．根据题意，求出函数的导数，分析可得，进而求出、、、的值，进而可得，计算可得答案．本题考查导数的计算，涉及归纳推理的应用，关键是利用函数的导数值确定函数的周期性．13.设F是椭圆C：的右焦点，C的一个动点到F的最大距离为d，若C的右准线上存在点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是______．【答案】【解析】解：由椭圆上点C的一个动点到F的最大距离为d，结合椭圆特点可得：，若右准线上存在点P，使得，则，，解之得：，即，则椭圆C的离心率．又则椭圆C的离心率的取值范围是故答案为由椭圆上点C的一个动点到F的最大距离为d进而求得到，根据：“右准线上存在点P，使得”，进而看与d的大小关系，进而求得a和c的不等式关系求得e的范围．本题主要考查了椭圆的简单应用解题的关键是熟练掌握椭圆中长轴、半轴、焦距、准线及离心率的关系．14.若函数，的图象关于直线对称，则在区间上不等式的解集为______．【答案】【解析】解：函数，的图象关于直线对称，与互为反函数，，设，则，当时，，，；当时，，，．在上是减函数．又，不等式解集是．故答案为：先根据反函数的定义求出，再设，利用导数可判断的单调性，结合可解得不等式．本题考查反函数，考查利用导数研究函数的单调性，不等式，考查学生综合运用知识解决问题的能力．二、解答题（本大题共6小题）15.从某校参加2009年全国高中数学联赛预赛的450名同学中，随机抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．根据表中已知数据，你认为在、、处的数值分别为______，______，______．补全在区间上的频率分布直方图；若成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？【答案】50【解析】解：根据在上的频数为16，频率为可知一共抽人在上的频数为2，则频率根据频率和等于1可知：在上的频率为：故答案为：50，，，求出每组的频率，即为矩形的高，画出右图．组距在随机抽取的50名学生中有7名不低于13．分答：450名学生中不低于分的大约有63名．先根据在上的频数为16，频率为利用“样本容量频数”求出样本容量，然后求出在频率上的频率，最后根据频率和等于1求出在上的频率即可；根据直方图中的各个矩形的面积代表了频率，求出每组的频率，即为矩形的高，画出图形即可；组距利用样本估计总体，是我们常用的方法，先求出成绩不低于110分的频率，然后根据“符合条件的人数总人数频率”即可求出．本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1，同时考查了作图的能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．16.已知，且设p：函数在上单调递减；q：函数在上为增函数．若p为真，￢为假，求实数c的取值范围．若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．【答案】解：若p为真，函数在R上单调递减，分若q为真，函数在上为增函数对称轴为，分为真，￢为假，实数c的取值范围是分又“p或q”为假，“p且q”为真，真q假或p假q真，当p真q假时，即当p假q真时，即无解实数c的取值范围是分【解析】利用指数函数与二次函数的单调性，分别求出p，q成立的等价条件，然后利用“”为假，“”为真，确定实数c的取值范围．本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系的应用，先求出命题p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．17.先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．求直线与圆相切的概率；将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．【答案】解：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为．直线与圆相切的充要条件是即：，由于a，2，3，4，5，满足条件的情况只有，，；或，，两种情况．直线与圆相切的概率是先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为．三角形的一边长为5当时，，5，种当时，，5，种当时，，5，3，，5，种当时，，5，4，，5，种当时，，2，3，4，5，6，1，，2，，3，，4，，5，，6，种当时，，6，5，，6，种故满足条件的不同情况共有14种故三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．【解析】本题考查的知识点是古典概型，我们要列出一枚骰子连掷两次先后出现的点数所有的情况个数再求出满足条件直线与圆的事件个数，然后代入古典概型公式即可求解；再求出满足条件a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的事件个数，然后代入古典概型公式即可求解．点评：古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．18.某小区为解决居民停车难的问题，经业主委员会协调，现决定将某闲置区域改建为停车场如图，已知该闲置区域是一边靠道路且边界近似于抛物线的区域，现规划改建为一个三角形形状的停车场，要求三角形的一边为原有道路，另外两条边均与抛物线相切．设AB，AC分别与抛物线相切于点，，试用P，Q的横坐标表示停车场的面积；请问如何设计，既能充分利用该闲置区域，又对周边绿化影响最小？【答案】解：可设切点，，，，由的导数为，可得切线AP的斜率为，AQ的斜率为，即有AP的方程为，AQ的方程为，由解得，且，，即有停车场的面积；由题意可设A在y轴上，即有，可得，，由，解得，且，，S递增；，，S递减，即有处S取得极小值，且为最小值，则，，，此时能充分利用该闲置区域，又对周边绿化影响最小．【解析】可设切点，，，，的导数，可得切线的斜率和切线方程，求得交点A的坐标，以及B，C的坐标，即可得到所求停车场的面积；由题意可设A在y轴上，即有，可得，求得导数和单调性、极值和最小值，即可得到结论．本题考查直线与抛物线的应用题，考查导数的几何意义，以及切线方程的求法，考查函数的导数的运用：求最值，考查化简运算能力，属于中档题．19.如图，椭圆E：经过点，右准线l：，设O为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于不同两点P，均异于点，直线AP交l于点M在x轴下方．求椭圆E的标准方程；过右焦点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于C，D两点，若，求圆H的方程；若直线AP与AQ的斜率之和为2，证明：直线PQ过定点，并求出该定点．【答案】解：将点A的坐标代入椭圆E的方程可得，右准线方程为，整理得，解得，所以，，因此，椭圆E的标准方程为；设点M的坐标为，其中，则直线OM的方程为，所以，直线CD的方程为，即，线段OM的中点为，所以，圆H的方程为，该圆的半径为，点H到直线CD的距离为，由垂径定理可得，即，解得，因此，圆H的方程为；设直线PQ的方程为，则，设点、，将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y，整理得，由韦达定理可得，，所以，直线AP和直线AQ的斜率之和为，化简得，所以，直线PQ的方程为，即，因此，直线PQ过定点．【解析】先将点A的坐标代入椭圆E的方程可求出b的值，利用右准线方程可求出c的值，进而可求出a的值，从而得出椭圆E的标准方程；设点M的坐标为，先写出直线CD的方程以及圆H的方程，得出圆H的半径r，利用点到直线的距离公式求出点H到直线CD的距离d，再利用垂径定理得到可求出m的值，从而得出圆H的方程；设直线PQ的方程，设点、，将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合直线AP和AQ的斜率之和为2，代入韦达定理，化简计算得出k与t所满足的等量关系，再代入直线PQ的方程，可得出PQ所过的定点坐标．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查直线与圆的位置关系，同时也考查了韦达定理法在椭圆综合问题中的应用，属于难题．20.已知函数，．若函数有三个极值点，求t的取值范围；若依次在，，处取到极值，且，求的零点；若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，试求正整数m的最大值．【答案】解：，．，有3个极值点，有3个不同的根，分令，则，从而函数在，上递增，在上递减．有3个零点，，分，b，c是的三个极值点，分，或舍，，的零点分别为，1，分不等式，等价于，即．转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立．即不等式在上恒成立．即不等式在上恒成立分设，则．设，则．因为，有所以在区间上是减函数．又，，，故存在，使得．当时，有，当时，有．从而在区间上递增，在区间上递减．又，，，，，．所以，当时，恒有；当时，恒有．故使命题成立的正整数m的最大值为分【解析】由已知得，令，由此能求出t的取值范围．由已知得，由此能求出的零点．不等式等价于，转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立设，则由此能求出使命题成立的正整数m的最大值为5．本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的零点的求法，考查正整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构造法和等价转化思想的合理运用．。