2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义.
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180（2）两向量共线的判定（3）练习1.若a=(2，3，b=(4，-1+y，且a∥b，则y=（C ）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1，B(1，3，C(2，5三点共线，则x的值为（B ）A.-3B.-1C.1D.3（4）力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0，则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|ab = bc 但a c(5在实数中，有(abc = a(bc，但是(abc a(bc显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c 不共线.2．“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.3．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、ab ab = 02、当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|.特别的aa = |a|2或|ab| ≤ |a||b| cos =探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a b = b a证：设a，b夹角为，则a b = |a||b|cos，b a = |b||a|cos ∴a b = b a2．数乘结合律：(ab =(ab = a( b证：若> 0，(ab =|a||b|cos，(ab =|a||b|cos，a( b =|a||b|cos，若< 0，(ab =|a||b|cos( = |a||b|(cos =|a||b|cos，(ab =|a||b|cos，a( b =|a||b|cos( = |a||b|(cos =|a||b|cos.3．分配律：(a + bc = ac + bc在平面内取一点O，作= a，= b，= c，∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2，∴c(a + b = ca + cb 即：(a + bc = ac + bc说明：（1）一般地，(ａ·ｂс≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1．证明：(ａ＋ｂ２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例2．已知|a|=12， |b|=9，，求与的夹角。
高中数学必修四2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
r a
r b
1
r [(a
r b)2
uur (a
r b)2
]
4
有时也将上式写成: 4a b (a b)2 (a b)2 .
答案: 1 33
8
4.两个半径分别为 r1, r2 的圆 M , N ,公共弦 AB 3 ,则 AM AB AN AB ____.
答案:9.
5.在平行四边形 ABCD 中,AP⊥BD,垂足为 P, AP 3 , 且 AP AC = _ __.
答案:18.
知识拓展
极化恒等式:设 a, b 是两个平面向量，则根据向量的运算可得:
ar
r b
|
ar
r || b
| cos
这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
rr
a 与b的夹角 的范围
rr a b的正负
0,
2
2
正0
2
,
负
数量积符号由cos的符号所决定.
问题4：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？
r b cos120o
2 3 ( 1) 3
2
（2）ar 2
r2 b
r a
2
r2 b
49
5
3
rr 2a b
rr a 3b
r2 r r r2 2a 5a b 3b
2
2
2 a 5 a b cos120o 3b 8 15 27 34
求a=2m+n,b=2n-3m的夹角？
人教a版必修4学案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(含答案)
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义自主学习知识梳理1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量____________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是______________，向量b 在a 方向上的投影是__________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影__________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝__________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝__________(分配律)．自主探究根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________；(2)当a 与b 同向时，a·b ＝________，当a 与b 反向时，a·b ＝________；(3)a·a ＝__________或|a |＝a·a ＝a 2；(4)cos θ＝__________；(5)|a·b |≤__________.对点讲练知识点一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b ＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．变式训练1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.知识点二 求向量的模长例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.回顾归纳 此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．变式训练2 已知|a |＝|b |＝1，|3a －2b |＝3，求|3a ＋b |.知识点三 向量的夹角或垂直问题例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．回顾归纳 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．变式训练3 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分.课时作业一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 4．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉等于( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12二、填空题6．已知向量a ，b 且|a |＝5，|b |＝3，|a －b |＝7，则a·b ＝________.7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．10．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |·cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ3．(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c自主探究(1)a·b ＝0 (2)|a||b | －|a||b | (3)|a |2(4)a·b |a||b |(5)|a||b | 对点讲练例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a |·|b |·cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 90°＝0.(3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a |·|b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 变式训练1 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝ 25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝ 25－2×252＋25＝5. 变式训练2 解 由|3a －2b |＝3，得9|a |2－12a·b ＋4|b |2＝9，∵|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝13， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9|a |2＋6a·b ＋|b |2＝2 3.例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 变式训练3 解 要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直． 课时作业1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.] 3．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12. 同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 4．B [∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.] 5．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]6．－152解析 |a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝49，∴a·b ＝－152. 7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a|·|b |cos θ－|b |2＝0，∵a 是单位向量，∴|a |＝1，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.9．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°， ∴a·b ＝|a||b |·cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |·cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |·cos 60°＝4×3×12＝6. 10．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉 ＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12.。
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
���Ԧ���
������ ���Ԧ���
������ = ���Ԧ��� ���Ԧ��� cos( ������������° + 30°)
F θ
s
如果一个物体在力 ���Ԧ��� 的作用下产生位 移 ���Ԧ��� ，那么力 ���Ԧ��� 所做的功为：
������ = |���Ԧ���||���Ԧ���| cos ������
叫做向量 ������ 在 ���Ԧ��� 方向上（ ���Ԧ��� 在 ������ 方向上）的投影.
并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，
即 ���Ԧ��� ⋅ 0 = 0 。
B
|������������1| = |������| cos ������
������
θ O
���Ԧ��� A
B1
投影也是一个数量，不是向量；
当θ= 180º时，���Ԧ��� 与 ������ 反向；
θ
O
���Ԧ���
A
当θ= 90º时，���Ԧ��� 与 ������ 垂直，记作 ���Ԧ��� ⊥ ������ .
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
教学重点： 平面向量数量积的概念、用平面向
量数量积表示向量的模及夹角； 教学难点：
���Ԧ��� ⋅ ������ = |���Ԧ���||������| cos ������ .
θ为 ���Ԧ���与 ������ 的夹角.
向量的数量积是一个数量，那么它 什么时候为正，什么时候为负？
���Ԧ��� ⋅ ������ = |���Ԧ���||������| cos ������
当0°≤θ ＜ 90°时���Ԧ��� ⋅ ������ 为正； 当90°＜θ ≤180°时 ���Ԧ��� ⋅ ������ 为负。
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
二、已知 ABC 中， AB a , AC b , 当a b 0 或a b 0时，试判断 ABC 的形状。
2 2 a a b cos 6 b
6 6 4 cos 60 6 4 72
2 2
例已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线， k为何值时，向量a+kb与a-kb互相 垂直
练习：
一、判断下列各命题是 否正确，并说明理由
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
| a || b |
r r r r (2)a b a b 0
检测：1.已知： a与b是非零向量
(1) a b 的结果还是一个向量 2 (√) (2) a a | a | (3) | a b || a || b | (4) a b 0 a b
(5) a b a b 0 (6)a // b a b | a || b |
(× ) (√)
(× )
(√)
(× )
例1.已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120 ，求a b.
解： a b a b cos
5 4 cos120 1 5 4 ( ) 10 2
变式一
二、数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
| b | cos (或 | a | cos )
叫做向量 b 在 a 方向上
§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
练习
1.已知 | a | 8, e为单位向量,当它们的夹角为 时, 3 4 求a在e方向上的投影 ________
2.已知 | a | 2 2,| b | 3, a b 6,
2 则a在b上的投影为 ________
O为ABC所在平面内一点，且满 足 (OB OC ) (OB OC 2OA) 0 试判断ABC形状。
例2 已知 ABC中， AB=a, AC b, 当a b 0或a b 0, 试判断 ABC的形状
练习：
1.已知| a |=2,||=3, b a与b夹角为90则a b 0
2.若 a 1, b 3, a、b 共线,则a b 3或－3
3.已知 m 3, n 4, m n 6, 则m与n夹角为 60°
二、向量
已知两个非零向量a与b, 他们的夹角为， 我们把数量 a b cos 叫做a与b的数量积 （或内积） .记作a b, 即a b a b cos .
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
a与 b 的数量积的概念
注意：
b =| a || b |cos 数量积 a ·
平面向量的数量积的运算律：
(1)交换律 a b b a
(2)数乘结合律 ( a ) b (a b ) a (b ) (3)分配律 (a b ) c a c b c
其中， a、b 、c是任意三个向量， R
注：
(a b ) c a (b c )
§2.4.1 平面向量数量
积的物理背景及其含义
zxxk
一、向量数量积的物理背景
F
θ
O
(完整)2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (公开课使用)
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么 判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
功的概念： 如果一个物体受到力的作用，并且在力 的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是 什么量？在数学中F和S又是什么量？ 与这 两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解 ：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b
3,
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
思考8：对于非零向量a，b，c，若 a·b＝a·c，那么 b＝c吗？
思考9：对于向量a，b，等式(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是 否成立？为什么？
思考10：对于向量a，b，如何求它们的
夹角θ？
cos
ab | a || b |
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
思考6：对于向量a，b，c，(a＋b)·c有意 义吗？它与a·c＋b·c相等吗？为什么？
A
θ2
a
b
B
O θ1 θ a＋b
A1
B1
cC
思考7：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c
有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为
什么？
(a·b)·c≠a·(b·c) 最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a与b的
夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
3
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义
思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a与b的 数量积（或内积），记作a·b，即
a·b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的运算结
果是向量还是数量？
思考4：特别地，零向量与任一向量的数 量积是多少？
用2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
a θ
a
θ b
θ b
b
非零向量a与b的数量积(或内积)是一个实数，可正可负可为零.
a a 一、向量的数量积的定义 θ 1. 两个非零向量的数量积： θ b （1）定义：已知两个非零向量a与b，我们把 b |a||b|cosθ 叫做a与b的数量积(或内积)， 数量_________ a 其中θ是a与b的夹角. θ （2）记法：记作a· b，即a· b＝|a||b|cosθ b 2. 零与任意向量的数量积： a θ 规定：零向量与任一向量的数量积为0 |a|cosθ 叫做向量a在b方向上的投影 3. 投影：_______ b | b|cosθ 叫做向量b在a方向上的投影 _______ 注意：投影是一个数量，可正可负可为零，而不是一个向量！ 向量a在b方向上的投影与向量b在a方向上的投影是不同的！ 4. 向量的数量积的几何意义： b|cosθ的乘积. 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|______ |a|cosθ的乘积. 数量积a· b等于b的长度|b|与a在b的方向上的投影______
a与b的数量积：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数 1． ． 向量数量积的性质 1向量数量积的性质 ．向量数量积的性质 量积(或内积 )，其中θ是a与b的夹角. 1
练 1. 给出以下命题： 习 ①a· 0＝0； × ②0a＝0； × → → ③0－AB＝BA；√ ④|a· b|＝|a||b|；× ⑤若 a≠0，则对任一非零向量 b 有 a· b≠0；× ⑥a· b＝0，则 a 与 b 中至少有一个为 0；× ⑦a 与 b 是两个单位向量，则 a2＝b2. √ ③⑦ ． 其中正确命题的序号是____________
练 1. 已知|a|＝4，|b|＝5，且 a 与 b 的夹角为 60° ，求： 习 2 2 2 2 (1)a· b；(2)(a＋b) ；(3)(a－b) ；(4)a －b ；(5)(2a＋3b)· (3a－2b)．
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
第二章 2.4 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：已知条件 向量a ，b 是非零向量，它们的夹角为θ 定义 a 与b 的数量积(或内积)是数量|a ||b |cos θ记法a ·b ＝|a ||b |cos θ(2)规定：零向量与任一向量的数量积均为0.[点睛] (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作a·b ，千万不能写成a ×b 的形式． 2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念：①向量b 在a 的方向上的投影为|b |cos θ. ②向量a 在b 的方向上的投影为|a |cos θ. (2)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． [点睛] (1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)，也可以写成a·b |a |.(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． 3．向量数量积的性质设a 与b 都是非零向量， θ为a 与b 的夹角． (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |， 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. (3)a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ＝a 2. (4)cos θ＝a ·b |a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.[点睛] 对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．4．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．[点睛] (1)向量的数量积不满足消去律：若a ，b ，c 均为非零向量，且a·c ＝b·c ，但得不到a ＝b .(2)(a·b )·c ≠a ·(b·c )，因为a·b ，b·c 是数量积，是实数，不是向量，所以(a ·b )·c 与向量c 共线，a ·(b·c )与向量a 共线，因此，(a·b )·c ＝a ·(b·c )在一般情况下不成立．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．( ) (2)若a·b ＝b·c ，则一定有a ＝c .( ) (3)若a ，b 反向，则a·b ＝－|a ||b |.( ) (4)若a ·b ＝0，则a ⊥b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．若|a |＝2，|b |＝12，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＝( )A ．2 B.12 C ．1 D.14答案：B3．已知|a |＝10，|b |＝12，且(3a )·⎝⎛⎭⎫15b ＝－36，则a 与b 的夹角为( ) A ．60° B ．120° C ．135° D ．150°答案：B4．已知a ，b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝3. (1)若θ＝135°，则a·b ＝________； (2)若a ∥b ，则a·b ＝________； (3)若a ⊥b ，则a·b ＝________. 答案：(1)－32 (2)6或－6 (3)0向量数量积的运算[典例] (1)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：①a ·b; ②(a ＋b )· (a －2b )．(2)如图，正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .[解] (1)①由已知得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法 运算．[活学活用]已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a·b ；(2)a 2－b 2； (3)(2a －b )·(a ＋3b )．解：(1)a·b ＝|a ||b |cos 120°＝3×4×⎝⎛⎭⎫－12＝－6. (2)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7. (3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2 ＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝⎛⎭⎫－12－3×42＝－60. 与向量的模有关的问题[典例] (1)(浙江高考)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.(2)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. [解析] (1)令e 1与e 2的夹角为θ， ∴e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos θ＝cos θ＝12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. ∵b ·(e 1－e 2)＝0，∴b 与e 1，e 2的夹角均为30°， ∴b ·e 1＝|b ||e 1|cos 30°＝1， 从而|b |＝1cos 30°＝233.(2)∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a·b ＝|a ||b |cos 45°＝22|b |， |2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. [答案] (1)233(2)3 2求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [活学活用]已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝5，且a 与b 的夹角为60°，求|a ＋b |，|a －b |，|2a ＋b |.解：∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝(a ＋b )(a ＋b ) ＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝25＋25＋2|a ||b |cos 60° ＝50＋2×5×5×12＝75，∴|a ＋b |＝5 3.∵|a －b |2＝(a －b )2＝(a －b )(a －b ) ＝|a |2＋|b |2－2a ·b＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos 60°＝25， ∴|a －b |＝5.∵|2a ＋b |2＝(2a ＋b )(2a ＋b ) ＝4|a |2＋|b |2＋4a ·b＝4|a |2＋|b |2＋4|a ||b |cos 60°＝175， ∴|2a ＋b |＝57.两个向量的夹角和垂直1．(重庆高考)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.5π6解析：选C ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.题点二：证明两向量垂直2．已知向量a ，b 不共线，且|2a ＋b |＝|a ＋2b |，求证：(a ＋b )⊥(a －b )． 证明：∵|2a ＋b |＝|a ＋2b |，∴(2a ＋b )2＝(a ＋2b )2.即4a 2＋4a ·b ＋b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2， ∴a 2＝b 2.∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.又a 与b 不共线，a ＋b ≠0，a －b ≠0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．题点三：利用夹角和垂直求参数3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为( ) A ．－32B.32 C ．±32D ．1解析：选B ∵3a ＋2b 与ka －b 互相垂直， ∴(3a ＋2b )·(ka －b )＝0， ∴3ka 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0. ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0， 又|a |＝2，|b |＝3， ∴12k －18＝0，k ＝32.求向量a 与b 夹角的思路(1)求向量夹角的关键是计算a·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b |a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值． (2)在个别含有|a |，|b |与a·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．层级一 学业水平达标1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a·b 等于( )A ．3 B.92 C ．2D.12解析：选B 设a 与b 的夹角为θ.∵|a |cos θ＝32，∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92.3．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝ka －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B ∵c·d ＝0， ∴(2a ＋3b )·(ka －4b )＝0， ∴2ka 2－8a·b ＋3ka·b －12b 2＝0， ∴2k ＝12，∴k ＝6.4．已知a ，b 满足|a |＝4，|b |＝3，夹角为60°，则|a ＋b |＝( ) A ．37 B ．13 C.37D.13 解析：选C |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2 ＝42＋2×4×3cos 60°＋32＝37.5．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形解析：选B ∵AB ＝DC ，即一组对边BD 平行且相等，AC ·BD ＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为菱形．6．给出以下命题：①若a ≠0，则对任一非零向量b 都有a·b ≠0； ②若a·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0； ③a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2. 其中，正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a |＝|b |＝1，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，故a 2＝b 2.当非零向量a ，b 垂直时，有a·b ＝0，显然①②错误．答案：③7．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 解析：(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22＝－6＋7×cos 60°－2＝－92. 答案：－928．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________． 解析：∵c ⊥a ，∴c ·a ＝0， ∴(a ＋b )·a ＝0，即a 2＋a ·b ＝0.∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°9．已知e 1与e 2是两个夹角为60°的单位向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝2e 2－3e 1，求a 与b 的 夹角．解：因为|e 1|＝|e 2|＝1，所以e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12，|a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7，故|a |＝7， |b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9－12e 1·e 2＝7，故|b |＝7， 且a·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－727×7＝－12，所以a 与b 的夹角为120°.10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 解：(1)∵|a |＝2|b |＝2， ∴|a |＝2，|b |＝1.又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝－1. ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.(2)(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直， ∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.层级二 应试能力达标1．已知|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为π3，则向量m ＝a －4b 的模为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．12解析：选B |m |2＝|a －4b |2＝a 2－8a ·b ＋16b 2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m |＝2 3.2．在Rt △ABC 中，C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16解析：选D 法一：因为cos A ＝ACAB ，故AB ·AC ＝|AB |·|AC |cos A ＝|AC |2＝16，故选D.法二：AB 在 AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |，故AB ·AC ＝|AC ||AB |cos A ＝|AC |2＝16，故选D.3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b |＝( )A ．1 B. 3 C. 5D ．3解析：选C 由于投影相等，故有|a |cos 〈a ，b 〉＝|b |cos 〈a ，b 〉，因为|a |＝1，|b | ＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ，则|a －b |＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 5.4.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE ·BD ＝( )A ．－3B ．0C ．－1D ．1解析：选C AE ·BD ＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋12AD ―→ ·(AD －AB ) ＝12AB ·AD －|AB |2＋12|AD |2 ＝12×2×2×cos 60°－22＋12×22＝－1. 5．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．解析：法一：由a ＋b ＋c ＝0得c ＝－a －b . 又(a －b )·c ＝0，∴(a －b )·(－a －b )＝0，即a 2＝b 2. 则c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.法二：如图，作AB ＝BD ＝a ，BC ＝b ，则CA ＝c .∵a ⊥b ，∴AB ⊥BC ，又∵a －b ＝BD －BC ＝CD ， (a －b )⊥c ，∴CD ⊥CA ，所以△ABC 是等腰直角三角形，∵|a |＝1，∴|b |＝1，|c |＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.答案：46．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b 在a 方向上的投影等于________．解析：⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝a 2＋12a·b －3b 2＝12，即3|b |2－2|b |－4＝0，解得|b |＝2(舍负)，b 在a 方向上的投影是|b |cos 45°＝2×22＝1. 答案：2 17．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12. (1)求向量a ，b 的夹角；(2)求|a －b |.解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12， ∴a 2－b 2＝12， 即|a |2－|b |2＝12. 又|a |＝1，∴|b |＝22. ∵a·b ＝12， ∴|a |·|b |cos θ＝12， ∴cos θ＝22， ∴向量a ，b 的夹角为45°.(2)∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝12， ∴|a －b |＝22.8．设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角， 得(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)|2te 1＋7e 2|·|e 1＋te 2|<0.即 (2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12. 当夹角为π时，也有(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0， 但此时夹角不是钝角， 设2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)，λ<0，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.。
高一物理第二章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．知识点一 平面向量数量积的定义非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，特别地，零向量与任意向量的数量积等于0.思考 若a ≠0，且a ·b ＝0，是否能推出b ＝0.答案 在实数中，若a ≠0，且a ·b ＝0，则b ＝0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ·b ＝0，不能推出b ＝0.因为其中cos θ有可能为0.知识点二 平面向量数量积的几何意义1．条件：向量a 与b 的夹角为θ.2．投影 向量b 在a 方向上的投影|b |cos θ 向量a 在b 方向上的投影|a |cos θ3.a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．思考 向量a 在b 方向上的投影是向量吗？答案 a 在b 方向上的投影是一个数量(可正，可为0，可负)，不是向量．知识点三 平面向量数量积的性质设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ.1．a ⊥b ⇔a ·b ＝0.2．当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向. 3．a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .4．cos θ＝a ·b |a ||b |. 5．|a ·b |≤|a ||b |.知识点四 平面向量数量积的运算律1．a ·b ＝b ·a (交换律)．2．(λa )·b ＝λ·(a ·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)．3．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．思考 若a ·b ＝b ·c ，是否可以得出结论a ＝c?答案 不可以．已知实数a ，b ，c (b ≠0)，则ab ＝bc ⇒a ＝c ，但是a ·b ＝b ·c 推不出a ＝c .理由如下：如图，a ·b ＝|a ||b |cos β＝|b ||OA |，b ·c ＝|b ||c |cos α＝|b ||OA |.所以a ·b ＝b ·c ，但是a ≠c .1．向量a 在向量b 上的投影一定是正数．( × )2．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．( × )3．向量的数量积运算满足(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × )4．已知a ≠0，且a ·c ＝a ·b ，则b ＝c .( × )题型一 求两向量的数量积例1 已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.反思感悟 求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b .跟踪训练1 已知|a |＝4，|b |＝7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a ＋3b )·(3a －2b )．题型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |. 引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.反思感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方．跟踪训练2 已知|a |＝1，|b |＝3，且|a －b |＝2，求|a ＋b |.题型三 求向量的夹角例3 (1)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，求a 与a ＋b 的夹角及a 与a －b 的夹角．反思感悟 (1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b |a||b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b 的值及|a |，|b |的值，然后代入求解，也可以寻找|a |，|b |，a·b 三者之间的关系，然后代入求解．(2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解．(3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，求a 与b 的夹角．向量的夹角与垂直问题典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________．(2)已知向量a ，b ，且|a |＝1，|b |＝2，(a ＋2b )⊥(3a －b )，①求向量a 与b 夹角的大小；②求|a －2b |的值．1．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，则a·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( )A ．－2B ．2C ．－2 2D ．2 23．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－24．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( )A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 25．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，若c ＝2a －b ，d ＝a ＋2b ， 求：(1)c ·d ；(2)|c ＋2d |.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b |b |. 4．对于两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0.5．求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.一、选择题1．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( )A ．－6B ．6C ．－6 3D ．6 33．已知a ，b 方向相同，且|a |＝2，|b |＝4，则|2a ＋3b |等于( )A ．16B ．256C ．8D ．644．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．25．已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．－7B ．7C ．25D ．－256．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．57．在△ABC 中，AB ＝6，O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →等于( )A. 6 B ．6 C ．12 D ．188．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －b －a |＝1，则|c |的取值范围为( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]二、填空题9．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.10．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________.11．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________．12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.则向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为________．三、解答题13．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，求AB 的长．14．(2018·吉林长春调研)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．。
课件9：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
2．已知a与b是相反向量，且|a|＝2，则a·b＝( )
A．2
B．－2
C．4
D．－4
【解析】由已知a＝－b，
所以a·b＝a·(－a)＝－a2＝－|a|2＝－4.
【答案】D
3．已知|a|＝3，向量 a 与 b 的夹角为3π，则 a 在 b 方向上 的投影为( )
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标 1.通过物理中“功”理解平面向量数量积的含义(重点、难点)． 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握平面 向量数量积的运算律(易错点、易混点)． 3.会用两个向量的数量积解决向量的垂直问题． 4.理解向量的数量积的几何意义(难点)． 5.利用向量的数量积解决夹角、模等问题(重点、难点)．
2．向量数量积的运算应注意的几点 (1)θ 的范围为 0°≤θ ≤180°； (2)对于非零向量 a 和 b，a⊥b⇔a·b＝0； (3)a·b>0⇔θ 为锐角或零角，a·b<0⇔θ 为钝角或平角．
3．向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
实数a，b，c a≠0，a·b＝0⇒b＝0 a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c
又因为|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°， 所以12t＋1－t＝0，所以 t＝2. 法二：由 t＋(1－t)＝1 知向量 a、b、c 的终点 A、B、C 共线， 在平面直角坐标系中设 a＝(1，0)，b＝21， 23，
则
c＝23，－
3
2
.
把 a、b、c 的坐标代入 c＝ta＋(1－t)b，得 t＝2.
(2)|a＋2b|＝ （a＋2b）2＝ a2＋4a·b＋4b2
＝ |a|2＋4|a||b|cos 60°＋4|b|2
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
2.非零 4.0
|a||b|cos θ a· |a||b|cos θ |a|cos θ 投影 b
思考应用 1．向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？ 影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表： 角的范围 a·b的符号 0°≤α<90° α＝90° 90°<α≤180°
解析：向量的数量积的结果是一个数量，而线性运 算的结果是一个向量．影响数量积大小的因素有向量各 自的长度和它们之间的夹角. 角的范围 a·b的符号 0°≤α<90° α＝90° 90°<α≤180°
①a· 0＝0；②0· a＝0；③0－ AB＝ BA ；④|a· b|＝
|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零b有a· b≠0；⑥a· b＝0，则a 与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a· b)c＝ a(b· c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2. 解析：上述8个命题中只有①③⑧正确． 对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0· a ＝0；对于②：应有0· a＝0；
(
)(
)
(
)
向量的垂直问题
已知|a|＝3，|b|＝4且a与b不共线．k为何值
时，向量(a＋kb)与(a-kb)互相垂直？ 分析：根据向量(a＋kb)与(a-kb)互相垂直的条件 列出关于k的关系式，求关于k的方程．
解析：∵向量(a＋kb)与(a－kb)互相垂直， ( ∴(a＋kb)·a－kb)＝0， 即 a2－k2b2＝9－16k2＝0. 3 ∴k＝± . 4 点评：记住 a· b＝0⇔a⊥b.
对于④：由数量积定义有|a· b|＝|a|· |cos θ|≤|a||b|，这里 |b|· θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a· b|＝|a|· |b|； 对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a· b＝0； 对于⑥：由a· b＝0可知a⊥b可以都非零； 对于⑦：若a与c共线，记a＝λc. 则a· b＝(λc)· b＝λ(c· b)＝λ(b· c)， ∴(a· c＝λ(b· b)· c)c＝(b· c)λc＝(b· c)a
课件10：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
(2)数量积的几何意义： a·b的几何意义是数量积a·b等于____a_的__长__度_|_a_| __与b在a的 方向上的投影___|_b_|c_o_s_θ___的乘积． 2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝___b_·_a__(交换律)． (2)(λa)·b＝__λ_(_a_·b_)__＝__a_·_(λ_b_)___(结合律)． (3)(a＋b)·c＝__a_·_c＋__b_·_c___(分配律)．
因为 AB＝AC， 所以 BD＝12BC＝2， 于是|B→A|cos∠ABC＝|B→D|＝12|B→C|＝12×4＝2. 所以B→A·B→C＝|B→A||B→C|cos∠ABC＝4×2＝8. 【答案】 (1)③④ (2)－152 －4 (3)8
名师指导 1．在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而 不能用“×”连接，更不能省略不写． 2．求平面向量数量积的方法： (1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝ |a||b|cos θ. (2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影， 可利用数量积的几何意义求a·b.
⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确； 当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 a·b>0，因此⑦错； |b|cos θ 表示向量 b 在向量 a 方向上的投影的数量， 而非投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确． 【答案】 ①②⑥
类型2 数量积的基本运算 例2 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b； (3)a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积.
课堂检测
1．在△ABC 中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则B→C·C→A＝
()
A．20
B．－20
C．20 3
§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
第二章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标：1. 理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义2. 掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律预习导航：要求：在上课前认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注。
1.平面向量的数量积的物理意义________________________________；2.平面向量的数量积定义;3. 平面向量的数量积与向量投影的关系： ;4.数量积的几何意义 : ;5.数量积的性质6.数量积的运算律探究问题（一）平面向量的数量积1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。
平面向量的数量积定义：1.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ⇒ a=c.但是a⋅b = b⋅c a = c如右图：a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|，b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c但a≠c(5)在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，但是(a⋅b)c≠a(b⋅c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为|b|；当θ = 180︒时投影为-|b|.【说明】：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cosθ的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；②两个向量的数量积称为内积，写成a b⋅；今后要学到两个向量的外积a×b，而a b⋅是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。
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设向量a ， b， a b 在 c上的
投影分别是OM，MN，ON,
b
a
O M
ab
(3)(a b) c ON c (OM MN) c OM c MN c a c b c.
N
c
思考4:下列两个运算律成立吗？
（1） (a b) c a (b c); （2） a c b c a b.(消去律）
解：（ 1 ）由a // b，分两种情况：
当a, b 同向， a b 2; 当a, b反向， a b 2。
3 （2） a b 1 2 cos 律，你能推 导向量数量积的下列运算律吗？
（） 1 a b b a；
2 2 2 2
2 ；
。
解：有； (1)
2
a+b = a+b a+b
2 2 ；
=a a+a b+b a+b b =a +2a b+b
(2)
2
a+b a b =a a a b+b a b b
2
=a b 。
当 a与 b 反 向 时 ， a b | a || b |;
特 别 地 ， a a | a |2
或 | a | a a .
当a与b同向时， =0 , 所以 cos 1， 所以 a b cos | a || b | ，所以a b | a || b | .
思考2:由向量数量积的定义，你能否得到下面的结论？ 设 a,b 是非零向量，
(1) a b a b 0.
a b 90 cos 0.
a b cos 0. a b 0.
(2)当 a与 b同 向 时 ， a b | a || b |;
2
2
36 12 96 72.
例4. 已知 a 3， b 4，且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb 互相垂直？
解：因为（ a kb ） （ a kb ） , 所以(a kb) (a kb) 0，即a k b 0.
2 2 2
例3.已知 | a | 6,| b | 4, a与b的夹角为60°, 求(a 2b) (a - 3b).
解：（a 2b） （ a 3b） a a a b 6b b
| a | a b 6 | b |
2
2
| a | | a || b | cos 60° 6 | b |
B
b
O θ
B1 A
a
数量积的几何意义
数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向 上的投影 b cos 的乘积.
还有其他说法吗？
向量 a与 b 的数量积等于 b 的长度 b 与 a 在 b 的方向上的投影 a cos 的乘积.
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
我们学过功的概念，即一个物体在力 F 的作用下产生 位移 s ， 力 F 所做的功W应当怎样计算？
F
θ
s
W=|F ||s |cosθ
其中θ是 F 与s的夹角.
功是一个标量，是一个数量，它由力和位 移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把
（2） ( a) b (a b) a (b)；
(3)(a b) c a c b c.
（） 1 a b a b cos a, b b a cos a, b b a；
（） 2 ( a ) b a b cos a, b = a b cos a, b a b cos a, b =a ( b)
（1） a b R , b c R , c与 a的方向不定，故不成立；
(2)c 0 时不成立.
向量数量积的运算律
（） 1 a b b a；
（2） ( a) b (a b) a (b)；
(3)(a b) c a c b c.
因为0 a, b , 3 所以 a, b . 4
4.若 | a || b | 1, a b且2a 3b与ka 4b也互相垂直， 求k的值.
解：因为（2a 3b) (k a 4b), 所以（2a 3b) (k a 4b) 0.
所以2ka 12b 0.
思考1:向量的数量积是一个数量，那么它
什么时候为正，什么时候为负？
当 0 a, b 90 时，它为正值； 当 a, b 90 时，它为0； 当 90 a, b 180 时，它为负值．
投影的概念
b cos （ a cos )叫做向量 b 在 a方向上（向
量 a在 b方向上）的投影.
所以| a b || a || b | .
向量数量积的性质
设a，b 是非零向量，
(1) a b a b 0.
(2)当 a与 b同 向 时 ， a b | a || b |;
当 a与 b 反 向 时 ， a b | a || b |;
特 别 地 ， a a | a | 2 或 | a |
因为a b 1, 所以 k 6.
2 2
2
2
1.向量的夹角（共起点） 2.向量的投影 3.向量的数量积的定义，几何意义
a b a b cos a , b
4.向量数量积的性质
特别地，a a | a |2 或 | a | a a .
5.向量数量积的运算律
（） 1 a b b a； （2） ( a) b (a b) a (b)；
(3) | a b || a || b | .
a a.
例1. 已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120 ，求a b.
解：a b a b cos
5 4 cos120 1 5 4 ( ) 2 10.
例1：已知 a 1, b 2 (1)a // b, 求a b; 3 (2) , 求a b 4
(3)(a b) c a c b c.
注意：(1) (a b ) c a (b c )； (2)不满足消去律.
例2.我们知道，对任意a，b∈R，恒有(a+b)2=
a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量 a， b
是否也有下面类似的结论？
(1) a+b
=a +2a b+b (2) a+b a-b =a -b
2
解 : a b | a || b | cos 3 4 cos150 6 3, ( a b ) a a 2 a b b b a 2a b b
2 2 2
3 2( 6 3) 4 25 12 3，
2 2
| a b | (a b) 25 12 3.
2
BC 8,CA 7, C 60,求 BC CA. 2.在△ABC中，
A
7
B
60
120
8
C
BC CA 8 7 cos120 28.
3. a 12, b 9, a b 54 2, 求 a与b的夹角.
54 2 2 解： cos a, b , 12 9 2 a b a b
“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？
从力所做的功出发，我们引入向量“数量
积”的概念.
数量积的定义
已知两个非零向量 a与 b，我们把数量 a b cos
叫做 a 与 b的数量积（或内积）. 记作a b 即a b a b cos ， 其中θ 是 a与b 的夹角. 规定:零向量与任一向量的数量积为0.
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． × 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 × × 4．若a · b=0，则a ·b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c × 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 × 时成立． 2 2 7．对任意向量 a 有 a | a | √
当a与b反向时， =180 , 则 cos 1， 所以 a b cos － a b ，即a b | a || b | .
特 别 地 ， a a | a || a || a |2 .
(3) | a b || a || b | .
因为 | a b || a || b || cos |, | cos | 1,
又因为a 3 9, b 4 16,
2 2
2
2
3 所以k . 4 3 即k 时， a kb与a kb互相垂直. 4
所以9 16k 2 0.
1.已知 | a | 3,| b | 4, 且 | a | 与 | b | 的夹角 150 , 求 a b, ( a b ) ,| a b | .