试卷二

自 觉 遵 守 考 试 规 则 诚 信 考 试 绝 不 作 弊
2 cos θ 1 2．用数学归纳法证明 Dn =
பைடு நூலகம்
1 2 cos θ 1
1 2 cos θ % % % 1 1 2 cos θ
装 订 线 内 不 得 答 题
=
sin(n + 1)θ sin θ
（注：n 阶行列式，其他未给出的全是 0）
线性代数 试卷第 ２ 页 共 6 页
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装 订 线 内 不 得 答 题 线性代数 试卷第 ３ 页 共 6 页
⎛1⎞ ⎜ ⎟ 六（14 分）已知 α = ⎜ 1 ⎟ ， E 为 3 阶单位矩阵， A = E + αα T ，求一个正交矩 ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
阵 P ，使 P −1 AP 为对角矩阵。
四（12 分）求向量组 ⎛5⎞ ⎛ 0⎞ ⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎟ 1⎟ 5⎟ 2 ⎜ ⎜ ⎜ ， β2 = ， β3 = ， β4 = ⎜ ⎟ β1 = ⎜ 3⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ 4⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝0⎠ 的秩与一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
线性代数 试卷第 ４ 页 共 6 页
2 七、 （10 分）已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + cx3 + 2dx1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x2 x3
1）写出二次型的矩阵 A ； 2) 若 α = ( 0,1, −1) 是 A 的特征向量，求出 c 和 d 以及 α 对应的特征值 λ ；
2 2 则 t 应满足的条件 5. 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + x2 + x3 − 2tx1 x2 + 2 x1 x3 正定，
是
。
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1．设 A 为 3 阶方阵，则 −2 A = 【A】 −2 A 【B】 2 A 【C】 −8 A 【D】 8 A
线性代数
院(系) 班级
试卷卷面成绩 题号 得分 阅卷 审核 一 二 三 四 五 六 七
试卷（2）
姓名
占课程 平时 成绩 考核成 占 15 小计 绩 85％ % 课程考 核成绩
学号
八
一、填空题（共 15 分，每小题 3 分） 1．设 α , β , γ 均为三维列向量， A = (α , β , γ ) ， B = (γ + 2α , β ,3α ) ，已知 A = 4 ， 则B = 。
⎧ (3 − λ ) x1 − x2 + x3 = 0 ⎪ 五、 （12 分）设线性方程组 ⎨ x1 + (1 − λ ) x2 + x3 = 0 ⎪−3x + 3x − (1 + λ ) x = λ + 1 2 3 ⎩ 1
1） λ 为何值时，方程组有唯一解？并求此时的解； 2） λ 为何值时，方程组无解？ 2） λ 为何值时，方程组有无穷多解？并求其通解。
则 Ax = 0 的基础解系为（ ）
【A】 α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α1
1 【C】 2α 2 − α1 , α 3 − α 2 , α1 − α 3 2
【B】 α 2 − α1 , α 3 − α 2 , α1 − α 3 【D】 α1 + α 2 + α 3 , α 3 − α 2 , −α1 − 2α 3
组 α1 ,α 2 ,α 3 线性相关。
2）设 n 阶方阵 A 满足 A2 = A ，则 r( A) + r( A − E ) = n 。
线性代数 试卷第 ６ 页 共 6 页
2. 设向量 β 可由向量组 α 1 ,α 2 , ..., α m 线性表示，但不能由向量组 (Ι) α 1 ,α 2 , ..., α m −1 线性
线性代数 试卷第 １ 页 共 6 页
表示，记向量组 (ΙΙ ) α 1 ,α 2 , ..., α m −1 , β ，则 α m （
）
【A】既不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示 【B】不能由（I）线性表示，但可由（II）线性表示 【C】可由（I）线性表示，也可由（II）线性表示 【D】可由（I）线性表示，但不可由（II）线性表示 3. 设矩阵 A 经初等变换化为矩阵 B，则 【A】存在可逆矩阵 P，使得 PA=B 【B】存在可逆矩阵 P，使得 AP=B 【C】存在可逆矩阵 P，使得 P −1 AP =B 【D】存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B 4．设 A 为 n 阶方阵， r( A) = n − 3 ，且 α1 ,α 2 ,α 3 是 Ax = 0 的三个线性无关的解向量，
*
2．设 A 是 n 阶可逆矩阵，则 ( kA ) = ⎡0 ⎢0 3．设 A = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣4 1 0 0 0 0 2 0 0 ⎡ 0⎤ ⎢ ⎢ 0⎥ ⎥ ，则 A−1 ＝ ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0⎦ ⎢ ⎣
A* 。 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 。
⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 4．设 A = ⎜ a 4 −3 ⎟ ，且 A 有一特征值 λ = 6 ，则 a = ⎜ −3 −3 5 ⎟ ⎝ ⎠
−1
5．设 A, B 均为三阶矩阵，且 A 与 B 相似，若 A 的特征值为 1，2，3，则矩阵 ( 2 B ) 的
特征值为（
） 【B】1/2,1/4,1/6 【C】1,2,3 【D】2,1,2/3
【A】2，4，6
三、 （本题每小题 6 分共 12 分） 1 5 1．计算行列式 5 5 5 2 5 5 5 5 3 5 5 5 5 4
T
3）用配方法化二次型为标准型，并写出所做的线性变换。
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装 订 线 内 不 得 答 题 线性代数 试卷第 ５ 页 共 6 页
八、 （10 分） 1）设 α1 ,α 2 ,α 3 , β 均为三维列向量，且向量 β 不能由向量组 α1 ,α 2 ,α 3 线性表示，则向量