中考数学专题训练---类比、拓展探究题

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中考数学解答题压轴题突破重难点突破八几何综合探究题类型一：类比拓展型探究问题

(2)【问题解决】如图②，在任意直角三角形 ABC 内，找一点 D，过点 D 作正方形 DECF，分别交 BC，AC 于点 E，F，若 AB＝BE＋AF，求∠ADB 的度数；
如答图，延长 AC，使 FM＝BE，连接 DM， ∵四边形 DECF 是正方形， ∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°， ∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝DE， ∴△DFM≌△DEB(SAS)，∴DM＝DB， ∵AB＝AF＋BE，AM＝AF＋FM，FM＝BE， ∴AM＝AB，又∵DM＝DB，AD＝AD，
重难点突破八几何综合探究题
类型一类比拓展型探究问题
(2022·贵阳)小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ ABCD 中，AN 为 BC 边上的高，AADN＝m，点 M 在 AD 边上，且 BA＝BM，点 E 是线段 AM 上任意一点，连接 BE，将△ABE 沿 BE 翻折得△FBE.
解：∵∠BAD＝45°，BA＝BM，∴△AMB 是等腰直角三角形， ∴∠MBC＝∠AMB＝∠BAM＝45°，∵EF∥BM，∴∠FEM＝∠AMB＝45°， ∴∠AEB＝∠FEB＝12(180°＋45°)＝112.5°， ∴∠ABE＝180°－∠AEB－∠BAE＝22.5°， ∵AADN＝m，△AMB 是等腰直角三角形，AN 为底边上的高，则 AN＝12AM， ∵点 M 在 AD 边上，∴当 AD＝AM 时，m 取得最小值，最小值为 AAMN＝2，
2
2.(2022·铜仁)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，记△COD 的面积为 S1，△AOB 的面积为 S2.
(1)问题解决：
如图①，若 AB∥CD，求证：SS21＝OOCA··OODB； (1)证明：过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，过点 B 作 BF⊥AC 于点 F，如图①所

2020中考数学37_专题五类比、拓展与探究

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专题五类比、拓展与探究
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类比探究问题是一类共性条件与特殊条件相结合,由特殊情形到一般情形 (或由简单情形到复杂情形)逐步深入,解决方法一脉相承的综合性题目.
专题突破
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专题突破
解决类比探究问题的一般步骤: 1.根据题干条件,结合分支条件先解决第一问; 2.用解决上一问的方法类比解决下一问,如果不能,两问结合起来分析,找出不能类比的原因和不变特征,依据不变的特征,探索新的方法;(照搬字母,照搬辅助线, 照搬全等,照搬相似,也就是知识的迁移) 3.类比解题思路,类比前两问的图形来“补形”解决第三问.
专题训练
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拓展延伸: (3)如图3,在△ADE持续旋转过程中,若CE与BD的交点为点P,则△BCP面积的最小值为 4 .
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解析 (1)45°;NF= 2 MN (2)如图2所示,连接MF,EC,BD.设EC交AB于点O,BD交EC于点H.
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∵AC=AB,AE=AD,∠EAD=∠CAB=90°, ∴∠BAD=∠CAE, ∴△BAD≌△CAE(SAS),
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6 CD时,请直接写出α的值.
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解析 (1)AM= 2 AE;45° (2)成立. (3)α=60°或300°.
专题突破
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专题突破
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变式训练1-1 (2019河南二模)问题发现: 如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则: (1)①∠ACE的度数是 60° ; ②线段AC,CD,CE之间的数量关系是 AC=CD+EC ; 拓展探究: (2)如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,请写出∠ACE的度数及线段AD, BD,CD之间的数量关系,并说明理由;

2021年中考数学专题复习专题七类比探究题训练

2021年中考数学专题复习专题七类比探究题训练(2021河南)(1)问题发现如图①，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40，连接AC，BD交于点M、填空：①的值为________；②∠AMB的度数为________；(2)类比探究如图②，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90，∠OAB＝∠OCD＝30，连接AC交BD的延长线于点M、请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长、【分析】(1)①证明△COA≌△DOB(SAS)，得AC＝BD，比值为1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理，得∠AMB＝180－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180－140＝40；(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则＝＝，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；(3)正确画出图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得△AOC∽△BOD，则∠AMB＝90，＝，可得AC的长、【自主解答】解：(1)问题发现①1【解法提示】∵∠AOB＝∠COD＝40，∴∠COA＝∠DOB、∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB(SAS)，∴AC＝BD，∴＝1、②40【解法提示】∵△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO、∵∠AOB＝40，∴∠OAB＋∠ABO＝140，在△AMB中，∠AMB＝180－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180－140＝40、(2)类比探究＝，∠AMB＝90，理由如下：在Rt△OCD中，∠DCO＝30，∠DOC＝90，∴＝tan30＝，同理，得＝tan30＝，∵∠AOB＝∠COD＝90，∴∠AOC＝BOD，∴△AOC∽△BOD，∴＝＝，∠CAO＝∠DBO、∴∠AMB＝180－∠CAO－∠OAB－MBA＝180－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180－90＝90、(3)拓展延伸①点C与点M重合时，如解图①，同理得△AOC∽△BOD，∴∠AMB＝90，＝，设BD＝x，则AC＝x，在Rt△COD中，∵∠OCD＝30，OD＝1，∴CD＝2，∴BC＝x－2、在Rt△AOB中，∠OAB＝30，OB＝、∴AB＝2OB＝2，在Rt△AMB中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即( x)2＋(x－2)2＝(2)2，解得x1＝3，x2＝－2(舍去)，∴AC＝3；②点C与点M重合时，如解图②，同理得：∠AMB＝90，＝，设BD＝x，则AC＝x，在Rt△AMB中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即(x)2＋(x ＋2)2＝(2)2解得x1＝－3，解得x2＝2(舍去)、∴AC＝2、综上所述，AC的长为3或2、图①图②例1题解图1、(2021河南)(1)发现如图①，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b、填空：当点A位于________________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为__________(用含a，b的式子表示)、(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图②所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE、①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值、(3)拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P 为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标、2、(2021河南)如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC 的中点，连接DE、将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α、(1)问题发现①当α＝0时，＝____；②当α＝180时，＝____；(2)拓展探究试判断：当0≤α<360时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明、(3)解决问题当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长、3、(2021河南)(1)问题发现如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE、填空：①∠AEB的度数为__________；②线段AD，BE之间的数量关系为______________、(2)拓展探究如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由、(3)解决问题如图③，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90，请直接写出点A到BP的距离、4、(2021南阳二模)在△ABC中，∠A CB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90，得到AE，连接EC、(1)操作发现若AB＝AC，∠BAC＝90，当D在线段BC上时(不与点B重合)，如图①所示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是______________，______________；(2)猜想论证在(1)的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断(1)中结论是否成立，并证明你的判断、(3)拓展延伸如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于________度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C，E重合除外)？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC＝3时，请直接写出线段CF的长的最大值是____、5、已知，如图①，△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，∠BAC＝∠AED＝90，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF、(1)问题发现①如图①，＝_______；②将△AED绕点A逆时针旋转45，如图②，＝_______；(2)类比延伸将图①中△AED绕点A逆时针旋转到如图③所示的位置，请计算出的值，并说明理由、(3)拓展探究将图①中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0≤α≤90，AD＝，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长、类型二图形面积关系问题(2021河南)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点、(1)观察猜想图①中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE 绕A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值、图①图②例2题图【分析】(1)利用三角形的中位线定理得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE，继而得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；(2)先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同(1)的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同(1)的方法即可得出结论；(3)先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM＋AN，最后用面积公式即可得出结论、【自主解答】解：(1)∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝BD、∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝CE、∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN、∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA、∵∠BAC＝90，∴∠ADC＋∠ACD＝90，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90，∴PM⊥PN，(2)由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE、同(1)的方法，利用三角形的中位线定理，得PN ＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同(1)的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同(1)的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC、∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC、∵∠BAC＝90，∴∠ACB＋∠ABC＝90，∴∠MPN＝90，∴△PMN是等腰直角三角形，例2题解图(3)如解图，同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴当MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM＋AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90，∴AM＝2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，∴MN最大＝2＋5＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝MN2＝(7)2＝、1、(2021河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90，∠B＝∠E＝30、(1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是______________；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是______________、(2)猜想论证当△DEC 绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想、(3)拓展探究已知∠ABC＝60，点D 是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图④)、若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长、2、已知Rt△ABC中，BC＝AC，∠C＝90，D为AB边的中点，∠EDF＝90，将∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB(或它们的延长线)于E，F、当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E 时，如图①所示，试证明S△DEF＋S△CEF＝S△ABC、(1)当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明理由、(2)直接写出图③中，S△DEF，S△CEF与S△ABC之间的数量关系、3、(2021郑州模拟)如图①所示，将两个正方形ABCD 和正方形CGFE如图所示放置，连接DE，BG、(1)图中∠DCE＋∠BCG＝__________；设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，则S1与S2的数量关系为______________；猜想论证：(2)如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连接DE，BG，设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，猜想S1和S2的数量关系，并加以证明；(3)如图③所示，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，∠B＝30，把△ABC沿AC翻折得到△AEC，过点A作AD平行CE交BC于点D，在线段CE上存在点P，使△ABP的面积等于△ACD的面积，请写出CP的长、4、(2021驻马店一模)如图①，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN、(1)观察猜想图①中，PM与PN的数量关系是______________，位置关系是______________；(2)探究证明将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0＜α＜90)，得到图②，AE与MP，BD分别交于点G，H，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△CDE绕点C任意旋转，若AC＝4，CD＝2，请直接写出△PMN面积的最大值、参考答案类型一针对训练1、解：(1)∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC＋AB＝a＋b、(2)①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB、在△CAD和△EAB中，，∴△CAD≌△EAB，∴CD＝BE、②∵线段BE长的最大值等于线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴线段BE长的最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝4；(3)∵将△APM绕着点P顺时针旋转90得到△PBN，连接AN，如解图①，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM、∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值，∴当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值为AB＋AN、∵AN＝AP＝2，∴线段AM的长最大值为2＋3、如解图②，过点P作PE⊥x轴于点E、∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝BO－AB－AE＝5－3－＝2－，∴P(2－，)、图①图②第1题解图2、解：(1)①当α＝0时，∵在Rt△ABC中，∠B＝90，∴AC ＝＝＝4、∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝42＝2，BD＝82＝4，∴＝＝、②如解图①，当α＝180时，得可得AB∥DE，∵＝，∴＝＝＝、(2)当0≤α≤360时，的大小没有变化、∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB、又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝、图①图②图③第2题解图(3)①如解图②，∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝＝＝＝8、∵AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90，∴四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4、③如解图③，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，∴AD ＝＝＝＝8，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE＝AB＝(82)＝4＝2，∴AE＝AD－DE＝8－2＝6，由(2)，可得＝，∴BD＝＝、综上所述，BD的长为4或、3、解：(1)∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60，∴∠ACD＝∠BCE、在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC、∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60、∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120，∴∠BEC＝120，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60、②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE、(2)∠AEB＝90，AE＝BE ＋2CM、理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA ＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90、∴∠ACD＝∠BCE、在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC、∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45、∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135，∴∠BEC＝135，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90、∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME、∵∠DCE＝90，∴DM＝ME ＝CM，∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM、(3)∵PD＝1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上、∵∠BPD＝90，∴点P在以BD为直径的圆上，∴点P是这两圆的交点、①当点P在如解图①所示位置时，连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP 于点E、∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45，AB＝AD＝DC＝BC ＝，∠BAD＝90，∴BD＝2、∵DP＝1，∴BP＝、∵∠BPD＝∠BAD＝90，∴点A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB＝∠ADB＝45、∴△PAE是等腰直角三角形、又∵△BAD是等腰直角三角形，点B，E，P共线，AH⊥BP，∴由(2)中的结论可得：BP＝2AH ＋PD，∴＝2AH＋1，∴AH＝；②当点P在如解图②所示位置时，连接PD、PB、PA、作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，同理可得：BP＝2AH－PD，∴＝2AH－1，∴AH＝、综上所述，点A到BP的距离为或、图①图②第3题解图4、解：(1)①∵AB＝AC，∠BAC＝90，线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴CE＝BD，∠ACE＝∠B，∴∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝90，∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为CE＝BD，CE⊥BD；(2)(1)中的结论仍然成立、证明如下：如解图①，∵线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，∴AE＝AD，∠DAE＝90、∵AB＝AC，∠BAC＝90，∴∠CAE＝∠BAD，∴△ACE≌△ABD，∴CE＝BD，∠ACE＝∠B，∴∠BCE＝90，∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为CE＝BD，CE⊥BD；(3)45；、过A作AM⊥BC于M，过点E作EN⊥MA交MA的延长线于N，如解图②、∵线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE，∴∠DAE ＝90，AD＝AE，∴∠NAE＝∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，∴NE＝AM、∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠MCE＝90，∴四边形MCEN 为矩形，∴NE＝MC，∴AM＝MC，∴∠ACB＝45、∵四边形MCEN为矩形，∴Rt△AMD∽Rt△DCF，∴＝，设DC＝x，∵在Rt△AMC中，∠ACB＝45，AC＝3，∴AM＝CM＝3，MD ＝3－x，∴＝，∴CF＝－x2＋x＝－(x－)2＋，∴当x＝时，CF有最大值，最大值为、故答案为45，；图①图②第4题解图5、解：(1)①∵△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形，∴AD＝BC、∵O为BC的中点，F为AD的中点，∴AF＝OC、∵∠BAC＝∠AED＝90，AB＝AC，AE＝DE，∴∠DAE＝∠CBA ＝45，∴AD∥BC，∴四边形AFOC是平行四边形，∴OF＝AC＝EC，∴＝；故答案：；②∵AO＝AC，∠BAO＝∠CAO＝45，∠DAE＝45，∴∠DAE＝∠CAO、∵AE＝AC，∴AF＝AO，∴＝，∴△AFO∽△AEC，∴＝＝；故答案：、(2)OF＝EC、理由：在等腰直角△ADE中，F为AD的中点，∴AF＝AD＝AE、在等腰直角△ABC中，O为BC的中点，如解图①，连接AO，∴AO＝AC，∠BAO＝∠CAO＝45、∴∠DAE＝45，∴∠DAE＝∠CAO，即∠DAO＝∠CAE、∵AE ＝AC，∴AF＝AO，∴＝，∴△AFO∽△AEC，∴＝＝；(3)∵△ABC 和△AED是两个全等的等腰直角三角形，∴AD＝BC＝，∴ED＝AE＝AB＝AC＝1，当△ACD为直角三角形时，分两种情况：图①图②图③第5题解图①当AD与AB重合时，如解图②，连接CD、当△A CD为直角三角形时，AD⊥AC，即将△ADE绕点A逆时针旋转45、∵AD＝，AC＝1，∴由勾股定理可得CD＝＝；②当AE与AC重合时，如解图③，当△ACD为直角三角形时，AC⊥CD，即将△ADE绕点A逆时针旋转90，此时CD＝AC＝1、综上所述，CD的长为或1、类型二针对训练1、解：(1)①△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD、∵∠BAC＝90－∠B＝90－30＝60、∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60，又∵∠CDE＝∠BAC＝60，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B＝30，∠C＝90，∴CD＝AC＝AB，∴BD＝AD＝AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC，AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1＝S2；(2)∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∠DCE＝∠ACB＝90，∵∠ACN＋∠ACE＝180，∴∠ACN＝∠DCM、在△ACN和△DCM中，∴△ACN≌△DCM(AAS)，∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1＝S2；第1题解图(3)如解图，过点D作DF1∥BE交BA于点F1，易求得四边形BEDF1是菱形，∴BE＝DF1，且BE，DF1边上的高相等，此时S△DCF1＝S△BDE；过点D作DF2⊥BD、∵∠ABC＝60，F1D∥BE交BA于点F2，∴∠F2F1D＝∠ABC ＝60、∵BF1＝DF1，∠F1BD＝∠ABC＝30，∠F2DB＝90，∴∠F1DF2＝∠ABC＝60∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1＝DF2、∵BD＝CD，∠ABC＝60，点D是角平分线上一点，∴DBC＝∠DCB＝60＝30，∴∠CDF1＝180－∠B CD＝180－30＝150，∠CDF2＝360－150－60＝150，∴∠CDF1＝∠CDF2、在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2(SAS)，∴点F2也是所求的点、∵∠ABC＝60，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝60＝30、又∵BD＝4，∴BE＝4cos30＝2＝，∴BF1＝，BF2＝BF1＋F1F2＝＋＝、故BF的长为或、2、解：当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形；设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a，∴S△ABC＝a2，S正方形CEDF＝(a)2＝a2，即S△DEF＋S△CEF＝S△ABC；(1)上述结论成立；理由如下：连接CD，如解图①所示、∵AC＝BC，∠ACB＝90，D为AB中点，∴∠B＝45，∠DCE＝∠ACB＝45，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90∵∠EDF＝90，∴∠1＝∠2，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF(ASA)，∴S△DEF＋S△CEF＝S△ADE ＋S△BDF＝S△ABC；图①图②第2题解图(2)S△DEF－S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如解图②所示，同(1)得：△DEC≌△DFB，∠DCE＝∠DBF＝135，∴S△DEF＝S五边形DBFEC，S△CFE＋S△DBC，＝S△CFE＋S△ABC，∴S△DEF－S△CFE ＝S△ABC、∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是S△DEF－S△CEF＝S△ABC、3、解：(1)如解图①中，∵四边形ABCD、EFGC都是正方形，∴∠BCD＝∠ECG＝90、∵∠BCG＋∠BCD＋∠DCE＋∠ECG＝360，∴∠BCG＋∠ECD ＝180、图①图②图③第3题解图如解图①，过点E作EM⊥DC于点M，过点G作GN⊥BN交BN的延长线于点N，∴∠EMC＝∠N＝90、∵四边形ABCD和四边形ECGF均为正方形，∴∠BCD＝∠DCN＝∠ECG＝90，CB＝CD，CE＝CG，∴∠1＝90－∠2，∠3＝90－∠2，∴∠1＝∠GN、又∵S1＝CDEM，S2＝CBGN，∴S1＝S2；故答案为180，S1＝S2；(2)猜想：S1＝S2，证明：如解图②，过点E作EM⊥DC于点M，过点B作BN⊥GC交GC的延长线于点N，∴∠EMC＝∠N＝90、∵矩形CGFE由矩形ABCD旋转得到的，∴CE＝CB，CG＝CD，∵∠ECG＝∠ECN＝∠BCD＝90，∴∠1＝90－∠2，∠3＝90－∠2，∴∠1＝∠3、在△CME和△CNB中，，∴△CME≌△CNB(AAS)、∴EM＝BN、又∵S1＝CDEM，S2＝CGBN，∴S1＝S2; (3)如解图③，作DM⊥AC于M，延长BA，交EC于N，∵AB＝AC＝10 cm，∠B＝30，∴∠ACB＝∠ABC＝30，∴∠BAC＝120，根据翻折的性质，得∠ACE ＝∠ACB＝30，∵AD∥CE，∴∠DAC＝∠A CE＝30，∴∠BAD＝90，DM＝AD，∴BN⊥EC、∵AD＝tan∠ABDAB，AB＝10 cm，∴AD＝tan3010＝(cm)，∴DM＝＝(cm)、∵S△ABP＝ABPN，S△ADC＝ACDM，S△ABP ＝S△ADC，AB＝AC，∴PN＝DM＝、在Rt△ANC中，∠ACN＝30，AC ＝10 (cm)，∴NC＝cos∠ACNAC＝cos3010＝5(cm)、∵在EC上到N 的距离等于的点有两个，∴P′C＝ cm，P″C＝ cm、∴CP的长为cm或 cm、4、解：(1)PM＝PN，PM⊥PN，理由如下：如解图①，延长AE交BD于O，∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝BD，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC＋∠AEC＝90，∠AEC＝∠BEO，∴∠CBD＋∠BEO＝90，∴∠BOE＝90，即AE⊥BD，∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM＝BD，PN＝AE，∴PM ＝PN、∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC，∠EAC＋∠BDC＝90，∴∠MPA＋∠NPC＝90，∴∠MPN＝90，即PM⊥PN、图①图②第4题解图(2)△PMN为等腰直角三角形，理由如下：如解图②，设AE交BC于点O、∵△ACB和△ECD 是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90，∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD、又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD，∴∠BHO＝∠ACO＝90、∵点P，M，N分别为AD，AB，DE的中点，∴PM＝BD，PM∥BD，PN＝AE，PN∥AE，∴PM＝PN，∴∠MGE＋∠BHA＝180，∴∠MGE＝90，∴∠MPN＝90，∴PM⊥PN，即△PMN为等腰直角三角形、(3)由(2)可知△PMN是等腰直角三角形，PM＝BD，∴当BD的值最大时，PM的值最大，△PMN的面积最大，∴当B，C，D共线时，BD的最大值为BC＋CD＝6，∴PM＝PN＝3，∴△PMN面积的最大值为33＝、。

专题10类比、拓展探究题-备战2022年中考数学母题题源解密(全国通用)(解析版)

专题10 类比、拓展探究题考向1 图形旋转引起的探究【母题来源】2021年中考日照卷【母题题文】问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为．【试题解析】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOB＝∠AOF，∴∠DBA＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，故答案为：，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE＝∠DBF，又∵，∴△ABE∽△DBF，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOH＝∠AOB，∴∠ABD＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，∴BE，AD＝2，DB＝4，∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，∴EF＝1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB＝∠BEF＝90°，∴DE，∵∠DEA＝30°，∴DG DE，由（2）可得：，∴，∴AE，∴△ADE的面积AE×DG；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：△ADE的面积AE×DG；故答案为：或．【命题意图】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力。

中考数学之几何类比拓展探究题

专题之类比与探究题类比与探究题的主要考查类型有：几何图形的类比拓展探究；几何图形变换的类比拓展探究等．考查的知识点有：三角形的性质、平行四边形的性质、相似、全等、折叠性质、图形变换和勾股定理等．基本解题思路：审清题干中各种信息，分析和观察图形，学会分解和组合图形，明确图形中的变化信息，类比模仿、从特殊到一般的方法求解证明问题. 解决此类问题要注意灵活掌控、发散思维、以静制动，建立相应的数学模型．类比与探究题是河南省中考数学中的必考题，均在第22 题以解答题形式呈现，分值为10 分，设问数均3问．河南省中考对此问题的考查：2013年、2014年、2015 年、2016 年、2017年、2019年中考试题第22 题均以解答题的形式考查了几何图形变化的类比拓展探究.类型一静态几何图形的类比拓展探究这类问题通常是先给一特殊图形，通过观察、归纳特殊图形对应的线段或角的性质，然后再在一般图形中判断结论是否成立，最后利用总结结论解决更一般图形中的相关问题．解决这类题目的关键是掌握从特殊到一般的研究方法，再类比模仿探究．例 1 (2014·河南)(1) 问题发现如图1，△ ACB和△ DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. 填空：①∠ AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．(2) 拓展探究如图2，△ACB和△ DCE均为等腰直角三角形，∠ ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠ AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．(3) 解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝ 2 .若点P满足PD＝1，且∠ BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．练习1．(2017·郑州一模)如图，长方形ABCD中，P 是AD 上一动点，连接BP，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G.(1) 当AB＝AD，且P是AD 的中点时，求证：AG＝BP；(2)在(1)的条件下，求D B E E的值；(3)类比探究：若AB＝3AD，AD＝2AP，DEBE的值为(直接填答案)练习 2． (2017·许昌一模 )我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图 1，图 2，图 3 中，AF ，BE 是△ABC 的中线， AF ⊥BE ，垂足为 P ，像特例探索】归纳证明】(2) 请你观察(1)中的计算结果，猜想 a 2，b 2，c 2 三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图 3 证明你发现的关系式；拓展应用】(3) 如图，在 ?ABCD 中，点 E ，F ，G 分别是AD ，BC ，BE ⊥EG ，AD ＝2 5 ， AB ＝3，求 AF 的长△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形” ．设BC ＝a ， AC ＝b ，AB ＝c. (1)如图 1，当∠ ABE ＝ 45°， c ＝ 2 2时，如图 2，当∠ABE ＝30°，c ＝4 a ＝， b ＝；， b ＝；类型二动态几何图形变换的类比拓展探究这类问题通常是先给一特殊图形，通过观察、归纳特殊图形对应的线段或角的性质，然后通过图形变换改变图形位置，再判断结论是否成立，最后利用总结结论解决更一般图形变换后的相关问题．解决这类题目的关键是掌握从特殊到一般的研究方法，再类比模仿探究．例2 (2013·河南)如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC重合放置，其中∠ C＝90°，∠ B＝∠ E＝30°.(1) 操作发现如图2，固定△ ABC，使△ DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB 边上时，填空：①线段DE 与AC 的位置关系是；②设△ BDC的面积为S1，△ AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．(2) 猜想论证当△ DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△ BDC和△ AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．(3) 拓展探究已知∠ ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥ AB交BC于点E(如图4)．若在射线BA 上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．练习3 .(2017·河南)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N 分别为DE，DC，BC的中点．(1) 观察猜想图①中，线段PM与PN的数量关系是 ________ ，位置关系是__________ ；(2) 探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3) 拓展延伸把△ ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△ PMN面积的最大值．练习 4. (2017·濮阳模拟)(1)【问题发现】如图①，在Rt△ ABC中，AB＝AC＝2，∠ BAC＝90°，点 D 为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点 A 重合，则线段BE与AF的数量关系为_____ ；(2)【拓展研究】在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点 C 旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图②的情形给出证明；(3)【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长.练习 5.(2017·郴州)如图①，△ ABC是边长为 4 cm的等边三角形，边AB在射线OM 上，且OA＝6 cm，点D从O点出发，沿OM 的方向以 1 cm/s 的速度运动，当D不与点A重合时，将△ ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△ BCE，连接DE.(1) 求证：△ CDE是等边三角形；(2) 如图② ，当6<t<10 时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3) 如图③ ，当点D在射线OM 上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．。

中考复习数学--类比探究专题

类比探究专题1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________；（2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想；（3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．（1）操作：如图1，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形．（不写画法）根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（2）探究一：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）探究二：如图3，DE ，BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE :EC =1:2，∠BAE =∠EDF ，CF ∥AB ．若AB =5，CF =1，求DF 的长度．PEDA BC 图1PEDABC图2图1M NQ PO图2F EDC B AAB C D E F图32.特殊：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为_________________；②线段BC，DE的位置关系为_________________．一般：（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD，AE．若AB=4，当△ADM 与△AFD全等时，请直接写出DE的值．M F ED CB A图1EMDCBA图2MFEDC BA图33. 已知△ABC 中，CA =CB ，0°＜∠ACB ≤90°．点M ，N 分别在边CA ，CB 上（不与端点重合），BN =AM ，射线AG ∥BC 交BM 延长线于点D ，点E 在直线AN 上，EA =ED ．（1）【观察猜想】如图1，点E 在射线NA 上，当∠ACB =45°时， ①线段BM 与AN 的数量关系是_________； ②∠BDE 的度数是____________．（2）【探究证明】如图2，点E 在射线AN 上，当∠ACB =30°时，判断并证明线段BM 与AN 的数量关系，求∠BDE 的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E 在直线AN 上，当∠ACB =60°时，AB =3，点N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长．图1A B CD ENMG图2AB CD MN EG 图3A BCG4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m=n，点E在线段AC上，则DEDF=__________．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF=__________（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．FEDC BA图1图2ABCDEFDB FECA图3DC BA备用图5. （1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠EFC =90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为__________；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB =AC =2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时，直接写出线段AF 的长．（1）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 的中点，以点D 为顶点作正方形DFGE ，使点A ，C 分别在DE 和DF 上，连接BE ，AF ，则线段BE 和AF 数量关系是________．（2）类比探究：如图2，保持△ABC 固定不动，将正方形DFGE 绕点D 旋转α（0＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC =DF =2，在（2）的旋转过程中，连接AE ，请直接写出AE 的最大值．F图1CBA (E )EABC图2F备用图CBA图1A BC DEF G图2GFED CB A 备用图A BC DEFG6.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是__________，CE与AD的位置关系是__________．（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明）．（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=BE= ADPE的面积．（直接写出结果）P EDCBA图1图2ABCDEPPEDCBA图3图4ABCDEP7. （1）操作发现如图1，AD 是等边三角形ABC 的角平分线，请你按下列要求画图：过点A 作AM ⊥AB ，过点C 作CN ∥AB ，AM 与CN 相交于点E ．则AD 与AE 的数量关系是________，∠EAC =________°．（2）问题探究将图1中的△AEC 绕点A 逆时针旋转，点C 落在点F 的位置，连接EC ，DF ，如图2所示，请你探究DF 与EC 的数量关系并说明理由．（3）拓展延伸若（2）中等边△ABC 的边长为2，当F A ⊥AC 时，请直接写出DF 2的值．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =AB =4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）问题发现如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于__________，线段CE 1的长等于__________．（2）探究证明如图2，当α=135°时，求证：BD 1=CE 1，且BD 1⊥CE 1．（3）问题解决求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）图1AB CD图2EFDCBA备用图CBAE1(D1)ABCDE PEDCBAD1E1图2图18. 如图1，在正方形ABCD 和正方形AB′C′D′中，AB =2，AB′=，连接CC′．（1）问题发现：CC BB'='__________；（2）拓展探究：将正方形AB′C′D′绕点A 逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB′，试判断：当0°≤θ＜360°时，CC BB ''的值有无变化？请仅就图2中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C ，C′，D′三点共线时BB′的长．问题发现：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边AB 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E ，则线段BD 与CE 的数量关系为___________；拓展探究：如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明；问题解决：如果△ABC的边长等于AD =2，直接写出当△ADE 旋转到DE 与AC 所在的直线垂直时BD 的长．D′C′B′ABCD 图1图2DCBA B′C′D′A BCD备用图图1EDCBA 图2ABCDE备用图E D A9. 如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断AGBE的值为_______．（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG =6，GH=BC =________．GFDC BAE图1ABCD EFG图2H GF EDCBA 图310. （1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A =1，PB，PC =2．求∠BPC 的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP′C ，连接PP′，则PP′的长为__________；在△P AP′中，易证∠P AP′=90°，且∠PP′A 的度数为__________，综上可得∠BPC 的度数为__________．（2）类比迁移如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB =90°，P A =2，PB，PC =1．求∠APC 的度数．（3）拓展应用如图3，在四边形ABCD 中，BC =3，CD =5，AB =AC =12AD ，∠BAC =2∠ADC ，请直接写出BD 的长．P′ABCP图1图2P CBAD图3C BA11. 如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，以点O 为顶点的∠EOF 的两边分别与边AB ，AD 交于点E ，F ，且∠EOF 与∠BAD 互补．（1）观察猜想若四边形ABCD 是正方形，则线段OE 与OF 有何数量关系？请直接写出结论．（2）延伸探究若四边形ABCD 是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展证明若AB :AD =m :n ，探索线段OE 与OF 的数量关系，并证明你的结论．（1）阅读理解：如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAD 的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证△AEB ≌△FEC ，得到AB =FC ，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系为_____________；（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图3，AB ∥CF ，AE 与BC 交于点E ，BE :EC =2:3，点D 在线段AE 上，且∠EDF =∠BAE ，试判断AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．A BCDOEFABCD EF图1ABCDE F图2A BCDE F图312. 如图1，菱形ABCD 与菱形GECF 的顶点C 重合，点G 在对角线AC 上，且∠BCD =∠ECF =60°．（1）问题发现： AGBE的值为__________．（2）探究与证明：将菱形GECF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）拓展与运用：菱形GECF 在旋转过程中，当点A ，G ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，连接CG 并延长，交AD 于点H ，若CE =2，GHAH 的长为__________．已知∠AOB =90°，点C 是∠AOB 的角平分线OP 上的任意一点，现有一个直角∠MCN 绕点C 旋转，两直角边CM ，CN 分别与直线OA ，OB 相交于点D ，点E ．（1）如图1，若CD ⊥OA ，猜想线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，若点D 在射线OA 上，且CD 与OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并加以证明．图1AB CDEFGG FE DCB A图2H图3AB CD E FG（3）如图3，若点D 在射线OA 的反向延长线上，且OD =2，OE =8，请直接写出线段CE 的长度．图1OABC D EMPN N PMED CBAO图2图3O ABCD E MPN13.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．（1）问题发现在图1中，CEBG__________．（2）拓展探究将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，CEBG的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当矩形DFGE 旋转至B ，G ，E 三点共线时，请直接写出线段CE 的长．GFED CBA 图1图2ABCDEFG备用图ABCD14. 四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD 等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，则AC 与BD 的位置关系是__________，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD 的两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC =4，AB =5，求GE 的长．观察猜想（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是_________，BE +BF =_________；探究证明（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使AD =1，其余条件不变，如图2，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE +BF 的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸ABCD图1图2DCB AABCDEFG图3（3）如图3，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点D 在边BA 的延长线上，BD =n ，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转，旋转角∠EDF =α，连接BF ，则BE +BF 的值是多少？请用含有n ，α的式子直接写出结论．图1A (D )B CE FD FE C B A 图2图3A C D E F。

2020年中考数学一轮复习题型09几何类比、拓展、探究题(原卷版)

题型09 几何类比、拓展、探究题一、解答题1．如图1，ABC ∆（12AC BC AC <<）绕点C 顺时针旋转得DEC ∆，射线AB 交射线DE 于点F ．（1）AFD ∠与BCE ∠的关系是；（2）如图2，当旋转角为60°时，点D ，点B 与线段AC 的中点O 恰好在同一直线上，延长DO 至点G ，使OG OD =，连接GC ．①AFD ∠与GCD ∠的关系是，请说明理由；②如图3，连接,AE BE ，若45ACB ∠=o ，4CE =，求线段AE 的长度．2．（问题）如图1，在Rt ABC V 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，过点C 作直线l 平行于AB ．90EDF ∠=︒，点D 在直线l 上移动，角的一边DE 始终经过点B ，另一边DF 与AC 交于点P ，研究DP 和DB 的数量关系．（探究发现）（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P 与点C 重合时，通过推理就可以得到DP DB =，请写出证明过程；（数学思考）（2）如图3，若点P 是AC 上的任意一点（不含端点A C 、），受（1）的启发，这个小组过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ，就可以证明DP DB =，请完成证明过程；（拓展引申）（3）如图4，在（1）的条件下，M 是AB 边上任意一点（不含端点A B 、），N 是射线BD 上一点，且AM BN =，连接MN 与BC 交于点Q ，这个数学兴趣小组经过多次取M 点反复进行实验，发现点M 在某一位置时BQ 的值最大．若4AC BC ==，请你直接写出BQ 的最大值．3．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．(1)温故：如图 1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=6 ，AD=4，求正方形PQMN的边长．(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′,M′在BC边上，N′在△ABC内，连结B N′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．(3)推理：证明图2 中的四边形PQMN是正方形．(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线B N上截取NE=NM，连结EQ，EM(如图 3)．当tan∠NBM=34时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．4．问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为 1 的小正方形，其中a≥2 ，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2× 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4 种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2 个位置不同的2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2 ×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a ×2 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a ×3 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4 个棱长为1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2 ，b≥2 ，c≥2 ，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体．5．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ,（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=;6．如图，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且2AB BC =，取EF 的中点M ，连接MD ，MG ，MB ．（1）试证明DM MG ⊥，并求MBMG的值．（2）如图，将如图中的正方形变为菱形，设()2090EAB αα∠=<<︒，其它条件不变，问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．7．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：()1如图1，点A B C ，，在O e 上，ABC ∠的平分线交O e 于点D ，连接AD CD ，．求证：四边形ABCD 是等补四边形；探究：()2如图2，在等补四边形ABCD 中AB AD ，＝，连接AC AC ，是否平分?BCD ∠请说明理由．运用：()3如图3，在等补四边形ABCD 中，AB AD ＝，其外角EAD ∠的平分线交CD 的延长线于点105F CD AF ，＝，＝，求DF 的长．8．已知V ABC 内接于O e ，BAC ∠的平分线交O e 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图①，当120BAC ∠=o 时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式：；（2）如图②，当90BAC ∠=o 时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC =5，BD =4，求ADAB AC+ 的值．9．如图，在ABC ∆中，AB BC =，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 与BE 交于点F ，BH AB ⊥于点B ，点M 是BC 的中点，连接FM 并延长交BH 于点H ．（1）如图①所示，若30ABC ∠=o ，求证：DF BH +=；（2）如图②所示，若45ABC ∠=o ，如图③所示，若60ABC ∠=o （点M 与点D 重合），猜想线段DF 、BH 与BD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．10．将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC与S△ADC的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）11．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC BD ⊥．试证明：2222AB CD AD BC +=+；(3)解决问题：如图3，分别以Rt ACB V 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．已知4AC =，5AB =，求GE 的长．12．（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．13．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BA 延长线上的一点，连接PC 交AD 于点F ，AP FD =．（1）求AFAP的值；（2）如图1，连接EC ，在线段EC 上取一点M ，使EM EB =，连接MF ，求证：MF PF =；（3）如图2，过点E 作EN CD ⊥于点N ，在线段EN 上取一点Q ，使AQ AP =，连接BQ ，BN ．将AQB ∆绕点A 旋转，使点Q 旋转后的对应点'Q 落在边AD 上．请判断点B 旋转后的对应点'B 是否落在线段BN 上，并说明理由．14．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，ABn BC=，M 是BC 上一点，连接AM （1）如图1，若1n =，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM BN =（2）过点B 作BP AM ⊥，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q . ①如图2，若1n =，求证：CP BMPQ BQ=②如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan BPQ ∠的值（用含n 的式子表示）15．⑴如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD DE 、，将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G . ①线段DB 和DG 的数量关系是； ②写出线段BE BF 、和DB 之间的数量关系.⑵当四边形ABCD 为菱形，ADC 60∠=o ，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD DE 、，将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2，点E 在线段上时，请探究线段BE BF 、和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ；若 BE 1,AB 2==,直接写出线段GM 的长度.16．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==，证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD Y 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ．（1）如图②，若ABCD Y 为正方形，且6AB =，则OF 的长为．（2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD Y 的面积为．17．如图1，在矩形ABCD 中，BC =3，动点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC 方向移动，作PAB ∆关于直线PA 的对称'PAB ∆，设点P 的运动时间为()t s（1）若AB =①如图2，当点B ’落在AC 上时，显然△PCB ’是直角三角形，求此时t 的值②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB ’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t 的值？若不存在，请说明理由（2）当P 点不与C 点重合时，若直线PB ’与直线CD 相交于点M ，且当t ＜3时存在某一时刻有结论∠P AM =45°成立，试探究：对于t ＞3的任意时刻，结论∠P AM =45°是否总是成立？请说明理由.18．在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，作CM AB ⊥交AB 于点M ，BN AC ⊥交AC 于点N ．（1）在图1中，求证：BMC CNB ∆≅∆；（2）在图2中的线段CB 上取一动点P ，过P 作//PE AB 交CM 于点E ，作//PF AC 交BN 于点F ，求证：PE PF BM +=；（3）在图3中动点P 在线段CB 的延长线上，类似（2）过P 作//PE AB 交CM 的延长线于点E ，作//PF AC 交NB 的延长线于点F ，求证：···AM PF OM BN AM PE +=．19．问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD 沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝52，请直接写出FH的长．20．箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO 交AB 于点D ，则1BOC B A C B ∠∠+∠∠+∠+∠＝＝．．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“BOC A B C ∠∠+∠+∠＝”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用:（1）直接应用：①如图2，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．②如图3，ABE ACE ∠∠、的2等分线（即角平分线）BF CF 、交于点F ，已知12050BEC BAC ∠=∠=o o ，，则BFC ∠=③如图4，i i BO CO 、分别为ABO ACO ∠∠、的2019等分线12320172018i =⋯（，，，，，）．它们的交点从上到下依次为1232018O O O O ⋯、、、、．已知BOC m BAC n ∠=∠=o o ，，则1000BO C ∠= 度（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，2BC CD BCD BAD =∠=∠，．O 是四边形ABCD 内一点，且OA OB OD ==．求证：四边形OBCD 是菱形．21．如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当0α︒=时，AEBD= ；② 当时，AEBD= （2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEDB的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.22．操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.(1)如图1，求证：BE＝BF；(2)特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3)类比探究：若DE＝a，CF＝b.①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)23．如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，.CD）24．（1）（探究发现）如图1，EOF ∠的顶点O 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，90EOF ︒∠=，将EOF ∠绕点O 旋转，旋转过程中，EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．则,,CE CF BC 之间满足的数量关系是．（2）（类比应用）如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“120BCD ∠=o 的菱形ABCD ”，其他条件不变，当60EOF ∠=o 时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．（3）（拓展延伸）如图3，120BOD =o ∠，34OD =，4OB =，OA 平分BOD ∠，AB =且2OB OA >，点C 是OB 上一点，60CAD ∠=o ，求OC 的长．25．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①条边成比例的两个凸四边形相似；（命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题） ③两个大小不同的正方形相似．（命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，111111AB BC CDA B B C C D ==，求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFDE 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．26．在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F .（1）如图1，当EF ∥BC 时，求证：1BE CFAE AF+=；（2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.27．如图，在等腰Rt ABC V 中，90,ACB AB ∠==o 点D ,E 分别在边AB ,BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90º得到EF ．（1）如图1，若AD BD =，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ．求证：2BD DO =．（2）已知点G 为AF 的中点．①如图2，若,2AD BD CE ==，求DG 的长．②若6AD BD =，是否存在点E ，使得DEG △是直角三角形？若存在，求CE 的长；若不存在，试说明理由．28．(1)方法选择如图①，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==．求证：BD AD CD =+. 小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM …小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =…请你选择一种方法证明．(2)类比探究（探究1）如图②，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，BC 是O e 的直径，AB AC =．试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．（探究2）如图③，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O e 的直径，30ABC ∠=︒，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．(3)拓展猜想如图④，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O e 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．29．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．①求证：DQ AE =； ②推断：GF AE的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，BC k AB =（k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE CP 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当23k =时，若3tan 4CGP ∠=，GF =CP 的长．30．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α︒=时，BD CP 的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BD CP 的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP的值．。

中考数学类比探究型几何综合题专题训练(含答案与解析)

中考数学类比探究型几何综合题专题训练【类型1】通过位置变化（图形变换）进行类比探究〖例1〗已知：如图，等边△AOB的边长为4，点C为OA中点．（1）如图1，将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为α（0°＜α≤360°）．则此时α＝；此时△COD是三角形（填特殊三角形的名称）．（2）如图2，固定等边△AOB不动，将（1）中得到的△OCD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，设旋转角为β（0°＜β≤360°）．①求证：AC＝BD；②当旋转角β为何值时，OC∥AB，并说明理由；③当A、C、D三点共线时，直接写出线段BD的长．〖例2〗现有与菱形有关的三幅图，如图：（1）（感知）如图①，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连结AE、EF、AF．若AC＝2，则CE+CF的长为．（2）（探究）如图②，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连结EF．若BC＝2，求CE+CF的长．（3）（应用）在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC延长线上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD延长线于点F，连结EF．若BC＝2，EF⊥BC时，借助图③求△AEF的周长．〖尝试练习〗1．如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB＝2√2，BD＝2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，如图2，直线AD、CE相交于点P．（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．2．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）探究猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：；（2）深入思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2√2，CD ＝14BC，请求出OC的长．3．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，且正方形AEFG的边AE，AG分别在正方形ABCD的边AB，AD上，显然BE＝DG，BE⊥DG．（1）将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置．求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；（2）如图3，若点D，G，E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，求BE的长．【类型2】通过形状变化进行类比探究〖例3〗如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到AE，连接DE，CE．（1）求证：CE＝BD；（2）若α＝60°，其他条件不变，如图2．请猜测线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）若α＝90°，其他条件不变，如图3，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．〖例4〗如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC ＝PE，PF交CD于点F．（1）求证：∠PCD＝∠PED；（2）连接EC，求证：EC＝√2AP；（3）如图2，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB＝60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系．〖尝试练习〗4．已知菱形ABCD和菱形DEFG有公共的顶点D，C点在DE上，且∠ADC＝∠EDG，连接AE，CG，如图1．（1）试猜想AE与CG有怎样的数量关系（直接写出关系，不用证明）；（2）将菱形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果∠ADC＝∠EDG＝90°，如图3，你认为AE和CG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．5．已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝√3，BC＝√6，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2√3，当△AED是直角三角形时，求BC的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF 为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．【自主反馈】7．如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD＝AE，AD与CE交于点F．（1）求∠DFC的度数；（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．①补全图形（图2中完成）；②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．8．已知△ABC是等腰三角形．（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD ≌△ACE；（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．①求∠AED的度数；②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；（2）如图2，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：DF＝BE；（3）如图3，点B、C的坐标分别是（0，0），（0，2），点Q是线段AC上的一个动点，点M 是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得△CQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图②，B'E与AC交于点F，DB'∥BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；②连接B'C，则△B'FC的形状为；（3）如图③，则△CEF的周长为．11．已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．12．（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求CG的长．（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．13．我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．重温定理，识别图形（1）如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE＝12DF，又可证图中的四边形为平行四边形，可得BC与DF的关系是，于是推导出了“DE∥BC，DE＝12BC”．寻找图形，完成证明（2）如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH．求证CF＝√2BE．构造图形，解决问题（3）如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF．直接写出CF与BE的数量关系．类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）答案与解析〖例1〗解：（1）如图1，∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∠AOB＝60°，∵将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°＝α，∴△COD是等边三角形，答案为：60°，等边；（2）①∵△COD是等边三角形，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②如图2，当点C在点O的上方时，若OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝60°＝β，如图2﹣1，当点C在点O的下方时，若OC∥AB，∴∠ABO＝∠BOC＝60°，∴β＝360°﹣60°﹣60＝240°，综上所述：β＝60°或240°；③如图3，当点D在线段AC上时，过点O作OE⊥AC于E，∵等边△AOB的边长为4，点C为OA 中点，∴AO＝AB＝OB＝4，OC＝OD＝CD＝2，∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∵OE⊥CD，OC＝OD，∴CE＝DE＝1，∴OE＝√OC2−CE2＝√3，∴AE＝√OA2−OE2＝√13，∴AC＝AE+CE＝1+√13＝BD；如图4，当点C在线段AD上时，过点O作OF⊥AD于F，同理可求DF＝CF＝1，AF＝√13，∴AC＝BD＝√13﹣1，综上所述：BD＝√13+1或√13﹣1．〖例2〗解：（1）感知：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB＝2，∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴CE＝12BC，CF＝12CD＝1，∴CE+CF＝2．故答案为：2．（2）探究：如图，连结AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴CE+CF＝BC＝2．（3）应用：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠CAD＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠CAD﹣∠DAE＝∠EAF ﹣∠DAE．∴∠CAE＝∠DAF．∵∠ACE＝∠ADF，AC＝AD∴△ACE≌△ADF（ASA）．∴CE＝DF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF为等边三角形，∵EF⊥BC，∠ECF＝60°，∴CF＝2CE，∵CD＝BC＝2，∴CE＝2，∴EF=√CF2−CE2=2√3，∴△AEF的周长为6√3．〖尝试练习〗1．解：（1）AD＝CE，理由：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ， ∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD ＝CE ；（2）如图2，过点B 作BH ⊥AD 于H ，在Rt △BHD 中，BD ＞BH ，∴当点D ，H 重合时，BD ＝BH ，∴BH ≤BD ，∴当BD ⊥AD 时，点B 到直线AD 的距离最大，∴∠EDP ＝90°﹣∠BDE ＝30°，同（1）的方法得，△ABD ≌△CBE （SAS ），∴∠BEC ＝∠BDA ＝90°，EC ＝AD ，在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝2√2，根据勾股定理得，AD ＝√AB 2−BD 2＝2， ∴CE ＝2，∵∠BEC ＝90°，∠BED ＝60°， ∴∠DEP ＝90°﹣60°＝30°＝∠EDP ， ∴DP ＝EP ，如图2﹣1，过点P 作PQ ⊥DE 于Q ， ∴EQ ＝12DE ＝1，在Rt △EQP 中，∠PEQ ＝30°， ∴EP ＝EQ cos∠DEP ＝2√33，∴PC ＝2−2√33；（3）①当点D 在AE 上时，如图3，∴∠ADB ＝180°﹣∠BDE ＝120°，∴∠BDE ＝60°，过点B 作BF ⊥AE 于F ，在Rt △BDF 中，∠DBF ＝30°，BD ＝2， ∴DF ＝1，BF ＝√3，在Rt △ABF 中，根据勾股定理得，AF ＝√AB 2−BF 2＝√5，AD ＝AF ﹣DF ＝√5﹣1，∴CE ＝AD ＝√5﹣1； ②当点D 在AE 的延长线上时，如图4，同①的方法得，AF ＝√5，DF ＝1，∴AD ＝AF +DF ＝√5+1，∴CE ＝AD ＝√5+1，即满足条件的CE 的长为√5+1和√5﹣1． 2．解：（1）①正方形ADEF 中，AD ＝AF ， ∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ACB +∠ACF ═45°+45°＝90°，即BC ⊥CF ；②△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD +CD ， ∴BC ＝CF +CD ；故答案为：BC ＝CF +CD ；（2）CF ⊥BC 成立；BC ＝CD +CF 不成立，CD ＝CF +BC ．理由如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ， ∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACF ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°．∴∠ABD ＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF ﹣∠ACB ＝135°﹣45°＝90°，∴CF ⊥BC ． ∵CD ＝DB +BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF +BC ．（3）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2√2， ∴BC ＝4，∴CD ＝14BC ＝1，∴BD ＝5，由（2）同理可证得△DAB ≌△FAC ，∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴OD ＝OF ，∵∠DCF ＝90°， ∴DF ＝√CD 2+CF 2＝√26，∴OC ＝√262．3．证明：（1）如图2，延长DG交BE于H，∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠C+∠CBA+∠ABE+∠BHD+∠CDH＝360°，∴90°+90°+∠ADG+∠CDH+∠BHD＝360°，∴∠BHD＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图3，连接BD，∵正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，∴BD＝√2AD＝8，GE＝√2AE＝6，∵BD2＝DE2+BE2，∴64＝（6+BE）2+BE2，∴BE＝√23﹣3．〖例3〗证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转α，∴AD＝AE，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE；（2）AC＝CD+CE，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，由（1）可知：BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴AC＝CD+CE；（3）∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△BAD≌△CAE∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴CE2+CD2＝DE2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE2＝2AD2，∴CE2+CD2＝2AD2，∴BD2+CD2＝2AD2．〖例4〗（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，又∵PD=PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，AP＝CP，∵PC＝PE，∴AP＝PE，∴∠PAD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，由（1）知，∠PCD＝∠PED，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠CFP﹣∠PCD＝180°﹣∠EFD﹣∠PED，即∠CPF＝∠EDF＝90°，∵PC＝PE，∴△CPE是等腰直角三角形，∴EC＝√2CP，由（1）知，AP＝CP，∴EC＝√2AP；（3）解：AP＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP ＝60°，∠BAD＝∠BCD，∠EDC＝∠DAB＝60°，又∵PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PC＝PE，∴PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠CFP﹣∠PCF＝180°﹣∠EFD﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝EC，∴EC＝AP，〖尝试练习〗4．解：（1）AE＝CG，理由如下：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是菱形，∴DA＝DC，DE＝DG，又∵∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（2）成立，理由如下：∵∠ADC＝∠EDG，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，即∠ADE＝∠CDG，又∵DA＝DC，DE＝DG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（3）AE ⊥CG ，理由如下：延长线段AE 、GC 交于点H ，∵AD ∥BC ，∴∠CEH ＝∠DAE ，由（2）可知，△DAE ≌△DCG ，∴∠DAE ＝∠DCG ，∴∠CEH ＝∠DCG ，∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠ECH +∠DCG ＝90°，∴∠ECH +∠CEH ＝90°，∴∠CHE ＝90°，∴AE ⊥CG ． 5．（1）证明：由折叠的性质得：△ABC ≌△△ AEC ，∴∠ACB ＝∠ACE ，BC ＝EC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ．∴EC ＝AD ，∠ACB ＝∠CAD ，∴∠ACE ＝∠CAD ，∴OA ＝OC ，∴OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ，∵∠AOC ＝∠DOE ，∴∠CAD ＝∠ACE ＝∠OED ＝∠ODE ，∴AC ∥DE ；（2）解：∵平行四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠CDO ＝90°，CD ＝AB ＝√3，AD ＝BC ＝√6，由（1）得：OA ＝OC ，设OA ＝OC ＝x ，则OD ＝√6﹣x ，在Rt △OCD 中，由勾股定理得：（√3）2+（√6﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝3√64，∴OA ＝3√64，∴△OAC 的面积＝12OA ×CD ＝12×3√64×√3＝9√28；（3）解：分两种情况：①如图3，当∠EAD ＝90°时，延长EA 交BC 于G ，∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ， ∵AD ∥BC ，∠EAD ＝90°，∴∠EGC ＝90°， ∵∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴∠AEC ＝30°， ∴GC ＝12EC ＝12BC ，∴G 是BC 的中点，在Rt △ABG中，BG ＝√32AB ＝3，∴BC ＝2BG ＝6；②如图4，当∠AED ＝90°时∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ，由折叠的性质得：AE ＝AB ，∴AE ＝CD ，又∵AC=AC ，∴△ACE ≌△CAD （SSS ）， ∴∠ECA ＝∠DAC ，∴OA ＝OC ，∴OE ＝OD ， ∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AED ＝∠CDE ， ∵∠AED ＝90°，∴∠CDE ＝90°，∴AE ∥CD ，又∵AB ∥CD ，∴B ，A ，E 在同一直线上， ∴∠BAC ＝∠EAC ＝90°， ∵Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝2√3， ∴AC ＝√33AB ＝2，BC ＝2AC ＝4；综上所述，当△AED 是直角三角形时，BC 的长为4或6．6．证明：（1）∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠CFE ，∴∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝CF ，又∵四边形ECFG 是平行四边形， ∴四边形ECFG 为菱形；（2）△BDG 是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AD ∥BC ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∠BCF ＝120°，由（1）知，四边形CEGF 是菱形，∴CE ＝GE ，∠BCG ＝12∠BCF ＝60°， ∴CG ＝GE ＝CE ，∠DCG ＝120°，∵EG ∥DF ， ∴∠BEG ＝120°＝∠DCG ，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，∵AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD ，∴△BEG ≌△DCG （SAS ），∴BG ＝DG ，∠BGE ＝∠DGC ，∴∠BGD ＝∠CGE ，∵CG ＝GE ＝CE ，∴△CEG 是等边三角形， ∴∠CGE ＝60°，∴∠BGD ＝60°，∵BG ＝DG ， ∴△BDG 是等边三角形；（3）如图2中，连接BM ，MC ，∵∠ABC ＝90°，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝√AB2+AD2＝26，∴DM＝√22BD＝13√2．【自主反馈】7．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，又∵BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，∵∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠ACE+∠DAC＝60°；（2）①根据题意补全图形如图2所示：②线段BE与CQ的数量关系为：CQ＝12BE；理由如下：∵CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，∴CE＝CP，∠ECP＝120°，∵∠DFC＝60°，∴AD∥CP，∴∠ADC＝∠DCP，∵△ABD≌△CAE，∴CE＝AD，∴AD＝CP，∴△ADQ≌△PCQ（AAS），∴CQ＝DQ＝12CD，∵AB＝BC，BD＝AE，∴BE＝CD，∴CQ＝12BE．8．解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，∴∠D＝12（180°﹣∠BAD）＝15°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝30°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；②BD＝2CE+√2AE；证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CE，过点A作AF⊥AE交DE于F，∴∠EAF＝90°，由旋转知，∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAF，由①知，∠AED＝45°，∴∠AFE＝45°＝∠AEF，∴AE＝AF，∴EF＝√2AE，∵AC＝AD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴DF＝CE，∴BD＝BE+EF+DF＝CE+√2AE+CE ＝2CE+√2AE．9．解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°﹣30°）＝75°，∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；（2）连接BF，∵点F是边AC中点，∴BF＝AF＝12AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12AC，∴∠FBA＝∠BAC＝30°，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB ＝DE ，∠DEA ＝∠ABC ＝90°， ∴DE ＝BF ，延长BF 交AE 于点G ，则∠BGE ＝∠GBA +∠BAG ＝90°， ∴∠BGE ＝∠DEA ，∴BF ∥ED ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DF ＝BE ；（3）∵点B 、C 的坐标分别是（0，0），（0，2）， ∴BC ＝2，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝4，AB ＝2√3，若∠QMA ＝90°，CQ ＝MQ 时，如图3，设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°，∴AQ ＝2x ，AM ＝√3x ， ∴AC ＝x +2x ＝3x ＝4，∴x ＝43，∴AM ＝43√3，∴BM ＝AB ﹣AM ＝2√3﹣4√33＝2√33，∴点M （2√33，0）；若∠AQM ＝90°，CQ ＝QM 时，如图4，设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°， ∴AQ ＝√3x ，AM ＝2x ， ∴AC ＝x +√3x ＝4，∴x ＝2√3﹣2，∴AM ＝4√3﹣4， ∴BM ＝2√3﹣（4√3﹣4）＝4﹣2√3， ∴点M （4﹣2√3，0）；综上所述：M （2√33，0）或（4﹣2√3，0）．10．（1）解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴CD ＝12AB ＝5（2）①证明：由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，B 'E ＝BE ，∠B 'DE ＝∠BDE ，∵DB '∥BC ，∴∠B 'DE ＝∠BED ，∴∠BDE ＝∠BED ，∴BD ＝BE ，∴B 'D ＝BE ，∴四边形BDB 'E 是平行四边形，又∵B 'D ＝BD ，∴四边形BDB 'E 为菱形；②解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝BD ，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵DB '∥BC ，∴DB '⊥AC ，∴∠ACB '＝90°﹣∠DB 'C ，由①得：四边形BDB 'E 为菱形， ∴AB ∥B 'E ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥B 'E ， ∴∠EB 'C ＝90°﹣∠DCB '，∴∠ACB '＝∠EB 'C ， ∴FB '＝FC ，即△B 'FC 为等腰三角形；（3）解：连接B 'C ，如图③所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴BC ＝√22AB ＝5√2，∠B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，∠ACD ＝12∠ACB ＝45°，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∠B '＝∠B ＝45°， ∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∴∠FCB '＝∠FB 'C ，∴CF ＝B 'F ，∴△CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝5√2； 11．解：（1）BH ⊥HE ，BH ＝HE ；理由如下：延长EH 交AB 于M ，如图1所示： ∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AB ∥CD ∥EF ，AB ＝BC ，CE ＝FE ，∠ABC ＝90°，∴∠AMH ＝∠FEH ，∵H 是AF 的中点，∴AH ＝FH ，∴△AMH ≌△FEH （AAS ）， ∴AM ＝FE ＝CE ，MH ＝EH ，∴BM ＝BE ，∵∠ABC＝90°，∴BH⊥HE，BH＝12ME＝HE；（2）结论仍然成立．BH⊥HE，BH＝HE．理由如下：延长EH交BA的延长线于点M，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ABE＝∠BEF＝90°，AB＝BC，AB∥CD∥EF，CE＝FE，∴∠HAM＝∠HFE，∴△AHM≌△FHE（ASA），∴HM＝HE，AM＝EF＝CE，∴BM＝BE，∵∠ABE＝90°，∴BH⊥EH，BH＝12EM＝EH；（3）延长EH到M，使得MH＝EH，连接AH、BH，如图3所示：同（2）得：△AMH≌△FEH（SAS），∴AM＝FE＝CE，∠MAH＝∠EFH，∴AM∥BF，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM+∠CBE＝90°，∵∠BCE+∠CBE＝90°∴∠BAM＝∠BCE，∴△ABM≌△CBE（SAS），∴BM＝BE，∠ABM＝∠CBE，∴∠MBE＝∠ABC＝90°，∵MH＝EH，∴BH⊥EH，BH＝12EM＝MH ＝EH，在Rt△CBE中，BE＝√CB2−CE2＝12，∵BH＝EH，BH⊥EH，∴BH＝√22BE＝6√2．12．解：（1）GF＝GC．理由如下：如图1，连接GE，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∴EF＝EC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠B＝90°，∴∠EFG＝90°，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF＝GC；（2）设GC＝x，则AG＝4+x，DG＝4﹣x，在Rt△ADG中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得x＝94．∴GC＝94；（3）（1）中的结论仍然成立．证明：如图2，连接FC，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，∴EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，∵矩形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D，∴∠ECD＝∠EFG，∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF，∴∠GFC＝∠GCF，∴FG＝CG；即（1）中的结论仍然成立．13．解：（1）∵AE＝CE，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF＝BC，DF∥BC，（2）证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠ABE+∠CBE＝90°∵△BEH是等腰直角三角形，∴EH＝2BE＝2BH，∠BEH＝∠BHE＝45°，∠EBH＝90°，即∠CBH+∠CBE＝90°∴∠ABE＝∠CBH，∴△ABE≌△CBH（SAS），∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB，∴∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠CHB﹣45°＝∠AEB﹣45°，∵四边形AEFG是正方形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴EF＝HC，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝225°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝∠AEB﹣45°+225°﹣∠AEB＝180°，∴EF∥HC且EF＝HC，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH＝√2BE；（3）CF＝√3BE，如图，过点B作BH，使∠EBH＝120°，且BH＝BE，连接EH、CH，则∠BHE＝∠BEH＝30°，∵∠ABC＝∠EBH＝120°，∴∠ABE＝∠CBH，∵AB＝BC，BE＝BH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，∵∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠AEB﹣30°，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝210°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝180°，∴CH∥EF且CH＝EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH，过B作BN⊥EH于N，在△EBH中，∠EBH＝120°，BH＝BE，∴∠BEN＝30°，EH＝2EN，BE，∴EN＝√32∴EH＝√3BE，∴CF＝EH＝√3BE．。

中考数学类比拓展探究题 (2)

河南中考数学类比拓展探究题第1页河南中考数学类比拓展探究题1. 在正方形ABCD 中,BD 是一条对角线,点E 在直线CD 上（与点C ,D 不重合）,连接AE ,平移△ADE ,使点D 移动到点C ,得到△BCF ,过点F 作FG ⊥BD 于点G ,连接AG ,EG .（1）问题猜想：如图1,若点E 在线段CD 上,试猜想AG 与EG 的数量关系是__________,位置关系是____________;（2）类比探究：如图2,若点E 在线段CD 的延长线上,其余条件不变,小明猜想（1）中的结论仍然成立,请你给出证明;（3）解决问题：若点E 在线段DC 的延长线上,且∠AGF =120°,正方形ABCD 的边长为2,请在备用图中画出图形,并直接写出DE 的长度.GF ED C BA图1GF E DCBA图2DCBA 备用图2. 如图1,在Rt △ABC 中,︒=∠90C ,2==BC AC ,点D 、E 分别在边AC 、AB 上,AB DE AD 21==,连结DE .将△ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转,记旋转角为θ. （1）问题发现①当︒=0θ时,=CD BE_________; ②当︒=180θ,=CDBE_________.（2）拓展探究试判断:当︒0≤︒<360θ时, CDBE的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.（3）问题解决①在旋转过程中,BE 的最大值为_________;②当△ADE 旋转至B 、D 、E 三点共线时,线段CD 的长为__________.图 1B图 2B3. 在△ABC 中,∠A =90°,点D 在线段BC 上,∠EDB =21∠C ,BE ⊥DE ,垂足为E ,DE 与AB 相交于点F . （1）当AB =AC 时,（如图1）, ①∠EBF =_________;②探究线段BE 与FD 的数量关系,并加以证明; （2）当AB =kAC 时（如图2）,求FDBE的值（用含k 的式子表示）.。

中考数学题型八类比、拓展探究题

=2.
考法
类型1 “手拉手”模型
模型讲解
典例剖析
高分技法
解决类比探究题的一般思路第一问通过操作发现,找到解决问题的思路和方法; 第二问通常是在第一问的基础上,改变其中的一个条件,只需观察改变的条件,即可利用同样的思路解决问题; 第三问通常将原题中的特殊情况推广到一般情况,利用前两问的做题思路进行求解.
参考答案 (1)①1 ②40° 解法提示:①∵∠AOB=∠COD,∴∠BOD=∠AOC, 又∵OC=OD,OA=OB, ∴△AOC≌△BOD,(此为“手拉手”模型3的应用,△OAB和△OCD是共顶点相似三角形,AC,BD 是“拉手线”) ∴AC=BD,∠OBD=∠OAC,∴ =1.
考法
类型1 “手拉手”模型
模型2:
1.△AOB≌△COD(两三角形重合 ),OA≠OB,∠AOB=α;2. 将△COD绕点O旋转, 直线AC,BD交于点E,夹角为β.
1.点A,O,C不共线时,有 △AOC∽△BOD,△AOC和△BOD均为等腰三角形; 2.当α≤90°时,β=α,当
α>90°时,β=180°-α; 3.点E在△OAB的外接圆上.
模型讲解
典例剖析
高分技法
②设BD,OA交于点N,∵∠MNA=∠ONB,∠OBD=∠OAC,
∴∠AMB=∠AOB=40°.(“拉手线”AC,BD所在直线所夹锐角与∠AOB相等)
(2)
,∠AMB=90°.
理由如下:
∵∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,
∴
,∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD,
则△APD∽△ABC,∴∠APD=∠ABC=30°,∠ADP=∠ACB=90°,

中考数学专题之类比探究实战演练(含答案)

三、解答题22. （10分）问题背景：如图1，在四边形ADBC 中，∠ACB =∠ADB =90°，AD =BD ，探究线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD 绕点D 逆时针旋转90°到△AED 处，点B ，C 分别落在点A ，E 处（如图2），易证点C ，A ，E 在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三角形，所以CECD ，从而得出结论：AC +BCCD ．图1图2 简单应用：（1）在图1中，若AC ，BC =CD =__________．（2）如图3，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，AD ︵=BD ︵，若AB =13，BC =12，求CD 的长．拓展延伸：（3）如图4，∠ACB =∠ADB =90°，AD =BD ，若AC =m ，BC =n （m ＜n ），求CD 的长（用含m ，n 的代数式表示）．图4图5（4）如图5，∠ACB =90°，AC =BC ，点P 为AB 的中点，若点E 满足AE = 13AC ，CE =CA ，点Q 为AE 的中点，则线段PQ 与AC 的数量关系是_____． DC BADCBBAE DCBA三、解答题22. （10分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，DC =EC ，连接DE ，AE ，BD ，点M ，N ，P 分别是AE ，BD ，AB 的中点，连接PM ，PN ，MN ．（1）BE 与MN 的数量关系是___________；（2）将△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若CB =6，CE =2，在将图1中的△DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当B ，E ，D 三点在一条直线上时，请直接写出MN 的长．中考数学类比探究实战演练（三）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22. （10分）已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，M 是AF 的中点，连接DM ，EM ．（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM ，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D ，E ，F 三点在一条直线上，若AB =13，CE =5，请画出图形，并直接写出MF 的长．图1PNM EDCBA图2PNME D CBA备用图E DCBA中考数学类比探究实战演练（四）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=nAC，CD⊥AB于D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，连接EF．（1）探究发现：如图1，若n=1，点E在线段AC上，则tan∠EFD=____．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则tan∠EFD=_______（用含n的代数式表示）．②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E是线段AC延长线上的任意一点”或“点E是线段AC反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．图1ABCDE FGM图2MGF EDCBA图1E DCBA图2E DA图3DCBAABCD备用图【参考答案】中考数学类比探究实战演练（一）22.（1）3；（2）CD的长为2；（3）CD的长为)2n m-；（4AC=AC=．中考数学类比探究实战演练（二）22.（1）BE MN；（2）成立，理由略；（3）MN11．中考数学类比探究实战演练（三）23.（1）DM=EM，DM⊥EM；（2）（1）中的结论仍成立，证明略；（3）MF，图形略．中考数学类比探究实战演练（四）22.（1）1；（2）①1n；②成立，证明略；（3）CE或中考数学类比探究实战演练（五）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F．（1）如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA 三条线段之间的数量关系；（2）如图2，点O在CA的延长线上，且OA=13AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点O在线段AC上，若AB=6，BO=CF=1时，请直接写出BE的长．图1F ENM (O )D C B A图2FENMO DC BA备用图DCBA【参考答案】22.（1）CA=CE+CF；（2）CF-CE=43AC，理由略；（3）BE的长为3，5或1．中考数学类比探究实战演练（六）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆☆☆☆☆共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22.（10分）已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上（点M，点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM．射线AG∥BC，延长BM 交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时．①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数．（2）当∠ACB=α，其他条件不变时，∠BDE的度数是__________（用含α的代数式表示）；（3）若△ABC是等边三角形，AB=N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接．．写出线段CF的长．B C DAEM N GBA GC备用图1备用图2AB CG中考数学类比探究实战演练（七）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22. （10分）已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿CD 所在的直线对折，使点B 落在点B′处，连接AB′，BB′，延长CD 交BB′于点E ，设∠ABC =2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB =AC ，求证：CD =2BE ；（2）如图2，若AB ≠AC ，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC ，连接EF 交BC 于点O ，设△COE 的面积为S 1，△COF 的面积为S 2，求12SS （用含α的式子表示）．中考数学类比探究实战演练（八）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题图1ABCDEB′图22αABCD E B′B′E D CB A2α图3OF22. （10分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB，AC =2，过点B 作直线m ∥AC ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C （点A ，B 的对应点分别为A′，B′），射线CA′，CB′分别交直线m 于点P ，Q ．（1）如图1，当P 与A′重合时，求∠ACA′的度数．（2）如图2，设A′B′与BC 的交点为M ，当M 为A′B′的中点时，求线段PQ 的长．（3）在旋转过程中，当点P ，Q 分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A′B′Q 的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q 的最小面积；若不存在，请说明理由．图1QmB′A′ (P )BC AM图2A′AC B P B′mQ备用图AC Bm中考数学类比探究实战演练（九）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22. （10分）问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，作AD ⊥BC 于点D ，则D为BC 的中点，∠BAD =21∠BAC =60°，于是2BC BDAB AB==迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD ． ①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式．拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ． ①求证：△CEF 是等边三角形； ②若AE =5，CE =2，求BF 的长．图1图2图3D B AEDBA FEMDCBA中考数学类比探究实战演练（十）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22. （10分）在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =∠CEF =45°．（1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG （如图1）．求证：△AEG ≌△AEF ．（2）若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N （如图2）．求证：EF 2=ME 2+NF 2．（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系．中考数学类比探究实战演练（十一）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日图1G FE D CB A N图2M FE D CB A 图3FED CBA三、解答题22. （10分）【操作发现】（1）如图1，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板斜边上取一点F ，使CF =CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE =30°，连接AF ，EF ． ①求∠EAF 的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由．【类比探究】（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF =CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE =45°，连接AF ，EF ．请直接写出探究结果：①∠EAF 的度数；②线段AE ，ED ，DB 之间的数量关系．图1图2中考数学类比探究实战演练（十二）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22. （10分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD （∠BAD =120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F （不包FDE CBAABCEF D括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD =AB ，求证：①△BCE ≌△ACF ；②AE +AF =AC ．（2）类比发现如图2，若AD =2AB ，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，求证：AE =2FH ．（3）深入探究如图3，若AD =3AB ，探究得：3AE AFAC的值为常数t ，则t =_______．图1 图2 图3F EDC B A HF EDBAF EDCB A三、解答题22. （10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1中，PA +PB +PC 的最小值为________．（2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC ，请直接写出PA +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）．图1PADBECB CPA图2P图3DCBA三、解答题22.（10分）在△ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）如图1，若点D与点C重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系．（2）如图2，若点D与点C不重合，AB=AC，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明．（3）如图3，若点D与点C不重合，AB=kAC，求BEFD的值（用含k的式子表示）．图1图2图3CB(D)AFECB DAFECB DAFE三、解答题22. （10分）问题背景：已知∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与A ，B 重合），DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ，记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2．（1）初步尝试：如图1，当△ABC 是等边三角形，AB =6，∠EDF =∠A ，且DE ∥BC ，AD =2时，则S 1·S 2=_____________．（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D 沿AB 平移，使AD =4，再将∠EDF 绕点D 旋转至如图2所示位置，求S 1·S 2的值．（3）拓展延伸：当△ABC 是等腰三角形时，设∠B =∠A =∠EDF =α．①如图3，当点D 在线段AB 上运动时，设AD =a ，BD =b ，求S 1·S 2的表达式（结果用a ，b 和α的三角函数表示）；②如图4，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD =a ，BD =b ，直接写出S 1·S 2的表达式，不必写出解答过程．图1 图2 图3图4中考数学类比探究实战演练（十六）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日F三、解答题22. （10分）点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意一点，在直线n 上找一点C ，使BC =kAB ，连接AC ，在直线AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠ABC ，EF 交直线m 于点F ．（1）如图1，当∠ABC =90°，k =1时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC =90°，k ≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°＜∠ABC ＜90°，k =1时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．图1 图2 图3中考数学阅读理解问题实战演练（一）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题22. （10分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图1，在△ABC 中，AC =6，BC =3，∠ACB =30°，试判断△ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由．mnAF CB EmnA F E CBB CEF A nm（2）问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A′BC ，连接AA′交直线BC 于点D ．若点B 是 △AA′C 的重心，求BCAC的值．（3）应用拓展：如图3，已知l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2．“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直线l 1上，点A 在直线l 2上，有一边的长是BC 的2倍．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C ，A′C 所在直线交l 2于点D ，求CD 的值．中考数学阅读理解问题实战演练（二）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟日期：_____月_____日三、解答题 22. （10分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt △ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D ，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC =80°，∠ADC =140°，对角线BD 平分∠ABC ．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH =∠HFG = 30°，连接EG ，若△EFG的面积为FH 的长．图1ABC图2DA′AB C图3l 2l 1A′D B′ABC【参考答案】中考数学类比探究实战演练（六）22.（1）①证明略；②∠BDE的度数为90°；（2）α或(180°-α)；（3）CF中考数学类比探究实战演练（七）22.（1）证明略；（2）CD=2BE·tan2α；（3）12sin(45)S Sα=︒-．中考数学类比探究实战演练（八）22.（1）∠ACA′的度数为60°；（2）线段PQ的长为72；（3）四边形P A′B′Q的最小面积为3．中考数学类比探究实战演练（九）22.（1+BD=CD；（2）①证明略；②BF的长为图1ABC图2AB CD图3EF GH中考数学类比探究实战演练（十）22. （1）证明略；（2）证明略；（3）EF 2=2(BE 2+DF 2)．中考数学类比探究实战演练（十一）22. （1）①∠EAF =120°；②DE 与EF 相等，理由略；（2）①∠EAF =90°；②DB 2+AE 2=ED 2．中考数学类比探究实战演练（十二）22. （1）证明略；（2）证明略；（3．中考数学类比探究实战演练（十三）22. （1）（2）①PA +PB +PC ；②PA +PB +PC （．中考数学类比探究实战演练（十四）22. （1）12BE FD =；（2）12BE FD =，证明略；（3）2BE k FD =．中考数学类比探究实战演练（十五）22. （1）12；（2）S 1·S 2的值为12；（3）①22121()sin 4S S ab α⋅=；②22121()sin 4S S ab α⋅=．中考数学类比探究实战演练（十六）22. （1）EF =EB ，证明略；（2）不成立，1EF EB k=；（3）EF =EB ，证明略．中考数学阅读理解问题实战演练（一）22. （1）△ABC 是“等高底”三角形，理由略；（2）2AC BC =；（3）CD的值为3，2．中考数学阅读理解问题实战演练（二）22.（1）图略；（2）证明略；（3）FH的值为．21。

第2部分题型9 类比、拓展探究题考点命题解读-2021年中考数学一轮复习课件(河南专用)

解：(1)AB，CE，BD，DC之间的数量关系是DABC＝BCDE. 理由如下：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAD＋∠ADB＝180°－60°＝120°. ∵∠ADE＝60°， ∴∠CDE＋∠ADB＝180°－60°＝120°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE，
∴△O′PE≌△FPC(AAS)， ∴O′E＝FC＝O′A，O′P＝FP， ∴AB－O′A＝BC－FC，即BO′＝BF， ∴△O′BF为等腰直角三角形， ∴BP⊥O′F，O′P＝BP， ∴△BPO′也为等腰直角三角形．又∵点Q为O′B的中点， ∴PQ⊥O′B，且PQ＝BQ， ∴△PQB的形状是等腰直角三角形．
题型九类比、拓展探究题
命题非常解读
与图形变换有关的探究
(2020·贵州安顺)如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的
中点．
(1)问题解决
如图1，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量
关系是 PQ＝12BO ，位置关系是 PQ⊥BO
.
(2)问题探究如图2，△AO′E是将图1中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO′的中点，连接PQ，PB.判断△PQB的形状，并证明你的结论． (3)拓展延伸如图3，△AO′E是将图1中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO′，点P，Q分别为CE，BO′的中点，连接PQ，PB.若正方形ABCD 的边长为1，求△PQB的面积．
☞思路分析 (1)由正方形的性质，得 BO⊥AC，BO＝CO.由中位线定理，得 PQ∥OC，PQ＝12OC，则可得出结论；(2)连接 O′P 并延长交 BC 于点 F.由旋转的性质得出△AO′E 是等腰直角三角形，O′E∥BC，O′E＝O′A，证得∠O′EP ＝∠FCP，∠PO′E＝∠PFC，△O′PE≌△FPC(AAS)，则 O′E＝FC＝O′A， O′P＝FP，证得△O′BF 为等腰直角三角形，进而△BPO′也为等腰直角三角形，则可得出结论；(3)延长 O′E 交 BC 边于点 G，连接 PG，O′P.证明△O′GP ≌△BCP(SAS)，得出∠O′PG＝∠BPC，O′P＝BP，得出∠O′PB＝90°，则 △O′PB 为等腰直角三角形，由直角三角形的性质和勾股定理可求出 O′A 和 O′B，求出 PQ，BQ，由三角形面积公式即可得出答案．

中考数学类比探究实战演练(习题及答案).

3中考数学类比探究实战演练（六）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题2.（10 分）已知：△ABC 是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°，点M 在边AC 上，点N 在边BC 上（点M，点N 不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM．射线AG∥BC，延长BM 交射线AG 于点D，点E 在直线AN 上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时．①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE 的度数．（2）当∠ACB=α，其他条件不变时，∠BDE 的度数是（用含α的代数式表示）；（3）若△ABC 是等边三角形，AB= 3 ，点N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F，请直．接．写出线段CF 的长．1中考数学类比探究实战演练（七）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题2.（10 分）已知在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB沿CD 所在的直线对折，使点B 落在点B′处，连接AB′，BB′，延长CD 交BB′于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图2，若AB≠AC，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连接EF 交BC 于点O，设△COE 的面积为S1，△COF 的面积为S2，求S1（用含α的式子表示）．S27中考数学类比探究实战演练（八）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB= ，AC=2，过点B 作直线m∥AC，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B 的对应点分别为A′，B′），射线CA′，CB′分别交直线m 于点P，Q．（1）如图1，当P 与A′重合时，求∠ACA′的度数．（2）如图2，设A′B′与BC 的交点为M，当M 为A′B′的中点时，求线段PQ 的长．（3）在旋转过程中，当点P，Q 分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA′B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．3中考数学类比探究实战演练（九）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22. （10 分）问题背景：如图1，等腰△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC 于点D，则D 为BC 的中点，∠BAD=1∠BAC=60°，于是BC=2BD=．2 AB AB迁移应用：如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C 三点在同一条直线上，连接BD．①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段AD，BD，CD 之间的等量关系式．拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC=120°，在∠ABC 内作射线BM，作点C 关于BM 的对称点E，连接AE 并延长交BM 于点F，连接CE，CF．①求证：△CEF 是等边三角形；②若AE=5，CE=2，求BF 的长．图1图2图34中考数学类比探究实战演练（十）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）在正方形ABCD 中，点E，F 分别在边BC，CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1）．求证：△AEG≌△AEF．（2）若直线EF 与AB，AD 的延长线分别交于点M，N（如图2）．求证：EF2=ME2+NF2．（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF 之间的数量关系．中考数学类比探究实战演练（十一）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）【操作发现】（1）如图1，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D．在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB 上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF 的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由．【类比探究】（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D．在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB 上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：①∠EAF 的度数；②线段AE，ED，DB 之间的数量关系．图1图2中考数学类比探究实战演练（十二）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD 于点E，F（不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF；②AE+AF=AC．（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点 C 作CH⊥AD 于点H，求证：AE=2FH．（3）深入探究如图3，若AD=3AB，探究得：AE 3AF的值为常数t，则t= ．AC图1 图2 图3中考数学类比探究实战演练（十三）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC，连接PE，BD，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1 中，PA+PB+PC 的最小值为．（2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC 内部有一点P，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB=5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA，PC，请直接写出PA+PB+PC 的最小值（保留作图痕迹）．8中考数学类比探究实战演练（十四）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共分钟日期：月日三、解答题22. （10 分）在△ABC 中，∠A =90°，点 D 在线段 BC 上，∠EDB = 1∠C ，2BE ⊥DE ，垂足为 E ，DE 与 AB 相交于点 F ．（1）如图 1，若点 D 与点 C 重合，AB =AC ，探究线段 BE 与 FD 的数量关系．（2）如图 2，若点 D 与点 C 不重合，AB =AC ，探究线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明．（3）如图 3，若点 D 与点 C 不重合，AB =kAC ，求BE的值（用含 k 的式子FD表示）．图 1图 2图 39中考数学类比探究实战演练（十五）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）问题背景：已知∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与A，B 重合），DE 交AC 所在直线于点M，DF 交BC 所在直线于点N，记△ADM 的面积为S1，△BND 的面积为S2．（1）初步尝试：如图1，当△ABC 是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2 时，则S1·S2= ．（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D 沿AB 平移，使AD=4，再将∠EDF 绕点 D 旋转至如图 2 所示位置，求S1·S2 的值．（3）拓展延伸：当△ABC 是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α．①如图3，当点 D 在线段AB 上运动时，设AD=a，BD=b，求S1·S2 的表达式（结果用a，b 和α的三角函数表示）；②如图4，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1·S2的表达式，不必写出解答过程．图1 图2 图3图 410中考数学类比探究实战演练（十六）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）点A，B 分别是两条平行线m，n 上任意一点，在直线n 上找一点C，使BC=kAB，连接AC，在直线AC 上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF 交直线m 于点F．（1）如图1，当∠ABC=90°，k=1 时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC=90°，k≠1 时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°＜∠ABC＜90°，k=1 时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．图1 图2 图3112中考数学阅读理解问题实战演练（一）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆☆共分钟日期：月日三、解答题22.（10 分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．（1）概念理解：如图1，在△ABC 中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由．（2）问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A′BC，连接AA′交直线BC 于点D．若点B 是△AA′C 的重心，求AC的值．BC（3）应用拓展：如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直线l1 上，点A 在直线l2 上，有一边的长是BC 的倍．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，A′C 所在直线交l2 于点D，求CD 的值．123中考数学阅读理解问题实战演练（二）做题时间：至自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆共分钟日期：月日三、解答题22. （10 分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3 个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD 平分∠ABC．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；运用：（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG= 30°，连接EG，若△EFG 的面积为2 ，求FH 的长．13【参考答案】中考数学类比探究实战演练（六）22. （1）①证明略；②∠BDE 的度数为90°；（2）α或(180°-α)；（3）CF 的长为3或4 3 ．2中考数学类比探究实战演练（七）22. （1）证明略；（2）CD=2BE·tan2α；（3）S1S2= sin(45︒-α) ．中考数学类比探究实战演练（八）22. （1）∠ACA′的度数为60°；（2）线段PQ 的长为7；2（3）四边形PA′B′Q的最小面积为3 - 3 ．中考数学类比探究实战演练（九）22. （1）①证明略；② 3 AD+BD=CD；（2）①证明略；②BF 的长为3 3 ．中考数学类比探究实战演练（十）22. （1）证明略；（2）证明略；（3）EF2=2(BE2+DF2)．中考数学类比探究实战演练（十一）22. （1）①∠EAF=120°；②DE 与EF 相等，理由略；（2）①∠EAF=90°；②DB2+AE2=ED2．中考数学类比探究实战演练（十二）22. （1）证明略；（2）证明略；（3）7 ．中考数学类比探究实战演练（十三）22. （1）4 3 ；（2）①PA+PB+PC 的最小值为61 ；142 ②PA +PB +PC 的最小值为 5 6 + 5 2（ 5 2也正确）．中考数学类比探究实战演练（十四）22. （1）BE = 1 ； FD 2 （2） BE = 1，证明略；FD 2 （3） BE = k ．FD 2中考数学类比探究实战演练（十五）22. （1）12；（2）S 1·S 2 的值为 12；（3）① S ⋅ S = 1 (ab )2 sin 2 α；② S ⋅ S = 1(ab )2 sin 2 α．1 2 4 1 24中考数学类比探究实战演练（十六）22. （1）EF =EB ，证明略；（2）不成立， EF = 1；EB k（3） EF =EB ，证明略．中考数学阅读理解问题实战演练（一）22. （1）△ABC 是“等高底”三角形，理由略；（2） AC= BC13 ；2 （3） C D 的值为 2 10， 2 3或 2．中考数学阅读理解问题实战演练（二）22. （1）图略；（2）证明略；（3） FH 的值为2 ．152 +3 2。

中考数学专项训练：类比探究与拓展应用

专项训练1．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在ABC △中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是，NB 与MC 的数量关系是；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△111A B C 中，118A B =，11160A B C ∠=︒，11175B AC ∠=︒，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75︒，得到线段1AQ ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．2．在图1，2，3中，已知ABCD ，120ABC ∠=︒，点E 为线段BC 上的动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形AEFG ，且120EAG ∠=︒．（1）如图1，当点E 与点B 重合时，CEF ∠= ︒；（2）如图2，连接AF ．①填空：FAD ∠ EAB ∠（填“>”，“ <”，“=” )；②求证：点F 在ABC ∠的平分线上；（3）如图3，连接EG ，DG ，并延长DG 交BA 的延长线于点H ，当四边形AEGH 是平行四边形时，求BC AB的值．3．【问题探究】（1）如图1，ABC △和DEC △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点B ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BD ．①请探究AD 与BD 之间的位置关系：；②若10AC BC ==，2DC CE ==，则线段AD 的长为；【拓展延伸】（2）如图2，ABC ∆和DEC ∆均为直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，21AC =，7BC =，3CD =，1CE =．将DCE △绕点C 在平面内顺时针旋转，设旋转角BCD ∠为(0360)αα︒<︒，作直线BD ，连接AD ，当点B ，D ，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．4．如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且2AB BC=，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DM MG⊥，并求MBMG的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设2(090)EABαα∠=<<︒，其它条件不变，问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．5．如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线上，60BAD ∠=︒，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转(030)αα︒<<︒，得到菱形AB C D '''，B C ''交对角线AC 于点M ，C D ''交直线l 于点N ，连接MN ．（1）当//MN B D ''时，求α的大小．（2）如图2，对角线B D ''交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长C B ''交AB 于点E ，连接EH ．当HEB '△的周长为2时，求菱形ABCD 的周长．6．思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD AB ∥交AP 的延长线于点D ，此时测得200CD =米，那么A ，B 间的距离是米．思维探索：（2）在ABC △和ADE △中，AC BC =，AE DE =，且AE AC <，90ACB AED ∠=∠=︒，将ADE △绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时ADE △的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当ADE △在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是；②如图3，当90α=︒时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当150α=︒时，若3BC =，1DE =，请直接写出2PC 的值．7．综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD 沿对角线AC 所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C 的直线折叠，使点B ，点D 都落在对角线AC 上．此时，点B 与点D 重合，记为点N ，且点E ，点N ，点F 三点在同一条直线上，折痕分别为CE ，CF ．如图2．第二步：再沿AC 所在的直线折叠，ACE △与ACF △重合，得到图3．第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C 与点F 重合，如图4，展开铺平，连接EF ，FG ，GM ，ME ．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，BEC 的度数是，AE BE的值是．（2）在图5中，请判断四边形EMGF 的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：．8．如图，在直角坐标系中，直线132y x=−+与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为1x=的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC△相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．题9．已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式和A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当3MN =时，求点M 的坐标．10．如图，抛物线2542y mx mx =−−与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，与y 轴交于点C ，且21112x x −=．（1）求抛物线的解析式；（2）若1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 是抛物线上的两点，当12a x a +，292x 时，均有12y y ，求a 的取值范围；（3）抛物线上一点(1,5)D −，直线BD 与y 轴交于点E ，动点M 在线段BD 上，当BDC MCE ∠=∠时，求点M 的坐标．11．如图，抛物线2y ax bx c =++经过(3,0)A −，(1,0)B ，(0,3)C 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P 为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC △面积为3，求点P 的坐标；（3）如图2，D 为抛物线的顶点，在线段AD 上是否存在点M ，使得以M ，A ，O 为顶点的三角形与ABC △相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴、y 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B −，且过点(2,2)C −．（1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PBA S =△，求点P 的坐标；（3）在抛物线上(AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．13．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A −，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）BCD △的面积等于AOC △的面积的34时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点(2,3)D −−和点(3,2)E ，点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点(0,1)F ，连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且22MN =，动点Q 从点P 出发，沿P M N A →→→的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线233373848y x x =+−与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，CAD ∆绕点C 顺时针旋转得到CFE ∆，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作1DD x ⊥轴于点1D ，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM x ⊥轴，点M 为垂足，使得PAM △与1DD A △相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标；②直接回答这样的点P 共有几个？。

四川省中考数学复习难题突破专题八：类比、拓展探究题

难题突破专题八类比、拓展探究题类比、拓展探究题是近两年中考热门考题，题型的模式基本分为三步：初步尝试、类比发现、深入探究，考查的知识点有：三角形旋转、平行四边形性质、相似、全等、矩形折叠、勾股定理等．此类问题解答往往是层层深入，从特殊到一般，然后是拓展运用．在解题时需要牢牢把握特殊情况、特殊位置下的结论，然后探寻一般情况下是否也成立，最后是类比应用．类比模仿是解决此类问题的重要手段．1 [2019·湖州] 数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(∠BAD＝120°)进行探究：将一块含60°的直角三角板如图Z8－1放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F(不包括线段的端点)．(1)初步尝试如图①，若AD ＝AB ，求证：①△BCE≌△ACF，②AE ＋AF ＝AC ； (2)类比发现如图②，若AD ＝2AB ，过点C 作CH⊥AD 于点H ，求证：AE ＝2FH ； (3)深入探究如图③，若AD ＝3AB ，探究得AE ＋3AFAC的值为常数t ，则t ＝________．图Z8－1例题分层分析(1)①先证明△ABC，△ACD 都是________三角形，再证明∠BCE＝________，即可解决问题． ②根据①的结论得到________，由此可证明．(2)设DH ＝x ，由题意，可得CD ＝________，CH ＝________(用含x 的代数式表示)，由△ACE∽△HCF，得AE FH ＝ACCH，由此即可证明． (3)如图③，过点C 作CN⊥AD 于N ，CM ⊥BA ，交BA 的延长线于点M ，CM 与AD 交于点H.先证明△CFN∽△CEM，得CN CM ＝FN EM ，由AB·CM＝AD·CN，AD ＝3AB ，推出CM ＝3CN ，所以CN CM ＝FN EM ＝13，设CN ＝a ，FN＝b ，则CM ＝3a ，EM ＝3b ，想办法求出AC ，AE ＋3AF 即可解决问题．2 [2019·舟山] 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．(1)概念理解请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究如图Z8－2①，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展如图②，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°＜∠α＜∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图③)，当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．图Z8－2例题分层分析(1)矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”的条件；(2)连结PD，PC，根据PE，PF分别为AD，BC的垂直平分线，可得到PA＝________，PB＝________，∠DAP＝________＝∠ABC＝________，从而可得∠APC＝∠DPB，利用SAS可证得△APC≌△DPB，即可得到AC＝BD.(3)分两种情况考虑：(i)当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，由S四边形ACBD′＝S△ACE－S△BED′，求出四边形ACBD′的面积；(ii)当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，由S四边形ACBD′＝S△AED′＋S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′的面积即可．专题训练1．[2019·淮安] 【操作发现】如图Z8－3，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．图Z8－3(1)请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连结BB′；(2)在(1)所画图形中，∠AB′B＝________．【问题解决】如图Z8－4，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC 的面积．图Z8－4小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．……请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．(―种方法即可)【灵活运用】如图Z8－5，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB(k 为常数)，求BD的长(用含k的式子表示)．图Z8－52．[2019·连云港] 问题呈现：如图Z8－6①，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，AE＝DG.求证：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD.(S表示面积)图Z8－6实验探究：某数学实验小组发现：若图①中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化．分别过点E，G 作BC边的平行线，再分别过点F，H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1，B1，C1，D1，得到矩形A1B1C1D1.如图②，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近(DG>AE)，经过探索，发现：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形A1B1C1D1.如图③，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近(DG<AE)，请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1之间的数量关系，并说明理由．迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题．(1)如图Z8－7，点E，F，G，H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH>BF，AE>DG，S 四边形EFGH＝11，HF＝29，求EG的长．图Z8－7(2)如图Z8－8，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，H分别在边AB，AD上，BE＝1，DH＝2，点F，G分别是边BC，CD上的动点，且FG＝10，连结EF，HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．图Z8－83.[2019·盐城]【探索发现】如图Z8－9①是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大．随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．图Z8－9【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为________．(用含a，h的代数式表示) 【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积．【实际应用】如图Z8－10，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝50 cm，BC＝108 cm，CD＝60 cm，且tanB＝tanC＝43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．图Z8－10参考答案例1 【例题分层分析】(1)①等边∠ACF②BE＝AF (2)2x 3x解：(1)证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝120°，∴∠D＝∠B＝60°.∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠B＝∠CAD＝60°，∠ACB＝60°，BC＝AC.∵∠ECF ＝60°，∴∠BCE ＋∠ACE＝∠ACF＋∠ACE＝60°， ∴∠BCE ＝∠ACF. 在△BCE 和△ACF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠B＝∠CAF，BC ＝AC ，∠BCE ＝∠ACF， ∴△BCE ≌△ACF.②∵△BCE ≌△ACF ，∴BE ＝AF ， ∴AE ＋AF ＝AE ＋BE ＝AB ＝AC.(2)证明：设DH ＝x ，由题意，CD ＝2x ，CH ＝3x ， ∴AD ＝2AB ＝4x ，∴AH ＝AD －DH ＝3x. ∵CH ⊥AD ，∴AC ＝AH 2＋CH 2＝2 3x ， ∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴∠ACD ＝90°， ∴∠BAC ＝∠ACD＝90°，∴∠CAD ＝30°， ∴∠ACH ＝60°，∵∠ECF ＝60°，∴∠HCF ＝∠ACE，∴△ACE ∽△HCF ，∴AE FH ＝ACCH＝2，∴AE ＝2FH. (3)如图，过点C 作CN⊥AD 于N ，CM ⊥BA ，交BA 的延长线于M ，CM 与AD 交于点H.∵∠ECF ＋∠EAF＝180°， ∴∠AEC ＋∠AFC＝180°. ∵∠AFC ＋∠CFN＝180°， ∴∠CFN ＝∠AEC.∵∠M ＝∠CNF＝90°，∴△CFN ∽△CEM ， ∴CN CM ＝FN EM. ∵AB ·CM ＝AD·CN，AD ＝3AB ， ∴CM ＝3CN ，∴CN CM ＝FN EM ＝13. 设CN ＝a ，FN ＝b ，则CM ＝3a ，EM ＝3b ， ∵∠MAH ＝60°，∠M ＝90°，∴∠AHM ＝∠CHN＝30°， ∴HC ＝2a ，HM ＝a ，HN ＝3a ， ∴AM ＝33a ，AH ＝2 33a ， ∴AC ＝AM 2＋CM 2＝2 213a ， AE ＋3AF ＝(EM －AM)＋3(AH ＋HN －FN)＝EM －AM ＋3AH ＋3HN －3FN ＝3AH ＋3HN －AM ＝14 33a ，∴AE ＋3AFAC ＝14 33a 2 213a ＝7.故答案为7.例2 【例题分层分析】(2)PD PC ∠ADP ∠BCP 解：(1)矩形或正方形． (2)AC ＝BD ，理由如下：连结PD ，PC ，如图①所示：∵PE 是AD 的垂直平分线，PF 是BC 的垂直平分线，∴PA ＝PD ，PC ＝PB ， ∴∠PAD ＝∠PDA，∠PBC ＝∠PCB， ∴∠DPB ＝2∠PAD，∠APC ＝2∠PBC，又∠PAD＝∠PBC， ∴∠APC ＝∠DPB， ∴△APC ≌△DPB(SAS)， ∴AC ＝BD.(3)分两种情况考虑：(i)当∠AD′B＝∠D′BC 时，延长AD′，CB 交于点E ，如图②所示，∴∠ED ′B ＝∠EBD′， ∴EB ＝ED′.∵BC ＝B ′D′＝3，AB ＝AB′＝5， ∴AC ＝AD′＝4. 设EB ＝ED′＝x ，由勾股定理得42＋(3＋x)2＝(4＋x)2，解得x ＝4.5.过点D′作D′F⊥CE 于F ， ∴D ′F ∥AC ，∴△ED ′F ∽△EAC ， ∴D′F AC ＝ED′AE ，即D′F 4＝ 4.54＋4.5，解得D′F＝3617，∴S △ACE ＝12AC×EC＝12×4×(3＋4.5)＝15，S △BED ′＝12BE×D′F＝12×4.5×3617＝8117，∴S 四边形ACBD′＝S △ACE －S △BED ′＝15－8117＝10417. (ii)当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC 于点E ，如图③所示，∴四边形ECBD′是矩形， ∴ED ′＝BC ＝3.在Rt △AED ′中，根据勾股定理得 AE ＝42－32＝7，∴S △AED ′＝12AE×ED′＝12×7×3＝3 72，S 矩形ECBD′＝CE×CB＝(4－7)×3＝12－3 7，则S 四边形ACBD′＝S △AED ′＋S 矩形ECBD′＝3 72＋12－3 7＝12－3 72. 专题训练1．解：【操作发现】 (1)如图①所示．(2)45°. 【问题解决】如图②，将△APC 绕点A 按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连结PP′，则AP′＝AP ，∠PAP ′＝60°，∠AP ′B ＝∠APC.∴△APP′是等边三角形．∴∠APP′＝∠AP′P＝60°.∵AP⊥PC，∴∠APC＝90°.又∵∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°－∠APC－∠BPC＝360°－90°－120°＝150°. ∴∠BPP′＝∠APB－∠APP′＝150°－60°＝90°.∴∠BP′P＝∠AP′B－∠AP′P＝∠APC－∠AP′P＝90°－60°＝30°.设BP＝a.在Rt△BPP′中，∵∠BP′P＝30°，∴P′B＝2a，P′P＝3a，∴AP＝3a，PC＝2a.在Rt△APC中，由勾股定理得AP2＋PC2＝AC2，∴(3a)2＋(2a)2＝72.解得a＝7.∴AP＝21，PC＝2 7.∴S△APC＝12AP·PC＝12×21×2 7＝7 3.【灵活运用】连结AC.∵AE⊥BC，BE＝CE，∴AB＝AC.又∵AE⊥BC，∴∠BAE＝∠CAE.设∠BAE＝α，则∠CAE＝α，∠ABE＝90°－α，∠ADC＝α.如图③，将△ACD绕点A顺时针旋转2α，得到△ABD′，则BD′＝CD＝5，AD＝AD′，∠DAD′＝2α，∠BD′A＝α.过点A作AF⊥DD′，垂足为点F，则∠D′AF＝α，∠AD′F＝90°－α，DD′＝2D′F，∴∠BD ′D ＝∠BD′A＋∠AD′F＝α＋90°－α＝90°.在Rt △AD ′F 中，D ′F ＝AD′·cos ∠AD ′F ＝AD·cos(90°－α)＝kAB·cos(90°－α)＝k·BE＝2k.∴DD ′＝4k.在Rt △BDD ′中，由勾股定理得BD ＝BD′2＋D′D 2＝52＋（4k ）2＝25＋16k 2. 2．解：问题呈现：证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AB∥CD，∠A ＝90°，又因为AE ＝DG ，所以四边形AEGD 是矩形，所以S △HEG ＝12EG·AE＝12S 矩形AEGD ，同理可得S △FEG ＝12S 矩形BCGE .因为S 四边形EFGH ＝S △HEG ＋S △FEG ，所以2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD .实验探究：由题意得，当点G 向点D 靠近(DG<AE)时，如图所示，S △HEC 1＝12S 矩形HAEC 1，S △EFB 1＝12S 矩形EBFB 1，S △FGA 1＝12S 矩形FCGA 1，S △GHD 1＝12S 矩形GDHD 1，所以S 四边形EFGH ＝S △HEC 1＋S △EFB 1＋S △FGA 1＋S △GHD 1－S 矩形A 1B 1C 1D 1，所以2S 四边形EFGH ＝S 矩形HAEC 1＋S 矩形EBFB 1＋S 矩形FCGA 1＋S 矩形GDHD 1－2S 矩形A 1B 1C 1D 1，即2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD －S 矩形A 1B 1C 1D 1. 迁移应用：(1)如图所示，由“实验探究”的结论可知2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD －S 矩形A 1B 1C 1D 1，所以S 矩形A 1B 1C 1D 1＝S 矩形ABCD －2S 四边形EFGH ＝25－2×11＝3＝A 1B 1·A 1D 1. 因为正方形面积是25，所以边长为5，又A 1D 12＝HF 2－52＝29－25＝4，所以A 1D 1＝2，A 1B 1＝32，所以EG 2＝A 1B 12＋52＝94＋25＝1094，所以EG ＝1092.(2)四边形EFGH 面积的最大值为172. 3．解：【探索发现】12.【拓展应用】14ah.【灵活应用】如图①，设四边形BFGK 是从“缺角矩形”中剪出的一个矩形，显然，当顶点G 在线段DE 上时，矩形的面积才可取最大值．作直线DE ，分别交线段BA ，BC 的延长线于点P ，Q ，过点E 作EH⊥BC 于点H. ∵四边形ABCM 是矩形，∴AM ∥BC ， ∴△DEM ∽△DQC ，∴EM CQ ＝MDCD.∵CD ＝16，CM ＝AB ＝32，∴MD ＝CD ＝16， ∴EMCQ＝1，即CQ ＝EM. ∵AE ＝20，AM ＝BC ＝40， ∴EM ＝AE ＝20.∴AE＝CQ. 同理PA ＝MD ＝CD ＝16.∴当BK ＝12PB ＝24，即当顶点G 在DE 中点处时，矩形的面积最大，最大面积为14×60×48＝720.【实际应用】分三种情形：(Ⅰ)如图②，当矩形的另两个顶点P ，Q 分别在边AB ，CD 上时，延长BA ，CD 相交于点E. ∵∠EBC ＝∠DCG，∴EB ＝EC. 过点E 作EH⊥BC 于点H ， ∴BH ＝12BC ＝12×108＝54(cm)．在Rt △EBH 中，EH ＝BH·tanB ＝54×43＝72(cm)，∴EB ＝90 cm.由结论知，当PB ＝12EB ＝45 cm ＜AB 时，矩形面积有最大值为14×108×72＝1944(cm 2)．(Ⅱ)如图③，当矩形的另两个顶点P，Q分别在边AD，CD上时，延长BA，CD相交于点E，延长QP交AE于点F，过点F作FG⊥BC于点G，则矩形PQMN的面积小于矩形FQMG的面积．由(Ⅰ)知，矩形FQMG的面积＜1944 cm2.(Ⅲ)当矩形另两个顶点P，Q分别在边AB，AD上时，此时不能裁出矩形．综上所述，矩形面积的最大值为1944 cm2.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠2．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，6），点B 在x 轴的负半轴上，将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°至AB'，点M 是线段AB'的中点，若反比例函数ky x=(k≠0)的图象恰好经过点B'，M ，则k ＝（）A.4B.6C.9D.123．某市连续10天的最低气温统计如下（单位：℃）：4，5，4，7，7，8，7，6，5，7，该市这10天的最低气温的中位数是（） A ．6℃B ．6.5℃C ．7℃D ．7.5℃4．一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）＝sin α•cos β+cos α•sin β；sin （α﹣β）＝sin α•co s β﹣cos α•sin β．例如sin90°＝sin （60°+30°）1122+⨯＝1．类似地，可以求得sin15°的值是（）A B C D 5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图：根据该折线图，下列结论错误的是（） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳6．电影《流浪地球》从2月5日上映以来，凭借其气势磅礴的特效场面与动人的父子情获得大众的喜爱与支持，截止3月底，中国电影票房高达4559000000元．数据4559000000用科学记数法表示为（） A ．845.5910⨯；B ．945.5910⨯；C ．94.55910⨯；D ．104.55910⨯．7．在同一平面内，⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA ＝3cm ，则点A 与圆O 的位置关系为（） A ．点A 在圆内B ．点A 在圆上C ．点A 在圆外D ．无法确定8．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc ＞0；②2a+b ＝0；③4a ﹣2b+c ＞0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑤b ＜c ．其中正确的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=26,BD=18,AB=x,那么x 的取值范围是（）A ．4< m <13B ．4< m <22C ．9< m <13D ．4< m <910．用计算器求35值时，需相继按“133”，“y x ”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“””4”，“y x ”，“（﹣）”，“3”，“＝”键，则输出结果是（） A ．8B ．4C ．﹣6D ．0.12511．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△A'BC’，连接A'C ，则A'C 的长为（）A ．6B ．C ．D ．12．某校对部分参加研学旅行社会实践活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：则这些学生年龄的众数和中位数分别是（） A ．15，14 B ．15，13C ．14，14D ．13，14二、填空题13．把多项式a 3b-ab 分解因式的结果为______．14．如图，a//b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=______．15．某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出8.42万元利息。