求极限如何柳暗花明

则 ｌ ＝ｌ＋ａ． 因为 ｙｎ ＞０ 解方程得 ｌ＝ １＋ $４ａ＋１
２
１
$ｎ
２
＋ ＋１
１
$ｎ
２
＋… ＋ ＋２
１
$ｎ
２
＋ｎ
所以 ｌｉｍ ｙｎ ＝ｌ＝ １＋ $４ａ＋１ ｎ→∞ ２ 二、 利用极限的四则运算性质求极限 极限的四则运算性质 ： １． 两收敛函数的和或积或差也
求 ｘｎ 的极限 解 ： 因为 ｘｎ 单调递减 ， 所以存在最大项和最小项 因 为 ｘｎ ≥
ｘ－ ２ ＝ｌｉｍ （ ｘ＋１）（ ｘ－ ２） ＝ｌｉｍ ｘ－ ２ ＝－ １ ＝ｌｉｍ ｘ － ３ ２ ２ ｘ→－ １ ｘ→－ １ （ ｘ＋１）（ ｘ － ｘ＋１） ｘ→－ １ ｘ － ｘ＋１ ｘ ＋１ １ （ ４） 因为 ｘｎ ＝ １ ＋ １ ＋… ＋ （ ｎ－ １） ×ｎ １×２ ２×３ ＝１－ １ ＋ １ － １ ＋ １ － １ ＋ １ － … － １ ＋ １ － １ ＝１－ ２ ２ ３ ３ ４ ４ ｎ－ １ ｎ－ １ ｎ １ ｎ
ｘ ｘ→∞
１ ｘ
ｘ
ｘ→０
＝ｅ
ｘ
在这一类 型 题 中 ， 一 般 也 不 能 直 接 运 用 公 式 ， 需 要 恒 等变形化简后利用公式。 例 ： 求下列各极限 （ １） ｌｉｍ
ｘ→０
解 ： 因为 ｓｉｎｘ ≤１ ， ｌｉｍ １ ＝０
ｘ→∞
ｘ
!１－ ｘ ２
２
所以 ｌｉｍ ｓｉｎｘ ＝ ０ ｘ→∞ ｘ 七、 利用等价无穷小量代换求极限 ： 等价无穷小量 ： 当 ｙ →１ 时 ， 称 ｙ， ｚ 是等价无穷小量 ：
（ ２） ｌｉｍ $１＋ｘ － ２ （ ３） ｌｉｍ（ １ ＋ ３３ ） ｘ→－ １ ｘ＋１ ｘ ＋１ （ ４） 已知 ｘｎ ＝ 解 ：（ １） ｌｉｍ
ｘ→１
（ ２） 单 调 有 界 准 则 ： 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 ， 而 且 极 限唯一。 利用单调有界准则求极限， 关键先要证明极限的存 在 ， 然后根据数列的通项公式求极限。 例 ： 证明下列数列的极限存在 ， 并求极限。
ｘ→０＋
ｘ
０
Δ ｘ
， 在这种方法的运用过程中。 首先要选
十一、 换元法求极限 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时 ， 可采 用换元的方法加以变形 ， 使之简化易求。 例 ： 求 ｌｉｍ ｘ － １
ｘ→１ ｘ
好（ ｆ ｘ） ， 然后把所求极限表示成 （ ｆ ｘ） 在定点 ｘ０ 的导数。 ・ 例 ： 求 ｌｉｍ （ ｘ－ π ） ｃｏｔ２ｘ
ｘ→０
（ ｘ） ・ （ ｘ） ＝０ 这 种 方 法 可 以 处 理 一 个 ＋δ） 有 界 ， 那 么 ｌｉｍ ｆ ｇ
ｘ→∞
ｘ
ｘ→∞
ｘ
函数极 限 不 存 在 但 有 界 ， 和 另 一 个 函 数 的 极 限 是 零 的 极 限的乘积的问题。 例 ： 求 ｌｉｍ ｓｉｎｘ
ｘ→∞
（ ２） ｌｉｍ（ １＋ １ ） ＝ｌｉｍ（ １＋ｘ）
ｘ－ ２ ４
４
ａｎ 在点 ｘ０ 连续 ， 则 Ｘ→ｘ０， （ ｆ ｘ） →（ ｆ ｘ０ ）
例 ： 求 ｌｉｍ ｌｎ （ １＋ １ ）
ｘ→０ ｘ
４
ｘ
五、 利用单侧极限求极限
４５
解题策略
解 ： 令 ｙ＝ ｌｎｕ ， ｕ＝ （１＋ １ ）
ｘ
ｘ
（ ２） 求 ｌｉｍ ｘ
ｘ→０ ｘ
ｘ
因为 ｌｎｕ 在点 ｕ０ ＝ｌｉｍ ｌｎ（１＋ １ ） ＝ｅ 处连续
令 ｌｉｍ ｙｎ ＝１ 则 ｌｉｍ ｙｎ ＝ｌｉｍ （ｙｎ＋１ ＋ａ） ，
ｎ→∞ ２ ｎ→∞ ｎ→∞ ２
利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中 ， 通常通
ｙｎ 列 过 放 大 或 缩 小 的 方 法 找 出 两 个 有 相 同 极 限 值 的 数 "#
和 ｛ Ｚｎ ｝ ， 使得 ｘｎ ≤ｙｎ ≤ｚｎ ． 例 ： ｘｎ ＝
ｘ→０＋ ｘ ０
ｌｉｍ ｌｎ（１＋ １ ） ＝ ｌｎ ｘ →∞ ｘ
!
ｘ
"ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝ ｌｎｅ ＝ １
九、 利用导数的定义求极限 导数的定义 ： 函数 ｆ （ ｘ） 在 ｘ０ 附近有定义 ， Δｘ 则 Δｙ＝
由对数恒等式可得 ｘ ＝ｅ
ｘ
ｘｌｎｘ
ｌｉｍ ｘ ＝ｅ
ｘ→０＋
ｘ
ｘ→０＋
ｌｉｍ ｘｌｎｘ
ｆ ｘ０ ＋Δ ｘ） － （ ｆ ｘ０ ） ｙ ＝ｌｉｍ （ （ 存在 ， 则 ｆ ｘ０＋Δｘ） － （ ｆ ｘ０ ） 如果 ｌｉｍ Δ
１
$ｎ
２
＋ ＋ｎ
１
$ｎ
２
＋…＋ ＋ｎ
１
$ｎ
２
＝ ＋ｎ
收敛且和或积或差的极限等于极限的和或积或差。 ２． 两 收敛函数且作除数的函数的极限不为零 ， 则商的极限等于 极限的商。 在这一类型的题中 ， 一般都含有未定式不能直接进行
１
$ｎ
２
＋ｎ １
ｘｎ ≤
则
$ｎ
１
２
２
＋ ＋１ ≤ｘｎ ≤ １
１
$ｎ
２
＋… ＋ ＋１ １
ｘ→０ ｎ ｎ－ １
＋
ｘ→０
＋
＋ａｎ－ １ｘ ＋… ＋ａ１ｘ＋ａ０ ， 求 有 理 函 数 （ 有 理 函 数 ：ｙ＝ ａｎｘ ｂｍｘｍ＋ｂｍ－ １ｘｍ－ １＋… ＋ｂ１ｘ＋ｂ０
其中分子 分 母 都 是 多 项 式 函 数） 的 极 限 有 专 用 的 一 套 公 式 ， ｘ→∞
ｌｉｍ （ ｆ ｘ） ＝１
４ ＝ｌｉｍ １＋ ｘ－ ２ ｘ→０
"
１＋ ４ $ $ " ｘ－ ２ １＋ ４ # ｌｉｍ % $’ ｘ－ ２
ｘ→０ ２
＝ｌｉｍ
ｘ→０
& "
１＋ ４ ｘ－ ２
符号 ｆ 互换顺序。若多项式函数 ｙ＝ｆ （ ｘ） ＝ａ０ ｘ ＋ａ１ ｘ
ｎ
ｎ－ １
＋……
＝ ｌｉｍ １＋ ４ ｘ－ ２ ｘ→０
&%
＝ｅ #(
， … ， ｙｎ ＝
＝ ２ ３
）（ $１＋ｘ ＋２ ） （ ２ ） ｌｉｍ $１＋ｘ － ２ ＝ ｌｉｍ （ $１＋ｘ － ２ ｘ → ３ ｘ → ３ ｘ－ ３ （ ｘ－ ３ ）（ $１＋ｘ ＋２ ）
$ａ＋ $ａ＋ $ａ＋Ｌ＋ $ ａ
证明 ： 从这个数列构造来看 ｙｎ 显然是单调增加的。用 归纳法可证。 又因为 ｙ２ ＝ $ａ－ ｙ１ ，ｙ３ ＝ $ｓ＋ｙ２ ， … ， ｙｎ ＝ $ａ＋ｙ ｎ－ １
１ ＋ １ ＋… ＋ １ 求 ｌｉｍｘｎ （ ｎ－ １） ×ｎ １×２ ２×３ ｎ→∞
２
ｘ － １ ＝ ｌｉｍ （ ｘ＋１）（ ｘ－ １） ＝ ｌｉｍ ｘ＋１ ２ ｘ→１ （ ｘ－ １）（ ２ｘ＋１） ｘ→１ ２ｘ＋１ ２ｘ － ｘ－ １
ｙ１ ＝ $ ａ ，ｙ２ ＝ $ａ＋ $ ａ ，ｙ３ ＝ $ａ＋ $ａ＋ $ ａ
ｘ→∞
解 ：（ １） 由 ｌｉｍ ｌｎｓｉｎｍｘ＝ｌｉｍ ｌｎｓｉｎｎｘ＝－ ∞
ｘ→０ ｘ→０
ｘ
所以 ｌｉｍ ｌｎ（１＋ １ ）
ｘ→∞
ｘ
ｘ
所以上述极限是 ∞ 待定型 ∞ ・ ｓｉｎｎｘ ＝ ｍ ・ ｌｉｍ ｌｎｓｉｎｍｘ ＝ｌｉｍ ｍ ・ｃｏｓｍｘ ｌｉｍ ｓｉｎｎｘ ＝１ ｘ→０ ｌｎｓｉｎｎｘ ｘ→０ ｎ ・ ｃｏｓｎｘ ｓｉｎｍｘ ｎ ｘ→０ ｓｉｎｍｘ （ ２） ｌｉｍ ｘ 它为 ０ 型
ｘ→ π ２
２
解： 取 （ ｆ ｘ） ＝ｔａｎ２ｘ． 则 ｌｉｍ （ ｘ－ π） ・ ｃｏｔ２ｘ＝
ｘ→ π ２
ｘｌｎｘ
２
１ ｌｉｍ ｔａｎ２ｘ ｘ→ π ｘ－ π ２ ２
（ ｆ ｘ） － （ ｆ π）
解 ： 令 ｔ＝ｘ － １ ， 则 ｌｎｘ＝ｌｎ （ ｔ＋１）
ｘ
ｔ ｌｉｍ ｘ － １ ＝ｌｉｍ ＝ ｘ→１ ｘｌｎｘ ｔ→０ ｌｎ （ ｔ＋１）
ｘ→０
六、 利用无穷小量的性质求极限 ： 无穷小量的性质： 无穷小量与有界量的乘积还是无 穷 小 ， 如 果 ｌｉｍ ｆ （ ｘ） ＝０ ， ｇ （ ｘ） 在 某 区 间 （ ｘ ０ － δ，ｘ ０ ） ，（ ｘ ０ ，ｘ ０
ｘ→∞
①ｎ＝ｍ，ｙ→ａｎ／ｂｍ ②ｎ＞ｍ， ｙ→∞③ｎ＜ｍ， ｙ→０
四、 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式 （ １） ｌｉｍ ｓｉｎｘ ＝ｌｉｍ ｘｇｓｉｎ １ ＝１
ｘ
ｌｉｍ
ｔ→０
ｔ （ ｔ＋１） ｌｎ ＝１ ｔ
＝
１
（ ２ ・π） ｔａｎ２ｘ－ ｔａｎ ２ ｌｉｍ π ｘ→ π ｘ－ ２ ２
＝ ｌｉｍ
２
十二、 利用定积分求和式的极限 利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函 数（ ｆ ｘ） 。把所求极限的和式表示成 （ ｆ ｘ） 在某区间 ［ａ ， ｂ］上 的待定分法 （ 一般是等分） 的积分和式的极限。
－１
ｘ
ｓｉｎ ｘ
ｘ＋２ （ ２） ｌｉｍ ｘ－ ２ ｘ→∞
解 ：（ １） ｌｉｍ
ｘ→０
" #
!１－ ｘ ２
－ｘ
（ ｓｉｎ ｘ
２ ２ ２
ｚ
记为 ｙ： ｚ， 在求极限过程 中 ， 往 往 可 以 把 其 中 的 无 穷 小 量 ，
ｓｉｎ ｘ
２
－ １ ＝ｌｉｍ （
ｘ→０
!１－ ｘ
２
２
－ １）
!１－ ｘ
２
２
＝ ｌｉｍ
ｘ → ３
ｘ－ ３
（ ｘ－ ３）（ $１＋ｘ ＋２）
＝ １ ４
４４
解题策略
（ ３） ｌｉｍ（
ｘ→－ １ ２
１ － ３ ） ｘ＋１ ｘ３ ＋１