高中数学教学论文 2006-2010年高考数学全国卷试题(文科)评价分析

考题作归类分析和研究，挖掘其潜在功能，发挥其教学价值，不失为我们数学教师能否准确把握高考考Array查重点、合理安排教学重点，突破难点，实施有效教学的一条捷径. 本文对2006-2010年高考文科数学全国卷Ⅰ试题（广西卷）评价分析.二、五年来高考文科数学全国卷Ⅰ试题分类解析 （一）集合及简易逻辑1.（06——1）设集合M={x|x 2-x<0}，N={x||x|<2}，则( )A. M φ=NB. M M N =C.M N M =D.R N M =【命题意图】本小题考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法以及集合的运算，基础题. 2.（07——5）设{}210S x x =+>，{}350T x x =-<，则S T = （ ）Ａ．∅Ｂ．12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭Ｃ．53x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭Ｄ．1523x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【命题意图】本小题考查一元一次不等式的解法和集合交集运算，基础题.3.(09——2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B = ，则集合)(B A C U 中的元素共有（ ）A. 3个B. 4个C.5个D.6个 【命题意图】本小题考查集合的运算，基础题.4.(10——2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则=)(M C N U （ ） A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,5【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识，基础题.【归纳小结】本单元主要是考查基础知识，题目难度不大，都是基础题，一般每年考（08年除外）1题；简易逻辑一般跟后面的知识相联系，四种命题的关系没有考查过，值得注意. （二）函数与导数5.（06——3）已知函数y=e x的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（ ）8.（07——8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）Ｂ．2Ｃ．Ｄ．4【命题意图】本小题考查对数函数的单调性，基础题.9.（07——9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件 Ｃ．必要而不充分的条件 Ｄ．既不充分也不必要的条件【命题意图】本小题考查简易逻辑，基础题. 10.（07——10）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19Ｂ．29Ｃ．13Ｄ．23【命题意图】本小题考查导数的基础知识的应用，基础题. 11.（07——14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y xx =>的图像关于直线y x =对称，则()f x =____________．【命题意图】本小题考查反函数及其性质，基础题.12.(07——20)设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．【命题意图】本小题考查导数的应用，涉及到函数的求导和函数单调性的判断，第（Ⅰ）小题是导数在求函数极值方面的应用，难度中等；第（Ⅱ）小题涉及不等式的解法，综合程度高，运算难度大，高难题.13.（08——1）函数y = ）A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥或≤D ．{|01}x x ≤≤【命题意图】本小题主要考查函数的定义域、不等式组的解法，基础题.14.（08——2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）【命题意图】本小题主要考查函数的图像，通过物体运动规律推断函数的图像，基础题. 15.（08——4）曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 【命题意图】本小题主要考查导数在求曲线切线方面的应用，基础题.16.（08——8）若函数()y f x =的图象与函数1y =的图象关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．e 2x-2B ．e 2xC ．e 2x+1D ． e 2x+2【命题意图】本小题主要考查函数的反函数及其性质，基础题. 17.（08——21）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 【命题意图】本小题考查导数的应用，第（Ⅰ）小题是导数在求函数单调性方面的应用，涉及含有字母不等式的解法，中档题；第（Ⅱ）小题是函数与不等式综合，运算难度大，高难题.18.（09——6）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则=+)1()1(g f （ ） A.0 B.1 C.2 D.4 【命题意图】本小题考查反函数，基础题. 19.（09——21）已知函数42()36f x x x =-+.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程. 【命题意图】本小题考查导数的应用，第（Ⅰ）小题是求函数的单调性，涉及到一元三次不等式的解法，中档题；第（Ⅱ）小题是曲线的切线和直线方程的求法，综合程度高，高难题.20.(10——7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是（ ） A.(1,)+∞ B.[1,)+∞ C. (2,)+∞ D. [2,)+∞【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a+≥，从而错选D ，这也是命题者的用苦良心之处，中档题.21.（10——10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（ ）A.a b c <<B.b c a <<C. c a b <<D. c b a <<【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用，中档题.22.（10——21）已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++. （I ）当16a =时，求()f x 的极值； （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围.【命题意图】本小题考查导数的应用，第（Ⅰ）小题是导数在求函数极值方面的应用，涉及到一元三次不等式的解法，中档题；第（Ⅱ）小题是导数在求函数单调性方面的应用，涉及到含有字母的一元三次不等式的解法和分类讨论数学思想方法，综合程度高，高难题.【归纳小结】本单元主要是考查函数的基础知识及其综合应用，选择题和填空题基本上都是基础题，有一些是中档题，解答题都是考查导数的综合应用，一般都是两个小题，第（Ⅰ）小题属于中档题，第（Ⅱ）小题属于高难题. 每年一般考3题，最少考2题，最多考5题，必定考解答题，位置在全卷的第20题至22题，大多数年份是第21题. （三）数列23.（06——5）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7=35，则a 4=（ ）A.8B.7C.6D.5 【命题意图】本小题考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，基础题. 24.(06——22)已知{a n }为等比数列，a 3=2，a 2+a 4=320，求{a n }的通项公式. 【命题意图】本小题考查等比数列的通项公式，中档题.25.（07——15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______．A ．B ．C ．D ．【命题意图】本小题考查等差数列和等比数列的小综合，基础题题.26.(07——22)设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【命题意图】本小题考查等差数列和等比数列的综合，第（Ⅰ）小题分别求等差数列和等比数列的通项公式，中档题；第（Ⅱ）小题是错位相减法求数列前n 项和n S ，运算量比较大，高难题． 27.（08——7）已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 【命题意图】本小题主要考查等比数列的基础知识，基础题.28.（08——19）在数列{a n }中，a 1=1， a n+1=2a n +2n. （Ⅰ）设12nn n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【命题意图】本题的第（Ⅰ）小题主要考查等差数列的判定，基础题．第（Ⅱ）小题主要考查求数列的前n 项和的技巧，中档题．29.（09——14）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++=_____. 【命题意图】本小题考查等差数列的性质、前n 项和，基础题.30.(09——17)设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式.【命题意图】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n 项和，基础题. 31.（10——4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ）A.【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.32.（10——17）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列，求n S .【命题意图】本小题主要考查等差数列和等比数列的综合，涉及到分类讨论等数学思想方法，基础题. 【归纳小结】本单元每年都考两题，一题是选择题或者填空题的基础题，一题是解答题，06年虽然是第22题，但是难度不大，属于中档题，只有07年是第22题的高难题，其余年份都是第17至19题的基础题或中档题. （四）三角函数33.（06——6）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为（ ） A.(k π-2π， k π+2π)，k Z ∈ B.(k π， (k+1)π)，k Z ∈ C. (k π-43π， k π+4π)，k Z ∈ D.(k π-4π， k π+43π)，k Z ∈【命题意图】本小题考查正切函数的单调性，基础题.34.（06——8）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（ ）A.41B.43C.42D.32【命题意图】本小题考查余弦定理在斜三角形中的应用，基础题.35.（06——11）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到期的三角形面积的最大值为（ ）A.85cm 2B.610cm 2C.355cm 2D.20cm 2【命题意图】本小题考查任意三角形的面积公式的应用，基础题.36.（06——17）∆ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，cosA + cos2CB +取得最大值， 并求出这个最大值.【命题意图】本小题考查三角形中的三角函数，涉及到二倍角和配方法的应用，基础题. 37.（07——1）α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（ ） Ａ．513Ｂ．513- Ｃ．512Ｄ．512-【命题意图】本小题考查同角三角函数的关系，基础题.38.（07——12）函数22cos y x =的一个单调增区间是（ ） Ａ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｂ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｃ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｄ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，【命题意图】本小题考查二倍角的应用和三角函数的性质，中档题.39.（07——17）设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =5c =，求b ．【命题意图】本小题考查三角形中的三角函数，主要考查正弦定理和余弦定理的应用，基础题. 40.（08——6）2(sin cos )1y x x =--是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的关系，二倍角的正弦，函数的奇偶性和周期性，基础题. 41.（08——9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数y=sinx 的图像（ ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位【命题意图】本小题主要考查正弦函数和余弦函数的互化，函数图像的变换，中档题．42.（08——17）设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且a cos B =3，b sin A =4． （Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．【命题意图】本小题主要考查三角形中的三角函数，涉及到正弦定理、余弦定理和任意三角形面积公式的运用，基础题．43.（09——1）o585sin 的值为（ ）A.C.【命题意图】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题. 44.（09——4）已知tan a =4，cot β=13，则tan(a+β)=（ ） A.711 B.711- C. 713 D. 713- 【命题意图】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题. 45.(09——10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π【命题意图】本小题考查三角函数的图象对称性质，基础题.46.(09——18)在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、.已知222a c b -=，且s i n 4c o s s i nB AC =，求b . 【命题意图】本小题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，中档题. 47.(10——1)cos300︒= （ ）A.21- C.12【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识，基础题. . 48.(10——14)已知α为第二象限的角，3sin 5a =，则tan 2α= . 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.49.(10——18)已知ABC △的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ． 【命题意图】本小题考查正弦定理、两角和三角函数公式的灵活运用，中档题.【归纳小结】本单元每年都考3到4小题，一道解答题，都是利用正弦定理或者余弦定理解斜三角形，基础题或者中档题，其余小题是选择题或者填空题，都是基础题. （五）向量50.（06——1）已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且ab =2，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B.4π C.3πD.2π【命题意图】51.（07——3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ）Ａ．垂直Ｂ．不垂直也不平行 Ｃ．平行且同向 Ｄ．平行且反向【命题意图】52.（08——5）在ABC △中，AB =c ，=b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD=（ ）A ．32b +31c B ．35c-32bC ．32b-31c D ．31b+32c【命题意图】本小题考查向量的几何运算，基础题.53.（09——8）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,（ ）A.150°B.120°C.60°D.30° 【命题意图】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题.【归纳小结】本单元每年（10年除外）都考一道选择题的基础题，其余方面的考查主要是向量作为数学工具在解析几何和立体几何中的灵活应用. （六）不等式54.（09——3）不等式111<-+x x 的解集为（ ）A.{}}{011x x x x 〈〈〉 B.{}01x x 〈〈 C. }{10x x -〈〈 D.}{0x x 〈 【命题意图】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题. 55.(10——13)不等式22032x x x -++ 的解集是 . 【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法，基础题.【归纳小结】本单元前三年没有直接考查，近两年每年直接考一题，主要是不等式的解法. 考查重点是第21和第22等题中，不等式的性质和解法综合应用. （七）解析几何56.（06——4）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ）A.-41B.-4C.4D.41 【命题意图】本小题考查双曲线的基本概念，基础题.57.（06——7）从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3，2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）A.21B.53 C.23 D.0【命题意图】本小题考查直线和圆的位置关系，基础题.58.（06——11）抛物线y = —x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（ ）A.34B.57C.58 D.3【命题意图】本小题考查直线和圆锥曲线的关系，也可以利用导数的知识解答，中档题.59.（06——15）设z=2y-x ，式中x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-1232312y y x y x 则z 的最大值为__________【命题意图】本小题考查线性规划的基础知识，中档题. 60.(06——20)设P 为椭圆1222=+y ax(a>1)短轴上的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最 大值.【命题意图】本小题考查椭圆、含有字母的二次函数和不等式的综合，高难题.61.（07——4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ）Ａ．221412x y-= Ｂ．221124x y -= Ｃ．221106x y -= Ｄ．221610x y -= 【命题意图】本小题考查双曲线的基础知识，基础题.62.（07——6）下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）Ａ．(02)，Ｂ．(20)-，Ｃ．(02)-，Ｄ．(20)，【命题意图】本小题考查线性规划的基础知识，基础题.63.（07——11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） Ａ．4Ｂ．Ｃ．Ｄ．8【命题意图】本小题考查直线与圆锥曲线的小综合，中档题.64.(07——21)已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．【命题意图】本小题考查直线与圆锥曲线的综合，第（Ⅰ）是点和椭圆的位置关系的判断，基础题；第（Ⅱ）小题是含有字母的一元二次方程的韦达定理、弦长公式、均值不等式等知识的综合应用，要求思维能力和运算能力很高，高难题．这是一个著名的圆锥曲线“焦点弦”问题，如果掌握焦点弦公式，则问题迎刃而解！（1）证明：在12322=+y x 中，123===c b a ，，.，︒=∠9021PF F O 是1F 2F 的中点，.1||21||21===∴c F F OP 得.12020=+y x ∴点P 在圆122=+y x 上.显然，圆122=+y x 在椭圆12322=+y x 的内部. 故232020yx +＜1.（2）解法一（通法）：（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+，12BD x x =-== ；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-．所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． 解法二（利用焦点弦公式）：如图，设直线BD 的倾斜角为α，由BD AC ⊥可知， 直线AC 的倾斜角2πα+.通径33422==a b H ，离心率33=e . 又 BD 、AC 分别过椭圆的左、右焦点1F 、2F ，于是.sin 3342cos 1||cos 334cos 1||222222απααα-=+-=-=-=）（，e H AC e H BD ∴四边形ABCD 的面积.2sin 2496sin 334cos 33421||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=AC BD S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα .⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴42596，S .故四边形ABCD 面积的最小值为2596. 65.（08——10）若直线1x ya b+=与圆x 2+y 2=1有公共点，则（ ） A ．a 2+b 2≤1B ．a 2+b 2≥1 C ．22111a b+≤D ．2211a b +≥1 【命题意图】本小题主要考查直线和圆的位置关系，基础题.66.（08——13）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．【命题意图】本小题主要考查线性规划的基础知识，中档题.67.（08——14）已知抛物线y=ax 2—1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．【命题意图】本小题主要考查抛物线的有关知识，中档题. 68.（08——15）在ABC △中，90A ∠=，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．【命题意图】本小题考查椭圆和三角函数的小综合，中档题．69.（08——22）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．【命题意图】本小题考查向量、等差数列和圆锥曲线的综合，也是圆锥曲线的“焦点弦”问题，用通法，则是高难题，用焦点弦公式，则难度大大降低．解：（Ⅰ）设双曲线的方程为12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）.||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，设m AB =||，公差为d ，则d m OA -=||，d m OB +=||， ∴222)()(d m m d m +=+-. 即2222222d dm m m d dm m ++=++-. ∴4m d =. 从而43||m =，45||m=. 又设直线1l 的倾斜角为α，则α2=∠AOB . 1l 的方程为x aby =∴.tan ab=α 而.34||||tan 2tan ==∠=OA AB AOB α ∴34)(12tan 1tan 222=-⨯=-ab a bαα. 解之得：.21=a b∴.25)(12=+=a b e （Ⅱ）解法一（通法）：由a=2b 知，双曲线的方程可化为x 2-4y 2=4b 2①由l 1的斜率为21，c=5b 知，直线AB 的方程为 y=-2(x-5b) ② 将②代入①并化简，得 15x 2-325bx+84b 2=0设AB 与双曲线的两交点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则x 1+x 2=15b532，x 1·x 2=15b 842 ③AB 被双曲线所截得的线段长l =]x x 4)x x [(5|x x |)2(121221212-+=-⋅-+ ④将③代入④，并化简得l =3b4，而由已知l =4，故b=3，a=6. 所以双曲线的方程为19y 36x 22=-.解法二：（利用焦点弦公式）设过焦点F 的直线AB 的倾斜角为θ, 则απθ+=2.∴αθsin cos -=. 而.51)21(1)21(tan 1tan sin 22222=+=+=ααα ∴51cos 2=θ.通径b abb a b H =⨯==222.又设直线AB 与双曲线的交点为M 、N. 于是有：4cos 1||22=-=θe HMN . ∴451)25(12=⨯-b .解得3=b ，从而6=a .∴所求的椭圆方程为193622=-y x . 70.（09——5）设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（ ）【命题意图】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题.71.（09——12）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B.若3FA FB =，则AF =（ ）【命题意图】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题.72.（09——16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）【命题意图】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想，中档题.73.(09——22) 如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点.（Ⅰ）求r 的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标.【命题意图】本小题考查圆的圆锥曲线综合. 第（Ⅰ）小题考查二元二次方程组的解法、韦达定理和一元二次不等式的解法；第（Ⅱ）小题考查韦达定理、圆锥曲线的弦长公式、三次均值不等式和导数的综合应用，运算能力和思维能力都要求很高，高难题.74.(10——3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A.4B.3C.2D.1 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，基础题.75.（10——8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF = （ ）A.2B.4C. 6D. 8【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.如果掌握椭圆焦点三角形面积公式2tan 221θb S PF F =∆，则解答变成非常简单！中档题.76.（10——11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为（ ）A. 4-3-C. 4-+3-+【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力，中档题.77.(10——16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，2=，则C 的离心率为 .【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径，中档题.78.(10——22) 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；（Ⅱ）设89FA FB = ，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线、圆与向量的综合. 第（Ⅰ）小题涉及二元二次方程组的解法、韦达定理和向量共线的判定；第（Ⅱ）小题考查韦达定理、圆锥曲线的弦长公式、点到直线的距离和圆的有关知识，综合程度高，运算难度大，高难题.【归纳小结】本单元每年考4到5题，其中一道为解答题，其余为选择题或者填空题. 解答题位于第20小题至22小题，近五年来都是压轴题——第22题；选择题和填空题多为中档题. （八）立体几何79.（06——9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A.16 πB.20πC.24πD.32π【命题意图】本小题考查棱锥与圆的小综合，难点在于学生不能熟练地运用数形结合，中档题. 80.（06——14）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于 ________ .【命题意图】本小题考查棱锥的基础知识，基础题.81.(06——20)如图，l 1、l 2是互相垂直的两条异面直线，MN 是它们的 公垂线段，点A 、B 在l 1上，C 在l 2上，AM=MB=MN （I ）证明AC ⊥NB ；（II ）若︒=∠60ACB ，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.【命题意图】本小题考查空间两条直线的位置关系和线面角，构思极其巧妙，如果建立空间直角坐标系，利用空间向量解答，则问题变得简单明了，中档题. 82.（07——7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =， M NABC1l2l1A1D1C1B则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ） Ａ．15Ｂ．25Ｃ．35Ｄ．45【命题意图】本小题考查以多面体为载体的异面直线，可以通过平移，利用余弦定理解答，也可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解答，中档题.83.（07——16）正四棱锥S ABCD -，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个 球面上，则该球的体积为_________．【命题意图】本小题考查正四棱锥与球的小综合，涉及到作图能力和运算能力，中档题． 84.(07——19)四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠=︒，2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．【命题意图】本小题考查以多面体为载体的空间线线关系和线面关系，可以通过辅助线，利用传统方法解答，也可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解答，中档题. 85.（08——11）已知三棱柱ABC - A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．3C ．3D ．23【命题意图】本小题考查以多面体为载体的空间线面关系，涉及到数形结合能力和运算能力，中档题． 86.（08——16）已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD △87.（08——18）四棱锥A - BCDE 中，底面BCDE ABC ⊥底面BCDE ，BC =2，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD ⊥CE ；（Ⅱ）设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C —AD —E 【命题意图】本小题考查以多面体为载体的空间线线关系和面面关系，可以通过辅助线，利用传统方法解答，也可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解答，中档题.88.（09——9）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）C. 4D. 34【命题意图】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，中档题.89.（09——11）已知二面角l αβ--为600，动点P 、Q 分别在面,αβ内，P 到βQ 到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为（ ）A. 2B.2C. 【命题意图】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，中档题.90.(09——15)已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于__________________.【命题意图】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题.91.(09——19) 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠= .（Ⅰ）证明：M 是侧棱SC 的中点；（Ⅱ）求二面角S AM B --的大小.【命题意图】本小题考查以多面体为载体的空间线线关系和面面关系，可以通过辅助线，找出二面角的平面角，利用余弦定理解答，也可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解答，中档题.92.(10——6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）A.30°B.45°C.60°D.90° 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，中档题.93.（10——9）正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（ ）C.23SCDBE【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现.94.（10——12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）A.3B.33【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.95.（10——20）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2， E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A —DE —C 的大小.【命题意图】本小题考查以多面体为载体的空间线线关系和面面关系，通过已知条件的线线位置关系，面面位置关系和边的大小，求线线的大小关系和二面角的大小，中档题.【归纳小结】本单元前三年每年考三道题，近两年每年考四道题，其中，有一道解答题，其余为选择题或者填空题. 解答题位于第18到20题，都设有两问，第（Ⅰ）小题为证明题，用传统方法和空间向量法均可；第（Ⅱ）小题为计算题，求线面角、二面角的大小是考查重点和热点，用传统方法很难，空间向量法是解题的捷径.（九）排列组合、二项式定理 96.（06——12）在（x —x21）10的展开式中，x 4的系数为（ ） A.-120 B.120 C.—15 D.15 【命题意图】本小题考查二项展开式的通项公式，基础题.97.(06——15)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲乙二人都不安排5月1日和5月2日.不同的安排方法共有__________种(用数字作答) 【命题意图】本小题考查排列和分步计数原理的应用，基础题.98.（07——2）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）Ａ．36种 Ｂ．48种 Ｃ．96种 Ｄ．192种 【命题意图】本小题考查组合的应用，基础题.99.（08——3）512x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ）A ．10B ．5C ．52D ．1【命题意图】本小题考查二项展开式的通项公式，基础题.100.（08——12）将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种【命题意图】本小题考查组合、分布计数原理和分类计数原理的应用，中档题.101.（09——7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A.150种B.180种C.300种D.345种 【命题意图】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题.102.（09——13）10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于_____________. 【命题意图】本小题考查二项展开式通项，基础题.103.(10——5)43(1)(1x --的展开式中，2x 的系数是（ ）A.—6B.—3C.0D.3【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力，基础题.. 104.(10——15)某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想.【归纳小结】本单元除了07年以外，每年都考两道题，一道为排列组合，另一道为二项式定理，都是选择题或者填空题，基本上都是基础题. （十）概率及统计105.(06全国Ⅰ19)A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效.若在一组试验中，服用A 有郊的小白鼠只数比服用B 有郊的多，就称该组试验为甲类组.设每只小白鼠服用A 有郊的概率为32，服用B 有郊的概率为21. （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率;（Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.。