线性代数专题专项讲义

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线性代数讲义(第三章)

成行阶梯形矩阵, 可同时看出矩阵（ 1， 2， 3）及（ 1， 2）的秩，利用定理2即可得出结论.
1 0 2 ( 1 , 2 , 3 ) 1 2 4 1 5 7
r2 r1
r3 r1
~
1 1 0 0 1 0
2 2 2 2 5 7 5 5 0 0 2 2
第三章 n维向量空间
• • • • • • n维向量的定义 n维向量的线性运算向量组的线性相关性向量组的极大线性无关组向量空间习题课
第一节 n维向量的定义
一、 n维向量的概念二、 n维向量的表示方法三、向量空间
一、n 维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，
（2）设
a1 j a1 j a2 j a2 j j , b j , ( j 1,2, , m ), arj a rj a r 1, j
即 j 添上一个分量后得向量b j .若向量组 A： 1 , 2 , , m 线性无关, 则向量组B：1 , b2 , , bm 也线性无 b 关 .反言之，若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关 .
a T ( a 1 , a 2 , , a n )
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用 a ,b, , 等表示，如： a1 a2 a a n
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量；

《线性代数讲义》课件

在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程组Av=λv来计算特征值和特征向量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用公式直接计算特征值和特征向量。
通过迭代的方式，不断计算矩阵的幂，最终得到特征值和特征向量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时，可以利用特征值和特征向量的性质进行求解。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换、线性方程组等。

刘金峰线代讲义

刘金峰线代讲义（最新版）目录1.刘金峰线代讲义概述2.线性代数概念与基本理论3.矩阵及其运算4.线性方程组及其解法5.特征值与特征向量6.二次型7.线性变换与矩阵8.应用实例与习题解答正文一、刘金峰线代讲义概述《刘金峰线代讲义》是一部关于线性代数课程的辅导讲义，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念、理论和方法。

全书共分为八个部分，依次为线性代数概念与基本理论、矩阵及其运算、线性方程组及其解法、特征值与特征向量、二次型、线性变换与矩阵、应用实例与习题解答。

本书在内容编排上注重理论与实践相结合，既有丰富的例题分析，又有实际应用案例，适合于各类本科生、研究生及教师学习和参考。

二、线性代数概念与基本理论线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、向量空间（或称线性空间）、线性方程组、矩阵、线性变换等概念及其性质。

线性代数的基本理论包括向量空间的概念、性质、基与维数、子空间、线性相关与线性无关等。

三、矩阵及其运算矩阵是线性代数的核心概念之一，可以用来表示线性方程组、线性变换等。

矩阵的运算包括矩阵加法、数乘、矩阵乘法、求逆、行列式等。

本书对矩阵的运算进行了详细的讲解，并给出了丰富的例题。

四、线性方程组及其解法线性方程组是线性代数的一个基本对象，可以用来描述现实世界中的许多问题。

本书介绍了线性方程组的基本解法，如有唯一解、无解、有无穷多解的情况，以及高斯消元法、克莱姆法则等求解方法。

五、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论的重要概念，可以用来描述线性变换对向量的作用。

本书详细介绍了特征值与特征向量的概念、求解方法，以及它们在矩阵对角化、线性变换等方面的应用。

六、二次型二次型是线性代数的一个重要概念，可以用来描述空间中的点或向量的平方和。

本书介绍了二次型的概念、性质、标准型、正定二次型等，以及它们在几何、物理等领域的应用。

七、线性变换与矩阵线性变换是一种将向量空间映射到另一个向量空间的运算，而矩阵是线性变换的一种表示。

基础30讲线代和线代辅导讲义

基础30讲线代和线代辅导讲义一、线性代数的基础概念1.1 矩阵和向量•矩阵的定义和基本运算•向量的定义和基本运算•线性组合和线性相关性1.2 线性方程组•齐次线性方程组和非齐次线性方程组•列向量和矩阵的关系•矩阵的秩和解空间的性质二、矩阵的特征值和特征向量2.1 特征值和特征向量的定义•特征值和特征向量的基本概念•特征方程和特征多项式2.2 对角化和相似矩阵•对角化矩阵的性质和条件•相似矩阵的定义和性质•可对角化的判定条件2.3 特征值的计算方法•特征值的代数重数和几何重数•特征值计算的方法：特征方程、特征多项式、行列式等三、线性变换和线性映射3.1 线性变换和线性映射的定义•线性变换和线性映射的概念•线性变换和线性映射的基本性质：保持向量相加和标量乘积不变3.2 标准矩阵和基变换•线性变换和线性映射的表示：标准矩阵•基变换和基变换矩阵的求解3.3 线性变换和线性映射的应用•线性变换和线性映射在几何中的应用•线性变换和线性映射在工程中的应用四、矩阵的奇异值分解4.1 奇异值分解的定义•奇异值和奇异向量的基本概念•奇异值分解的意义和应用4.2 奇异值的计算方法•奇异值计算的方法：特征值分解、SVD分解等•奇异值的几何和代数性质4.3 矩阵的逆和伪逆•逆矩阵和伪逆矩阵的定义和性质•奇异值分解和矩阵的逆关系以上是关于基础30讲线性代数和线性代数辅导讲义的详细内容介绍。

通过学习这些内容，你将对线性代数的基础概念、矩阵的特征值和特征向量、线性变换和线性映射以及矩阵的奇异值分解有更深入的理解和应用能力。

无论是在理论研究中还是在实际问题中，线性代数都起着非常重要的作用。

希望这些讲义能够帮助你更好地掌握线性代数的知识，提高数学建模和问题求解的能力。

线性代数讲义正式版

3：行列式——由 n2 个数组成的下列记号
a11 a12 ... a1n
D

a21
a22
...
a2 n
,称为 n 阶行列式，规定
an1 an2 ... an2
D 1 a a a j1 j2 jn
( j1 j2 jn )
1 j1 2 j2
njn
4：余子式与代数余子式——把行列式
1
郑老师线代核心讲义第五节：线性方程组的性质........................................................................................................ 29 第六节：典型例题：.................................................................................................................... 31 第五章特征值与特征向量................................................................................................................ 39 第一节：基本概念........................................................................................................................ 39 第二节:特征值与特征向量的性质............................................................................................... 40 第三节：矩阵相似........................................................................................................................ 43 第四节：相似及对角化性质........................................................................................................ 43 第五节：非实对称阵对角化步骤................................................................................................ 43 第六节：求特征值的方法............................................................................................................ 44 第七节：典型例题........................................................................................................................ 46 第六章二次型.................................................................................................................................... 56 第一节二次型及其标准型.......................................................................................................... 56 第二节：如何化二次型为标准二次型........................................................................................ 58 第三节矩阵之间的三大关系.................................................................................................... 59 第四节正定矩阵与正定二次型.................................................................................................. 63

宋浩线代辅导讲义

宋浩线代辅导讲义一、引言宋浩线代辅导讲义是为了帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念和方法而编写的。

线性代数是数学中非常重要的一个分支，它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。

本讲义将从基础概念开始介绍，并逐步深入，帮助学生建立起对线性代数的系统性理解。

二、线性方程组与矩阵2.1 线性方程组2.1.1 定义与表示定义：线性方程组是由一系列线性等式组成的方程组。

例如，下面是一个包含三个未知数x、y、z的线性方程组：2x + y - z = 4x - y + 3z = -13x + 2y + z = 72.1.2 解的存在唯一性对于一个线性方程组，它可能有三种解的情况：•无解：当方程组中存在矛盾等式时，即出现了0=1这样不可能成立的等式。

•有唯一解：当方程组中的方程数量等于未知数的数量，并且方程组的系数矩阵满秩时，方程组有唯一解。

•有无穷多解：当方程组中的方程数量小于未知数的数量，并且方程组的系数矩阵不满秩时，方程组有无穷多解。

2.2 矩阵与向量2.2.1 矩阵的定义与运算定义：矩阵是一个按照长方阵列排列的数表。

一个m×n的矩阵有m行n列。

例如，下面是一个3×3的矩阵：1 2 34 5 67 8 9矩阵可以进行加法、减法和乘法等运算。

其中，加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数，乘法则需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

2.2.2 向量与线性组合定义：向量是一种特殊类型的矩阵，它只有一列。

向量可以表示为：v = [v1, v2, ..., vn]其中vi表示向量v中第i个元素。

线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行加权求和的操作。

例如，对于向量v1和v2，它们的线性组合可以表示为：c1 * v1 + c2 * v2其中c1和c2为常数。

2.3 矩阵的转置与逆2.3.1 矩阵的转置定义：矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。

例如，对于一个3×2的矩阵A，其转置矩阵记为A^T，可以表示为：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32]2.3.2 矩阵的逆定义：对于一个n×n的方阵A，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。

线性代数讲义(第一章)

an1 an2 ann
解展开式的一般项为 (-1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 anjn .
不为零的项只有 (-1)t(12n) a11a22 ann.
a11 0
0
a21 a22 0 1 t12na11a22 ann

1
1
a2 a a 1
1
1
b2 b b 1
1
1
c2 c c 1
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1
1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
1
1 b2
1 b
1
1 c2
1 c
1
1 d2
1 d
0.
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
x1

b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2

a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
为便于记忆，引入记号
a D 11
a21
a 12
a a11 22 a a 12 21
三阶行列式的计算: 对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

刘金峰线代讲义

刘金峰线代讲义摘要：1.刘金峰线代讲义简介2.线性代数概念与基本概念3.矩阵与向量的基本运算4.线性方程组的解法5.特征值与特征向量6.二次型与正定二次型7.奇异值分解8.广义逆矩阵9.线性变换与线性变换的矩阵表示10.结束语正文：线性代数是数学中一个重要的分支，它主要研究的是向量、矩阵、线性方程组、特征值、特征向量等概念。

刘金峰线代讲义是一本非常优秀的线性代数教材，它对线性代数的基本概念和方法进行了详细的讲解，并且配有丰富的例题和习题，是学习线性代数的好帮手。

首先，让我们来看一下线性代数的基本概念。

线性代数主要研究的是向量和矩阵，向量是既有大小又有方向的量，它可以用来表示空间中的点或者箭头。

矩阵则是由若干个数按照横行和纵列的方式排列而成的矩形阵列，它可以用来表示线性方程组、线性变换等。

接下来，我们来看一下矩阵和向量的基本运算。

矩阵和向量的加法、数乘、点积、叉积等是线性代数中的基本运算，它们在解决线性方程组、特征值、特征向量等问题中都有着重要的应用。

然后，我们来看一下线性方程组的解法。

线性方程组是指由若干个线性方程组成的方程组，它可以用高斯消元法、矩阵求逆法等方法求解。

特征值和特征向量是线性代数中的另一个重要概念。

特征值是指矩阵乘以特征向量后的结果，它可以用来描述线性变换的性质。

二次型和正定二次型是线性代数中的另一个重要概念。

二次型是指一个二次方程在某个变量上的取值，它可以用正定二次型来描述。

奇异值分解是线性代数中的一个重要方法，它可以用来分解矩阵，求解线性方程组等问题。

广义逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它可以用来解决矩阵求逆的问题。

最后，我们来看一下线性变换和线性变换的矩阵表示。

线性变换是指把一个向量映射到另一个向量的过程，它可以用矩阵表示。

宋浩线代辅导讲义

宋浩线代辅导讲义【实用版】目录1.宋浩线代辅导讲义概述2.线性代数基本概念3.线性方程组的解法4.特征值与特征向量5.矩阵的秩与逆矩阵6.空间解析几何与线性变换7.总结与建议正文【宋浩线代辅导讲义概述】线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、化学、计算机科学、经济学等众多领域。

宋浩线代辅导讲义针对线性代数的基本概念、理论和方法进行了系统阐述，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的知识体系。

【线性代数基本概念】线性代数主要涉及向量、矩阵、线性方程组等基本概念。

向量是线性代数的基本对象，具有加法和数乘运算。

矩阵是多维向量的一种表示形式，可以进行加法、数乘和乘法运算。

线性方程组是线性代数的核心问题，主要研究如何求解线性方程组。

【线性方程组的解法】线性方程组的解法主要包括高斯消元法、克莱姆法则等。

高斯消元法是一种基于矩阵操作的解法，通过消元逐步求解线性方程组。

克莱姆法则是一种基于行列式的解法，可以求解具有唯一解的线性方程组。

【特征值与特征向量】特征值与特征向量是矩阵理论的重要概念。

特征值是矩阵乘以特征向量后的标量值，特征向量是满足线性方程组的非零向量。

特征值与特征向量可以用于矩阵的对角化，从而简化矩阵运算。

【矩阵的秩与逆矩阵】矩阵的秩是指矩阵中线性无关向量的最大数目。

矩阵的逆矩阵是指与矩阵乘积为单位矩阵的矩阵。

矩阵的秩与逆矩阵是矩阵理论的重要概念，广泛应用于线性方程组的解法、矩阵的求逆等。

【空间解析几何与线性变换】空间解析几何主要研究空间中点的表示、直线和平面的方程等。

线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的运算。

空间解析几何与线性变换密切相关，可以借助线性变换解决空间几何问题。

【总结与建议】宋浩线代辅导讲义系统地阐述了线性代数的基本概念、理论和方法，对于学生掌握线性代数知识体系具有很好的辅导作用。

在学习过程中，建议学生注重理论与实践相结合，多做习题巩固所学知识。

线性代数讲义

目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,…………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=b m,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i 替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m⨯n型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12… a1n a11 a12… a1n b1A= a21 a22… a2n 和(A|β)= a21 a22… a2n b2…………………a m1 a m2… a mn a m1 a m2… a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,⋯ ,a n的向量可表示成a1(a1,a2,⋯ ,a n)或 a2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n矩阵,右边是n⨯1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m⨯n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为α1, α2,⋯ ,αn时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(α1, α2,⋯ ,αn).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量α和β相等(记作α=β),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m⨯n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m⨯n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m⨯n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m⨯n的矩阵,记作c A,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0⇔ c=0 或A=0.转置:把一个m⨯n的矩阵A行和列互换,得到的n⨯m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A').有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当α是列向量时, α T表示行向量, 当α是行向量时,α T表示列向量.向量组的线性组合:设α1, α2,…,αs是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c1α1+c2α2+…+c sαs为α1, α2,…,αs的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12 (1)a21 a22 (2)……… .a n1 a n2… a nn如果行列式的列向量组为α1, α2, … ,αn,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn|.意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a11 a12a21 a22 = a11a22-a12a21 .a11 a12 a13a21 a22 a23 = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32-a13a22a31- a11a23a32-a12a21a33.a31 a32 a33一般地,一个n阶行列式a11 a12 (1)a21 a22 (2)………a n1 a n2… a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:,这里把相乘的n个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列),共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定τ(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数(意义见下面),则项所乘的是全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:, τ(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们可以写出n阶行列式的值:a11 a12 (1)a21 a22… a2n =………a n1 a n2… a nn这里表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij的余子式,记作M ij.称A ij=(-1)i+j M ij为元素a ij的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.3.其它性质行列式还有以下性质:①把行列式转置值不变,即|A T|=|A| .②某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A|=c n|A|.③对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量α=β+γ ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ 所得到的行列式.例如|α,β1+β2,γ |=|α,β1,γ |+|α,β2,γ |.④把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦如果A与B都是方阵(不必同阶),则A * = A O =|A||B|.O B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a1 a2 a3 … a na12 a22 a32… a n2…………a1n-i a2n-i a3n-i… a n n-i的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,…,a n所决定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于0⇔ a1,a2 ,a3,…,a n两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D, D2/D,⋯,D n/D),这里D是系数行列式的值, D i是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|β)作初等行变换,使得A变为单位矩阵:(A|β)→(E|η),η就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|≠0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例3 1+x1 1 1 11 1+x2 1 1 .1 1 1+x3 11 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x4和x3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A=(α, γ1, γ2 ,γ3),B=(β, γ1, γ2 ,γ3),|A|=2, |B|=3 ,求|A+B| .例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a1 a2 a3… a n-1 a nb1 c2 0 … 0 0证明 0 b2 c3 0 0 =.…………0 0 0 …b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M1i都可直接求出).例12 a0 a1 a2… a n-1 a nb1 c1 0 … 0 0证明 b2 0 c2… 0 0 =.…………b n 0 0 …0c n提示: 只用对第1行展开(M1i都可直接求出).另一个常见的n阶行列式:例13 证明a+b b 0 … 0 0a a+b b … 0 0………… = (当a≠b时).0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题例14设有方程组x1+x2+x3=a+b+c,ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2,bcx1+acx2+abx3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.(2)在此情况求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x3(x+4). ③ a3(a+10).例2 1875.例3 x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和. 设 a11 a12... a1n b11 b12... b1s c11 c12 (1)A= a21 a22... a2n B= b21 b22... b2s C=AB=c21 c22 (2)………………………a m1 a m2… a mn ,b n1 b n2… b ns ,c m1 c m2… c ms ,则c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a in b nj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A≠0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A≠0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质:|AB|=|A||B|.如果AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h.② (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A k B k不一定相等!n阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A和B可交换时,有:(A±B)2=A2±2AB+B2;A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).二项展开式成立: 等等.前面两式成立还是A和B可交换的充分必要条件.同一个n阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A和B,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A的纵向切割和B的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A11 A12 B11 B12 = A11B11+A12B21 A11B12+A12B22A21 A22 B21 B22 A21B11+A22B21 A21B12+A22B22要求A ij的列数B jk和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A1 0 0A= 0 A2 0………0 0 …A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A1,A2,…,A k都是方阵.两个准对角矩阵A1 0 ... 0 B1 0 0A= 0 A2 ... 0 , B= 0 B2 0………………0 0 …A k 0 0 …B k如果类型相同,即A i和B i阶数相等,则A1B1 0 0AB = 0 A2B2 … 0 .………00 …A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m⨯n矩阵B是n⨯s矩阵. A的列向量组为α1,α2,…,αn,B的列向量组为β1, β2,…,βs, AB的列向量组为γ1, γ2,…,γs,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):①AB的每个列向量为:γi=Aβi,i=1,2,…,s.即A(β1, β2,…,βs)=(Aβ1,Aβ2,…,Aβs).②β=(b1,b2,…,b n)T,则Aβ= b1α1+b2α2+…+b nαn.应用这两个性质可以得到:如果βi=(b1i,b2i,…,b ni)T,则γi=AβI=b1iα1+b2iα2+…+b niαn.即:乘积矩阵AB的第i个列向量γi是A的列向量组α1, α2,…,αn的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量βi的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设B=(β1, β2,…,βs),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=βi,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:线性代数讲义将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.)“⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.1 / 1。

线性代数专题知识讲座

e2 = (0 , 1, 0 , ···, 0)T , e3 = (0 , 0 , 1, ···, 0)T ,
············ en = (0 , 0 , 0 , ···, 1)T . 并由此可知它是 n - 1 维向量空间.
由向量组 a1 , a2 , ···, am 所生成旳向量空间
L ={ x = 1a1 + 2a2 + ···+ mam | 1, ···, m R },
a = ( 0 , a2 , ···, an )T V .
例 19 集合
V = { x = (1 , x2 , ···, xn )T | x2 , ···, xn R } 不是向量空间. 因为若 a = (1 , a2 , ···, an )T V , 则
2a = (2 , 2a2 , ···, 2an )T V.
1 2 2
4 2
验证 a1 , a2 , a3 是 R3 旳一种基, 并求 b1 , b2 在这
个基中旳坐标.
解要证 a1 , a2 , a3 是 R3 的一个基, 只要证
a1 , a2 , a3 线性无关, 即只要证 A ~ E .
设 b1 = x11a1 + x21a2 + x31a3 ,
这个向量空间称为由向量 a , b 所生成旳向量空间.
一般地, 由向量组 a1 , a2 , ···, am 所生成旳向空间量为
L={x=1a1 + 2a2 + ···+ mam | 1, 2 , ···, m R }.
例 23 设向量组 a1 , ···, am与向量组 b1, ···,
等价b, s记
若向量组 a1 , a2 , ···, ar 是向量空间 V 旳一种基, 则 V 可表达为

《线性代数》部分讲义（Word版）

《线性代数》部分讲义（Word版）GCT 线性代数辅导第一讲行列式一. 行列式的定义● 一阶行列式定义为1111a a =● 二阶行列式定义为2112221122211211a a a a a a a a -=● 在n 阶行列式中，划去元素ij a 所在的第i 行第j 列，剩余元素构成1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ．● 令ij j i ij M A +-=)1(，称ij A 为ij a 的代数余子式．●n 阶行列式定义为n n nnn n nn A a A a A a a a a a a a a a a 1112121111212222111211+++=．二. 行列式的性质1.行列式中行列互换，其值不变．=333231232221131211a a a a a a a a a 332313322212312111a a a a a a a a a 2.行列式中两行对换，其值变号．=333231232221131211a a a a a a a a a –333231131211232221a a a a a a a a a 3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外．=333231232221131211a a a ka ka ka a a a 333231232221131211a a a a a a a a a k4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和．=+++333231232322222121131211a a a b a b a b a a a a +333231232221131211a a a a a a a a a 333231232221131211a a a b b b a a a 由以上四条性质，还能推出下面几条性质5.行列式中如果有两行元素对应相等，则行列式的值为０．6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为０．7.行列式中如果有一行元素全为０，则行列式的值为０．8.行列式中某行元素的k 倍加到另一行，其值不变．=333231232221131211a a a a a a a a a 133312321131232221131211ka a ka a ka a a a a a a a +++三.n 阶行列式展开性质nnn n nn a a a a a a a a a D212222111211= 等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 n i ,,2,1 = ● 按列展开定理nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211 n j ,,2,1 =●n 阶行列式D 的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于零．即02211=+++jn in j i j i A a A a A a j i ≠ ● 按列展开的性质02211=+++nj ni j i j i A a A a A a j i ≠四.特殊行列式●nn nna a a a a a22112211=;()11212)1(11211n n n n n n n na a a a a a ----=● 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同.五.计算行列式● 消零降阶法.● 消为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）..典型习题1. =3D xx x 121332=（）。

宋浩线代辅导讲义

宋浩线代辅导讲义1. 引言线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性变换和线性方程组等内容。

它在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、经济学等。

本讲义旨在帮助读者掌握宋浩线代课程的关键概念和技巧，提供辅导和指导。

2. 向量空间2.1 向量的定义向量是一个有大小和方向的量，可以用箭头表示。

在线性代数中，向量通常用列向量表示。

例如，一个二维向量可以表示为：[x y]其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

2.2 向量的运算在向量空间中，我们可以进行多种运算，包括加法、乘法等。

2.2.1 向量加法给定两个向量u和v，它们的加法定义为：u+v=[u1+v1 u2+v2]其中u1和v1分别表示u和v在第一个维度上的分量，u2和v2分别表示u和v在第二个维度上的分量。

2.2.2 向量乘法给定一个向量u和一个标量k，它们的乘法定义为：ku=[ku1 ku2]其中k是一个实数。

2.3 向量空间的性质向量空间具有以下性质：•加法交换律：u+v=v+u•加法结合律：(u+v)+w=u+(v+w)•零向量存在性：存在一个零向量0，使得对于任意向量x，都有x+0=x•加法逆元存在性：对于任意向量x，存在一个加法逆元−x，使得x+(−x)= 03. 线性变换3.1 线性变换的定义线性变换是指保持向量空间中的加法和数乘运算的映射。

给定两个向量空间V和W，一个从V到W的线性变换将向量v∈V映射为一个向量w∈W。

3.2 线性变换的表示线性变换可以用矩阵表示。

给定一个线性变换T:V→W，我们可以找到一个矩阵A，使得对于任意向量v∈V，有：T(v)=Av其中A称为线性变换的矩阵表示。

3.3 线性变换的特征线性变换具有以下特征：•对于任意向量u,v∈V，有T(u+v)=T(u)+T(v)•对于任意标量k和向量u∈V，有T(ku)=kT(u)4. 线性方程组4.1 线性方程组的定义线性方程组是一组线性方程的集合，其中每个方程都是关于未知数的一次多项式，并且未知数之间的系数是常数。

线性代数总复习讲义PPT课件

在金融学中，线性代数用于描述资产价格和风险等经济量，以及计算收益率和波动率等金融指标。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有着广泛的应用，如图像处理、机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有着广泛的应用，如图像处理、机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有着广泛的应用，如图像处理、机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使用数值计算方法来计算其特征值和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中，特别是在求解二次规划问题时。通过将问题转化为二次型的形式，可以方便地应用各种优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。此外，二次型在统计分析、机器学习等领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密切相关。

线性代数讲义(复习)

a1 2, 3, 4, 5 ,
T
a 2 a 3 1,
2, 3,
T 4 ,
求方程组的通解。
15. 求一个非齐次线性方程组，使它的通解为 1 1 2 1 c1 3 c2 3 , (c1 , c2为任意常数) 3 2 1
2 g1 g 2 (c) k1a1 k 2 (g 1 g 2 ) 2
2 g1 g 2 (d ) k1a1 k 2 (g 1 g 2 ) 2
(b) k1a1 k 2 (a1 a 2 )
g1 g 2
14. 设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, a1, a2, a3是它的三个解向量，且
6. 设A为n阶可逆矩阵且A2 | A | I，证明：A* A.
7. 已知三阶矩阵的特征值为 1, -1, 2，则下列矩阵
中可逆的为 ( (A) 2A+A2 ) (B) A-2I (C) A2-I (D) A2+2A+I
8. 设A, B均为n阶非零方阵且AB=O, 则下列说法正确的是 ( ) (A) A, B都不可逆; (B) A, B都可逆; (C) A, B中至少有一个可逆; (D) 以上均不正确.
am , 线性相关，则向量可由向量组 a1, a2, …, am 唯
一地线性表出。
1. 设向量组a,,g 线性无关,向量组a,,d 线性相关，则
(A) (B) (C) (D)
a必可由,g,d 线性表出；必不可由a,g,d 线性表出； d必可由a,,g 线性表出； d必不可由a,,g 线性表出。
10 . 设A为n阶方阵, | A | 0 且A* O，证明A*的任一非零的列都构成齐次线性方程组Ax 0的基础解系。

线性代数讲义 (17)

x1 x2 x3 x4 0,
例4
求解方程组
x1 x2 x3 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解对增广矩阵 A 施行初等行变换 :
1 A 1
1
1 1 1
1 1 2
1 3 3
~ 0 r12(1)
1 1 2
r13 ( 1)
1 1 1 1 0 0 2 4
解，则
11
x
1
21
n1
称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解．
２．齐次线性方程组 Ax 0 解的性质
（1）若 x 1 , x 2 为 Ax 0 的解，则 x 1 2
也是 Ax 0 的解.
证明: A1 0, A2 0
A1 2 A1 A2 0
0 1
~
1 0
1 0
0 1
1 2
1 2 1 2,
0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0
x1
x3
可见r( A) r( A) 2,故方程组有解,并有
x1 x2 x4 1 2,
x3
2 x4 1 2.
取 x2
x4
0,则 x1
x3
1 ,即得方程组的一个特解 2
1 2
0 12
所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组
x1 x2
1 2
x3
1 2 x3
2 x5 x4
3
9 2 x5
23 2
令x3 k1, x4 k2 , x5 k3 ,即得
x1
1 2
k1
2k3
9 2
x2
1 2
k1
k2
3k3

线性代数总复习讲义

元素都是零的矩阵称为零矩阵, 记作O.
主对角线上的元素都是1, 其余元素都是零的 n阶方阵,叫做n阶单位阵, 简记作E .
５矩阵相加
设A
(a ij)m n
,
B
(b
ij
) m
n
为两个同型矩阵,
矩阵加法定义为A B (aijbij)mn , A B称为
A与B的和.
交换律 A B B A
结合律 ( A B) C A (B C)
则称矩阵A是可逆的(或非奇异的、非退化的、满秩的),且矩阵B称为A的逆矩阵.
若A有逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的, A的逆矩阵记作 A1 .
相关定理及性质
方阵A可逆的充分必要条件是A 0.
若矩阵A可逆,则 A1 A .
( A )1 1
A;(A)1
1
A
A1 (
0);
( AT )1 ( A1)T .
４对换
定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．
５ n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
D
a21 a22 a2n
若同阶方阵A与B都可逆, 那么AB也可逆, 且
( AB)1 B1 A1 .
１１分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证．
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．
典型例题
一、矩阵的运算二、逆矩阵的运算及证明三、矩阵的分块运算
１初等变换的定义

考研数学强化线性代数讲义(至讲)讲义

= 31 .
0 8 -6 0 8 -18 -26
二．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为 :
a x11 1+a12x2+…+a1nxn=b1, a x21 1+a22x2+…+a2nxn=b2,
………… a xm1 1+am2x2+…+amnxn=bm, 对线性方程组讨论的主要问题两个 : (1) 判断解的情况 : 无解 , 唯一解 , 无穷多解 . (2) 求解 , 特别是在有无穷多解时求通解 .
第一讲基本概念
一. 关于矩阵和向量的几个问题。
1．行向量和列向量
3
问题 :(3,-2,1) 和 -2 是不是一样 ?
1
2. 下列矩阵都是什么矩阵 ?
① 100
②c 0 0
③ 2 -1 1
④001
⑤000
000 0c0 017 020 000
002 00c 000 100 000
⑥222
⑦ 2 -1 0 1
220
0127
200
0020
对角矩阵 : ① ② ⑤ .
上三角矩阵 : ① ② ③ ⑤ .
下三角矩阵 : ① ② ⑤
.
对称矩阵 : ① ② ⑤ ④ ⑥ .
3.
3 -1 4
例 : 求矩阵 A= 5 0 7 的列向量组的系数为 2,-1,3 的线性组合 .
0 8 -6
3 -1 4 6 1 12 17
解 :2 5 - 0 +3 7 = 10 - 0 + 21
000 00 000 0 0
1111 1 1 11
111 1
(2) 0 1 -1 2 0 1 -1 2