2014汤家凤线性代数辅导讲义
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文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义
主讲：汤家凤
第一讲 行列式
一、基本概念
定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。
定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3 行列式—称
nn
n n n
n a a a a a a a a a D
21
22221
11211
=称为n 阶行列式，规定
n n
n nj j j j j j j j j a a a D 21212121)
()1(∑-=
τ
。
定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nn
n n n
n
a a a a a a a a a D
21
2222111211
=
中元素ij a 所在的i 行元
素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j
i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式
1、对角行列式—形如n
a a a 0
000021称为对角行列式，n n a a a a a a
2121000
00
0=。
2、上（下）三角行列式—称
nn n n a a a a a a
222112
11及
nn
n n a a a a a a
2
1
22
21
110
0为上（下）三角行列式，
nn nn
n
n a a a a a a a a a 221122211211
0=，
nn nn
n n a a a a a a a a a
22112
1222111
0=。
3、
||||B A B O O A ⋅=，||||B A B O C A ⋅=，||||B A B
C O
A ⋅=。
4、范得蒙行列式—形如1
121
12121111
),,,(---=
n n
n n n n a a a a a a a a a V
称为n 阶范得蒙行列式，
且
n
i j j i n n
n n n
n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==
11121
12
121)(1
11
),,,(。 【注解】0),,,(21≠n a a a V 的充分必要条件是n a a a ,,,21 两两不等。 三、行列式的计算性质
（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即T
D D =。
2、对调两行（或列）行列式改变符号。
3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。 推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。 推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。
推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。
4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即
nn
n n in i i n nn
n n in i i n nn
n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a
21
211121121
21
112112
1
221
1112
11+=+++。 5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即
nn n n jn
j j jn
in j i j i n nn n n jn j j in i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a
2
1212
2111121121212111211+++=，其中k 为任意常数。 【例题1】设321,,,,γγγβα为4维列向量,且4|,,,|||321==γγγαA ，
21|,3,,|||321==γγγβB ，求||B A +。
【例题2】用行列式性质1~5计算8
42321
1
23
-。 【例题3】计算行列式21
64729541
732152-----=
D 。 【例题4】计算n
n a a a a D ++++=
11
1
1
1111111111
11321
，其中)1(0n i a i ≤≤≠。
（二）行列式降阶的性质
6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即
),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=，
),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=。
7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。
【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算8
42321
1
23
-。 【例题2】设2
16472954
1732
152
-----=
D ，求（1）24232221M M M M +++；（2）3231M M +。
四、行列式的应用—克莱姆法则
对方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0
00221122221211212111n nn n n n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （I ） 及
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212********* （II ） 其中)(II 称为非齐方程组，)(I 称为)(II 对应的齐次方程组或)(II 的导出方程组。