点到直线的距离公式
空间直角坐标系中点到直线距离公式
空间直角坐标系中点到直线距离公式
在空间直角坐标系中,点到直线的距离可以通过以下公式来计算:
设直线的方程为Ax + By + Cz + D = 0,点的坐标为P(x1, y1, z1)。
直线的方向向量为n = (A, B, C)。
点P到直线的距离公式为:
d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)。
这个公式的推导可以通过点到直线的距离公式和向量的点乘运
算来得到。
这个公式可以帮助我们在空间直角坐标系中快速计算点
到直线的距离,是空间几何中一个重要的概念。
除了上述的公式,我们还可以通过向量的投影来计算点到直线
的距离。
这种方法同样可以得到相同的结果。
在实际问题中,根据
具体的情况选择合适的方法来计算点到直线的距离是非常重要的。
希望这个回答能够帮助你理解空间直角坐标系中点到直线的距禋计算。
点到直线之间的距离公式
点到直线之间的距离公式
点到直线之间的距离公式是一个重要的几何概念,它用于计算一个点到直线的
最短距离。
这个公式在数学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
设直线的方程为Ax + By + C = 0,点的坐标为(x0, y0)。
要计算点到直线的距离,我们可以利用点到直线的垂直距离公式。
点到直线的距离公式可以通过以下步骤来推导:
1. 首先,我们找到直线上的一个任意点P(x1, y1)。
这可以通过令x = 0或y = 0
来使方程简化。
2. 然后,我们计算点P与点O(x0, y0)之间的欧几里德距离d = √((x1 - x0)² + (y1 - y0)²)。
3. 接下来,我们求解点P到直线的垂直距离。
我们通过将点P代入直线的方程Ax + By + C = 0,求解出P点在直线上的投影点Q(x2, y2)的坐标。
4. 最后,我们计算点O和点Q之间的距离d' = √((x2 - x0)² + (y2 - y0)²)。
根据直角三角形的性质,我们知道d就是点到直线的最短距离。
总结一下,点到直线之间的距离可以通过以下公式来计算:
d = √((x1 - x0)² + (y1 - y0)²),其中(x1, y1)是直线上的任意一点,(x0, y0)是点的
坐标。
这个公式在解决实际问题时非常有用,例如在测量中确定点到线的最短距离,
或者在几何建模中计算点到平面的距离。
它为我们提供了一个可靠和准确的计算方法。
点到直线的距离计算
点到直线的距离计算数学中,点到直线的距离计算是一个基础而重要的概念。
它不仅在几何学中有广泛应用,也在实际生活中有许多实用价值。
在本文中,我将向大家介绍如何计算点到直线的距离,并通过具体的例子和分析来说明这个概念的重要性和应用。
首先,我们需要了解什么是点到直线的距离。
在平面几何中,点到直线的距离是指从给定点到直线上的一个垂直线段的长度。
这个垂直线段与直线垂直相交,且与给定点在同一平面上。
点到直线的距离可以用于解决许多几何问题,比如确定两条直线的关系、求解线段的长度等。
计算点到直线的距离的方法有很多种,其中最常见的方法是使用点到直线的公式。
这个公式可以通过直线的一般方程或者点斜式方程来表示。
接下来,我将分别介绍这两种方程,并举例说明如何计算点到直线的距离。
一、直线的一般方程直线的一般方程可以表示为Ax + By + C = 0,其中A、B、C为常数。
对于给定的点P(x0, y0),点到直线的距离可以通过以下公式计算:d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)例如,我们有一条直线2x + 3y - 6 = 0,现在要求点P(1, 2)到这条直线的距离。
根据公式,我们可以计算得到:d = |2(1) + 3(2) - 6| / √(2^2 + 3^2)= |2 + 6 - 6| / √(4 + 9)= |2| / √(13)= 2 / √(13)所以,点P(1, 2)到直线2x + 3y - 6 = 0的距离为2 / √(13)。
二、直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为y - y1 = m(x - x1),其中m为斜率,(x1, y1)为直线上的一点。
对于给定的点P(x0, y0),点到直线的距离可以通过以下公式计算:d = |y0 - y1 - m(x0 - x1)| / √(1 + m^2)例如,我们有一条直线y - 2x + 3 = 0,现在要求点P(1, 2)到这条直线的距离。
十二种方法推导点到直线的距离公式
十二种方法推导点到直线的距离公式在解析几何中,点到直线的距离是一个重要的概念。
点到直线的距离公式可通过不同的方法进行推导,下面将介绍十二种常见的方法。
方法一:利用向量法设直线上一点为A,直线上一点到点的向量为向量a,直线上一点到点的向量的单位向量为向量u,则点到直线的距离d等于向量a与向量u的叉乘的模长除以向量u的模长。
方法二:利用几何推理法一设直线的方程为Ax+By+C=0,点的坐标为(x0,y0),点到直线的距离d等于点到直线的长度沿着法向量方向的投影长度。
方法三:利用几何推理法二设直线上已知点为A,直线的斜率为k,则点到直线的距离d等于点A到点的函数值与点的坐标之间的差的绝对值除以根号下1+k^2方法四:利用向量运算法设直线上已知点为A,直线的方向向量为向量u,点的坐标为(x0,y0),点到直线的距离d等于向量PA与向量u的向量积PA*u的模长除以u的模长。
方法五:利用面积法一设直线的方程为Ax+By+C=0,点的坐标为(x0,y0),点到直线的距离d等于点A、B、C构成的三角形的面积除以AB的长度。
方法六:利用面积法二设直线的方程为Ax+By+C=0,点的坐标为(x0,y0),点到直线的距离d等于点(x0,y0)到直线方程Ax+By+C=0的距离。
方法七:利用斜率法一设直线上已知点为A,直线的斜率为k,直线的截距为b,点的坐标为(x0, y0),点到直线的距离d等于点到直线ax - y + b = 0的距离,其中a=-1/k。
方法八:利用斜率法二设直线上已知点为A,直线的斜率为k,斜率的倒数为k',直线的截距为b,点的坐标为(x0,y0),点到直线的距离d等于点(x0,y0)到直线y-k'x-b=0的距离。
方法九:利用格拉姆公式法设直线上已知点为A,直线的方向向量为向量u,点的坐标为(x0,y0),点到直线的距离d等于点A到(AP-PB)与u的向量积的模长除以u的模长,其中P为直线上任意一点。
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式点到直线的距离公式是数学中的一个重要概念,它描述了从一个给定点到直线的最短距离。
这个概念在几何学、物理学、计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
这篇文章将详细介绍点到直线的距离公式,并且讨论如何应用这个公式解决实际问题。
首先,我们来定义一条直线。
在平面几何中,一条直线可以通过两个参数来表示,分别是直线上一个点的坐标和直线的斜率。
假设这个点的坐标为P(x₁, y₁),斜率为k,那么直线的方程可以写成y = kx + b。
其中b = y₁ - kx₁是由点P确定的直线的截距。
现在,我们来考虑一个点Q(x₀,y₀),它离直线的距离为d。
根据点到直线的距离的定义,我们可以得到以下关系:1.直线上任意一点的坐标为(x,y)。
它到点Q的距离可以表示为√((x-x₀)²+(y-y₀)²)。
2. 点到直线的最短距离为沿着直线法线方向测得的距离。
设直线的法线方程为y = -1/kx + c,其中c是由点Q确定的常数。
根据两条直线垂直的性质,我们可以得到垂直两直线的斜率乘积为-1,即k*(-1/k) =-1、将直线的方程和法线的方程代入得到c = y₀ + (1/k)x₀。
3. 点Q到直线的距离可以表示为垂直方向上的投影。
所以,点到直线的距离d可以通过以下公式计算:d = ,y₀ - kx₀ + c,/ √(1 + k²)。
这个公式就是点到直线的距离公式。
它是通过求解点到直线的垂直距离得到的,使用了点到直线的斜率和垂直方向上的截距。
接下来,我们来看一个例子来说明如何使用点到直线的距离公式解决实际问题。
假设我们有一个直线L:y=2x+3,和一个点P(-1,4)。
我们想要计算点P到直线L的距离。
首先,我们需要计算直线的斜率和截距。
直线的斜率k=2,截距b=3-2*(-1)=5接下来,我们使用点到直线的距离公式计算距离:d=,4-2*(-1)+5,/√(1+4)=,4+2+5,/√(5)=11/√(5)≈4.92所以,点P到直线L的距离为约4.92个单位。
点到直线的距离求法
点到直线的距离求法点到直线的距离是解析几何中的一个基本概念,它描述了一个点到直线的最短距离,对于很多几何问题的解决都起到了重要的作用。
本文将介绍几种常见的求解点到直线距离的方法,并对它们的优缺点进行分析。
一、点到直线的距离定义在二维平面上,已知一点P(x0, y0)和一条直线Ax + By + C = 0,点到直线的距离可以表示为 d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)。
其中,|Ax0 + By0 + C|表示点P到直线的有向距离。
二、垂线法求点到直线的距离垂线法是一种直观且易于理解的方法。
它的基本思想是从点P引一条垂直于直线的线段,然后求这条线段的长度。
具体步骤如下:1. 求直线的斜率k,如果直线垂直于x轴,则斜率不存在。
2. 求直线的截距b。
3. 设直线上一点为Q(x, y),则垂线的斜率为-k的倒数,即k' = -1 / k。
4. 垂线方程为y - y0 = k'(x - x0)。
5. 求垂线与直线的交点,设交点为M(xm, ym)。
6. 计算点P和交点M之间的距离 d = √((xm - x0)^2 + (ym - y0)^2)。
垂线法的优点是直观易懂,适用于一般情况下的点到直线距离求解。
然而,该方法在遇到直线平行于坐标轴时无法使用,而且计算过程较为繁琐。
三、公式法求点到直线的距离公式法是一种基于点到直线距离公式的求解方法,它可以适用于各种情况下的点到直线距离计算。
具体步骤如下:1. 已知直线方程为Ax + By + C = 0,点P(x0, y0)。
2. 代入点到直线距离公式 d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2),计算距离d。
公式法求解简单快速,适用于各种情况下的点到直线距离计算。
然而,该方法对于直线平行于坐标轴的情况,可能会出现分母为0的情况,需要特殊处理。
四、向量法求点到直线的距离向量法是一种基于向量运算的求解方法,它利用向量的性质进行计算,具有较高的几何意义。
点到直线距离的公式
点到直线距离的公式点到直线距离的公式是指在直角坐标系中确定一点P(x,y)到直线y=ax+b的距离d的计算公式。
这里我们先简单介绍一下点到直线距离的求解方法。
首先,我们需要知道直线与坐标轴之间的关系。
在直角坐标系中,如果一条直线的斜率为a,截距为b,则该直线的方程可以表示为y=ax+b。
接着,我们可以利用线段AB的中垂线BC与直线的交点C来求解点P到直线距离。
由于线段BC是AB的中垂线,所以BC与直线的交点C必位于直线上。
也就是说,点C的坐标可以通过AB的中点M(xm,ym)与斜率为a的直线的交点来求得。
我们可以根据斜率公式求出直线的斜率,然后根据中点的坐标求出该直线的截距。
这样我们就能够求得直线上与BC相交的点C的坐标了。
接着,我们就可以利用向量CA和CB的叉积计算出点P与直线的距离了。
设向量CA为(a1,b1),向量CB为(a2,b2),则向量CA和CB的叉积为(a1b2-a2b1)。
由于点P与直线的距离等于向量CA和向量CB的叉积的模值除以向量CB的模值,所以点P到直线的距离可以表示为:d = |a1x + b1y + c| / √(a1² + b1²)其中,a1、b1、c分别是直线的一般式表示中的系数,即ax+by+c=0。
在直线方程为y=ax+b时,a1就是a,b1就是-1,c就是-b。
所以上述公式可以化简为:d = |ax - y + b| / √(a² + 1)有了这个公式,我们就可以很方便地求解点P到直线的距离了。
下面,我们来看一下求点到直线距离的具体例题。
例1:求点P(2,3)到直线y=2x-1的距离。
解:首先,我们可以根据斜率公式求出直线的斜率为2,截距为-1。
然后,根据题目要求,设点C(xc,yc)为线段AB的中点,则AB的中垂线BC的斜率为-1/2,因此BC的方程为y=-1/2x+yc。
将直线y=2x-1与BC的方程y=-1/2x+yc联立,可得:2x-1 = -1/2x + yc2.5x = 1+ycx = 2/5 + yc/2.5因此,直线上与BC相交的点C的坐标为:C(2/5+yc/2.5,2/5+2.5yc/2.5)那么,向量CA和向量CB的坐标分别为:CA(2-2/5-yc/2.5,3-2.5(2/5+yc/2.5))CB(2/5+yc/2.5,2/5-2.5yc/2.5)将它们代入向量叉积公式(a1b2-a2b1),可得:|CA×CB| = |-6/5 - 5yc/2.5| = 2/√5向量CB的模值为√[(2/5)^2 + (2.5)^2] = √(29)/5 因此,点P到直线的距离为:d = |2(2)-3+1| / √(2² + 1²) = 3/√5。
高等数学点到直线的距离公式
高等数学点到直线的距离公式《高等数学点到直线的距离公式》在高等数学中,点与直线的距离是一个基础且重要的概念。
了解并应用点到直线的距离公式,可以帮助我们解决许多与直线相关的问题。
首先,我们来看一下点到直线的距离的定义。
设直线L的方程为Ax + By + C = 0,而点P的坐标为(x₁, y₁)。
点P到直线L的距离d的计算公式为:d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)其中,√(A² + B²)是直线与x轴的斜率的模。
让我们具体分析一下这个公式。
首先,Ax + By + C = 0是直线L的一般方程形式。
点(x₁, y₁)代入该方程后,我们可以获得该点到直线L的代数距离Ax₁ + By₁ + C。
然而,这个代数距离可能是负数,为了获得有效的距离值,我们需要取其绝对值。
接下来,我们需要计算直线与x轴的斜率。
假设直线L的斜率为m,那么斜率的计算公式为:m = -A / B利用斜率的计算公式,我们可以求得直线与x轴的斜率,即√(A² + B²)。
在公式中,√(A² + B²)的作用是将代数距离转换为几何距离,即点到直线的实际距离。
通过应用《高等数学点到直线的距离公式》,我们可以解决许多实际问题。
例如,我们可以使用这个公式来确定一条直线上离一点最近或最远的位置,或者计算直线之间的最短距离。
总结起来,《高等数学点到直线的距离公式》是一个有用且实用的工具,可以帮助我们计算点到直线的距离。
理解并掌握这个公式,将有助于我们在解决与直线相关的问题时更加准确而高效。
求点到直线的距离的公式
点到直线距离公式:鱼叉定理必备技巧点到直线距离的计算在初中数学学习中是非常重要的一部分,而鱼叉定理是其中的核心技巧。
鱼叉定理利用向量的知识,可以非常简单地计算出点到直线的距离,下面我们来一起学习一下。
公式推导:假设直线L的一般式为Ax+By+C=0,点P的坐标为(x0,y0)。
首先将点P到直线L的距离表示为线段AF的长度,D为点(x0,y0)关于直线L的对称点。
因为直线L是Ax+By+C=0,所以直线的法向量 N=(A,B),则L的方向向量为D=(-B,A)。
因为向量AD垂直于直线L,所以向量AD与直线L的法向量N 的内积为0,即:D(x0,y0)关于L的对称点的坐标为D(x0,y0) = P(x0,y0) - (A*x0+B*y0+C)/(A^2+B^2)*(A,B)然后利用向量的模长公式和内积公式,可以得到如下的鱼叉定理公式:d(L,P)=|AD|=|(x0,y0)- (A*x0+B*y0+C)/(A^2+B^2)*(A,B)|d(L,P)=[A*x0+B*y0+C]/sqrt(A^2+B^2)鱼叉定理应用:当我们需要计算点到线段的距离时,需要用到以下的3个距离公式:1. 点到直线距离公式: d=|Ax+By+C|/sqrt(A^2+B^2)2. 点到线段端点距离公式:对于线段AB,点P到线段AB的距离为 min(d1,d2),其中,d1是点到A点的距离,d2是点到B点的距离。
3. 点到线段距离公式:对于线段AB,点P 到线段AB的距离为 d,先用点到直线距离公式计算点P到直线AB的距离d,然后再计算线段AB两端点到点P的向量的点积,如果两个向量的点积乘积小于0,则点P到线段AB的距离就为d。
如果两个向量的点积乘积大于0,则点P 到过线段两端点中点M的距离即为点到线段的距离。
坐标系中点到直线距离公式
坐标系中点到直线距离公式在坐标系中,求点到直线的距离是一个常见的几何问题。
在本文中,我们将介绍两种常用的点到直线距离的计算方法,分别为点到直线的公式和点到直线的投影方法。
一、点到直线的公式:设直线的方程为ax+by+c=0,点的坐标为(x0, y0)。
步骤1:求直线的斜率k。
由于直线的一般式为ax+by+c=0,我们可以观察到a和b的比值即为直线的斜率。
步骤2:求直线上一点P(x1,y1)的直线方程。
由于点P和直线上其他任意一点在直线上,所以可以使用点坐标代入直线方程得到一直线上的点。
步骤3:求点P到直线的距离。
我们可以使用点P到直线的距离公式,即点P到直线l的距离为:d = ,ax0 + by0 + c,/ √(a^2 + b^2)其中,.,代表绝对值符号,√代表开平方,^代表幂运算。
计算该距离的过程如下:1. 确定直线的斜率k。
由直线的一般式ax + by + c = 0可知,斜率为-k,即k = -a/b。
2. 由于直线上的任意一点(x1, y1)满足直线方程ax1 + by1 + c = 0,代入y = kx + b可得y1 = kx1 - c/b。
因此任意一点为(x1, kx1 -c/b)。
3.计算点P到直线的距离。
d = ,(ax0 + by0 + c) / √(a^2 + b^2)这就是点到直线距离的公式。
例如,对于直线2x+3y-6=0和点(1,2):直线的斜率为k=-a/b=-2/3任意一点为(x1, kx1 - c/b) = (x1, 2x1 - 2)。
代入点(1,2)计算得直线上一点为(1,0)。
计算点到直线的距离:d=,(2×1+3×2-6)/√(2^2+3^2)d=,(2+6-6)/√(4+9)d=,2/√13所以点(1,2)到直线2x+3y-6=0的距离为,2/√13二、点到直线的投影方法:投影方法是通过点到直线上的投影点来计算点到直线的距离。
步骤1:求直线的单位法向量。
点到直线方程距离公式
点到直线方程距离公式点到直线的距离公式是解析几何中的一个重要概念。
在二维平面上,给定一个点P(x,y)和一条直线Ax+By+C=0,如何计算点P到直线的距离呢?假设点P到直线的距离为d,点P的坐标为(x,y),直线的一般方程为Ax+By+C=0。
则点P到直线的距离可以通过以下公式计算:d=,Ax+By+C,/√(A^2+B^2)其中,Ax+By+C,表示绝对值。
下面我们来详细推导这个公式。
首先,我们知道一条直线可以由其上的两个点构成,假设直线上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)。
直线AB的斜率可以表示为:k=(y2-y1)/(x2-x1)那么直线AB的斜率垂直于直线所形成的角度θ可以表示为:θ = atan(-1/k)其中,atan(是反正切函数。
点P到直线AB的距离d可以通过以下步骤计算:1.计算直线AB的斜率k。
2.由直线AB的斜率k计算直线CD的斜率k',CD是过点P且与直线AB垂直的直线。
k'=-1/k3.根据点斜式,直线CD的方程可以表示为:y-y0=k'(x-x0)其中,(x0,y0)是点P的坐标。
展开方程,可以得到:y-y0=-(x-x0)/ky-y0=-(x/k)+x0/k通常我们将方程变换为一般方程的形式:Ax+By+C=0比较系数可以得到:A=1/kB=-1C=y0-x0/k即:A=-1/kB=1C=x0/k-y0最后,点P到直线AB的距离可以由一般方程Ax+By+C=0计算得出:d=,Ax+By+C,/√(A^2+B^2)d=,(-1/k)x+y+(x0/k-y0),/√((-1/k)^2+1^2)d=,(-1/k)x+y-(x0/k-y0),/√(1/k^2+1)d=,(-1/k)x+y-x0/k+y0,/√(1/k^2+1)d=,(-1/k)x+y-x0/k+y0,/√(1+k^2)/k^2d=,(-1/k)x+y-x0/k+y0,/√(k^2+k^2)/k^2d=,(-1/k)x+y-x0/k+y0,/√(2k^2)/k^2最后,我们可以将公式进一步简化为:d=,(y-y0)k+(x0-x),/√(2k^2)/k^2d = ,(yk + x0 - x0 - x)k,/ √(2k^2)/k^2d = ,(xy - x0y - xk + x0k)k,/ √(2k^2)/k^2d = ,xy - x0y - xk + x0k,/ √(2k^2)/k^2d = ,xy - x0y - xk + x0k,/ √2,kd=,Ax+By+C,/√(A^2+B^2)这就是点到直线的距离公式。
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教学设计:点到直线的距离公式一、教材分析点到直线的距离公式是高中解析几课程中最重要的也是最精彩的公式之一,它是解决点与直线、直线与直线位置关系的基础,也是研究直线与圆、圆与圆的位置关系的重要工具,同时为后面学习圆锥曲线做准备。
教材试图让学生通过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程,深刻领会蕴涵于其中的数学思想和法;逐步学会利用数形结合、算法、转化、函数等数学思想法来解决数学问题;充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣。
二、学情分析我上课的班级是一中的实验班,从总体上看,本班学生的数学基础比较好,平时肯思考问题,钻研精神强,有较好的自主学习和探究学习能力,同时,学生已掌握直线的程和平面上两点间的距离公式,具备了探讨新问题的一定的基础知识。
但学生大容量的自主探究,对课堂教学过程的控制带来一定的难度。
三、教学目标(1)经历点到直线的距离公式探索过程,抽象出求点到直线距离的步骤;理解用数形结合、算法、转化、函数等数学思想来研究数学问题的法;(2)会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离。
(3)通过自主探究、合作交流等式,培养学生勇于探索、自主探究和发散思维能力和合作互助的团队精神。
(4)通过解题法的多样性,展现数学思维的灵活性和开阔性,使学生体会解析几的魅力。
四、教学重点点到直线的距离公式的探究过程及公式的简单应用。
五、教学难点点到直线的距离公式的探究。
六、教学法以“学生为主体,教师为主导,问题解决为主线,能力发展为目标”的教学思想为指导,采用“问题探究”的教学法。
通过创设问题情景,引导学生在自主探究与合作交流中构建新知识。
课堂实录:师:同学们!我们知道,数学像文学作品一样,来源于生活,高于生活,并指导生活。
那么,在你的生活中,听说过以下问题吗?它们又是怎样的数学问题?(多媒体演示)如图,在铁路的附近,有一座仓库,现要修建一条公路使之连接起来,那么怎样设计能使公路最短? 最短路程又是多少?生1:我们可以从仓库向铁路做垂线,沿垂线段铺设公路可使其最短。
师:很好!将来你肯定是一个合格的工程师。
再来看下一个:(多媒体演示)报道:9月15号13号台风“珊珊”从太平洋出发以近直线型路线运动,如图,台风波及区域约直径100海里,请预测台北人民是否需要做台风来临前的相关工作?(左图,黑色线代表台风路线,右上角紫色区域代表台北市)(设计意图:联著名数学家A.R辛钦说过;“我想尽力做到引进新概念、新理论时,学生先有准备,能尽可能地看到这些新概念、新理论的引进是很自然的,甚至是不可避免的。
我认为只有利用这种法,在学生面才能非形式化地理解并掌握所学到的东西”因此,通过实际问题,创设情境,呼应数学来源于生活,激发学生学习的兴趣和探讨问题的欲望。
)生2:如果可以把台北市看作一个点,那么,需要计算台北市到台风路线所在直线的距离,比较这个值和50海里的大小,若该值较大,则台北人民可以高枕无忧,否则,需做准备工作。
师:回答的很好!以上两个生活情景和怎样的数学问题有关?生齐答:点到直线的距离。
师:什么是点到直线的距离,你能给它下个定义吗?(设计意图:从感性认识上升到理性认识,用数学语言表述需准确、精炼、具有高度概括性。
此处,为了训练学生的表达能力而设计,同时为用定义法求点到直线的距离埋下伏笔。
)生3:经过点做已知直线的垂线,垂线的长即点到直线的距离。
生4:不对。
怎能是垂线的长,应该是垂线段的长。
师:学生4订正的很好!“垂线段的长”再具体些是不是“点和垂足间的距离”?(多媒体演示)点到直线的距离:经过点做已知直线的垂线,点和垂足之间的距离。
师:明确了点到直线的距离的概念后,我们回头看看台风问题:(多媒体演示)若在某给定的坐标系下,在一定的比例尺下,台风的路线所在的直线程+-=y10为 台北市所在点的坐标为(3,4),此时台风波及区域的直径为10,你能解决上述问题吗?(思考,片刻)(设计意图:呼应数学高于生活,增强学生的建模意识,能抽象出数学模型,为解决问题做准备工作) 生5:这个问题相当于已知点P (3,4),直线的程为 求点P 到直线L 的距离. 我们可以先利用点斜式求直线L 的垂线L ’的程,然后,直线程和垂线的程联立,可解出垂足坐标,再利用两点间距离公式即可求出点到直线的距离。
(学生5表述时,师在黑板上画出点和直线)师:回答的好极了!学生5不仅抽象出了数学模型,而且给出了解题法。
(屏幕显示:已知点P (3,4),直线的程为 求点P 到直L 的距离?)他的法,实质上是把定义演绎了一遍。
你们看“点到直线的距离”的定义,不正是这样叙述的吗?下面让我们共同来看看用定义的法解题的步骤。
(数学概念是学生能顺利分析问题、转化问题的必要条件,用上述法求解点到直线的距离,思路最自然的原因,就是学生对其概念已经认知)(多媒体演示)10y +-=10y +-=H(设计意图:新教材引入算法的目的——让程序化思想成为我们思考问题的习惯。
此环节是为了训练学生有条理的分析问题,渗透算法思想)师:学生5已经率先找到解决问题的法了。
你也是这样想的吗?你还有其它法吗?师在黑板左侧板书:求点到直线的距离的法(1)利用定义;)(设计意图:对于不同的学生,他们有不同的认知结构,即使在相同的外部刺激下都会有不同的同化和顺应,因而,要相信会有不同的解题法,否则需改变或增加外部刺激。
)(关于“同化和顺应”见后注)(预案1)(很多学生举起了手)生6:老师,我有一个新法:过点P 分别作X 轴,Y 轴的平行线,交直线L 于A ,B 两点,再过点P 作L 的垂线,垂足为H 。
根据点的P 坐标和直线L 的程可求点A 的坐标,从而∣PA ∣易求,∣PB ∣ 易求,通过两点间距离公式可求∣AB ∣。
然后利用Rt PBA 的面积即可表示为12PA PB ,也可表示为12AB PH ,则可求点P 到直线L 的距离∣PH ∣。
(师边听边按照学生6的叙述作图。
如图 并板书:(2)构造PAB Rt ,利用面积相等,即12PA PB =12AB PH ) P O师:学生6另辟蹊径,打开了构造之门。
你们看,他构造了一个Rt PBA ,而我们所需求的线段恰好转化为△PAB 斜边上的高。
很好!从无三角形到有三角形——“无中生有”有创意!(设计意图:及时总结,升华。
也学生意识不到自己正在构造,创新,老师的点拨可以使他们意识到自己的行为,从而,实现正迁移,进而解决其它问题。
) (掌声响起)生7:不用面积关系,用△PAH 和△BAP 相似 可知PH PA PB AB = 即可求出∣PH ∣。
(生齐答:对!)(师板书:(3)通过三角形△PAH 和△BAP 相似 PH PA PB AB=) 生8:(面带犹豫)我想,学生6作两条平行线构造出直角△PAB ,如果只作一条平行线比如说PB 也可构造出直角三角形,在直角三角形PBH 中应该也能求出∣PH ∣,但我还没有想出该怎样求?(师擦去直线PA ,如图)师:(坚定)学生8有较强的简化意识,这可是数学家应具有的品质,但他遇到了困难,我们能帮帮他吗?(发现有横在面前的难题,大家都积极思考。
片刻)(设计意图:数学追求过程的简洁,结果的简洁。
鼓励学生不断地改进法,策略,可促使学生思维深刻。
同时发挥学生的主动性,通过让学生自主探索,培养学生研究问题及解决问题的能力.)生9:(边站起,边大声高兴地叫道)我解决这个问题了!师:(笑)恭喜你!那快把你的案说给我们听听。
生9:首先,作为斜边的∣PB ∣易求,欲求∣PH ∣可考虑边边关系PH =但∣BH ∣不好求,所以排除从边边关系入手的案。
现考虑边角关系,已知一边还需一个角,我们知道直线有倾斜角,于是我想△PBH 中哪个角和倾斜角θ有关?果然,我发现∠P 和直线的倾斜角θ互补! 只要在图中延长PB 便知。
现在∣PH ∣=∣PB ∣COS (πθ-),因而,只需求|COS θ∣即可。
因为tan (0)A B B θ=-≠, 所以COS θ==。
这样,问题就解决了。
(热烈的掌声响起。
师生共同鼓掌)师:真是太棒了!充分利用直线程中的已知资源。
仅通过直线程的系数便把∣COS θ∣求出,进而解决问题。
即简化了构造的图形,又减少了运算量,真是一箭双雕!妙!(忍不住再次鼓掌)(设计意图:及时鼓励是使学生保持较高的积极性,较强烈的参与性的重要手段)生10:(突然小声地说)如果直线的倾斜角是锐角呢?(冷不妨学生10提出这样的问题,大家稍愣了一下。
马上意识到有必要研究这个问题。
片刻)( 还是)生9:没问题!如果倾斜角是锐角,则∠P 和它相等!如图其他同学都如有所思地齐说:对,对。
师:这是我们探讨出的第四种法,它利用了三角函数的相关知识,既用形又用数,把数和形完美的结合起来!简化了问题。
(板书:(4)构造三角形,利用三角函数,通过∣PH ∣=∣PB ∣∣COS θ∣) (设计意图:数形结合思想是中学数学重要的思想法。
老师应该适时地强调。
)生11:老师,我没有用形仅用数也可以求解!你看,如果在直线上任选一点M (x,y ),则因为点M 在直线上,所以1A C y x B B=--=+,则∣PM ∣,然后,求这个函数的最小值就行了。
师:噢!原来转化为函数求最小值的问题了。
那函数的定义域是什么?(设计意图:解数学应用题时,从中抽象出数学模型,如果是函数问题时,学生很易忽视定义域,即自变量的取值限制。
因而,虽然此处函数的定义域是全体实数,所以仍作了强调。
)生11(愣了一下):全体实数,因为被开数是恒大于等于零的。
师(稍激动):点到直线的距离,实质上是点到直线上所有点中距离最小的点所对应的值!学生11恰好利用了这个最小值的性质。
好样的!(板书:(5)构造函数,利用函数最小值)(掌声又响起)(设计意图:数学的抽象性可通过函数窥见一斑,能把定点和垂足间的距离与定点和直线上其它点的距离联系起来,可见学生的思维开始深刻起来。
老师应该及时地诠释给其他同学听并给与生11鼓励和肯定。
)生12:我受学生11的启发,又有一种法:因为给一个距离所在的值就会有直线上的两个点和这个值相对应,当且仅当这个值是最小的时候仅有一个点和其对应。
所以可以利用这种唯一性解题。
令∣PM ∣d 2=222(3)5)4(634x x x -+-=-++即224(6340x x d -++-=然后利用该程的判别式△=0即可求解d 值。
师(很激动):太棒了!把函数问题转化为程问题。
在全体实数上的二次程有两等根即一解时,正好是它的判别式为零时。
学生12在学生11的法的基础上,再接再厉,进行了更深层次的思考,展示了函数和程之间的联系。
学生12向我们展示了数学思维的深刻性。
他的继续探求的行为和习惯值得我们学习。
他的探究能力也让我们佩服!(板书:(6)构造程,利用程的判别式为零)(热烈的掌声响起)(设计意图:教师应该抓住一切适当的机会对学生进行学习习惯的培养,良好品质的培养,同时,通过对学生的表扬,调动其他学生的主动性和积极性。