安徽省六安市舒城中学2017届高考数学仿真试卷(文科)(1)

2017年安徽省六安市舒城中学高考数学仿真试卷（文科）（1）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，a为正实数，若||=2，则a=（）
A．1 B．2 C．D．
2．已知集合M={﹣1，0，1}，N={y|y=1﹣cos x，x∈M}，则集合M∩N的真子集的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）
A．a+b＞0 B．C．ab＜b2D．a3﹣b3＜0
4．已知平面向量=（1，0），=（﹣，），则与+的夹角为（）
A．B．C． D．
5．已知，则的值等于（）
A．B．C．D．
6．设正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2017=4034，则的最小值为（）
A．B．C．2 D．4
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．5 B．C．7 D．
8．执行如图所示的程序框图，如果输出T=6，那么判断框内应填入的条件是（）
A．k＜32 B．k＜33 C．k＜64 D．k＜65
9．以下判断正确的是（）
A．函数y=f（x）为R上的可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件B．命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1＞0”
C．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题
D．“b=0”是“函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件
10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线上的一点，
且|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，则该双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．或
11．若函数f（x）=a（x﹣2）e x+lnx+存在唯一的极值点，且此极值大于0，则（）
A．0≤a＜ B．0≤a＜
C．﹣＜a＜ D．0≤a＜或a=﹣
12．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），且x∈时，f（x）=1﹣x2，函数g
（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间内的零点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．规定；投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀，现采用随机模拟试验的方法估计某选手的投掷飞镖的情况，先由计算机根据该选手以往的投掷情况产生随机数0或1，用0表示该次投掷未在8环以上，用1表示该次投掷在8环以上；再以每三个随机数为一组，代表一轮的结果，经随机模拟试验产生了如下20组随机数；
101 111 011 101 010 100 100 011 111 110
000 011 010 001 111 011 100 000 101 101
据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为．
14．已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为
，函数的图象的对称中心为（﹣1，0），…，由此推测，函数
的图象的对称中心为．
15．当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC内（含边界）运动时，目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为（1，2），则实数k的取值范围是．
16．设向量=（a1，a2），=（b1，b2），定义一种向量积⊗=（a1b1，a2b2）．已知向量=
（2，），=（，0），点P（x，y）在y=sinx的图象上运动，Q是函数y=f（x）图象上
的点，且满足=⊗+（其中O为坐标原点），求函数y=f（x）的值域．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设S n是数列的前n项和，已知a1=3a n+1=2S n+3（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．
18．（12分）从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．
（1）求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）从总分在时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间内的零点的个数为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】根据条件可得f（x）是周期函数，T=2，h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g（x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，由图象可得结论．
【解答】解：由题意f（1+x）=f（x﹣1）⇒f（x+2）=f（x），故f（x）是周期函数，T=2，令h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g（x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，如图所示：
故在区间内，函数y=f（x）和y=g（x）图象的交点有8个，
则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间内的零点的个数为8．
故选C．
【点评】本题考查函数零点的定义，体现了数形结合的数学思想，在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，是解题的关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．规定；投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀，现采用随机模拟试验的方法估计某选手的投掷飞镖的情况，先由计算机根据该选手以往的投掷情况产生随机数0或1，用0表示该次投掷未在8环以上，用1表示该次投掷在8环以上；再以每三个随机数为一组，代表一轮的结果，经随机模拟试验产生了如下20组随机数；
101 111 011 101 010 100 100 011 111 110
000 011 010 001 111 011 100 000 101 101
据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为0.6 ．
【考点】CD：随机数的含义与应用．
【分析】总得事件共有20种，3次中至少两次投中8环以上101，111，011，101，011，111，110，011，111，011，101，101，共12种，根据概率公式计算即可．
【解答】解：总得事件共有20种，3次中至少两次投中8环以上101，111，011，101，011，111，110，011，111，011，101，101，共12种，
故据此估计，该选手投掷1轮，可以拿到优秀的概率为P==0.6，
故答案为：0.6．
【点评】本题考查了古典概型概率的问题，属于基础题．
14．已知函数的图象的对称中心为（0，0），函数的图象的对称中心为
，函数的图象的对称中心为（﹣1，0），…，由此推测，函数
的图象的对称中心为．
【考点】F1：归纳推理．
【分析】题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，，﹣1，…，即0，，，…，此数列通项公式易求．
【解答】解：题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0，，﹣1，…，
即0，，，…，
由此推测，函数的图象的对称中心为
故答案为：
【点评】本题考查归纳推理，实际上可看作给出一个数列的前几项写出数列的通项公式．
15．当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC内（含边界）运动时，目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为（1，2），则实数k的取值范围是．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】先根据约束条件的可行域，再利用几何意义求最值，z=kx+y表示直线在y轴上的截距，﹣k表示直线的斜率，只需求出k的取值范围时，直线z=kx+y在y轴上的截距取得最大
值的一个最优解为（1，2）即可．
【解答】解：由可行域可知，直线AC的斜率=，
直线BC的斜率=，
当直线z=kx+y的斜率介于AC与BC之间时，
C（1，2）是该目标函数z=kx+y的最优解，
所以﹣k∈，
⇒k∈，
则实数k的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、
化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
16．设向量=（a1，a2），=（b1，b2），定义一种向量积⊗=（a1b1，a2b2）．已知向量=
（2，），=（，0），点P（x，y）在y=sinx的图象上运动，Q是函数y=f（x）图象上
的点，且满足=⊗+（其中O为坐标原点），求函数y=f（x）的值域．
【考点】9R：平面向量数量积的运算；H2：正弦函数的图象．
【分析】令Q（c，d），由新定义可得=⊗+=（2x+， sinx），消去x，可得d=sin
（c﹣），即可得到y=f（x）的解析式，再由正弦函数的值域即可得到所求值域．
【解答】解：令Q（c，d），
由新运算可得=⊗+=（2x， sinx）+（，0）
=（2x+， sinx），
即，消去x得d=sin（c﹣），
所以y=f（x）=sin（x﹣），
当x﹣=2kπ+，即x=4kπ+，k∈Z时，取得最大值；
当x﹣=2kπ﹣，即x=4kπ﹣，k∈Z时，取得最小值﹣．
故y=f（x）的值域为．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查正弦函数的值域的运用，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（2017•舒城县校级模拟）设S n是数列的前n项和，已知a1=3a n+1=2S n+3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．
【分析】（1）利用数列的递推关系式推出数列是等比数列，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和，求解即可．
【解答】解：（1）当n≥2时，由a n+1=2S n+3，得a n=2S n﹣1+3，（1分）
两式相减，得a n+1﹣a n=2s n﹣2s n﹣1=2a n，∴a n+1=3a n，，（3分）
当n=1时，a1=3，a2=2S1+3=9，则．
∴数列{a n}是以3为首项，3 为公比的等比数列，
∴a n=3n．（6分）
（2）由（1）得b n=（2n﹣1）a n=（2n﹣1）3n．
∴T n=1×3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）3n，
3T n=1×32+3×33+5×34+…+（2n﹣1）3n+1，
错位相减得：﹣2T n=1×3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n﹣1）3n+1，（9分）
=﹣6﹣（2n﹣2）3n+1（11分）
∴．（12分）
【点评】本题考查数列的递推关系式定义域，通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．
18．（12分）（2017•舒城县校级模拟）从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．
（1）求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）从总分在[55，65）和[135，145）的试卷中随机抽取2分试卷，求抽取的2分试卷中至少有一份总分少于65分的概率．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．
【分析】（1）利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求这100份数学试卷的样本
平均分和样本方差s2；
（2）利用互斥事件的概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意， =60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，
s2=（60﹣100）2×0.02+（70﹣100）2×0.08+（80﹣100）2×0.14+（90﹣100）2×0.15+（100﹣100）2×0.24+（110﹣100）2×0.15+（120﹣100）2×0.1+（130﹣100）2×0.08+（140﹣100）2×0.04=366；
（2）总分在[55，65）和[135，145）的试卷，共有6份试卷，其中[55，65）有2份，[135，145）有4份，
一份少于65分的概率为，2份少于65分的概率为，故抽取的2分试卷中至少有一份总
分少于65分的概率为=．
【点评】本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2017•龙岩一模）如图，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC∩BD=O，将
菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=6．
（1）求证：OD⊥平面ABC；
（2）求三棱锥M﹣ABD的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出OD⊥AC，DO⊥OM，由此能证明OD⊥面ABC．
（2）由V M﹣ABD=V D﹣ABM，能求出三棱锥M﹣ABD的体积．
【解答】满分（12分）．
证明：（1）∵ABCD是菱形，AD=DC，OD⊥AC，…（1分）
△ADC中，AD=DC=12，∠ADC=120°，∴OD=6，
又M是BC的中点，∴，
∵OD2+OM2=MD2，∴DO⊥OM…（4分）
∵OM，AC⊂面ABC，OM∩AC=O，∴OD⊥面ABC．…（6分）
解：（2）△ABM中，AB=12，BM=6，∠ABM=120°，
∴==18，…（8分）
由（1）得OD⊥面ABC，
∴V M﹣ABD=V D﹣ABM=
=．…（12分）
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积计算等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化及数形结合的数学思想．
20．（12分）（2017•济宁一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
的离心率是，且直线l1：被椭圆C截得的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l1与圆D：x2+y2﹣6x﹣4y+m=0相切：
（i）求圆D的标准方程；
（ii）若直线l2过定点（3，0），与椭圆C交于不同的两点E、F，与圆D交于不同的两点M、N，求|EF|•|MN|的取值范围．
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式及勾股定理即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）（i）由题意求得直线l1方程，将圆转化成标准方程，利用点圆心到直线的距离公式，求得半径，即可求得椭圆方程；
（ii）设l2：y=k（x﹣3），代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|EF|•|MN|，根据二次函数的单调性即可求得|EF|•|MN|的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得直线l1过定点（a，0），（0，b），a2+b2=5，
又，a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，
故所求椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得直线l1的方程为，即x+2y﹣2=0，
又圆D的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=13﹣m，
∴圆心为（3，2），圆的半径，
∴圆D的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=5．
（ii）由题可得直线l2的斜率存在，
设l2：y=k（x﹣3），与椭圆C的两个交点为E（x1，y1）、F（x2，y2），
由消去y得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4=0，
由△＞0，得，，，
∴
==
．
又圆D的圆心（3，2）到直线l2：kx﹣y﹣3k=0的距离，
∴圆D截直线l2所得弦长，
∴，
设，，
则，
∵y=﹣9x 2+50x ﹣25的对称轴为，在上单调递增，0＜y ≤16，
∴
， ∴0＜|EF|•|MN|≤8． 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的标准方程，考查韦达定理，弦长公式及圆锥曲线与二次函数的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
21．（12分）（2017•南平一模）已知函数f （x ）=
+lnx （a 、b ∈R ）．
（1）试讨论函数f （x ）的单调区间与极值；
（2）若b ＞0且lnb=a ﹣1，设g （b ）=
﹣m （m ∈R ），且函数g （x ）有两个零点，求实数m 的取值范围．
【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6B ：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求导，根据b 的取值范围，令f′（x ）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x ）＜0，求得函数单调递减区间；
（2）方法一，由题意，求得g （x ），求导，利用导数求得函数的单调区间，由函数g （x ）
有两个零点，需，即可求得m 的取值范围，
方法二：由g （x ）=﹣m ，x ＞0，数g （x ）有两个零点，即方程lmx ﹣mx=0，在（0，+∞）
有两个解，求导，h′（x ）=﹣m ，根据函数的单调性，即可求得m 的取值范围．
【解答】解：（1）f （x ）=+lnx ，求导f′（x ）=﹣+=（x ＞0）…（1分） ①当b ≤0时，f′（x ）＞0恒成立，函数f （x ）单调递增，
所以f （x ）的增区间为（0，+∞），无极值；…（3分）
②当b ＞0时，x ∈（0，b ）时，f′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，x ∈（b ，+∞）时函数f （x ）单调递增，
所以函数的单调减区间为（0，b ），函数的单调增区间为（b ，+∞），…
有极小值f （b ）=1﹣a+lnb ，无极大值…（6分）
（2）法一：由b ＞0且lnb=a ﹣1，
代入g （b ）=﹣m ，可得：g （b ）=﹣m （b ＞0）
所以：g（x）=﹣m，x＞0，…（7分）
g′（x）=，…（8分）
当x∈（0，e）时，g（x）＞0，所以函数g（x）在（0，e）递增，
当x∈（e，+∞）时，g（x）＜0，所以函数g（x）在（e，+∞）递减，
g（x）有极大值g（e）=﹣m，…（10分）
当x→0（x＞0）时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣m，
故函数g（x）有两个零点，需，…（11分）
解得：0＜m＜，
所以实数m的取值范围为（0，）．…（12分）
（2）法二：由b＞0且lnb=a﹣1，代入g（b）=﹣m，
可得：g（b）=﹣m （b＞0）
所以：g（x）=﹣m，x＞0，…（7分）
由g（x）=0，可得lnx=mx，即lnx﹣mx=0，
函数g（x）有两个零点，即方程lmx﹣mx=0，在（0，+∞）有两个解…（8分）
设h（x）=lnx﹣mx，b＞0，h′（x）=﹣m，…（9分）
①当m≤0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）单调递增，不合题意，舍去．
②当m＞0时，由h′（x）＞0，得x＜，由h′（x）＜0，得x＞，
所以h（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，…（10分）
方程lnx﹣mx=0，在（0，+∞）有两个解，
只需：h（）＞0，即：ln﹣1＞0，…（11分）
解得：0＜m＜，
所以实数m的取值范围为：（0，）．…（12分）
【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查分类讨论思想，属于中档题．
选做题（本小题满分10分）请考生从给出的2道题中任选一题作答．
22．（10分）（2016•衡水模拟）已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐
标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程
为ρ=2cos（θ+）．
（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为（1，0），求|PA|+|PB|的值．【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）将参数方程两式相加消去参数t得到直线l的普通方程，将极坐标方程展开两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得到直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义求出距离．
【解答】解：（1）∵直线l的参数方程是（t是参数），∴x+y=1．
即直线l的普通方程为x+y﹣1=0．
∵ρ=2cos（θ+）=2cosθ﹣2sinθ，
∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x﹣2y，即x2+y2﹣2x+2y=0．
（2）将代入x2+y2﹣2x+2y=0得t2﹣t﹣1=0，
∴t1+t2=，t1t2=﹣1．
∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|==．
【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．
23．（2016•衡水模拟）已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|2x﹣2|，且f（x）的最大值记为k．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥x的解集；
（Ⅱ）是否存在正数a、b，同时满足a+2b=k， +=4﹣？请说明理由．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式组的解集取并集即可；（Ⅱ）求出k=1，得到a+2b=1，结合基本不等式的性质判断即可．
【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≥x，
即为|2x﹣1|﹣|2x﹣2|﹣x≥0，
∴或或，
解得：x≤﹣1或x∈∅或x=1，
综上，不等式的解集是{x|x≤﹣1或x=1}；
（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|2x﹣2|≤|2x﹣1﹣2x+2|=1，
当且仅当x≥1时取“=”，
故k=1，
假设存在符合条件的正数a，b，则a+2b=1，
++=++=2（+）=8++≥8+2=16，
当且仅当a=，b=时取“=”号，
∴++的最小值是16，
即+≥16﹣＞4﹣，
∴不存在正数a、b，同时满足a+2b=k， +=4﹣同时成立．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．。