不等式恒成立问题1

x1，x2 D ： x1 D，x2 D ：
x1 D，x2 D ： f ( x1 ) g ( x2 ) _____________ x1 D，x2 D ： f ( x1 ) g ( x2 ) _____________
（2010.山东.理22） 1 a f ( x) ln x ax 1 ( a R) 已知函数
x 1 (1) 当a 时， 讨论 f ( x) 的单调性； 2 1 2 (2) 设 g ( x) x 2bx 4 ； 当a 时，若对x1 (0，) ，x2 [1，， 2 2] 4
（2010.山东.理22）
1 a 1 ( a R) 已知函数 f ( x) ln x ax x 1 (1) 当a 时， 讨论 f ( x) 的单调性； 2 1 2 (2) 设 g ( x) x 2bx 4 ； 当a 时，若对x1 (0，) ，x2 [1，， 2 2] 4
x D ：
f min ( x) 0 f ( x) 0 _________
f ( x) g ( x)]min f ( x) g ( x) [____________ 0
f ( x) g ( x) [ f ( x) g ( x)]max 0 ____________
3] 使 （3） 若对 x [3， ， f ( x) g ( x) 恒成立， 求k的取值范围；
3] 使 （4） 若 x0 [3， ， f ( x0 ) g ( x0 ) 能成立， 求k的取值范围；
令 h( x) f ( x) g ( x)
3] 使 求k的取值范围； （5） 若 x1，x2 [3， ， f ( x1 ) g ( x2 ) 恒成立，
使 f ( x1 ) g ( x2 ) 成立；求实数b的取值范围 .
例： 已知函数 f ( x) 8x2 16 x k ， ( x) 2 x3 5x 2 4 x ， g 其中 k 为实数 .
3] 使 求k的取值范围； （1） 若对 x [3， ， f ( x) 0 恒成立， 3] 使 （2） 若 x0 [3， ， f ( x0 ) 0 能成立， 求k的取值范围；
3] 使 （4） 若 x0 [3， ， f ( x0 ) g ( x0 ) 能成立， 求k的取值范围；
令 h( x) f ( x) g ( x)
3] 使 （3） 若对 x [3， ， f ( x) g ( x) 恒成立， 求k的取值范围；
3] 使 求k的取值范围； （5） 若 x1，x2 [3， ， f ( x1 ) g ( x2 ) 恒成立，
3] 使 （3） 若对 x [3， ， f ( x) g ( x) 恒成立， 求k的取值范围；
3] 使 （4） 若 x0 [3， ， f ( x0 ) g ( x0 ) 能成立， 求k的取值范围； 归纳1: 归纳2:
x D ：
令 h( x) f ( x) g ( x)
f max ( x) 0 f ( x) 0 _________
x D ：
f max ( x) 0 f ( x) 0 _________
f min ( x) 0 f ( x) 0 _________
[ f ( x) g ( x)]max f ( x0 ) g ( x0 ) ____________ 0 f ( x) g ( x)]min f ( x0 ) g ( x0 ) [____________ 0
例： 已知函数 f ( x) 8x2 16 x k ， ( x) 2 x3 5x 2 4 x ， g 其中 k 为实数 .
3] 使 求k的取值范围； （1） 若对 x [3， ， f ( x) 0 恒成立， 3] 使 （2） 若 x0 [3， ， f ( x0 ) 0 能成立， 求k的取值范围；
f max ( x) g max f ( x1 ) g ( x2 ) ____________( x)
-3
-1
0
3
x
（2010.山东.理22）
已知函数 f ( x) ln x ax
1 a 1 ( a R) x
1 (1) 当a 时， 讨论 f ( x) 的单调性； 2 1 (2) 设 g ( x) x 2 2bx 4 ； 当a 时，若对x1 (0， ，x2 [1，， 2) 2] 4 使 f ( x1 ) g ( x2 ) 成立；求实数b的取值范围 .
x0 D ：
例： 已知函数 f ( x) 8x2 16 x k ， ( x) 2 x3 5x 2 4 x ， g 其中 k 为实数 .
3] 使 求k的取值范围； （1） 若对 x [3， ， f ( x) 0 恒成立， 3] 使 （2） 若 x0 [3， ， f ( x0 ) 0 能成立， 求k的取值范围；
例： 已知函数 f ( x) 8x2 16 x k ， ( x) 2 x3 5x 2 4 x ， g 其中 k 为实数 .
3] 使 求k的取值范围； （5） 若 x1，x2 [3， ， f ( x1 ) g ( x2 ) 恒成立，
y
3] 3] ( (x （6）若 x1 [3， ，x2 [3，，使 f f x1 )) g ( x2 ) 成立，求k的取值范围；
y
3] 3] （6）若 x1 [3， ，x2 [3，，使 f ( x1 ) g ( x2 ) 成立，求k的取值范围；
归纳4:
g(x)
x1 D，x2 D ： f min ( x) g min ( f ( x ) g ( x ) ____________ x)
1 2
17 答案： b[ ， ) 8
x D ：
x D ：
f ( x) g ( x) [ f ( x) g ( x)]min 0 f ( x) g ( x) [ f ( x) g ( x)]max 0 f ( x1 ) g ( x2 ) f min ( x) g max ( x) f ( x1 ) g ( x2 ) f min ( x) g min ( x)
例： 已知函数 f ( x) 8x2 16 x k ， ( x) 2 x3 5x 2 4 x ， g 其中 k 为实数 .
3] 使 求k的取值范围； （5） 若 x1，x2 [3， ， f ( x1 ) g ( x2 ) 恒成立，
y
x1 [-2,3],x2 [-3,3]
f ( x)
g(x)
归纳3:
x1，x2 D ：
f min ( x) g max ( f ( x1 ) g ( x2 ) ____________ x)
-3 -1
f max ( x) g min ( f ( x1 ) g ( x2 ) ____________ x)
0
3
x
使 f ( x1 ) g ( x2 ) 成立；求实数b的取值范围 .
（2）分析： 该问题 等价于 f min ( x) gmin ( x)
由(1)可知， ( x) ln x f
4 x
3 1 在(0， 2)的单调性； 4x
从而求出 f min ( x) . 所以，只需解决 g ( x) x 2 2bx 4 在 x [1， 内的最小值 g min ( x) f min ( x) 即可. 2]
归纳3:
g(x)
x1，x2 D ：
f min ( x) g max ( f ( x1 ) g ( x2 ) ____________ x)
-3 -1
f max ( x) g min ( f ( x1 ) g ( x2 ) ____________ x)
பைடு நூலகம்
0
3
x
例： 已知函数 f ( x) 8x2 16 x k ， ( x) 2 x3 5x 2 4 x ， g 其中 k 为实数 .
x1，x2 D ： x1 D，x2 D ：
利用数形结合的思想方法突破重点、难点。
课外讲义一张。
x D ：
x D ：
f ( x) g ( x) [ f ( x) g ( x)]min 0 f ( x) g ( x) [ f ( x) g ( x)]max 0 f ( x1 ) g ( x2 ) f min ( x) g max ( x) f ( x1 ) g ( x2 ) f min ( x) g min ( x)