2018届高三数学一轮复习第七章第4讲空间几何体及其表面积与体积

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【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：28-空间几何体的表面积和体积

2 1 2 1
表面积 S 表=2πr(r+l) S 表=πr(r+l) S 表=π(r2+r'2+rl+r'l) S 表=S 侧+S 底 S 表=S 侧+S 上底+S 下底 S 表=4πR2
S 侧=Ch S 侧= (C+C')h'
考点62
考点63
考点64
试做真题
高手必备萃取高招对点精练
典例导引1(1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )
考点62
考点63
考点64
试做真题
高手必备萃取高招对点精练
考点62几何体的表面积 1.(2016课标Ⅰ,理6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及 28π 每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 3 ,则它的表面积是( )
A.17π
B.18π C.20π D.28π
1 【答案】 A 由三视图可知该几何体是球截去后所得几何体, 8 7 4π 3 28π 则 × × R = ,解得 R=2, 8 3 3 7 3 所以它的表面积为 × 4πR2+ × πR2=14π+3π=17π. 8 4
考点62
考点63
考点64
试做真题
高手必备萃取高招对点精练
2.(2016课标Ⅲ,理9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ( )
A.18+36 5 B.54+18 5 C.90 D.81
【答案】 B 由三视图知该几何体是平行六面体,且底面是边长为 3 的正方形,侧棱长为 3 5, 所以该几何体的表面积为 S=2× 3× 6+2× 3× 3+2× 3× 3 5=54+18 5,故选 B.

2018届高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积学案文

第二节空间几何体的表面积与体积1.了解球、柱体、锥体、台体的表面积计算公式．2．了解球、柱体、锥体、台体的体积计算公式．知识点一空间几何体的表面积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．答案1．2πrl πrl1．(2016·新课标全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r ＝2，底面圆的周长c ＝2πr ＝4π，圆锥的母线长l ＝22＋ 23 2＝4，圆柱的高h ＝4，所以该几何体的表面积S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π，故选C .答案：C2．(必修②P 36A 组第10题改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm ，8 cm, 10 cm ，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．解析：旋转一周所得几何体为以245 cm 为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为S ＝π×245×6＋π×245×8＝3365π(cm 2)．答案：3365π(cm 2)知识点二空间几何体的体积 1．柱体：V ＝________； 2．棱锥：V ＝________；3．棱台：V ＝13h(S 上＋S 下＋S 上S 下)；4．球：V ＝43πR 3.答案1．Sh 2.13Sh3．(2016·新课标全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12πB .323π C ．8π D ．4π解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a ＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R ＝3a(R 为正方体外接球的半径)，所以R ＝3，故所求球的表面积S ＝4πR 2＝12π.答案：A4．(必修②P 28习题1.3A 组第3题改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积为V 1＝13×12×12a×12b×12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc, 所以V 1 V 2＝1 47. 答案：1 475．三棱锥P －ABC 中，PA⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积等于________．解析：∵PA⊥底面ABC ，∴PA 为三棱锥P －ABC 的高，且PA ＝3. ∵底面ABC 为正三角形且边长为2， ∴底面面积为12×22×sin 60°＝3，∴V P －ABC ＝13×3×3＝ 3.答案： 3热点一空间几何体的表面积【例1】 (1)(2016·新课标全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( ) A ．17π B ．18π C ．20πD ．28π(2)(2017·黑龙江哈师大附中一模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A .73B .172C ．13D .17＋3102【解析】 (1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ，故78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A . (2)由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示．则CC′⊥平面ABC ，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC ＝BC ＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，∴AB＝2，A′B′＝22.∴棱台的上底面积为12×1×1＝12，下底面积为12×2×2＝2，梯形ACC′A′的面积为12×(1＋2)×2＝3，梯形BCC′B′的面积为12×(1＋2)×2＝3，过A 作AD⊥A′C′于D ，过D 作DE⊥A′B′，则AD ＝CC′＝2，DE 为△A′B′C′斜边高的12，∴DE＝22，∴AE＝AD 2＋DE 2＝32，∴梯形ABB′A′的面积为12×(2＋22)×32＝92，∴几何体的表面积S ＝12＋2＋3＋3＋92＝13，故选C .【答案】 (1)A (2)C某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．72解析：根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的ABC －DEF ，故其表面积为S ＝S △DEF ＋S △ABC ＋S 梯形ABED ＋S 梯形CBEF ＋S 矩形ACFD ＝12×3×5＋12×3×4＋12×(5＋2)×4＋12×(5＋2)×5＋3×5＝60.故选B .答案：B热点二空间几何体的体积【例2】如图所示，已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1A ，CC 1的中点，则四棱锥C 1－B 1EDF 的体积为________．【解析】(1)法1：连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接B 1D ，EF ，过O 1作O 1H⊥B 1D 于H.∵EF∥A 1C 1，且A 1C 1⊄平面B 1EDF ，EF ⊂平面B 1EDF ，∴A 1C 1∥平面B 1EDF.∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离． ∵平面B 1D 1D⊥平面B 1EDF ，且平面B 1D 1D∩平面B 1EDF ＝B 1D ， ∴O 1H⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高， ∵△B 1O 1H∽△B 1DD 1， ∴O 1H ＝B 1O 1·DD 1B 1D ＝66a.∴V C 1－B 1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H＝13·12·EF·B 1D·O 1H ＝13·12·2a·3a·66a ＝16a 3. 法2：连接EF ，B 1D.设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a. 由题意得，V C 1－B 1EDF ＝V B 1－C 1EF ＋V D －C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3.【答案】 16a 3(1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A .18B .17C .16D .15(2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A .23 B .33 C .43D .32解析：(1)由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56，所以V 1V 2＝1656＝15.(2)如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，则△BHC 中BC 边的高h ＝22.∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.答案：(1)D (2)A热点三与球有关的切、接问题考向1 球的内接问题【例3】已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A .26 B .36 C .23D .22【解析】由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－⎝⎛⎭⎪⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26. 【答案】 A考向2 球的外切问题【例4】若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.【解析】设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 【答案】 63π(1)(2017·张掖模拟)如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为V 1，俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为V 2，则V 1 V 2＝( )A ．12 2B ．8 2C ．6 2D ．4 2(2)如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A .66π B .π3 C .π6D .33π 解析：(1)三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的三棱锥，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是22，该几何体的外接球的体积V 1＝43π(2)3＝823π， V 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×1×π＝23π，所以V 1 V 2＝823π 2π3＝4 2.(2)平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC ＝CD 1＝AD 1＝2，所以内切圆的半径r ＝66，所以S ＝πr 2＝π×636＝16π. 答案：(1)D (2)C1．对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大．2．要注意将空间问题转化为平面问题．3．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．如何巧妙确定各类外接球的球心简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点，此类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐．有些同学对于此类问题的解答，往往不知从何处入手，其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置．为此下面介绍了几个解决球类问题的策略，可以快速秒杀各类球的球心．一、由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的一些常见结论：1．长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；2．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；3．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；4．正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；5．若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．【例1】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，半径为6，球的表面积为24π，故选C.【答案】C解题策略：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来迅速求解的．二、构造长方体或正方体确定球心1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．【例2】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的体积是________．【解析】三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则可将三棱锥补形成正方体，从而外接球的直径为3，半径为32，故所求外接球的体积V ＝4π3×(32)3＝9π2. 【答案】 9π2解题策略：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a 、b 、c ，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径．设其外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.三、由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．【例3】正三棱锥A －BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】如图，设三棱锥A －BCD 的外接球的半径为r ，M 为正△BCD 的中心，因为BC ＝CD ＝BD ＝3，AB ＝AC ＝AD ＝2，AM⊥平面BCD ，所以DM ＝1，AM ＝3，又OA ＝OD ＝r ，所以(3－r)2＋1＝r 2，解得r ＝233，所以球O 的表面积S ＝4πr 2＝16π3.【答案】 16π3解题策略：本题是运用公式R 2＝r 2＋d 2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式．本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．这种等价转化的数学思想方法值得我们深思．。

2018届高三高考数学复习课件：8-2空间几何体的表面积与体积

【解析】由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为 2，高为 3的三角形，正视图的长
1 为三棱柱的高，故 h＝3，所以该几何体的体积 V＝S· h＝2×2× 3
×3＝3 3. 【答案】 3 3
题型一求空间几何体的表面积
【例1】 (1)(2018· 淮北月考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )
【解析】设圆柱底面半径为r尺，高为h
尺，依题意，圆柱体积为V＝πr2h＝2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即 r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54，54 尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B. 【答案】 B
4．某几何体的三视图如图所示，则该几
何体的体积为________．
的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体
的体积相等.
①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
A．21＋ 3 C．21
B．18＋ 3 D．18
(2)一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
【解析】 (1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为
1 6×4－2＋2×
1． (教材改编)已知圆锥的表面积等于 12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( A．1 cm C．3 cm B．2 cm 3 D.2 cm )

高考数学一轮复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课件文

A.π2＋1 B.π2＋3 C.32π＋1 D.32π＋3
还原几何体，分清组合体构成部分．
解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 2 的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，
∴该几何体的体积 V＝13×π2×12×3＋13×12× 2× 2×3＝π2＋1. 故选 A.
角度 2 根据几何体的直观图计算体积
典例中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．” 现有一个羡除如图所示，四边形 ABCD、ABFE、CDEF 均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10, EF 到平面 ABCD 的距离为 3，CD 与 AB 间的距离为 10，则这个羡除的体积是( )
A．18＋36 5 C．90
B．54＋18 5 D．81
解析由三视图可知，该几何体的底面是边长为 3 的正方形，高为 6，侧棱长为 3 5的平行六面体，则该几何体的表面积 S＝2×32＋2×3×3 5＋2×3×6＝54＋18 5.故选 B.
题型 2 空间几何体的体积角度 1 根据几何体的三视图计算体积典例 (2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
解析由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中 AB＝BC＝2 cm，BD＝4 cm，所以该几何体的体积 V＝ 2×2×4×2＝32 cm3，表面积 S＝(2×2×3＋2×4×3)×2 ＝36×2＝72 cm2.
经典题型冲关
题型 1 空间几何体的侧面积与表面积典例 (2016·全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

高三数学一轮复习7.2空间几何体的表面积与体积课件

【互动探究】若本例(1)中的三视图不变,求该几何体的体积.
【解析】由三视图可知,该几何体为一个放倒的四棱柱,底面为
梯形,由三视图可知该四棱柱的底面积为 1 ×(2+8)×4=20.高
2
为10,故体积为20×10=200.
【规律方法】 1.几何体表面积的求法 (1)多面体:其表面积是各个面的面积之和. (2)旋转体:其表面积等于侧面面积与底面面积的和. (3)规则几何体:若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体 , 则可直接利用公式进行求解. (4)若以三视图的形式给出,解题的关键是对给出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系 ,得到
A. 3
2
B.2π
C.3π
D.4π
【解析】选A.由三视图知,该空间几何体为圆柱,所以全面积为
1 1 3 ( ) 2 2＋2 1 ＝ . 2 2 2
5.平面α 截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α 的距离为则此球的体积为 2， .
【解析】球半径 r 1 ( 2)2 3，所以球的体积为 4 ( 3)3 4 3．
名称
图形
表面积 S=π r2+π rl =π r(r+l)
侧面积
圆锥
π rl S侧=____
圆台
π (r′2+r2 S=__________
S 侧= π (r+r′)l __________
+r′l+rl) _________
名称
图形
表面积
侧面积
球
2 4 π r S=_____
2.几何体的体积 Sh (1)设棱(圆)柱的底面积为S,高为h,则体积V=___.

2018高考数学文全国大一轮复习课件：第七篇立体几何

图形? 提示:矩形、扇形、扇环.
知识梳理
表面积棱柱棱锥 S 表= S 侧+ 2S 底 S 表= S 侧+ S底 S 表= S 侧+ S 上底 + S 下底表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和体积若棱柱的底面积为 S,高为 h, 则 V=S·h 若棱锥的底面积为 S,高为 h, 则 V= V 柱=S·h
2
考点专项突破
考点一几何体的表面积与侧面积【高考这样考】
在讲练中理解知识
1.(2016· 全国Ⅲ卷,文10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画
出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(
B )
(A)18+36 5 (C)90
(B)54+18 5 (D)81
解析:由三视图知此多面体是一个斜四棱柱, 其表面积 S=2×(3×3+3×6+3×3 5 ) =54+18 5 . 故选 B.
( A
)
(A)
1 6
(B)
1 3
(C)
1 2
(D)1
解析:由三视图知该三棱锥的体积
1 1 1 V= × ×1×1×1= ,选 A. 3 2 6
2.导学号 49612190 如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( B ) (B)20+3π (C)24+2π (D)24+3π
(A)20+2π
1 2 πrh 3
2
2π r2+2π rl
若圆锥的底面半径和母线长分别为 r,l, 圆锥则 S 侧= π rl
2 ,S 表= π r
+π rl
若圆台的上、下底面半径和母线长分别为圆台 r,r′,l,则 S 侧=

高三数学一轮总复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积和体积课件

第二节空间几何体的表面积和体积
课前学案基础诊断
课堂学案考点通关
高考模拟备考套餐
1
考纲了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求导学记忆公式)。
2
课前学案基础诊断
夯基固本基础自测
3
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
□ □ □ S圆柱侧＝ 1 _2_π_r_l__ S圆锥侧＝ 2 _π_r_l _ S圆台侧＝ 3 _π_(r_＋__r_′__)l
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
(2)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则SS12＝__________。
解析：(1)如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M。又AM＝
1 2
BC
＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝
522＋62＝123。
1 2
＋4×2×2＝8π＋
16，故选A。
答案：(1)A (2)A
20
►名师点拨空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的体积。若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解。 (2)求组合体的体积。若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解。 (3)求以三视图为背景的几何体的体积。应先根据三视图得到几何体的点拨以三视图为载体的几何体的表面积问题的求法 (1)恰当分析给出的三视图。 (2)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系。 (3)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理。
17
通关特训1 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是( )

高考数学一轮总复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课件理

所以 S＝πr2＝π×61＝π6. 【答案】 C
第三十三页，共42页。
角度二直三棱柱的外接球
已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB＝
3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的半径为( )
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
第三十四页，共42页。
积为 S2，则SS12＝________. 【解析】设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S1＝4× 43×a2＝ 3a2，
其内切球半径为正四面体高的14，即 r＝14× 36a＝126a，因此内切球表面积为 S2＝4πr2
＝π6a2，则SS12＝
π63aa22＝6
π
3 .
【答案】
63 π
第三十六页，共42页。
a2＋b2＋c2.
第九页，共42页。
「基础小题练一练」 1．圆柱的侧面展开图是边长为 6π 和 4π 的矩形，则圆柱的表面积为( ) A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1) C．6π(4π＋3)或 8π(3π＋1) D．6π(4π＋1)或 8π(3π＋2)
第十页，共42页。
解析：分两种情况： ①以长为 6π 的边为高时，4π 为圆柱底面周长，则 2πr＝4π，r＝2，所以 S 底＝4π，S 侧＝6π×4π＝24π2，S 表＝2S 底＋S 侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)； ②以长为 4π 的边为高时，6π 为圆柱底面周长，则 2πr＝6π，r＝3.所以 S 底＝9π，S 表＝2S 底＋S 侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．故选 C. 答案：C
“切”“接”问题处理的注意事项 (1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． (2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．

2018高考数学文科一轮复习讲义 3.2 第二节空间几何体的表面积与体积

第二节空间几何体的表面积与体积【考点点知】知己知彼，百战不殆新课标中空间几何体的表面积和体积有加强的趋势，考试的要求也有所提高．重点是柱体和多面体，特别是不规则几何体的表面积和体积的计算，高考中一般以选择、填空、解答题的形式出现，难度不大,但是常与其他问题一起考查．体现了“多一点想，少一点算”的命题思想．考点一: 直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念1.侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.2.如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面上的正投影是底面中心,我们称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长相等.3.正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面的部分叫做正棱台.4. 棱柱的分类(1)按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱,……,n 棱柱. (2)按侧棱与底面的位置关系分类：斜棱柱(侧棱与底面不垂直)棱柱正棱柱(底面为正直棱柱(侧棱垂直于底面) 多边形的直棱柱) 其他直棱柱考点二: 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开面成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的平面展开图.1.直棱柱的侧面展开图是矩形, 这个矩形的长等于棱柱的底面周长c ,宽等于直棱柱的高h ,因此直棱柱的侧面积是S ch =直棱柱侧.2.棱锥的侧面展开图是由各个侧面三角形组成的,展开图的面积就是棱锥的侧面积.如果正棱锥的底面周长为c ,斜高(即侧面等腰三角形底面上的高)为h ',则它的侧面积是12S ch '=正棱锥侧. 3.若正棱台的上、下底面的周长分别为,c c ',斜高为h ',则它的侧面积是1()2S c c h ''=+正棱台侧. 考点三: 圆柱、圆锥、圆台的侧面积1.圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图.它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高.这个长方形又叫圆柱的侧面展开图.图1所示, 就是圆柱的平面展开图.若圆柱的底面圆周为c ,底面圆半径为r ,母线长为l ,则圆柱体的侧面积公式2S cl rl π==圆柱侧.2.圆锥体沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图.它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图.具体图形见图2所示,就是圆锥的平面展开图.若圆锥的底面圆周长为c ,底面圆半径为r ,母线长为l ,则圆锥体的侧面积公式12S cl rl π==圆锥侧.3.圆台锥体沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆台体剪开铺平，就得到圆台锥的平面展开图.它是由一个半径为圆台锥体的母线长，两弧长分别等于圆台体上下底面圆的周长的扇环形和两个圆组成的，这个扇环形又叫圆台的侧面展开图.具体图形见图3所l c 'c c c cc l r r l cc 图1 图2 图3 示,就是圆台的平面展开图.若圆台的上、下底面圆周分别为,c c ',上、下底面圆半径为分别,r r ',母线长为l ,则圆台锥体的侧面积公式1()()2S c c l r r l π''=+=+圆台侧. 圆柱、圆锥、圆台的表面积就是侧面和底面的和.考点四: 祖暅原理与几何体体积1.祖暅原理:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.2.长方体的长、宽、高分别为,,a b c ,底面积为S ,高为h ,那么它的体积为V abc =长方体或V Sh =长方体.3.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S 和高h 的积,即V Sh =柱体.4.棱锥的底面积为S ,高为h ,那么它的体积为13V Sh =锥体. 5.台体(棱台、圆台)的体积可以转化为锥体的体积来计算,如果台体的上、下底面面积分别为S '、S ,高是h ,那么它的体积为1()3V h S S '=台体. 考点五: 球的体积与表面积1.引理.球面内接圆台（圆台上、下底面是球的两个平行截面）的高为h ，球心到母线的距离为P ，那么圆台的侧面积为2πPh .2.定理.球面面积等于它的大圆面积的4倍,即24S R π=球面.3.球体积公式V =34πR 3. 【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007湛江市模拟)如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（不考虑接触点）A . 6+3+πB . 18+3+π4C . 18+23+πD . 32+π正视图侧视图俯视图SACBOPABCD OM N E h 2h 1h 1F思路透析:由三视图可知,该几何体为一个底边边长为2的等边三角形,高为3的正三棱柱与一个半径为1的球组合而成的.该几何体的表面积222232341184S ππ=+⨯⨯+⨯=+, 故应选C ．点评:由三视图想象几何体时要根据"长对正,宽相等,高平齐"的基本特征,想象视图中每部分对应的实物部分的形象.特别注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置.例2.(基础·2007宁夏卷文科11)已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（）Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π思路透析:如右图所示,OS=OA=OB=OC=r ,又SO ⊥平面ABC, 可得SO 的长即为三棱锥S-ABC 的高.∵ACBC ⊥, AC =,∴BC AC ==,∴3243411)32S ABCr V V r ππ-==⨯⨯⨯球三棱锥,故应选D.点评:考生不能够定位球心的位置,而使球的半径求解错误,部分考生书写锥体积公式时遗忘了三分之一,增加了检验的时间而出现解答基本题的延时现象.灵活抓住线面垂直的关系,迅速定位球心位置找出求半径与三棱锥棱长间的关系,可降低出错率.例3.(综合·2007宁夏卷理科12)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（）2:2思路透析:如图所示,正四棱锥P-ABCD 的一个侧面与正四面体P-CDF 的一个侧面重合,过点P 作PO ⊥面ABCD 于点O, 取CD 、PF 边的中点M 、N,连结MN,则MN=PO=1h , 过点P 作PE ⊥FM 于点F , 则PE ⊥平面FCD, 即PE=2h , 又∵平面PAB//平面FCD, ∴2h h =,设棱长为a ,则在PMF ∆中1122PMF S PF MN FM PE ∆=⋅=⋅,∴122h MN MF h PE PF ===,∴12::2:2h h h =, 故应选B. 点评:不少考生的解题过程中看错了三条高线各自对应的几何体,使求得的结论出现颠倒的现象,仍有不少考生不能迅速定位高线的位置,找出各条高线间的相互关系.无论是什么样的几何体的高,在分析与求解时均可以化归为一个三角形的高去研究,本题中出现的三个高可以化归为一个三角形中的两条高线,通过面积公式去求得高线长之比. 例4.(综合·2006江苏9题)两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）无穷多个思路透析:如图所示,在正方体的俯视图中,可得正八面体中截面四边形正方形ABCD 的内接于另一个正方形,此正方形ABCD 的面积的范围为1[,1)2S ∈∴八面体的体积1111[,)363V S =⨯∈, 即其体积的可能值有穷多个.故应选D.点评:本题考查了正方体内接几何体的空间模型建构.通过俯视图的作图来化归分析几何问题,解决了此开放性问题.很多立体几何问题如果直接求解,空间想象不一定会很到位, 而通过三视图中的正视图或俯视图等其中之一去思考,可以实现从立几到平几间的直接过渡,巧妙解决立几问题.例5.(创新探究·2007广东卷文科17)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S思路透析:由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ;(1)()1864643V =⨯⨯⨯= (2)该四棱锥有两个侧面V AD. VBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为1h == 另两个侧面V AB. VCD 也是全等的等腰三角形,AB边上的高为25h ==,因此112(685)4022S =⨯⨯⨯⨯=+点评:本题考查了对四棱锥的三视图所表示的立体模型的识别,多数考生将高为4的等腰三角形理解为四棱锥的一个侧面,将4视侧面上的斜高而求解锥体的表面积与体积,没有正确分析得出锥体的主视图与左视图中三角形的高即为锥体的高的结论.例6.(创新探究·2007广东卷理科19)如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.（1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值思路透析:（1）由折起的过程可知，P E ⊥平面ABC ，ABC S ∆=2254BEFBDC x S S ∆∆=⋅=21(9)12x -（0x << （2）∵21'())4V x x -， ∴(0,6)x ∈时，'()0v x > ，V(x)单调递增；6x <<'()0v x < ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值（3）过F 作MF//AC 交AD 与M, 则,21212BM BF BE BEMB BE AB BC BD AB=====，PM=MF BF PF ====在△PFM 中， 84722cos 427PFM -∠==， ∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为27；点评:考生对于空间几何体中体积最值的导数法求解在心理上存在很大的不适应,对异面直线所成角的作图构建把握不好,空间向量的应用时点的坐标求解及运算等均出现“马虎”性的错误.立几的综合性问题解题中要注意规范化,注意对解析式的研究,综合各种数学思想,从整体上去推理论证.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:①首先从图形上理解三者之间的关系, 以棱台为中间图形, 当棱台的上底面与下底面为全等的多边形时,棱台视作为棱柱,此时上下底面的周长相等c c '=; 当棱台的上底面多边形缩小为一个点时,棱台视作为棱锥,此时上底面的周长为0c '=.②由此可得: 011()22c cc S ch S c c h S ch ''=='''=←−−−=+−−−→=直棱柱侧正棱台侧正棱锥侧 . ③分析过程侧重于三维实物与平面图形的转化，强调的是一种基于观察、实验操作基础上的实践能力.建议多从生活实际出发，考虑日常所常见的几何体的平面展开图,感受数学来自现实生活.(3)当柱体的上底缩小时,几何体可以近似看作是台体, 台体的上底进一步缩小,当缩小为一个点时,该几何体为锥体.还可以从台体出发作公式上和几何体上的探讨,如当台体的上底与下底相同时,几何体为柱体,当上底的缩为一个点时,几何体为一个锥体,反应到体积公式中可得下列的变化关系:11()33S S S V Sh V h S S V Sh ''=='=←−−−=+−−−→=柱体台体锥体.(4)正确运用各种方式,在图形的展开与折叠中求几何体的表面积，计算侧面积中要弄清展开图的形状及侧面展开图中各线段与原几何体的关系．在等价转化中求几何体的体积以及利用几何体的分割和补形的数学方法．计算体积的关健是根据条件找出相应的底面积和高，要充分利用多面体及旋转体的轴截面将空间问题转化为平面问题．2.学以致用:(1)在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A92π B 72π C 52π D 32π (2)过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A 1:2:3B 1:3:5C 1:2:4D 1:3:9(3)一个半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是(4)如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达1A 点的最短路线的长为．答案:(1)D 解析:213(1 1.51)32V V V r ππ=-=+-=大圆锥小圆锥,故应选D ． (2)B 解析:从此圆锥可以看出三个圆锥，123123::1:2:3,::1:2:3,r r r l l l ==12312132::1:4:9,:():()1:3:5S S S S S S S S =--=,故应选B ．(3)109Q 解析:22223,S R R R Q R πππ=+===全32222221010,,2233339V R R h h R S R R R R Q πππππ==⋅==+⋅==.(4)10解析:如图,把正三棱柱展开成两个侧面积, AA 1//1A "A ,连接AA "1即为绕在正三棱柱侧面上两周的最短距离,在"∆11A AA Rt 中,6,8111="=A A AA . 则,101="AA 即值 A 从正三棱柱侧面绕绕绕两周到A 1的最短距离为10. 3.易错分析:(1)棱锥的考查点为两个特征三角形,熟悉棱锥体的几何结构可以进一步解决此问题; (2)棱柱问题常以综合问题面目出现, 此类问题以多面体、正方体、长方体综合性问题综合考查为主, 此类问题的得分往往不能得全, 解题过程中环节不齐, 思维漏洞较多, 平时应多作规范化训练.(3)对球的考察一般不会出现在大题目中，而往往以应用题为背景做简单的考察，考生要牢记表面积和体积公式（不管试卷是否提供）、熟悉一些地理术语,要求考生具有一定的空间想象能力、抽象能力以及分析问题的能力和处理问题的一定技巧;(4)对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,另外,球和正方体,长方体,三棱锥的组合问题,应引起高度重视,而且有些问题也可以通过补形法转化成球内接正方体或内接长方体问题.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.下图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm ),可知几何体的表面积是( )A.218cm +B.2 2cmC.218cmD.26cm +2. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（）ABCD3.已知高为3的直三棱柱ABC —A 'B 'C '的底面边长为1的正三角形（如图所示），则三棱锥B '—ABC 的体积为（）．(A)41 (B)21 (C)63 (D)432222俯视图侧视图正视图33CABC 'A 'B '4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A 25πB 50πC 125πD 都不对 5.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）A23 B 76 C 45 D 566.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：A 224cm π，212cm π B 215cm π，212cmπC 224cm π，236cm π D 以上都不正确二、填空题:7. 球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍8.正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________9.若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________10.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是____.三、解答题:11.（如图）在底半径为2，母线长为4求圆柱的表面积12. 有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L ，假如它的两底面边长分别等于60cm 和40cm ，求它的深度为多少cm ？13.如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，CD =2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积14.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1? 如何组拼？试证明你的结论；正视图侧视图俯视图【能力训练】参考答案一、选择题:1. A2. A3. D4. B5. D6. A 二、填空题:7. 88.316a 9.10. 334 三、解答题:11.解析:圆锥的高h =1r =，22(2S S S πππ=+=+=+侧面表面底面 12.解析:'1(),3V S S h h =+=319000075360024001600h ⨯==++.13.解析:S S S S =++表面圆台底面圆台侧面圆锥侧面25(25)2πππ=⨯+⨯+⨯⨯⨯1)π=V V V =-圆台圆锥222112211148()333r r r r h r h πππ=++-=. 14.解析:：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的正方形，高为CC 1=6，故所求体积是7266312=⨯⨯=V . （Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示.证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的正方形，于是D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立.BC DC 1图1A BC DD 1A 1B 1C 1 图2。

高考数学一轮总复习第七章立体几何与空间向量第1节立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积

√
C.圆锥、圆台的底面都是圆,母线都与底面垂直
D.位于上方的面是棱台的上底面,位于下方的面是棱台的下底面
解析:(1)一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴,旋转180°所形
成的几何体是圆柱,所以A正确;
根据圆台的定义,可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台,
所以B正确;
圆锥、圆台的母线都不与底面垂直,所以C错误;
②分割法:把不规则的几何体分割成规则的几何体.当规则的几何
体用公式不易求出时,可将其分割转化成比较好求体积的几何体.
大多数情况下,可以把不规则几何体分割为三棱锥或四棱锥,从四
棱锥底面对角线或几何体表面四边形对角线处寻找分割的
“刀口”.
[针对训练]
(1)(角度一)在△ABC中,已知AB⊥BC,AB=BC=2.现将△ABC绕边AC旋
FC⊥平面ABCD,ED=2FC=2,则四面体A-BEF的体积为(

A.

B.
√

C.1 D.

)
解析:(2)因为 ED⊥平面 ABCD,且 AD⊂平面 ABCD,所以 ED⊥AD.
因为在正方形 ABCD 中,AD⊥DC,而 DC∩ED=D,DC⊂平面 CDEF,ED⊂平面 CDEF,
所以 AD⊥平面 CDEF.连接 EC,DF(图略),
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
互相平行且全等 .
多边形
互相平行且相似
图形
底面
侧棱
平行且相等 .
侧面形状
平行四边形 .
相交于一点但不
一定相等
三角形.
延长线交于一点 .

(浙江专用)高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积教案(含解析)

（浙江专用）高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积教案（含解析）第二节空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3[1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：选C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋232＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.2．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h ＝3，所以该几何体的体积V ＝S ·h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×3×3＝3 3. 答案：3 33．若球O 的表面积为4π，则该球的体积为________．解析：由题可得，设该球的半径为r ，则其表面积为S ＝4πr 2＝4π，解得r ＝1.所以其体积为V ＝43πr 3＝43π.答案：43π1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．3．易混侧面积与表面积的概念． [小题纠偏]1．(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：2∶3 1∶12．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S ＝3×4×2＋2×2×2＋4×22×2＋4×6＋12×(2＋6)×2×2＝72＋16 2.答案：72＋16 2考点一空间几何体的表面积基础送分型考点——自主练透[题组练透]1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ) A ．8＋2 2 B ．11＋2 2 C ．14＋2 2 D ．15解析：选B 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.2．(2018·浙江新高考联盟高三期初联考)如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A ．34＋6 5B ．44＋12 5C ．34＋6 3D ．32＋6 5解析：选A 由三视图知几何体底面是一个长为6，宽为2的矩形，高为4的四棱锥，所以该几何体的表面积为12×6×25＋12×6×4＋2×12×2×5＋6×2＝34＋65，故选A.3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则该棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋2 3B ．8＋4 2C ．6＋6 2D ．6＋22＋4 3解析：选A 由三视图可知该棱锥为如图所示的四棱锥P ABCD ，S △PAB＝S △PAD ＝S △PDC ＝12×2×2＝2，S △PBC ＝12×22×22×sin 60°＝23，S 四边形ABCD ＝22×2＝42，故该棱锥的表面积为6＋42＋2 3.[谨记通法]几何体的表面积的求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．注意衔接部分的处理．考点二空间几何体的体积重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·金华高三期末考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.223 B.233 C.423D.433解析：选D 由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如图所示．底面ABCD 的面积为2×2＝4，高PO ＝3，故该几何体的体积V ＝13×4×3＝433.2．(2018·宁波十校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________，表面积等于________．解析：如图，由三视图可知该几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的一半，故该几何体的体积为12×π×22×3＝6π，表面积为2×12×π×22＋4×3＋π×2×3＝10π＋12.答案：6π 12＋10π[由题悟法]有关几何体体积的类型及解题策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解以三视图为载体的几何体体积问题将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解1．(2018·杭州高级中学模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1 B.32 C.12D.34解析：选C 由题可得，该几何体是一个四棱锥，底面是上下底边分别为1和2，高为1的直角梯形，又四棱锥的高为1.所以该几何体的体积为V ＝13×12×(1＋2)×1×1＝12.2．(2019·台州高三适考)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________，几何体中最长棱的长是________．解析：由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中的三棱锥M A 1B 1N ，如图所示，M 是棱AB 上靠近点A 的一个三等分点，N 是棱C 1D 1的中点，所以VM A 1B 1N ＝13×12×2×2×2＝43.又A 1B 1＝2，A 1N ＝B 1N＝22＋12＝5，A 1M ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2103，B 1M ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133，MN ＝22＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝733，所以该几何体中最长棱的长是733. 答案：437333.(2018·温州高三一模)如图，一个简单几何体的三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积为________，表面积为________．解析：如图，还原三视图为正四棱锥，易得正四棱锥的高为32，底面积为1，体积V ＝13×1×32＝36；易得正四棱锥侧面的高为⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1，所以表面积S ＝4×12×1×1＋1＝3. 答案：363 考点三与球有关的切、接问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变．常见的命题角度有： (1)球与柱体的切、接问题； (2)球与锥体的切、接问题．[题点全练]角度一：球与柱体的切、接问题1.如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3 C.π6D.33π 解析：选C 平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC ＝CD 1＝AD 1＝2，所以内切圆的半径r ＝22×tan 30°＝66，所以S ＝πr 2＝π×16＝16π.2．(2018·金华一模)一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O 的体积为V 1，圆柱内除了球之外的几何体体积为V 2，则V 1V 2的值为________．解析：如图，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，球O 的半径为r ，∴球O 的体积V 1＝43πr 3，圆柱内除了球之外的几何体体积 V 2＝πr 2×2r －43πr3＝23πr3，∴V1V2＝43πr323πr3＝2.答案：2角度二：球与锥体的切、接问题3．(2018·绍兴质检)四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC ＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( ) A．6 B．5C.92D.94解析：选D 过点P作PH⊥平面ABCD于点H.由题知，四棱锥PABCD是正四棱锥，内切球的球心O应在四棱锥的高PH上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE，PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点．设PH＝h，易知Rt△PMO∽Rt△PHF，所以OMFH＝POPF，即13＝h－1h2＋32，解得h＝94.4．(2018·嘉兴一模)如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为( )A.20π3B．8πC．9π D.19π3解析：选D 如图，该几何体为三棱锥ABCD，设三棱锥外接球的球心为O，O1，O2分别为△BCD，△ABD的外心，依题意得，OO1＝36AB＝33，O1D＝12CD＝52，∴球的半径R＝OO21＋O1D2＝1912，∴该几何体外接球的表面积S＝4πR2＝19π3.[通法在握]解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：[演练冲关]1．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．20π B.205π3 C ．5πD.55π6解析：选D 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r ＝1，其高h ＝1，∴球半径为R ＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＝1＋14＝52，∴该球的体积V ＝43πR 3＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫523π＝55π6. 2．(2018·镇海期中)一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体体积的最大值为________．解析：由题可得，要使正方体可以在纸盒内任意转动，则只需该正方体在正四面体的内接球内即可．因为正四面体的棱长为6，所以其底面正三角形的高为33，正四面体的高为26，则该正四面体的内球的半径为62，设该正方体的边长为a ，要满足条件，则3a ≤6，即a ≤ 2.所以正方体的最大体积为V ＝a 3≤2 2.答案：2 2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校联考)“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由题可得，球的三个视图都是圆，所以三视图完全相同；三视图完全相同的几何体除了球，还有正方体，所以是必要不充分条件．2．(2018·长兴中学适应性测试)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．64B ．72C ．80D ．112解析：选C 由题可得，该几何体是一个棱长为4的正方体与一个底面是边长为4的正方形，高为3的四棱锥的组合体，所以其体积为V ＝43＋13×42×3＝80.3．(2019·杭二月考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．π＋33B ．2π＋33C ．2π＋ 3D ．π＋ 3解析：选A 由三视图知，该几何体的上半部分是一个三棱锥，下半部分是一个圆柱．由题图中的数据知V 圆柱＝π×12×1＝π，三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，故其高即为三棱锥的高，故三棱锥的高为3，由于三棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，因此两直角边长都是2，则底面三角形的面积是12×2×2＝1，故V三棱锥＝13×1×3＝33，故该几何体的体积为π＋33. 4．(2018·嘉兴模拟)如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________，该几何体的表面积为________．解析：由题可得，该几何体是一个水平放置的三棱柱，其底面是一个底边长为2、高为a 的等腰三角形，高为3.因为其体积为33，所以V ＝12×2a ×3＝3a ＝33，解得a ＝ 3.所以该几何体的表面积为S ＝2×12×2×3＋2×3×3＝23＋18.答案： 3 23＋185．(2018·丽水模拟)若三棱锥P ABC 的最长的棱PA ＝2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是________，表面积是________．解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径R ＝12PA ＝1，所以该三棱锥的外接球的体积V ＝43×π×13＝43π，表面积S ＝4πR 2＝4π.答案：43π 4π二保高考，全练题型做到高考达标1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π解析：选B 设圆柱的轴截面的边长为x ，则x 2＝8，得x ＝22，∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×2 2＝12π.故选B.3．(2018·温州十校联考)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是( )A．4 B.16 3C．8 D.32 3解析：选B 由题可得，该几何体是一个底面为长方形的四棱锥，所以其体积为V＝13×4×2×2＝163.4．(2018·兰州实战考试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为( )A.32π B.32C．3πD．3解析：选A 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为32，故体积为43π⎝⎛⎭⎪⎫323＝32π，故选A.5．(2018·宁波十校联考)如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A．2 2 B.10C．2 3 D.13解析：选C 由题可得，该几何体是水平放置的四棱锥，其底面是一个直角梯形．所以其最长的棱的长度为22＋22＋22＝2 3.6.(2018·宁波一模)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.73B.8－π3C.83D.7－π3解析：选B 由三视图得，该几何体是从四棱锥P ABCD 中挖去半个圆锥后剩余的部分，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，则所求的体积V ＝13×2×2×2－12×13π×12×2＝8－π3.7．(2018·衢州调研)已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________；表面积是________．解析：该几何体是一个三棱锥，其高为2，其底面是一个等腰直角三角形，腰长为2，所以其体积为V ＝13×12×(2)2×2＝23，表面积为S ＝12×2×2＋12×(2)2＋12×2×2＋12×2×6＝3＋3＋ 2.答案：233＋3＋ 28．(2018·杭州模拟)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝2，则棱锥O ABCD 的体积为________．解析：依题意得，球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心，因此棱锥O ABCD的高等于42－⎝ ⎛⎭⎪⎫1232＋222＝512，所以棱锥O ABCD 的体积等于13×3×2×512＝51.答案：519．(2019·舟山六校联考)某四面体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，正视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积为________．解析：由三视图可知，该四面体是四面体ABCD ，如图，其中，BE ⊥底面ACD ，AD ＝DC ＝BE ＝2，则该四面体的体积为13×12×2×2×2＝43.答案：4310．(2018·武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的表面积为________．解析：如图，正四棱锥P ABCD 的外接球的球心O 在它的高PO 1上，设球的半径为R ，为底面边长为22，所以AC ＝4.在Rt △AOO 1中，R 2＝(4－R )2＋22，所以R ＝52，所以球的表面积S ＝4πR 2＝25π.答案：25π三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·广西质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为( )A.34B.14C.12D.38解析：选C 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为12，故选C. 2．(2018·温州一模)三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为( )A ．43πB ．23πC ．42πD ．22π解析：选A 三棱锥的直观图如图，设H 为三棱锥P ABC 外接球的球心，O 1为△PAC 外接圆的圆心，O 2为△ABC 外接圆的圆心，取AC 的中点O ，连接PO ，HO 1，O 2H ，HB ，结合三视图易知OO 1＝13PO ＝12，O 2B＝12AB ＝12×32＋222＝112.∵平面PAC ⊥平面ABC ，HO 2⊥平面ABC ，HO 2⊄平面PAC ，∴HO 2∥平面PAC ，∵PO ⊥平面ABC ，∴OO 1∥HO 2，连接OO 2，易知OO 2∥HO 1，∴四边形HO 1OO 2为平行四边形，∴HO 2＝OO 1＝12.在Rt △HO 2B 中，HB ＝HO 22＋O 2B 2＝3，即三棱锥P ABC 外接球的半径为3，故所求体积为43×π×(3)3＝43π.3．已知A ，B ，C 是球O 的球面上三点，且AB ＝AC ＝3，BC ＝33，D 为该球面上的动点，球心O 到平面ABC 的距离为球半径的一半，求三棱锥D ABC 体积的最大值．解：如图，在△ABC 中， ∵AB ＝AC ＝3，BC ＝33， ∴由余弦定理可得 cos A ＝32＋32－3322×3×3＝－12，∴sin A ＝32. 设△ABC 外接圆O ′的半径为r ，则3332＝2r，得r＝3.设球的半径为R，连接OO′，BO′，OB，则R2＝⎝⎛⎭⎪⎫R22＋32，解得R＝2 3. 由图可知，当点D到平面ABC的距离为32R时，三棱锥DABC的体积最大，∵S△ABC＝12×3×3×32＝934，∴三棱锥DABC体积的最大值为13×934×33＝274.。

高考数学一轮复习第七章立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积课件

故选 A．
12/11/2021
(4)旋转一周所得几何体为以254 cm 为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为
S＝π×254×6＋π×254×8＝3356π(cm2)． (5)由△SAB 的面积为 8，可得12SA2＝8，解得 SA＝4.取圆锥底面圆的圆心为 O′，连接 SO′，AO′，由 SA 与圆锥底面所成的角为 30°，可得圆锥的底面半径 AO′＝2 3，圆锥的高 SO′ ＝2.设圆锥的外接球的半径为 R，球心为 O，则 O 在 SO′的延长线上，连接 AO，则 AO2＝AO′2＋OO′2，即 R2＝(2 3)2＋(R －2)2，解得 R＝4，所以该圆锥的外接球的表面积是 4πR2＝64π.
12/11/2021
考点二空间几何体的体积
命题方向 1
直接利用公式求体积
【例 2】 (2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1 挖去四棱锥 O-EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 ___1_1_8_.8__g.
第七章
立体几何
12/11/2021
第二节空间几何体的表面积与体积
12/11/2021
课标要求
考情分析
1.本节内容是高考中的重点内容，涉及空间几
了解球、棱何体的表面积与体积的计算等内容．
柱、棱锥、 2．命题形式主要以选择题、填空题为主，主台的表面积要考查空间几何体表面积与体积的计算，同时和体积的计算公式．着重考查空间几何体的结构特征等内容，解题

2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题39空间几何体的表面积和体积

(3) 设正六棱锥的高为 h，侧面的斜高为 h′．
由题意，得
11 3×6×2×2× 3×h＝ 2
3，
∴ h＝ 1，
∴斜高 h′＝ 12＋ 3 2＝ 2，
∴ S 侧＝ 6×12×2×2＝ 12. 【感悟提升】空间几何体表面积的求法
(1) 以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数
4π A. 3 C． 36π
32 π B. 3
256 π D. 3
(2) 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且△ ADE，△ BCF 均为正三角形， EF∥AB ，
EF ＝ 2，则该多面体的体积为 ( )
2 A. 3
4 C.3 【答案】
(1)B (2)A
3 B. 3
量．
(2) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(3) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．【变式探究】 (2016·全国Ⅲ卷 )如图所示，网格纸上小正方形的边长为
1，粗实线画出的是某多面体的三
视图，则该多面体的表面积为 ( )
专题 39 空间几何体的表面积和体积
3 D. 2
专题 39 空间几何体的表面积和体积
【解析】 (1) 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为
12 ，如图所示，
其中 AC＝ 6， BC＝ 8，∠ ACB＝90°，则 AB＝ 10.
由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大．
(3) 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．