线段的垂直平分线课堂导学案

合集下载

13.5.2线段垂直平分线导学案

A 13.5.2 线段垂直平分线导学案一、学习目标：1、掌握线段垂直平分线的性质定理、判定定理，并能能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。

2、能够运用线段垂直平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。

3、进一步发展推理意识及能力。

二、学习重难点重点：线段垂直平分线的性质定理、判定定理。

难点：利用线段垂直平分线的性质定理、判定定理的应用。

三、预习导学：1、我们学过哪些互逆定理？举例说明。

2、什么是线段垂直平分线？并且一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线。

3、线段垂直平分线有哪些性质？（结合图形）性质1：线段是图形。

A 、中心对称；B 、轴对称性质2： ∵直线MN 是线段AB 的垂直平分线（已知）∴ ，（定义）四、新课探究探究一：在公路的同侧有张村、李庄两个村庄，现要在公路上建一车站，使车站距两村的距离相等，如何确定车站的位置？探究二：实践： 1、在一张纸上任意画一线段AB 。

2、作出这条线段的垂直平分线MN3、沿直线MN 对折，你有什么发现？4、在直线MN 上任意取一点P ，连结PA 、PB5（1）（2）（3）、写一写：几何语言：（如上图）∵ 点P 在直线MN 上，直线MN 垂直平分线段AB ∴ =探究三：1、写一写：写出线段垂直平分线性质定理的逆命题：。

2、想一想：以上的命题是命题（“真”或“假” ）3、证一证：已知：如图13.5.2（课本95页），QA=QB李庄A B 求证：点Q 在线段AB 的垂直平分线上。

分析：为了证明点Q 在线段AB 的垂直平分线上，可以先经过点Q 作线段AB 的垂线，然后证明该垂线平分线段AB.证明：过点Q 作QC ⊥AB 于C∵QC ⊥AB 于C ∴∠ =∠ = ° ∴△ 和△ 是三角形在Rt △ 和Rt △ 中 ⎩⎨⎧∴Rt △ ≌Rt △ （）∴ =∴点Q 在线段AB 的垂直平分线上（也可以先平分线段AB ，设线段AB 的中点为点C ，然后证明QC 垂直于线段AB ，想一想用这种方法怎么证明？）4、概括：因此得到线段的垂直平分线的判定定理：到线段的距离相等的点，在这条线段的。

青岛版八年级数学上册导学案《线段的垂直平分线》

2.4线段的垂直平分线导学案学习目标：1.理解线段垂直平分线的概念, 掌握线段垂直平分线的性质定理.2.能运用线段的垂直平分线的性质定理解决简单的实际问题.3.能够利用直尺和圆规作线段的垂直平分线. 学习过程：一、情境思考：如下图, 公路AB 附近有两个村庄C,D, 要在公路边建一个车站, 为了方便起见, 要求这个车站到两个村庄的距离相等, 你能找出这个车站吗？AB二、学习新知〔一〕探究知识一1、活动1：学生自主学习课本第45页：实验与探究, 第46页交流与发现2、成果交流, 归纳提升A:(1) 于线段, 并且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线.线段是图形, 它的一条对称轴是B : 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的任意一点到的距离. 应用：如图1： MN 是线段AB 的垂直平分线, E 是MN 上一点, 那么EA 与EB 有什么关系？为什么？答：因为所以变式练习：〔1〕.如图2:在直角三角形中∠C=900, DE 是斜边AB 的垂直平分线, 那么DA=________为什么？如果CD=1cm,BD=2cm,那么AC=_____cm.〔2〕如图3：线段AB 的垂直平分线l 交AB 于点N, M 为直线l 上任一点, 假设AB=2cm,△MAB 的周长为10cm,那么MA=_________cm(二)探究二：能够利用直尺和圆规作线段的垂直平分线我们能用折叠的方法作出线段的垂直平分线, 直平分线, 怎么做呢？请你自学第九页例题并尝试做一做. ：线段AB求作：线段AB 的垂直平分线作法：〔1〕﹒C﹒D〔2〕你能用折叠的方法验证上面尺规作图的正确吗？稳固练习：课本P50练习第1、2题课本P50习题四．课堂小结：五、稳固与拓展练习根底知识：1、如图4:AD 是线段BC 的垂直平分线, EF 是线段AB 的垂直平分线,点E 在AC 上, 且BE+CE=20cm,那么AB=2.如图5所示, 公路AB 附近有两个村庄C,D, 要在公路边建一个车站, 为了方便起见, 要求这个车站到两个村庄的距离相等, 请你能在图中找出这个车站的位置？拓展应用:3.在平面直角坐标系中, 点A 坐标为(0,4),B 坐标为(6,0).那么线段OA 与OB 垂直平分线的交点P 的坐标为〔〕PA PB 四.课堂小结：本节课你学到了哪些知识, 最大的收获是什么？并与同学交流. 五课堂检测: A ：夯实根底：1.线段的垂直平分线〔中垂线〕：垂直并且一条的直线, 称为这条的垂直平分线, 线段垂直平分线上的到这条线段两个的距离. B ：能力提高2.如图7, 在△ABC 中, AB=AC=16cm,AB 的垂直平分线交AC 于D,如果,BC=10cm, 那么△BCD 的周长是cm教学反思：第四单元第1课函数一、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x 和y , 并且对于变量x 的每一个值, 变量y 都有________的值与它对应, 那么我们称y 是x 的________, 其中________是自变量． 2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x 和 y , 其中y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ：正方形的面积, x ：这个正方形的周长A BC D FEA B C DB ．y ：等边三角形的周长, x ：这个等边三角形的边长C ．y ：圆的面积, x ：这个圆的直径D ．y ：一个正数的平方根, x ：这个正数 3．以下关系式中, y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝|x |D ．|y |＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是( ) 5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x 表示乘公共汽车的站数, y 表示应付的票价．x /站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /元1112233344根据此表, 以下说法正确的选项是( ) A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( )9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( )A ．7B ．－3C ．－3或7D ．±3或7 二、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表：信件质量x /g 0＜x ≤2020＜x ≤4040＜x ≤60邮资y /元(1)y 是x 的函数吗？为什么？(2)分别求当x 取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B 两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植 A, B 两种树苗的相关信息如下表：品种价格(单位：元/棵)成活率劳务费(单位：元/棵)A 15 95% 3 B2099%4设购置A 种树苗x 棵, 造这片树林的总费用为y 元, 解答以下问题： (1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？第26章反比例函数实际问题与反比例函数2一、根底稳固1.某工厂现有原材料100吨, 每天平均用去x 吨, 这批原材料能用y 天, 那么y 与x 之间的函数表达式为〔〕 A ．y ＝100x B ．y ＝C ．y ＝+100D ．y ＝100﹣x2.如图, 市煤气公司方案在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室, 那么储存室的底面积S〔单位：m2〕与其深度d〔单位：m〕的函数图象大致是〔〕A．B．C．D．3.甲、乙两地相距s〔单位：km〕, 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 那么汽车行驶的时间y〔单位：h〕关于行驶速度x〔单位：km/h〕的函数图象是〔〕A．B．C．D．4.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热每分钟上升10℃, 加热到100℃, 停止加热, 水温开始下降, 此时水温〔℃〕与开机后用时〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．水温y〔℃〕和时间x〔min〕的关系如图．某天张老师在水温为30℃时, 接通了电源, 为了在上午课间时〔8：45〕能喝到不超过50℃的水, 那么接通电源的时间可以是当天上午的〔〕A．7：50B．7：45C．7：30D．7：205.在温度不变的条件下, 通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压, 测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强, 如下表：那么可以反映y与x之间的关系的式子是〔〕体积x〔mL〕100 80 60 40 20压强y〔kPa〕60 75 100 150 300A．y＝3 000x B．y＝6 000x C．y＝D．y＝6.随着私家车的增加, 交通也越来越拥挤, 通常情况下, 某段公路上车辆的行驶速度〔千米/时〕与路上每百米拥有车的数量x〔辆〕的关系如下图, 当x≥8时, y与x成反比例函数关系, 当车速度低于20千米/时, 交通就会拥堵, 为防止出现交通拥堵, 公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是〔〕A．x＜32 B．x≤32 C．x＞32 D．x≥327.如图, 在平面直角坐标系中, 函数y＝〔k＞0, x＞0〕的图象与等边三角形OAB的边OA,AB分别交于点M, N, 且OM＝2MA, 假设AB＝3, 那么点N的横坐标为〔〕A．B．C．4D．68.如图, 反比例函数y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕中, 作直线x＝10, 分别交x轴, y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕于点P, 点A, 点B, 假设＝3, 那么＝〔〕A．B．3C．﹣3D．9.直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A, B点, 与y＝〔x＜0〕的图象交于C、D两点, E是点C关于点A的中心对称点, EF⊥OA于F, 假设△AOD的面积与△AEF的面积之和为时, 那么k＝〔〕A．3B．﹣2C．﹣3D．﹣10.如图, 点A、B在双曲线〔x＜0〕上, 连接OA、AB, 以OA、AB为边作▱OABC．假设点C恰落在双曲线〔x＞0〕上, 此时▱OABC的面积为〔〕A．B．C．D．411.某物体对地面的压强P〔Pa〕与物体和地面的接触面积S〔m2m2时, 该物体对地面的压强是Pa．12.根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示, 售价是销量的反比例函数〔统计数据见下表〕．该运动鞋的进价为180元/双, 要使该款运动鞋每天的销售利润到达2400元, 那么其售价应定为元．售价x〔元/双〕200 240 250 400销售量y〔双〕30 25 24 1513.小刚同学家里要用1500W的空调, 家里保险丝通过的最大电流是10A, 额定电压为220V,那么他家最多还可以有只50W的灯泡与空调同时使用．14.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体, 当改变容器的体积时, 气体的密度也会随之改变, 密度ρ〔单位：kg/m3〕与体积v〔单位：m3〕满足函数关系式〔k为常数, k≠0〕其图象如下图过点〔6, 1.5〕, 那么k的值为．15.小丁在课余时间找了几副度数不同的老花镜, 让镜片正对太阳光, 上下移动镜片, 直到地上的光斑最小, 此时他测量了镜片与光斑的距离, 得到如下数据：老花镜的度数x/度…100 125 200 250 …镜片与光斑的距离y/m… 1 …m, 那么这副老花镜为度．16.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞, 药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与燃烧时间x〔分钟〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃烧完, 此时教室内每立方米空气含药量为6mgmg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 至少需要经过分钟后, 学生才能回到教室．二、拓展提升17.近似眼镜片的度数y〔度〕是镜片焦距x〔cm〕〔x＞0〕的反比例函数, 调查数据如表：眼镜片度数y〔度〕400 625 800 1000 (1250)镜片焦距x〔cm〕25 16 10 (8)〔1〕求y与x的函数表达式；〔2〕假设近视眼镜镜片的度数为500度, 求该镜片的焦距．18.y〔毫克/百毫升〕与时间x〔时〕成正比例；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x成反比例．根据图中提供的信息, 解答以下问题：〔1〕写出一般成人喝半斤低度白酒后, y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；〔2〕按国家规定, 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞, 不能驾车上路．参照上述数学模型, 假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒, 第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．19.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热时每分钟上升10℃, 加热到100℃停止加热, 水温开始下降, 此时水温y〔℃〕与开机后用时x〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机, 饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．假设在水温为30℃时接通电源, 水温y〔℃〕与时间x〔min〕的关系如下图：〔1〕分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；〔2〕怡萱同学想喝高于50℃的水, 请问她最多需要等待多长时间？20.某地建设一项水利工程, 工程需要运送的土石方总量为360万米3．〔1〕写出运输公司完成任务所需的时间y〔单位：天〕与平均每天的工作量x〔单位：万米3〕之间的函数关系式；〔2〕当运输公司平均每天的工作量15万米3, 完成任务所需的时间是多少？〔3〕为了能在150天内完成任务, 平均每天的工作量至少是多少万米3？21.蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时, 电流Ⅰ〔单位：A〕与电阻R〔单位：Ω〕是反比例函数关系, 它的图象如下图．〔1〕求这个反比例函数的表达式；〔2〕如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A, 那么该用电器的可变电阻至少是多少？22.某公司用100万元研发一种市场急需电子产品, 已于当年投入生产并销售, 生产这种电子产品的本钱为4元/件, 在销售过程中发现：每年的年销售量y〔万件〕与销售价格x 〔元/件〕的关系如下图, 其中AB为反比例函数图象的一局部, 设公司销售这种电子产品的年利润为s〔万元〕．〔1〕请求出y〔万件〕与x〔元/件〕的函数表达式；〔2〕求出第一年这种电子产品的年利润s〔万元〕与x〔元/件〕的函数表达式, 并求出第一年年利润的最大值．23.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞．药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与药物在空气中的持续时间x〔m〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃完, 此时教室内每立方米空气含药量为8mg．根据以上信息解答以下问题：〔1〕分别求出药物燃烧时及燃烧后y关于x的函数表达式mg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？mg的持续时间超过20分钟, 才能有效杀灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效, 并说明理由．第四单元第1课函数二、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x和y, 并且对于变量x的每一个值, 变量y 都有________的值与它对应, 那么我们称y是x的________, 其中________是自变量．2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y, 其中y不是．．x的函数的是()A．y：正方形的面积, x：这个正方形的周长B．y：等边三角形的周长, x：这个等边三角形的边长C．y：圆的面积, x：这个圆的直径D．y：一个正数的平方根, x：这个正数3．以下关系式中, y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝|x |D ．|y |＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是( ) 5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x 表示乘公共汽车的站数, y 表示应付的票价．x /站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /元1112233344根据此表, 以下说法正确的选项是( ) A ．y 是x 的函数 B ．y 不是x 的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( )9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( ) A ．7B ．－3C ．－3或7 D ．±3或7三、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表：(2)分别求当x 取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B 两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植 A, B 两种树苗的相关信息如下表：(1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？。

《第1课时线段的垂直平分线》导学案 2022年最新word版

1.3 线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线学习目标：1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．(重难点〕2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步开展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识.3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.合作探究探究一：线段的垂直平分线的性质定理性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．：如右图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS) ；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．定理运用时的数学语言：∵∴探究二：线段的垂直平分线的判定定理你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，那么需证明它；如果假，那么需用反例说明。

例题：：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且OB = OC.求证：直线AO 垂直平分线段BC。

．证明：∵ AB = AC，∴点 A 在线段BC 的垂直平分线上〔到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上〕.同理，点O 在线段BC 的垂直平分线上.∴直线AO 是线段BC 的垂直平分线〔两点确定一条直线〕.学生是第一次证明一条直线是线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。

三.当堂检测1.如图，在△ABC中，∠C = 90°，DE是AB的垂直平分线，那么〔1〕BD = ；〔2〕假设∠B = 40°，那么∠BAC = °，∠DAB = °，∠DAC = °。

〔3〕假设AC= 4，BC = 5，那么DA + DC = ，△ACD的周长为。

第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。

人教版八年级上《线段垂直平分线的性质》导学案

人教版八年级上《线段的垂直平分线的性质》导学案课题线段的垂直平分线的性质教者何平年级八年级上册知识目标1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理.2.学会应用定理及逆定理进行解题.3.会用尺规作图作出线段的垂直平分线.重点难点重点：理解线段的垂直平分线定理及逆定理难点：会灵活应用相关性质解决问题。

教学过程知识链接 1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？你能找出线段的对称轴吗？2.什么叫线段垂直平分线？3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？上节课我们知道了线段垂直平分线的定义，那么它具有什么特征呢？这节课我们一起来学习。

合作探究活动1、画一画：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？学生活动①学生先作出线段AB，过AB中点作 AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…②作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的结论？．●归纳：线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

用符号语言表示为：∵CA =CB，l⊥AB，∴PA =PB．用我们已有的知识来证明这个结论吗？学生讨论给出证明．证法一：利用判定两个三角形全等．如以下图，在△APC和△BPC中，⇒△APC≌△BPC ⇒PA=PB.证法二：利用轴对称性质．由于点C 是线段AB 的中点，将线段AB 沿直线L 对折，线段PA 与PB 是重合的，•因此它们也是相等的．活动2、如以下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓〞，“箭〞通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？满足PA=PB证明：∵ PA=PB,PC=PC(公共边〕∴Rt△ACP ≌Rt△BCP∴AC=BC∴PC 是线段AB 的垂直平分线∴点P 在线段AB 的垂直平分线上。

初三课堂线段的垂直平分线数学教案

初三课堂线段的垂直平分线数学教案
标题：初三课堂线段垂直平分线数学教案
一、教学目标
（这部分应详细描述学生在本节课中需要达到的学习目标）
二、教学重点与难点
（列出本节课的重点内容和可能存在的难点）
三、教学过程
1. 导入新课（约300字）
- 创设情境，引导学生思考并引出本节课的主题——线段的垂直平分线。

2. 新知探索（约600字）
- 定义讲解：什么是线段的垂直平分线？
- 性质讲解：线段的垂直平分线有什么性质？
- 举例说明：通过具体例子来加深理解。

3. 实践应用（约400字）
- 做一些相关的练习题，让学生运用所学知识解决实际问题。

4. 巩固提高（约200字）
- 设计一些进阶题目，帮助学生进一步巩固和提升。

四、教学评价
（如何对学生的学习效果进行评估）
五、教学反思
（教师对本次教学活动的自我评价和改进意见）
以下是一个简单的示例：
在"新知探索"部分：
定义讲解：
线段AB的垂直平分线是一条直线l，使得l经过线段AB的中点，并且直线l与线段AB互相垂直。

性质讲解：
1. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2. 到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

举例说明：
如图所示，直线DE是线段AC的垂直平分线，那么我们可以看到，点B和点D 到线段AC的两个端点A和C的距离都是相等的。

这就是线段垂直平分线的一个重要性质。

北师大版九年级数学上册1.3线段的垂直平分线(第二课时)导学案

已知：如图，在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P.
求证：P点在AC的垂直平分线上．
证明：连接AP，BP，CP．
∵点P在线段AB的垂直平分线上.
∴PA=PB(
)．
同理，PB=PC．
∴PA=PC( )．
∴P点在AC的垂直平分线上(
)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于一点P.
即学即用：
如图，在△ABC中.
3、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力.
学习重点、难点：
能够证明三角形三边垂直平分线交于一点.
能够利用尺规作已知底边及底边上的高作出等腰三角形.
知识链接：
垂直平分线的性质定理及判定定理.
证明的一般步骤及书写格式.
学法指导：
1、先阅读并思考P29—P31页教材内容，思考怎样证明三条直线相交于一点；
2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑.
自主学习：
1、垂直平分线的性质定理：
；
2、垂直平分线的判定定理：
.
自我评价：
小组长评价：
合作探究：
活动一：
请你利用折叠或尺规作出三角形三条边的垂直平分线.再观察这三条垂直平分线，你发现了什么?
结论：.
你能证明这个结论吗？
思考：要想证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的在另一条直线上即可.
4、(15分)在△ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10cm，则BC=____cm.
5、(40分)如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：AO⊥BC.
课后作业：
课本第31页，习题1.7，知识技能，1.

线段的垂直平分线(1)

10.4.线段的垂直平分线（1）导学案学习目标1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论. 学习策略1.线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用2.线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明学习过程一.复习回顾：1.线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质定理: 1）符号语言 ∵ P 在线段AB 的垂直平分线CD 上(如上图1) ∵PD ⊥AB AD=BD ∴ PA =2）如图2，已知直线AD 是线段AB 的垂直平分线，则AB = 。

3）如图3，AD 是线段BC 的垂直平分线，AB = 5，BD = 4，则AC = ，CD = ，AD = 。

4）如图4，在△ABC 中，AB = AC ，∠AED = 50°，则∠B 的度数为。

图2 图3E DAB CABCD图4二.新课学习：1.线段垂直平分线的判定定理线段垂直平分线的判定: 符号语言∵ PA = PB (如上图1)∴ P 在1）已知点A 和线段BC ，且AB = AC ，则点A 在。

2）如果平面内的点C 、D 、E 到线段AB 的两端点的距离相等，则C 、D 、E 均在线段AB 的。

3）设l 是线段AB 的垂直平分线，且CA = CB ，则点C 一定。

【合作探究】例题：已知：如下图，在 △ABC 中，AB = AC ，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC 。

A BCD三.尝试应用：1如下图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在AB 上的点E 处．已知BC=12，∠B=30°，则DE 的长是（） A ．3 B ．8 C ．4 D ． 52在△ABC 中，AB = AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60cm 和38cm ，求AB 、BC 。

华师大版2020-2021年八年级数学上册导学案：13.5 2 线段垂直平分线【含答案】

华师大版2020-2021年八年级数学上册导学案13.5 逆命题与互逆定理2.线段垂直平分线学习目标：1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法；（重点）2.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点）自主学习一、知识链接1.经过线段________并且______于这条线段的________，叫做这条线段的垂直平分线.2.线段是轴对称图形，它的对称轴是它的线.二、新知预习操作：如图，已知线段AB，作直线MN的垂直平分线段AB.问题：（1）设两弧线的一个交点为P，量出AP，PB的长度，它们有什么关系？（2）用学过的方法证明AP与BP的关系．合作探究一、探究过程探究点1：线段垂直平分线的性质问题通过上述“操作”，你认为线段的垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离，有什么特点？【要点归纳】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离________.例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D.若△DBC的周长为35cm，则BC的长为()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm【方法总结】利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．例2 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.【要点归纳】三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离_______. 【变式题】某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？在图中作出购物中心的位置．例3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F.若BE⊥AE，求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.【方法总结】证明线段相等的常用方法：1.由全等得对应线段相等；2.由线段垂直平分线的性质得出线段相等.探究点2：线段垂直平分线的判定问题写出垂直平分线性质定理的逆命题，你认为它是真命题还是假命题？【要点归纳】到线段两端距离________的点在这条线段的______________上.例4如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.二、课堂小结当堂检测1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 3线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的性质三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离______.证明线段相等第1题图第2题图第3题图2.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是.3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=50°，则∠BDC= °.4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE＝AC．5.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD＝DE，若AB+BD＝DC，求证：点E在线段AC的垂直平分线上．6.如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．拓展提升7.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O．（1）找出图中相等的线段；（2）OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的距离，试说明它们的大小有什么关系?参考答案自主学习一、知识链接1.中点垂直直线2.垂直平分二、新知预习操作：如图所示：问题：（1）AP=BP ．（2）由作图知MN 垂直平分AB ，设MN 与AB 相交于点C ，所以AC=BC ，∠ACP=∠BCP ，又因为CP=CP ，所以△ACP ≌△BCP .所以AP=BP . 合作探究一、探究过程探究点1：【要点归纳】相等例1 C例2 证明：∵点P 是边AB ，BC 的垂直平分线的交点，∴PA=PB ，PB=PC ，∴PA=PB=PC ．【要点归纳】相等【变式题】解：如图，连接AB ，分别以A 、B 为圆心，大于21AB 长为半径画弧，两弧交于两点，连接这两点即得AB 的垂直平分线；同理连接BC ，作出BC 的垂直平分线，两条直线交于点P ，则点P 就是购物中心的位置.例3 证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADC=∠ECF.∵E 是CD 的中点，∴DE=EC ．∵在△ADE 与△FCE中，⎪⎩⎪⎨⎧CEF,AED EC,DE ECF,ADC ＝∠∠＝＝∠∠∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴FC=AD ．（2）∵△ADE ≌△FCE ，∴AE=EF ，AD=CF ，∴BE 是线段AF 的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF ，∵AD=CF ，∴AB=BC+AD ．探究点2：【要点归纳】相等垂直平分线例4 证明：∵O E 平分∠AOB ，∴∠COE=∠DOE ．∵EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°.在△OCE 和△ODE 中，COE DOE,OCE ODE,EO EO,∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△OCE ≌△ODE （AAS ），∴OC=OD ，又∵OE 是∠AOB 的平分线，∴OE 是CD 的垂直平分线．二、课堂小结相等当堂检测 1. B2.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3.1004.证明：∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵ED ⊥AB ，BE 平分∠ABC ，∴CE ＝DE ，∵DE 垂直平分AB ，∴AE ＝BE ，∵AC ＝AE +CE ，∴BE +DE ＝AC ．5.证明：∵AD 是高，∴AD ⊥BC ，又∵BD ＝DE ，∴AD 所在的直线是线段BE 的垂直平分线，∴AB ＝AE ，∴AB +BD ＝AE +DE ，又∵AB +BD ＝DC ，∴DC ＝AE +DE ，∴DE +EC ＝AE +DE.∴EC ＝AE ，∴点E 在线段AC 的垂直平分线上．6.解：AD 垂直平分EF.理由如下：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠FAD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠AED ＝∠AFD ．在△AED 和△AFD 中，，∴△AED ≌△AFD （AAS ），∴AE ＝AF，DE＝DF，∴AD为EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF．7.解：（1）∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD.（2）OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，，∴△AOC≌△AOD（SSS），∴∠CAO＝∠DAO，又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴∠AEO=∠AFO，又∵AO=AO，∴△AOE≌△AOF（AAS），∴OE＝OF．。

13.1.2 线段的垂直平分线的性质导学案 2021—2022学年人教版八年级数学上册

13.1.2 线段的垂直平分线的性质导学案一、线段的垂直平分线的定义在平面几何中，当一个线段被另一条线段垂直平分时，这条垂直平分线具有一些特殊性质。

垂直平分线是指将一条线段分成两个等长的线段，并与该线段垂直的直线。

二、垂直平分线的性质1. 性质一：垂直平分线的长度相等垂直平分线将一条线段分为两个等长的线段，因此垂直平分线的长度相等。

2. 性质二：垂直平分线与线段的端点连线垂直垂直平分线与线段的两个端点连线垂直，即垂直平分线上的任意一点与线段的两个端点连成的线段都是直角。

3. 性质三：垂直平分线只与线段的中点相交在线段的中点上，还有一条特殊的垂直平分线。

垂直平分线只与线段的中点相交，不与线段的其他点相交。

4. 性质四：垂直平分线将线段分成两个相等的部分垂直平分线将线段分成两个相等的部分，即线段的两个部分的长度相等。

5. 性质五：垂直平分线的交点在线段中点上当两条垂直平分线相交时，其交点在线段的中点上。

6. 性质六：与线段中点相连的垂直平分线平行与线段中点相连的垂直平分线之间是平行的。

三、垂直平分线的构造方法构造垂直平分线一般有两种常见的方法：方法一：利用圆的性质构造步骤如下： 1. 以线段的两个端点为圆心，将半径取得相同，作圆。

2. 确定两个交点，连接两个交点和线段两个端点，即构造出线段的垂直平分线。

方法二：利用等腰三角形的性质构造步骤如下： 1. 以线段的一端为顶点，作一个与线段等长的弧。

2. 以线段的另一端为顶点，作一个与线段等长的弧。

3. 连接两个弧的交点和线段两个端点，即构造出线段的垂直平分线。

四、例题解析例题：已知AB为直径的圆O上的点C，点D在AB上，且OD是弧AC的垂直平分线，若OD = 6 cm，AC = 12 cm，求AD的长度。

解析：根据垂直平分线的性质，“垂直平分线将线段分成两个相等的部分”，所以AD = DC。

又AC = 12 cm，而OD = 6 cm，所以在等腰三角形ACD中，AD = DC = (AC - OD) / 2 = (12 - 6) / 2 = 3 cm。

人教版八年级数学上册第十三章《线段的垂直平分线的性质》第1-3课时学习任务单(导学案)及作业设计

人教版八年级数学上册第十三章《线段的垂直平分线的性质》学习任务单及作业设计第一课时【学习目标】1.理解并掌握线段垂直平分线的性质；2.会用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题．【课前学习任务】准备直尺，三角板等工具．复习回顾线段的垂直平分线的定义．【课上学习任务】学习任务一：1.回顾线段垂直平分线的定义符号语言：2.探究：学习任务二：猜想：学习任务三：例如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上．（1）AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？（2）若AE=6, △ABC的周长是 13，求△ABE的周长．练习：如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE 的周长为24，BC=10，则 AB= ．例已知，如图，AM是△ABC的角平分线，MF是线段BC的垂直平分线，MD⊥AB 于 D，ME⊥AE于E，求证：BD=CE．【作业设计】1．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AC于点 M，交BC于点N，若AB=3，BC=13．那么△ABN的周长是．2．如图，线段AB,BC的垂直平分线l1, l2相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC= ．【参考答案】1. 162. 78°第二课时【学习目标】1.理解并掌握定理“与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”.2.会用这个定理解决简单的数学问题．【课前学习任务】1.准备直尺，三角板等工具．2.复习回顾角平分线的性质的两个定理，以及线段的垂直平分线的性质，并填写在学习任务一的相应位置上．【课上学习任务】学习任务一：图示性质定理角平分线线段的垂直平分线学习任务二：猜想：学习任务三：例如图，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD是EF的垂直平分线．【作业设计】1.如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE 垂直平分BD．2.下面小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.已知：△ABC.求作：△ABC的边BC上的高AD.作法：如图，（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，BA,CA 为半径作弧，两弧相交于点 E；（2）作直线 AE 交 BC 边于点 D.所以线段 AD 就是所求作的高.根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=_______，AC=_______，∴点 B, C 都在线段 AE 的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∴直线 BC 是线段AE的垂直平分线（）（填推理的依据）．∴AD⊥BC，即AD是△ABC 的边BC上的高．【参考答案】1.证明：∵在ΔAOB 和ΔCOD 中,∴点 O 在线段 BD 的垂直平分线上.∵BE=DE,∴点 E 在线段 BD 的垂直平分线上.∴OE 垂直平分 BD.2.BE；CE；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．第三课时【学习目标】1.会用尺规作图作一条线段的垂直平分线，及过一点作一条直线的垂线；2.能用线段的垂直平分线的尺规作图方法解决简单的作图问题．【课前学习任务】1.准备直尺，三角板，圆规等工具．2.复习回顾线段的垂直平分线的性质（第二课时）的作业第 2 题以及学过的尺规作图．【课上学习任务】学习任务一：回顾作业：下面小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.已知：△ABC.求作：△ABC 的边 BC 上的高 AD.作法：如图，（1）分别以点 B 和点 C 为圆心，BA,CA 为半径作弧，两弧相交于点 E；（2）作直线 AE 交 BC 边于点 D.所以线段 AD 就是所求作的高.根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=_______，AC=_______，∴点 B, C 都在线段 AE 的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∴直线 BC 是线段 AE 的垂直平分线（）（填推理的依据）．∴AD⊥BC，即 AD 是△ABC 的边 BC 上的高．学习任务二：例已知：如图，线段 AB．求作：线段 AB 的垂直平分线 MN．练习尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．过直线上一点作这条直线的垂线该如何作呢？学习任务三：例作出下列图形的一条对称轴．（1）（2）例如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所学校P，要使学校P到三个村庄的距离相等，请你利用尺规作图确定学校的位置．例如图，电信部门要在C处修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条高速公路 l1和 l2的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点 C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）【作业设计】1.如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？2.如图，某地由于居民增多，要在公路 l 上增加一个公共汽车站，A，B 是路边两个新建小区，请你利用尺规作图确定这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？【参考答案】1. d2. 如图所示，点 P 即为所求．。

线段垂直平分线的性质和判定

黄陂区塔耳中学数学导学案主备人：方小红审核人：詹建明班级：八（3）、八（4）班姓名：课题：线段垂直平分线的性质与判定【学习目标】：1 理解并掌握线段垂直平分线的性质与判定，并能运用线段垂直平分线的性质与判定解决有关的问题；2 经历运用线段垂直平分线的性质与判定解决有关问题的过程，培养学生分析与解决问题的能力；3 通过对线段垂直平分线的性质与判定进行探究的过程，增强学生学习数学的兴趣，并让学生感受“观察——猜想——验证”在探究新知识的过程中的必要性。

【学习重点】：线段垂直平分线的性质与判定的理解与运用。

【学习难点】：线段垂直平分线的性质与判定的理解与综合运用。

【易错点】：线段垂直平分线的证明。

一课前导学1 相关知识的链接（1）下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它有几条对称轴。

（2）如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？（3）如图，已知点A,B 关于直线MN 对称,直线MN 交线段AB 于O 。

则AO= ，∠AOM=∠BOM= ，直线MN 是线段AB 的。

A ·B ·MNO2 自学教材P 61～P 62的有关内容，对相关知识进行初步的理解。

探究（1）① 作出线段AB ，过AB 中点C 作AB 的垂直平分线l ，在l 上取P 1、P 2、P 3…，连结AP 1、 AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2…② 作好图后，用直尺量出AP 1、AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2…的长度，讨论发现什么样的规律。

猜想： ③ 你能运用三角形的全等证明这个结论吗？如图，直线l AB ⊥于C ，且C 为线段AB 的中点，点P 在l 上。

求证： PA PB =④ 引导与归纳（ⅰ）线段垂直平分线的性质：（ⅱ）几何表达式：∵ AC=BC PC ⊥AB∴ PA=PB探究(2)① 作线段AB 和线段AB 外一点P ，连接PA ，PB 。

若PA=PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上吗？② 再取一些点，判断当这些点到A ，B 的距离相等时，它们是否也在线段AB 的垂直平分线上？③ 猜想： ④ 你能证明这个结论吗？试试看。

《线段的垂直平分线的有关作图》教案、导学案、同步练习

《第2课时线段的垂直平分线的有关作图》教案教学目标①探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．②探索并理解线段垂直平分线的两个性质．③通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法．④在数学学习的活动中，养成良好的思维品质．教学重点与难点重点：图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质．难点：由线段垂直平分线的两个性质得出的“点的集合”的描述．教学过程Ⅰ、情境导入1．下面的图形是轴对称图形吗?如果是，请说出它的对称轴．2．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系?(如下图，△ABC 和△A'B'C'关于直线MN对称)3．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别是点A、B、C的对称点，线段AA'、BB'、CC'与直线MN有什么关系?Ⅱ、自主探究探究1：要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为图点A 和点A'，折痕为直线MN(如图3)．显然，此时点A 和点A'关于直线MN 对称．连结点 A ，A'，交直线MN 于点P ．观察图形，线段AA'与直线MN 有怎样的位置关系?你能说明理由吗? 类似地，点B 与点B'，点C 与点C'是否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗?上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢?探究2：如图，木条MN 与AB 钉在一起，MN 垂直平分AB ，P1，P2， P3，……是MN 上的点，分别量一下点P1，P2，P3，……到A 与B 的距离，你有什么发现吗？你能说明理由吗?探究3:反过来PA=PB,那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上？为什么？Ⅲ、交流归纳通过探究1首先知道垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线学生归纳出图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

教学设计--13.1.2线段的垂直平分线的性质

第十三章轴对称线段的垂直平分线的性质导学案教学目标：1、知识与技能掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判断解题。

2、过程与方法通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，表达逻辑推理的数学方法。

3、情感态度与价值观通过认识上的升华，使学生加深对命题证明的认识。

教学重点：线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。

教学难点：灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。

教学方法：采用“情境──探究〞的方法教学用具：多媒体课件、彩粉笔、三角板等教学过程：一、复习回忆，引入新课1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？什么是线段的垂直平分线？2.你能找出线段的对称轴吗？3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由．今天我们来研究线段垂直平分线的性质。

二、合作学习，探索新知1、探究线段垂直平分线的性质师：如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜测点P1，P2，P3，…到点A 与点B 的距离之间的数量关系．生：三个点到A，B两点的距离分别相等。

师：请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段AB 两个端点的距离相等吗？生：这一点与A，B两个端点的距离相等。

师：总结归纳性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 即AP1=BP1，AP2=BP2，…2、证明线段垂直平分线的性质定理师：这又是证明线段相等的命题，回忆上节课证明角的平分线的性质的方法，会得到什么启发？生：可以利用SAS证明△APC≌△BPC，从而得到PA=PB。

引导学生画出图形，写出、求证。

(1)证法一：利用判定两个三角形全等．如以下图，在△APC和△BPC中，PC=PC，∠PCA=∠PCB=90°，AC=BC⇒△APC≌△BPC ⇒ PA=PB.(2) 证法二：利用轴对称性质．由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线l对折，线段PA与PB是重合的，•因此它们也是相等的．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．用几何语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，或∵点P在线段AB的垂直平分线上∴ PA =PB ∴ PA =PB今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等，同时这也可以当作等腰三角形的一种判定方法。

线段的垂直平分线的性质和判定教学导案

《线段的垂直平分线的性质和判定》导学案一学习目标1.通过测量、猜想，探究线段的垂直平分线的性质．2.通过小组合作，探究线段的垂直平分线判定方法．3.会运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．二教学过程（一）问题引入(学法指导：想象在生活中该如何解决)巩义市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？（二）探究线段垂直平分线的性质（达成目标1 学法指导：阅读至课本P61中间段）________________________________________________几何语言（如图1）：∵_____________________________∴_________________图1 例1（达成目标3）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm(三) 探究线段垂直平分线的判定（达成目标2 学法指导：类比角平分线的性质与判定）想一想：如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢图2已知：如图3，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．图3线段垂直平分线的判定____________________________________________________________例2 （达成目标3）如图4,AB =AC，MB=MC.求证：直线AM是线段BC的垂直平分线.(四) 解决引例（五）课堂小结图4（六）达标测试1.如图5右所示，直线CD是测试线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.6B.5C.4D.32.如图6所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .3.如图7所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（）A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ；C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB ．4.在锐角三角形ABC内一点P,满足PA=PB=PC,则点P是△ABC （）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点5.如图8，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE 的周长是 cm.图5 图6 图7 图8。

线段的垂直平分线的性质18

伙牌镇高效生态课堂数学（学科）导学案编号:20188S-SX 0016 课型：新授主备人：张朝杰审核人:班级：小组：姓名：评价：内容：线段的垂直平分线的性质和判定学习目标1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．(重点） 2.会用尺规过一点作已知直线的垂线. 学习重点：1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．(重点） 2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.学习难点：能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点）学法指导：学习流程：任务一、探究线段的垂直平分线的性质（独学、群学、展示）问题引导：1、某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？转化模型：2、如图，直线l 垂直平分线段AB ，P 1，P 2，P 3，…是l 上的点，（1）请你量一量线段P 1A ，P 1B ，P 2A ，P 2B ，P 3A ，P 3B 的长，（2）你能发现什么？请猜想点P 1，P 2，P 3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．P 1A ____P 1B P 2A ____ P 2B P 3A ____ P 3B 猜想：点P 1，P 2，P 3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．由此你能得到什么结论？命题：验证：你能这一结论吗？已知：如图，直线l ⊥AB ，垂足为C ，AC =CB ，点P 在l 上．求证：P A =PB ．例1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20cm ，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，交AC 于D ，若△DBC 的周长为35cm ，则BC 的长为 A ．5cm B ．10cm C ．15cm D ．17.5cm 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．练一练：1.如图①所示，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，点P 为直线CD 上的一点，且P A =5，则线段PB 的长为（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图②所示，在△ABC 中，BC =8cm,边AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E , △BCE 的周长等于18cm,则AC 的长是 . 任务二、线段的垂直平分线的性质练习（独学、群学、展示）例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线已知：直线AB 和AB 外一点C . 求作：AB 的垂线，使它经过点C .想一想：（1）为什么任意取一点K ，使点K 与点C 在直线两旁？ 2）为什么要以大于 1/2 DE 的长为半径作弧？（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？例3 已知:如图,在ΔABC 中,边AB ，BC 的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.任务三、探究线段垂直平分线的判定（独学、群学、展示）思考1：如果PA =PB ,那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？已知：如图，PA =PB ．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．结论：线段垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．定理书写格式∵ PA =PB ， ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 思考2你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？书写格式： ∵ AB =AC ，MB =MC ， ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直平分线．例4 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.例5 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（）A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB；C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB．2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点3、已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.四、总结梳理，内化目标1．本节课学习的数学知识是：2．数学思想：五、达标检测，反思目标1.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有种.2.下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有（填序号）.3.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.4.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系8.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．例4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.。

线段的垂直平分线 3同步练习导学案

1．3 线段的垂直平分线同步练习导学案班级_______ 姓名_______ 学号____ 完成日期2019年__月__日一、选择题1．如图，已知三角形ABC，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE 交AB于D，连接CD，CD＝()A．3 B．4 C．4.8 D．52＝BDA．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ADB3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC 于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为()A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B5.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的错误！未找到引用源。

AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A、7B、14C、17D、206.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A、6B、5C、4D、3二、填空题1、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为．2垂直平分A=30则∠3ABC°， AC 于D ，则∠CBD 的度数为．4、如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段 DE 的长为．5、如图，AB=AC ，∠BAC=120°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，那么 ∠ADC= 度．6、如图，∠ABC=50°，AD 垂直且平分BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数是度．三、证明题1、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，E 是BD 垂直平分线与AB 的交点，DE 交AC 于点F.求证：点E 在AF 的垂直平分线上．2、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．。

垂直平分线(二)

九年级数学上册导学案编号 06911007九年级数学学科导学案执笔人：李青学校：红柳沟镇中学审核人________集体备课批注栏一、课题2．线段的垂直平分线（二）二、学习目标能够证明线段垂直平分线的性质定理，体验线段垂直平分线定理的实际应用 .能运用所学定理进行尺规作图，并能说明作图依据 . 经历探究、发现的过程，提高推理证明能力，发展学生的推理证明意识和能力 .三、学习重点和难点1.重点：能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和满足条件的等腰三角形 .2.难点：理解三线共点的证明方法．课堂导学过程设计预习案一、温故知新1.等腰三角形的顶点一定在上 .2.在△ ABC中， AB、 AC 的垂直平分线相交于点P，则 PA、 PB、 PC的大小关系是.3.在△ ABC 中,AB=AC, ∠ B=58,AB 的垂直平分线交AC 于 N,则∠NBC=.4.已知线段 AB，请你用尺规作出它的垂直平分线.A B探究案二、导学释疑探究一：（1）请你通过折叠的方法找出一个锐角三角形纸片每条边的垂直平分线。

观察这三条垂直平分线 , 你发现了什么 ?（ 2）请你用利用尺规作出钝角三角形三条边的垂直平分线。

再观察这三条垂直平分线, 你又发现了什么?ACB（ 3）请证明三角形三边的垂直平分线交于一点证明：如图，在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP， BP， CP。

定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

结论：锐角三角形的三边垂直平分线的交点在内；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在外；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在；探究二：一、思考： 1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？二、做一做：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。

已知：线段a、 h求作：△ ABC ，使 AB=AC ，且 BC=a ，高 AD=h.训练案三、巩固提升1.在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。