八年级上数学 二次根式的混合运算
八年级数学二次根式教学设计6篇
八年级数学二次根式教学设计6篇二次根式的混合运算（1）教学目的：会进行二次根式的加减、乘混合运算。
重点：二次根式的加减乘混合运算。
难点：运算法则的综合运用。
关键：掌握混合运算顺序和步骤。
教学过程：复习提问：1．叙述二次根式加减法的两个步骤。
2．填空：当a≥0，b≥0时，；3．叙述单项式乘以多项式运算顺序；4．叙述多项式乘以多项式的运算法则。
二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）二次根式的除法：（a≥0，b>0）新课：形如的式子，表示什么？a需要满足什么条件？根据平方根的定义，当a≥0时，表示a的算术平方根，是一个非负数，它的平方等于a；当a16.1第一课时二次根式的概念教学目标：1、解决实际问题，体会学习二次根式是实际的需要。
2、通过二次根式概念的学习，经历观察、概括的思维过程，理解二次根式的概念。
3、通过二次根式概念的建立，理解二次根式中被开方数中字母的取值范围。
教学重点：二次根式概念的理解。
教学难点：二次根式概念的理解。
教学方法:自主学习问题启发相结合。
教学手段：多媒体课件、学案。
教学过程：一、复习1、式子（﹣3）2中，-3叫2叫2、求数4，5，10，49，0的平方根和算术平方根，4的立方根是3、-4有没有算术平方根？我们已经学习了平方根和算术平方根的定义，引进了一个新的符号word/media/image1_1.png。
今天我们学习一个和前面的算术平方根有关的知识：二次根式2、探究定义1、观察：完成课本第二页“思考”的内容。
观察word/media/image2_1.png，word/media/image3_1.png，word/media/image4_1.png，word/media/image5_1.png这些式子在形式上有什么共同特点？2、思考：（1）都含有word/media/image1_1.png（2）被开方数都是非负数（S表示面积，h是高度。
)。
3、归纳：二次根式的定义形如word/media/image6_1.png（a≥0）的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数。
二次根式的混合运算教案
二次根式的混合运算教案一、教学目标：1. 让学生掌握二次根式的混合运算法则。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 增强学生对数学知识的兴趣，培养学生的自主学习能力。
二、教学内容：1. 二次根式的加减法运算。
2. 二次根式的乘除法运算。
3. 二次根式的混合运算。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：掌握二次根式的混合运算法则，能够熟练进行混合运算。
2. 教学难点：理解二次根式混合运算中的运算顺序，解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法。
2. 以学生为主体，教师为主导，注重启发式教学。
3. 利用多媒体教学手段，直观展示二次根式混合运算的过程。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾二次根式的加减法、乘除法运算，引导学生思考混合运算的规律。
2. 讲解与示范：讲解二次根式混合运算的法则，示例演示混合运算的过程。
3. 练习与讨论：学生独立完成练习题，分组讨论解题方法，教师巡回指导。
4. 解决问题：利用所学知识解决实际问题，巩固二次根式混合运算的应用。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，学生分享学习心得，教师点评并鼓励。
六、课后作业：1. 完成课后练习题，巩固二次根式混合运算的知识。
2. 搜集实际问题，运用所学知识解决问题。
3. 预习下一节课内容，做好学习准备。
教案编写：教案编辑专员日期：2024年X月X日六、教学评估：1. 课堂讲解：评估学生对二次根式混合运算法则的理解程度，观察学生能否清晰地解释和演示运算过程。
2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，评估其对混合运算的掌握程度。
3. 实际问题解决：评估学生在解决实际问题时，能否正确运用二次根式混合运算的知识，以及能否有效地沟通和表达解题思路。
七、教学拓展：1. 引导学生思考：二次根式混合运算在实际生活中的应用，例如在物理、化学等科学领域中的运用。
2. 介绍数学史：向学生介绍二次根式混合运算的发展历程，以及相关数学家的贡献。
北师版八年级上册数学第2章 实数 二次根式的混合运算
2．(2019·滨州)计算：－12－2－| 3－2|＋ 32÷ 118＝_2_＋__4__3__.
3．(2018·泰州)下列运算正确的是( D )
A. 2＋ 3＝ 5 B. 18＝2 3
C. 2· 3＝ 5
D. 2÷ 12＝2
4．(2019·重庆)估计 5＋ 2× 10的值应在( B ) A．5 和 6 之间 B．6 和 7 之间 C．7 和 8 之间 D．8 和 9 之间
【点拨】 5＋ 2× 10＝ 5＋2 5＝3 5. 因为 3 5＝ 45，36＜45＜49，所以 6＜ 45＜7.
5．(中考·聊城)计算5
15－2
45÷(－
5)的结果为(
A
)
A．5 B．－5 C．7 D．－7
【点拨】原式＝( 5－6 5)÷(－ 5)＝(－5 5)÷(－ 5)＝5.
6．计算：
(1)(2019·泰州) 8－
8．(2019·孝感)下列计算正确的是( A )
A．x7÷x5＝x2
B．(xy2)2＝xy4
C．x2·x5＝x10
D．( a＋ b)( a－ b)＝b－a
9．已知 a＝2 2＋3，b＝2 2－3 则：(1)a＋b＝4 2； (2)a－b＝___6_____；(3)ab＝___－__1___； (4)a2＋b2＝___3_4____；(5)a2－2ab＋b2＝___3_6____．
解：原式＝9－7＋2 2－2＋(2－ 3)[(2＋ 3)(2－ 3)]2 021 ＝2 2＋2－ 3.
12．已知 a＝ 51－2，b＝ 51＋2，求 a2＋b2＋7的值．
解：由已知得 a＝ 5＋2，b＝ 5－2，所以 a＋b＝2 5，ab＝1. 所以原式＝ （a＋b）2－2ab＋7＝ （2 5）2－2＋7＝5.
(完整版)二次根式混合运算经典
( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
1、计算：
（1）、3 2 1 33
(2)、7 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
(4)(7 2 2 6)(2 6 7 2)
(5)、( 7 7 3)2
(6)、( 2 3 6)2 ( 2 3 6)2
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
6 解：(1) 2－
18－120＝3
2－3
2－1＝－1
(2)(－3)2－ 4＋12－1＝9－2＋2＝9
(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3
∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二 次根式的和相乘的运算.
例4 计算：
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
动脑筋
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
(7)、(7 54 3 21） 3
(8)、18 ( 3 2)
注意：
1、运算顺序 。 2、运用运算律和乘法公式，简化运算。 3、结果为最简二次根式。
二、巧用“分母有理化”进行二次根式混合运算
二次根式的混合运算
注意：有理化因式一般只写最简单的形式，如： x y的有理化因式是 x y.
自主探究
2. 2 3的有理化因式是
;
x y的有理化因式是
总结提高
作业 教材第15页习题16.3第4，6题.
LOGO
9
(2)( a b )( a - b)； a-b
(3)( 3 2)2; 7 4 3
(4) (2 5- 2)2. 22-4 10
二次根式的化简求值
已知a 3 2,b 3 2,求下列式子的值 .
(1)a2b ab2; (2)a2 b2.
注：先化简，后求值
总结提高
课堂小结 这节课你学到了哪些知识？你有什么收获？
;
x 1 x 1的有理化因式是 _________ .
自主探究
1.计算：
(1) 2( 3 5);
6 10
(2)( 80 40) 5; 4 2 2
(3)( 5 3)( 5 2); 11 5 5
(4) ( 6 2)( 6 2). 4
自主探究
2.计算：
(1)(4 7)(4- 7);
类比：怎样计算(a 2b)(2a b)？
（2）怎样计算 3 2 2 3 2 2 ?
回顾：(a b)(a b)
.
（3） 3 2 2 2 呢?
自主探究
结论： 在进行二次根式的混合运算时，我 们曾学过的整式的乘法法则和公式仍然 适用.
自主探究
例3 计算： （1）( 8 3) 6; （2）(4 2 3 6) 2 2.
八年级数学上册《二次根式的混合运算》教案、教学设计
（3）将实际问题转化为二次根式混合运算问题，并解决实际问题。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，创设生活情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式混合运算问题；
（2）运用启发式教学法，引导学生通过自主探究、合作交流，发现并总结二次根式的性质和运算法则；
（3）布置课后作业，巩固所学知识。
3.情感教育：鼓励学生在课后继续探索二次根式的奥秘，培养他们热爱数学、主动学习的情感态度。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，检验学生的学习效果，特布置以下作业：
1.基础题：完成课本第chapter页练习题1、2、3，直接运用二次根式的运算法则进行计算。
2.提高题：完成课本第chapter页练习题4、5，涉及混合运算，需要运用二次根式的性质进行简化。
（2）关注学生的学习情感，营造轻松愉快的学习氛围，减轻学生的心理压力；
（3）关注学生的学习方法，引导学生运用合理的学习策略，提高学习效率。
四、教学内容与过生活中的问题作为导入，如“某学校举办运动会，跳远比赛的成绩为4.8米和6.4米，试比较两个成绩的大小。”引导学生思考如何进行比较。
4.在解决问题的过程中，体验数学的简洁美、逻辑美，培养良好的审美情趣。
在教学过程中，教师应关注学生的学习情况，及时调整教学方法，使学生在掌握知识的同时，提高思维能力，培养良好的情感态度与价值观。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式的概念和简单运算有初步的了解。在此基础上，他们对本章节的二次根式混合运算学习有以下特点：
3.示例：通过具体的例题，示范如何运用性质和运算法则进行二次根式的混合运算。
冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》教学设计
冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.4《二次根式的混合运算》是学生在学习了二次根式的性质和运算法则的基础上进行学习的。
这一节内容主要让学生掌握二次根式的混合运算方法，提高学生解决实际问题的能力。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生掌握二次根式的混合运算方法，培养学生的运算能力和思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次根式的性质和运算法则，具备了一定的数学基础。
但部分学生在进行混合运算时，容易混淆运算法则，对于复杂的二次根式混合运算，可能会出现错误。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，进行针对性的指导和训练。
三. 教学目标1.让学生掌握二次根式的混合运算方法。
2.提高学生解决实际问题的能力。
3.培养学生的运算能力和思维能力。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的混合运算方法。
2.难点：对于复杂二次根式混合运算的计算方法和思路。
五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法、分组讨论法等，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握二次根式的混合运算方法。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、黑板、粉笔等。
2.学生准备：教材、笔记本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引入二次根式的混合运算。
例如：一个正方体的体积是8立方厘米，求这个正方体的棱长。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的混合运算的例题和练习题，让学生观察和分析，引导学生发现二次根式混合运算的规律和方法。
3.操练（10分钟）教师引导学生进行二次根式的混合运算的练习，让学生在实践中掌握运算方法。
教师可适时给予提示和指导，帮助学生克服困难。
4.巩固（10分钟）教师通过一些具有代表性的题目，让学生进行二次根式的混合运算，巩固所学知识。
教师可学生进行交流和讨论，分享各自的解题思路和方法。
5.拓展（10分钟）教师给出一些综合性的题目，让学生进行二次根式的混合运算，提高学生的解决问题的能力。
2023八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案(新版)北师大版
1.教材：确保每位学生都提前准备好北师大版《数学》八年级上册教材，翻到第二章实数7二次根式相关内容，以便课堂上随时翻阅和标注。
2.辅助材料：
-准备与二次根式混合运算相关的教学图片，如含有二次根式的实际应用题目图片，以直观展示数学在生活中的运用。
-制作动态图表，展示二次根式乘除运算的过程，帮助学生理解运算规则。
-设计课堂小测验，测试学生对二次根式混合运算规则的理解程度和运算能力，根据测试结果调整教学策略，针对性地进行辅导。
-利用课堂反馈表，让学生自我评价学习效果，反思学习过程，促进学生的自我管理和自我提升。
2.作业评价：
-对学生的课后作业进行认真批改，点评作业中的亮点和不足，及时反馈学生的学习效果，帮助学生明确自己的学习进步和需要改进的地方。
简要回顾本节课学习的二次根式混合运算内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解并掌握二次根式混合运算的规则，包括二次根式的乘除法运算，以及与整数、分数的混合运算。
-学生通过对比、归纳等学习方法，加深了对二次根式混合运算规则的理解，提高了逻辑思维能力和数学素养。
3.情感态度与价值观：
-学生在学习过程中，逐渐消除了对二次根式混合运算的恐惧和畏难情绪，增强了自信心和耐心。
-学生认识到数学与现实生活的紧密联系，培养了学以致用的意识，增强了学习数学的兴趣和动力。
-学生通过拓展知识的学习，拓宽了知识视野，激发了探索学科前沿的兴趣，培养了创新精神和探索意识。
核心素养数学学习后，已具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本章节的学习中，他们在知识层面，对二次根式的概念和基本性质有初步了解，但混合运算的掌握程度参差不齐。在能力方面，学生的运算能力和问题解决能力有待提高，特别是将二次根式与整数、分数结合进行混合运算时，需要加强练习以提升熟练度和准确性。
最新北师版八年级初二数学上册《二次根式的混合运算》名师精品教案
2.7二次根式3课时二次根式的混合运算教学目标熟练掌握二次根式的综合运算．(重点、难点)教学过程一、情境导入已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm、(3＋2)cm，求这个三角形的面积和周长．二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算计算：(1)ab(a3b＋ab3－ab)(a≥0，b≥0)；(2)(232－12)×(128＋23)；(3)(32＋48)×(18－43)．解：(1)原式＝ab(a ab＋b ab－ab)＝a ab×ab＋b ab×ab－ab ab＝a2b＋ab2－ab ab；(2)原式＝(6－22)(2＋63)＝6×2＋6×63－22×2－22×63＝23＋2－1－33＝1＋533；(3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30.方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算．探究点二：二次根式的化简求值已知a ＝15－2，b ＝15＋2，求a 2＋b 2＋2的值． 解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ，最后代入求解．解：∵a ＝15－2＝5＋2（5－2）（5＋2）＝5＋2，b ＝15＋2＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－2，∴a ＋b ＝25，ab ＝1.∴a 2＋b 2＋2＝（a ＋b ）2－2ab ＋2＝（25）2－2＋2＝20＝2 5.方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈1.414)解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．解：贺卡的周长为4×(288＋338)＝4×(122＋132)＝4×252≈141.4(厘米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用．方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧综合运算化简求值实际应用教学反思经历本节课的学习，进一步理解二次根式的概念，熟悉二次根式的化简，了解根号内含有字母的二次根式的化简，利用二次根式的化简解决简单的数学问题．学生通过独立思考，能选择合理的方法解决问题；在运算过程中巩固知识，与小组成员交流总结方法．良好的学习态度能够更好的提高学习能力。
最新北师大版八年级数学上册教案第3课时二次根式的混合运算
第3课时二次根式的混合运算【学习目标】学会二次根式的混合运算，并能熟练地进行二次根式的运算．【学习重点】混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用．【学习难点】灵活运用公式或运算律以及约分等技巧，使计算简便．学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．说明：可以让学生独立做，再小组合作，总结交流计算中存在的不足，使学生逐渐掌握运算的规律和技巧方法，理解新旧知识的联系．说明：把勾股定理与二次根式的混合运算充分地结合起来，提高了学生综合分析解决问题的能力．学习行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．情景导入 生成问题 已知：矩形的长是52＋23，宽是6，求它的面积．你能求出这个矩形的面积吗？通过本节课的学习，我们就会很容易解决这一问题．【说明】 学生依据前面所学的二次根式的加减乘除四则运算法则解答这个问题难度不大．通过问题的设置，激起学生的探索兴趣和求知欲望．自学互研 生成能力知识模块 二次根式的混合运算先阅读教材第46页和第47页的内容，然后再与同伴合作完成下面的各个问题．1．计算： (1)32－23； (2)18－8＋18； (3)⎝⎛⎭⎪⎫24－16÷3； (4)52＋99－18. 注：如果在二次根式的运算中，二次根式化简后的被开方数不相同，结果可以保留原来的形式，不必将它化成最简二次根式．2．议一议： 化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ·ab ，其中a ＝3，b ＝2，你是怎么做的？与同伴进行交流． 【说明】 把二次根式中的被开方数由原来的数字形式改为字母形式，可能学生有些不适应，教师可以根据实际情况做必要的点拨．注：对于被开方数是字母形式的，先进行化简，再把字母的值代入求值．3．做一做：如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积，你有哪些方法？与同伴进行交流．交流展示生成新知2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
八年级数学 暑假同步讲义 第3讲 二次根式的运算(解析版)
二次根式的运算内容分析二次根式的加减法和乘除法是八年级数学上学期第一章第一节内容，是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算．它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性、提高性的综合学习．知识结构模块一：二次根式的加减法知识精讲1.二次根式的加法和减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（化简 合并）．班假暑级年八2 / 19【例1】计算：（1）4817543--； （2）11(0.53)(75)38---． 【答案】（1）332；（2）3442+． 【解析】（1）原式43311=533433--=；（2）原式232353234⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22235343244=--+=+． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例2】计算：（1）2391634m m +； （2）850()p q p q-+-． 【答案】（1）m 5；（2）()q p q p -⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+225． 【解析】（1）2323916342353434m m m m m m m +=⨯+⨯=+=；（2）82250()52()2()52()p q p q p q p q p q p q p q ⎛⎫-+=-+-=+- ⎪---⎝⎭． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例3】计算：例题解析（1）32832222x x x x x x + （2315032222x x x x x 【答案】（1）x x x 223422⎪⎭⎫ ⎝⎛++；（2）xx 22-【解析】（1）原式22322422224222x x x x x x x x x x ⎛=+=++ ⎝； （2）原式2122422522252222x xx x x x x x x x x x x x =⋅+-==- 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例4】如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积． 【答案】222-．【解析】阴影部分的宽为22-，长为2．【总结】本题主要考查利用二次根式的运算求几何图形的面积．【例5】 计算： （133244()(0)a b a b a a b a --->；（25072()m n m n--；（3221a b a b a b a b a b -++--(0)a b >>． 【答案】（1）()b a b --2；（2）()n m n m -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+256；（3222221b a b b a +--．【解析】（1）由题可知：0>-b a ，则原式((22a b a b a b a b b a b =----=--（2）原式()()5562()262m n m n m n m n m n ⎛=--=+- --⎝（3）原式2222222222111a b a b a b a b a b a b a b ---⎛=-=--- +--⎝ 222221b a b b a+--． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例6】先化简，再求值：336436y x x xy xy x y y ⎛⎛+- ⎝⎝，其中32x =，27y =． 【答案】2225．【解析】原式364x x y ⎛⎛=+⋅-+ ⎝⎝43x y ⎛==- ⎝当32x =，27y =时，原式=22252723272343=⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-． 【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，注意先化简再带值计算．【例7】设直角三角形的两条直角边分别为a b ，，斜边为c ，周长为C ． （1）如果a b ==C ； （2）如果a b ==，求C ． 【答案】（1）230；（2）17058+．【解析】（1）因为2133382885022==+=+=b a c ， 所以2302132122521328850=++=++=C ；（2）因为1701254522=+=+=b a c ，所以170581705553+=++=C ． 【总结】本题主要考查二次根式的化简以及加法运算在几何图形中的运用．【例8】解不等式：24x x +>- 【答案】5125<x ．【解析】由24x x +>24x x >-2x ->x ． 【总结】本题主要考查二次根式的运算在解不等式中的运用，注意判断不等式两边所除的数的符号．1、二次根式的乘法和除法（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变； （2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．【例9】计算：（1）1232⨯；（2）4xy y ⋅．【答案】（1）68；（2）x y 2．例题解析知识精讲模块二：二次根式的乘除法师生总结1、二次根式加减法的步骤是什么？【解析】（1（2．【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用．【例10】计算．（1（2；（3（4．【答案】（1）3；（2）y xy 26；（3）y yx 552；（4． 【解析】（13==；（2=；（3= （422=． 【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用．【例11】 计算：（1； （2；（3）53； （4【答案】（1）z xyz ；（2）36；（3）a ax 1562；（4）22222222y x y x --．【解析】（113=（2332⎛=÷== ⎝⎭；（3）53536a ax ax ==；（4 【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用．【例12】 计算：（1（2）（3（0,0x y >>）；（4 （0a b >>）．【答案】（1）b b a --2；（2）ab 330；（3）y y x +；（4）cbca cbca ++．【解析】（1）由题意可得：0<b 2a a =⋅-=-；（2）=（3x yy+；（4=．【例13】 计算：（1）；（2）⎛- ⎝【答案】（1）2-2）-【解析】（1）1515288=-=-=-（2）⎛- ⎝332122⎛⎫=-⋅-- ⎪⎝⎭ 【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用以及符号的准确判定．班假暑级年八8 / 19EDCBA【例14】 如图所示，在面积为2a 的正方形ABCD 中，截得直角三角形ABE 的面积为33a ，求BE 的长． 【答案】36a ． 【解析】正方形的边长为a 2，则a AB BE 3321=⋅⋅，则36aBE =． 【总结】本题主要考查二次根式的运算在几何图形中的运用．【例15】 已知2和10是等腰三角形的两条边，其面积为192，求等腰三角形的高． 【答案】腰上的高为：10190；底边上的高为382． 【解析】由题意可得：等腰三角形的三边长为10，10，2， 由2191021=⋅⋅h ，解得：10190=h ，即腰上的高为10190；由119222h ⋅⋅=，解得：382h =，即底边上的高为382． 【总结】本题考查的知识点较多，一方面考查二次根式的乘除运算，另外考查了三角形的三边关系，另一方面此题没有说明是哪条边的高，因此要分类讨论． 【例16】 解方程：32622x -=-． 【答案】324312x +=． 【解析】由32622x -=-，得：26223x =+，则22326x +=，化简，得：324312x +=． 【总结】本题主要考查二次根式的运算在解方程中的运用．随堂检测【习题1】 计算：（1） （2；（3）(⎛- ⎝． 【答案】（1）52511；（2）33172417-；（3）334．【解析】（1）； （2）33172417354233224227581312325.0-=---+=---+；（3）(⎛-== ⎝ 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．【习题2】 计算：（1（2）-． 【答案】（1）26-；（2）12431--．【解析】（1-（2）-+11==． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．【习题3】 计算：（1）（2）263x ⎛ ⎝；（38a 【答案】（1）y x52+；（2）xy x x 7+；（3）a a 2． 【解析】（1）+= （2）2623x ⎛=+= ⎝； （3822a == 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．【习题4】 计算：（1）(-； （2）⎛- ⎝ ；（3）； （4）(⎛÷ ⎝； 【答案】（1）-108；（2）34-；（3）10；（4）3236+-．【解析】（1）((108-=-=-；（2）(43⎛-=-=- ⎝ ； （3）(=；（4）((18⎛⎛÷=÷=- ⎝⎝⎭【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定． 【习题5】 计算：（1）(3-；（2）3（3）a ． 【答案】（1）()b ab b a -+；（2）()xy y x +-4；（3）a a a a 2221522+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．【解析】（1）原式(3232b a ab =+-（2）(34x y -+（3）原式21252522a a a a ⎛=++- ⎝【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并，另外只有同类二次根式才能合并．【习题6】 计算：（1）(2； （2）（3 （4）32⎛⨯ ⎝ 【答案】（1）61230-；（2）331-；（3）332-．【解析】（1）(2121830=+-=-（2）1-（3）原式223=-=（4）原式271633881=⨯⨯== 【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定． 【习题7】 计算：（1）（2）（3）3⎛ ⎝； （4）(．【答案】（1）x 365；（2）y x 2108；（3）35；（4）y xy x 2137-+．【解析】（1）155636x÷==；（2）22186108x y x y ==⋅=； （3）533⎛÷= ⎝； （4）(7272x y x y =+=+．【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．【习题8】 计算． （1（20)y >； （3(-；（4(-⨯ 【答案】（1）c abc 2；（2）xy 32；（3）a a 434-；（4）x x y 8-．【解析】（12=（2；（3((44233a a --⨯-（4(-⨯=--= 【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用．【习题9】 计算． （1） （20)a b >>； （30)u >；（4）- 【答案】（1）1530；（2）bcac bc ac --；（3）uv uv515；（4）b 15-．【解析】（1）263=；（2=；（3；（4）564-=-⨯-． 【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用．【习题10】 计算：（1）3⎛ ⎝；（2()370,0a m ⎛<< ⎝．【答案】（1）0；（2）【解析】（1）原式2230x x y x y ⎛=+=-= ⎝；（2）原式237a m a ⎛=⋅+=- -⎝⎭【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用，（2）中要特别注意被开方数的符号．【习题11】 先化简后求值，当149x y ==， 【答案】0．-1y =⋅=-所以当149x y ==，时，原式30=-=．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值．班假暑级年八14 / 19【作业1】 计算：（1）1175253108833+--； （2）()2120.12563232⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭；（3） 11484340.533⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）121813324312-+-． 【答案】（1）313-；（2）2417631+-；（3）22335+；（4）31123+． 【解析】（1）118875253108853318331333333+--=+--=-；（2）()2122211720.1256326642623232434⎛⎫+---=+--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭； （3） 1145484340.54333223223333⎛⎫⎛⎫---=--+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）1218133333221221124312263-+-=-+-=+． 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【作业2】 计算． （1）233835082aa a a a a +-； （2）323272750.755c c c c c+-；（3）22218638xx x x x x ++； 课后作业（4）34⎛⎛- ⎝⎝()00x y >>，． 【答案】（1）a a 2162；（2）c c 33；（3）x x229；（4）xy y 8．【解析】（1）32152162aa a a a ⋅（2）原式225c c =⋅-=（3）原式22623x x x =⋅+=（4）原式7834x x ⎛⎛=--⋅ ⎝⎭⎝88==【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【作业3】 计算．（10.6； （2（3（4） 【答案】（1）205；（2）8；（3）23；（4）35【解析】（110.60.63==；（28；（33122==；（4）1135+6326==-=． 【总结】本题主要考查二次根式的乘除混合运算，注意法则的准确运用．【作业4】 计算：（1）22--；（2）(；（3）(⎛⨯ ⎝； （4）62x 【答案】（1）158；（2）-6；（3）25+-a a ；（4）x 3- 【解析】（1）((22512512-=++-+-=；（2）(12186=-=-；（3）(552a ⎛⨯=+=- ⎝； （4）原式(2233x =-=-．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．【作业5】 计算．（1(；（2）1(102(0)3m m >；（3(-()00x y >>，． 【答案】（1）ab b a 29；（2）m m ；（3）x xy8-． 【解析】（1）原式22223(992b a b a b =⋅-=-=-；（2）原式21(102223m m m =⋅==；（3）原式16(483y x =-⋅=- 【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用． 【作业6】 化简：（1（2)20x y >>．【答案】（1）ab b ；（2）xy ．【解析】（1）原式2222b b a b a b =++（2）原式22y y x y x y ===-- 【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．【作业7】 若直角三角形的面积是2，求另一条直角边长及斜边上的高线长．【答案】62；632．【解析】另一条直角边长为：623182=÷；斜边上的高为：63233362=÷⋅． 【总结】本题一方面考查二次根式的化简，另一方面考查等积法的运用．【作业8】 化简：2(0,0)a a b m n ÷>>． 【答案】2221ba ab a +-．【解析】原式2221(n a m a b =⋅222222111a ab a ab m m m a b a b ⎛-+=-+= ⎝．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用． 【作业9】已知3a =+3b =-22a b ab -的值． 【答案】544-．【解析】由题意有：11-=ab ，54=-b a ，所以()2211ab a b a b ab =-=⨯=--- 【总结】本题主要考查利用整体代入的思想求代数式的值．【作业10】 解关于x 的不等式：（11>；（2）())211x x +-．【答案】（1）2332--<x ；（2）52362+-->x ． 【解析】（11>+，1x >，则1x >⎝⎭，1>，解得：x <-；（2）由())211x x +-，得：)22x >则x ，所以5x >．【总结】本题主要考查二次根式在解不等式中的运用，注意判定不等式两边所除的二次根式的符号．【作业11】 已知：3a b +=-，23ab =，求+的值．【答案】6623-． 【解析】由题意可得：0<a ，0<b ，则=+== 代入3a b +=-，23ab =，得原式==． 【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，解题时注意判定a 、b 的符号，最后利用整体代入的思想求值．【作业12】 求下列式子的值：22x xy y -+，其中x y == 【答案】22．【解析】由题意有：72=+y x ，2=xy ，∴()(222233222x xy y x y xy -+=+-=-⨯=．【总结】本题主要考查利用整体代入的思想求多项式的值．。
北师大版初中数学八年级上册第3课时二次根式的混合运算课件
哪种简便？ 解法二：
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
1 3
2
32
1 32 232 3
2 2 3.
先代入后化简
原式= 1 a b b a b
a bb a
把a=3，b=2代入代数式中， 原式 2 2 3.
先化简后代入
方法总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻 烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可 求得．
三 二次根式的应用 思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中 梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
方法1：分割法
可把梯形ABCD分割成 两个三角形和一个梯 形，如图所示.
S1
S3
S2
S梯形ABCD=S1+S2+S3
1 31 1 3 2 1 (3 6) 3
2
2
2
3 3 27 18.
6
6
你还有其他解 法吗？
(3)( 24 1 ) 3. 6
解法二： 原式= 4 6
1 6
6 6
1 3
2
6
6 6
3 3
11 6 3 63
11 6 3 63
11 3 2 11 2 .
63
6
(4) 25 99 18; 2
解： (4)原式= 25 2 99 9 2 22
原式= （ 3+1）+（ 3 1）2
（2 3）2 12.
3.计算.
（1）
；（2）
；（3）
.
解：（1） 2
1
25
110 1 10 1
10
5 10 55 1010 5
10
1 10 ; 10
北师版八年级上册数学第2章 实数 二次根式的混合运算
*11.(2020·荆州)若x为实数，在“(＋1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在
3 “＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是
()
A． 3＋1 C．2 3
B． 3－1 D．1－ 3
【点拨】A.( 3＋1)－( 3＋1)＝0，故本选项不合题意；B.( 3＋ 1)×( 3－1)＝2，故本选项不合题意；C.( 3＋1)与 2 3无论是相 加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； D.( 3＋1)×(1－ 3)＝－2，故本选项不合题意．
3 2÷
118＝_2_＋__4__3__.
3．(2020·广州)下列运算正确的是( )
D
A. a＋ b＝ a＋b C．x5·x6＝x30
B．2 a×3 a＝6 a D．(x2)5＝x10
4．(2019·重庆)估计(2 3＋6 2)× 13的值应在( C )
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
北师版八年级上
第二章 实 数
7 二次根式 第4课时 二次根式的混合运算
提示：点击 进入习题
乘方；乘除；加减；括号内 1 的；括号外的
6 见习题
2 2＋4 3
7 见习题
3D
8A
4C
9A
5D
10 B
答案显示
11 C 12 见习题 13 见习题 14 见习题 15 见习题
16 见习题 17 见习题
答案显示
A．2＋ 3
B．2－ 3
C． 3－2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D． 3
*10.若(2 3－3 2)2＝m－ 6n(m，n 为有理数)，则 m，n 的值分 别为( B )
初中数学二次根式的运算(含解析)
初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1） （2【难度】2星 【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ； 当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二 二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点： （1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】 计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】 计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星 【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -； （4）3+【巩固】（1） （2（3） （4）3ab （0,0a b ≥≥） 【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+； （2）1； （3） （4）a -．【例6】 解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值． 【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三 二次根式的化简求值【例7】 （2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =． 【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】 （2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =． 【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =． 【难度】2星 【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时 ，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=． 【答案】36【例10】 已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值． 【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值． 【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果． 原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略 【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是 ．（用“＞”表示） 【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】 比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】 比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五 非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于 ． 【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察． 【答案】1【例18】 如果2y =，则2x y += ． 【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察． 解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=． 【答案】5【例19】 当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-． 【答案】2-【例20】 已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值． 【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（ ）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（ ）．A 2B C D【难度】1星【解析】 因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2） 【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简 【难度】1星 【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -． 原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。
2.7(3)二次根式的混合运算(教案)
3.二次根式混合运算的步骤：
a.先进行乘除运算，再进行加减运算。
b.化简二次根式，使其尽可能简单。
c.合并同类二次根式。
4.应用二次根式的混合运算解决实际问题。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生以下学科核心素养：
1.教学重点
（1）掌握二次根式的乘法×c)√b
-除法法则：a√b ÷ c√b = (a÷c)√b（其中c≠0）
（2）能够将二次根式的混合运算化简，并合并同类项。
-例如：2√3 + 3√3 = 5√3
（3）运用二次根式的混合运算解决实际问题。
2.7（3）二次根式的混合运算（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章第七节（3）二次根式的混合运算。主要内容包括：
1.掌握二次根式的乘法、除法法则。
2.熟练运用二次根式的乘法、除法法则进行混合运算。
3.能够解决实际问题中涉及的二次根式混合运算。
教学内容如下：
1.二次根式的乘法法则：a√b × c√d = (a×c)√(b×d)（其中a、b、c、d为正实数）。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的混合运算》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或体积的情况？”（如计算长方形地的面积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式混合运算的奥秘。
-例题2：计算(4√5) ÷ (2√5)。
-例题3：化简并计算2√3 + 3√3 - √3。
二次根式加减乘除混合运算
二次根式加减乘除混合运算1. 二次根式的基本概念首先，咱们得搞清楚二次根式到底是个啥。
说白了，二次根式就是形如√a的表达式，其中a是个非负数。
想象一下，你在数轴上走，√a就像是在告诉你“嘿，我是a的平方根哦！”这听上去是不是有点儿像魔法？当然，实际运算的时候，我们不想让它看上去那么复杂，毕竟数学就像炒菜，简单易懂才能上手。
对于√4，大家都知道它等于2；而√9，那更是家喻户晓的3。
所以，掌握这几个基本的二次根式，基本上就是开启了你的数学魔法门。
1.1 加法与减法好了，既然咱们已经知道了二次根式的基本概念，接下来就要聊聊加法和减法了。
比如说，√2 + √2，这里其实就简单了，两者相加就是2√2。
想象一下，两个好朋友聚会，互相拉着手，最后变成了一起组成的团体；而如果你是√2 √1，那就没什么好说的了，直接是√2 1，这就像两个朋友之间的争吵，没办法和好如初，只能各自回家。
其实，二次根式的加减法就像日常生活中的和谐与矛盾，理解了这些运算，就能轻松应对。
1.2 乘法与除法接下来，我们聊聊乘法和除法，听起来是不是有点儿严肃？其实，这就像是二次根式的舞会，大家都得找个搭档。
√2 × √3就好比是两位舞者，翩翩起舞，结果是√6。
而如果你要除以√2，那就变成了√3 / √2，简直就是高难度的单人舞，没关系，慢慢来，先练习好基本步伐，再去挑战复杂的动作。
无论是乘法还是除法，记住一条：根号的相乘就像是多了一个舞伴，而相除则是少了一个，这样想起来是不是轻松多了？2. 混合运算的技巧这儿我们要进入混合运算的领域，听起来是不是有点儿复杂？别担心，咱们可以把它当作一道拼图，把不同的部分拼接在一起。
比如说，√2 + √3 × √2，这里可得注意顺序，先乘后加，就像做菜要先炒再加料，结果是√2 + 3 = √2 + 3√2。
这样一来，二次根式就像是调味品，搭配得当才是美味。
我们要记得，混合运算的关键在于顺序，确保你把每一步都按部就班地做了，就不会出错。
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【勾股定理】精选作业
偶滴大名
1．计算： ①
偶滴成绩
1 5 3 10 2 45 3
1 1 ② 5 5 3 2 8 3
③
3 5
8 2 15
2
④
6 5 6 5
6 5 6 5
6/8
1 1 ⑤ 12 3 2 3 3 2
1 ⑥ 245 3 2
1 1 b b 2．已知 a= , b , 求 的值。 3 5 a b a b
3．设 x﹤0,y﹤0,化简 x
y 1 xy 3 x 3 y 。 x y
4．已知 a
1 2
7 5 ,b
1 2
2 2 7 5 。求代数式 a +7ab+b 的值。
例 3 化简： ①
1 3 2
6 2 5
4 5 3
② 1 2
1 2
2000
2002
③
1 2 3 1 2 3
④
22 3 5 2 3
3 5
例 4 化简：
1 1 4 3
1 1 4 3
2 1 3
。
3/8
例 5 已知 x=2+ 3 , y 2 3 ，求下列各式的值。 ①
3．计算： ① 81b 2
3 1 4b 5 5b 2 b b
② 5 x 3 y 2 y xy 6 xy
y x
x y
③ 3 xy 2 x
y x 1 y xy x y xy
5/8
4．化简并求值：
a ab ab b
ab b a ab
，其中 a=2+ 3 ,b=2- 3 .
尽方的因式和因数。
②若分母含有 a + b （或 a - b ） ，则分子、分母同剩以
a- b
（或 a + b ） ，根据（ a + b ） （ a - b ）=a-b，
将分母变为 a-b. 4．二次根式的混合运算方法: ①二次根式化成最简二次根式后，再合并成同类二次根式。 ②二次根式的混合运算与有理数的混合运算法则一样，合并同 类项方法 类似。 5．二次根式运算法则： ① m n n n m n n （a≥0）; ② ab a b （a≥0;b≥0） ③ ④ ⑤
a b a b
（a≥0,b﹥0）
a
n
a n （a≥0）
4
a
a （a≥0）
1/8
【精选例题】
例 1 计算： ①
30 2 5 3 2 5 3 =
② 5 108 2 24 5 12 3 27 =
③ 15 2 10 3 30 5 =
④
1 3 2 6 2 27 = 2
1 1 63 27 2 3
④
3 3 2 28 48 147 2 4 7
2．化简：
5 2 ① 5 2 =
2
②
2 3 2 3 211 Nhomakorabea2
=
2 2 1 3 1 3 1 ③ 2 2 = 3
x y y x
② x2 y2
③x +2xy+y
2
2
例 6 若 a、b、c 是△ABC 的三边。 化简
a b c2
a b c2
b c a 2
c a b2
【实战练习】
1．计算： ① 162 30
1 3 8 2
②5 8
25 2
4/8
③
二次根式の混合运算
姓名： 日期：
【要点提示】
1．最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不能含有能开 2．同类二次根式： 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同。 3．分母有理化的方法 ①若分母中只含有 a ，则分子、分母同时乘以 a ，由
a · a =a，则分母变成 a。
⑤
28 4 7 2 3 7 84 =
例 2 计算： ①
6 3 2
6 3 2
②
6 2 6 5
62
③ 5 6 6 5
5
2
6 6 5
2
1 ④ 52 6 3 2
2
2/8
⑤ 5 3 3 2
2
⑥
7 5 7 5
7/8
5．已知 x
32 32
,求
x 1 的值 。 x
【自我评价定级】
自我定级（学员打钩即可） A（很好） O(∩_∩)O~ B（还可以） o(≧v≦)o~~ C（不太好，8 过偶会努力的） (╰_╯)# 发奋 ing
自我评价（学员填写）
教师评语（教师填写）
8/8