学生复函复习题 2013.8.26

一．填空题（将正确答案填在横线上）1．复参数方程3cos 2sin z t i t =+⋅（t 为参数）的直角坐标方程为 22194x y += ． 1．复参数方程4cos 4sin z t i t =+⋅（t 为参数）的直角坐标方程为2216x y +=．2．方程z e i =-的全部解 1(2)2k i π-，（k 为整数）．2．方程z e i =的全部解 1(2),(2k i k π+为整数）．3．sin Re [,0]zs z= 0 ． 3．ln(1)Re [,0]z s z+= 0 . 4．幂级数1(1)n n n i z ∞=+∑的收敛半径是．5． 212zz e dz z -==-⎰ 22ie π． 5．21cos 2z zdz z +==+⎰ 2cos 2i π⋅． 二.选择题（将正确答案代号填在括号内.）1．下列等式中，对任意复数z 不成立的等式是（ A ） （A ）sin 1z ≤；（B ）(sin )cos z z '=；（C ）1cos ()2i ziz z e e -=+；（D ）z z e e =. 1．下列等式中，对任意复数z 不成立的等式是（ C ） （A ）2Re z z z =+；（B ）2z z z = ；（C ）2Ln i π=；（D ）sin sin z z =.2．下列函数中，不解析．．．的函数是（ B ） （A ）364z z ω=+；（B ） z ω= ； （C ）8cos z z ω=⋅ ； （ D ）z e ω=.2．下列函数中，不解析．．．的函数是（ C ） （A ） 461z z ω=-+；（B ）z e ω=； （C ）Re z ω=；（ D ）23sin z z ω=+. 3.下列结论错误的是（ D ）（A ）0z =是函数41z e z-的三阶极点． （B ）Re [,]0z s e ∞=．（C ）0z =是函数ln(1)z z+的可去奇点． (D) z =∞是函数1ze 的本性奇点． 3.下列结论错误的是（ D ） （A ）0z =是函数sin zz的可去奇点； （B ）z =∞是函数z e 的本性奇点； （C ）0z =是函数2ln(1)z z+的一阶极点．(D) 1Re [,]1z s e ∞=． 4.下列说法错误的是（ D ）（A ）解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数．（B ）级数1(45)8nnn i ∞=+∑收敛． （C ）若()f z 在00z z δ<-<内解析，则()f z 一定可以在00z z δ<-<内展开成洛朗级数． （D ）123i i +<+． 4.下列结论错误的是（ D ） （A ）343i i +<-．(B) 若()f z 为解析函数，则()i f z 也为解析函数．(C) 在点0z 解析的函数一定可以在点0z 的邻域内展开成泰勒级数． (D) 对于任意的复数()z ≠∞均有|cos |1z ≤． 5．下列结论正确的是 （ A ） （A ）11025z dz z ==+⎰ ． (B) 若()f z 在0z 不解析，则0()f z '不存在． (C) ()arg f z z =在点06z =-处连续． (D) z =∞为函数1cos z的孤立奇点． 5．下列结论正确的是 （ B ）（A ）1127z dz i z π==+⎰ ． (B)若()f z 在0z 解析，则0()f z '存在． (C) z =∞为函数1sin z的孤立奇点． (D)级数111[]3n n i n∞=+∑收敛． 三．解答下列各题（写出解答过程）：1．设51()(1)5f z z z =--+，求方程 ()0f z '=的全部解. 解：由()0f z '=得41z =-．2212(cossin )33i ππ-=+ ，∴ 4222(cos sin )33z i ππ=+ ∴方程的解为222233sin ),0,1,2,344k k z i k ππππ++=+=1．设61())6f z z i z =-，求方程 ()0f z '=的全部解. 解：由()0f z '= 得5z i =．解：2(cossin )66i i ππ--=+ ， ∴ 52(cos sin )66z i ππ--=+ ∴方程的解为2266sin),0,1,2,3,455k k z i k ππππ-+-+=+=2．判断函数 23()2f x x y i =+ 在复平面内何处可导，何处解析，并求(3)f i '-.解：设2u x =，32v y =，则22,0,0,6,u u v vx y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂．四个偏导数在复平面上都连续， 由C —R 方程得：23x y =． 故()f z 仅在曲线23x y =上可导，在复平面上处处不解析．且因为点3z i =-在曲线23x y =上，所以(3)6f i '-=．3．已知 23(,)3v x y x y y =-，求解析函数 ()f z u iv =+，使 ()3f i i =-．解：∵ 226,33x y v xy v x y ''==-,且 ()z f 解析， ∴ 222()3363y x f z v iv x y i xy z '''=+=-+⋅= 23()()(3)f z f z dz z dz z C '===+⎰⎰， 再由()3f i i =-得 3C =故所求函数为 3()3f z z =+． 3．已知32(,)3u x y x xy =-，求解析函数 ()f z u iv =+，使 (2)6f i i =-．解：∵ 2233,6x y u x y u xy ''=-=-，从而 ∴ 222()3363x y f z u i u x y xyi z '''=-=-+=23()()(3)f z f z dz z dz z C '===+⎰⎰ ， 再由(2)6=-f i i 得 2C i =故所求函数为 3()2f z z i =+．四．计算下列积分：1.计算积分 cos CI zdz π=⎰，其中C 为：沿112z +=的下半部分从132z =-到212z =-的半圆周． 解：由于()cos f z z π= 处处解析，从而积分与路径无关，有12321122cos sin 32---===--⎰I zdz z ππππ．2．计算积分 23(1)zz e I dz z z ==-⎰． 解： 2()(1)ze f z z z =-在3z =内有两个不解析点， 0,1z z ==分别为简单极点、二级极点 ()()200Re ,0lim lim 1(1)z z z e s f z z f z z →→=⋅==⎡⎤⎣⎦-，()()()2211(1)Re ,1lim[1]lim 0z z z z e s f z z f z z→→-'=-==⎡⎤⎣⎦， 故由留数定理得：23(1)zz e I dz z z ==-⎰=2{Re [(),0]Re [(),1]}2i s f z s f z i ππ⋅+= 2．计算积分 23sin (2)z zI dz z z ==-⎰． 解： 2sin ()(2)zf z z z =-在3z =内有两个不解析点， 0,2z z ==分别为可去奇点、二级极点()Re ,00s f z =⎡⎤⎣⎦，()()()2222cos sin 2cos 2sin 2Re ,2lim[2]lim4z z z z z s f z z f z z →→--'=-==⎡⎤⎣⎦故由留数定理得：23sin (2)z zI dz z z ==-⎰=2{Re [(),0]Re [(),2]}(2cos 2sin 2)2i i s f z s f z ππ⋅+=- 3．计算积分 671221z z dz z +=+⎰． 解：67()21z f z z =+在:12c z +=内有7个一阶极点127,z z z由留数定理以及扩充复平面上的留数定理，则71()2R e [(),]k ck f z d z i s f z z π==∑⎰2Re [(),]i s f z π=-∞2112Re [(),0]i s f z z π=812Re [,0]2i s i z zππ==+ 4．计算积分 222(9)x I dx x +∞-∞=+⎰． 解：令222()(9)z f z z =+，则()f z 在上半平面有一个二级极点3z i =，且231Re [(),3]lim[(3)()]12z i s f z i z i f z i→'=-=．于是 12Re [(),3]2126I i s f z i i i πππ=⋅=⋅=．五．求下列函数的级数展式及收敛半径1．将函数 ()z if z i z-=+ 在 z i = 点展开成泰勒级数，并求收敛半径． 解：由于1()212z i z if z z i i z ii --==⋅-++， 而01(1)()212n nn z i z i i i∞=-=--+∑ 所以1111001()(1)()()22212n n n n n n n z iz i i f z z i z i ii i-∞∞+++==--=⋅=-=--+∑∑． 且收敛半径为()2R i i =--=．2．将函数 21()(2)f z z i z =- 在区域 22z i <-<+∞ 内展开成洛朗级数．解：21()(2)f z z i z =-，当22z i <-<+∞时，1111222212i z z i i z iz i==⋅-+-+-10012(2)()22(2)nn n n n i i z i z i z i ∞∞+==--==---∑∑， 因此2101111(2)()()[](2)22(2)n n n i f z z i z z i z z i z i ∞+=---''==⋅=⋅----∑31(2)()nn n n i z i ∞+=+=--∑． 六．证明题：设函数()f z u iv +＝在区域 D 内解析，且 962009u v +=. 试证明：()f z 是常数.证 ：将 962009u v +=两边分别求对,x y 的导数得，960960x x yy u v u v ''+=⎧⎪⎨''+=⎪⎩ 960690C R x xx x u v u v -''+=⎧⇒⎨''-=⎩代入方程. 解方程组得 ''==0x x u v 又因为函数()f z u iv +＝在区域D 内解析，()0()x x f z u iv f z '''=+=⇒=常数.。