高考数学总复习 41任意角和弧制及任意角的三角函数课件 北师大版

定理及利用三角函数公式进行恒等变形的技能及运算能力，以 化简、求值或判断三角形形状为主．
1．复习中要注意几个知识点的综合应用，这就要求我们 要从整体上掌握本单元的知识结构，注重知识点之间的联系和 综合运用并加大练习力度，解决公式的综合运用问题，提高计 算能力．
2．掌握正弦函数、余弦函数和y＝Asin(ωx＋φ)的图像和 性质，这是历年高考的重点．
的 始边 ，旋转终止时的射线叫做角α的 终边 ，射线的端点 叫做角α的 顶点 ．
(2)角的分类：角分正角 、 零角 、负角 (按角的旋转方 向)．
(3)在直角坐标系内讨论角 ①象限角：角的顶点在原点，始边在 x轴的正半轴上，角 的终边在第几象限，就说这个角是 第几象限的角 ．
②象限界角：若角的终边在坐标轴上 ，就说这个角不属 于任何象限，它叫 象限界角．
第一节
任意角和弧度制 及任意角的三角函数
考纲解读 1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
考向预测 1．三角函数的定义及应用是本节考查重点，注意三角函
数值符号的确定． 2．主要以选择题、填空题的形式考查．
知识梳理 1．角的有关概念 (1)角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置 旋转 到另一个位置所成的 图形 ．旋转开始时的射线叫做角α
1 C2 2α·2＋α2
＝C22×α·α2＋41α＋4＝C22·α＋1α4＋4≤C162，
∴当α＝α4即α＝2(α＝－2舍去)时， 扇形面积有最大值C162. 解法2：由已知2R＋l＝C，∴R＝C－2 l(l<C)， ∴S＝12Rl＝12·C－2 l·l＝14(Cl－l2) ＝－14l－C2 2＋C162，
∴θ＝π－2＝(π－
2)×(18π0°)≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′，
∴扇形的面积为S＝12r2θ＝12(π－2)r2.
(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，
即l＝20－2r(0<r<10)
①
扇形的面积S＝12lr，将①代入，得 S＝12(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25， 所以当且仅当r＝5时S有最大值25.此时 l＝20－2×5＝10，α＝rl＝2. 所以当α＝2 rad时，扇形的面积取最大值.
原点的距离y 为r(r>0)，那么x角α的正弦、余弦y、正切分别是： sinα＝ r ，cosα＝ r ，tanα＝ x ，它们都是以角 为 自变量 ，以比值为 函数值 的函数．
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是： 一全正、二正弦、 三正切、四余弦 ．
3．设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终 边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点 P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为
[答案] C [解析] ∵cosθ·tanθ<0， ∴sinθ<0且cosθ≠0，即θ是第三或第四象限角．
(理)若－π>θ>－32π，则点(tanθ，sinθ)在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案] B [解析] 易知θ在第二象限，则tanθ<0，sinθ>0.
4．(文)若α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值
D．第四象限
[答案] D [解析] ∵2013°＝5×360°＋213°， ∴2013°的角的终边在第三象限． ∴tan2013°>0，cos2013°<0，∴点P在第四象限．
5．已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋
3 cosα
＝
________.
[答案] 0
[解析] 设α终边上任一点P(k，－3k)，
∴sinθ＝ 3m＋m2，
又∵sinθ＝
42m＝
m ，∴ 8
3m＋m2＝
m 8.
可知m＝
5，tanθ＝－m
＝－ 3
315，
－ cosθ＝
3＝－ 8
6 4.
判断角所在象限
[例1] (1)如果点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，试
判断角θ所在的象限；
(2)若θ是第二象限角，则
sincosθ 的符号是什么？ cossin2θ
C ∴当l＝C2时，Smax＝C162，此时α＝Rl ＝C－2 C2＝2，
2
∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值C162.
[点评] 此类问题是将三角函数问题与不等式问题进行综 合考查的，扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可 以用角度制与弧度制两种方式给出，在应用时应注意，不要把 角度制与弧度制混用，造成度量单位不一致．
(1)已知角α的终边上一点的坐标为(sin
π 3
，cos
π 3
)，则角α
在[0,2π)内的值为( )
A.56π或π6
(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的 长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是 多少？
(2)一扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度 时，这个扇形的面积最大？
[解析] (1)设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是
rθ，所以扇形的周长是2r＋rθ.依题意，得2r＋rθ＝πr，
基础自测
1.与610°角终边相同的角可表示为( )
A．k·360°＋230°，k∈Z B．k·360°＋250°，k∈Z
C．k·360°＋70°，k∈Z
D．k·360°＋270°，k∈Z
[答案] B [解析] 由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角的终 边相同．
2．已知角α的终边经过点( 3，－1)，则角α的最小正值是
() 2π
A. 3
11π B. 6
5π
3π
C. 6
D. 4
[答案] B [解析] ∵sinα＝－21＝－12，且α的终边在第四象限，
∴α＝161π.
3．(文)(教材改编题)已知cosθ·tanθ<0，那么角θ是( ) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
(cosα，sinα) ，即 P(cosα，sinα) ，其中cosα＝OM ， sinα＝MP ，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的 切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′)，则tanα＝ AT
.我们把有向线段OM、MP、AT(或AT′)叫做α
的 余弦线 、 正弦线 、 正切线 .
弧长公式及扇形面积公式的应用
[例2] 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形 的面积； (2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时， 该扇形有最大面积？
[分析] (1)直接套用公式l＝αR可求弧长，利用S弓＝S扇－S △可求弓形面积．
1．从近几年高考来看，对于本单元的考查，一般是以1～ 2个客观题和1个解答题形式出现，以中、低档题为主．考查的 内容主要有：三角函数的图像和性质、三角函数的基本公式、 三角函数的恒等变形及解三角形等基本知识．解答题常与平面 向量、不等式、函数的最值等进行简单的综合，但难度不大．
2．预计在今后的高考中，与三角函数有关的问题将继续 作为高考的重点进行考查．其中，角的概念多结合三角函数的 基础知识进行考查．三角函数的图像和性质主要考查三角函数 的概念、周期性、单调性、有界性及图像的平移和伸缩等，多 以小而活的选择题和填空题形式出现．形如y＝Asin(ωx＋φ)的 函数将依然作为必考内容出现在高考题中，并与三角恒等变 形、平面向量、解三角形等知识结合，形成小型综合题．解三 角形问题将会以选择题或填空题形式出现，主要考查正、余弦
3．在训练中，强化“变换”意识，但训练难度不宜过 大，立足课本，掌握常见问题的解法，熟记课本中出现的公式 和常用到的重要的结论，并注意其变形应用．
4．从“整体处理”的思想高度去认识理解运用“五点 法”，尤其是对y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质的理解、应用．
5．在复习过程中，要着重加强三角函数应用意识的训 练．
[解析] (1)因为点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，所
以sinθ·cosθ<0,2cosθ<0，即
sinθ>0， cosθ<0，
所以θ为第二象限角，即
角θ在第二象限．
(2)∵2kπ＋π2<θ<2kπ＋π(k∈Z)，
∴－1<cosθ<0，
又∵4kπ＋π<2θ<4kπ＋2π，∴－1≤sin2θ<0.
(2)将S扇表示为α的函数，转化为函数求最大值问题．
[解析] (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝π3，R＝10，l＝103π，
S弓＝S扇－S△＝12×103π×10－12×102sin60°＝50(π3－ 23)．
(2)解法1：扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR.
∴R＝
2＋C α，∴S扇＝12α·R2＝
为( )
1 A.2
B．－12
C．－
3 2
D．－
3 3
[答案] C [解析] P(2sin30°，－2cos30°)即P(1，－ 3)， ∴r＝2，故sinα＝－ 23，故选C.
(理)(2012·江南十校联考)点P(tan2013°，cos2013°)位于
() A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
则r＝ x2＋y2＝ k2＋－3k2＝ 10|k|.
当k>0时，r＝ 10k，
∴sinα＝
－3k ＝－ 10k
310，cosα＝
k＝ 10k
1， 10
∴10sinα＋co3sα＝－3 10＋3 10＝0.
当k<0时，r＝－
10k，∴sinα＝ 310，cosα＝－
1， 10
∴10sinα＋co3sα＝0.
6．若
π 4
<θ<
π 2
，则sinθ、cosθ、tanθ的大小关系为
________．
[答案] cosθ<sinθ<tanθ
[解析] 由三角函数线即可判断．
7．若角θ的终边上一点P(－
3 ，m)(m>0)，且sinθ＝
2 4
m，求 tanθ，cosθ的值．
[解析] ∵m>0，则P(－ 3，m)在第二象限， x＝－ 3，y＝m，r＝ 3＋m2，
③以“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．比
值rl与所取的r的大小 无关 ，仅与 角的大小 有关．
④弧度与角度的换算：360°＝2π 弧度；180°＝π弧度．
⑤弧长公式： l＝|α|r
1 ，扇形面积公式：S扇形＝ 2l·r
＝ 12|α|r2
.
2．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义
设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与
kπ＋
π 2
<
α 2
<kπ＋
3π 4
，k∈Z.当k为偶函数时
α 2
在第二象限，k为奇
数时α2在第四象限．
(2)若角Leabharlann 的终边与6 7π的终边相同，则在[0,2π)内终边与
θ 3
角
的终边相同的是________．
[答案] 27π，2201π，3241π [解析] ∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝27π＋23kπ(k∈Z)． 依题意，依次令k＝0,1,2，得θ3＝27π，2201π，3241π.
∴sin(cosθ)<0，cos(sin2θ)>0， ∴csoinsscions2θθ<0， ∴csoinsscions2θθ的符号是负号．
(1)已知α为第三象限的角，则α2所在的象限是( )
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
[答案] D [解析] α为第三象限角，因而2kπ＋π<α<2kπ＋ 32π，所以
③与角α终边相同的角的集 合：{β|β＝k·360°＋α，k∈Z} ．
(4)弧度制 ①1弧度的角： 在单位圆中长为1个单位长度的弧所 对应的圆心角 叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为 正数
，负角的弧度数
l
为 负数 ，零角的弧度数为 零 ，|α|＝ r ，l是以角α作为圆
心角时所对圆弧的长，r为半径．
三角函数的定义应用
[例3] 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求 sinα、cosα、tanα的值．
[分析] 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P到 原点的距离r，由于含有参数a，要注意分类讨论．
[解析] r＝ －4a2＋3a2＝5|a|. 若a>0，r＝5a，α角在第二象限，sinα＝yr＝35aa＝35， cosα＝xr＝－5a4a＝－45，tanα＝xy＝－3a4a＝－34； 若a<0，r＝－5a，a角在第四象限， sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.