2017年全国课标卷I理科第21题的多种解法
2017年高考新课标全国1卷理科数学试题解析
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017全国新课标1高考真题数学理(含解析)
2017年全国高考新课标（一）理科数学第一部分（选择题共分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设复数满足，则（）．A．B．C．D．2．（）．A．B．C．D．3．设命题，则为（）．A．B．C．D．4．投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）．A．B．C． D5．已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是（）．A．B．C．D．6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为尺，米堆的高为尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知斛米的体积约为立方尺，圆周率约为，估算出堆放的米约有（）．A．斛B．斛C．斛D．斛7．设为所在平面内一点，则（）．A．B．C．D．8．函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）．A．B．C．D．9．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）．A．B．C．D．10．的展开式中，的系数为（）．A．B．C．D．11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为，则（）．A．B．C．D．12．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）．A．B．C．D．第二部分（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数为偶函数，则__________．14．一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为．15．若实数满足约束条件，则的最大值为．16．在平面四边形中，,，则的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（本小题满分12分）为数列的前项和．已知，．（1）求的通项公式：（2）设，求数列的前项和18．（本小题满分12分）如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，⊥平面，平面，．（1）证明：平面平面．（2）求直线与直线所成角的余弦值．19．（本题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：)和年利润(单位：千元)的影响，对近年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（3）已知这种产品的年利率与的关系为．根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（i）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线与直线交于两点，（1）当时，分别求在点和处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）用表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数．请考生在（22）（23）（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，是的直径，是的切线，交于点（1）若为的中点，证明:是的切线；（2）若，求的大小．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中．直线，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求的面积24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图像与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围2017年全国高考新课标（一）理科数学一、选择题（满分60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C A A B A D C C B D二、填空题（满分30分）13．14．15．16．三、解答题（满分70分）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由，可知，可得，即．由于，可得．又，解得（舍去），．所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为．（Ⅱ）由可知，．设数列的前项和为，则．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设连结，设，连结，,．在菱形中，不妨设．由，可得．由平面，，可知．又，所以，且．在中，可得，故．在中，可得．在直角梯形中，由,，可得．从而，所以．又，可得平面．因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以,的方向为轴，轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系．由（Ⅰ）可得，，，，所以，．故．所以直线与直线所成角的余弦值为．19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由散点图可判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型．（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程．由于，，所以关于的线性回归方程为，因此关于的线性回归方程为．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，年销量的预报值，年利润的预报值．根据（Ⅱ）的结果知，年利润的预报值．所以当，即时，取最大值．故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大．20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设可得, ,或,又，故在处的导数值为，在点处的切线方程为，即．在处的导数值为，在点处的切线方程为，即．故所求切线方程为和．（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，直线的斜率分别为．将带入的方程得．故，，从而．故的单调递增区间为，，单调递减区间为．当时，由则直线的倾角与直线的倾角互补，故所以点符合题意．21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则即，解得，．因此，当时，轴为曲线的切线．（Ⅱ）当时，从而，故在无零点．当时，若，则，故是的零点；若，则，故不是的零点．当时，所以只需考虑在的零点个数．若或，则在无零点，故在单调．而，，所以当时，在有一个零点；当时，在上没有零点．若，则在单调递减，在单调递增，故在中，当时，取得最小值，最小值为．若，即，在无零点；若，即，则在有唯一零点；若，即，由于，，所以当时，在由两个零点；当时，在由一个零点．综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点．22．解：（Ⅰ）连结，由已知得，，．在中，由已知得，，故．连结，则．又，所以，故，是的切线．（Ⅱ）设，，由已知得，．由射影定理可得，，所以，即．可得，所以．23．解：（Ⅰ）因为，，所以的极坐标方程为，极坐标方程为．（Ⅱ）将代入，得，解得，．故，即．由于的半径为1，所以的面积为．24．解：（Ⅰ）当时，化为．当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得；所以的解集为．（Ⅱ）由题设可得，所以函数的图像与轴围成三角形的三个顶点分别为，，，的面积为．由题设得，故．所以的取值范围为．2017年全国新课标1卷数学（理科）选填解析一、选择题1．【答案】A【解析】设，所以由已知可得．，解得．所以．故选A．2．【答案】D【解析】原式．故选D．3．【答案】C【解析】由题意可得即为答案．4．【答案】A【解析】该同学通过测试有两种情况：（1）投中两次，概率为；（2）投中三次，概率为．所以．故选A5．【答案】A【解析】令，，所以解得．故选A．6．【答案】B【解析】由已知可得，而．故答案为B．7．【答案】A【解析】8．【答案】D【解析】由已知可得周期为，所以．又由已知图像可得在区间上单调递减故答案选D．9．【答案】C【解析】由题意运行该程序框图可得当时，循环结束，此时输出．10．【答案】C【解析】由已知可得这一项为，故选C．11．【答案】B【解析】则由上图可知12．【答案】【解析】，因为，所以，，可知先负后正，先减后增，若要保证在上只有一个值，只需要，由此可得二、填空题13．【答案】【解析】为偶函数，，，14．【答案】【解析】假设圆经过的三个顶点为，，，则可知圆心在轴上，所以经过的点只能是，，设圆心为，可得，所以解得，由此可知，故圆的标准方程是15．【答案】【解析】目标区域如下图所示，因为是目标区域内的点与连线的斜率，故的最大值为与点连线斜率，为316．【答案】【解析】因为, , , ,为四边形所以、边要存在长度所以当点位于图中点处时，的长度最小，，解得；当点位于图中点处时，的长度最大，，解得所以得范围为。
2017年全国统一高考数学 理科 新课标1 (解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知集合A={x|x ＜1}，B={x|3x ＜1}，则（ ） A ．A ∩B={x|x ＜0} B ．A ∪B=R C ．A ∪B={x|x ＞1} D ．A ∩B=?2．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（5分）（2017?新课标Ⅰ）设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=；p 4：若复数z ∈R ，则∈R ． 其中的真命题为（ ）A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 44．（5分）（2017?新课标Ⅰ）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．85．（5分）（2017?新课标Ⅰ）函数f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f （1）=﹣1，则满足﹣1≤f （x ﹣2）≤1的x 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[﹣1，1]C ．[0，4]D ．[1，3]6．（5分）（2017?新课标Ⅰ）（1+）（1+x ）6展开式中x 2的系数为（ ）A ．15B ．20C ．30D ．357．（5分）（2017?新课标Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10 B．12 C．14 D．168．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+29．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．1011．（5分）（2017?新课标Ⅰ）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z12．（5分）（2017?新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）（2017?新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为．15．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．16．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）（2017?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）（2017?新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）（2017?新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）（2017?新课标Ⅰ）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）（2017?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]（2017?新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，22．（10分）（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=?【考点】1E：交集及其运算．【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】CF ：几何概型．【专题】35 ：转化思想；4O ：定义法；5I ：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）（2017?新课标Ⅰ）设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=；p 4：若复数z ∈R ，则∈R ． 其中的真命题为（ ）A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4【考点】2K ：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i 、复数；A5：复数的运算． 【专题】2A ：探究型；5L ：简易逻辑；5N ：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：若复数z 满足∈R ，则z ∈R ，故命题p 1为真命题；p 2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z?R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p 4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）（2017?新课标Ⅰ）记Sn 为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{an}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）（2017?新课标Ⅰ）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x ﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（2017?新课标Ⅰ）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）（2017?新课标Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；5Q ：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S=×2×（2+4）=6，梯形∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；49 ：综合法；5K ：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为 +θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l 1⊥l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点， 直线l 2与C 交于D 、E 两点， 要使|AB|+|DE|最小，则A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1， 又直线l 2过点（1，0）， 则直线l 2的方程为y=x ﹣1， 联立方程组，则y 2﹣4y ﹣4=0，∴y 1+y 2=4，y 1y 2=﹣4，∴|DE|=?|y 1﹣y 2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为 +θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin 22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16， 故选：A ．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 11．（5分）（2017?新课标Ⅰ）设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2017?新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 【考点】8E ：数列的求和．【专题】35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n }的通项公式及前n 项和，可知当N 为时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n+1﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时，n ≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n 项和S n =2n+1﹣2﹣n ，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可，分别即可求得N 的值． 【解答】解：设该数列为{an }，设b n =+…+=2n+1﹣1，（n ∈N +），则=a i ，由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n ﹣2， 可知当N 为时（n ∈N +），数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n+1﹣n ﹣2，容易得到N ＞100时，n ≥14， A 项，由=435，440=435+5，可知S 440=T 29+b 5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意． B 项，仿上可知=325，可知S 330=T 25+b 5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】31 ：数形结合；4O：定义法；5A ：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4?+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）（2017?新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2017?新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）（2017?新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为4cm3．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则=3，BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABCV==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）（2017?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值；58 ：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S=acsinB=，△ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=?===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）（2017?新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直．【专题】15 ：综合题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5G ：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B （），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB 的一个法向量，．∴cos ＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C 的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）（2017?新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)i用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4A ：数学模型法；5I ：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． （ⅱ）由=9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个 零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02， 因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008， 因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 20．（12分）（2017?新课标Ⅰ）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．【考点】KI ：圆锥曲线的综合；K3：椭圆的标准方程．【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）三点在椭圆C 上．把P 2（0，1），P 3（﹣1，）代入椭圆C ，求出a 2=4，b 2=1，由此能求出椭圆C 的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l ：y=kx+t ，（t ≠1），联立，得（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点（2，﹣1）． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P 3（﹣1，），P 4（1，）两点必在椭圆C上，又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 1（1，1）， ∴P 2（0，1），P 3（﹣1，），P 4（1，）三点在椭圆C 上．把P 2（0，1），P 3（﹣1，）代入椭圆C ，得：，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l ：x=m ，A （m ，y A ），B （m ，﹣y A ）， ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1， ∴===﹣1，解得m=2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l ：y=kx+t ，（t ≠1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立，整理，得（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4=0，，x 1x 2=，则==。
2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页,23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A =｛x |x 〈1｝，B =｛x |31x <｝，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ;2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R 。
其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n 〉1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A 〉1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin （2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==,则A ．2x 〈3y <5zB ．5z <2x 〈3yC ．3y 〈5z <2xD ．3y 〈2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析
2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1},则( )A.A∩B＝{x|x＜0}B.A∪B＝RC.A∪B＝{x|x＞1}D.A∩B＝∅2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.3.(5分)设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R,则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R,则z∈R；p 3：若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1＝；p4：若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p44.(5分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24,S6＝48,则{an}的公差为( )A.1B.2C.4D.85.(5分)函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)＝－1,则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]6.(5分)(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.357.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.168.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A＞1000和n＝n＋1B.A＞1000和n＝n＋2C.A≤1000和n＝n＋1D.A≤1000和n＝n＋29.(5分)已知曲线C1：y＝cosx,C2：y＝sin(2x＋),则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C210.(5分)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.1011.(5分)设x、y、z为正数,且2x＝3y＝5z,则( )A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3yC.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||＝2,||＝1,则|＋2|＝.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝3x－2y的最小值为.15.(5分)已知双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,则C的离心率为. 16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1,a＝3,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC,∠APD＝90°,求二面角A－PB－C的余弦值.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；经计算得＝＝9.97,s＝＝≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i＝1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3＋3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.20.(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,证明：l过定点.21.(12分)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a＝－1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4,g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1],求a的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1},则( )A.A∩B＝{x|x＜0}B.A∪B＝RC.A∪B＝{x|x＞1}D.A∩B＝∅【分析】先分别求出集合A和B,再求出A∩B和A∪B,由此能求出结果.【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1},B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0},∴A∩B＝{x|x＜0},故A正确,D错误；A∪B＝{x|x＜1},故B和C都错误.故选：A.【点评】本题考查交集和并集求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集定义的合理运用.2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积,结合几何概型的概率公式进行求解即可. 【解答】解：根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2,则黑色部分的面积S＝,则对应概率P＝＝,故选：B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键.3.(5分)设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R,则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R,则z∈R；p 3：若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1＝；p4：若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【分析】根据复数的分类,有复数性质,逐一分析给定四个命题的真假,可得答案.【解答】解：若复数z满足∈R,则z∈R,故命题p1为真命题；p 2：复数z＝i满足z2＝－1∈R,则z∉R,故命题p2为假命题；p 3：若复数z1＝i,z2＝2i满足z1z2∈R,但z1≠,故命题p3为假命题；p 4：若复数z∈R,则＝z∈R,故命题p4为真命题.故选：B.【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复数的运算,复数的分类,复数的运算性质,难度不大,属于基础题.4.(5分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24,S6＝48,则{an}的公差为( )A.1B.2C.4D.8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{an}的公差.【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n项和,a4＋a5＝24,S6＝48,∴,解得a1＝－2,d＝4,∴{an}的公差为4.故选：C.【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.5.(5分)函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)＝－1,则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性,可将不等式－1≤f(x－2)≤1化为－1≤x－2≤1,解得答案.【解答】解：∵函数f(x)为奇函数.若f(1)＝－1,则f(－1)＝1,又∵函数f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,－1≤f(x－2)≤1,∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1),∴－1≤x－2≤1,解得：x∈[1,3],故选：D.【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数的单调性,函数的奇偶性,难度中档.6.(5分)(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可.【解答】解：(1＋)(1＋x)6展开式中：若(1＋)＝(1＋x－2)提供常数项1,则(1＋x)6提供含有x2的项,可得展开式中x2的系数：若(1＋)提供x－2项,则(1＋x)6提供含有x4的项,可得展开式中x2的系数：由(1＋x)6通项公式可得.可知r＝2时,可得展开式中x2的系数为.可知r＝4时,可得展开式中x2的系数为.(1＋)(1＋x)6展开式中x2的系数为：15＋15＝30.故选：C.【点评】本题主要考查二项式定理的知识点,通项公式的灵活运用.属于基础题.7.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.16【分析】由三视图可得直观图,由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面,根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图,该立体图中只有两个相同的梯形的面,＝×2×(2＋4)＝6,S梯形∴这些梯形的面积之和为6×2＝12,故选：B.【点评】本题考查了体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A＞1000和n＝n＋1B.A＞1000和n＝n＋2C.A≤1000和n＝n＋1D.A≤1000和n＝n＋2【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”,进而通过偶数的特征确定n＝n＋2.【解答】解：因为要求A＞1000时输出,且框图中在“否”时输出,所以“”内不能输入“A＞1000”,又要求n为偶数,且n的初始值为0,所以“”中n依次加2可保证其为偶数,所以D选项满足要求,故选：D.【点评】本题考查程序框图,属于基础题,意在让大部分考生得分.9.(5分)已知曲线C 1：y ＝cosx,C 2：y ＝sin(2x ＋),则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y ＝cos2x 图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y ＝cos2(x ＋)＝cos(2x ＋)＝sin(2x＋)的图象,即曲线C 2, 故选：D.【点评】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式的应用,考查计算能力.10.(5分)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB|＋|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10【分析】方法一：根据题意可判断当A 与D,B,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1,|AB|＋|DE|最小,根据弦长公式计算即可.方法二：设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 ＋θ,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|,|DE|,整理求得答案【解答】解：如图,l 1⊥l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点, 直线l 2与C 交于D 、E 两点, 要使|AB|＋|DE|最小,则A 与D,B,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1, 又直线l 2过点(1,0),则直线l 2的方程为y ＝x －1,联立方程组,则y 2－4y －4＝0,∴y 1＋y 2＝4,y 1y 2＝－4, ∴|DE|＝•|y 1－y 2|＝×＝8,∴|AB|＋|DE|的最小值为2|DE|＝16,方法二：设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 ＋θ,根据焦点弦长公式可得|AB|＝＝|DE|＝＝＝∴|AB|＋|DE|＝＋＝＝,∵0＜sin 22θ≤1,∴当θ＝45°时,|AB|＋|DE|的最小,最小为16, 故选：A.【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系,弦长公式,对于过焦点的弦,能熟练掌握相关的结论,解决问题事半功倍属于中档题.11.(5分)设x 、y 、z 为正数,且2x ＝3y ＝5z ,则( )A.2x ＜3y ＜5zB.5z ＜2x ＜3yC.3y ＜5z ＜2xD.3y ＜2x ＜5z 【分析】x 、y 、z 为正数,令2x ＝3y ＝5z ＝k ＞1.lgk ＞0.可得x ＝,y ＝,z ＝.可得3y ＝,2x ＝,5z ＝.根据＝＝,＞＝.即可得出大小关系.另解：x 、y 、z 为正数,令2x ＝3y ＝5z ＝k ＞1.lgk ＞0.可得x ＝,y ＝,z ＝.＝＝＞1,可得2x＞3y,同理可得5z＞2x.【解答】解：x、y、z为正数,令2x＝3y＝5z＝k＞1.lgk＞0.则x＝,y＝,z＝.∴3y＝,2x＝,5z＝.∵＝＝,＞＝.∴＞lg＞＞0.∴3y＜2x＜5z.另解：x、y、z为正数,令2x＝3y＝5z＝k＞1.lgk＞0.则x＝,y＝,z＝.∴＝＝＞1,可得2x＞3y,＝＝＞1.可得5z＞2x.综上可得：5z＞2x＞3y.解法三：对k取特殊值,也可以比较出大小关系.故选：D.【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110【分析】方法一：由数列的性质,求得数列{bn}的通项公式及前n项和,可知当N为时(n∈N＋),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n＋1－n－2,容易得到N＞100时,n≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项,及前n项和Sn＝2n＋1－2－n,及项数,由题意可知：2n＋1为2的整数幂.只需将－2－n消去即可,分别即可求得N的值.【解答】解：设该数列为{an },设bn＝＋…＋＝2n＋1－1,(n∈N＋),则＝ai ,由题意可设数列{an }的前N项和为SN,数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn＝21－1＋22－1＋…＋2n＋1－1＝2n＋1－n－2,可知当N为时(n∈N＋),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n＋1－n－2,容易得到N＞100时,n≥14,A项,由＝435,440＝435＋5,可知S440＝T29＋b5＝230－29－2＋25－1＝230,故A项符合题意.B项,仿上可知＝325,可知S330＝T25＋b5＝226－25－2＋25－1＝226＋4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.C项,仿上可知＝210,可知S220＝T20＋b10＝221－20－2＋210－1＝221＋210－23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.D项,仿上可知＝105,可知S110＝T14＋b5＝215－14－2＋25－1＝215＋15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.故选A.方法二：由题意可知：,,,…,根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：21－1,22－1,23－1,…,2n－1,每项含有的项数为：1,2,3,…,n,总共的项数为N＝1＋2＋3＋…＋n＝,所有项数的和为Sn：21－1＋22－1＋23－1＋…＋2n－1＝(21＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n,由题意可知：2n＋1为2的整数幂.只需将－2－n消去即可,则①1＋2＋(－2－n)＝0,解得：n＝1,总共有＋2＝3,不满足N＞100,②1＋2＋4＋(－2－n)＝0,解得：n＝5,总共有＋3＝18,不满足N＞100,③1＋2＋4＋8＋(－2－n)＝0,解得：n＝13,总共有＋4＝95,不满足N＞100,④1＋2＋4＋8＋16＋(－2－n)＝0,解得：n＝29,总共有＋5＝440,满足N＞100, ∴该款软件的激活码440.故选：A.【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前n项和,考查计算能力,属于难题.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||＝2,||＝1,则|＋2|＝2.【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.【解答】解：【解法一】向量,的夹角为60°,且||＝2,||＝1,∴＝＋4•＋4＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12,∴|＋2|＝2.【解法二】根据题意画出图形,如图所示；结合图形＝＋＝＋2；在△OAC中,由余弦定理得||＝＝2,即|＋2|＝2.故答案为：2.【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题,解题时应利用数量积求出模长,是基础题.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝3x－2y的最小值为－5 .【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解：由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A(－1,1).∴z＝3x－2y的最小值为－3×1－2×1＝－5.故答案为：－5.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)已知双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,则C的离心率为.【分析】利用已知条件,转化求解A到渐近线的距离,推出a,c的关系,然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解：双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0)的右顶点为A(a,0),以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN＝60°,可得A到渐近线bx＋ay＝0的距离为：bcos30°＝,可得：＝,即,可得离心率为：e＝.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,点到直线的距离公式以及圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力.16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为4cm3.【分析】由题,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG＝BC,设OG＝x,则BC＝2x,DG＝3,V＝＝,令＝5－x,三棱锥的高h＝,求出S△ABCf(x)＝25x4－10x5,x∈(0,),f′(x)＝100x3－50x4,f(x)≤f(2)＝80,由此能求出体积最大值.【解答】解：由题意,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG＝BC,即OG的长度与BC的长度成正比,设OG＝x,则BC＝2x,DG＝5－x,三棱锥的高h＝＝＝,＝3,则V＝＝＝,令f(x)＝25x4－10x5,x∈(0,),f′(x)＝100x3－50x4,令f′(x)≥0,即x4－2x3≤0,解得x≤2,则f(x)≤f(2)＝80,∴V≤＝4cm3,∴体积最大值为4cm3.故答案为：4cm3.【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1,a＝3,求△ABC的周长.【分析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案,(2)根据两角余弦公式可得cosA＝,即可求出A＝,再根据正弦定理可得bc＝8,根据余弦定理即可求出b＋c,问题得以解决.＝acsinB＝,【解答】解：(1)由三角形的面积公式可得S△ABC∴3csinBsinA＝2a,由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA,∵sinA≠0,∴sinBsinC＝；(2)∵6cosBcosC＝1,∴cosBcosC＝,∴cosBcosC－sinBsinC＝－＝－,∴cos(B＋C)＝－,∴cosA＝,∵0＜A＜π,∴A＝,∵＝＝＝2R＝＝2,∴sinBsinC＝•＝＝＝,∴bc＝8,∵a2＝b2＋c2－2bccosA,∴b2＋c2－bc＝9,∴(b＋c)2＝9＋3cb＝9＋24＝33,∴b＋c＝∴周长a＋b＋c＝3＋.【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理,考查了学生的运算能力,属于中档题.18.(12分)如图,在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD,且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC,∠APD＝90°,求二面角A－PB－C的余弦值.【分析】(1)由已知可得PA⊥AB,PD⊥CD,再由AB∥CD,得AB⊥PD,利用线面垂直的判定可得AB ⊥平面PAD,进一步得到平面PAB⊥平面PAD；(2)由已知可得四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,得到AB⊥AD,则四边形ABCD 为矩形,设PA＝AB＝2a,则AD＝.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面PBC的一个法向量,再证明PD⊥平面PAB,得为平面PAB的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A－PB－C的余弦值.【解答】(1)证明：∵∠BAP＝∠CDP＝90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD,又∵PA∩PD＝P,且PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD；(2)解：∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,在△APD中,由PA＝PD,∠APD＝90°,可得△PAD为等腰直角三角形,设PA＝AB＝2a,则AD＝.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则：D(),B(),P(0,0,),C().,,.设平面PBC的一个法向量为,由,得,取y＝1,得.∵AB⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,又PD⊥PA,PA∩AB＝A,∴PD⊥平面PAB,则为平面PAB的一个法向量,.∴cos＜＞＝＝.由图可知,二面角A－PB－C为钝角,∴二面角A－PB－C的余弦值为.【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用空间向量求二面角的平面角,是中档题.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；经计算得＝＝9.97,s＝＝≈0.212,其中x为i抽取的第i个零件的尺寸,i＝1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(－3＋3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.【分析】(1)通过P(X＝0)可求出P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝0.0408,利用二项分布的期望公式计算可得结论；(2)(ⅰ)由(1)及知落在(μ－3σ,μ＋3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；(ⅱ)通过样本平均数、样本标准差s估计、可知(－3＋3)＝(9.334,10.606),进而需剔除(－3＋3)之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.【解答】解：(1)由题可知尺寸落在(μ－3σ,μ＋3σ)之内的概率为0.9974,则落在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的概率为1－0.9974＝0.0026,因为P(X＝0)＝×(1－0.9974)0×0.997416≈0.9592,所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝0.0408,又因为X～B(16,0.0026),所以E(X)＝16×0.0026＝0.0416；(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(－3＋3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(－3＋3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由＝9.97,s≈0.212,得μ的估计值为＝9.97,σ的估计值为＝0.212,由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(－3＋3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(－3＋3)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为(16×9.97－9.22)＝10.02,因此μ的估计值为10.02.2＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134,剔除(－3＋3)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为≈0.09.【点评】本题考查正态分布,考查二项分布,考查方差、标准差,考查概率的计算,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.20.(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,证明：l过定点.【分析】(1)根据椭圆的对称性,得到P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P 2(0,1),P3(－1,)代入椭圆C,求出a2＝4,b2＝1,由此能求出椭圆C的方程.(2)当斜率不存在时,不满足；当斜率存在时,设l：y＝kx＋t,(t≠1),联立,得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程,结合已知条件能证明直线l过定点(2,－1).【解答】解：(1)根据椭圆的对称性,P3(－1,),P4(1,)两点必在椭圆C上,又P4的横坐标为1,∴椭圆必不过P1(1,1),∴P2(0,1),P3(－1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P2(0,1),P3(－1,)代入椭圆C,得：,解得a2＝4,b2＝1, ∴椭圆C的方程为＝1.证明：(2)①当斜率不存在时,设l：x＝m,A(m,yA ),B(m,－yA),∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1,∴＝＝＝－1,解得m＝2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.②当斜率存在时,设l：y＝kx＋t,(t≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理,得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0,,x1x2＝,则＝＝＝＝＝－1,又t≠1,∴t＝－2k－1,此时△＝－64k,存在k,使得△＞0成立,∴直线l的方程为y＝kx－2k－1,当x＝2时,y＝－1,∴l过定点(2,－1).【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题.21.(12分)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【分析】(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性；＜(2)由(1)可知：当a＞0时才有两个零点,根据函数的单调性求得f(x)最小值,由f(x)min＝g(e－2)＝e－2lne－2＋e－2－1＝－－1,g(1)＝0, 0,g(a)＝alna＋a－1,a＞0,求导,由g(a)min即可求得a的取值范围.(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性；(2)分类讨论,根据函数的单调性及函数零点的判断,分别求得函数的零点,即可求得a的取值范围.【解答】解：(1)由f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,求导f′(x)＝2ae2x＋(a－2)e x－1,当a＝0时,f′(x)＝－2e x－1＜0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a＞0时,f′(x)＝(2e x＋1)(ae x－1)＝2a(e x＋)(e x－),令f′(x)＝0,解得：x＝ln,当f′(x)＞0,解得：x＞ln,当f′(x)＜0,解得：x＜ln,∴x∈(－∞,ln)时,f(x)单调递减,x∈(ln,＋∞)单调递增；当a＜0时,f′(x)＝2a(e x＋)(e x－)＜0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知：当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a＞0时,f(x)在(－∞,ln)是减函数,在(ln,＋∞)是增函数；(2)①若a≤0时,由(1)可知：f(x)最多有一个零点,当a＞0时,f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,当x→－∞时,e2x→0,e x→0,∴当x→－∞时,f(x)→＋∞,当x→∞,e2x→＋∞,且远远大于e x和x,∴当x→∞,f(x)→＋∞,∴函数有两个零点,f(x)的最小值小于0即可,由f(x)在(－∞,ln)是减函数,在(ln,＋∞)是增函数,∴f(x)＝f(ln)＝a×()＋(a－2)×－ln＜0,min∴1－－ln＜0,即ln＋－1＞0,设t＝,则g(t)＝lnt＋t－1,(t＞0),求导g′(t)＝＋1,由g(1)＝0,∴t＝＞1,解得：0＜a＜1,∴a的取值范围(0,1).方法二：(1)由f(x)＝ae2x＋(a－2)e x－x,求导f′(x)＝2ae2x＋(a－2)e x－1,当a＝0时,f′(x)＝－2e x－1＜0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a＞0时,f′(x)＝(2e x＋1)(ae x－1)＝2a(e x＋)(e x－),令f′(x)＝0,解得：x＝－lna,当f′(x)＞0,解得：x＞－lna,当f′(x)＜0,解得：x＜－lna,∴x∈(－∞,－lna)时,f(x)单调递减,x∈(－lna,＋∞)单调递增；当a＜0时,f′(x)＝2a(e x＋)(e x－)＜0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知：当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a＞0时,f(x)在(－∞,－lna)是减函数,在(－lna,＋∞)是增函数；(2)①若a≤0时,由(1)可知：f(x)最多有一个零点,＝f(－lna)＝1－－ln, ②当a＞0时,由(1)可知：当x＝－lna时,f(x)取得最小值,f(x)min当a＝1,时,f(－lna)＝0,故f(x)只有一个零点,当a∈(1,＋∞)时,由1－－ln＞0,即f(－lna)＞0,故f(x)没有零点,当a∈(0,1)时,1－－ln＜0,f(－lna)＜0,由f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0, 故f(x)在(－∞,－lna)有一个零点,假设存在正整数n0,满足n＞ln(－1),则f(n)＝(a＋a－2)－n＞－n＞－n＞0,由ln(－1)＞－lna,因此在(－lna,＋∞)有一个零点.∴a的取值范围(0,1).【点评】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数单调性及最值,考查函数零点的判断,考查计算能力,考查分类讨论思想,属于中档题.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a＝－1,求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【分析】(1)将曲线C的参数方程化为标准方程,直线l的参数方程化为一般方程,联立两方程可以求得焦点坐标；(2)曲线C上的点可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离,再结合距离最大值为进行分析,可以求出a的值.【解答】解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),化为标准方程是：＋y2＝1；a＝－1时,直线l的参数方程化为一般方程是：x＋4y－3＝0；联立方程,解得或,所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(－,).(2)l的参数方程(t为参数)化为一般方程是：x＋4y－a－4＝0,椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),所以点P到直线l的距离d为：。
2017年全国卷Ⅰ理综高考试题(含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
学科.网回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 S 32 Cl 35.5 K 39 Ti 48 Fe 56 I 127一、选择题：本题共13个小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．细胞间信息交流的方式有多种。
在哺乳动物卵巢细胞分泌的雌激素作用于乳腺细胞的过程中，以及精子进入卵细胞的过程中，细胞间信息交流的实现分别依赖于A．血液运输，突触传递B．淋巴运输，突触传递C．淋巴运输，胞间连丝传递D．血液运输，细胞间直接接触2．下列关于细胞结构与成分的叙述，错误的是A．细胞膜的完整性可用台盼蓝染色法进行检测B．检测氨基酸的含量可用双缩脲试剂进行显色C．若要观察处于细胞分裂中期的染色体可用醋酸洋红液染色D．斐林试剂是含有Cu2+的碱性溶液，可被葡萄糖还原成砖红色3．通常，叶片中叶绿素含量下降可作为其衰老的检测指标。
为研究激素对叶片衰老的影响，将某植物离体叶片分组，并分别置于蒸馏水、细胞分裂素（CTK）、脱落酸（ABA）、CTK+ABA溶液中，再将各组置于光下。
一段时间内叶片中叶绿素含量变化趋势如图所示，据图判断，下列叙述错误的是A．细胞分裂素能延缓该植物离体叶片的衰老B．本实验中CTK对该植物离体叶片的作用可被ABA削弱C．可推测ABA组叶绿体中NADPH合成速率大于CTK组D．可推测施用ABA能加速秋天银杏树的叶由绿变黄的过程4．某同学将一定量的某种动物的提取液（A）注射到实验小鼠体内，注射后若干天，未见小鼠出现明显的异常表现。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)答案
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=2．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为4cm3．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．=acsinB=，【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x ﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）min=f（ln）=a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣﹣ln，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1﹣﹣ln＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（﹣1），则f（n0）=（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，由ln（﹣1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d==，φ满足tanφ=，且的d的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17解得a=8≥﹣4，符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，g（x）=|x+1|+|x﹣1|=，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x=，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．。
2017年高考数学全国卷1理科数学试题全部解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
x1. 已知集合 A x x 1 ，B x 3 1 ，则（）A．A B x x 0 B．A B RC．A B x x 1 D．A B【答案】 Ax【解析】 A x x 1 ，B x 3 1 x x 0∴A B x x 0 ，A B x x 1 ，选A2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．14B．π8C．12D．π4【答案】 B【解析】设正方形边长为2，则圆半径为 1则正方形的面积为 2 2 4，圆的面积为 2π1 π，图中黑色部分的概率为π2π则此点取自黑色部分的概率为 2π4 8 故选B13. 设有下面四个命题（）1p ：若复数z 满足1zR，则z R；p ：若复数z 满足z2 R，则z R；2p ：若复数3 z ，z 满足z z R，则1 2 1 2z z ；1 2p ：若复数z R，则z R．4A．p1 ，p3 B．p，p C．1 4 p ，p D．2 3p ，p2 4【答案】 B1 1 a bi 【解析】p1 :设z a bi ，则2 2z a bi a b R，得到b 0 ，所以z R.故P正确；1p2 : 若z2 1 ，满足z R，而z i ，不满足z R，故p2 不正确；2 2p3 : 若z 1，1 z 2，则z1z2 2 ，满足z1z2 R，而它们实部不相等，不是共轭复2数，故p3 不正确；p4 : 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p正确；44.记S n 为等差数列a n 的前n 项和，若a4 a5 24，S6 48 ，则a n 的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】 C【解析】a4 a5 a1 3d a1 4d 246 5S 6a d 486 12联立求得2a 7d 2416a 15d 481①②①②得21 15 d 2436d 24∴d 4选C5. 函数 f x 在，单调递减，且为奇函数．若 f 1 1，则满足1≤ f x 2 ≤1 的x 的取值范围是（）A．2，2 B．1，1 C．0 ，4 D．1，3 【答案】 D【解析】因为 f x 为奇函数，所以 f 1 f 1 1 ，于是1≤ f x 2 ≤1等价于 f 1 ≤ f x 2 ≤ f 1 |又f x 在，单调递减1≤x 2≤11≤x≤3 故选D26.11 1 x2x6展开式中 2x 的系数为A．15 B．20 C．30 D．35【答案】 C.【解析】1 16 6 6 1+ 1 x 1 1 x 1 x2 2x x对 61 x 的2 x 项系数为26 5C 1562对12x1 x 6 的 2x 项系数为4C =15 ，6∴ 2x 的系数为15 15 30故选C7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2 ，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】 B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面S梯2 4 2 2 6S全梯6 2 12故选Bn n8.右面程序框图是为了求出满足 3 2 1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入3A．A 1000 和n n 1 B．A 1000 和n n 2 C．A≤1000 和n n 1 D．A≤1000 和n n 2 【答案】 D【答案】因为要求 A 大于1000 时输出，且框图中在“否”时输出∴“”中不能输入A1000排除A、B又要求n为偶数，且n 初始值为0，“”中n 依次加 2 可保证其为偶故选D2π9.已知曲线C1 : y cos x ， 2C : y sin 2x ，则下面结论正确的是（）3A．把C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2π6B．把C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1 上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线C212倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6D．把C1 上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2π12【答案】 D【解析】 C y x ， 2 : sin 21 : cos C y x 2π3首先曲线C、1C 统一为一三角函数名，可将2C1 : y cos x用诱导公式处理．πππy cos x cos x sin x ．横坐标变换需将1变成2，2 2 24即1π C 上各坐短它原ππ点横标缩来1y sin x y sin 2x sin 2 x22 2 42ππy sin 2x sin 2 x ．3 3π注意的系数，在右平移需将 2 提到括号外面，这时x 平移至4πx ，3根据“左加右减”原则，“πx ”到“4πx ”需加上3π，即再向左平移12π12．10.已知F 为抛物线 C ： 2 y x 的交点，过F作两条互相垂直l1 ，l2 ，直线l1 与C 交于A、4B 两点，直线l2 与C 交于D ，E 两点，AB DE 的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】 A【解析】设A B 倾斜角为．作AK1 垂直准线，AK2 垂直x 轴AF cos GF AK（几何关系）1易知A K AF1（抛物线特性）P PGP P2 2∴AF cos P AF同理PAF ，1 cosBFP1 cos2P 2P∴AB 2 21 cos sin又DE 与AB垂直，即DE 的倾斜角为π2DE2sin 2P 2P2 πcos 2而 2y x ，即P 2 ．41 1AB DE 2P∴ 2 2 42 2sin cos2 2sin cos42 2sin cos1442sin 2sin cos162 sin 2 ≥16 ，当π取等号4即AB DE 最小值为16 ，故选A511.设x ，y ，z 为正数，且 2 3 5x y z，则（）A．2x 3y 5z B．5z 2x 3y C．3y 5z 2x D．3y 2x 5z【答案】 D【答案】取对数：xln 2 y ln3 ln5 .x ln3 3y ln 2 2∴2x 3yx ln2 zln5则xzln5 5ln 2 2∴2x 5z ∴3y 2x 5z，故选D12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1, 1, 2 , 1, 2 , 4 , 1, 2 , 4 , 8 , 1, 2 , 4 , 8 , 16 ，⋯，其中第一项是20 ，接下来的两项是20 ，2，在接下来的三项式2，1 62 ，12 ，依次类推，求满足如下条件2的最小整数N ：N 100 且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110 【答案】 A【解析】设首项为第 1 组，接下来两项为第 2 组，再接下来三项为第 3 组，以此类推．n 1 n设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为2由题，N 100 ，令n1 n2 100 →n ≥14 且*n N，即N 出现在第13 组之后第n 组的和为n1 21 2n2 1n 组总共的和为n2 1 21 2nn 2 2 n若要使前N 项和为 2 的整数幂，则n 1 nk 应与2n 互为相反N 项的和2 12数即k n k N，n ≥*2 1 2 14k log n 32→n 29，k 5则N 29 1 2925 440故选A二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分。
2017年高考新课标Ⅰ卷理综物理试题解析(精编版)(解析版)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14．将质量为1.00 kg 的模型火箭点火升空，50 g 燃烧的燃气以大小为600 m/s 的速度从火箭喷口在很短时间内喷出。
在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为（喷出过程中重力和空气阻力可忽略） A ．30kg m/s ⋅B ．5.7×102kg m/s ⋅C ．6.0×102kg m/s ⋅D ．6.3×102kg m/s ⋅【答案】A【学科网考点定位】动量、动量守恒【名师点睛】本题主要考查动量即反冲类动量守恒问题，只要注意动量的矢量性即可，比较简单。
15．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。
速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是 A ．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B ．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C ．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D ．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 【答案】C【学科网考点定位】平抛运动【名师点睛】重点要理解题意，本题考查平抛运动水平方向的运动规律。
理论知识简单，难在由题意分析出水平方向运动的特点。
16．如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a 、b 、c 电荷量相等，质量分别为m a 、m b 、m c 。
(word完整版)2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年高考数学全国卷1理科数学试题全部解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（） 2. A ．{}0=<A B x x B ．A B =R 3. C ．{}1=>A B x xD ．A B =∅【答案】A【解析】{}1A x x =<，{}{}310xB x x x =<=< 【解析】∴{}0AB x x =<，{}1AB x x =<，选A4. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）5.6. A ．14 B ．π8C ．12D ．π4【答案】B【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1则正方形的面积为224⨯=，圆的面积为2π1π⨯=，图中黑色部分的概率为π2则此点取自黑色部分的概率为ππ248=故选B7. 设有下面四个命题（）8. 1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；9. 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；10. 3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 11. 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ． 12. A ．13p p ， B ．14p p ， C ．23p p ， D ．24p p ，【答案】B【解析】1:p 设z a bi =+，则2211a bi z a bi a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确； 【解析】2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；【解析】3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；【解析】4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确； 13. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） 14. A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】45113424a a a d a d +=+++= 【解析】61656482S a d ⨯=+= 【解析】联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 【解析】3⨯-①②得()211524-=d 【解析】624d =【解析】4d =∴ 【解析】选C15. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是（）16. A ．[]22-， B ．[]11-， C ．[]04， D ．[]13，【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=， 【解析】于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 【解析】又()f x 在()-∞+∞，单调递减 【解析】121x ∴--≤≤ 【解析】3x ∴1≤≤ 故选D17. ()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为18. A ．15 B ．20 C ．30 D ．35【答案】C.【解析】()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭【解析】对()61x +的2x 项系数为2665C 152⨯== 【解析】对()6211x x⋅+的2x 项系数为46C =15， ∴2x 的系数为151530+=故选C19. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为20.21. A ．10 B ．12 C ．14 D ．16【答案】B【解析】由三视图可画出立体图【解析】该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 【解析】()24226S =+⨯÷=梯 【解析】6212S =⨯=全梯故选B22. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入23.24. A ．1000A >和1n n =+ B ．1000A >和2n n =+ 25. C ．1000A ≤和1n n =+ D ．1000A ≤和2n n =+ 【答案】D【答案】因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出 【答案】∴“”中不能输入A 1000> 【答案】排除A 、B【答案】又要求n 为偶数，且n 初始值为0， 【答案】“”中n 依次加2可保证其为偶 【答案】故选D26. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）27. A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C28. B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C29. C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C30. D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．【解析】πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，【解析】即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来【解析】2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．31. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）32. A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A 【解析】【解析】【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴 【解析】易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）【解析】cos AF P AF θ⋅+=∴【解析】同理1cos P AF θ=-，1cos PBF θ=+【解析】∴22221cos sin P PAB θθ==- 【解析】又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+ 【解析】2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】而24y x =，即2P =．【解析】∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 【解析】21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号【解析】即AB DE +最小值为16，故选A33. 设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（） 34. A ．235x y z << B ．523z x y <<C ．352y z x<< D ．325y x z <<【答案】D【答案】取对数：ln 2ln3ln5x y ==. 【答案】ln33ln 22x y => 【答案】∴23x y >【答案】ln2ln5x z =【答案】则ln55ln 22x z =< 【答案】∴25x z <∴325y x z <<，故选D35. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） 36. A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 【答案】A【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推． 【解析】设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +【解析】由题，100N >，令()11002n n +>→14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后【解析】第n 组的和为122112nn -=-- 【解析】n 组总共的和为()2122212n nn n --=---【解析】若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数【解析】即()*21214k n k n -=+∈N ，≥ 【解析】()2log 3k n =+ 【解析】→295n k ==，【解析】则()2912954402N ⨯+=+=【解析】故选A二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
关于2017年理综新课标卷一物理21题的几种解法分析
关于2017年新课标卷一21题的几种解法分析(2017年新课标卷一卷21题）如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N ．初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角α（α＞）。
现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，在OM 由竖直被拉到水平的过程中（ ）A ．MN 上的张力逐渐增大B ．MN 上的张力先增大后减小C ．OM 上的张力逐渐增大D ．OM 上的张力先增大后减小本题考查共点力的平衡条件，这种问题一般要抓住不变的量（通常是物体的重力不变），然后去分析变化的量。
解法一：整个拉动过程中，小球的重力不变，根据共点力平衡条件分析，结合正弦定理求解。
解：重力的大小和方向不变。
OM 和MN 的拉力的合力F 与重力的是一对平衡力。
如图所示：在力学三角形中，由正弦定理得： G sin (π−α)=T OM sin (α−θ)=TMN sin θ α保持不变, G sin (π−α)为定值，(α−θ)由大于90°变为小于90°，sin (α−θ)先增后减， (α−θ) 90°时，sin (α−θ)最大，故T OM 先变大后变小。
θ由0°变为90°，sin θ为增函数，故T MN 增大。
故选：AD 。
解法二：三力平衡，即三力合力为零，能构成封闭的三角形，由解法一图示分析可得：(π−α)为定值，借助同一圆弧对应圆周角不变画图进行分析。
如图所示： 故T OM 先变大后变小，T MN 增大。
故选：AD F=Gθ T MNT OM GαT OM T OM T MNG解法三： 如图：由拉密定理可得， G sin α=T OM sin β=T MN sin γ α保持不变, G sin α保持不变，β由小于90°变为大于90°，sin β先增后减， β 90°时，sin β最大，故T OM 先变大后变小。
2017年高考数学全国卷1理科数学试题全部解析(最新整理)
z
R
；
p2 ：若复数 z 满足 z2 R ，则 z R ；
p3 ：若复数 z1 ，z2 满足 z1z2 R ，则 z1 z2 ；
p4 ：若复数 z R ，则 z R ．
A． p1 ，p3
B． p1 ，p4
C． p2 ，p3
D．
p2 ，p4
【答案】B
【解析】
p1
:
设
z
a
bi
，则
1 z
a
1 bi
∴ x2 的系数为15 15 30
故选 C
C． 30
D． 35
7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为 2 ，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这 些梯形的面积之和为
A．10
B．12
【答案】B
【解析】由三视图可画出立体图
a2
33
16. 如图，圆形纸片的圆心为 O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O ， D 、 E 、 F 为元 O 上的点， △DBC ， △ECA ， △FAB 分别是一 BC ， CA ， AB 为底 边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 BC ， CA ， AB 为折痕折起 △DBC ， △ECA ， △FAB ，使得 D ， E ， F 重合，得到三棱锥．当 △ABC 的边长变化时，所得三棱锥体 积（单位： cm3 ）的最大值为_______．
B． 5z 2x 3y
C． 3y 5z 2x
D．
3y 2x 5z
【答案】D 【答案】取对数： x ln 2 y ln 3 ln 5 .
x ln 3 3 y ln 2 2
高考物理题的典型解法探讨——2017年高考全国理综卷第21题为例
对 它进行 解析．本文将 以 ２０１７年 高考全 国理 综卷第 ２１题 为例 对 高考物理题 的典型解法进行探 究．
关键词 ：力的平衡 ；力的分解 ；矢量法则
中图分 类号 ：Ｇ６３２
文献标识 码 ：Ａ
文章编号 ：１００８—０３３３（２０１８）１９—００７７—０２
２０１７年高考全 国理综卷第 ２ｌ题 是一道选 择题 ，尽管 这是一道选择 题 ，但 是 它对学 生 的力 的相 关知 识进 行 了 深刻 的考察 ，如果学生在 学 习过 程 中 ，对 力 的知识掌 握不 扎实 ，这道题 的解答会让学 生感 到很 困难．在 这道选 择题 中，物体所受到 的重力是 不变 的 ，在解题 的过 程 中应 该牢 固记住这个解题 的关键信 息．
２０１８年第１９期总第４０４期
数理化 解题研究
关于2017年高考物理1卷第21题三种解法
关于2017年高考物理Ⅰ卷第21题（最后一个选择题）三种解法过程分析：Δ利用勒密原理求解（解法一）解：根据勒密原理：数学表达式F1sinα=F2sinγ=F3sinβ（1平衡的运动过程，即∑F=0。
设重力G所对应的角为α，绳NM的拉力N对应的角为β，绳OM的拉力T对应的角为γ，则有：G=因为β从π逐渐减小到π2，所以N逐渐增大；（2）同理：G=TΔ利用正交分解法求解（解法二）：解：（1）建立直角坐标系，使OM绳上的拉力T恰好在Y轴上，且沿Y轴负方向（如图中红色线坐标系所示），，设绳NM的拉力N与Y轴的夹角为θ，重力G 与Y轴的夹角为β，根据题意，拉起重物过程中θ始终不变,但β逐渐变大。
根据∑F=0，则∑F x=0,即，Gsinβ= Nsinθ所以N逐渐增大。
（2）同理，建立直角坐标系，使MN绳上的拉力N恰好在X轴上，且沿X轴正方向（如图中黑色线坐标系所示），设绳OM的拉力T与负X轴的夹角为θ，重力G 与正X轴的夹角为(θ+β)，根据题意，拉起重物过程中θ始终不变,但β是逐渐变大的，（θ+β）从θ增到π2后，再逐渐增大到（π2+θ）。
根据∑F=0，则∑F y=0,即，Gsin（θ+β）= Tsinθ显然，当(θ+β)等于π2时T有最大值，所以T是先增大后减小的变化。
Δ利用矢量三角形方法求解（解法三）：解：（1）如图所示，重物缓慢拉起的过程，属于共点三力平衡的运动过程，即∑F=0。
重力G、绳OM的拉力T、绳MN的拉力为N，三个力平移后可以组成矢量三角形。
在矢量三角形中，设重力G所对的角为θ，绳OM的拉力T所对的角∅，绳MN的拉力N所对的角为β。
根据正弦定理G=N根据题意，拉起重物过程中θ始终不变,但β逐渐变大，绳MN拉至水平时，β=π2，所以，此过程中拉力N逐渐增大。
（2）同理，根据正弦定理有G sinθ=T sinφ在重物缓慢拉起过程中，φ从趋于π开始逐渐减小到π2，直至减小到π2-θ。
所以OM绳的拉力T是先增大后减小的变化。
2017年全国新课标Ⅰ卷理科21题典型错误分析与教学建议
2017年全国新课标Ⅰ卷理科21题典型错误分析与教学建议李晓波;李海媚【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2017(000)019【总页数】2页(P50-51)【作者】李晓波;李海媚【作者单位】筅广东省惠州市第一中学高中部;筅广东省惠州市第一中学高中部【正文语种】中文2017年的高考已落下帷幕，今年的全国新课标Ⅰ卷理科21题普遍反映试题较往年简单，但在阅卷中笔者发现考生问题频出，平均分很低（不到1分）.为了把学生的“错题资源”变为有效的“教学资源”，变“误”为“宝”，下面将呈现考生在解答本题时出现的一些典型错误，并剖析失误的原因，以及对今后教学的建议，与同仁分享.题目（2017年全国新课标Ⅰ卷理科21题）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x. （1）讨论f（x）的单调性（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.我们先来看本题第一问解答中考生出现的典型错误.我们往往有种惯性思维，认为第一问应该是所谓的“送分题”，事实上，第一问出现的错误最多，而且一旦第一问出错，将很大程度影响第二问的解答.1.第一问求导错误（1）f′（x）=ae2x+（a-2）ex-1；（2）f′（x）=2axe2x-1+（a-2）·ex-1；（3）f′（x）=2ae2x+（a-2）ex；（4）f′（x）=2aex+（a-2）ex-1；（5）f′（x）=2ae2x-（a-2）ex-1；（6）f′（x）=2aex+（a+2）ex-1.剖析：第（1）种错误最多，主要是学生不知道要用复合函数的求导法则；第（2）种错误是把ae2x当成了幂函数来求导；第（3）（4）（5）（6）种错误主要是抄漏数字或抄错符号，都是学生的笔误.以上情况总的来说都属于计算能力不足的问题.2.第一问不会因式分解或因式分解错误f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=2at2+（a-2）t-1=（at+1）（2t-1）.剖析：因式分解错误，主要是因为十字相乘的时候符号弄反.3.第一问讨论单调性的分类错误或分类不全（1）分a＜2，a=2，a＞2三类讨论；（2）分a＜0，a＞0讨论，漏了a=0；（3）f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（3a-2）ex-1分三类讨论.剖析：第（1）种分类学生主要受到了（a-2）ex的影响；第（2）种分类主要漏了a=0，不全面，缺乏数学思维的严谨性；第（3）种错误是因为计算错误，学生以为可以把ex与e2x合并在一起，结果也导致了分类的错误.4.第一问利用换元法令t=ex，没有注意t＞0，最后没有把g（t）还原为f（x）学生有换元的意识，但容易忽略换元后必须先讨论新元t的取值范围，其实这也是一个严谨性的问题.5.第二问中对函数存在零点的问题本质理解不到位没有找到两个点使其函数值大于0，或者没有说明剖析：学生认为先减后增的函数，只需要保证极小值小于0，就可以保证函数有两个零点（类似于二次函数），对函数存在零点的问题本质理解不到位，同时也缺乏数学严谨性.6.不会利用函数的思想处理不等式的问题第二问中，计算到后，不会解不等式.剖析：学生不会利用函数的思想处理不等式的问题，事实上，只要重新构造一个新函数，对新函数求导分析函数的单调性即可求出参数的范围.7.对于较为复杂的函数的导数的计算及化简能力不强第二问有学生利用分离参数构造新函数的方法，但对构造的新函数求导时计算发生错误或者对所求的导数不能够化简及因式分解，从而无法进一步判断导数正负及函数单调性.剖析：对于较为复杂的函数的导数的计算及化简能力不强.8.不善于利用极限思想第二问利用分离参数构造新函数的方法中，没有分析剖析：学生很容易错误地认为先增后减的函数都像开口向下的二次函数一样最后减到负无穷，事实上借助“洛必达法则”可轻松解决.1.计算能力对于数学计算的问题，我们往往有一个误区，认为小学生才需要培养数学计算的能力，而高中生需要掌握的是宏观思考的能力，不再需要培养数学计算的能力.其实这是有失偏颇的，数学计算是数学知识的基础，只要学生学习数学知识，就必须强化数学计算的能力，尤其在全国卷的背景下，计算难度加大，一旦学生出现计算出错，后面的所有过程可能都是错的或者根本无法进行下去.教师在平时的教学中，要多引导学生掌握一些常用的数学运算的技巧、方法和规则，可以精选一些计算量相对悬殊较大的题目，用充裕的时间去想去做，并结合这些实际题目适时灵活地运用概念、恰当地选择公式、合理地使用数学思想方法.从而达到简化计算、提高计算速度的目的.2.练好基本功函数的题目时常简明而清新，但要求学生有较好的函数基本功，学生应深刻掌握函数的基本概念、性质，熟悉一些典型题的基本方法，比如函数单调性的求法，含参问题的分类讨论方法，零点问题的处理策略有哪一些等.3.培养学生数学思维的严谨性所谓数学的严谨性，就是指对数学结论的叙述必须精确，结论的论证必须严格、周密，整个数学内容被组织成一个严谨的逻辑系统.［1］数学教师应注重培养学生的数学严谨性思维，渗透到平时教学的每一个细节中，教师不仅要注重于学生的答案，更要关注学生的解答过程，是否能做到“言之有理，得之有故”.学生平时解题的不严谨，其实也就反映了思考过程的不严谨，长此以往就会造成高考中失误，因此我们一定要让学生在平时解答过程的每一步都做到有理才答的习惯，把可能的疑问和不确定性在平时就一个个攻克掉，让数学解题中的每一步骤都有据可查.4.培养学生的发散性思维发散性思维是指从同一问题中产生出各种各样的众多的问题，并在处理这些问题中寻找多种的正确途径的一种思维模式.［2］在传统的教学中，为了提高做题的效率，我们可能经常强调让学生掌握最简单、最常用的一些方法，同时通过大量题目，利用题海战术来巩固这些所谓的最佳解题思路、解题方法，长此以往，学生就会把思维固定在一个模式上，而不会想着从其他的角度去解决问题，使得思维形成了一个定式，这种情况对于学生的发散性思维是非常不利的.因此，作为一名数学教师，我们一定要改变过去传统的教学思路、解题方法，敢于打破常规，努力在数学教学过程中培养学生的发散性思维.我们要讲究方法，在探究中培养，在质疑中培养，在开放中培养，在求异中培养，在练习中培养，一旦学生形成了较强的发散性思维能力，不仅仅有利于搞好数学学科的学习，对于其他知识的学习也是一个非常有利的工具，这样就为我们成为具有综合素质的人才打下了良好的基础.5.尖子生需学会洛必达法则的简单应用高考是选拔考试，数学的区分度高，有利于高校选拔具有学习潜能的人才.近年来高考试卷中的压轴题常是导数应用问题，其中有关函数不等式恒成立求参数的取值范围就是重点考查的一类题型，此类问题使用“洛必达法则”去处理是巧妙而有效的.同时，初等数学教学中，向学生渗透极限等高等数学思想，对以后学好高等数学具有很大的实际意义.而在极限的理论中，“洛必达法则”发挥着重要的作用.［3］1.沈海澜.从一案例谈高中数学严谨性思维的培养［J］.中学数学研究，2012（5）.2.余振贤.也谈数学教学中发散性思维能力的培养［J］.成才之路，2010（5）.3.李晓波.结合“洛必达法则”巧解2016年全国新课标Ⅰ卷压轴题［J］.中学数学杂志，2016（7）.F【相关文献】1.沈海澜.从一案例谈高中数学严谨性思维的培养［J］.中学数学研究，2012（5）.2.余振贤.也谈数学教学中发散性思维能力的培养［J］.成才之路，2010（5）.3.李晓波.结合“洛必达法则”巧解2016年全国新课标Ⅰ卷压轴题［J］.中学数学杂志，2016（7）.F*本文系广东省教育科学“十三五”课题“运用‘问题串’开展高中数学教学的实践研究”（课题批准号：2017YQJK134）的研究成果.。
2017年高考数学全国卷1理科数学试题全部解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试〔全国I 卷〕理科数学考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1. 集合{}{}131x A x x B x =<=<，，那么〔〕A ．{}0=<AB x x B ．A B =RC ．{}1=>A B x xD ．AB =∅【答案】A【解析】{}1A x x =<，{}{}310xB x x x =<=<∴{}0A B x x =<，{}1A B x x =<，选A2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是〔〕A ．14B ．π8C ．12D ．π4【答案】B【解析】设正方形边长为2，那么圆半径为1那么正方形的面积为224⨯=，圆的面积为2π1π⨯=，图中黑色局部的概率为π2那么此点取自黑色局部的概率为 应选B3. 设有下面四个命题〔〕1p ：假设复数z 满足1z ∈R ，那么z ∈R ；2p ：假设复数z 满足2z ∈R ，那么z ∈R ；3p ：假设复数12z z ，满足12z z ∈R ，那么12z z =； 4p ：假设复数z ∈R ，那么z ∈R ．A ．13p p ， B ．14p p ， C ．23p p ， D ．24p p ， 【答案】B【解析】1:p 设z a bi =+，那么，得到0b =，所以z ∈R .故1P 正确；2:p 假设z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 假设1z 1=，2z 2=，那么12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确；4. 记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和，假设4562448a a S+==，，那么{}n a 的公差为〔〕 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得3⨯-①②得()211524-=d624d = 4d =∴选C5. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．假设()11f =-，那么满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是〔〕A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞，单调递减121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤ 应选D6. 展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30D ．35【答案】C.【解析】()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭对()61x +的2x 项系数为2665C 152⨯== 对()6211x x ⋅+的2x 项系数为46C =15，∴2x的系数为151530+=应选C7.某多面体的三视图如下图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有假设干是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．16【答案】B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个一样的梯形的面()S=+⨯÷=24226梯S=⨯=6212全梯应选B8.右面程序框图是为了求出满足321000n n->的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．1000=+A>和1n nB．1000A>和2=+n nC．1000=+A≤和1n nD．1000n n=+A≤和2【答案】D【答案】因为要求A大于1000时输出，且框图中在“否〞时输出∴“〞中不能输入A1000>排除A、B又要求n为偶数，且n初始值为0，“〞中n依次加2可保证其为偶应选D9.曲线1:cosC y x=，，那么下面结论正确的选项是〔〕A．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再个单位长度，得到曲线2C 把得到的曲线向右平移π6B．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再个单位长度，得到曲线2C 把得到的曲线向左平移π12C．把1C上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再2把得到的曲线向右平移π个单位长度，得到曲线2C6D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C【答案】D【解析】1:cos C y x =，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减〞原那么，“π4+x 〞到“π3+x 〞需加上π12，即再向左平移π12．10.F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为〔〕 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AFθ⋅+=∴同理1cos P AF θ=-，1cos PBF θ=+∴22221cos sin P PAB θθ==- 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P P DE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭224sin cos θθ=21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号 即AB DE +最小值为16，应选A11. 设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，那么〔〕A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 【答案】D【答案】取对数：ln 2ln3ln5x y ==.∴23x y >ln2ln5x z =那么ln55ln 22x z =<∴25x z <∴325y x z <<，应选D12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码〞的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项为哪一项02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是〔 〕 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 【答案】A【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，那么n 组的项数和为由题，100N >，令→14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后第n 组的和为 n 组总共的和为假设要使前N 项和为2的整数幂，那么项的和21k -应与2n --互为相反数即()*21214kn k n -=+∈N ，≥()2log 3k n =+→295n k ==， 那么()2912954402N ⨯+=+=应选A二、 填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
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评 注: 已 知 函
数零点的个数，求
y
参数的值或取值 范围问题，常通过 数形结合转化为
l
y=a
x
O
两个函数图象的
交点个数. 其中一
图1
个函数 f (x) 的图
象可画，或者利用导数判断单调性来推测
出 草 图 ，而 另 一 个 函 数 g(x) 为 常 数 函 数
y = m 型或一次函数型 .
方法 3：利用零点存在性定理，结合二
方法 1：研究函数的单调性和极值（最
值），将极值（最值）与零比较 . 根据（1）知，函
数 f (x) 有两个零点，必须首先满足 a > 0 ，此
时函数
f (x)
在
æ è
-¥ ln
1 a
ö ø
上 单 调 递 减 ，在
æè ln
a1
+¥
ö ø
上单调递增，且
f
(x)
min
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
æ è
ln
1 a
ö ø
=
1
-
1 a
f (x) 有两个零点等价于函数 f (x) 的最小值
小于零 .
方 法 2：参 变 分 离 ，数 形 结 合 法 . 令 f (x) = 0 ，即 ax2x + (a - 2)ex - x = 0 ，所 以
· 63 ·
2019 年第 1 期
河北理科教学研究
考试指导
a=
2ex + x e2x + ex
分法确定零点的近似解 . 由（1）知，当 a £ 0
时，f (x) 在 (-¥ +¥) 上单调递减，至多有
一个零点，不合题意,所以 a > 0 . 此时 f (x)
在
æ è
-¥
ln
1 a
ö ø
上
单调
递
减 ，在
æ è
ln
a1
+¥
ö ø
上 单 调 递 增. 且
f
(x)min
=
f
æ è
ln
1 a
ö ø
=
1
恒成立，f (x) 在 (-¥ +¥) 上单调递减 .
②当
a>0
时，由
f ＇(x) > 0
得
x
>
ln
1 a
.由
f ＇(x) < 0
得
x
<
ln
1 a
. 于是
f (x) 在
æ è
-¥
ln
1 a
ö ø
上单调递减，在
æè ln
a1
+¥
ö ø
上单调递增
.
2.2 第二问分析与解答
第（2）问由函数零点个数确定参数的取
-
ln
1 a
.
又因为当
x
®
-¥
时，f
(x)
>
0
，
当 x ® +¥ 时 ，f (x) > 0 ，所 以 要 使 得 函 数
f (x) 有 两 个 零 点 ， 则 需
f
(x)min
=
f
æè ln
1 a
ö ø
=
1
-
1 a
-
ln
1 a
<
(a > 0) .
令
g(a)
=
1
-
1 a
-
ln
1 a
，则函数
g(a)
在
(0
. 于是函数
f (x)
有两个零点问题
等价于函数
y=
a
与
g(x) =
2ex + x e2x + ex
的图象有
两个不同交点 . 而
g＇( x)
=
-
(2ex
+ 1)(ex + x ex(ex + 1)2
-
1) ,
再令 h(x) = ex + x - 1 . 显然 h(x) 在 R 上单调
递增，且 h(0) = 0 . 从而当 x < 0 时，h(x) < 0 ，
讨论 f (x) 的单调性；（2）若 f (x) 有两个零
点，求 a 的取值范围 .
2 试题解析
2.1 第一问分析与解答
虽然根据导函数的正负性来判断单调
性，属于常规问题，但是为了判断导函数的
正负性，往往需要对参数进行讨论 . 如何寻
找分类讨论的标准，对考生来说是个难点 .
本题中，我们可以先将导函数进行因式分
x ® -¥
x ® +¥
1 所示，可得到①当 a ³ 1 时，y = a 与 g(x) 的
图象至多一个交点；②当 a £ 0 时，y = a 与
g(x) 的图象只有一个交点；③当 0 < a < 1 时，
y = a 与 g(x) 的图象有两个交点 .
故函数 f (x) 有两个零点，a 的取值范
围是 (01) .
-
1 a
-ln
1 a
.
令
g(a) = 1
-
1 a
-
ln
1 a
，则函数
g(a)
在
(0 +¥) 上 单 调 递 增 ，且 g(1) = 0 . 若
f
æ ln è
1 a
ö ø
>
0
，则
a
>
1
，f
(x)
>
f
æ è
ln
1 a
ö ø
>
0
恒
成
立 ，此 时 函 数 f (x) 没 有 零 点 . 若
f
æè ln
1 a
+¥)
上
单 调 递 增 . 又 g(1) = 0 ，所 以 根 据
g(a)
=
1
-
1 a
-
ln
1 a
<
0
，可得
0
<
a
<
1
.
故函数
f (x) 有两个零点，a 的取值范围是 (01) .
评注：此解法是根据第（1）问得出函数
f (x) 先减后增，且运用极限思想可知在左
右 两 侧 无 穷 远 处 函 数 值 为 正 值 ，则 函 数
解 ，再 观 察 因 式 ex + 1 符 号 为 正 ，而 因 式 aex - 1 的符号不定，于是自然会发现必须对
参数 a 的正负性进行讨论 . 具体解答如下：
f ＇(x) = 2ae2x + (a - 2)ex - 1 = (aex - 1)(ex + 1).
①当 a £ 0 时，f ＇(x) = (aex - 1)(ex + 1) < 0
g＇(x) > 0 ；当 x > 0 时，h(x) > 0 ，g＇(x) < 0 . 所
以函数
g(x) =
2ex + x e2x + ex
在
(-¥ 0)
上单调递
增，在 (0 +¥) 上单调递减，且 g(x)max =
g(0) = 1 ，lim g(x) = -¥ ，lim g(x) = 0 . 如图
ö ø
=
0
，则
a = 1 ，此时函数
f (x)
只有一
个零点. 所以
f
æ ln è
1 a
ö ø
<
0
，即
0 < a < 1.①当
x
Î
æ è
-¥ ln
1 a
ö ø
时 ，由
于
0<a<1
，于 是
f (x) > -2ex - x .
令
x1
=
-1
<
ln
1 a
，则
f
(-1)
值范围，我们可以研究函数的单调区间和极
值（最值），将极值（最值）与零比较来求解；
也可以采用参变量分离，外加数形结合的方
法加以解决；为了确定零点所在大致区间，
也可以利用零点存在性定理，结合用二分法
确定零点的近似解 . 这三种方法都是解决函
数零点问题的通性通法．具体解答(均不同
于官方提供的参考答案)如下：
2019 年第 1 期
河北理科教学研究
考试指导
2017 年全国课标卷 I 理科第 21 题的多种解法
湖北省黄石市第一中学 杨瑞强 435000
摘 要：对 2017 年全国课标卷 I 理科第 21 题，第（2）问给出了三种不同解法 . 关键词：课标卷；理科；解法
1 题目呈现 已 知 函 数 f (x) = ae2x + (a - 2)ex - x .（1）