七年级数学下册第4章因式分解43用乘法公式分解因式校本作业浙教版

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2019年春七年级数学下册第4章因式分解4.3第1课时用平方差公式分解因式练习新版浙教版

4.3 用乘法公式分解因式第1课时用平方差公式分解因式知识点1平方差公式分解因式把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，得a2－b2＝(a＋b)(a－b)．两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式，这种方法叫运用平方差公式法．1．把下列多项式分解因式：(1)x2－36；(2)36－25y2；(3)(x＋p)2－(x＋q)2.一提公因式与平方差公式综合运用把下列各式分解因式：(1)18a2－8b2；(2)a5－81ab4.[归纳总结] (1)用平方差公式分解因式的条件：①二次(能写成平方的形式)；②异号．(2)对于多项式中的两部分不是很明显的平方形式，应先变形为平方形式，再运用公式进行因式分解，以免出现16a2－9b2＝(16a＋9b)·(16a－9b)的错误．(3)还要注意不要出现分解后又乘开的现象．(4)因式分解应遵循：一提二公式．同时因式分解需彻底．二尝试用平方差公式进行简便运算教材作业题第3题变式题用简便方法计算：(1)3142－2142；(2)3.14×752－3.14×252.探究三平方差公式分解因式的应用教材补充题如图4－3－1所示，在半径为R的大圆内部挖去四个半径为r的小圆．(1)用含R，r的式子表示剩余部分的面积S；(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，应用分解因式的知识计算剩余部分的面积(结果保留π)．图4－3－1[反思] 判断下列分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．①4a2－1＝(4a－1)(4a＋1)；②(x－y)2－4x2＝x2－2xy＋y2－4x2＝－3x2－2xy＋y2.1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( )A．－m4－n4B．－16x2＋y2C．1.21－a2D．9a2－64b22．将整式9－x2分解因式的结果是( )A．(3－x)2B．(3＋x)(3－x)C．(9－x)2D．(9＋x)(9－x)3．将多项式x3－xy2分解因式，结果正确的是( )A．x(x2－y2) B．x(x－y)2C．x(x＋y)2D．x(x＋y)(x－y)4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，则这个多项式是( )A．4a2－b2B．4a2＋b2C．－4a2－b2D．－4a2＋b25．观察下面4个分解因式的过程：(1)(x－3)2－y2＝x2－6x＋9－y2；(2)a2－4b2＝(a＋4b)(a－4b)；(3)4x6－1＝(2x3＋1)(2x3－1)；(4)m4n2－9＝(m2n＋3)(m2n－3)；(5)－a2－b2＝(－a＋b)(－a－b)．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．某同学粗心大意，在分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )A．8，1 B．16，2C．24，3 D．64，8二、填空题7．xx·嘉兴、舟山分解因式：a2－9＝__________．8．xx·长沙分解因式：x2y－4y＝________．9．xx·荆门分解因式：(m＋1)(m－9)＋8m＝________．10．xx·株洲因式分解：x2(x－2)－16(x－2)＝____________________．11．已知58－1能被20～30之间的两个整数整除，则这两个整数是________．三、解答题12．分解因式：(1)a3－16a；(2)16(a＋b)2－9(a－b)2；(3)m4(m－2)＋16(2－m)．13.用简便方法计算：(1)6.42－3.62；(2)1.42×16－2.22×4.14．设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．n(m>2n)的小正方形．(1)用含m，n的式子表示剩余部分的面积S；(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，利用分解因式计算剩余部分的面积．图4－3－2详解详析【预习效果检测】1．解：(1)x2－36＝x2－62＝(x＋6)(x－6)．(2)36－25y2＝62－(5y)2＝(6＋5y)(6－5y)．(3)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q)．【重难互动探究】例1[解析] 分解因式时，要先观察多项式，有公因式的要先提取公因式再考虑是否符合公式．解：(1)18a2－8b2＝2(9a2－4b2)＝2(3a＋2b)(3a－2b)．(2)a5－81ab4＝a(a4－81b4)＝a(a2＋9b2)(a2－9b2)＝a(a2＋9b2)(a＋3b)(a－3b)．例2解：(1)原式＝(314＋214)×(314－214)＝52800.(2)原式＝3.14×(752－252)＝3.14×(75＋25)×(75－25)＝15700.例3[解析] 剩余部分的面积为大圆面积减去四个小圆的面积．解：(1)剩余部分的面积为S＝πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)．(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，S＝π(R＋2r)(R－2r)＝π(35＋2×12.5)×(35－2×12.5)＝π·60×10＝600π(cm2)．【课堂总结反思】[反思] 两个均不正确．改正：①4a2－1＝(2a)2－12＝(2a－1)(2a＋1)．②(x－y)2－4x2＝(x－y)2－(2x)2＝(x－y－2x)·(x－y＋2x)＝－(x＋y)(3x－y)．【作业高效训练】[课堂达标]1．A 2.B3．[解析] D x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．4．D 5.B 6.B7．[答案] (a＋3)(a－3)8．[答案] y(x＋2)(x－2)9．[答案] (m－3)(m＋3)10．[答案] (x－2)(x－4)(x＋4)11．[答案] 26，24[解析] 58－1＝(54＋1)(52＋1)(52－1)，因为52＋1＝26，52－1＝24，所以这两个数是26，24. 12．解：(1)原式＝a(a＋4)(a－4)．(2)原式＝(7a＋b)(a＋7b)．(3)原式＝m4(m－2)－16(m－2)＝(m－2)(m4－16)＝(m－2)(m2＋4)(m2－4)＝(m－2)(m2＋4)(m＋2)(m－2)＝(m－2)2(m＋2)(m2＋4)．13．[解析] 利用平方差公式简化计算过程．解：(1)6.42－3.62＝(6.4＋3.6)(6.4－3.6)＝10×2.8＝28.(2)1.42×16－2.22×4＝(1.4×4)2－(2.2×2)2＝5.62－4.42＝(5.6＋4.4)(5.6－4.4)＝10×1.2＝12.14．解：原式＝(2n＋1)2－52＝(2n＋1＋5)(2n＋1－5)＝(2n＋6)(2n－4)＝4(n＋3)(n－2)，即(2n＋1)2－25能被4整除．[数学活动][解析] 剩余部分的面积为大正方形的面积减去四个小正方形的面积．解：(1)S＝m2－4n2＝(m＋2n)(m－2n)．(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，S＝(m＋2n)(m－2n)＝(13.2＋3.4×2)(13.2－3.4×2)＝20×6.4＝128(厘米2)．所以剩余部分的面积为128平方厘米．。

浙教版七(下)数学第4章《因式分解》 4.3 用乘法公式分解因式第2课时校本作业(含答案)

4.3 用乘法公式分解因式（第2课时）课堂笔记两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的倍，等于这两数和（或者差）的平方. 即a 2+2ab +b 2=（a +b ）2； a 2-2ab +b 2=（a -b ）2.注意：一般地，利用公式a 2-b 2=（a -b ）（a +b ），或a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法. 公式中的a ，b 可以是数，也可以是整式.分层训练A 组基础训练1. 下列各式是完全平方式的是（）A. x 2-x +1B. 4x 2+4xy +1C. x 2+xy +41y 2 D. x 2-4xz +z 2 2. （长春中考）把多项式x 2-6x +9分解因式，结果正确的是（）A ．（x -3）2B ．（x -9）2C ．（x +3）（x -3） D. （x +9）（x -9）3. 若等式x 2-x +k =（x -21）2成立，则k 的值是（） A. 21 B. -41 C. 41 D. ±41 4. 把代数式ax 2-4ax +4a 分解因式，下列结果中正确的是（）A. a （x -2）2B. a （x +2）2C. a （x -4）2D. a （x +2）（x -2）5. 如果A （5a +2b ）=25a 2+20ab +4b 2，则A 等于（）A. 5a +2bB. 5a -2bC. 5a +2ab +2bD. a 2-2b 26. 已知正方形的面积是（16-8x +x 2）cm 2（x >4），则正方形的周长是（）A ．（4-x ）cmB ．（x -4）cmC ．（16-4x ）cmD ．（4x -16）cm7. 下列多项式中，①x 2+2xy +4y 2；②a 2-2a +3；③41x 2-xy +y 2；④m 2-（-n ）2可以进行因式分解的个数有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8. 分解因式，若5a 2+ma +51=5（a -51）2，则m 的值是（） A. -2B. 2C. 52D. -529. 在括号内填入适当的数或单项式.（1）9a 2-（）+b 2=（ -b ）2；（2）x 4+4x 2+（）=（）2；（3）p 2-3p +（）=（p - ）2；（4）（a -b ）2-2（a -b ）+1=（ -1）2.10. 多项式a 3c -4a 2bc +4ab 2c 因式分解的结果是 .11. 若x =156，y =144，则多项式21x 2+xy +21y 2= . 12．填空：（1）分解因式：x 2－4x ＋4＝．（2）4x 2 ＋9y 2＝（）2.（3）若4x 2＋mx ＋25是一个完全平方式，则实数m ＝．（4）分解因式：x 3＋2x 2＋x ＝．（5）分解因式：a 2－2ab ＋b 2－1= ．13. 多项式9x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是（填上一个你认为正确的即可）.14. 把下列各式分解因式：（1）x 2+8x +16；（2）-4x 2+12xy -9y 2；（3）94m 2+34mn +n 2；（4）a 3+2a 2+a ；（5）（a +b ）2-18（a +b ）+81；（6）（x 2+2x ）2+2（x 2+2x ）+1.15. 利用因式分解计算下列各式：（1）872+87×26+132；（2）20182-4034×2018+20172.B 组自主提高16．把下列各式分解因式：（1）3x 2－12xy ＋12y 2；（2）a 2－ab ＋41b 2；（3）－2x 3＋24x 2－72x ；（4）9（p －q ）2－6p ＋6q ＋1；（5）（x 2－7）2－4（x 2－7）＋4.17. （1）已知b -a =-3，ab =-2，求-21a 3b +a 2b 2-21ab 3的值.（2）已知x 2+y 2-2x +6y +10=0，求x +y 的值.C组综合运用18.问题背景：对于形如x2-120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x-60）2，对于二次三项式x2-120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2-120x加上一项602，使它与x2-120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2-120x+3456=x2-2×60x+602-602+3456=（x-60）2-144=（x-60）2-122=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）.问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式：x2-140x+4756；（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，长为a+2b，求这个长方形的宽．参考答案【课堂笔记】2【分层训练】1—5. CACAA 6—8. DBA9. （1）6ab 3a （2）4 x 2+2 （3）49 23 （4）a -b 10. ac （a -2b ）211. 4500012. （1）（x －2）2 （2）±12xy 2x ±3y （3）±20（4）x （x ＋1）2 （5）（a －b ＋1）（a －b －1）13. 6x 或-6x 或481x 4 14. （1）（x +4）2 （2）-（2x -3y ）2 （3）（32m +n ）2 （4）a （a +1）2 （5）（a +b -9）2 （6）（x +1）415. （1）10000 （2）116. （1）原式＝3（x 2－4xy ＋4y 2）＝3（x －2y ）2（2）原式＝a 2－2·a ·21b ＋（21b ）2＝（a －21b ）2 （3）原式＝－2x （x 2－12x ＋36）＝－2x （x －6）2（4）原式＝9（p －q ）2－6（p －q ）＋1＝[3（p －q ）－1]2＝（3p －3q －1）2（5）原式＝（x 2－7－2）2＝（x 2－9）2＝[（x ＋3）（x －3）]2 ＝（x ＋3）2（x －3）217. （1）-21a 3b +a 2b 2-21ab 3=-21ab （a 2-2ab +b 2）=-21ab （a -b ）2=9 （2）由题意，得（x 2-2x +1）+（y 2+6y +9）=0，（x -1）2+（y +3）2=0. ∵（x -1）2与（y +3）2的值都是非负数，∴（x -1）2=0且（y +3）2=0，∴x =1，y =-3，∴x +y =-2.18. （1）x 2-140x +4756=x 2-2×70x +702-702+4756=（x -70）2-144=（x -70）2-122=（x -70+12）（x -70-12）=（x -58）（x -82）（2）∵a 2+8ab +12b 2=a 2+2×a ×4b +（4b ）2-（4b ）2+12b 2=（a +4b ）2-4b 2=（a +4b +2b ）（a +4b -2b ）=（a +2b ）（a +6b ），∴长为a +2b 时这个长方形的宽为a +6b.。

七年级数学下册第4章因式分解4.3用乘法公式分解因式作业设计浙教版

4.3 用乘法公式分解因式一．选择题（共5小题）1．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2﹣4 B．x2﹣2x﹣1 C．x2﹣4x+4 D．x2+4x+12．将下列多项式因式分解后，结果不含因式x﹣1的是（）A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）2C．x2﹣2x+1 D．x2﹣2x3．多项式①4x2﹣x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）；③1﹣x2；④﹣4x2﹣1+4x，分解因式后，结果中含有相同因式的是（）A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③4．代数式（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）c+4c2可以写成（）A．（a﹣3b+3c）2B．（a﹣3b﹣2c）2C．（a+3b+2c）2D．（a+3b﹣2c）2 5．下列多项式中，不能进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1二．填空题（共5小题）6．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为5=22+12，所以5是一个“完美数”．（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”；（2）已知M是一个“完美数”，且M=x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为．7．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式例如，由图（1）可得等式：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为．（第7题图）8．当k=时，有k2+k﹣1=0，则k3= ．9．已知a，b，c为三角形ABC的三边，且a4﹣b4=c2（a2+b2），则三角形ABC为三角形10．已知a=2005x+2006，b=2005x+2007，c=2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc= ．三．解答题（共22小题）11．（1）化简：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2；（2）利用（1）题的结论，且a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．12．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b（b＜）米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．（1）用代数式表示草坪的面积；（2）先对上述代数式进行因式分解再计算当a=15，b=2.5时草坪的面积．（第12题图）13．因式分解：（1）x3﹣4x；（2）（2m﹣n）2﹣6n（2m﹣n）+9n2．14．定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a=，b=1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a=m﹣4，b=﹣m，证明“如意数”c≤0．15．已知a（a+1）﹣（a2+2b）=1，求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值．参考答案一．1．C 2．D 3．D 4．B 5．B二．6．（1）13；（2）36 7．（a+b）（2a+b） 8．﹣2 9．直角 10．3 三．11．（1）解：原式=a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+c2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；（2）解：原式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2] 当a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，∴原式=×[（﹣1）2+（﹣1）2+22]=3．12．解：（1）剩余部分的面积为（a2﹣4b2）平方米；（2）当a=15，b=2.5时，a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）=（15+5）（15﹣5）=200（平方米）．13．解：（1）原式=x（x2﹣4）=x（x+2）（x﹣2）；（2）原式=[（2m﹣n）﹣3n]2=（2m﹣4n）2=4（m﹣2n）2．14．解：（1）c=ab+a+b=++1=2+1；（2）c=ab+a+b=（m﹣4）（﹣m）+m﹣4+（﹣m）=4m﹣m2﹣4，=﹣（m﹣2）2≤0，即c≤0．15．解：a（a+1）﹣（a2+2b）=1，a2+a﹣a2﹣2b﹣1=0，a﹣2b=1，a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b，=（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b），=12﹣2×1，=﹣1．。

【新浙教版】七年级数学下册第四章因式分解4.3《用乘法公式分解因式二》练习(含答案)

4.3 用乘法公式分解因式(二)A 组1．填空：(1)分解因式：x 2－4x ＋4＝(x －2)2．(2)分解因式：4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2．(3)若4x 2＋mx ＋25是一个完全平方式，则实数m ＝±20．(4)分解因式：2x 2－4x ＋2＝2(x －1)2．(5)分解因式：x 3＋2x 2＋x ＝x(x ＋1)2．2．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是(C )A. m ＋1＋m 24B. －x 2＋2xy －y 2C. －a 2＋14ab ＋49b 2D. n 29－23n ＋1 3．把多项式x 2－6x ＋9分解因式，结果正确的是(A )A. (x －3)2B. (x －9)2C. (x ＋3)(x －3)D. (x ＋9)(x －9)4．分解因式：(1)x 2－x ＋14. 【解】原式＝x 2－2·x ·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122. (2)a 2－12ab ＋116b 2.【解】原式＝a 2－2·a ·14b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －14b 2. (3)9m 2－6mn ＋n 2.【解】原式＝(3m )2－2·(3m )·n ＋n 2＝(3m －n )2.5．把下列各式分解因式：(1)3x 2－12xy ＋12y 2.【解】原式＝3(x 2－4xy ＋4y 2)＝3(x －2y )2.(2)－2x 3＋24x 2－72x .【解】原式＝－2x (x 2－12x ＋36)＝－2x (x －6)2.(3)(a ＋b )2－12(a ＋b )－36.【解】原式＝[(a ＋b )－6]2＝(a ＋b －6)2.(4)2m 2＋2m ＋12. 【解】原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m ＋14 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋122. 6．用简便方法计算：(1)9992＋2×999＋1.【解】原式＝9992＋2×999×1＋12＝(999＋1)2＝10002＝1000000.(2)552－110×45＋452.【解】原式＝552－2×55×45＋452＝(55－45)2＝102＝100.B组7．若(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝8，则x2＋y2的值为__4__．【解】∵(x2＋y2)(x2＋y2－2)＝8，∴(x2＋y2)2－2(x2＋y2)＝8，(x2＋y2)2－2(x2＋y2)＋1＝9，∴(x2＋y2－1)2＝9，∴x2＋y2－1＝3或x2＋y2－1＝－3，∴x2＋y2＝4或x2＋y2＝－2.∵x2＋y2≥0，∴x2＋y2＝4.8．分解因式：(1)(a2＋1)2－4a2.【解】原式＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)＝(a＋1)2(a－1)2.(2)81＋x4－18x2.【解】原式＝x4－18x2＋81＝(x 2)2－2·x 2·9＋92＝(x 2－9)2＝[(x ＋3)(x －3)]2＝(x ＋3)2(x －3)2.9．(1)已知x 2＋4x ＋y 2＋2y ＋5＝0，求x y 的值．【解】x 2＋4x ＋y 2＋2y ＋5＝0，x 2＋4x ＋4＋y 2＋2y ＋1＝0，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0，∴x ＋2＝0且y ＋1＝0，∴x ＝－2，y ＝－1，∴x y ＝(－2)－1＝－12. (2)已知a ＋b ＝3，ab ＝2，求代数式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值．【解】a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3＝ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝ab (a ＋b )2＝2×32＝18.10．阅读材料，并回答问题：分解因式：x 2－120x ＋3456.分析：由于常数项数值较大，可以把x 2－120x ＋3456变为平方差的形式进行分解，这样就简便易行．解：x 2－120x ＋3456＝x 2－2×60x ＋3600－3600＋3456＝(x －60)2－144＝(x－60)2－122＝(x－60＋12)(x－60－12)＝(x－48)(x－72)．请按照上面方法分解因式：x2－16x－561.【解】x2－16x－561＝x2－16x＋64－64－561＝(x－8)2－625＝(x－8)2－252＝(x－8＋25)(x－8－25)＝(x＋17)(x－33)．11．已知(a＋2b)2－2a－4b＋1＝0，求(a＋2b)2018的值．【解】∵(a＋2b)2－2a－4b＋1＝0，∴(a＋2b)2－2(a＋2b)＋1＝0，∴(a＋2b－1)2＝0，∴a＋2b－1＝0，∴a＋2b＝1，∴(a＋2b)2018＝12018＝1.数学乐园12．阅读材料，并回答问题：分解因式：x4＋4.分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用乘法公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，且都是数或式的平方和的形式的特点，添加了一项4x2组成完全平方公式，然后将4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)·(x2－2x＋2)．人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲·热门的做法，将下面各式分解因式：(1)x4＋4y4. (2)x2－2ax－b2－2ab.【解】(1)x4＋4y4＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2＝(x2＋2y2)2－(2xy)2＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy)．(2)x2－2ax－b2－2ab＝x2－2ax＋a2－a2－2ab－b2＝(x－a)2－(a＋b)2＝[(x－a)＋(a＋b)][(x－a)－(a＋b)]＝(x＋b)(x－2a－b)．。

浙教版七(下)数学第4章《因式分解》 4.3 用乘法公式分解因式第1课时校本作业(含答案)

4.3 用乘法公式分解因式（第1课时）课堂笔记两个数的平方差，等于这两个数的与这两个数的的积. 即a2-b2=（a+b）（a-b）. 分层训练A组基础训练1. 下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A. 2x2+y2B. -x2+y2C. -x2-y2D. x3+（-y）22. 把多项式-4n2+m2分解因式，其结果正确的是（）A. （m+2n）（m-2n）B. （m+2n）2C. （m-2n）2D. （2n+m）（2n-m）3. 下列因式分解中，正确的有（）①4x2-1=（4x+1）（4x-1）②m2-n2=（m+n）（m-n）③-16+9x2=（4+3x）（-4+3x）④a2+（-b）2=（a+b）（a-b）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积是（）A．11cm2B．20cm2C．110cm2D．200cm25. （金华中考）把代数式2x2-18分解因式，结果正确的是（）A. 2（x2-9）B. 2（x-3）2C. 2（x+3）（x-3）D. 2（x+9）（x-9）6. 下列各式不是多项式x3-x的因式的是（）A. xB. 3x-1C. x-1D. x+17．小敏是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：乡、爱、我、家、游、美，现将（x2－y2）a2－（x2－y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A. 我爱美B. 家乡游C. 爱我家乡D. 美我家乡8．小华在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，且能利用平方差公式分解因式，他抄到作业本上的式子是x□-4y2（□表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种9. 填空：（1）36x 2y 2-49a 2=（）2-（）2；（2）-4n 2+m 2=（）2-（）2；（3）m 4- =（m 2+5）（m 2- ）.10．（杭州中考）若整式x 2+ky 2（k 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是（写出一个即可）.11．已知x +y =2，则x 2-y 2+4y = ．12. 分解因式：9x 2（a -b ）+y 2（b -a ）= .13. 把下列各式分解因式：（1）1-16x 2；（2）-n 2+0.81m 2；（3）925x 2-64y 2；（4）（a +b ）2-4；（5）4m 2-（m +n ）2. （6）a 4-b 4；（7）x 3y 2-x 3；（8）25（m +n ）2-81（m -n ）2.14. 用简便方法计算：（1）552- 452；（2）9941×10043；（3）已知a +2b =5，a -2b =3，求5a 2-20b 2的值.B组自主提高15. 两个偶数的平方差，一定是（）A. 2B. 4C. 8D. 4的倍数16. 如图，某筑路工程队需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径d=120cm，外径D=150cm，长L=200cm. 利用分解因式计算：浇筑一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（π取3.14，结果精确到0.1m3）.17. 阅读题：我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2-1）即1，原式的值不变，而且还使整个算式能运用平方差公式计算，解答过程如下：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=…=264-1.你能用上述方法算出下列式子的值吗？请试试看.（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）.C组综合运用18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．参考答案【课堂笔记】和差【分层训练】1—6. BABCC 6. B7. C 【点拨】原式＝（x 2－y 2）（a 2－b 2）＝（x ＋y ）（x －y ）（a ＋b ）（a －b ）． ∵x ＋y ，x －y ，a ＋b ，a －b 四个代数式分别对应我、爱、家、乡，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我家乡”．8. D9. （1）6xy 7a （2）m 2n （3）25 510. 答案不唯一，如-1，-4等11. 412. （a -b ）（3x +y ）（3x -y ）13. （1）（1+4x ）（1-4x ）（2）（0.9m +n ）（0.9m -n ）（3）（35x +8y ）（35x -8y ）（4）（a +b +2）（a +b -2）（5）（3m +n ）（m -n ）（6）（a -b ）（a +b ）（a 2+b 2）（7）x 3（y +1）（y -1）（8）4（7m -2n ）（7n -2m ）14. （1）1000 （2）9999167 （3）75 15. D16. 所需混凝土为[π（2D ）2-π（2d ）2]L =πL （2D -2d ）（2D +2d ）≈3.14×200（75-60）（75+60）=1271700（cm 3）=1.2717（m 3）≈1.3（m 3）. 所以浇筑一节这样的管道需要1.3立方米的混凝土.【点拨】混凝土的立方数即为图中阴影部分的体积，亦即大圆柱体与小圆柱体的体积差.17. 原式=21（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=21（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=…=21×（332-1）=21332 . 18. （1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：36=102-82，2016=1008×2；（2）∵两个连续偶数为2k +2和2k （k 为自然数），∵（2k +2）2-（2k ）2=（2k +2+2k ）（2k +2-2k ）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22-02）+（42-22）+（62-42）+…+（502-482）=502=2500. 故答案：2500．。

2022年最新浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解章节练习试题(含答案解析)

初中数学七年级下册第四章因式分解章节练习（2021-2022学年考试时间：90分钟，总分100分）班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________一、单选题（15小题，每小题3分，共计45分）1、下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（）A.﹣a 2﹣ab ﹣ac =﹣a （a +b +c ）B.x 2+x +1=（x +1）2﹣x C.（x +2）（x ﹣1）=x 2+x ﹣2 D.a 2+b 2=（a +b ）2﹣2ab 2、下列各式中，正确的因式分解是（）A.2222()()a b ab c a b c a b c -+-=+---B.2()()()(1)x y x y x y x y ----=---+C.2()3()(23)()a b a b a a a b -+-=+-D.222422(222)(1)x x y x y x y ++-=+++-3、下列各式中，因式分解正确的是（）A.()22121x x x x ++=++B.()()22a b a b a b +=+-C.()222412923a ab b a b ++=+D.()231x x x x -=- 4、下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（）A.2161x +B.221x x +-C.214x x -+D.2224a ab b +-5、下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A.ax ＋bx ＋c ＝（a ＋b ）x ＋cB.（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C.（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2D.a 2﹣5a ﹣6＝（a ﹣6）（a ＋1） 6、下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A.x 2+4＝（x +2）2B.x 2﹣10x +16＝（x ﹣4）2C.x 3﹣x ＝x （x 2﹣1）D.2xy +6y 2＝2y （x +3y ）7、小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x ﹣1，a ﹣b ，3，x 2+1，a ，x +1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，现将3a （x 2﹣1）﹣3b （x 2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A.我爱学B.爱新化C.我爱新化D.新化数学 8、下面的多项式中，能因式分解的是（）A.2m ﹣2B.m 2+n 2C.m 2﹣nD.m 2﹣n +1 9、下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A.ab +bc +b ＝b （a +c ）+bB.a 2﹣9＝（a +3）（a ﹣3） C.（a ﹣1）2+（a ﹣1）＝a 2﹣a D.a （a ﹣1）＝a 2﹣a 10、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A.2x x x =⋅B.()()()()a x y b y x x y a b ---=-+C.()()2224a a a +-=-D.()222241221x y xy xy x y +-=+-11、下列式子的变形是因式分解的是（）A.() m x y mx my +=+B.()22 21441x x x -=-+ C.()()2 1343x x x x ++=++ D.()3 11x x x x x -=+-（）12、下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）A.222a ab b ++B.22a b --C.22a b +D.22a b -13、已知222(3)x ax b x -+=-，则22b a - 的值是（）A.72-B.45-C.45D.7214、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A.x 2+2x ﹣1＝(x ﹣1)2B.(a +b )(a ﹣b )＝a 2﹣b 2C.x 2+4x +4＝(x +2)2D.ax 2﹣a ＝a (x 2﹣1) 15、下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A.2x （x ﹣1）＝2x 2﹣2xB.4m 2﹣n 2＝（4m +n ）（4m ﹣n ） C.﹣x 2+2x ＝﹣x （x ﹣2） D.x 2﹣2x +3＝x （x ﹣2）+3 二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、边长为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为__．2、小明将（2020x +2021）2展开后得到a 1x 2+b 1x +c 1；小红将（2021x ﹣2020）2展开后得到a 2x 2+b 2x +c 2，若两人计算过程无误，则c 1﹣c 2的值是__________．3、若20182019a x =+，20182020b x =+，20182021c x =+，则多项式222a b c ab ac bc ++---的值为______________．4、若多项式x 2+ax +b 可分解为(x +1)(x +4)，则a ＝________，b ＝________．5、因式分解：22416a b _______．6、如果9x y +=，3x y -=，那么222x 2y -的值为______．7、已知a ＝2b ﹣5，则代数式a 2﹣4ab ＋4b 2﹣5的值是_____．8、请从24a ，2()x y +，16，29b 四个式子中，任选两个式子做差得到一个多项式，然后对其进行因式分解是_____________________．9、因式分解：256x x --=______．10、分解因式：3mn 2﹣12m 2n ＝___．三、解答题（3小题，每小题5分，共计15分）1、因式分解：（1）2a 2b ﹣8ab 2+8b 3．（2）a 2（m ﹣n ）+9（n ﹣m ）．（3）81x 4﹣16．（4）（m 2+5）2﹣12（m 2+5）+36．2、如果一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“同花数”，比如：3，22，666，8888，对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“异花数”．将一个“异花数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为()F n ．如123n =，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132．这三个新三位数的和()213321132666F n =++=，是一个“同花数”．（1）计算：()432F ，()716F ，并判断它们是否为“同花数”；（2）若a 是“异花数”，证明：()F a 等于a 的各数位上的数字之和的111倍；（2）若“数”10010n p q =++（中p 、q 都是正整数，19p ≤≤，19q ≤≤），且()F n 为最大的三位“同花数”，求n 的值．3、（1）因式分解：()()29x m n n m -+-（2）解方程组：92153410x y x y +=⎧⎨+=⎩---------参考答案-----------一、单选题1、A【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案；【详解】解：A 、把一个多项式转化成了几个整式的积，故A 符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积，故B 不符合题意；C 、是整式的乘法，故C 不符合题意；D 、没把一个多项式转化成几个整式积，故D 不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式积.2、B【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案.【详解】解：A .2222()()a b ab c a b c a b c -+-=-+--，故此选项不合题意；B .2()()()(1)x y x y x y x y ----=---+，故此选项符合题意；C .()()()()2323a b a b a a a b -+-=--，故此选项不合题意；D .()()222422211x x y x y x y ++-=+++-，故此选项不合题意；故选：B .【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键.3、C【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案.【详解】解：A .2221(1)x x x ++=+，故此选项不合题意；B .22a b +，无法分解因式，故此选项不合题意；222.4129(23)C a ab b a b ++=+，故此选项符合题意；D .32(1)(1)(1)x x x x x x x -=-=-+，故此选项不合题意；故选：C .【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用提取公因式法以及公式法分解因式是解题关键.4、C【分析】根据完全平方公式的特点判断即可；【详解】2161x +不能用完全平方公式，故A 不符合题意；221x x +-不能用完全平方公式，故B 不符合题意；221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，能用完全平方公式，故C 符合题意；22+-不能用完全平方公式，故D不符合题意；a ab b24故答案选C.【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键.5、D【分析】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可.【详解】解：A、ax＋bx＋c＝（a＋b）x＋c，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；D、a2﹣5a﹣6＝（a﹣6）（a＋1），等式的右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故此选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了分解因式的定义.解题的关键是掌握分解因式的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.6、D【分析】根据因式分解的方法解答即可.【详解】解：A、x2+4≠（x+2）2，因式分解错误，故此选项不符合题意；B 、x 2-10x +16≠（x -4）2，因式分解错误，故此选项不符合题意；C 、x 3-x =x （x 2-1）=x （x +1）（x -1），因式分解不彻底，故此选项不符合题意；D 、2xy +6y 2=2y （x +3y ），因式分解正确，故此选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了因式分解的方法，明确因式分解的结果应是整式的积的形式.运用提公因式法分解因式时，在提取公因式后，不要漏掉另一个因式中商是1的项.7、C【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案.【详解】解：()()223131a x b x --- ()()231x a b =--()()()311x x a b =+--，∵x ﹣1，a ﹣b ，3，x 2+1，a ，x +1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，∴结果呈现的密码信息可能是：我爱新化，故选：C .【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和套用平方差公式.8、A【分析】分别根据提公因式法因式分解以及乘法公式逐一判断即可.【详解】解：A、2m﹣2＝2（m﹣1），故本选项符合题意；B、m2+n2，不能因式分解，故本选项不合题意；C、m2﹣n，不能因式分解，故本选项不合题意；D、m2﹣n+1，不能因式分解，故本选项不合题意；故选A.【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法.9、B【分析】根据因式分解的定义逐项排查即可.【详解】解：根据因式分解的定义可知：A、C、D都不属于因式分解，只有B属于因式分解.故选B.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解.10、B【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.根据定义即可进行判断.【详解】解：A.2x x x =⋅，单项式不能因式分解，故此选项不符合题意；B.()()()()a x y b y x x y a b ---=-+，是因式分解，故此选项符合题意；C.()()2224a a a +-=-，是整式计算，故此选项不符合题意；D.()222241221x y xy xy x y +-=+-，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：B.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义.解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算.11、D【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，由此结合选项即可作出判断.【详解】解：A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D 、是因式分解，故本选项正确；故正确的选项为：D【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，属于基础题.12、D【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解：A、a2＋2ab＋b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解.B、−a2−b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；C、a2＋b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；D、a2−b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；故选：D.【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键.平方差公式：a2−b2＝（a＋b）（a−b）.13、D【分析】直接利用完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，得出a，b的值，进而得出答案.【详解】解：∵x2﹣2ax+b＝（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，∴﹣2a＝﹣6，b＝9，解得：a＝3，故b2﹣a2＝92﹣32＝72.故选：D.【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确记忆完全平方公式是解题关键.14、C【分析】根据因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解分别进行判断，即可得出答案.【详解】A. x2+2x﹣1≠(x﹣1)2，故A不符合题意；B. a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)，故B不符合题意；C. x2+4x+4＝(x+2)2，是因式分解，故C符合题意；D. ax2﹣a＝a(x2﹣1)=a(x+1)(x-1)，分解不完全，故D不符合题意；故选：C.【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义.15、C【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.根据定义即可进行判断.【详解】解：A.2x（x﹣1）＝2x2﹣2x，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B.4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），故此选项不符合题意；C.﹣x2+2x＝﹣x（x﹣2），把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；D.x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：C.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义.解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算.二、填空题1、70【分析】直接利用长方形的周长和面积公式结合提取公因式法分解因式计算即可.【详解】解：依题意：2a+2b=14，ab=10，则a+b=7∴a2b+ab2=ab（a+b）=70；故答案为：70【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出a+b和ab的值是解题关键.2、4041【分析】根据（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212得到c1＝20212，同理可得c2＝20202，所以c1-c2=20212-20202，进而得出结论.【详解】解：∵（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212，∴c1=20212，∵（2021x-2020）2=（2021x）2-2×2020×2021x+20202，∴c2=20202，∴c1-c2=20212-20202=（2021+2020）×（2021-2020）=4041，故答案为：4041.【点睛】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，解决本题的关键是要熟悉公式的结构特点.3、3【分析】将多项式多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac分解成12[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，再把a，b，c代入可求.【详解】解：20182019201820201a b x x-=+--=-；20182020201820211b c x x-=+--=-；20182019201820212a c x x-=+--=-；∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝12（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝12[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝12（1+4+1）＝3；故答案为：3.【点睛】本题考查了因式分解的应用，关键是将多项式配成完全平方形式.4、5 4【分析】把(x+1)(x+4)展开，合并同类项，可确定a、b的值.【详解】解：∵(x+1)(x+4)，=244x x x+++，=254x x ++，∴54a b ==，；故答案为：5，4.【点睛】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，解题关键是熟练运用多项式的乘法法则进行计算，取得字母的值.5、422a b a b【分析】先提公因式4，再利用平方差公式分解.【详解】解：22416a b -=2244a b=422a b a b故答案为：422a b a b .【点睛】本题考查提公因式法和公式法进行因式分解，掌握提平方差公式是解题关键.6、54【分析】先利用平方差公式分解因式，再代入求值，即可.【详解】解：222x 2y -=()222x y -=()()2x y x y +-=2×9×3=54，故答案是：54.【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式，进行分解因式，是解题的关键.7、20【分析】将a =2b -5变为a -2b =-5，再根据完全平方公式分解a 2-4ab +4b 2-5=（a -2b ）2-5，代入求解.【详解】解：∵a =2b -5，∴a -2b =-5，∴a 2-4ab +4b 2-5=（a -2b ）2-5=（-5）2-5=20.故答案为：20.【点睛】此题考查的是代数式求值，掌握完全平方公式是解此题的关键.8、4a 2-16=4（a -2）（a +2）【分析】任选两式作差，例如，4a 2-16，运用平方差公式因式分解，即可解答.【详解】解：根据平方差公式，得，4a 2-16，=（2a ）2-42，=（2a -4）（2a +4），=4（a -2）（a +2）故4a 2-16=4（a -2）（a +2），故答案为：4a 2-16=4（a -2）（a +2）.【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式；属于基础题. 9、()()16x x +-【分析】根据十字相乘法分解即可.【详解】解：256x x --=()()16x x +-，故答案为：()()16x x +-.【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键.10、3mn (n －4m )【分析】根据提公因式法进行分解即可.【详解】3mn 2－12m 2n =3mn (n －4m ).故答案为：3mn (n －4m ).【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法分解因式是解题的关键.三、解答题1、（1）2b(a-2b) 2；（2）（m﹣n）（ a+3）（a-3）；（3）（3x+2）（3x-2）（9x2+4）；（4）（m+1）2（m-1）2【分析】（1）先提取2b，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）先提取（m﹣n），再利用平方差公式分解因式即可；（3）利用平方差公式分解因式，即可；（4）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式即可.【详解】解：（1）原式=2b(a2-4ab+4b2)=2b(a2-4ab+4b2)=2b(a-2b) 2；（2）原式=a2（m﹣n）-9（m﹣n）=（m﹣n）（ a2-9）=（m﹣n）（ a+3）（a-3）；（3）原式=（9x2﹣4）（9x2+4）=（3x+2）（3x-2）（9x2+4）；（4）原式=[（m2+5）-6]2=（m2-1）2=（m+1）2（m-1）2.【点睛】本题主要考查分解因式，熟练掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键.2、（1）(432)F 是同花数；(716)F 不是同花数；（2）见解析；（3）n 为162或153或135或126【分析】（1）由“同花数”定义，计算即可得到答案；（2）百位数的表示方法；（2）由“异花数”的定义，()F n 为最大的三位“称心数”得()999F n =且19p q ++=，计算n 的值为162或153或135或126.【详解】解：（1）(432)342234423999F =++=，(432)F ∴是同花数；(716)1676177611554F =++=，(716)F ∴不是同花数；（2）若a 是“异花数”10010a b c d ∴=++，（其中,,b c d 均为小于10的正整数），[]()100()10()()111()F a b c d b c d b c d b c d ∴=++++++++=++，()F a ∴等于a 的各数位上的数字之和的111；（３）异花数” 10010n p q =++，100110n p q ∴=⨯++，又19p ，19(q p ，q 为正整数），()F n 为最大的三位“同花数”，()999F n ∴=且19p q ++=，p ∴、q 取值如下：62p q =⎧⎨=⎩或53p q =⎧⎨=⎩或35p q =⎧⎨=⎩或26p q =⎧⎨=⎩，由上可知符合条件三位“异花数”n 为162或153或135或126.【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是读懂新定义“同花数”和“异花数”.3、（1）()()()33m n x x -+-；（2）4332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】（1）先提公因式()m n -，再利用平方差公式即可；（2）利用加减消元法先消去x ，求出y ，再将y 的值代入求出x ，进而确定方程组的解即可.【详解】解：（1）原式2()9()x m n m n =---2()(9)m n x =--()(3)(3)m n x x =-+-；（2）92153410x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②3⨯-①得，1015y =，32y ∴=，把32y =代入②得. 3610x +=，43x ∴=， ∴原方程组的解为4332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，二元一次方程组的解，掌握平方差公式的结构特征以及二元一次方程组的解法是正确解答的关键.。

用乘法公式分解因式(分层练习)-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课堂(浙教版)

第4章因式分解4.3 用乘法公式分解因式精选练习（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）1. 下列因式分解正确的是（）A. ()222x xy y x y ++=+ B. ()()25623x x x x --=--C. ()3244x x x x -=- D. ()()22943232m n m n m n -=+-（2023春·七年级课时练习）2. 用分组分解2222a b c bc --+的因式，分组正确的是（）A. ()()222a b b bc --- B. ()2222a b c ab --+C. ()()2222a b c bc --- D. ()2222a b c bc -+-（2023春·广东佛山·七年级佛山市第四中学校联考阶段练习）3. 如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长为b 的正方形卡片4张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A. 2+a bB. 4a b +C. 2a b +D. 3a b +（2023春·全国·七年级专题练习）4. 已知2022202020212021202120202022x -=⨯⨯，则x 的值为（）A. 2023B. 2022C. 2021D. 2020（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）5. 已知3b a -=，2ab =，计算：22a b ab -等于（）A. 6-B. 6C. 5D. 1-（2023春·七年级课时练习）6. 已知120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，那么，代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（）A. 2022-B. 2022C. 3-D. 3（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）7. 若+=3,+=1a b x y ，则代数式22+2++2 015a ab b x y －－的值是（）A. 2019B. 2017C. 2024D. 2023（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）8. 已知多项式224A x x n =++，多项式222633B x x n =+++．（1）2B A -≥；（2）若A B +=，4A B ⋅=-，则8A B -=-；（3）代数式22591262032A B A B A +-⋅-+的最小值为2023．以上结论正确的个数有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（2022·湖南湘潭·校考一模）9. 分解因式：2288x x -+=_____．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）10. 如图，长与宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则32232a b a b ab ++的值为________．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）11. 当12s t -=时，代数式22242s st t -+的值为______________．（2023春·全国·七年级专题练习）12. 若2310x x x +++=，则23201920201x x x x x ++++⋯++的值________．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）13. 阅读材料：对于任何实数，我们规定符号a b c d 的意义是a b ad bc c d=-，例如：121423234=⨯-⨯=-，按照这个规定请你计算：当2440x x -+=时，12123x x x x +--的值是__________．（2023春·江苏·七年级专题练习）14. 阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：()()22356x x x x ++=++；()()21323x x x x -+=+-．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：()()256=23x x x x ++++；()()223=13x x x x --++．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子223x x +-分解因式．这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()3=13--⨯，一次项系数()2=13-+，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：()()223=13x x x x --++．利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）2710=x x ++_______________；（2）223=x x --_________________；（3）2712=y y +-_________________；（4）2718=x x -+______________________．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）15. 因式分解：（1）22432a c c ac --+（2）()224216a b b --（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）16. 因式分解：（1）22()9()a x yb y x -+-（2）()222224x y x y +-（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）17. 阅读材料：教科书中提到“222a ab b ++和222a ab b -+这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：分解因式：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x --=-+-=--=-+--=+-求代数式223x x --的最小值()2222321414x x x x x --=-+-=--∵()210x -≥，∴当1x =时，代数式223x x --有最小值4-．结合以上材料解决下面的问题：（1）分解因式：267x x --；（2）当a ，b 为何值时，222242023a ab b b -+++有最小值？最小值是多少？（2023秋·重庆黔江·八年级统考期末）18. 阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由()()()2x p x q x p q x pq ++=+++得，()()()2x p q x pq x p x q +++=++；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子256x x ++分解因式．分析：这个式子的常数项623=⨯，一次项系数523=+，所以()22562323x x x x ++=+++⨯．解：()()25623x x x x ++=++．请依照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：2712x x ++；（2）分解因式：()()222332x x -+--；（3）若28x px +-可分解为两个一次因式的积，请写出整数p 的所有可能的值．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）19. （1）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形（如图1），把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a ，b 的等式①______．（2）【知识迁移】在边长为a 的正方体上挖去一个边长为b 的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．根据它们的体积关系得到关于a ，b 的等式为②33a b -=______．（结果写成整式的积的形式）（3）【知识运用】已知4a b -=，3ab =，求33a b -的值．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）20. 提出问题：你能把多项式256x x ++因式分解吗？探究问题：如图1所示，设a ，b 为常数，由面积相等可得：22()()()x a x b x ax bx ab x a b x ab ++=+++=+++，将该式从右到左使用，就可以对形如2()x a b x ab +++的多项式进行进行因式分解即2()()()x a b x ab x a x b +++=++．观察多项式2()x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：2256(23)23(3)(2)x x x x x x ++=+++⨯=++运用结论：（1）基础运用：把多项式2524x x --进行因式分解．（2）知识迁移：对于多项式24415x x --进行因式分解还可以这样思考：将二次项24x 分解成图2中的两个2x 的积，再将常数项15-分解成5-与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为4x -，就是24415x x --的一次项，所以有24415(25)(23)x x x x --=-+．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：231914x x --（2023春·七年级课时练习）21. 将下列多项式因式分解，结果中不含因式(2)x +的是（）A. 224x x +B. 2312x -C. 26x x +- D. 2(2)8(2)16x x -+-+（2023·浙江宁波·校考一模）22. 如果328x ax bx +++能被232x x ++整除，则b a 的值是（）A. 2 B. 12 C.3 D. 13（2023春·全国·七年级专题练习）23. 计算22222111111111123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）．A. 512 B. 12 C. 712 D. 1130（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）24. 已知2211244m n n m +=--，则22m n -的值为（）A. 2- B. 0 C. 1- D. 14-（2023·全国·九年级专题练习）25. 已知当22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，且20m n -+≠，则当1x m n =++时，多项式246x x ++的值等于（）A. 439 B. 1399 C. 3 D. 11（2023春·七年级单元测试）26. 对于两个整式，22,A a ab B b ab =+=+，有下面四个结论：（1）当2,3a b ==时，A 的值为10；（2）当7,9A m B m =+=-时，则4a b +=；（3）当0A a =≠时，则1a b +=；（4）当248A B b ab -=+时，则2a b =-或6a b =；以上结论正确的有（）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）27. 在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =时，则各个因式的值是：()0x y -=，()18x y +=，()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式329x xy -，取10x =，1y =时，用上述方法生成的密码可以是（）A. 101001B. 1307C. 1370D. 10137（2022秋·河南周口·八年级校考期末）28. 设m 、n 是实数，定义一种新运算：2()m n m n ⊗=-．下面四个推断正确的是（）A. m n n m⊗=⊗ B. 222()m n m n ⊗=⊗C. ()()m n p m n p ⊗⊗=⊗⊗ D. ()()()m n p m n m p ⊗-=⊗-⊗（2023·陕西渭南·统考一模）29. 因式分解：22x y y xy +-=________．（2023春·浙江·七年级专题练习）30. 利用配方法因式分解：22232a a a a +-=++______()2414a -=+-=______；（2023春·广东深圳·七年级坪山中学校考阶段练习）31. 已知12a a +=-，则441a a-的值是_____．（2023春·八年级课时练习）32. 已知2217m m +=（0m >），则代数式326103m m m -++=_____．（2023春·八年级课时练习）33. 若a 、b 是ABC 的两条边的长度，且满足226825a b a b +--=-，则ABC 面积的最大值是__________．（2022秋·全国·八年级专题练习）34. 阅读下面材料：分解因式：2232453x xy y x y +++++．因为()()22322x xy y x y x y ++=++，设()()22324532x xy y x y x y m x y n +++++=++++．比较系数得，425m n m n +=+=，．解得13m n ==，．所以()()2232453123x xy y x y x y x y +++++=++++．解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2222111343x xy y x y ---+-=________．（2023春·浙江·七年级专题练习）35. 分解因式：（1）264a bc ab-（2）333x x -+（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）36. 因式分解（1）()()2294a x y b y x -+-（2）()2222214x y x y +-（2023·河北石家庄·统考一模）37. 发现：若两个已知正整数之差为奇数，则它们的平方差为奇数?若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数．验证：如()22232+-=______________，()22343+-=______________．探究：设“发现”中的两个已知正整数为n ，n m +（两数之差为m ）．请论证“发现”中的结论的正确性．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）38. 如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为cm a 的大正方形，两块是边长都为cm b 的小正方形，五块是长为cm a 、宽为cm b 的小长方形．（1）这张长方形大铁皮的长为____cm ，宽为_____cm ；（用含a 、b 的代数式表示）（2）求这张长方形大铁皮的面积S ；（用含a 、b 的代数式表示）（3）若一个小长方形的周长为22cm ，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为233cm ，求a 、b 的值，并求这张长方形大铁皮的面积S ．（2023春·七年级课时练习）39. 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：268a a ++．原式()()()()()2269131313124a a a a a a a =++-=+-=+-++=++②若222222M a ab b b =-+-+，利用配方法求M 的最小值：()()22222222222221111a ab b b a ab b b b a b b -+-+=-++-++=-+-+∵()20a b -≥，()210b -≥，∴当1a b ==时，M 有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：24a a ++______．（2）若231M a a =-+，求M 的最小值．（3）已知2222246130a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）40. 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到()()22232a b a b a ab b ++=++．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式______；（2）猜测()2a b c d +++=______．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知12a b c ++=，48ab bc ca ++=，求222a b c ++的值；（4）在（3）的条件下，若a 、b 、c 分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．第4章因式分解4.3 用乘法公式分解因式精选练习（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的方法进行逐一判断即可．【详解】解：A 、22x xy y ++不能进行因式分解，不符合题意；B 、()()25661x x x x --=-+，原因式分解错误，不符合题意；C 、()()()324422x x x x x x x -=-=+-，原因式分解错误，不符合题意；D 、()()22943232m n m n m n -=+-，因式分解正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．（2023春·七年级课时练习）【2题答案】【答案】D【解析】【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：2222a b c bc--+()2222a b c bc =-+-()22a b c =--()()a b c a b c =+--+．故选：D ．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第四中学校联考阶段练习）【3题答案】【答案】A【解析】【分析】计算大正方形的面积，因式分解即可得到边长．【详解】解：大正方形的面积为()222442a b ab a b ++=+，∴大正方形的边长为2+a b ，故选：A ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确理解题意列得面积进行因式分解是解题的关键．（2023春·全国·七年级专题练习）【4题答案】【答案】D【解析】【分析】原式先提取公因式，再运用平方差公式进行计算即可求解．【详解】解：2022202020212021- ()20202202120211=⨯-()()202020212021120211=⨯+⨯-2020202220212020=⨯⨯，又2022202020212021202220212020x -=⨯⨯ ，2020202220212020202220212020x ∴⨯⨯=⨯⨯，2020x ∴=．故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）【答案】A【解析】【分析】先提取公因式ab ，再化为()ab b a --，再整体代入求值即可．【详解】解：∵3b a -=，2ab =，∴()()22236a b ab ab a b ab b a -=-=--=-⨯=-，故选：A【点睛】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“提公因式分解因式”是解本题的关键．（2023春·七年级课时练习）【6题答案】【答案】D【解析】【分析】先求解1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦，再代入求值即可．【详解】解：∵120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，∴1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，∴222a b c ab bc ac++---()=++---22212222222a b c ab bc ac ()()()22212a b b c a c =-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()11142=++ 3=；故选D ．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）【答案】D【解析】【分析】把所给代数式变形后把+=3,+=1a b x y 代入计算即可．【详解】解：∵+=3,+=1a b x y ，∴22+2++2 015a ab b x y －－()()2+2 015a b x y =+-+231+2 015=-2023=．故选D ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）【8题答案】【答案】C【解析】【分析】（1）把A ，B 代入化简后，根据完全平方公式变形为()()221111x n ++++≥，故（1）错误；（2）根据完全平方公式的变形可得8A B -=±，再由1B A -≥，可得8A B -=-，故（2）正确；（3）根据完全平方公式变形为()()2223320232023A B A -+-+≥，故（3）正确，即可．【详解】解：（1）()()222226334x x n B A x x n +++--+=+222226334x x n x x n =--+-++222223x x n n +++=+22221211x x n n +++++=+()()22111x n +++=+1≥，故（1）错误；（2）∵A B +=，∴()248A B +=，即22248A AB B +⋅+=∵4A B ⋅=-，∴2256A B +=，∴()222264A B A A B B -=-⋅+=，∴8A B -=±，∵1B A -≥，∴0A B -<，∴8A B -=-，故（2）正确；（3）22591262032A B A B A +-⋅-+2224129692023A AB B A A =-⋅++-++()()222332023A B A =-+-+2023≥，故（3）正确；故选：C【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形及其应用，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．（2022·湖南湘潭·校考一模）【9题答案】【答案】()222x -【解析】【分析】先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：原式()2244x x -=+()222x =-．故答案为：()222x -．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．（2022秋·河南安阳·八年级统考期末）【10题答案】【答案】490【解析】【分析】利用面积公式得到10ab =，由周长公式得到7a b +=，所以将原式因式分解得出()2ab a b +．将其代入求值即可．【详解】解：∵长与宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，∴10,7ab a b =+=，∴()()2322322222107490a b a b ab ab a ab b ab a b ++=++=+=⨯=．故答案为：490【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）【11题答案】【答案】12【解析】【分析】将所求式子因式分解，再整体代入计算即可．【详解】解：∵12s t -=，∴22242s st t -+()2222s st t =-+()22s t =-2122⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭12=故答案为：12．【点睛】此题主要考查了代数式求值，因式分解，正确将原式变形得出是解题关键．（2023春·全国·七年级专题练习）【12题答案】【答案】1【解析】【分析】对所求代数式每相邻四项为一组提取公因式，然后代入已知条件式进行求解即可．【详解】解：2310x x x +++= ，∴原式()()()234567820172018201920201x x x x x x x x x x x x =+++++++++⋯++++()()()235232017231111x x x x x x x x x x x x =+++++++++⋯++++1000=+++⋯+1=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关键是把原式每相邻的四项提取公因式，此题难度不大．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）【13题答案】【答案】1-【解析】【分析】根据：2440x x -+=时，可得：2(2)0x -=，据此求出x 的值是多少，进而求出12123x x x x +--的值是多少即可．【详解】解：2440x x -+= 时，2(2)0x ∴-=，20x ∴-=，解得2x =，∴12123x xx x +--3411=3141=⨯-⨯34=-1=-故答案为：1-．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2023春·江苏·七年级专题练习）【14题答案】【答案】 ①. ()()25x x ++ ②. ()()31x x -+ ③.()()34y y -- ④. ()()92x x +-【解析】【分析】根据题意，（1）将式子2710x x ++分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项10=25⨯，一次项系数7=25+；（2）将式子223x x --分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()3=13-⨯-，一次项系数()2=1+3--；（3）将式子2712y y -+分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()()12=34-⨯-，一次项系数()7=3+4---；（4）将式子2718x x +-分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()18=29--⨯，一次项系数7=2+9-．【详解】（1）将式子2710x x ++分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项10=25⨯，一次项系数7=25+，∴()()2710=25x x x x ++++．（2）将式子223x x --分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()3=13-⨯-，一次项系数()2=1+3--，∴()()223=31x x x x ---+．（3）将式子2712y y -+分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()()12=34-⨯-，一次项系数()7=3+4---，∴()()2712=34y y y y +---．（4）将式子2718x x +-分解因式，这个式子的二次项系数是1=11⨯，常数项()18=29--⨯，一次项系数7=2+9-，∴()()2718=92x x x x -++-．故答案为：（1）()()25x x ++，（2）()()31x x -+，（3）()()34y y --，（4）()()92x x +-．【点睛】本题主要考查了因式分解－十字相乘法，根据题意可知a 、b 是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a 、b 的值是解题的关键．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛市第五十七中学校考期中）【15题答案】【答案】（1）()22c a c --（2）()44a a b -【解析】【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．【小问1详解】解：22432a c c ac --+()2222c a c ac =-+-()22c a c =--；【小问2详解】()224216a b b --()22424a b b ⎡⎤=--⎣⎦()()42222a b b a b b =-+--()44a a b =-【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．（2022春·山东青岛·八年级山东省青岛第七中学校考期中）【16题答案】【答案】（1）()()()33x y a b a b -+-（2）()()22x y x y +-【解析】【分析】（1）先提公因式()x y -，然后根据平方差公式进行计算即可求解；（2）先根据完全平方公式展开，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．【小问1详解】解：22()9()a x y b y x -+-()()229x y a b =--()()()33x y a b a b =-+-；【小问2详解】解：()222224x y x y +-42242224x x y y x y =++-()222x y =-()()22x y x y =+-．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法以及乘法公式是解题的关键．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）【17题答案】【答案】（1）()()17+-x x ；（2）2a b ==-时，最小值为2019．【解析】【分析】（1）将多项式加9再减9，利用配方法可得；（2）将多项式配方后可得结论．【小问1详解】解：267x x --26916x x =-+-()2234x =--()()3434x x =-+--()()17x x =+-；【小问2详解】解：222242023a ab b b -+++2222442019a ab b b b =-+++++()()2222019a b b =-+++，∵()20a b -≥，()220b +≥，∴当0a b -=，20b +=，即2a b ==-时，原代数式有最小值，最小值为2019．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．（2023秋·重庆黔江·八年级统考期末）【18题答案】【答案】（1）()()34++x x（2）()()()()2211x x x x +-+-（3）7±，2±【解析】【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）将23x -看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得；（3）找出所求满足题意p 的值即可．【小问1详解】解：()()271234x x x x ++=++【小问2详解】解：原式()()223132x x =---+()()2241x x =--()()()()2211x x x x =+-+-；【小问3详解】解：若28x px +-可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能的值是：817-+=-；187-+=；242-+=；422-+=-，即整数p 的所有可能的值是：7±，2±．【点睛】此题考查了因式分解——十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．（2023秋·云南昆明·八年级统考期末）【19题答案】【答案】【知识再现】()()22a b a b a b -=+-；【知识迁移】()()22a b a ab b -++；【知识运用】100．【解析】【分析】（1）由题意可知，图1 阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，图2剪拼后一个长方形长为()a b +，宽为()a b -，据此列等式即可得到答案；（2）由题意可知，图3的体积为大正方形体积减小正方形体积，图4切割拼成的几何体正面面积为()22a ab b ++，高为()a b -，据此列等式即可得到答案；（3）先利用完全平方公式求出2222a b +=，再根据结论对33a b -进行变形，即可计算求值．【详解】（1）【知识再现】解：根据题意可得：()()22a b a b a b -=+-，故答案为：()()22a b a b a b -=+-；（2）【知识迁移】解：根据题意可得：()()3322a b a b a ab b -=-++，故答案为：()()22a b a ab b -++；（3）【知识运用】4a b -= ，3ab =，()222216622a b a b ab ∴+=-+=+=，()()()33224223425100a b a b a ab b ∴-=-++=⨯+=⨯=．【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用数形结合的方法解决问题是解题关键．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）【20题答案】【答案】（1）()()83x x -+（2）327()()x x +-【解析】【分析】（1）把24-拆成83-⨯即可；（2）把23x 拆成3x x ⋅，把-14拆成()27⨯-即可．【小问1详解】解：()()2524 83x x x x --=-+；【小问2详解】解：231914(32)(7)x x x x --=+-．【点睛】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．（2023春·七年级课时练习）【21题答案】【答案】C【解析】【分析】将四个选项的式子分别进行因式分解，即可作出判断．【详解】A 、2242(2)x x x x +=+，故该选项不符合题意；B 、223123(4)3(2)(2)x x x x -=-=+-，故该选项不符合题意；C 、26(2)(3)x x x x +-=-+，故该选项符合题意；D 、()()222(2)8(2)16242x x x x -+-+=-+=+，故该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．（2023·浙江宁波·校考一模）【22题答案】【答案】A【解析】【分析】先把232x x ++因式分解为(2)(1)x x ++，找到进而得到21--，是方程328=0x ax bx +++的根，代入整理得2b a =，计算即可解题．【详解】解：∵232=(2)(1)x x x x ++++∴328x ax bx +++能被(2)(1)x x ++整除，即21--，是方程328=0x ax bx +++的根，∴84280180a b a b -+-+=⎧⎨-+-+=⎩，解得20a b -=，∴2b a =，∴=2b a，故选A ．【点睛】本题考查整除问题，转化为求方程的解是解题的关键．（2023春·全国·七年级专题练习）【23题答案】【答案】C【解析】【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯，712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）【24题答案】【答案】A【解析】【分析】首先根据2211244m n n m +=--，可得：()()2222m n ++-＝0，据此求出m 、n 的值各是多少，然后代入即可．【详解】解：2211244m n n m +=-- ，22448m n n m ∴+--=，()()2244440m m n n +-∴+++=，()()22220m n ∴++-=，20m ∴+=，20n -=，解得：2m =-，2n =，22m n∴-11=--2=-．故选：A ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，熟练掌握解题的方法是解题的关键．（2023·全国·九年级专题练习）【25题答案】【答案】C【解析】【分析】根据22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，得到20m n -+=或20m n ++=，由20m n -+≠，得到20m n ++=，推出=1x -，即可得解．【详解】∵22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，∴()()()()222242262426m n m n m n m n ++++++=++++，∴()()222422m n m n ++=++，∴()()2202422m n m n +-++=+∴()()242224220m n m n m n m n +++++++---=，即：()()3220m n m n ++-+=，∴20m n -+=或20m n ++=，∵20m n -+≠，∴20m n ++=，当1x m n =++时，=1x -，∴()()224614163x x ++=-+⨯-+=；故选C ．【点睛】本题考查代数式求值．解题的关键是利用整体思想，求出x 的值．（2023春·七年级单元测试）【26题答案】【答案】C【解析】【分析】将2,3a b ==代入代数式即可判断（1）计算()2A B a b +=+，又16A B +=根据平方根的定义即可判（2），利用因式分解即可判断（3）（4）．【详解】解：22,A a ab B b ab=+=+（1）当2,3a b ==时，A =2222310a ab +=+⨯=,故（1）正确；（2）∵()222A B a ab ab b a b +=+++=+又当7,9A m B m =+=-时，16A B +=∴4a b +=±，故（2）不正确（3）∵()2A a ab a a b =+=+，当0A a =≠时，则1a b +=；故（3）正确（4）∵222244434A B a ab b ab a ab b -=+--=--当248A B b ab -=+时，则222348a ab b b ab--=+∴224120a ab b --=即()()260a b a b +-=∴2a b =-或6a b =，故（4）正确；故选：C ．【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，整式的加减，正确的计算是解题的关键．（2022秋·北京·八年级校考阶段练习）【27题答案】【答案】D【解析】【分析】首先对多项式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算，即可确定出密码．【详解】解：329x xy -()229x x y =-()()33x x y x y =+-，当10x =，1y =时，10x =，310313x y +=+=，31037x y -=-=，∴上述方法生成的密码可以是10137．故选：D【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出产生密码的方法是解本题的关键．（2022秋·河南周口·八年级校考期末）【28题答案】【答案】A【解析】【分析】各式利用题中的新定义判断即可．【详解】解：根据题中的新定义得：A ．()2m n m n ⊗=-，()2n m n m ⊗=-，故推断正确；B ．()()2242()m n m n m n ⎡⎤⊗=-=-⎣⎦，()()()()()22222222m n m n m m m n m n n n =-=+-=+-⎡⎤⎣⎦⊗，故推断不正确；C ．()()222()m n p m n p m n p ⎡⎤⊗⊗=-⊗=--⎣⎦，()()222()m n p m n p m n p ⎡⎤⊗⊗=⊗-=--⎣⎦，故推断不正确；D ．()()22()m n p m n p m n p ⊗-=--=-+⎡⎤⎣⎦，()()()()()()()()22()()2m n m p m n m p m n m p m n m p m n p p n ⊗-⊗=---=-+----=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故推断不正确．故选：A ．【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键．（2023·陕西渭南·统考一模）【29题答案】【答案】()21y x -【解析】【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解．【详解】解：()()2222211x y y xy y x x y x +-=-+=-，故答案为：()21y x -．【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．（2023春·浙江·七年级专题练习）【30题答案】【答案】①. 1 ②. ()()31a a +-【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式求解即可．【详解】解：223a a +-2214a a =++-()214a =+-()()1212a a =+++-()()31a a =+-，故答案为：1；()()31a a +-．【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．（2023春·广东深圳·七年级坪山中学校考阶段练习）【31题答案】【答案】0【解析】【分析】利用完全平方公式进行计算即可求得221a a +和1a a -的值，再将441a a-利用平方差公式进行因式分解，即可求解．【详解】解： 12a a +=-，2221124a a a a ⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，2212a a ∴+=，又 222112a a a a ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，210a a ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，10a a ∴-=．422242*********a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=++-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴．故答案为：0．【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解，解题的关键是灵活运用完全平方公式和平方差公式，注意整体带入的思想．（2023春·八年级课时练习）【32题答案】【答案】6【解析】【分析】先将2217m m +=变形为219⎛⎫+= ⎪⎝⎭m m ，再根据0m >得出13m m +=即231m m -=-，最后对326103m m m -++进行因式分解即可求解．【详解】解：∵2217m m +=，∴221272m m ++=+，∴219⎛⎫+= ⎪⎝⎭m m ，∵0m >，∴13m m+=，∴231m m -=-，∵326103m m m -++3223393m m m m m =--+++()()()23333m m m m m =---++()()()2333m m m m =--++()()313m m =-⨯-++33m m =-+++6=，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了完全平方公式及因式分解，掌握完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．（2023春·八年级课时练习）【33题答案】【答案】6【解析】【分析】利用因式分解得到()()22340a b -+-=，利用非负性，求出,a b 的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可．【详解】解：∵226825a b a b +--=-，∴2268250a b a b +--+=∴()()22340a b -+-=，∵()()2200,34a b ≥--≥，∴30,40a b -=-=，∴3,4a b ==，设：,AC b BC a ==，∵直角三角形的斜边大于直角边，∴BC 边上高AC ≤，∴当AC BC ⊥时，ABC 的面积最大，最大值为1134622ab =⨯⨯=；故答案为：6．【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．（2022秋·全国·八年级专题练习）【34题答案】【答案】()()23111x y x y +--+【解析】【分析】先用十字相乘法分解因式得到()()2222111211x xy y x y x y --=+-，再设()()2222111343211x xy y x y x y m x y n ---+-=++-+，比较系数得到211134m n m n +=--+=，，解方程组即可求解．【详解】解：∵()()2222111211x xy y x y x y --=+-，设 ()()2222111343211x xy y x y x y m x y n ---+-=++-+，比较系数得，211134m n m n +=--+=，，解得31m n =-=，，∴()()222211134323111x xy y x y x y x y ---+-=+--+，故答案为：()()23111x y x y +--+．【点睛】本题考查分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．（2023春·浙江·七年级专题练习）【35题答案】【答案】（1）2(32)ab ac -（2）3(1)(1)x x x +-【解析】【分析】（1）用提公因式法因式分解即可；（2）先用提公因式，再根据平方差公式分解因式即可．【小问1详解】264a bc ab-解：原式2(32)ab ac =-【小问2详解】333x x -+解：原式23(1)x x =-3(1)(1)x x x =+-【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）【36题答案】【答案】（1）()()()3232a b a b x y +--（2）()()2211xy xy -+【解析】【分析】（1）先提取公因式()x y -，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【小问1详解】解：()()2294a x y b y x -+-()()2294a x y b x y =---()()2294a b x y =--()()()3232a b a b x y =+--；【小问2详解】解：()2222214x y x y +-()()22221212x y xy x y xy =+++-()()2211xy xy =-+．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．（2023·河北石家庄·统考一模）【37题答案】【答案】验证：21，40；探究：见解析【解析】【分析】验证：；根据算式计算出结果即可；探究：根据完全平方公式，合并同类项法则计算，再分解因式即可求解；【详解】解：验证：()22222325225421+-=-=-=；()22223437349940+-=-=-=；故答案为：21，40探究：()22n m n +-()2222222n nm m n nm m m n m =++-=+=+当m 为奇数时，2n 为偶数，则2n m +为奇数，所以()2m n m +为奇数；当m 为偶数时，2n 为偶数，则2n m +为偶数，所以()2m n m +为偶数；【点睛】本题考查了完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）【38题答案】【答案】（1）()2a b +，()2b a +（2）22252a ab b ++（3）7a =，4b =，2270cm 【解析】【分析】（1）根据图形可知张长方形大铁皮长为(2)cm a b +，宽为(2)cm a b +；（2）根据长方形面积公式即可求出面积表达式；（3）根据题意列出方程，联立求值．【小问1详解】解：这张长方形大铁皮长为(2)a b +厘米，宽为(2)b a +厘米；故答案为：(2)a b +，(2)b a +；【小问2详解】根据题意得：2222(2)(2)422252a b b a ab a b ab a ab b ++=+++=++（平方厘米）；【小问3详解】根据题意得：2()22a b +=，2233a b -=，整理得：11a b +=，()()33a b a b +-=，解得：3a b -=，7a ∴=，4b =，225221409832270ab a b ∴++=++=，则这张长方形大铁皮的面积为270平方厘米．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，解答本题的关键是理解题意，列出等式方程．（2023春·七年级课时练习）【39题答案】【答案】（1）4。

2019年春七年级数学下册第4章因式分解4.3第2课时用完全平方公式分解因式课件浙教版

4.3 用乘法公式分解因式
勤反思
小结
完全平方公式
特征
运用完全平方公式分解因式
运用完全平方公式简化运算
4.3 用乘法公式分解因式
反思
判断下面分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．
a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)．
解：不正确．改正：a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)＝ab(a－1)2.
4.3 用乘法公式分解因式
筑方法
类型一用完全平方公式分解因式
例1 教材例3变式题用完全平方公式进行因式分解：
(1)9m2＋24mn＋16n2；(2)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4.
解： (1)9m2＋24mn＋16n2＝(3m＋4n)2.
(2)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4＝(x－2)2－4(x－2)＋4＝(x－2－2)2＝(x－4)2.
解：(1)x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2. (2)16a4－8a2＋1＝(4a2)2－2×4a2×1＋12＝(4a2－1)2＝(2a＋1)2(2a－1)2.
4.3 用乘法公式分解因式
【归纳总结】因式分解的一般步骤 (1)观察多项式是否存在公因式； (2)若提取公因式后的式子是两项或三项，则考虑是否符合平方差公式或完全平方公式的特点； (3)检查每个因式是否分解彻底．
第4章
4.3
分解因式
用乘法公式分解因式
第4章因式分解
第2课时
用完全平方公式分解因式
学知识筑方法
勤反思
4.3 用乘法公式分解因式
学知识
知识2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数即两数的________

浙教版2019年七年级数学下册第4章因式分解4.3第2课时用完全平方公式分解因式练习(含答案)

2.
2
当 x＝ 156，y＝ 144 时，
原式＝
1 2×（156＋ 144)
2 ＝45000.
[ 点评 ]
本题应先把
x2 的系数
1 2提出来，使其他各项的系数均为整数．
并且分解因式要分解到每个因
7
16．解：－ a4b2＋ 4a3b3－ 4a2 b4＝－ a2b2(a 2－ 4ab＋4b2) ＝－ a2b2(a － 2b) 2.
4.3 用乘法公式分解因式
第 2 课时用完全平方公式分解因式
知识点 1 完全平方公式分解因式由完全平方公式可得： a2＋ 2ab＋b2＝ (a ＋ b) 2， a2－ 2ab＋ b2＝(a － b) 2. 即两数的平方和，加上 ( 或者减去 ) 这两数的积的 2 倍，等于这两数和 ( 或者差 ) 的平方． 1．把下列各式分解因式： (1)a 2－ 8a＋ 16；
分解因式： x 4＋4.
4
解： x ＋ 4
＝x 4＋4x 2＋ 4－ 4x2
＝(x 2＋ 2) 2－ 4x2
＝(x 2＋ 2x＋ 2)(x 2－ 2x＋ 2) ．
以上解法中，在 x 4＋ 4 的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使原式的值保持不变，必须减
去同样的一项．按照这个思路，试把多项式
2
＝(x － y－ 5) . (4)(x 2＋ 4) 2－ 16x2 ＝(x 2＋ 4＋ 4x)(x 2＋ 4－ 4x) ＝(x ＋ 2) 2(x －2) 2. (5) 原式＝ (x 2－2x＋ 1) 2 ＝[(x － 1) 2] 2 ＝(x － 1) 4. 14．解： (1)96 2＋96×8＋ 16 ＝962＋2×96×4＋ 42 ＝(96 ＋ 4) 2

浙教版七年级下册第4章《因式分解》单元练习题解析版

第4章因式分解单元训练一、选择题（共10小题）.1．下列因式分解正确的是（）A ．x 2﹣3x +1＝x （x ﹣3）B ．x 2﹣6＝（x ﹣2）（x +3）C ．（x +1）（x ﹣1）＝x 2﹣1D ．a 2﹣4ab +4b 2＝（a ﹣2b ）2 2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A ．x 2+2x +3=(x +1）2+2B ．(x +y )(x -2y )=x 2 - xy - 2y 2C ．-3x 2+ 12y 2= -3(x + 2y )(x -2y )D ．2(x +y )=2x +2y3．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A ．2222x y x y +++ B ．2222x y xy ++- C ．2244x y x y -++ D ．2244x y y -+- 4．下列各式：①﹣x 2﹣y 2；②﹣14a 2b 2+1； ③a 2+ab +b 2； ④﹣x 2+2xy ﹣y 2；⑤14﹣mn +m 2n 2，用公式法分解因式的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 5．多项式24ax a -与多项式244x x ++的公因式是（）A ．2x +B ．2x -C ．22x -D ．()22x - 6．下列各式是完全平方式的是（）A ．x 2－x ＋14B ．1－x 2C ．x 2＋2xy ＋1D ．x 2＋2xy －y 2 7．计算20202021(2)(2)-+-所得的结果是（）．A ．20202-B ．20212-C ．20202D ．-2 8．若因式分解()()231x ax x x b +-=-+，则a 的值是（）A ．3-B ．2-C ．2D ．49．若3m n +=，则222425m mn n ++-的值为（）A ．13B ．18C ．5D ．110．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（）A ．56B ．60C ．62D ．88二、填空题（共4小题）.11．分解因式：2164x _________．12．分解因式：2x 2﹣2x +12＝_____． 13．已知12xy =，3x y -=-，则22x y xy -＝______． 14．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：2232a ab b ++=______．三、解答题15．因式分解（1）29x - （2）2(1)22x x --+16．将下列各式因式分解：（1）24()()x x y y x -+- （2）2215x x +-17．把下列多项式分解因式：（1）22442a ab b ac bc ++-- （2）222ax bx bx ax cx cx +++++（3）222222a b x y ay bx --+-+ （4）()()()222241211y x y x y +--+-18．已知221x x ++是多项式32x x ax b -++的一个因式，求a ，b 的值，并将该多项式因式分解．19．如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）．（1）请用不同的式子表示图丁的面积（写出两种即可）；（2）根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．20．若一个正整数a 可以表示为(1)(2)a b b =+-，其中b 为大于2的正整数，则称a 为“十字数”，b 为a 的“十字点”．例如28(61)(62)74=+⨯-=⨯．（1）“十字点”为7的“十字数”为；130的“十字点”为；（2）若b 是a 的“十字点”，且a 能被(1)b -整除，其中b 为大于2的正整数，求a 的值；（3）m 的“十字点”为p ，n 的“十字点”为q ，当18m n -=时，求p q +的值．参考答案1．D【详解】解：A 、原式不能分解，不符合题意；B 、原式＝（x ）（x ），不符合题意；C 、原式＝x 2﹣1，不是分解因式，不符合题意；D 、原式＝（a ﹣2b ）2，符合题意．故选：D ．2．C【详解】解：A 、该选项等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意； B 、该选项是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、是因式分解，故此选项符合题意；D 、该选项是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义即：等式的左边是一个多项式，等式的右边是几个整式的积．3．A【分析】根据因式分解的方法与步骤进行判断即可【详解】解：A ．原式不能分解，符合题意；B ．原式2()2(x y x y x y =+-=++-，不符合题意；C ．原式()()4()()(4)x y x y x y x y x y =+-++=+-+，不符合题意；D ．原式22(2)(2)(2)x y x y x y =--=+--+，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的关键，注意实数范围内分解因式时2要写成2．4．B【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．【详解】解：①-x 2-y 2=-(x 2+y 2)，因此①不能用公式法分解因式；②-14a 2b 2+1=1-(12ab )2=(1+12ab )(1-12ab )，因此②能用公式法分解因式； ③a 2+ab +b 2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；④﹣x 2+2xy ﹣y 2=-(x 2﹣2xy +y 2)=-(x -y )2，因此④能用公式法分解因式； ⑤14-mn +m 2n 2=(12-mn )2，因此⑤能用公式法分解因式；综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故选：B ．5．A【分析】分别将多项式24ax a -与多项式244x x ++进行因式分解，再寻找他们的公因式是2x +．【详解】解：∵()()224(4)22ax a a x a x x -=-=+- 又∵()22442x x x ++=+∴多项式24ax a -与多项式244x x ++的公因式是2x +．故选A ．【点睛】本题主要考查的是公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式．6．A【分析】根据完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2，对比公式逆用即可．【详解】解：A 选项中x 2－x ＋211=42x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ，C ，D 选项中的多项式均不符合完全平方公式的结构故选：A【点睛】本题考查利用完全平方公式进行因式分解，关键是对完全平方公式的熟练掌握． 7．A【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．【详解】(−2)2020+(−2)2021=(−2)2020×(1−2) =−22020 ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键．8．C【分析】根据因式分解的定义可直接进行求解．【详解】解：由()()231x ax x x b +-=-+可得：()2231x ax x b x b +-=+--， ∴1,3a b b =-=，∴2a =；故选C ．【点睛】本题主要考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解是解题的关键．9．A【分析】先将代数式前三项利用完全平方公式适当变形，然后将3m n +=代入计算即可．【详解】解：222425m mn n ++-()22=225m mn n ++-()2=2+5m n -∵3m n +=∴原式223-5=13=⨯【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式．做此类题，首先必须做到心中牢记公式的“模型”，在此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了．10．B【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合．【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，A、若4(2m+1)=56，解得m=132，错误；B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；C、若4(2m+1)=62，解得m=294，错误；D、若4(2m+1)=88，解得m=212，错误；故选：B．【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键．11．4(2x+1)(2x-1)．【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式分解．【详解】解：原式=4（4x2-1）=4（2x+1）（2x-1），故答案为4（2x+1）（2x-1）．本题考查因式分解的应用，熟练掌握各种因式分解的方法并灵活运用是解题关键． 12．2（x ﹣12）2．【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可．【详解】解：2x 2﹣2x +12 ＝2（x 2﹣x +14）＝2（x ﹣12）2．故答案为：2（x ﹣12）2．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 13．32- 【分析】提取22x y xy -的公因式因式分解，再代入求值即可.【详解】解：22()x y xy xy x y -=-，将12xy =，3x y -=-代入()xy x y -， ∴13()=(3)22xy x y -⨯-=-，故答案为：32-．【点睛】本题考查了整式的化简求值；能提取公因式将整式化简是解决本题的关键．14．()()2a b a b ++．【分析】根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式．【详解】解：由面积可得：()()22a 3ab 2b a 2b a b ++=++．故答案为()()a 2b a b ++．【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键．15．（1）()()33x x +-；（2）()()13x x --【分析】（1）直接利用平方差分解因式得出答案；（2）将括号展开，合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出答案．【详解】解：（1）29x -=()()33x x +-；（2）2(1)22x x --+=21222x x x +--+=243x x -+=()()13x x --【点睛】此题主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键． 16．（1）()(21)(21)x y x x -+-；（2）(5)(3)x x +-【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用十字相乘法分解即可．【详解】解：（1）24()()x x y y x -+-24()()x x y x y =---2()41x y x ⎡⎤=--⎣⎦()(21)(21)x y x x =-+-；（2）2215x x +-(5)(3)x x =+-【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．（1）()()22a b c a b +-+；（2）()()1x x a b c +++；（3）()()x a b y x a b y ---++--；（4）()2221x y x y -++【分析】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；（4）利用完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）22442a ab b ac bc ++--=()()222a b c a b +-+=()()22a b c a b +-+；（2）222ax bx bx ax cx cx +++++=()()222ax bx cxax bx cx +++++ =()()2a b c x a b c x +++++=()()1x x a b c +++；（3）222222a b x y ay bx --+-+=()222222a ay y b x bx -+-+-=()()22a y b x ---=()()()()a y b x a y b x -+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()x a b y x a b y ---++--；（4）()()()222241211y x y x y +--+-=()()()()222412111y x y y x y +-+-+-=()()2211y x y ⎡⎤+--⎣⎦ =()2221x y x y -++【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．18．5a =-，3b =-，()()213x x +- 【分析】由题意可假设多项式x 3−x 2+ax +b =(x 2+2x +1)(x +m )，则将其展开、合并同类项，并与x 3− x 2+ax +b 式子中x 的各次项系数对应相等，依次求出m 、b 、a 的值，那么另外一个因式即可确定．【详解】解：设()()32221x x ax b x x x m -++=+++，则()()3232221x x ax b x m x m x m -++=+++++，所以21m +=-，21m a +=，m b =，解得3m =-，5a =-，3b =-．所以 ()()()()23225321313x x x x x x x x ---=++-=+-．【点睛】本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好．19．（1）①2232S x xy y ++＝，②()2()S x x y y x y +++＝；（2）2232(2)()x xy y x y x y ++=++或()2()(2)()x x y y x y x y x y +++=++．．【分析】（1）①图丁是由1个甲，3个乙，2个丙组成，把面积相加即可得出答案；②图丁可以看作由长为()x y +，宽为x 的长方形和长为()x y +，宽为2y 的长方形组成，把两个长方形面积相加即可得出答案；（2）由（1）中2232x xy y ++十字相乘或()2()x x y y x y +++提取公因式()x y +即可得出答案．解：（1）①2232S x xy y ++＝，②()2()S x x y y x y =+++；（2）2232(2)()x xy y x y x y ++=++或()2()(2)()x x y y x y x y x y +++=++．【点睛】本题考查列代数式以及因式分解，掌握正方形和长方形的面积公式以及灵活运用因式分解是解答本题的关键．20．（1）40，12；（2）4；（3）10【分析】（1）根据十字点的定义(1)(2)a b b =+-计算即可；（2）先根据(1)(2)a b b =+-得出()()2(12)(11)=b 1+b 12=-+-----a b b ，再根据a 能被(1)b -整除，得出b 的值，即可求出a 的值；（3）根据已知得出m (p 1)(p 2)=+-（p ＞2且为正整数），n (q 1)(q 2)=+-（q ＞2且为正整数），再根据18m n -=得出()()p q-1p q =18+-，从而得出163p q p q +-=⎧⎨-=⎩ 或192p q p q +-=⎧⎨-=⎩，解之即可得出a 、b ，继而得出答案．【详解】解：（1）“十字点”为7的“十字数”(71)(72)=85=40=+-⨯a ，∵130(121)(122)=1310=+-⨯，∴130的“十字点”为12；（2）∵b 是a 的“十字点”，∴(1)(2)a b b =+-（b ＞2且为正整数），∴()()2(12)(11)=b 1+b 12=-+-----a b b ，∵a 能被(1)b -整除，∴(1)b -能整除2，∴b -1=1或b -1=2，∴b =3，∴(31)(32)=4=+-a ；（3）∵m 的“十字点”为p ， ∴m (p 1)(p 2)=+-（p ＞2且为正整数）， ∵n 的“十字点”为q ，∴n (q 1)(q 2)=+-（q ＞2且为正整数）， ∵18m n -=，∴(p 1)(p 2)(q 1)(q 2)=18+--+-， ∴22p -p-2-q +q+2=18， ∴(p q)(p q)(p-q)=18+--， ∴()()p q-1p q =18+-， ∵180＞-=m n ，p ＞2，q ＞2且p 、q 为正整数； ∴p ＞q ，p+q ＞4；∴p+q -1＞3；∵18=3×6=2×9，∴163p q p q +-=⎧⎨-=⎩ 或192p q p q +-=⎧⎨-=⎩；解得：52p q =⎧⎨=⎩（不合题意舍去），64p q =⎧⎨=⎩； ∴=10+p q。

第4章因式分解浙教版数学七年级下册基础练习题(含答案)

浙教版七下第四章习题一、单选题1、下列因式分解正确的是( )A.()322824x x x x -=-B.()()22444a b a b a b -=+-C.()()24422y y y y -+=+-D.()()25623x x x x ++=++2、在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式.如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是( )A.22()()a b a b a b +-=-B.22()()a b a b a b -=+-C.2222()a ab b a b ++=+D.222()2a b a ab b -=-+3、下列等式从左到右属于因式分解的是( )A.()22221xy x x y xy -=-B.()()25525m m m +-=-C.()()222211a a a -=+-D.()()24232n n n n +-=-++4、给出下列各式: ①21a +; ①222a ab b --; ①2a a -; ①221a a -+. 其中能在有理数范围内分解因式的有( )A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5、多项式xy x -的公因式是( )A.xB.1x -C.yD.xy6、计算20212020(2)(2)-+-的值是( )A.-2B.20202-C.20202D.27、在多项式32384a b a bc -中，各项的公因式是( )A.24abB.224a bC.34a bcD.34a b8、化简：()a b c d ---+的结果是( )A.a b c d --+B.a b c d ---+C.a b c d ++-D.a b c d -++-9、把多项式()()()111m m m +-+-提取公因式()1m -后，余下的部分是( )A.1m +B.2mC.2D.2m +10、下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )A.22a b +B.22a b -C.22a b --D.22a b -11、下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是( )A.B. C.222510x y xy --+D.22255x y xy ++二、填空题12、分解因式：24n -=____________.13、因式分解：___________. 14、因式分解: 24ab a -=____________.15、因式分解：2a b a -=_____.16、分解因式：269x x -+=________.17、因式分解：()()269m n m n -+++=____________.18、若正方形的面积是(0x >，)，则该正方形的边长为______________. 19、若把二次三项式228x ax +-分解因式，得到的结果是(4)(7)x x -+，则a 的值是_________.20、在括号内填上适当的因式：（1）24x x ++_______=(____________)2；（2）(__________)29n +=(________).221025x xy y +-222510x y xy -++224x y -2296x xy y ++0y >x +24m +2三、解答题21、连一连：228149x y -22142814a ab b -+3(2)x x -+ 236x x --214()a b - (97)(97)x y x y +-22、下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？（1）；（2）2(5)(5)25x x x +-=-；（3）；（4）29613(32)1x x x x -+=-+；（5）211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. 23 、写出下列多项式各项的公因式：（1）；（2）3222a x a y -；（3）；（4）35()10()a b a b -+-.24、因式分解：（计算题专练）（1）ma mb + （2）236x -. （3）()()22y a b x b a -+-.（4）2()5()m a c a c --- （5）；（6）；（7） . （8）；（9）4416x y -.2(1)m m +322m m m ++22446x y x xy =⋅223(3)(1)x x x x +-=+-2326x x +23222416m x n x -+269xy x y -2()()a b b a ---224()6()xy x y x y x y +-+22516x -（10）2ab a -；（11）()22214a a +-. （12）22344xy x y y --；（13）22x y ax ay ---. (14)244x x -+ (15)()()24a x y x y ---(16)43244x x x -+； (17)22(2)(2)x x y x -+-. （18）229a b -；（19）22242a ab b -+. （20）24ax ay -；（21）()()1124x x +++.（22）22312x y -. (25)36mx my -； (24)3269y y y ++.(25)321025a b a b ab -+-； (26)()()2294a x y b y x -+-.（27）2144x x ++；（28）2242025a ab b -+；（29）29()42()49a b a b -+-+；（30）2(2)8x y xy -+.（31）25、利用因式分解计算：（1）22124252576⨯-⨯；（2）222020404020192019 ; -⨯+（3）222202420298298⨯+⨯⨯+⨯.26、利用因式分解计算：（1）226.4 3.6-；（2）22151019915⨯-⨯.27、若多项式2x ax b ++可分解因式为(1)(2)x x +-，试求a ，b 的值.28、已知多项式24x x m -+分解因式的结果为()(6)x a x +-，求2a m -的值.29、将2()()()x x y x y x x y +--+分解因式，并求当1x y +=，时此式子的值.30、两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(1)(9)x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成2(2)(4)x x --，请将原多项式分解因式.31、阅读下列文字与例题.将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是分组分解法.例如： 12xy =①()()()()m a b n a b m n a b +++=++；②()222222121x y y x y y x ---=-++=-2(1)(1)(1)y x y x y +=++--.试用上述方法分解因式：（1）2436a b ma mb +--；（2）.32、阅读下列材料：材料1：将一个形如2x px q ++的二次三项式因式分解时，如果能满足且p m n =+，则可以把2x px q ++因式分解成()()x m x n ++.（1）243(1)(3)x x x x ++=++；（2）2412(6)(2)x x x x --=-+.材料2：分解因式：2()2()1x y x y ++++.解：将“x y +”看成一个整体，令x y A +=，则原式221(1)A A +=+，再将“A ”还原，得原式2(1)x y =++.上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1把268x x -+分解因式；（2）结合材料1和材料2，解决下列问题：①分解因式：2()4()3x y x y -+-+；②分解因式：()2(2)223m m m m ++--. ()()am an bm bn am bm an bn +++=+++=222a ab ac bc b ++++q mn =参考答案1-5 D B C B A6-10 B D D D D 11、C 6、()20212020202202200200(2)(2212)(2)(2)=⨯-+=-=--+---. 12、(2)(2)n n +- 13、14、答案：()2244(2)(-2)a ab a a b b b -=-=+15、答案：(1)a ab - 16、答案：2(3)x -17、答案：解析：原式222()2()33(3)m n m n m n =+-⋅+⋅+=+-.18、答案：3x y +解析：因为22296(3)x xy y x y ++=+，所以正方形的边长为.19、答案：3，.20、答案：（1）4，2；（2），21、答案：22、答案：(1)因式分解是针对多项式来说的,故(1)不是因式分解; ()()22x y x y +-()23m n +-3x y +22228(4)(7)7428328x ax x x x x x x x +-=-+=+--=+-3a ∴=12mn ±23m n±(2)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解;(3)是因式分解;(4)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解;(5)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解. 故(1)(2)(4)(5)不是因式分解,(3)是因式分解.23、（1）22x （2）2a ；（3）28x -；（4）5()a b -.24、（1）()m a b +（2）()()66x x +-. （3）()()2y x a b --（4）()()25a c m --(5)原式3(2-3)xy x =.(6)原式2()()()(1)a b a b a b a b =-+-=--+.(7)原式2()[2()3]2()(2)xy x y x y x xy x y y x =+⋅+-=+-.（8）22225165(4)(54)(54)x x x x -=-=-+.（9）.（10）()()11a b b +- （11）22(1)(1)a a +- （12）()22y x y -- （13）()()x y x y a +-- (14)()41x x -- (15)()(2)(2)x y a a -+-(16)22(21)x x - (17)(2)()()x x y x y -+-（18）()()33a b a b +- （19）()22a b -（20）22()()a x y x y +- （21）232x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ()()()4422222216444(2)(2)x y x y x y x y x y x y -=+-=++-（22） (23)原式()32m x y =-； (24)原式()23y y =+. (25)321025a b a b ab -+-()21025ab a a -=-+()25ab a =--； (26)()()2294a x y b y x -+-()()2294a x y b x y =---()()2294x y a b =--()()()3232x y a b a b =--+.（27）22144(12)x x x ++=+.（28）22242025(25)a ab b a b -+=-.（29)2229()42()49[3()7](337)a b a b a b a b -+-+=-+=-+.（30）222222(2)844844(2)x y xy x xy y xy x xy y x y -+=-++=++=+（31）25、答案：（1）原式()222512476=⨯-()()322x y x y +-()269y y y =++25(12476)(12476)2520048240000.=⨯+⨯-=⨯⨯=（2）原式222220202202020192019(20202019)11=-⨯⨯+=-==（3）原式222(20298)2300290000180000.=⨯+=⨯=⨯= 26、（1）.（2）()2222151019915151019915(10199)(10199)⨯-⨯=⨯-=⨯+⨯-=. 27、答案：解：由题意，得2(1)(2)x ax b x x ++=+-.而，所以222x ax b x x ++=--.比较两边系数，得1,2a b =-=-.解析：计算(1)(2)x x +-的结果中，x 的一次项系数为a ，常数项为b .28、答案：解：由题意得.64,6a m a ∴-=-=-，..29、答案：.当时，原式. 30、答案：设原多项式为（其中a ，b ，c 均为常数，且0abc ≠）.一位同学因看错了一次项系数而分解成2(1)(9)x x --，()22220222029898=⨯+⨯⨯+226.4 3.6(6.4 3.6)(6.4 3.6)10 2.828-=+⨯-=⨯=1520026000⨯⨯=2(1)(2)2x x x x +-=--224()(6)(6)6x x m x a x x a x a -+=+-=+--2,12a m ∴==-2221216a m ∴-=⨯+=2()()()()[()]2()x x y x y x x y x x y x y x y xy x y +--+=+--+=-+11,2x y xy +==12()2112xy x y =-+=-⨯⨯=-2ax bx c ++，2a ∴=，，另一位同学因看错了常数项而分解成，，，原多项式为，将它分解因式，得.解析：因为含字母x 的二次三项式的一般形式为（其中a ，b ，c 均为常数，且），所以可设原多项式为.看错了一次项系数即将b 值看错，而a 与c 的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开求出a 与c 的值；同样，看错了常数项即将c 值看错，而a 与b 的值正确，可将2(2)(4)x x --运用多项式的乘法法则展开求出b 的值，进而得出答案.31、答案：（1）(23)(46)a ma b mb =-+-(2)(23)a b m =+-.（2）()222()a ab b ac bc =++++2()()a b c a b =+++()()a b a b c =+++.222(1)(9)2(109)22018x x x x x x --=-+=-+18c =2(2)(4)x x --222(2)(4)2(68)21216x x x x x x --=-+=-+12b ∴=-∴221218x x -+222212182(69)2(3)x x x x x -+=-+=-2ax bx c ++0abc ≠2ax bx c ++2(1)(9)x x --2436a b ma mb +--(23)2(23)a m b m =-+-222a ab ac bc b ++++32、答案：（1）268(2)(4)x x x x -+=--.（2）①令x y A -=，则原式243(1)(3)A A A A =++=++，所以2()4()3(1)(3)x y x y x y x y -+-+=-+-+. ②令22m m B +=，则原式2(2)323(1)(3)B B B B B B =--=--=+-，所以原式()()2222123(1)(1)(3)m m m m m m m =+++-=+-+。

七年级数学下册期末复习四因式分解校本作业浙教版

期末复习四因式分解复习目标必备知识与防范点一、必备知识：1．把一个多项式化成几个，叫做因式分解．因式分解和整式乘法具有关系．2．一个多项式中每一项都含有，叫做这个多项式各项公因式．把该公因式提取出来进行因式分解方法，叫做．3．公式法分解因式a2-b2= ；a2±2ab+b2= .二、防范点：1．提取公因式法分解因式时提取公因式要彻底，并且注意不要漏项．2．因式分解要注意分解到底．例题精析考点一因式分解概念例1 （1）下列从左到右变形，属于因式分解是（）A．（a+1）（a-1）=a2-1B． 2a-2b=2（a-b）C． a2-2a+1=a（a-2）+1D． a+2b=（a+b）+b（2）下列因式分解正确是（）A． ab+ac+ad+1=a（b+c+d）+1B．（x+1）（x+2）=x2+3x+2C． a3+3a2b+a=a（a2+3ab+1）D． x2-y2=（x+y）（y-x）反思：因式分解是把多项式变成乘积形式，判断因式分解先要看是否符合形式，再判断运算正确性．考点二添括号例2 下列添括号错误是（）A． 3-4x=-（4x-3）B．（a+b）-2a-b=（a+b）-（2a+b）C． -x2+5x-4=-（x2-5x+4）D． -a2+4a+a3-5=-（a2-4a）-（a3+5）反思：添括号和去括号类似，注意括号前为“-”号，括号里各项都要变号．考点三用提取公因式法、公式法分解因式例3 （1）在下面多项式中，能因式分解是（）A． m2+n B． m2-m-1 C． m2-m+1 D． m2-2m+1（2）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x-1是（）A． x2-1 B． x（x-2）+（2-x）C． x2-2x+1D． x2+2x+1（3）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b，c值为（）A． b=3，c=-1 B．b=-6，c=2 C．b=-6，c=-4 D． b=-4，c=-6（4）因式分解：①7x2-63；②x3 -6x2+9x；③4（a-b）2-8a+8b；④a4-8a2b2+16b4.反思：分解因式时常先看有无公因式，再考虑能否使用公式法分解，并注意分解一定要进行到底．考点四因式分解应用例4 （1）对于任何整数，多项式（n+5）2-n2一定是（）A． 2倍数B． 5倍数 C． 8倍数 D． n倍数（2）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2值为．（3）已知正方形面积是9a2+6a+1（a>0），则该正方形边长是．（4）用简便方法计算：①20162-2015×2016；②0.932+2×0.93×0.07+0.072.反思：因式分解应用往往是利用因式分解进行求值，注意把各代数式进行因式分解即可．校内练习1．若a+b+1=0，则3a2+3b2+6ab值是（）A． 1 B． -1 C． 3 D． -3 2． 9x3y2+12x2y2-6xy3公因式为．3．若关于x多项式x2-px-6含有因式x-3，则实数p= ．4. 因式分解：16-8（x-y）+（x-y）2= .5. 因式分解：4xy2-4xy+x= .6. 将x2-2x-3因式分解结果是（x+1）（x+a），则a= .7. 简便计算：101×99= .8. 分解因式：（1）2a3－8a；（2）－3x2－12＋12x；（3）（a＋2b）2＋6（a＋2b）＋9；（4）2（x-y）2-x+y；（5）（a2＋4b2）2－16a2b2.9. 已知x2＋5x－991＝0，求x3＋6x2－986x＋1027值．10. 下面是某同学对多项式（x2－4x＋2）（x2－4x＋6）＋4进行因式分解过程．解：设x2－4x＝y，则原式＝（y＋2）（y＋6）＋4（第一步）＝y2＋8y＋16（第二步）＝（y＋4）2（第三步）＝（x2－4x＋4）2（第四步）．回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解（）A. 提取公因式B. 平方差公式C. 两数和完全平方公式D. 两数差完全平方公式（2）该同学因式分解结果（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解最后结果：；（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x＋2）＋1进行分解．参考答案期末复习四因式分解【必备知识与防范点】1. 整式积形式互逆2. 相同因式提取公因式法3. （a+b）（a-b）（a±b）2【例题精析】例1 （1）B （2）C例2 （1）D例3 （1）D （2）D （3）D（4）①7x2-63=7（x2-9）=7（x+3）（x-3）②x3-6x2+9x=x（x2-6x+9）=x（x-3）2③4（a-b）2-8a+8b=4（a-b）2-8（a-b）=4（a-b）（a-b-2）④a4-8a2b2+16b4=（a2-4b2）2=（a-2b）2（a+2b）2例4 （1）B （2）24 （3）3a+1（4）①20162-2015×2016=2016×（2016-2015）=2016②0.932+2×0.93×0.07+0.072=（0.93+0.07）2=1【校内练习】1. C2. 3xy23. 14. （4-x+y）25. x（2y-1）26. -37. 99998. （1）原式＝2a（a2－4）＝2a（a＋2）（a－2）．（2）原式＝－3（x2－4x＋4）＝－3（x－2）2.（3）原式＝[（a＋2b）＋3]2＝（a＋2b＋3）2.（4）原式＝2（x-y）2-（x-y）=（x-y）（2x-2y-1）.（5）原式＝（a2＋4b2）2－（4ab）2＝（a2＋4b2＋4ab）（a2＋4b2－4ab）＝（a＋2b）2（a－2b）2.9. 原式＝x3＋5x2－991x＋x2＋5x－991＋991＋1027＝x（x2＋5x－991）＋（x2＋5x－991）＋2018＝2018.10. （1）C （2）不彻底（x－2）4 （3）设x2－2x＝y，则原式＝y （y＋2）＋1＝y2＋2y＋1＝（y＋1）2＝（x2－2x＋1）2＝[（x－1）2]2＝（x －1）4.。

七年级数学下册第4章因式分解4.2提取公因式法校本作业(新版)浙教版

第4章因式分解4.2 提取公因式法课堂笔记1. 一般地，一个多项式中每一项都含有的，叫做这个多项式各项的公因式.2. 如果一个多项式的各项含有，那么可把该提取出来进行因式分解. 这种分解因式的方法，叫做提取公因式法.3. 提取公因式时，提取的多项式各项的公因式应是各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.4. 括号前面是“+”号，括到括号里的各项都号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都号.分层训练A组基础训练1．下列各组代数式中，没有公因式的是（）A． ax+y和x+y B． 2x和4y C． a-b和b-a D． -x2+xy和y-x2. 把下列各式因式分解，正确的是（）A. a2b-8ab+a=b（a2-8a）B. 3a2b+9ab-6b=3b（a2+3a-2）C. 8xyz-6xz3=2xyz（4-3z）D. -2a2+4ab-6ac=-2a（a+2b-3c）3. 下列各式由左到右的变形正确的是（）A． -x-y=-（x-y） B． -x2+2xy-y2=-（x2+2xy+y2）C．（y-x）2=（x-y）2 D．（y-x）3=（x-y）34. 把-4m4+12m3-4m2分解因式的结果是（）A. 4m2（-m+3m-1）B. -4m2（m2-3m）C. -4m2（m2+3m-1）D. -4m2（m2-3m+1）5. 把10a2（x+y）2-5a（x+y）3因式分解时，应提取的公因式是（）A． 5a B．（x+y）2C． 5（x+y）2 D． 5a（x+y）26. 若a-b=6，ab=7，则ab2-a2b的值为（）A. 42B. -42C. 13D. -137. 把多项式（m+1）（m-1）+（m-1）提取公因式（m-1）后，余下的部分是（）A ． m+1B ． 2mC ． 2D ． m+28. 把多项式a 2（x-a ）+a （a-x ）分解因式，结果是（） A. （x-a ）（a 2+a ）B. a （x-a ）（a+1）C. a （x-a ）（a-1）D. a （x+a ）（a-1）9. 写出下列各式分解因式时应提取的公因式：（1）ax-ay 应提取的公因式是；（2）3mx-6nx 2应提取的公因式是；（3）-x 2+xy-xz 应提取的公因式是 . 10. 在括号前面添上“+”或“-”号：（1）x-y= （y-x ）；（2）（x-y ）2= （y-x ）2；（3）（3-x ）（5-x ）= （x-3）（x-5）；（4）（a-b ）3= （b-a ）3.（5）－x 2＋8x －16＝（x 2－8x ＋16）．11. 根据已知的公因式，在括号内填一个因式，使等式成立：（1）-8xy-8y=-8y （）；（2）8m 2n-6mn 2=2mn （）；（3）6x 3+72x 2=6x 2（）；（4）-3y 3-6y 2+12y=-3y （）.12. 分解因式：15x （a-b ）2-3y （b-a ）2= . 13. 把下列各式分解因式：（1）4x 3-6x 2；（2）－94xy 3＋278x 3y 2；（3）2a 2b+5ab+b ；（4）（x-1）2-x+1；（5）－3a 2b ＋6ab 2－3ab.14．利用因式分解进行计算：（1）2003×99－27×11；（2）13.7×3117＋19.8×3117－2.5×3117.15．如图，操场的两端为半圆形，中间是一个长方形．已知半圆的半径为r ，直跑道的长为l ，请用关于r ，l 的多项式表示这个操场的面积．这个多项式能分解因式吗？若能，请把它分解因式，并计算当r ＝40m ，l ＝30πm 时操场的面积（结果保留π）；若不能，请说明理由．16. 小华认为在多项式2x2+3x+1中一定有因式（x+1），他是这样想的：2x2+3x+1=2x2+2x+x+1=2x（x+1）+（x+1）=（x+1）（2x+1）.你认为他这样做有道理吗？如果你认为有道理，试着看看x2+3x+2中有没有因式（x+1）；如果你认为没有道理，试说出其中的错误所在.B组自主提高17. （1）计算（-3）2018+（-3）2017的结果为．（2）若x＋y＝3，xy＝－4，则2x2y＋2xy2= ．（3）若x2+3x-2=0，则2x3+6x2-4x= .（4）若（2x－y－1）2＋|xy-2|＝0，则4x2y－2xy2＋x2y2= .18. 利用因式分解计算或说理：（1）523-521能被120整除吗？（2）817-279-913能被45整除吗？C组综合运用19. 阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3.（1）上述因式分解的方法是，共应用了次；（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2018，则需应用上述方法次，结果是；（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）.参考答案4.2 提取公因式法【课堂笔记】1. 相同的因式2. 公因式公因式4. 不变变【分层训练】1—5. ABCDD 6—8. BDC9. （1）a （2）3x （3）-x10. （1）- （2）+ （3）+ （4）- （5）-11. （1）x+1 （2）4m-3n （3）x+12（4）y2+2y-412. 3（a-b）2（5x-y）13. （1）2x 2（2x-3）（2）－94xy 2（y －32x 2）（3）b （2a 2+5a+1）（4）（x-1）（x-2）（5）－3ab （a －2b ＋1）14. （1）原式＝2003×99－3×99＝99×（2003－3）＝99×2000＝198000 （2）原式＝3117×（13.7＋19.8－2.5）＝3117×31＝17 15. 操场的面积＝πr 2＋2rl. 能分解因式，πr 2＋2rl ＝r （πr ＋2l ）．当r ＝40m ，l ＝30πm 时，操场的面积＝40（40π＋60π）＝4000π（m 2）．16. 有道理，x 2+3x+2=（x 2+2x ）+（x+2）=x （x+2）+（x+2）=（x+2）（x+1），∴x 2+3x+2中有因式（x+1）. 17. （1）2×32017 （2）-24 （3）0（4）8 【点拨】由已知，得2x －y －1＝0，xy －2＝0，即2x －y ＝1，xy ＝2，∴4x 2y －2xy 2＋x 2y 2＝xy （4x －2y ＋xy ）＝2×（2＋2）＝8. 18. （1）523-521能被120整除；（2）817-279-913能被45整除.【点拨】（1）中可以先提取520，则523-521=520（53-5）=520×120；（2）∵45可以分解为5×3×3，故只需说明817-279-913能分解为5×3×3即可. ∵817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13=328-327-326=326×（32-3-1）=326×5=324×32×5=324×45.19. （1）提取公因式法 2 （2）2018 （x+1）2019（3）原式=（1+x ）[1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+x （x+1）n-1]=（1+x ）2[1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+x （x+1）n-2]=（1+x ）3[1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+x （x+1）n-3]=…=（1+x ）n（1+x ）=（1+x ）n+1。

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4.3 用乘法公式分解因式（第1课时）
课堂笔记
两个数的平方差，等于这两个数的与这两个数的的积. 即a2-b2=（a+b）（a-b）.
分层训练
A组基础训练
1. 下列各式能用平方差公式分解因式的是（）
A. 2x2+y2
B. -x2+y2
C. -x2-y2
D. x3+（-y）2
2. 把多项式-4n2+m2分解因式，其结果正确的是（）
A. （m+2n）（m-2n）
B. （m+2n）2
C. （m-2n）2
D. （2n+m）（2n-m）
3. 下列因式分解中，正确的有（）
①4x2-1=（4x+1）（4x-1）②m2-n2=（m+n）（m-n）
③-16+9x2=（4+3x）（-4+3x）④a2+（-b）2=（a+b）（a-b）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
4. 在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积是（）
A． 11cm2 B． 20cm2C． 110cm2 D． 200cm2
5. （金华中考）把代数式2x2-18分解因式，结果正确的是（）
A. 2（x2-9）
B. 2（x-3）2
C. 2（x+3）（x-3）
D. 2（x+9）（x-9）
6. 下列各式不是多项式x3-x的因式的是（）
A. x
B. 3x-1
C. x-1
D. x+1
7．小敏是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：乡、爱、我、家、游、美，现将（x2－y2）a2－（x2－y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）
A. 我爱美
B. 家乡游
C. 爱我家乡
D. 美我家乡
8．小华在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，且能利用平方差公式分解因式，他抄到作业本上的式子是x□-4y2（□表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）
A． 2种 B． 3种 C． 4种 D． 5种
9. 填空：
（1）36x 2y 2-49a 2=（）2-（）2
；
（2）-4n 2+m 2=（）2-（）2；
（3）m 4- =（m 2+5）（m 2- ）.
10．（杭州中考）若整式x 2+ky 2（k 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是（写出一个即可）.
11．已知x+y=2，则x 2-y 2+4y= ．
12. 分解因式：9x 2（a-b ）+y 2（b-a ）=.
13. 把下列各式分解因式：
（1）1-16x 2；
（2）-n 2+0.81m 2；
（3）925x 2
-64y 2；
（4）（a+b ）2-4；
（5）4m 2-（m+n ）2.
（6）a 4-b 4；
（7）x 3y 2-x 3；
（8）25（m+n ）2-81（m-n ）2.
14. 用简便方法计算：
（1）552-452；
（2）99
41×1004
3；
（3）已知a+2b=5，a-2b=3，求5a 2-20b 2的值.
B 组自主提高
15. 两个偶数的平方差，一定是（）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 4的倍数 16. 如图，某筑路工程队需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径d=120cm ，外径
D=150cm，长L=200cm. 利用分解因式计算：浇筑一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（π取3.14，结果精确到0.1m3）.
17. 阅读题：
我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2-1）即1，原式的值不变，而且还使整个算式能运用平方差公式计算，解答过程如下：
原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=…=264-1.
你能用上述方法算出下列式子的值吗？请试试看.
（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）.
C组综合运用
18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．
（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．
参考答案
4.3 用乘法公式分解因式（第1课时）
【课堂笔记】
和差
【分层训练】
1—6. BABCC 6. B
7. C 【点拨】原式＝（x 2－y 2）（a 2－b 2）＝（x ＋y ）（x －y ）（a ＋b ）（a －b ）． ∵x ＋y ，x －y ，a ＋b ，a －b 四个代数式分别对应我、爱、家、乡，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我家乡”．
8. D
9. （1）6xy 7a （2）m 2n （3）25 5
10. 答案不唯一，如-1，-4等
11. 4
12. （a-b ）（3x+y ）（3x-y ）
13. （1）（1+4x ）（1-4x ）（2）（0.9m+n ）（0.9m-n ）
（3）（35x+8y ）（3
5x-8y ）（4）（a+b+2）（a+b-2）（5）（3m+n ）（m-n ）（6）（a-b ）（a+b ）（a 2+b 2）
（7）x 3
（y+1）（y-1）（8）4（7m-2n ）（7n-2m ）
14. （1）1000 （2）9999
167 （3）75 15. D
16. 所需混凝土为[π（2D ）2-π（2
d ）2]L=πL （2D -2d ）（2D +2d ）≈3.14×200（75-60）（75+60）=1271700（cm 3）=1.2717（m 3）≈1.3（m 3）. 所以浇筑一节这样的管道需要 1.3
立方米的混凝土.
【点拨】混凝土的立方数即为图中阴影部分的体积，亦即大圆柱体与小圆柱体的体积差.
17. 原式=21（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=2
1（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316
+1）=…=21×（332-1）=21332 . 18. （1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：36=102-82
，2016=1008×2；
（2）∵两个连续偶数为2k+2和2k （k 为自然数），∵（2k+2）2-（2k ）2=（2k+2+2k ）（2k+2-2k ）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22-02）+（42-22）+（62-42）+…+（502-482）=502=2500. 故答案：2500．。