圆锥曲线

绝密★启用前2016-2017学年度???学校9月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释）…外………………○……※※装※※订※※…内………………○……第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题（题型注释）三、解答题（题型注释）1．直线1:1l y =-与C 只有一个公共点1A ，直线2:1l y =与C 只有一个公共点2A 。

（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是1l 上(除1A 外)的动点，连结2A P 交椭圆于另外一点B ，连结OP 交椭圆于,C D 两点（C 在D 的下方），直线111,,A B AC A D 分别交直线2l 于点,,E F G ，若2||,||,||EF A F GF 成等差数列，求点P 的坐标。

2的左、右两个焦点12,F F ，过其中两个端点的直线1。

（1）求椭圆的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），1AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值，并求此时直线AB 的方程。

3．如下图，已知P 是以1(1,0)F -为圆心，以4为半径的圆上的动点，P 与2(1,0)F 所连线段的垂直平分线与线段1PF 交于点M 。

……○…………线_______……○…………线（Ⅱ）已知点E 坐标为（4,0），并且倾斜角为锐角的直线l 经过点2(1,0)F 并且与曲线C 相交于,A B 两点，（ⅰ）求证：22AEF BEF ∠=∠； 9，求直线l 的方程。

4．在直角坐标系xOy 中,椭圆且过点椭圆C 的长轴的两端点为,A B ,点P 为椭圆上异于,A B 的动点,定直线4x =与直线PA 、PB 分别交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在定点经过以MN 为直径的圆,若存在,求定点坐标；若不存在,说明理由.5．如图，已知抛物线方程为28y x =．（1）直线l 过抛物线的焦点F ，且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，求AB 的长度．…………○…………※※答※※题※※…………○…………为原点．求△OCD 的面积．6．短轴长为，直线与椭圆C 交于M 、N 两点。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；相切，证明：MON ∠为定值．7．已知椭圆C ：＋＝1（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2x －y ＋6＝0相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线y ＝k （x －2）（k ≠0）与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2＋·为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．参考答案1．（Ⅰ）（Ⅱ）4±=t 【解析】试题分析：（Ⅰ），直线11l y =-：与C 只有一个公共点1A ，直线21l y =：与C 只有一个公共点2A ，求出a b ，，即可求椭圆选a b ，的方程；（Ⅱ）设()1P t -，，则直线2A P 的方程，求出B 的坐标，再求出E 的坐标，确定直线12AC A D 、 的方程，令y=1，确定F ，GC 在直线OP 上，即可求出点P 的坐标。

试题解析：解：（I ，1b =∴椭圆方程为：（II ）解：设(,1)P t -，则直线2A P 的方程为：消去y，得直线1A B ，令1y =，得又直线OP 的方程为因为,C D 关于(0,0)O 中心对称，可设1111(,),(,)C x y D x y --，直线1A C 、2A D 的方程分别为1y =，得又因为2||,||,||EF A F GF又C 在直线OP 上，所以||GF联立①、②又11(,)C x y 在椭圆上，代入椭圆方程得，解得：4t =± 考点：直线与圆锥曲线的综合问题。

【一题多解】因为2||,||,||EF A F GF 成等差数列，所以)0(2F F G F E x x x x x -=-+- 所以0=+G E x x ，所以0=+D B x x 即D B y y = 设(,1)P t -，则直线2A P 的方程为：消去y ，得直线OP 的方程为由DB y y =得解得4±=t 。

2．（1（2，1x =-。

【解析】 试题分析：（1）借助题设条件建立方程组求解；（2）借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立目标函数求解。

试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ，很据题意，，1bc =， ，2222b b c =+，∴1b c ==，（2）设直线AB 的方程为1x ty =-，1122(,),(,)A x y B x y ，由22122x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理，得22(2)210t y ty +--=，因为直线AB 与椭圆交于,A B 两点，所以点O 到直线AB 的距离因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d 。

，则1u ≥，，即1u =，亦即0t =时，ABC ∆面积的最大值为 此时直线AB 的方程为1x =-。

考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用。

【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题。

解答本题的第一问时，直第二问的求解过程中,为了避免分类讨论将直线AB 的方程设为1x ty =-，然后再将直线的方程1x ty =-和椭圆的方从而使得问题获解。

本题对运算求解能力和推理论证能力的要求较高，有一定难度。

3．（Ⅱ）（i ）证明见解析；（ii ）1y x =-。

【解析】 试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用椭圆的定义求解；（Ⅱ）借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系求解。

试题解析：（Ⅰ）设(,)M x y ，则因为M 在线段2PF 的垂直平分线上，所以2||||MP MF =，所以12112||||||||4||MF MF MF MP F F +=+=>。

即M 的轨迹为以12,F F 为焦点的椭圆，其长半轴为2a =，半焦距为1c =。

所以C的方程是（Ⅱ）（ⅰ）设1,1()A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为(1)y k x =-，则2222223412,(34)84120(1)x y k x k x k y k x ⎧+=⇒+-+-=⎨=-⎩，，所以11)4Ek11124)4)x x x --即22AEF BEF ∠=∠。

，不妨设点A 在第一象限，则，，所以，；即22112222(4)8,(4)8,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 所以12,x x 是方程即方程27880x x --=，21k =．又倾斜角为锐角，所以0k >，所以直线AB 的方程为1y x =-。

考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用。

【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题。

解答本题的第一问时，直先将直线AB 的方程设为(1)y k x =-，再与曲线椭圆的标之间的关系求得22AEF BEF ∠=∠。

线的斜率1=k 最后点斜式求直线AB 的方程为1y x =-，使得问题获解。

本题对运算求解能力和推理论证能力的要求较高，有一定难度和区分度。

4．(2)存在，()()1,0,7,0. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立方程,依据方程中的坐标之间的关系分析探究推证. 试题解析：（1,∴椭圆C 的方程为 （2）设PA 、PB 的斜率分别为()1200,,,k k P x y .即由()1:2PA l y k x =+知()14,6M k ,由()2:2PB l y k x =-知()24,2N k ,MN ∴的中点()124,3G k k +.∴以MN 为直径的圆的方程为 令22222211221122120,8169696,816120y x x k k k k k k k k x x k k =∴-++++=-+∴-++=,即2870x x -+=,解得7x =或1x =,∴存在定点()()1,0,7,0经过以MN 为直径的圆.考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用． 【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合问题.解答本题的第一问时,直接求得椭圆的方,先设设PA 、PB 的斜率分别为()1200,,,k k P x y ,借助两直线的方程求出点)2,4(),6,4(21k N k M ,通过建立以MN 为直径的圆过轴上的定点探究出定点的坐标为()()1,0,7,0.推证出以MN 为直径的圆过定点()()1,0,7,0,使得问题获解.5．（1）8； （2【解析】试题分析：（1）由题已知抛物线方程；28y x =，l 过抛物线的焦点F ，且垂直于x 轴，易求出A 、B 两点坐标，运用两点间的距离公式可得；（2）由题可先求出直线l 方程并与抛物线方程联立，再设出,C D 两点坐标，运用根与系数的关系可求出弦长，最后利用三角形的面积公式可得．试题解析：（1）∵抛物线方程为28y x =，∴焦点(2,0)F ，又直线l 过焦点，且垂直于x 轴，∴l 的方程为2x =，联立方程组282y x x ⎧=⎨=⎩，解得2244x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或 ∴(2,4),(2,4)A B -，（2）由（1）焦点(2,0)F ，直线1l 倾斜角为45︒，直线1l 的斜率tan 451k =︒=，其方程为 2y x =-，设1122(,),(,)C x y D x y ，联立方程组221288160,8,2y xy y y y y x ⎧=⇒--=+=⎨=-⎩[来源:学科网∴△OCD考点：（1）抛物线的性质及弦长．（2）直线与抛物线的位置关系及几何性质的运用； 6．（Ⅰ）229161x y +=；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】试题分析：易得椭圆方程；（Ⅱ）直线与椭圆相交，首选讨论直线斜率不存在的特殊情形，求得，因此在斜率存在时，设直线:l y kx m =+，交点()1122,,(,)M x y N x y ，要证明12120x x y y +=，由直线与圆相切求得,k m 的关系，由直线方程与椭圆方程联立方程组后可得1212,x x x x +，然后计算12121212()()x x y y x x kx m kx m +=+++，并把刚才的结论代入可得．试题解析：（Ⅰ）由题意得116922=+∴y x （Ⅱ）当直线x l ⊥轴时，因为直线与圆相切，所以直线方程为得M 、N当与x 轴不垂直时，设()),(,,,:2211y x N y x M m kx y l +=，由,22125k m +=∴, 联立⎩⎨⎧=++=116922y x mkx y 得()011632169222=-+++m kmx x k()22121212121()OM ON x x y y k x x km x x m ∴⋅=+=++++ =考点：椭圆标准方程，直线与椭圆相交，定值问题．【名师点睛】1．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．2．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．7．（1）；（2）存在，定点为E．【解析】试题分析：（1）要求椭圆标准方程，一般要列出关于的两个等式，题中离心率是一个，即，另外由直线与圆相切知原点到直线的距离就等于，因此易得；（2）直线与椭圆相交，设交点为，把直线方程代入椭圆方程后可得，同时假设定点存在，并设，计算，把它表示为的等式，此式是关于的恒等式，由此可求得．试题解析：（1）由e＝，得＝，即c＝a，①又因为以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且与直线2x－y＋6＝0相切，所以a＝＝，代入①得c＝2，所以b2＝a2－c2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.（2）由得（1＋3k2）x2－12k2x＋12k2－6＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝，x1·x2＝，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得2＋·＝·（＋）＝·为定值，则有·＝（x1－m，y1）·（x2－m，y2）＝（x1－m）·（x2－m）＋y1y2＝（x1－m）（x2－m）＋k2（x1－2）（x2－2）＝（k2＋1）x1x2－（2k2＋m）（x1＋x2）＋（4k2＋m2）＝（k2＋1）·－（2k2＋m）·＋（4k2＋m2）＝.要使上式为定值，即与k无关，则应使3m2－12m＋10＝3（m2－6），即m＝，此时·＝m2－6＝－为定值，定点为E.考点：椭圆标准方程，直线与椭圆相交，解析几何中的定点问题．【名师点睛】解决存在性问题应注意以下几点存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论；（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．。