初中数学 绝对值
七年级数学《绝对值》教案【优秀9篇】
七年级数学《绝对值》教案【优秀9篇】学习难点: 篇一绝对值的综合运用绝对值教案篇二绝对值教学目标：通过数轴，使学生理解绝对值的概念及表示方法1、理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值及进行有关的简单计算2、通过绝对值概念、意义的探讨，渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法3、通过学生合作交流、探索发现、自主学习的过程，提高分析、解决问题的能力教学重点：理解绝对值的概念、意义，会求一个数的绝对值教学难点：绝对值的概念、意义及应用教学方法：探索自主发现法，启发引导法设计理念：绝对值的意义，在初中阶段是一个难点，要理解绝对值这一抽象概念的途径就是把它具体化，从学生生活周围熟悉的事物入手，借助数轴，使学生理解绝对值的几何意义。
通过“想一想”，“议一议”，“做一做”，“试一试”，“练一练”等，让学生在观察、思考，合作交流中，经历和体验绝对值概念的形成过程，充分发挥学生在教学活动中的主体地位，从而逐步渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法，提高学生分析、解决问题的能力。
教学过程：一、创设情境，复习导入。
今天我们来学习一个重要而很实际的数学概念，提高我们的数学本领，先请大家看屏幕，思考并解答题中的问题。
（用多媒体出示引例）星期天张老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行千米，到了游乐园，下午她又向西行千米，回到家中（学校、游乐园、家在同一直线上），如果规定向东为正，①用有理数表示张老师两次所行的路程；②如果汽车每公里耗油升，计算这天汽车共耗油多少升？① 千米，千米；②()×升。
在学生讨论的基础上，教师指出:这个例子涉及两个问题，第一问中的向东和向西是相反意义的量，用正负数表示，第二问是计算汽车的耗油量，因为汽车的耗油量只与行驶的路程有关，而与行驶的方向没有关系，所以没有负数。
这说明在实际生活中，有些问题中的量，我们并不关注它们所代表的意义，只要知道具体数值就行了。
你还能举出其他类似的例子吗？。
小组讨论，有的同学在思考，有的在交流，有些例子被否定，有的得到同伴的赞许，气氛热烈。
[初中数学]绝对值+课件++人教版数学七年级上册
![[初中数学]绝对值+课件++人教版数学七年级上册](https://img.taocdn.com/s3/m/762d38dc690203d8ce2f0066f5335a8103d2664e.png)
(2)a，b表示任意有理数，若|a|＝|b|，则a与b之间有什么关 系？ 解：a＝±b.
19 一条直线流水线上有5个机器人，它们站的位置在数轴 上依次用点A1，A2，A3，A4，A5表示，如图所示．
(1)站在点___A_1上的机器人表示的数的绝对值最大，站 在点__A_和2 点___A_5，点___A_3和点___A上4 的机器人到原点 的距离分别相等；
7 (7) －－72 ＝_2_；
(2) －(－1)＝_1__； (4) －|－11|＝__－__1_1_； (6) ＋|－20|＝__2_0_；
(8) |－3.1|＋|1.9|＝__5_.
绝对值的应用 6．一只蚂蚁从某点P出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路 程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为(单位： 米)： ＋5，－4，＋10，－8，－5，＋12，－10. 若蚂蚁共用了9分钟完成上面的路程，那么蚂蚁每分钟走多少路程？
14 下列各式中，等号不成立的是( D )
A. |－5|＝5 B．－|－4|＝－|4| C. |－3|＝3 D．－|－2|＝2
15 若a与1互为相反数，则|a＋2|等于( C ) A. 2 B．－2 C．1 D．－1
16 如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则 计算|b|－|a|正确的是( C ) A. b－a B．a－b C．a＋b D．－a－b
17．若 a，b 都是非零的有理数，那么|aa|＋|bb|的值是多少？ 解：当 a＞0，b＞0 时，|aa|＋|bb|＝2；
当 a，b 异号时，|aa|＋|bb|＝0；
当 a＜0，b＜0 时，|aa|＋|bb|＝－2.
综上所述，|aa|＋|bb|的值是±2 或 0.
1．|－6|＝( B ) A．－6 C．－16
人教版七年级数学上册：1.2.4《绝对值》说课稿1
人教版七年级数学上册：1.2.4《绝对值》说课稿1一. 教材分析《绝对值》是人教版七年级数学上册第一章第二节第四个小节的内容。
绝对值是数学中的一个基本概念，它表示一个数在数轴上所对应的点与原点的距离。
这个概念在初中数学中非常重要，它不仅涉及到实数的概念，还与代数、几何等多个数学领域有着密切的联系。
在后续的学习中，绝对值的概念会不断出现，因此，让学生深刻理解绝对值的意义和应用是非常必要的。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的实数基础，对于数轴的概念也有了一定的了解。
但是，他们对于抽象的概念的理解还相对较弱，需要通过具体的实例和实际操作来帮助理解。
同时，七年级的学生正处于青春期，注意力容易分散，因此，在教学过程中，需要通过多种教学手段来吸引他们的注意力，激发他们的学习兴趣。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解绝对值的定义，掌握绝对值的性质，能够运用绝对值解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和实际操作，让学生体验绝对值的概念，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：绝对值的定义和性质。
2.教学难点：绝对值在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，通过提问引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
2.教学手段：利用多媒体课件，结合板书，以实例和实际操作的方式进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出绝对值的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍绝对值的定义和性质，让学生通过实例来体验绝对值的概念。
3.课堂讲解：通过讲解和实际操作，让学生理解绝对值的性质，能够运用绝对值解决实际问题。
4.课堂练习：设计一些练习题，让学生运用绝对值的知识来解决问题，巩固所学的内容。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，让学生明确学习的重点。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出绝对值的概念和性质。
初中数学竞赛——绝对值
第2讲 绝对值知识总结归纳一. 绝对值的定义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩二. 绝对值的几何意义a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．三. 去绝对值符号的方法：零点分段法（1） 化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a的正负（即0a >，0a <还是0a =）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论．（2） 分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．四. 零点分段法的步骤（1） 找零点； （2） 分区间； （3） 定正负； （4） 去符号．五. 含绝对值的方程（1） 求解含绝对值的方程，主要是先利用零点分段法先化简绝对值符号，化成一般形式再求解． （2） 在分类讨论化简绝对值符号时，要注意将最后的结果与分类范围相比较，去掉不符合要求的．六. 绝对值三边不等式:a b a b a b -≤+≤+七. 含有绝对值的代数式的极值问题对于代数式123n x a x a x a x a -+-+-++-（123n a a a a ≤≤≤≤）（1） 如果n 为奇数，则当12n x a +=时取最小值；（2） 如果n 为偶数，则当122n n a x a +≤≤时取最小值.典型例题一. 绝对值的化简【例1】 已知0b a c <<<，化简：a a b c b a c -++-+-．【例2】 已知a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab aca b b c c a ab ac-----++----的值.【例3】 已知a 、b 、c 、d 满足101a b c d <-<<<<<，11a b +=+,11c d -=-，求a b c d +++的值.c b0 a【例4】 化简：12x x -+-.【例5】 化简：525x x +--.【例6】 化简：23132x x x ++---.【例7】 化简：5423x x x ++-++；【例8】化简：21x x-+. 【例9】化简：121x x--++.【例10】已知0x<，化简：23x xx x---.【例11】若25x<<，化简：5252x x xx x x---+--.【例12】 若0a <，且ax a≤，化简：12x x +--.【例13】 若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此常数的值.【例14】a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值.二. 绝对值方程【例15】 解方程：（1）2(1)5x x --+=； （2）576x --=-；【例16】4329+=+.x x【例17】解方程：（1）143-+-=；x x（2）324+-=；x x（3）13-=+．x x【例18】解方程：|||4|5x-=.【例19】解方程：||48|3|5+-=.x x【例20】 解方程：324x x -+=.【例21】 解方程：3212x x x --+=+【例22】 解方程：213x --=.【例23】 已知关于x 的方程23x x a -+-=，试对a 的不同取值，讨论方程解的情况.三. 绝对值不等式【例24】 解不等式： |35|10x +≤.【例25】 解不等式：23x x +>-.【例26】 解不等式：|3||21|2x x +--<.【例27】 解不等式：4231x x ---≤.【例28】 求不等式20069999x x -+≤的整数解个数.【例29】 若不等式13x x a ++-≤有解，求a 的取值范围.【例30】 解关于x 的不等式：11ax ax ->-.四. 绝对值的几何意义和最值问题【例31】 已知04a ≤≤，求23a a -+-的最大值.【例32】 已知26141y x x x =++--+，求y 的最大值.【例33】 求35x x ++-的最小值.【例34】 （1）试求1437x x x x ++++-+-的最小值.（2）试求1232013x x x x -+-+-++-的最小值.【例35】 试求72231435100x x x x x -+-++++++的最小值．【例36】 试求214253x x x x +-+-+-的最小值．【例37】 如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值.五. 三角不等式【例38】 证明三边不等式:a b a b a b -≤+≤+.【例39】 已知21951x x y y ++-=---+，求x y +的最大值和最小值.【例40】 已知(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=，求23x y z ++的最大值和最小值.【例41】 已知a b c d 、、、都是有理数，9a b -≤，16c d -≤，且25a b c d --+=，求b a d c -+-的值.【例42】 已知0ab >，45P a b a b =-++，362Q a b a b =-++，试比较P 与Q 的大小.思维飞跃【例43】 满足1ab a b ++=的整数对(a ，b )共有多少个？【例44】 求24x y x y -+-+-的最小值．作业1. 已知a a =-，0b <，化简：22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--.2. 化简：3223x x -++．3. 已知0a b c ++=，0abc >，化简：a b c a b c ++.4. 已知0a <，0ab <，化简：15b a a b -+---．5. 数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，化简：a b b a b a a ++-+--．6. 化简：2325x x x x --．7. 化简：123x x x -++--．a b 08. 解方程：100100300x x ++-=．9. 解方程：116x x x +-++=.10. 解方程：（1）32368x x ++-=； （2）23143x x x +--=-.11. 解不等式：|2||3|2x x ++->.12. 计算下列式子的的最小值.（1）123x x x -+++-； （2）31523x x x -+++-； （3）213243x x x x +-+-+-．13. 设a b c d <<<，求x a x b x c x d -+-+-+-的最小值.14. 计算21563x x x ++-++的最小值．15. 已知1223y x x x =++-+-，当x a =时，y 的最小值是b ，求b a a b ⋅的值.。
初中数学绝对值重点难点突破(含练习题和答案)
初中数学知识点绝对值重点难点突破（含练习题和答案）一、绝对值定义数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值。
数a的绝对值记作|a|，读作a的绝对值.二、由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即(1)如果a>0，那么|a|=a；(2)如果a=0，那么|a|=0；(3)如果a<0，那么|a|=-a.用式子可表示为：三、重点归纳①绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数.②两个互为相反数的数的绝对值相等.反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
③求一个数的绝对值就是去绝对值符号，所以求一个数的绝对值，必须先判断绝对值符号里的数，再去绝对值符号.如果绝对值里的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，如果绝对值里面的数是负数，那么这个数的绝对值就是它的相反数，当绝对值里面的数的正负性不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0、小于0、等于0、这三类来计论。
例题1|x-2|的绝对值为答案解析(1）如果x-2>0，即x>2，那么|x-2|=x-2(2)如果x-2=0，即x=2，那么|x-2|=0(3)如果x-2<0，即x<2，那么|x-2|=2-x④一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
⑤在数轴上，由于距离总是正数和零，则有理数的绝对值不可能是负数，因此任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有|a|≥0.绝对值的这一性质表现为：(1） |a|≥0，即 |a| 有最小值；(2）若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零，即|a|+|b| +|c|+…+|z|=0,则a=b=c=…=z=0.例题2已知|3-x|+(2x-y)²=0，那么x+y的值为答案 9解析由绝对值和偶次幂的非负性可得3-x=0，x=3；2x-y=0,y=6，所以x+y=9.练习题1、检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，4个足球检测质量分别是，+0.9，-3.6，-0.8，+2.5，从轻重的角度看，最接近标准的是。
绝对值与绝对值不等式
绝对值与绝对值不等式绝对值是数学中常见的一个概念，它用来表示一个数离0点的距离。
在数学中，绝对值的定义通常如下：若a是一个实数，那么(|a|)的值满足以下两个条件之一：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|= -a。
绝对值不等式则是对含有绝对值的不等式进行推导和求解。
关于绝对值不等式，我们可以分为以下几个方面进行讨论。
一、绝对值不等式的基本性质在研究绝对值不等式时，我们首先需要了解绝对值不等式的一些基本性质，以便于后续的推导和求解。
1. 非负性：对于任意实数a，有|a|≥0。
2. 正定性：对于任意实数a，有当且仅当a=0时，|a|=0。
3. 反对称性：对于任意实数a，有当且仅当a=0时，|-a|=|a|。
4. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
二、绝对值与绝对值不等式的运算接下来，我们来研究绝对值与绝对值不等式的运算规则。
在推导和求解绝对值不等式时，我们经常需要运用到以下两个常用的运算法则：1. 绝对值的开放性质：对于任意实数a和b，有|ab|=|a||b|。
2. 绝对值的分割性质：对于任意实数a和b，如果|a|<b，那么-a<b<a。
三、绝对值不等式的求解方法在实际求解绝对值不等式的过程中，我们可以根据不等式的形式进行分类讨论与推导。
下面，我们举例介绍两种常见的绝对值不等式及其求解方法。
1. 不等式形式：|x-a|<b，其中a和b为已知实数，x为未知数。
解法：根据绝对值不等式的定义，我们可以得到两个方程组。
当a≥0时，得到 -b<x-a<b；当a<0时，得到 -b<a-x<b。
综合以上两种情况，我们可以得到 -b<x-a<b，即|x-a|<b。
所以，不等式|x-a|<b的解集为(a-b,a+b)。
2. 不等式形式：|ax+b|≥c，其中a、b和c为已知实数，x为未知数。
解法：根据绝对值不等式的定义，我们可以分别得到两个方程组。
初中数学-绝对值知识要点总结
答案不唯一。
绝对值知识总结
以上的知识总结务必深刻理解和熟记！
只有在这个前提下才可能灵活运用对付
各种题型。
绝对值知识总结
二、绝对值概念的十个易错点
1. 一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数。
正确的说法是：一个数的绝对值等于本身，这个数是非负数。
分析：正数的绝对值等于其本身，但0的绝对值也等于其本身，
（1）0点分段法
1、若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值/界点可以使代数式取最小值；
（2）固定法则法
2、若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值/界点之间的任意一个数
（包含零点值）都可以使代数式取最小值
绝对值知识总结
一、绝对值运用技术
4、大数、小数、相反数
无论大数和小数是正数还是负数，(大数-小数)永远为正，（小数-大数）永远为负
绝对值知识总结
一、绝对值运用技术
4、大数、小数、相反数
-a
相
反
数
问题：
1、-a 和a 哪个数大？
2、-a 读作“负a”，哪么它就是
一个小于等于0的非正数吗？
-1、-2是负数，而-a 却是正负数都有可能。
从这个分析我们看出来，负号“-”不仅仅可以表达一个数是负数；它还可以表达一
个数的相反数，而从这个意义上讲，它只表明是相反方向，而表明不了正负
|2a-b|去号后为：-(2a-b)
b为正c为负，b-c必然大于0
|b-c|去号后为：(b-c)
c到a的距离与a到0的距离差不多，c-3a明显是大数-小数， |c-3a|去号后为：(c-3a)
原式= -(2a-b)+(b-c)-(c-3a)
=-2a+b+b-c-c+3a
初一数学绝对值知识点与经典例题
初一数学绝对值知识点与经典例题绝对值的性质及化简绝对值有几何意义和代数意义。
在数轴上，一个数a的绝对值表示数a的点与原点的距离，记作|a|。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.绝对值的运算符号是“| |”，取绝对值的结果总是非负数。
任何一个有理数都由符号和绝对值两部分组成。
例如，-5的符号是负号，绝对值是5.对于字母a的绝对值，可以根据不同的情况进行分类讨论。
如果a大于0，则|a|=a；如果a等于0，则|a|=0；如果a小于0，则|a|=-a。
利用绝对值比较两个负有理数的大小时，绝对值大的反而小。
绝对值具有非负性，即|a|≥0.如果若干个非负数的和为0，则这些非负数都必为0.例如，如果a+b+c=0，则a=0，b=0，c=0.绝对值还有其他重要的性质。
任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a；如果a=b，则|a|=|b|；如果a不等于0，则|a^2|=a^2；对于任意的a和b，有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
去掉绝对值符号的基本步骤是找零点，分区间，定正负，去符号。
解绝对值不等式需要将式子中的绝对值符号化为一般代数式类型来解，可以使用换元法、讨论法、平方法等方法。
证明绝对值不等式可以利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项，使要证的式子与已知的式子联系起来。
在一些考试中，会出现绝对值相关的题目，例如已知|x-2|+|y-3|=1，求x+y的值。
若x+3+y+1+z+5=K，则x-y-z=K-9.总结：若干非负数之和为K，则它们的和至少为K。
先化简，再求值：3a^2b-2ab^2-2(ab-2a^2b)+2ab=4a^2b-2ab^2+4ab。
其中a、b满足a+3b+1+(2a-4)^2=K。
二）绝对值的性质例1】若a<0，则4a+7|a|等于（）C．-3a例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）A．1例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy>0，则x-y的值等于（）A．7或-7例4】若x^2=-1，则x是（）B．负数例5】已知：a>0，b1-b>a>-b例6】已知a，b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（）D．2或4例7】a<0，ab<0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）B．-4例8】若|x+y|=y-x，则有（）D．x=0，y≥0或y=0，x≤0例9】已知：x0，且|y|>|z|>|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A．是正数例10】给出下面说法：1）互为相反数的两数的绝对值相等；2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；3）若|m|>m，则m<0；4）若|a|>|b|，则a>b，其中正确的有（）B．（1）（2）（4）例11】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|=1.巩固】已知a、b、c、d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。
初中数学绝对值教案(5篇)
初中数学绝对值教案（5篇）初中数学绝对值教案（5篇）通过向学生渗透数形结合思想和分类讨论的思想，让学生领略到数学的奥妙，从而激起他们的好奇心和求知欲望。
下面是小编为大家整理的初中数学绝对值教案，如果大家喜欢可以分享给身边的朋友。
初中数学绝对值教案【篇1】一、素质教育目标（一）知识教学点1、能根据一个数的绝对值表示距离 ,初步理解绝对值的概念。
2、给出一个数，能求它的绝对值。
（二）能力训练点在把绝对值的代数定义转化成数学式子的过程中，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力。
（三）德育渗透点1、通过解释绝对值的几何意义，渗透数形结合的思想。
2、从上节课学的相反数到本节的绝对值，使学生感知数学知识具有普遍的联系性。
（四）美育渗透点通过数形结合理解绝对值的意义和相反数与绝对值的联系，使学生进一步领略数学的和谐美。
二、学法引导1、教学方法：采用引导发现法，辅之以讲授，学生讨论，力求体现教为主导，学为主体的教学要求，注意创设问题情境，使学生自得知识，自觅规律。
2、学生学法：研究+6和-6的不同点和相同点→绝对值概念→巩固练习→归纳小结（绝对值代数意义）三、重点、难点、疑点及解决办法1、重点：给出一个数会求出它的绝对值。
2、难点：绝对值的几何意义，代数定义的导出。
3、疑点：负数的绝对值是它的相反数。
四、课时安排2课时五、教具学具准备投影仪（电脑）、三角板、自制胶片。
六、师生互动活动设计教师提出+6和-6有何相同点和不同点，学生研究讨论得出绝对值概念；教师出示练习题，学生讨论解答归纳出绝对值代数意义。
七、教学步骤（一）创设情境，复习导入师：以上我们学习了数轴、相反数。
在练习本上画一个数轴，并标出表示-6,0及它们的相反数的点。
学生活动：一个学生板演，其他学生在练习本上画。
【教法说明】绝对值的学习是以相反数为基础的，在学生动手画数轴的同时，把相反数的知识进行复习，同时也为绝对值概念的引入奠定了基础，这里老师不包办代替，让学生自己练习。
初中数学有理数绝对值重点题型
初中数学有理数绝对值重点题型总结如下：一、理解绝对值的含义和绝对值计算公式的运用。
1. 任何有理数的绝对值都是非负数，也就是说，只要是有理数，它的绝对值就有且只有一个。
2. 互为相反数的两个数绝对值相等，负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值也等于它的本身。
二、绝对值的重点题型有：1. 求一个数的绝对值：首先要弄清这个数的范围，然后再根据绝对值的含义求解。
例如，若|a|＋5＝0，则a＝±5；若|a|＋(a－1)÷3＝0，则a＝2。
又如，－2的绝对值是2；4的绝对值是4等。
求绝对值的关键是要深刻理解符号，也就是绝对值的含义。
2. 求代数式的绝对值：这类题目的表达式往往是将数或式看成字母的绝对值，也就是用字母的绝对值来求表达式的值。
例如，求|a|＋3的值，如果a是正有理数，则值为4；如果a 是负有理数，则值为－3；如果a是零，则值为0。
三、重点题型例题分析：(1)判断：－a的绝对值是－a( )解：本题应先根据题意列出算式，再根据绝对值的非负性得出结论。
因为－a表示的数小于0，所以它的绝对值应是它的相反数－a，答案为正确。
(2)若|a|＝b，则a＝b( )解：因为|a|表示数a的点到原点的距离，所以由|a|＝b可得到a为一切有理数(包括正数、负数和0)，即答案不成立。
【例1】当式子|x＋1|＋|x－2|取最小值时，x的取值范围是( )【分析】利用几何方法可以作出这个式子的几何解释，在数轴上表示出数x到－1和2的距离之和，当且仅当x在点－1和2之间的线段上时距离之和最小。
【解答】解：当式子|x＋1|＋|x－2|取最小值时，x的取值范围是1≤x≤2以上就是初中数学有理数的重点题型和知识点总结。
在学习中我们要注意定义中的细节问题，并善于运用各种方法灵活解题。
同时要结合自己的实际情况进行复习，有针对性地进行强化训练，以提升自己的数学能力。
1.2.4《绝对值》课件-2024-2025学年人教版(2024)数学 七年级上册
课堂练习
4. 化简下列各数。
+| -3.5 |，- | + 56 | ，- | -11 | ， |+（-15） | ， | -（-7） | ，| -（+9） |.
解：3.5，- 5 ，-11，15，7，9
6
【点睛】绝对值里边直接去掉符号，保留正数即可，再根据外边的符号进
行化简。
随堂检测
1. 求下列各数的绝对值.
12， - 3 , -7.5 ， 0
5
解： | 12 | =12；
|- 3 |= 3
5
5
正数的绝对值等于它本身
ห้องสมุดไป่ตู้负数的绝对值等于它的相反数
| -7.5 | = 7.5；
| 0 | = 0。
0的绝对值是0
随堂检测
2. 填一填：
0
(1)绝对值等于0的数是___；
5.25
(2)绝对值等于5.25的正数是_____；
| -0.5 | =0.5
一个负数的绝对值等于它的相反数；
7
||= 7
4
4
典例解析
（2）如图，数轴上的点A、B、C、D分别表示有理数a、b、c、d这
四个数，绝对值最小的是哪个数？
A
-4
B
-3
-2
-1
C
0
D
1
2
3
分析：一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近；
反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小。
(5) 绝对值等于同一个正数的数有两个，且这两个数互为相反数.(
√
)
新知探究
我们知道，互为相反数的两
个数（除0之外）只有符号不同，
初中数学.有理数——绝对值
内容基本要求 略高要求 较高要求 绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．中考要求重难点绝对值【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．4【例2】下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a例题精讲课前预习【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【例11】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若|m |＞m ，则m ＜0；（4）若|a |＞|b |，则a ＞b ，其中正确的有（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【例12】已知a ，b ，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c -b |-|b -a |-|a -c |= _________c ba 0-11【例13】若x ＜-2，则|1-|1+x||=______若|a|=-a ，则|a-1|-|a-2|= ________【例14】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值【例15】451+-++x x 的最小值是_______【例16】计算111111 (23220072006)-+-++-= ．【例17】若|a |+a =0，|ab |=ab ，|c |-c =0，化简：|b |-|a+b |-|c -b |+|a -c |= ________【例18】已知：abc ≠0，且M =a b c a b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能． 当a 、b 、c 都是正数时，M = ______；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．1. 若a 的绝对值是12，则a 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．12 D ．12±2. 若|x |=-x ，则x 一定是（ ）A ．负数B ．负数或零C ．零D ．正数3. 如果|x -1|=1-x ，那么（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ≤1D ．x ≥14. 若|a -3|=2，则a +3的值为（ ）A ．5B ．8C ．5或1D ．8或45. 若x ＜2，则|x -2|+|2+x |=________________课堂检测6. 绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________7. 如图所示，a ．b 是有理数，则式子|a |+|b |+|a +b |+|b -a |化简的结果为 __________ba 0-118. 已知|x |=2，|y |=3，且xy ＜0，则x+y 的值为 _________1. -19的绝对值是________2. 如果|-a |=-a ，则a 的取值范围是（A ．a ＞0B ．a ≥0C ．a ≤0D ．a ＜03. 对值大于1且不大于5的整数有 __________个．4. 绝对值最小的有理数是 _________．绝对值等于本身的数是________．5. 当x __________时，|2-x|=x-2．6. 如图，有理数x ，y 在数轴上的位置如图，化简：|y-x |-3|y +1|-|x |= ________y x -12107. 若3230x y -++=，则yx 的值是多少？课后作业。
绝对值与相对值的关系
绝对值与相对值的关系绝对值与相对值是数学中的两个概念。
它们经常在实际生活和数学问题中使用。
虽然它们都表示一个数之间的关系和大小，但它们从不同的角度来描述这个关系。
接下来，本文将详细探讨绝对值和相对值的概念以及它们之间的关系。
一、什么是绝对值？绝对值这个概念在初中数学就已经学过了。
它代表了一个数的大小，而无论这个数是正数还是负数，它的绝对值都是正数。
按照数学定义，如果x是一个实数，那么它的绝对值就是|x|，表示x与0之间的距离。
如果x大于等于0，那么|x|就等于x；而如果x小于0，那么|x|就等于-x。
例如，|5| = 5，|-5| = 5，|0| = 0。
绝对值在实际生活中也很有用。
例如，当我们做物理学和工程学的题目时，可能需要计算电量、电流和电势差等量，这些量都有正负之分，但在实际运算中，我们只需要考虑它们的绝对值即可。
相对值也叫做相对误差或相对误差百分比，是用来衡量两个数之间的差距的一种方法。
它让我们比较两个数的相对大小，而不受这两个数本身的绝对大小所影响。
按照数学定义，如果a和b是两个数，那么它们之间的相对值就是：相对值 = (|a - b| / |a|) × 100%其中，|a - b|是a和b之间的距离，|a|是a的绝对值。
例如，如果一个人的体重是100公斤，体重计的读数误差是2公斤，那么这个人的相对误差是：绝对值和相对值都是用来描述数之间的关系和大小，但是它们的应用场景和概念是不同的。
绝对值只考虑数的大小，而不考虑它们之间的关系，而相对值则是用来衡量两个数之间的差距。
如果两个数之间的差距很小，那么相对值就较小；反之，如果它们之间的差距很大，那么相对值就较大。
在实际应用中，我们经常需要同时使用绝对值和相对值。
例如，在比较两种产品的性能时，我们可能会同时考虑它们的绝对值和相对值。
如果一个产品的数据更好，但是它的绝对值很大，那么我们会觉得它的性能并没有另一个产品好；反之，如果一个产品的数据稍差但它的相对值很小，那么我们可能会更愿意选择它。
根据绝对值求取值范围洋葱数学
根据绝对值求取值范围洋葱数学（原创版）目录1.绝对值的定义与性质2.求解绝对值取值范围的方法3.洋葱数学的背景和应用4.结论正文一、绝对值的定义与性质绝对值是一个数到 0 的距离，因此它总是非负的。
绝对值的定义可以表示为：|x| = x (x ≥ 0)，|x| = -x (x < 0)。
根据这个定义，我们可以得到以下性质：1.对于任何实数 x，|x| ≥ 0。
2.对于任何实数 x，|-x| = |x|。
3.对于任何实数 x 和 y，|x + y| ≤ |x| + |y|。
二、求解绝对值取值范围的方法求解绝对值取值范围的方法主要是通过分段讨论，脱掉绝对值符号。
我们可以根据绝对值符号内的数正负来确定取值范围。
具体步骤如下：1.当 x < 0 时，原式为-x，此时原式随 x 的增大而减小，取得最小值时 x = -1，所以取值范围为 x ≤ -1。
2.当 0 ≤ x < 2 时，原式为 x - 2，此时原式随 x 的增大而增大，取得最小值时 x = 2，所以取值范围为 2 ≤ x < 4。
3.当 x ≥ 2 时，原式为 x - 4，此时原式随 x 的增大而增大，所以取值范围为 x ≥ 4。
综合以上三种情况，我们可以得到绝对值的取值范围为 x ≤ -1 或2 ≤ x < 4 或 x ≥ 4。
三、洋葱数学的背景和应用洋葱数学（Onion Math）是一种以绝对值为主的数学问题，主要涉及绝对值的性质、求解绝对值取值范围等方面的内容。
它在初中数学、高中数学以及考研数学等阶段都有涉及，是数学学习中的一个重要组成部分。
洋葱数学问题的解决方法主要是通过分段讨论，脱掉绝对值符号，然后根据不同情况求解最值。
这种问题既能锻炼学生的逻辑思维能力，又能提高学生的数学运算能力。
四、结论通过以上分析，我们可以得出求解绝对值取值范围的方法是分段讨论，脱掉绝对值符号，然后根据不同情况求解最值。
初中数学人教版七年级上册《绝对值》
| b |= -b (b＜0)
达标检测
6.正式排球比赛对所用的排球重量是有严格规定的，现检查5个排球的重量，超过 规定重量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下：
问题：指出哪个排球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明. 答：第五个排球的质量好一些，因为它的绝对值最小，也就是离标准质量的克数 最近.
0 (a 0)
知识精讲
思考: 相反数、绝对值的联系是什么？
互为相反数的两个数的绝对值相等。
|+5|=5
|-5|=5
绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数。
针对练习
判断下列说法 是否正确：
（1）一个数的绝对值是4 ，则这数是－4。×
（2）|3|＞0。 √ （3）|－1.3|＞0。 √
（4）有理数的绝对值一定是正数。×
|-10|=10 |100|=100 |50|=50 |-5000|=5000 …..
思考：
一个正数的绝对值是什么？ 一个负数的绝对值是什么？
0的绝对值是什么？
知识精讲
绝对值的性质及应用
结论1：一个正数的绝对值是正数； 一个负数的绝对值是正数； 0的绝对值是0。
结论2：一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数。
（5）若a＝－b，则|a|＝|b|。 √
（6）若|a|＝|b|，则a＝b。 × （7）若|a|＝－a，则a必为负数。 ×
（8）互为相反数的两个数的绝对值相等。√
典例解析
例1 求下列各数的绝对值.
12，
3
-7.5，
0。
5
解： |12|=12； 正数的绝对值等于它本身
|
3
|=
3
；
七年级数学培优第1讲——绝对值大全
北师大附属杭州中学七年级数学培优第1讲——绝对值大全班级_____________ 姓名________________绝对值是我们初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l ．绝对值的代数意义：⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0_____()0_____()0_____(a a a a2．绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示_____________________的距离(长度，非负) ；b a -表示__________________________．3．绝对值基本性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培优讲解（一）、绝对值的非负性问题【例1】若3150x y z +++++=，则x y z --= 。
总结：若干非负数之和为0， 。
（二）、绝对值中的整体思想【例2】已知4,5==b a ，且a b b a -=-，那么b a += ．变式1. 若|m －1|=m －1，则m_______1; 若|m －1|>m －1，则m_______1;（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）【例3】阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令01=+x 和02=-x ，分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）。
在有理数范围内，零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）当1-<x 时，原式=()()1221+-=--+-x x x ;（2）当21<≤-x 时，原式=()321=--+x x ；（3）当2≥x 时，原式=1221-=-++x x x 。
1.2.4 绝对值 课件 人教版七年级数学上册 (32)
2、几何意义：在数轴上表示互为相反数的两个点分
别位于原点的两旁，且到原点的距离相等。
代数意义： a、b互为相反数，则a+b=0
3、化简相反数口诀：同号得正，异号得负。
探究1
两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶
10 km，到达A，B两处，
行驶路线不同（正负性）
9
︱ 9 ︱=______
9
︱- 9 ︱=_______
2.5
︱ 2.5︱=_______
2.5
︱ -2.5 ︱=________
0
︱ 0︱=_______
思考：例1和例2中各数的绝对值与这些数本
身有什么关系？
归纳总结
|a|中的a 可以是正数、负数和 0.
（1）一个正数的绝对值是它本身；
（2）一个负数的绝对值是它的相反数；
数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小.
解：因为在点A，B，C，D中，点C离原点最近，所
以在有理数a，b，c，d中，c的绝对值最小.
随堂练习
1、若 a 1 1 ，则
a
a 的取值范围是
。
2、如果|x-1|=2，则x=______．
3、绝对值不大于5的整数中,最大的数是___,最小的
小结
回顾本节课所学内容，并请同学们回答以下问题：
1、 绝对值的几何意义和代数意义。
2、如何求一个数的绝对值。
一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数
a 的绝对值(absoute value) ，记作|a|.
(1)若a 0, 则 a a；
(2)若a 0, 则 a －a；
(3)若a 0, 则 a 0.
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——绝 对 值
姓名： 成绩：
【要点提示】
一、绝对值的概念
1．定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
3．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
4绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。
5．互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
6．绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。
二、绝对值的求法
绝对值是一种运算，这个运算符号是“
”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任
意有理数a ，有 （1）(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
（2）(0)(0)a a a a a ≥⎧⎨-<⎩ （3）(0)(0)a a a a a >⎧⎨-≤⎩ 【典型例题】
例1．求下列各数的绝对值。
（1）34= ； （2）13-= ； （3）144-= ； （4）132
= ； 例2．（1）一个数的绝对值是3，则这个数是 。
（2）一个数的绝对值是0，则这个数是 。
（3）有没有一个数的绝对值是-4？ 。
思考：a 与0的大小关系
例3．（1）若2m -=，求m 的值；（2）若a b =，则a b 与的关系是什么？
例4．写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。
例5．如果a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，那么a 与b 的和是多少?
例6．有理数,,a b c 在数轴上对应的点分别为A ，B ，C ，其位置如图所示，试化简a b c a b c c ++-++-
【经典练习】
一、填空题
1．31-的绝对值是 ，31的绝对值是 ， 的绝对值是3
1． 2.一个正数的绝对值为8，这个数是 ，一个负数的绝对值为8，这个数是 ．
3. 的绝对值是它本身， 的绝对值是它的相反数．
4.若0>a ，则=a ；若0<a ，则=a ；若0=a ，则=a ．
5.若a a =，则a 0，若a a -=，则a 0．
6. 的绝对值比它的本身大．
7.一个数的绝对值等于3，则这个数可能是 ．
二、选择题
8．下列等式中，成立的是（ ）
A 、33±=+
B 、()33--=-
C 、33±=±
D 、3
131=-- 9．下列计算中，错误的是（ ）
A 、1257=-+-
B 、04.03.034.0=---
C 、535154=--
D 、311312213
=---
B C 0 A
10．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必满足（ ）
A 、相等
B 、都是0
C 、互为相反数
D 、相等或互为相反数
11．下列各式中，不正确的是（ ）
A 、01.001.0->-
B 、001.001.0->-
C 、⎪⎭
⎫ ⎝⎛--<--3131 D 、2.32.3->-- 12．下列判断正确的是（ ）
A 、若b a =，则b a =
B 、若b a =，则b a =
C 、若b a <，则b a <
D 、若b a >，则b a > 三、解答题
13．试写出：（1）绝对值小于5的所有负整数 ；
（2）绝对值小于5.2而又大于2.1的所有整数 ．
14．已知一组数；4，－3，21-，+5.1，2
14-，0，－2.2．在这组数中： （1）绝对值最大的数为 ；绝对值最小的数为 ；
（2）相反数最大的数为 ；相反数最小的数为 ．
15．如图，直线上有三个不同的点A 、B 、C ，且AB ≠BC ，那么，到A 、B 、C 三点距离的和最小的点（ ）
A 、是
B 点
B 、是A
C 的中点 C 、是AC 外一点
D 、有无穷多个 16．对任意有理数a ，式子1a -，1a +，1a -+，1a +中，取值不为0的是 。
17．绝对值小于2002的所有整数之和是 。
18．指出下列各式中a 为什么数．
（1）0=+a a
（2）a a =-
19．若7,8==b a ，且b a <，试求b a +的值．
20.已知12a =+，7b =-，()
198c =----,则a c b +-+= 。
21. 当13x <<时，求13x x -+-的值。
A B C
绝对值作业
姓名________ 成绩_________
1．求出下列各数的绝对值．
（1）1 （2）－2 （3）21 （4）3
13- （5）0 2．绝对值小于3.5的所有整数有 ．
3．（1）=-14.3π ；（2）若2<a ，则=-2a ．
4．化简：()=---3 ；()=-+--32 ．
5．绝对值最小的数是 ；绝对值等于它本身的数是 ；绝对值是它的相反数的是 ．
6．一个数的绝对值是4，则这个数是 ．
7．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A 、21-与21
B 、32-与32-
C 、23-与32
D 、1-与()1--
8．下列各式：①33+=-②5.15.1-=-③11-=-a a ④1=a ，则1=a ⑤⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-
2323．其中正确的个数有（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 9．下列说法正确的是（ ）
A 、如果两个数的绝对值相等，则这两个数必相等
B 、如果两个数不相等，那么它们的绝对值肯定不相等
C 、在()()2,2,2,2-------中有两个负数
D 、若()[]7,7--=-+-=b a ，则b a ,互为相反数
10．数b a ,在数轴上的位置如图，观察数轴，并回答：
（1）比较a 和b 的大小；
（2）比较a 和b 的大小；
（3）判断b a a b b a b a ⨯--+,,,的符号；
（4）试化简a b b a -+--
自我评价定级
a b。