2021高考理科数学(人教A版)一轮复习课时规范练16定积分与微积分基本定理
2021高考数学(理)一轮复习题库《第3章 第3讲 定积分与微积分基本定理》
解析 由曲线 y＝|x2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积
相等，即错误!|x2－1|dx.
答案 A
5.若 S1＝错误!x2dx，S2＝错误!1xdx，S3＝错误!exdx，则 S1，S2，S3 的大小关系为
() A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1
B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1
所以 S＝错误!(1－x2)dx＝2错误!(1－x2)dx
| x－1x3
＝2 3
1
＝2
1－1 3
＝4.
0
3
答案 4 3
8.(2017·济南模拟)设 a>0，若曲线 y＝ x与直线 x＝a，y＝0 所围成封闭图形的
面积为 a2，则 a＝________. 解析 封闭图形如图所示，则 错误! xdx＝
| 7t－3t2＋25ln（1＋t） 4
＝2
0
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).
答案 C
13.(2017·郑州调研)错误!( 1－x2＋ex－1)dx＝________.
解析 错误!( 1－x2＋ex－1)dx＝错误! 1－x2dx＋错误!(ex－1)dx.
因为 错误! 1－x2dx 表示单位圆的上半部分的面积，
1x3－x2 3
0
＋
-2
| －1x3＋x2 2
3
＝8.
0
10.求曲线 y＝x2，直线 y＝x，y＝3x 围成的图形的面积.
解 作出曲线 y＝x2，直线 y＝x，y＝3x 的图象，所求面积为
图中阴影部分的面积.
y＝x2，
解方程组
得交点(1，1)，
高考数新人教A一轮复习专题练习 3.3 定积分与微积分基本定理
1.设连续函数f(x)>0,则当a<b 时,定积分∫()b a f x dx 的符号( ) A.一定是正的 B.一定是负的C.当0<a<b 时是正的,当a<b<0时是负的D.以上结论都不对 【答案】 A【解析】 由∫()b a f x dx 的几何意义及f(x)>0,可知∫()ba f x 表示x=a,x=b,y=0与y=f(x)围成的曲边梯形的面积. ∴∫()b a f x dx>0.2. ∫22ππ- (1+cosx)dx 等于( )A.πB.2C.π-2D.π+2【答案】 D【解析】 ∫22ππ-(1+cosx)dx=(x+sinx)|22ππ-2(π=+sin 22)[ππ--+sin 2()]2π-=+π. 3.用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( )A. ∫()c a f x dxB.| ∫()c a f x dx|C. ∫()b a f x dx+∫()cb f x dxD. ∫()cb f x dx-∫()b a f x dx【答案】 D【解析】 由定积分的几何意义知选项D 正确.4.(2012山东荷泽模拟)设函数()mf x x ax =+的导函数则∫21()f x -dx 的值等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16【答案】 A【解析】 由于()m f x x ax =+的导函数为f′(x)=2x+1,所以2()f x x x =+,于是∫21()f x -dx=∫221()x x -313(x -212)x |2516=.5.直线y=2x+3与抛物线2y x =所围成的图形面积为 . 【答案】323【解析】 由 223y x y x =+,⎧⎨=,⎩得1213x x =-,=. ∴面积S=∫31(23)x -+dx-∫321x -dx 2(3)x x =+|33113x --|33213-=. 1. ∫412x dx 等于( )A.-2ln2B.2ln2C.-ln2D.ln2【答案】 D【解析】 ∫412x dx=lnx |42=ln4-ln2=ln2.2.(2011福建高考,理5) ∫10(e 2)xx +dx 等于( ) A.1B.e-1 C.e D.e+1【答案】 C【解析】 ∵被积函数e 2x x +的一个原函数为e 2xx +,∴∫10(e 2)x x +dx=(e 2)x x +|10(=e 121)(+-e 0+3.已知f(x)= 210101x x x ⎧,-≤≤,⎨,<<,⎩则∫11()f x -dx 的值为 ( )A.32B.23-C.23D.43【答案】 D【解析】 ∫11()f x -dx=∫021x -dx+∫101dx 313x=|01x -+|10 14331=+=.4.函数f(x)= 2110cosx 0x x x π+,-≤<,⎧⎨,≤≤⎩ 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32B.1C.2D.12【答案】 A【解析】 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为1211S =⨯⨯+∫20πcosxdx 12=+sinx |2π12=+sin 2π-sin032=.5.函数y=∫(x x -cos 22)t t ++dt( )A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.以上都不正确【答案】 A【解析】 y=(sin 332)t t t ++|2xx -=sin 3234x x x ++,为奇函数6.(2011湖南高考,理6)由直线330x x y ππ=-,=,=与曲线y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B.1【答案】 D【解析】 结合图形可得:S=∫33ππ-cosxdx=sin x |33ππ-3π-3()π-=7.由曲线32y x y x =,=围成的封闭图形的面积为( )A.112B.14C.13D.712【答案】 A【解析】 因为2y x =与3y x =的交点为(0,0),(1,1), 故所求封闭图形的面积为∫102x dx-∫103x d 313x x =|10414x -|101113412=-=,选A.8.曲线1x y =与直线y=x,x=2所围成的图形面积为 . 【答案】32-ln2【解析】 S=∫211()x x -d 212(x x =-lnx)|2312=-ln2. 9.如果∫10()f x dx=1, ∫20()f x dx=-1,则∫21()f x dx= .【答案】 -2【解析】 ∵∫20()f x dx=∫10()f x dx+∫21()f x dx, ∴∫21()f x dx=∫20()f x dx-∫10()f x dx=-1-1=-2.10.由曲线2y x =和直线2(01)t t ,∈,所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 .【答案】14【解析】 围成图形的阴影部分的面积3S t =-∫20t x dx+∫12t x dx 2324133(1)t t t t --=-+.令S′2420t t =-=,解得12t =或t=0(舍去).可判断当12t =时S 最小1min 4S ,=.11.计算下列定积分.(1) ∫2211(2)x x -dx;(2) ∫322dx;(3) ∫30π(sinx-sin2x)dx.【解】 (1) ∫2211(2)x x -d 323(x x =-lnx)|21 163=-ln 214332-=-ln2.(2) ∫322dx=∫312(2)x x ++dx212(x =+lnx+2x)|32 92(=+ln3+6)-(2+ln2+4)=ln 3922+.(3) ∫30π(sinx-sin2x)dx=(-cos 12x +cos2x)|30π11112424()(1)=----+=-.12.已知f(x)为二次函数,且f(-∫10()f x -2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.【解】 (1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠,则f′(x)=2ax+b. 由f(-1)=2,f′(0)=0,得 20a b c b -+=,⎧⎨=⎩即20c a b =-,⎧⎨=.⎩∴2()(2)f x ax a =+-.又∫10()f x dx=∫120[(2)]ax a +-dx 313[(2)]ax a x =+-|120322a =-=-. ∴a=6,c=-4.从而2()64f x x =-. (2)∵2()64[11]f x x x =-,∈-,, ∴当x=0时min ()4f x ,=-; 当1x =±时max()2f x =.13.如图所示,直线y=kx 分抛物线2y x x =-与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.【解】 抛物线2y x x =-与x 轴两交点的横坐标为1201x x =,=, 所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S=∫120()x x -d 23123()x x x =-|1106=.又由 2y x x y kx ⎧=-,⎨=,⎩ 可得抛物线2y x x =-与y=kx 两交点的横坐标为3401x x k =,=-,所以,2S =∫120()k x x kx ---d 231123()k x x x -=-|13106(1)k k -=-.又知16S =,所以312(1)k -=,于是11k ==14.一条水渠横断面为抛物线型,如图,渠宽AB=4米,渠深CO=2米,当水面距地面0.5米时,求水的横断面的面积.【解】 如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为22x py =,代入(2,2)得2p=2,∴22x y =.将点(x,1.5)代入22x y =得x =∴水的横断面的面积为S=(1.2125)x -dx=(1.3165)x x -|.∴水的横断面的面积为平方米.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案 定积分与微积分基本定理
第十三节 定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| b a ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13， c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限． (3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋eq \a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C.答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2016)的值为()A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5.所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为 s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2. 答案：1.2。
2021高考一轮数学(理)第3章 第7节定积分与微积分基本定理
考点 2 定积分的几何意义
(1)根据题意画出图形． (2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和． (4)计算定积分，写出答案．
利用定积分的几何意义计算定积分 (1)计算：3 3＋2x－x2dx＝________．
1
(2)若m －x2－2xdx＝π4，则 m＝________． －2
a
[常用结论]
函数 f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有
(1)若 f(x)为偶函数，则a f(x)dx＝2af(x)dx．
－a
0
(2)若 f(x)为奇函数，则a f(x)dx＝0． －a
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt.( )
2 [π(sin x－cos x)dx＝(－cos x－sin x)|π0＝1＋1＝2.] 0
3.1|x－1|dx＝________． 0
1 2
[01|x－1|dx＝01(1－x)dx＝x－12x2|10＝1－12＝12.]
运用微积分基本定理求定积分时的 4 个关键点 (1)对被积函数要先化简，再求积分． (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加 性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求 积分． (4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．
π 4
[0
1－x2dx 表示由直线 x＝0，x＝－1，y＝0 以及曲线 y＝
－1
1－x2所围成的图形的面积，
∴0
1－x2dx＝π4.]
－1
4．曲线 y＝x2 与直线 y＝x 所围成的封闭图形的面积为________．
2021版高考理科数学(人教A版)一轮复习 教师用书 第3讲 定积分与微积分基本定理
第3讲 定积分与微积分基本定理[学生用书P52]一、知识梳理 1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞ ∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ．(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．常用结论1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 二、习题改编1．(选修2-2P66T14改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )A.⎠⎛－11x 2d xB ．⎠⎛－112x d xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD ．⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解析：选D.由分段函数的定义及定积分运算性质， 得⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x .故选D.2．(选修2-2P66A 组T14改编)⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝________． 解析：⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1.答案：13．(选修2-2P55A 组T1改编)若⎠⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于________．解析：由题意知(－cos x －a sin x )⎪⎪⎪π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－14．(选修2-2P60A 组T6改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________m.解析：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t 21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 答案：132一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛01(x 2－x )d x .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)误解积分变量致误； (2)不会利用定积分的几何意义求定积分；(3)f (x )，g (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错． 1．定积分⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝________．解析：⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝(t 2＋1)x |2－1＝2(t 2＋1)＋(t 2＋1)＝3t 2＋3. 答案：3t 2＋3 2.⎠⎛22－x 2d x ＝________解析：⎠⎛022－x 2d x 表示以原点为圆心，2为半径的14圆的面积，故⎠⎛022－x 2d x ＝14π×(2)2＝π2.答案：π23．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2⎪⎪⎪20＝－83＋4＝43. 答案：43[学生用书P53]定积分的计算(多维探究) 角度一 利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛122x d x ；(2)⎠⎛0πcos x d x ；(3)⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x . 【解】 (1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎛122x d x ＝2⎠⎛121xd x ＝2ln x ⎪⎪⎪21＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.(2)因为(sin x )′＝cos x ，所以⎠⎛0πcos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪π0＝sin π－sin 0＝0.(3)因为(x 2)′＝2x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，所以⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x ＝⎠⎛132x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫－1x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪31＋1x ⎪⎪⎪31＝223. 角度二 利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ；(2)⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x .【解】 (1)根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.(2)设y ＝f (x )＝3x 3＋4sin x ，则f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x )， 所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5，5]上是奇函数． 所以⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＝－⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x .所以⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x ＝⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＋⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ＝0.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．1.⎠⎛－11e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛01e x d x＝－e －x ⎪⎪⎪⎪1-1＋e x ⎪⎪⎪⎪1＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0) ＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C. 2.⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x d x ＝________． 解析：⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分求平面图形的面积(师生共研)(一题多解)求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积． 【解】如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)．法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎫y ＋4－12y 2d y ＝18.设阴影部分的面积为S ，则对如图所示的四种情况分别有：(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x .(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .1．已知曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线为l ，则由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域的面积等于________．解析：因为y ′＝2x ＋2，所以曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝2，所以切线方程为y ＝2x ，所以由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S ＝⎠⎛1(x 2＋2x －2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13.答案：132.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112， 所以a ＝－1. 答案：－1定积分在物理中的应用(师生共研)(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.【解析】 (1)令v (t )＝0得，3t 2－4t －32＝0， 解得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去. 汽车的刹车距离是⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[7t －32t 2＋25ln(t ＋1)]⎪⎪⎪40 ＝4＋25ln 5.(2)由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42 ＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)．【答案】 (1)C (2)36定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .1．物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，因为(t 3＋t －5t 2)′＝3t 2＋1－10t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t－5t 2＝5，整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.2．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ；力的单位： N)．解析：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ，因为⎝⎛⎭⎫13x 3＋x ′＝x 2＋1，所以原式＝342(J)． 答案：342[学生用书P274(单独成册)][基础题组练]1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D.⎠⎛01(3x ＋e x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e. 2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.3．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B.因为f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f （x ）d x |1＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈（1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B ．π2＋3C.π4＋43D ．π4＋3解析：选A.⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43，故选A.5.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13 B ．310C.14D ．15解析：选A.由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝13.故选A.6．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________．解析：⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛1x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案：237.⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝________．解析：因为x 2tan x ＋x 3是奇函数．所以⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝⎠⎛－111d x ＝x |1－1＝2.答案：28．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x＝1时F (x )所做的功等于________．解析：由题意知W ＝－⎠⎛01⎝⎛⎭⎫110e x ＋x d x＝－⎝⎛⎭⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝－e 10－25. 答案：－e 10－259．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x＝x 22⎪⎪⎪21－x 33⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x ＝sin x ⎪⎪⎪0－π＋e x ⎪⎪⎪0－π＝1－1e π. 10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1，2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝4－83＝43. [综合题组练]1．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭平面图形的面积为( )A.329B ．4－ln 3C ．4＋ln 3D ．2－ln 3解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.（舍） 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3. 故阴影部分的面积为⎠⎛13⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝ ⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪31＝4－ln 3. 2．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33. 又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 答案：33 3.⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________． 解析：⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2. 而⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )⎪⎪⎪1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2， 所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案：π2＋e －1e－2 4．若函数f (x )在R 上可导，f(x)＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________． 解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2. 故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 44－x 3⎪⎪⎪20＝－4.答案：－45．如图，在曲线C ：y ＝x 2，x ∈[0，1]上取点P (t ，t 2)，过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x ＝0，x ＝1及直线l 围成的图形包括两部分，面积分别记为S 1，S 2.当S 1＝S 2时，求t 的值．解：根据题意，直线l 的方程是y ＝t 2，且0＜t ＜1.结合题图，得交点坐标分别是A (0，0)，P (t ，t 2)，B (1，1)．所以S 1＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪t 0 ＝t 3－13t 3＝23t 3，0＜t ＜1. S 2＝⎠⎛t 1(x 2－t 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t＝⎝⎛⎭⎫13－t 2－⎝⎛⎭⎫13t 3－t 3＝23t 3－t 2＋13，0＜t ＜1. 由S 1＝S 2，得23t 3＝23t 3－t 2＋13， 所以t 2＝13.又0＜t ＜1，所以t ＝33. 所以当S 1＝S 2时，t ＝33.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
(福建专用)2021高考数学一轮复习课时规范练16定积分与微积分基本定理理新人教A版
课时标准练16 定积分与微积分根本定理一、根底稳固组1.给出如下命题:①-1d x=d t=b-a(a,b为常数,且a<b);②d x=d x=;③f(x)d x=2f(x)d x(a>0).其中正确命题的个数为()A.0B.12.(2021安徽合肥模拟)由曲线f(x)=与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为,那么m的值为()A.2B.33.(2021广东广州质检)定积分|x2-2x|d x=()A.5B.6C.74.(2021广东汕头考前冲刺,理4)假设a=x d x,那么二项式展开式中含x2项的系数是()A.80B.640C.-160D.-405.(2021河北邯郸一模,理8)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,那么过C,M,D三点的抛物线与CD围成的阴影局部的面积是()A. B.C. D.〚导学号21500716〛6.假设函数f(x)=x m+ax的导函数为f'(x)=2x+1,那么f(-x)d x的值为()A. B.C. D.7.(2021河南焦作二模,理4)在区间上任选两个数x和y,那么事件“y<sin x〞发生的概率为()A.B.1-C.D.1-8.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.9.一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度v(t)=5-t+(t的单位:s,v的单位:m/s)紧急刹车至停顿.在此期间火车继续行驶的距离是 m.10.函数f(x)=ax2+c(a≠0),假设f(x)d x=f(x0),0≤x0≤1,那么x0的值为.二、综合提升组11.(2021北京东城区二模,理6)假设a=(1-2x)d x,那么二项式的常数项是()A.240B.-240C.-12.某物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F(x)一样的方向运动了4 m,那么力F(x)所做的功为()A.44 JB.46 JC.48 JD.50 J13.(2021安徽黄山二模,理7)a=(x2-1)d x,b=1-log23,c=cos,那么a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a14.图中阴影局部的面积是()A.16B.1815.假设函数f(x)在R上可导,f(x)=x3+x2f'(1),那么f(x)d x=.三、创新应用组16.(2021河南洛阳三模,理5)数列{a n}为等差数列,且a2 016+a2 018=d x,那么a2 017的值为()A.B.2πC.π2D.π〚导学号21500717〛17.函数f(x)=ax3+b(a≠0),假设f(x)d x=2f(x0),那么x0等于()A.±2B.C.-课时标准练16定积分与微积分根本定理1.B由于-1d x=a-b,d t=b-a,所以①错误;由定积分的几何意义知,d x和d x都表示半径为1的圆面积的,所以都等于,所以②正确;只有当函数f(x)为偶函数时,才有f(x)d x=2f(x)d x,所以③错误,应选B.2.A S=(m-)d x==m3-m3=,解得m=2.3.D∵|x2-2x|=|x2-2x|d x=(x2-2x)d x+(-x2+2x)d x==8.4.A a=x d x=x24=2,那么二项式,易求得二项式展开式中x2项的系数为80,应选A.5.D由题意,建立如下图的坐标系,那么D(2,1).设抛物线方程为y2=2px(p>0),将D(2,1)代入,可得p=,∴y=,∴S=2d x=,应选D.6.A由于f(x)=x m+ax的导函数为f'(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,于是f(-x)d x=(x2-x)d x=7.C在区间上任选两个数x和y,点(x,y)构成的区域的面积为,满足y<sin x的点(x,y)构成的区域的面积为sin x d x=(-cos x)=1,所以所求的概率为应选C.8曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形如图中阴影局部所示,由解得x=0或x=1,所以S=(x-x2)d x=9.55ln 11令5-t+=0,由t>0,得t=10,即经过的时间为10 s.行驶的距离s=d t==55ln 11.10f(x)d x=(ax2+c)d x=a+c=f(x0)=a+c,,x0=±又0≤x0≤1,∴x0=11.D a=(1-2x)d x=(x-x2)=2-22=-2,易求二项式展开式中的常数项为60,应选D.12.B力F(x)所做的功为10d x+(3x+4)d x=20+26=46(J).13.B∵a=(x2-1)d x=-1=--0.667,b=1-log23=1--0.58,c=cos=--0.866,∴c<a<b,应选B.14.B15.-4因为f(x)=x3+x2f'(1),所以f'(x)=3x2+2xf'(1).所以f'(1)=3+2f'(1),解得f'(1)=-3.所以f(x)=x3-3x2.故f(x)d x=(x3-3x2)d x==-4.16.A d x表示以原点为圆心,以2为半径的圆的面积的四分之一,那么a2 016+a2 018=d x=π.∵数列{a n}为等差数列,∴a2 017=(a2 016+a2 018)=,应选A.17.B f(x)d x=(ax3+b)d x==4a+2b,∴4a+2b=2(a+b),解得x0=,应选B.。
2021高考数学一轮复习专练16定积分与微积分基本定理含解析理新人教版
专练16 定积分与微积分基本定理命题范围：积分的概念与运算、微积分基本定理[基础强化]一、选择题1.⎠⎛12(x －2)d x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－122．[2020·山东青岛一中测试]若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛01f(x)d x ＝( )A ．－1B ．－13C .13D ．13．[2020·湖南师大附中测试]直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．44．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b5．[2020·四川成都一中测试] ⎠⎛-11 (1－x 2＋sin x)d x ＝( )A .π4B .π2C ．πD .π2＋26．[2020·安阳一中测试]设k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x)d x ，若(1－kx)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2567．[2020·临川一中测试]设f(x)＝⎩⎨⎧1－x 2，x∈[－1，1，x 2－1，x∈[1，2]，则⎠⎛-12f(x)d x 的值为( )A .π2＋43 B .π2＋3C .π4＋43D .π4＋3 8．[2020·昆明一中测试]如图是函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是( )A .34B .54C .32D .32－349．已知等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ，则a 4＋2a 6＋a 8的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2二、填空题10.⎠⎛02|1－x |d x ＝________11．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．12．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________．专练16 定积分与微积分基本定理1．D ⎠⎛12(x －2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x | 21＝12×22－2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－12.2．B 令⎠⎛01f(x)d x ＝m ，则f(x)＝x 2＋2m ，∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛012m d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋2mx | 10＝m ，得m ＝－13.3．D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)，∴S＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4| 20＝4.4．D a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3| 20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4| 20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )| 20＝1－cos2，∵1－cos2<83<4，∴c <a <b .5．B ⎠⎛-11 (1－x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛-111－x 2d x ＋⎠⎛1－1sin x d x ，∵y ＝sin x 为奇函数，∴⎠⎛1－1sin x d x ＝0，又⎠⎛-111－x 2d x 表示以坐标原点为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，∴⎠⎛-111－x 2d x ＝π2，∴⎠⎛-11 (1－x 2＋sin x )d x ＝π2.6．B 因为k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x | π0－sin x | π0＝2，所以(1－kx )8＝(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝(1－2)8＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8)－a 0＝1－1＝0.故选B.7．A ⎠⎛-12f(x)d x ＝⎠⎛-111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝π2＋43.故选A .9．C ∵a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)| π0＝－(cosπ－cos 0)＝2，又{a n }为等差数列，∴a 5＋a 7＝2a 6＝2，∴a 6＝1， ∴a 4＋2a 6＋a 8＝4a 6＝4. 10．1解析：⎠⎛02|1－x |d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x | 21＝1.11.16解析：如图，阴影部分的面积即为所求．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3| 10＝16.12．－3解析：由已知得f′(0)＝0，因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，所以b ＝0，则f(x)＝x 3＋ax 2，令f(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝－a.由切线y ＝0与函数图象所围区域(题图中阴影部分)的面积为274，得 －∫－a0f(x)d x ＝274，即－∫－a 0(x 3＋ax 2)d x ＝274，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4＋a 3x 3－a 0＝274，所以－⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 44＋a 3×－a 3＝274，即a 412＝274，解得a ＝±3，由题图可知a<0，∴a＝－3.。
通用版高考数学大一轮复习第16讲定积分与微积分基本定理课件理新人教A版
(2)[2018· 湖北咸宁重点高中联考] 若
1 0
1-������ 2 dx= π,∴
x x 2
1 4
1 -π
f(x)dx= -2,故选
1
π 4
(e -2ax)dx=e,则 a=
x
.
(e -2ax)dx=(e -ax ) 0 =e-a-1=e,
∴-a-1=0,∴a=-1.
课堂考点探究
图 2-16-2 A.4 2 B.2 2 C. 2 D.
2 2
(2)[2018· 安徽江南十校联考] 直线 l 过抛物线 E:y2=8x 的焦点且与 x 轴垂直,则直线 l 与 E 所围成的封闭图形的面积为 ( A.13 B.
11 3
) D.
28 3
C.
32 3
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)C
5π 4 π 4
[解析] (1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积 S= x-sin x)
5π 4 π 4
(sin x-cos x)dx=(-cos
=2 2,故选 B.
(2)由题意得,直线 l 的方程为 x=2, 将 y2=8x 化为 y=± 2 2������ . 由定积分的几何意义得,所求面积 S=2
(-x2)dx=2
1 0
x2dx=3 .
2
课前双基巩固
7.计算
-1 1 dx= -2 ������
.
[答案]
-ln 2
-1 1 dx -2 ������
[解析] 根据
的几何意义,可得 x 1 =-ln 2. x
-1 -2 2
-1 1 2 1 d x=dx=-ln -2 ������ 1 ������
2021年高考数学专题复习 第16讲 定积分与微积分基本定理练习 新人教A版
2021年高考数学专题复习第16讲定积分与微积分基本定理练习新人教A版[考情展望] 1.利用微积分基本定理直接计算定积分的值.2.利用定积分的几何意义，考查曲边梯形的面积.3.利用定积分求变力做功、变速运动的质点的运动路程．一、定积分的概念与性质1．定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b 将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式∑i＝1nf(ξi)Δx＝∑i＝1n b－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作⎠⎛abf(x)d x，即⎠⎛ab f(x)d x＝li mn→∞∑i＝1n b－anf(ξi)．2．定积分的几何意义(1)当f(x)≥0时，定积分⎠⎛ab f(x)d x表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(2)当f (x )在[a ，b ]上有正有负时，如图2－13－1所示，图2－13－1则定积分⎠⎛ab f (x )d x 表示介于x 轴，曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分曲边梯形面积的代数和，即⎠⎛abf (x )d x ＝A 1＋A 3－A 2－A 4. 3．定积分的基本性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x .(k 为常数)②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .③⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．定积分与曲边梯形的面积如图，设阴影部分面积为S . ①S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；②S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；③S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c b f (x )d x ；④S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .二、微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛ab f (x )d x＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )| ba ，即⎠⎛ab f(x )d x＝F(x)| b a＝F(b)－F(a)．三、定积分在物理中的应用变速直线运动作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即⎠⎛ab v(t)d t.变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x ＝a移动到x＝b(a＜b)，那么变力F(x)所做的功为⎠⎛ab F(x)d x.1．已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是( )A．10t20B．5t20C.103t20 D.53t20【解析】S＝⎠⎛t0v d t＝⎠⎛t010t d t＝5t2| t00＝5t20.【答案】 B2．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是( )A．S＝⎠⎛1(x2－x)d x B．S＝⎠⎛1(x－x2)d xC．S＝⎠⎛1(y2－y)d y D．S＝⎠⎛1(y－y)d y【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y＝x2y＝x得⎩⎪⎨⎪⎧x＝0y＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x＝1y＝1，∴S＝⎠⎛1(x－x2)d x，故选B.【答案】 B3．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x≥02x x＜0，则⎠⎛1－1f(x)d x的值是( )A.⎠⎛1－1x2d x B.⎠⎛1－12x d xC.⎠⎛0－1x2d x＋⎠⎛12x d x D.⎠⎛0－12x d x＋⎠⎛1x2d x【解析】由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛01x 2d x .【答案】 D4．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________.【解析】 ∵⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝1＋⎠⎛12f (x )d x ＝－1，∴⎠⎛12f (x )d x ＝－2.【答案】 －25．(xx·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【解析】 由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln t ＋1⎪⎪⎪4＝4＋25ln 5.【答案】 C6．(xx·湖南高考)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．【解析】 ∵⎠⎛0T x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪T＝T 33＝9，∴T ＝3. 【答案】 3考向一 [044] 定积分的计算(1)(xx·西安模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C. 3D ．－ 3(2)定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π (3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ∈[0，1]1xx ∈1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________．【思路点拨】 (1)寻求使F ′(x )＝sin x ＋a cos x 的F (x )，运用微积分基本定理求值；(2)利用定积分的几何意义求解；(3)f (x )是分段函数，故根据定积分的性质把所求定积分转化为两个定积分和的形式求解．【尝试解答】 (1)∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )| π20 ＝⎝⎛⎭⎪⎫a sinπ2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1.(2)由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.(3)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ∈[0，1]1xx ∈1，e]，∴⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43.【答案】 (1)B (2)C (3)43,规律方法1 1.用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数.此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加.2.根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.3.若y＝f x为奇函数，则⎠⎛a-a－af x d x＝0.对点训练(1)⎠⎛2|1－x|d x＝________.(2)⎠⎛0－11－x2d x＝________.【解析】(1)⎠⎛2|1－x|d x＝⎠⎛1|1－x|d x＋⎠⎛12|1－x|d x＝⎠⎛1(1－x)d x＋⎠⎛12(x－1)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫x－12x2| 10＋⎝⎛⎭⎪⎫12x2－x| 21＝1.(2)由定积分的几何意义知，⎠⎛0－11－x2d x是由曲线y＝1－x2，直线x＝－1，x＝0，y＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛0－11－x2d x＝π·124＝π4.【答案】(1)1 (2)π4考向二 [045] 利用定积分求平面图形的面积(1)(xx·烟台模拟)如图2－13－2，设OABC是图中边长分别为1和2的矩形区域，则矩形OABC内位于函数y＝1x(x＞0)图象下方的阴影部分区域面积为( )图2－13－2A．ln 2 B．1－ln 2C．2－ln 2 D．1＋ln 2(2)(xx·广州模拟)曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k＝________.【思路点拨】(1)分割阴影部分的面积→求y＝1xx＞0与矩形OABC的交点→定积分的几何意义求值(2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积．【尝试解答】(1)如图，过D作DE⊥x轴于点E，由图可知，S阴影＝S OEDC＋⎠⎜⎛1211xd x＝12×2＋ln x |＝1＋ln 2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3| k 0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. 【答案】 (1)D (2)2规律方法2 1.求曲边图形面积的方法与步骤,1画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；2对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； 3确定被积函数；4求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.2.利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.对点训练 (1)(xx·贵阳模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32 D. 3图2－13－3(2)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)的图象如图2－13－3所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．【解析】 (1)由题意知S ＝∫π3－π3cos x d x ＝sin x |π3－π3＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3.(2)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.【答案】 (1)D (2)－1考向三 [046] 定积分物理意义的应用物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B所用的时间t (s)为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【思路点拨】 利用定积分分别计算出物体A 、B 行驶的路程，然后利用它们之间的关系求解．【尝试解答】 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，所以⎠⎛0t(3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)|t 0＝t 3＋t －5t 2＝5⇒(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5.故选C.【答案】 C规律方法3 利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.对点训练 设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．【解析】 由题意知变力F (x )对质点M 所做的功为∫101(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |101＝342.【答案】 342易错易误之五 定积分的几何意义不明不白 ———[1个示范例] ——— [1个防错练] ———(2011·课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6【解析】 作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2.得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x 此处在求解时，常因不理解定积分的几何意义，导致不能将封闭图形的面积正确地用定积分表示.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x | 40＝23×8－12×16＋2×4＝163.【防范措施】 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上下限.求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．【解】 法一 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝xx ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝－13x 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2＋16x 2|31＝23＋16＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2|31＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 法二 若选积分变量为y ，则三个函数分别为x ＝y 2，x ＝2－y ，x ＝－3y .因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S ＝⎠⎛0－1[(2－y )－(－3y )]d y ＋⎠⎛01[(2－y )－y 2]d y＝⎠⎛0－1(2＋2y )d y ＋⎠⎛10(2－y －y 2)d y＝(2y ＋y 2)|0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y －12y 2－13y 3|10＝－(－2＋1)＋2－12－13＝136. 29761 7441 瑁)I35035 88DB 裛20831 515F 兟23957 5D95 嶕36736 8F80 辀J-735481 8A99 誙24850 6112 愒M o。
2021年高考数学一轮复习 2.13 定积分与微积分基本定理课时作业 理(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 2.13 定积分与微积分基本定理课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(xx·吉林长春第一次调研)设a ＝⎠⎛01x－ 13d x ，b ＝1－⎠⎛01x12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a解析：答案：A2．(xx·江西重点中学盟校第一次联考)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 和直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )解析：答案：D3．(xx·河北保定高三调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x≤0cos x ，0<x ≤π2，则f(x)d x ＝( )A .12 B ．1 C ．2 D .32解析：答案：D4．(xx·荆门市高三元月调考)由直线x ＝12，x ＝2，y ＝0，及曲线y ＝1x 所围图形的面积为( )A .154 B .174 C .12ln 2 D ．2ln 2解析：答案：D5．(xx·黄冈模拟考试)由直线y ＝2与函数y ＝2cos 2x2(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为( )A ．4πB ．2πC ．πD .π2解析：函数f(x)＝2cos 2x2＝cos x ＋1，故所围成封闭图形的面积为2⎠⎛0π(cos x ＋1)d x＝2(sin x ＋x)⎪⎪⎪π0＝2π，故选B .答案：B6．(xx·江西南昌调研)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A .103B ．4C .163D ．6解析：由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形如图． 由定积分几何意义得S 阴＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x故选C .答案：C7．(xx·西安长安第一次质检)在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”：当a≥b 时，a⊕b＝a ；当a<b 时，a⊕b＝b 2，函数f(x)＝(1⊕x)·x(其中“·”仍为通常的乘法)，则函数f(x)的图象与x 轴及直线x ＝2围成的面积为( )A .154B ．4C .174D ．8解析：f(x)＝(1⊕x)·x＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x≥1x ，x<1图象如图所示S ＝S △OAC ＋S 曲边梯形ACDB ＝12×1×1＋⎠⎛12x 3d x ＝12＋14x 4⎪⎪⎪21＝12＋164－14＝174，故选C . 答案：C8．(xx·长沙市模拟)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x>0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A .ln 22B .1－ln 22 C .1＋ln 22D .2－ln 22解析：答案：C 二、填空题9．(xx·石家庄质检(二))⎠⎛02(x 3＋1)d x 的值为________．解析：⎠⎛02(x 3＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4＋x ⎪⎪⎪20＝6.答案：610．(xx·青岛统一质检)若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a>1)，则a 的值是________．解析：⎠⎛1a⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x)⎪⎪⎪a 1＝(a 2＋ln a)－(1＋0)＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3ln a ＝ln 2∴a＝2.答案：211．(xx·重庆九校联考)二次函数f(x)＝－x 2＋1的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：二次函数f(x)＝－x 2＋1与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(1,0)所以它与x 轴围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛-11(1－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x ⎪⎪⎪1－1＝43. 答案：4312．(xx·江西质量监测)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x －x 2，0≤x≤1－x 2，－1≤x≤0，则函数f(x)图象与直线y ＝x 围成的封闭图形的面积是________．解析：由已知当0≤x≤1时，y ＝2x －x 2表示的为圆的14减去一个等腰直角三角形的面积，S 1＝π4－12；当－1≤x<0时，S 2＝⎠⎛-10(－x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－13x 3⎪⎪⎪－1＝16，所以此封闭图形的面积为S 1＋S 2＝π4－13.答案：π4－13三、解答题13．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0， f(x)d x ＝－2. (1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)， 则f ′(x)＝2ax ＋b. 由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f(x)＝ax 2＋(2－a)． 又f(x)d x ＝∫10[ax 2＋(2－a)]d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋2－a x ⎪⎪⎪1＝2－23a ＝－2.∴a＝6，∴c＝－4.从而f(x)＝6x 2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]，所以当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.14．一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动．求：(1)在t＝4 s的位置；(2)在t＝4 s内运动的路程．解：(1)在时刻t＝4时该点的位置为[热点预测]15．(1)(xx·江西红色六校高三第二次联考)设函数f(x)＝(x＋a)n，其中n＝6cos x d x，f ′0＝－3，则f(x)的展开式中x4的系数为( )f0A．－360 B．360 C．－60 D．60(2)(xx·河南开封高三第一次模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝1与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，随机向图形内掷一豆子，则落入阴影内的概率是( )A ．1－2π33B .2π33C .332πD ．1－332π解析：(1)由n ＝6cos x d x 得n ＝6，f ′(x)＝6(x ＋a)5，∴f ′(0)＝6·a 5，f(0)＝a 6，6·a 5a 6＝6a＝－3，∴a＝－2，f(x)＝(x －2)6，x 4的系数为C 26(－2)2＝60，故选D .答案：(1)D (2)D 40013 9C4D 鱍22237 56DD 囝 38673 9711 霑31083 796B 祫 ? :732507 7EFB 绻28488 6F48 潈~30636 77AC 瞬31252 7A14 稔。
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第3章 导数及其应用 第3节 定积分与微积分基本定理
2
2
2
0
(3x+4)dx=5×2+
3 2
2
4
+ 4 ∣ 2
× 22 + 4 × 2 ∣=36(J).
突破技巧定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时
刻 t=a 到 t=b 所经过的路程 s=
v(t)dt.
(2)变力做功:某物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同的方向从 x=a 移
=1
i=1
n→+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常
数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
-
lim ∑ f(ξi).
→∞=1
f(x)dx,即
f(x)dx=
2.定积分的几何意义
(1)当函数f(x)的图象在区间[a,b]上连续且恒有f(x)≥0时,定积分
f(x)dx的
( 8)dx+
1
2
6
2
4 2 32
(6-x)dx= 3 2 |0
6× 6− × 6
2
+
1
2
1 2
6- 2
− 6×2− ×2
2
40
= .
3
∣
6
2
40
×64= 3 .
突破技巧利用定积分求平面图形面积的4个步骤
对点训练2(2021贵州贵阳模拟)已知函数y=2cos x,x∈[0,2π]和y=2的图象围
0
考点三
定积分在物理中的应用
典例突破
2021高考一轮数学(理)课后限时集训20定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理建议用时：45分钟一、选择题1．已知t 是常数，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4D [由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x )|t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)．]2．设f (x )＝⎠⎛－x x cos t d t ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A ．1B ．sin 2C ．sin 2D ．2sin 2D [∵f (x )＝⎠⎛－x x cos t d t ＝sin t |x －x ＝2sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4＝2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin 2.] 3．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4D [如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点A (2，8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20 ＝8－14×24＝4，故选D.] 4.⎠⎛01x （2－x ）d x 的值为( ) A.π4 B.π2 C ．πD ．2πA [令y ＝x （2－x ），则(x －1)2＋y 2＝1，(y ＞0)． ∴⎠⎛01x （2－x ）d x 表示由曲线y ＝x （2－x ），x ＝0，x ＝1及x 轴围成的曲边图形的面积，即圆面积的14，∴⎠⎛01x （2－x ）d x ＝π4.]5．若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 1＜S 3＜S 2D ．S 3＜S 1＜S 2A [如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.]6．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 JA [设F (x )＝kx ，当x ＝0.01 m 时，F (x )＝1，可知k ＝100. ∴所耗费的功W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 J ．]7．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1B [由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx |10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.] 二、填空题8.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________．43[由题图可知f (x )＝－x 2＋1. ∴它与x 轴所围成的面积S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3|1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23＋23＝43.]9．汽车以72 km/h 的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a ＝4 m/s 2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.50 [先求从刹车到停车所用的时间， 当t ＝0时，v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝20－4t . 令v (t )＝0，可得t ＝5 s ，所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：⎠⎛05(20－4t )d t ＝(20t －2t 2)|50＝50(m)． 即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m ．]10．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎛03f (x )d x ＝3f (x 0)，x 0＞0，则x 0＝________．3 [依题意得⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛03(ax 2＋b )d x ＝a 3x 3＋bx |30＝3(ax 20＋b )，即3ax 20＝9a (a ≠0)，x 20＝3(x 0＞0)，由此解得x 0＝ 3.]1．已知f (x )＝⎩⎨⎧sin x x ∈[－π，0]1－x 2x ∈（0，1]，则⎠⎛－π1f (x )d x ＝( ) A ．2＋π B.π2 C ．－2＋π2D.π4－2D [⎠⎛－π1f (x )d x ＝⎠⎛－π0sin x d x ＋⎠⎛011－x 2d x ，⎠⎛－π0sin x d x ＝－cos x |0－π＝－2， ⎠⎛011－x 2d x 的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的14，故⎠⎛011－x 2d x ＝π4，所以⎠⎛－π1f (x )d x ＝π4－2，故选D.]2．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )A ．5 000B ．6 667C ．7 500D ．7 854B [题图中阴影部分的面积为 ⎠⎛01(1－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 3|10＝23，又正方形的面积为1，则10 000个点落入阴影部分个数估计为10 000×23≈6 667，故选B.]3．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．49 [封闭图形如图所示， 则⎠⎛0a x d x ＝23x 32|a 0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.]4．在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥＝⎠⎛01πx 2d x ＝π3x 3|10＝π3.据此类比：将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴，y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝________．π(e －1) [类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝1及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e y 2)2＝πe y ，积分变量为y ，积分区间为[0，1]，即V ＝⎠⎛01πe y d y ＝πe y |10＝π(e －1)．]1.⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________． π2＋e －1e －2 [⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.而⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2， 所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2.]2．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则f ′(1)＝________，⎠⎛02f (x )d x＝________．－3 －4 [因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)， 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3. 所以f (x )＝x 3－3x 2.故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝(x 44－x 3)|20＝－4.]。
(整理)高考数学一轮汇总训练《积分与微积分基本定理》理新人教a版.
第十四节 定积分与微积分基本定理[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念在∫ba f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分∫ba f (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫ba f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a ，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质 ①∫ba kf (x )d x ＝k ∫ba f (x )d x .②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫ba f 2(x )d x . ③∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫bc f (x )d x .[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫ba f (t )d t 是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分∫ba [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫ba f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )F (x )|ba ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．[自测·牛刀小试]1.∫421xd x 等于( )A ．2ln 2B ．－2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：选D ∫421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解析：选A S ＝∫21(t 2－t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176. 3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：∫20x 2d x ＝13x 3 |20＝83.答案：834．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所以∫101－x 2d x ＝14π.答案：14π5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52所围成的封闭图形的面积为________．解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以阴影部分的面积，212⎰⎝⎛ －x ＋52－ ⎭⎪⎫1xd x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋52x －ln x 212＝158－2ln 2. 答案：158－2ln 2[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x＋1x d x ；(5)20π⎰sin 2x2d x .[自主解答] (1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫211d x ＝x 33|21＋x 2 |21＋x |21＝193. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2.(3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x＝∫20x 2d x ＋∫20x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－0＝143. (4)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211xd x＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)20π⎰sin 2x2d x ＝20π⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x ＝20π⎰12d x －1220π⎰cos x d x＝12x 20π－12sin x 20π＝π4－12＝π－24. ———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分：(1)∫20|x －1|d x ；(2)20π⎰1－sin 2x d x .解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x |21＝12＋12＝1. (2) 20π⎰1－sin 2x d x＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x )40π＋(－cos x －sin x ) 24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[例2] ∫10－x 2＋2x d x ＝________.[自主解答] ∫10－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)， 又∵0≤x ≤1，∴y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x 2＋2x d x ＝π4.在本例中，改变积分上限，求∫20－x 2＋2x d x 的值．解：∫20－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以∫20－x 2＋2x d x ＝π2.——————————————————— 利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．2．(2013·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为________．解析：因为f (x )＝∫x02sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－t d t＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－t |x 0＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －2cos π4＝sin x ＋cos x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1≤2－1，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1时，等号成立．答案：2－1[例3] (2012·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6[自主解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163. [答案] C若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？解：如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫2f (x )d x ＝∫10x d x ＋∫21(－x ＋2)d x ＝23x 32 |10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22 |21 ＝76.——————————————————— 利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23 B.13 C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积 S ＝120⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －13x 3120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 112＝14.[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s. 设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t . 令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)． 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ， 则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t ＝(20t －0.2t 2) |50＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动． ———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫ba v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫bav (t )d t .2．变力做功问题物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫ba F (x )d x .4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 x 3x ＋4 x(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：选B 力F (x )做功为∫2010d x ＋∫42(3x ＋4)d x＝10x |20＋⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫32x 2＋4x 42 ＝20＋26＝46.个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x3120＋⎝⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3112＝54. [答案] 54[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量． [变式训练]1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14 C.13D.712解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝∫10(x 2－x 3)d x＝13－14＝112.2．(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意∫a 0x d x ＝a 2. 又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′＝x ，即23x 32 |a 0＝a 2，即23a 32＝a 2.所以a ＝49. 答案：49一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1.∫e11＋ln xxd x ＝( )A ．ln x ＋12ln 2xB.2e －1C.32D.12解析：选C ∫e 11＋ln x x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln 2x 2e 1＝32. 2．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2解析：选 B 由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2∫10(－x 2＋1)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 10＝43.3．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( )A ．±1 B. 2 C ．± 3D ．2解析：选C ∫30f (x )d x ＝∫30(ax 2＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋bx 30＝9a ＋3b ，则9a ＋3b ＝3(ax 20＋b )， 即x 20＝3，x 0＝± 3.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈，2]，则∫20f (x )d x ＝( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解析：选C 如图．∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x＝13x 3 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2 |21＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56. 5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析：选A v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，∫20(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 3 |20＝40×2－103×8＝1603 (m)．6．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分33ππ-⎰cos x d x ＝sin x33ππ-＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设a ＝∫π0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．解析：∵a ＝∫π0sin x d x ＝(－cos x ) |π0＝2，∴y ＝x ·2x＋2x －2. ∴y ′＝2x ＋x ·2xln 2＋2.∴曲线在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝4＋2ln 2. 答案：4＋2ln 28．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝∫41(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________．解析：a 4＝∫41(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2) |41＝18，因为数列{a n }是等比数列，故18＝23q 3，解得q ＝3，所以S 5＝23－351－3＝2423. 答案：24239．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则当∫a0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：∫a 0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) |a＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π4－1，∵a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当a ＝π4时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π4－1取最大值．答案：π4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．计算下列定积分： (1)20π⎰sin 2x d x ；(2)∫32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ；(3)120⎰e 2xd x .解：(1)20π⎰sin 2x d x ＝20π⎰1－cos 2x2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －14sin 2x 20π＝⎝⎛⎭⎪⎫π4－14sin π－0＝π4.(2)∫32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝∫32⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x ＋ln x |32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋6＋ln 3－(2＋4＋ln 2) ＝92＋ln 3－ln 2＝92＋ln 32. (3)120⎰e 2xd x ＝12e2x120＝12e －12. 11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝∫1(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3 |10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3 |1－k 0＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )， 则∫x0(kx －x 2)d x ＝∫2x (x 2－kx )d x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3 |x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2|2x， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________． 解析：由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t t，t，13t ＋t，因此该物体在12s ～6 s 间运动的路程为s ＝612⎰v (t )d t ＝112⎰2t d t ＋∫312d t ＋∫63⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t＝t2112＋2t |31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝494(m)．答案：494m2．计算下列定积分： (1)31-⎰(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2d x .解：(1)31-⎰(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x )31-＝24.(2)∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝∫e 1x d x ＋∫e 11x d x ＋∫e 11x 2d x ＝12x 2 |e 1＋ln x |e 1－1x |e1＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －11＝12e 2－1e ＋32. 3．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝∫10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋∫31⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2 |31＝23＋16＋43＝136. 4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2 t ，4t ＋t ，t 某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？解：由变速直线运动的路程公式，可得s ＝∫100t 2d t ＋∫2010(4t ＋60)d t ＋∫6020140d t＝13t 3 |100＋(2t 2＋60t ) |2010＋140t |6020 ＝7 133 13(m)<7 676(m)．∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F (x )＝af (x )2＋bf (x )＋c (a ≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．[例1] 已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值． [解] y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2. 令t ＝e x ＋e －x ，则f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2.因为t ≥2，所以f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2的定义域为[2，＋∞)． 因为抛物线y ＝f (t )的对称轴为t ＝a ，所以当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2； 当a >2时，y min ＝f (a )＝a 2－2.[点评] 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a 2＋b 2＝1及部分根式函数形式的最值问题．[例2] 设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是________．[解析] 因为a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，所以令a ＝6cos α，2b ＝6sin α，α∈R . 则a ＋b ＝6cos α＋3sin α＝3sin(α＋φ)，所以a ＋b 的最小值是－3. [答案] －3[点评] 在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围．如本题换元后中间变量α∈R ，这是由条件a ，b ∈R 得到的．3．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a 2＋b 2≥2ab (a ，b 为实数)，a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)．[例3] 函数f (x )＝1x ＋41－x (0<x <1)的最小值为________．[解析] f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x －x ＝3x ＋1－x 2＋x ，令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1,4)，f (x )变为g (t )＝t－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝t －19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ＋5，因为t ∈(1,4)，所以5>t ＋4t≥4,0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ＋5≤1，9－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ＋5≥9，所以f (x )的最小值为9.[答案] 9[点评] 利用基本不等式法求解最值的关键在于确定定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函数解析式乘以“1”构造基本不等式．4．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种方法在高考中是必考的，多在解答题中的某一问出现．[例4] 已知函数f (x )＝x ln x ，则函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值为________．[解析] 因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ①当0<t <t ＋2<1e时，t 无解；②当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ； ③当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1e ，0<t <1e ，t ln t ，t ≥1e.[答案] f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0<t <1e ，t ln t ，t ≥1e[点评] 本题是函数在不定区间上的最值问题，因此区间的位置要全部考虑到，不要遗漏．5．导数法设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值应为f (x )在(a ，b )内的各极值与f (a )，f (b )中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．[例5] 函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是________，________.[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－3，所以令f ′(x )＝0，得x ＝－1(舍正)．又f (－3)＝－17，f (－1)＝3，f (0)＝1，易得，f (x )的最大值为3，最小值为－17. [答案] 3 －17[点评] (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：一是求函数在(a ，b )内的极值，二是求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )，三是比较上述极值与区间端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值点及最小值点必在以下各点中取得，导数为零的点，导数不存在的点及区间端点．6．数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．[例6] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x∈R )的最小值是________．[解析] 由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2，解得x ≥12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，其图象如图所示．由图形，易知当x ＝12时，函数有最小值，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋1＝32.[答案] 32[点评] 用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是发现条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观地解决问题．如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解函数最值的方法去解．二、巧用数形结合妙解3类求参数问题数形结合就是根据数学问题的条件与结论的内在联系，既要分析问题的代数含义，又要揭示其几何意义，把“数”与“形”巧妙地结合起来，并利用“结合”寻找解题的思路，使问题得到圆满解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法．通过“以形助数，以数辅形”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题，拓展了思路，这就是数形结合的核心价值．通过以下三个方面体会数形结合思想的运用．1．通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值 [例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)[解析] 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10,10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<abc <12.[答案] C[点评] 通过图形可以发现a ，b ，c 所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab ＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．2.通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围 [例2] 已知m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋2(m 2＋1)x ＋7，g (x )＝－(2m 2－m ＋2)x ＋m . (1)设函数p (x )＝f (x )＋g (x )．如果p (x )＝0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数m 的取值范围；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≥0，g x ，x <0，是否存在m ，对于任意非零实数a ，总存在唯一非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为p (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2＋mx ＋7＋m ，令p (x )＝0，① 因为方程①在(1,5)内有实数解，且没有重根， 由p (x )＝0，得m ＝－x 2＋7x ＋1＝－x ＋2－x ＋＋8x ＋1＝2－(x ＋1)－8x ＋1，因为1<x <5，令t ＝x ＋1，则2<t <6，如图所示，所以－163<m ≤2－4 2.当m ＝2－42时，p (x )＝0有两个相等的根，所以实数m 的取值范围是－163<m <2－4 2.(2)由题意，得当x ≥0时，h (x )＝x 2＋2(m 2＋1)x ＋7，h (x )在区间[0，＋∞)上单调递增； 当x <0时，h (x )＝－(2m 2－m ＋2)x ＋m ，h (x )在区间(－∞，0)上单调递减．记A ＝{h (x )|x ≥0}，B ＝{h (x )|x <0}，则A ＝[7，＋∞)，B ＝(m ，＋∞)．(ⅰ)若∀a >0时，如图(1)知，由于h (x )在(0，＋∞)上是增函数，若存在非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )，则b <0，且A ⊆B ，即m ≤7；(ⅱ)若∀a <0时，如图(2)知，由于h (x )在(－∞，0)上是减函数，若存在非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )，则b >0，且B ⊆A ，即m ≥7.综合(ⅰ)(ⅱ)，知所求m ＝7.现在证明充要性：①必要性：由求解过程知必要性成立；②充分性：当m ＝7时，A ＝B ，对于∀a ≠0，则∃b (b ≠a ，且ab <0)，使得h (a )＝h (b )．[点评] 第(1)问含有参数的二次方程或分式方程在区间(1,5)内有解且无重根，纯粹从数的角度去理解是相当困难的，通过分离变量，把方程化归为函数m ＝－x 2＋7x ＋1(1<x <5)，再通过换元画出函数的图象，方程在区间内有解的条件就非常容易得出了．第(2)问的解题思路也是在“形”指点下进行的，对于∀a >0，存在b ≠a ，使得h (a )＝h (b )的条件是m ≤7；反过来，对于∀a <0，存在b ≠a ，使得h (a )＝h (b )的条件是m ≥7.3．通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围[例3] 如果函数y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)的图象与函数y ＝k (x －2)＋4的图象有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．[解析] 函数y ＝1＋4－x 2的值域为[1,3]，将y －1＝4－x 2两边平方，得x 2＋(y －1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y ＝1＋4－x 2的图象是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A (－2,1)和点B (2,1)；函数y ＝k (x －2)＋4是过定点P (2,4)的直线．画出两函数的图象如图所示，易得实数k 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 [点评] 函数y ＝1＋4－x 2的图象是半圆，像这样由圆或圆锥曲线的部分图形构成的函数图象，在基本初等函数中没有涉及，应该把它和对勾函数y ＝x ＋1x作为“基本初等函数”来掌握．典例3的等价命题是方程式4－x 2＝3＋k (x －2)在[－2,2]上有两个不同的实根，求实数k 的取值范围．。
2021年高考数学大一轮总复习 3.3 定积分与微积分基本定理高效作业 理 新人教A版
2021年高考数学大一轮总复习 3.3 定积分与微积分基本定理高效作业理 新人教A 版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·南京调研)给出如下命题：①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a (a ，b 为常数且a ＜b )；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域的面积之和为2.其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由定积分的性质知①错；对于②，两个积分都表示14个单位圆的面积，答案：B2．(xx·浙江五校联考)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx ，消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3)| k0＝92.即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3.故选C. 答案：C3．(xx·广州综合测试)函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1，5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最大值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝(13t 3－2t 2)| x 0＝13x 3－2x 2，F ′(x )＝x 2－4x ，令F ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4， ∵F (－1)＝－13－2＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253，∴F (x )的最大值为0，最小值为－323.故选B.答案：B4．(xx·福建莆田高三质检)如图，由函数f (x )＝e x－e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1 B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1解析：面积S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x－e)d x ＝(e x－e x )|21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e.答案：B5．(xx·山东淄博模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )A ．15B ．20C ．25D ．30解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)| 30＝12.因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，即12,5，S 30－17成等差数列，易得S 30＝15.答案：A6．(xx·广州海珠区测试)用max{a ，b }表示a ，b 两个数中的最大数，设f (x )＝max{x 2，x }(x ≥14)．那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝14和直线x ＝2所围成的封闭图形的面积是( )A.3512 B.5924 C.578D.9112答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(xx·山东模拟)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.答案：498．(xx·江西模拟)计算定积分＝__________.答案：239．(xx·中山一模)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f [f (1)]＝1，则a ＝________.解析：∵f (1)＝lg 1＝0，∴f [f (1)]＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3| a 0＝a 3，∴a 3＝1得a ＝1. 答案：110．(xx·上海模拟)已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)、B (12，5)、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．解析：写出函数解析式，再利用定积分求曲边形的面积．由题意可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤1210－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤1210x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为答案：54三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(xx·浙江宁波十校联考)求定积分⎠⎛12(x ＋1x －1x2)d x .解：⎠⎛12(x ＋1x －1x2)d x＝⎠⎛12x d x ＋⎠⎛121x d x －⎠⎛121x2d x＝12x 2| 21＋ln x | 21＋1x| 21＝12×(4－1)＋ln 2＋(12－1) ＝1＋ln 2.12．(xx·北京东城期末)已知经过原点的直线l 平分抛物线f (x )＝x 2－6x 与x 轴所围成的封闭区域的面积．(1)求抛物线f (x )与x 轴所围成的封闭区域的面积S ； (2)求直线l 的方程．解：(1)由f (x )＝0得x ＝0或x ＝6， ∴S ＝－⎠⎛06(x 2－6x )d x ，令F (x )＝13x 3－3x 2，则F ′(x )＝x 2－6x ，∴S ＝－F (6)＋F (0)＝36. (2)设直线l ：y ＝kx ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－6x ，得x 2－(k ＋6)x ＝0，∴x ＝0或x ＝6＋k .∵直线l 平分抛物线f (x )＝x 2－6x 与x 轴所围成的封闭区域的面积， ∴∫k ＋60[kx －(x 2－6x )]d x ＝∫k ＋60[－x 2＋(k ＋6)x ]d x ＝18， 令G (x )＝－13x 3＋k ＋62x 2，则G ′(x )＝－x 2＋(k ＋6)x ，∴－13(k ＋6)3＋12(k ＋6)3＝18，∴k ＝334－6，∴直线l 的方程为y ＝(334－6)x .13．(xx·山东聊城外国语学校二模)已知f (x )＝x 2＋ax ＋a (a ≤2，x ∈R )，g (x )＝e －x，φ(x )＝f (x )·g (x )．(1)当a ＝1时，求φ(x )的单调区间；(2)求g (x )在点(0,1)处的切线与直线x ＝1及曲线g (x )所围成的封闭图形的面积． 解：(1)当a ＝1时，φ(x )＝(x 2＋x ＋1)e －x，φ′(x )＝e －x (－x 2＋x )．当φ′(x )>0时，0<x <1；当φ′(x )<0时，x >1或x <0.∴φ(x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞)． (2)切线的斜率为k ＝g ′(0)＝－e －x|x ＝0＝－1， ∴切线方程为y ＝－x ＋1.∴所求封闭图形的面积为S ＝⎠⎛01[e －x －(－x ＋1)]d x ＝⎠⎛01(e －x ＋x －1)d x＝(－e －x ＋12x 2－x ) |10＝12－1e.30601 7789 瞉20693 50D5 僕!27475 6B53 歓28815 708F 炏25520 63B0 掰35066 88FA 裺YC 25605 6405 搅}25243629B 抛!31494 7B06 笆。
2021届高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3节定积分与微积分基本定理教学案含解析新人教A版
第3节 定积分与微积分基本定理考试要求 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.知 识 梳 理1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1 b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝∑ni ＝1__b －anf (ξi ). 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式. (2)定积分的几何意义f (x ) ⎠⎛abf (x )d x 的几何意义 f (x )≥0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边2.定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b ).3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a ).[常用结论与微点提醒]1.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.2.函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( )(2)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛01(x 2－x )d x .( )(3)若⎠⎛ab f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方.( )(4)定积分⎠⎛ab f (x )d x 一定等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积.( )(5)加速度对时间的积分是路程.( )解析 (2)y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是⎠⎛01(x －x 2)d x .(3)若⎠⎛ab f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形在x 轴下方的面积比在x 轴上方的面积大.(4)定积分⎠⎛ab f (x )d x 等于由x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成图形的面积的代数和.(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.(老教材选修2－2P50A5改编)定积分⎠⎛－11|x |d x ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 ⎠⎛－11|x |d x ＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1.答案 A3.(老教材选修2－2P60A6改编)已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A.10t 2B.5t 2C.103t 20 D.53t 20 解析 S ＝⎠⎛0t 0v d t ＝⎠⎛0t 010t d t ＝5t 2⎪⎪⎪t00＝5t 20.答案 B4.(2020·贵阳一中月考)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <c <bB.a <b <cC.c <b <aD.c <a <b解析 由微积分基本定理得a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4⎪⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x＝(－cos x )⎪⎪⎪2＝1－cos 2<2，则c <a <b .答案 D5.(2020·南昌模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32＝a 2，解得a ＝49.答案 496.(2020·长沙一中月考)定积分⎠⎛－22(4－x 2＋x )d x ＝________.解析 ⎠⎛－224－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积.∴⎠⎛－224－x 2d x ＝12×π×22＝2π.又⎠⎛－22x d x ＝0，故⎠⎛－22(4－x 2＋x )d x ＝2π＋0＝2π. 答案 2π考点一 定积分的计算【例1】 (1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________.(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________.解析 (1)原式＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝－cos x ⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2－0＝2.(2)⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x＝x 33⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e1＝13＋1＝43. 答案 (1)2 (2)43规律方法 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分.【训练1】 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D.不存在(2)定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________.解析 (1)如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.(2)⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33|10＝23.答案 (1)C (2)23考点二 定积分的几何意义多维探究角度1 利用定积分的几何意义计算定积分【例2－1】 (1)(2020·吉安五校联考)⎠⎛－11(1－x 2＋x cos x )d x ＝________.(2)若⎠⎛－2m－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________.解析 (1)⎠⎛－11(1－x 2＋x cos x )d x＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x cos x d x .∵⎠⎛－111－x 2d x 表示位于x 轴上方半圆x 2＋y 2＝1的面积， ∴⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又t ＝x cos x 为奇函数，知⎠⎛－11x cos x d x ＝0，∴⎠⎛－11(1－x 2＋x cos x )d x ＝π2.(2)根据定积分的几何意义⎠⎛－2m－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又⎠⎛－2m －x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1.答案 (1)π2(2)－1角度2 利用定积分计算平面图形的面积【例2－2】 (一题多解)由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________.解析 如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点为(2，－2)，(8，4).法一 选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二 选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－12y 2d y ＝18. 答案 18规律方法 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系). 【训练2】 (1)(角度1)(2020·合肥模拟)⎠⎛02(4－x 2＋x )d x ＝________.(2)(角度2)曲线y ＝2x与直线y ＝x －1，x ＝1所围成的封闭图形的面积为( )A.2－ln 2B.2ln 2－12C.2＋ln 2D.2ln 2＋12解析 (1)⎠⎛02(4－x 2＋x )d x ＝⎠⎛024－x 2d x ＋⎠⎛02x d x ，令y ＝4－x 2(y ≥0)，得x 2＋y 2＝4. 又圆x 2＋y 2＝4的面积为4π，由定积分的几何意义可得，⎠⎛024－x 2d x ＝π，由于⎠⎛02x d x ＝12x 2|20＝2，∴⎠⎛02(4－x 2＋x )d x ＝π＋2.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1，x ＝1所围成的封闭图形如图所示，所求的面积S ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－x ＋1d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x －12x 2＋x ⎪⎪⎪21 ＝(2ln 2－2＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫0－12＋1＝2ln 2－12. 答案 (1)π＋2 (2)B 考点三 定积分在物理中的应用【例3】 (1)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( ) A.3B.4C.5D.6(2)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ，力的单位：N).解析 (1)因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t10t d t .所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t －5t 2＝5.整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.(2)变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J).答案 (1)C (2)342规律方法 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【训练3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A.1＋25ln 5 B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，（0≤x ≤2）2x －2，（x ＞2）(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________ J. 解析 (1)令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).(2)从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，力F (x )做的功为⎠⎛022d x ＋⎠⎛24(2x －2)d x ＝2x |20＋(x 2－2x )|42＝12(J). 答案 (1)C (2)12A 级 基础巩固一、选择题1.⎠⎛02π|sin x |d x 等于( )A.1B.2C.3D.4解析 ⎠⎛02π|sin x |d x ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝2(－cos x )|π0＝4.答案 D2.(2020·成都模拟)⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝10，则k ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 ∵⎠⎛02(3x 2＋k )d x ＝(x 3＋kx )|20＝23＋2k .由题意，得8＋2k ＝10，∴k ＝1. 答案 A3.汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( ) A.132m B.6 mC.152m D.7 m解析 s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m). 答案 A4.⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x 等于( ) A.0 B.π4－12 C.π4－14D.π2－1 解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝π4－12.答案 B5.(一题多解)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1解析 法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3. 答案 B6.如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于( )A.8ln 3 B.8 C.9ln 3D.9解析 设指数函数为y ＝a x(a >0且a ≠1)，因为其过点E (2，9)，所以a 2＝9，解得a ＝3，所以图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛023x d x ＝3xln 3⎪⎪⎪20＝8ln 3. 答案 A7.(2020·汕头模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1 （－1≤x ≤0），1－x 2（0<x ≤1），则⎠⎛－11f (x )d x ＝( ) A.1＋π2B.12＋π4C.1＋π4D.12＋π2解析 ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－10(x ＋1)d x ＋⎠⎛011－x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪0-1＋π4＝12＋π4. 答案 B8.由y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的图形的面积为( )A.43B.34C.2D.1解析 如图所示，阴影部分的面积为S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－112x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3⎪⎪⎪21 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－112＋2－112×23－1＋112＝43.答案 A 二、填空题9.已知⎠⎛1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －m d x ＝3－e 2，则m 的值为________. 解析 由微积分基本定理得⎠⎛1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －m d x ＝(ln x －mx )⎪⎪⎪e1＝m ＋1－m e ，结合题意得m ＋1－m e ＝3－e 2，解得m ＝12. 答案 1210.如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，解得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x33＋x 2⎪⎪⎪20＝－83＋4＝43.答案 4311.一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为______ m.解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得s ＝⎠⎜⎛126v (t )d t ＝⎠⎜⎛1212t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t＝t 2⎪⎪⎪⎪112＋2t ⎪⎪⎪31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t ⎪⎪⎪63＝494(m). 所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m.答案49412.(2019·衡水中学质检)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________.解析 令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝⎠⎜⎜⎛π65π6 (2sin x －1)d x＝(－2cos x －x )⎪⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.答案 23－2π3B 级 能力提升13.(2020·皖东名校联盟)二次函数f (x )＝x 2－nx ＋m (n ，m ∈R )的图象如图所示，则定积分⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.23B.56C.2D.3解析 由图象可知，n ＝3，m ＝2.⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2－3x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－32x 2＋2x |10＝56. 答案 B14.(2020·太原联考)如图，矩形OABC 中曲线的方程分别是y ＝sin x ，y ＝cos x ，A ⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，C (0，1)，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.4（3－1）πB.4（2－1）πC.4(3－1)πD.4(2－1)π解析 由题可知图中阴影部分的面积S ＝2⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x＝2(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π4＝2(2－1)，易知矩形OABC 的面积为π2，所以在矩形OABC 内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为4（2－1）π.答案 B15.⎠⎛－44⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋16－x 2d x ＝________.解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ，令y ＝16－x 2(y ≥0)，两边平方得y 2＝16－x 2，则有x 2＋y 2＝16，所以函数y ＝16－x 2在x ∈[－4，4]上的图象是圆x 2＋y 2＝16的上半部分.∴⎠⎛－4416－x2＝12×π×42＝8π， 又t ＝－sin x 在[－4，4]为奇函数，知⎠⎛－44－sin x d x ＝0.故⎠⎛－44⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋16－x 2d x ＝⎠⎛－44(－sin x )d x ＋8π＝8π.答案 8π16.(2020·武汉模拟)考虑函数y ＝e x与函数y ＝ln x 的图象关系，计算⎠⎛ 1e 2ln x d x ＝________.解析 如图所示，函数y ＝ln x 与函数y ＝e x的图象关于直线y ＝x 对称，结合图象可知，图中两个阴影部分区域的面积相等，所以⎠⎛ 1 e 2ln x d x ＝⎠⎛02(e 2－e x )d x ＝(e 2x －e x )|20＝e 2＋1.答案 e 2＋1C 级 创新猜想17.(情境创新题)在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥＝⎠⎛01πx 2d x ＝π3x 3|10＝π3.据此类比：将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝2及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝________.解析 类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝2及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e y 2)2＝πe y，积分变量为y ，积分区间为[0，2]，即V ＝⎠⎛02πe y d y ＝πe y |20＝π(e 2－1). 答案 π(e 2－1)。
2021届新课标数学一轮复习讲义_第二章_第15讲_定积分与微积分基本定理(理科)
第15讲 定积分与微积分基本定理(理科)1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．[做一做]1．定积分∫10(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C.∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e ，故选C.2．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T >0.∴T ＝3. 答案：31．辨明三个易误点(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负． 2．能正确应用求定积分的两种基本方法求简单的定积分 (1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下： ①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)．(2)利用定积分的几何意义求定积分：当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．如：定积分⎠⎛011－x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2d x ＝π4.考点一__定积分的计算________________________利用微积分基本定理求下列定积分：(1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)d x ； (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ； (3)⎠⎛02|1－x |d x .[解] (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛121d x＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪21＝193. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2.(3)⎠⎛02|1－x |d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －12x 2|10＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x |21 ＝⎝⎛⎭⎫1－12－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－2－⎝⎛⎭⎫12×12－1＝1.[规律方法] 计算一些简单定积分的解题步骤：①把被积函数变形为常数与幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等函数之积的和或差； ②把定积分用定积分的性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； ③分别用求导公式(逆向思维)找到一个相应的原函数； ④利用牛顿-莱布尼茨公式求出各个定积分的值； ⑤计算原始定积分的值．分段函数的定积分要分段积分，特别注意定积分的计算不是定积分的几何意义，其所求的值可正可负．1.计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ； (3)⎠⎛02e x2d x . 解：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x )⎪⎪⎪3－1＝24. (2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x |21＝32－ln 2. (3)⎠⎛02e x 2d x ＝2e x2|20＝2e －2.考点二__利用定积分计算平面图形的面积 (高频考点)____利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度：(1)根据条件求平面图形面积；(2)利用平面图形的面积求参数．(1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．4 2C ．2D ．4(2)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________． [解析] (1)令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2， ∴S ＝⎠⎛2(4x －x 3)＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 44|20＝8－4＝4.故选D. (2)由题意知⎠⎛0a x d x ＝a 2.又⎝⎛⎭⎫23x 32′＝x ，则23x 32⎪⎪⎪a0＝a 2.即23a 32＝a 2，所以a ＝49.[答案] (1)D (2)49[规律方法] 用定积分求平面图形面积的四个步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．2.(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ＝________．(2)由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解析：(1)根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.(2)如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1，0)． 所以S ＝⎠⎛02|x 2－1|d x＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤83－2－⎝⎛⎭⎫13－1＝2.答案：(1)π4 (2)2考点三__定积分在物理中的应用____________一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2[解析] 由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln （t ＋1）⎪⎪⎪40＝4＋25ln 5. [答案] C[规律方法] 定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .3.设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ；力的单位：N)．解析：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为 W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |101＝342(J)． 答案：342交汇创新——定积分与概率的交汇如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．[解析]由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S＝2⎠⎛1(e－e x)d x＝2(e x－e x)|10＝2[e－e －(0－1)]＝2.又该正方形面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e2.[答案]2e2[名师点评](1)本题利用求函数的定积分，转化为求几何概型的概率问题，是新增考点定积分与常规考点交汇命题的一种趋势．(2)利用定积分的几何意义，考查几何概型也是近几年很多省份的考查热点．1.在平面直角坐标系中，记抛物线y＝x－x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y ＝kx(k>0)所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为827，则k的值为() A.13 B.23 C.12 D.34解析：选A.∵M的面积为⎠⎛1(x－x2)d x＝(12x2－13x3)⎪⎪⎪1＝16，A的面积为⎠⎛1－k(x－x2－kx)d x＝(12x2－13x3－k2x2)⎪⎪⎪1－k0＝16(1－k)3，∴16（1－k）316＝827，∴k＝13，故选A.2．若m>1，则f(m)＝⎠⎛1m⎝⎛⎭⎫1－4x2d x的最小值为________．解析：f(m)＝⎠⎛1m⎝⎛⎭⎫1－4x2d x＝⎝⎛⎭⎫x＋4x⎪⎪⎪m1＝m＋4m－5≥4－5＝－1，当且仅当m＝2时等号成立．答案：－11．设f(x)是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间[－a ，a]上的定积分为⎠⎛－aa f(x)d x ，由定积分的几何意义和性质，得⎠⎛－aa f(x)d x 可表示为( )A ．－⎠⎛－aa f (x )d x B ．2⎠⎛－a0f (x )d x C.12⎠⎛0a f (x )d x D.⎠⎛－a0f (x )d x解析：选B.偶函数的图象关于y 轴对称，故⎠⎛－a a f (x )d x 对应的几何区域关于y 轴对称，因而其可表示为2⎠⎛－af (x )d x ，应选B.2．若f (x )＝x 2＋2∫10f (x )d x ，则∫10f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1解析：选B.∵f (x )＝x 2＋2∫10f (x )d x ，∴∫10f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ∫10f （x ）d x |10＝13＋2∫10f (x )d x ， ∴∫10f (x )d x ＝－13. 3．由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8 解析：选A.S ＝∫m 20(m －x )d x ＝⎝⎛⎭⎫mx －23x 32⎪⎪⎪m 20＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2. 4．一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v (t )＝5－t ＋551＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是( )A ．(55 ln 10) mB ．(55 ln 11) mC ．(12＋55ln 7)mD ．(12＋55ln 6)m解析：选B.令5－t ＋551＋t ＝0，注意到t >0，得t ＝10，即经过的时间为10 s ；行驶的距离s ＝⎠⎛010(5－t ＋551＋t )d t ＝[5t －12t 2＋55ln(t ＋1)]⎪⎪⎪10＝55ln 11，即紧急刹车后火车运行的路程为(55ln 11) m.5．定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：选D.|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （－2≤x <0）－x 2＋2x （0≤x ≤2），⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0－2＋⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8. 6．∫π22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝________．解析：依题意得∫π22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x )⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2.答案：27．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴x 20＝13，x 0＝±33.又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案：338．⎠⎛01(1－x 2＋12x )d x ＝________．解析：⎠⎛01(1－x 2＋12x )d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14. 答案：π＋149．求下列定积分．(1)⎠⎛12(x －x 2＋1x )d x ；(2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .解：(1)⎠⎛12(x －x 2＋1x )d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x＝x 22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1e π.10．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0， ∴f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a )d x ＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋（2－a ）x |10＝2－23a ＝－2. ∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1，1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.。
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课时规范练16定积分与微积分基本定理基础巩固组1.给出如下命题:①∫ba -1d x=∫bad t=b-a(a,b为常数,且a<b);②∫0-1√1-x2d x=∫1√1-x2d x=π4;③∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x(a>0).其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.32.(2019山东淄博期末,5)∫4-2(-12x2+x+4)d x=()A.16B.18C.20D.223.若∫1(x2+mx)d x=0,则实数m的值为()A.-13B.-2 C.-1 D.-234.如果1 N的力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 cm,所耗费的功为()A.0.18 JB.0.26 JC.0.12 JD.0.28 J5.由曲线y=√x,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B.4 C.163D.66.如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,则过C ,M ,D 三点的抛物线与CD 围成的阴影部分的面积是( )A.23B.43C.5D.87.设f (x )={√1-x 2,x ∈[0,1],1+x ,x ∈[-1,0),则∫1-1f (x )d x 等于 ( )A.(-1,+∞) B .12+π2C.12+π4 D.1+π48.如图,圆O :x 2+y 2=π2内的正弦曲线y=sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分),随机向圆O 内投一个点A ,则点A 落在区域M 内的概率为 .9.(2019四川成都七中一模,15)设a>0,b>0,e 为自然对数的底数,若a2+b=∫e1e -x x d x ,则2a+1+1b的最小值是 .10.已知函数f (x )=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )=x 2围成的图形的面积.综合提升组11.若∫21(x-a )d x=∫π4cos 2x d x ,则a 等于( )A.-1B.1C.2D.412.已知3a=5b=c,且1a +1b=2,则∫c(x2-1)d x=()A.±2√2B.2√2C.±√15D.4√1513.(2019河南洛阳三模,13)若n=∫π206cos x d x,则(1x-2x2)x+√xn的展开式中,含x2项的系数为.14.已知∫20(3x2-1)d x=m,则(1-x)(x2+1x)m的展开式中x4的系数是.15.(2019湖南雅礼中学质检)在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为112.试求:切点A的坐标和过切点A的切线方程.创新应用组16.若f(x)=x3+3∫10f(x)d x,则∫1f(x)d x=()A.-1B.-13C.-14D.-1817.(2019安徽安庆二模,16)在数学实践活动课中,某同学在如图1所示的边长为4的正方形模板中,利用尺规作出其中的实线图案,其步骤如下:(1)取正方形中心O及四边中点M,N,S,T;(2)取线段MN靠近中心O的两个八等分点A,B;(3)过点B作MN的垂线l;(4)在直线l(位于正方形区域内)上任取点C,过C作l的垂线l1;(5)作线段AC的垂直平分线l2;(6)标记l1与l2的交点P,如图2所示;……不断重复步骤(4)至(6)直到形成图1中的弧线(Ⅰ).类似方法作出图1中的其他弧线,则图1中实线围成区域面积为.18.过点(-1,0)的直线l与曲线y=√x相切,则曲线y=√x与l及x轴所围成的封闭图形的面积为.参考答案课时规范练16定积分与微积分基本定理1.B由于∫ba -1d x=a-b,∫bad t=b-a,所以①错误;由定积分的几何意义知,∫0-1√1-x2d x和∫10√1-x2d x都表示半径为1的圆面积的14,所以都等于π4,所以②正确;只有当函数f(x)为偶函数时,才有∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x,所以③错误,故选B.2.B∫4-2-12x2+x+4d x=-16x3+12x2+4x-24=18.3.D∫10(x2+mx)d x=13x3+12mx201=13+12m=0,∴m=-23.4.A由物理知识F=kx知,1=0.01k,所以k=100N/m,则W=∫0.06100x d x=50x 2|00.06=0.18(J).故选A . 5.C由题意知,所围成的面积为∫40[√x -(x-2)]d x=(23x 32-12x2+2x)4=23×432−12×42+2×4=163. 6.D 由题意,建立如图所示的坐标系,则D (2,1).设抛物线方程为y 2=2px (p>0),将D (2,1)代入,可得p=14,∴y=√12x ,∴S=2∫2√12x d x=√2·23x 32 02=83,故选D .7.C 依题意得∫1-1f (x )dx=∫0-1(1+x)dx+∫1√1-x 2d x=(x +x 22) -10+14×π×12=12+π4.8.4π3 阴影部分的面积为2∫πsin x d x=2(-cos x )|π0=4,圆的面积为π3,所以点A 落在区域M 内的概率是4π3.9.83 ∫e1e -xxd x=∫e 1(e x-1)d x=(eln x-x )|e1=1,∴a 2+b=1,∴2a+1+1b =23(1a 2+12+1b )a 2+b+12≥23(1+1+2)=83,当且仅当a=12,b=34时等号成立.10.解 因为(1,2)为曲线f (x )=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k ,则k=f'(1)=(3x 2-2x+1)|x=1=2,所以在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x ,其与函数g (x )=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A (2,4).所以y=2x 与函数g (x )=x 2围成的图形的面积S=∫2(2x-x 2)d x=(x 2-13x 3) 02=4-83=43. 11.B ∫21(x-a )d x=12x 2-ax |12=32-a ;∫π4cos 2x d x=12sin 2x 0π4=12,两定积分相等,则1=3-a ,解得a=1,故选B .12.D 因为3a =5b =c ,所以a=log 3c ,b=log 5c ,则1a =log c 3,1b =logc 5,因为1a +1b =2,所以logc 15=2, 即c 2=15,c=√15,∫c0(x 2-1)d x=(13x 3-x) 0√15=4√15.13.-2 295 若n=∫π26cos x d x=6sin x0π2=6,则(1x -2x 2)(x+√x )n =1x -2x 2x+√x 6=(1x -2x 2)x6+18x 92+135x 3+160x 32+1215+4374x -32+729x -3,展开式中,含x 2项的系数为135-2×1215=-2295. 14.-20m=∫20(3x 2-1)d x=(x3-x )|02=6,∴(x2+1x )6的通项为T r+1=C 6r (x 2)r (1x )6-r =C 6r x 3r-6.令3r-6=3得r=3, ∴(x2+1x )6的展开式中含x 3的系数为C 63=20,令3r-6=4得r=103,舍, ∴(x2+1x )6的展开式中不含x 4项.∴(1-x )(x2+1x )m的展开式中x 4的系数为-1×20=-20.15.解 如图,设切点A (x 0,y 0),由y'=2x ,得过A 点的切线方程为y-y 0=2x 0(x-x 0),即y=2x 0x-x 02,令y=0,得x=x 02,即C (x02,0).设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ,则S=S 曲边△AOB -S △ABC .S 曲边△AOB =∫x0x 2d x=13x 3 0x0=13x 03,S △ABC =12|BC|·|AB|=12(x 0-x 02)·x 02=14x 03,即S=13x 03−14x 03=112x 03=112,所以x 0=1.从而切点为A (1,1),切线方程为y=2x-1.16.D 设m=∫10f (x )d x ,则f (x )=x 3+3m ,∫1f (x )d x=∫1(x 3+3m )d x=∫1x 3d x+∫13m d x=14x 4|01+3mx |01=14+3m , 即m=1+3m ,解得m=-1.故∫1f (x )d x=-1,故选D .17.163 由作法可知,弧(Ⅰ)为抛物线y 2=2x (0≤y ≤2)弧,则实线围成的区域面积为S=4∫2(√2x 12-12x 2)d x=423√2x 32−16x 302=163.18.13 因为y=√x 的导数为y'=2√x ,设切点为P (x 0,y 0),则切线的斜率为2x =√xx 0+1,解得x 0=1,即切线的斜率为12,所以直线l的方程为y=1(x+1),所以所围成的封闭图形的面积为∫1 0[12(x+1)-√x]d x+12×1×12=14x2+12x-23x3201+14=13.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。