第5章测控技术

W ( z ) = W1 ( z )W2 ( z ) = Z [W1 ( s )] ⋅ Z [W2 ( s)]
第5章线性离散系统的数学描述 2.并联环节的z 2.并联环节的z传递函数 并联环节的 对于如图5-6所示的并联环节，W(z)=W1(z)+W2(z)。
图5-6并联环节
第5章线性离散系统的数学描述 5.1.4闭环系统的 传递函数 闭环系统的z传递函数 闭环系统的 离散系统的闭环z传递函数，可以像连续系统那样，求 得给定输入或扰动输入的z传递函数，但需注意闭环各通道 中采样开关的位置设置，如图5-7、图5-8所示。
n =0 ∞
上述过程记为W(z)=Z［W(s)］。
第5章线性离散系统的数学描述
a 在离散系统中的z 例5-1 求连续环节 Wd ( s ) = s+a
传递函数，如图5-3所示。
零阶保持器和对象连接的z传递函数 图5-3零阶保持器和对象连接的 传递函数 零阶保持器和对象连接的
第5章线性离散系统的数学描述 解 零阶保持器的传递函数为
D( z )W ( z ) Φ( z ) = 1 + D( z )WH ( z )
其中WH(z)=Z［W(s)·H(s)］。
第5章线性离散系统的数学描述
图5-8 闭环采样系统
第5章线性离散系统的数学描述 例5-2 设x(t)=1(t)，求下列系统（见图5-9）的闭环z传递 函数。
图5-9闭环采样系统
W ( s ) = W1 ( s ) ⋅ W2 ( s )
W ( z ) = Z [W1 ( s) ⋅ W2 ( s)] = W1W2 ( z )
第5章线性离散系统的数学描述
图5-4串联环节之间不存在同步开关
第5章线性离散系统的数学描述
图5-5串联环节之间存在同步开关
第5章线性离散系统的数学描述 若串联环节之间存在同步开关，如图5-5所示，则 W1(s)、W2(s)是两个分离的采样环节，分别进行Z变换。
图5—1 连续环节或系统的传递函数
第5章线性离散系统的数学描述 5.1.1线性离散系统的 传递函数的定义 线性离散系统的z传递函数的定义 线性离散系统的 传递函数的定义 如图5-2所示，对于线性离散系统，设系统输入序列为 x(n)，输出序列为y(n)，则定义系统的z传递函数为零初始 条件下输出序列的Z变换与输入序列的Z变换之比，即
Y ( z) = H ( z) ∗ X ( z)
或
(5.4)
Y ( z) W ( z) = = H ( z) X ( z)
由此可见，z传递函数W(z)就是脉冲响应函数h(t)经采样
后h(nt)的Z变换。这与连续系统中传递函数W(s)是脉冲响应函 数h(t)的拉氏变换是完全一致的。上式还可表示为
W ( z ) = ∑ h(nT ) ⋅ z
称为该系统的状态变量。
dy 如果以y(t)， 作坐标，通过这两个状态变量由微分方程 dt
dt
就惟一确定了系统内部的运动状态。如图5-11所示， y0 为初始
dy 条件，由y， 组成的平面称为相平面（状态平面）。若给定初 dt 始条件（初始位移y0）,由图可知该二阶系统是一个衰减的振荡
d2y 过程。相平面上任一时刻的点（t是参数）都有确定的y, 2 dt dy
第5章线性离散系统的数学描述
第5章线性离散系统的数学描述
5.1 z传递函数 传递函数 5.2 离散状态空间表达式 5.3 数字系统的实现 5.4 离散系统状态方程的求解 5.5 计算机控制系统的状态空间表达式 5.6 线性离散系统的稳定性分析
第5章线性离散系统的数学描述
5.1z传递函数 传递函数
n=0 n≠0
(5.2)
(2)单位脉冲响应h(n)。单位脉冲响应h(n)是在某一时 刻的单位脉冲δ(n)作用下系统的输出（序列），h(n)的幅度 与脉冲的冲量成正比，采样时刻的脉冲冲量等于此刻的函 数值。即输入单位脉冲序列，δ(n)系统输出序列为单位脉 冲响应序列h(n)。
第5章线性离散系统的数学描述 5.1.2 z传递函数的获得 传递函数的获得 1.由单位脉冲响应 由单位脉冲响应h(n-k)获得 获得 由单位脉冲响应 获得 当系统输入一个单位脉冲δ(n)时，则系统的输出就是单 位脉冲序列h(n)，同样，当系统输入为δ(n-k)时，则系统输出 为h(n-k)。 在图5-2中，系统输入并不是孤立的一个单位脉冲，而是 一系列的输入脉冲，因为脉冲的冲量为当时时刻输入函数x(t) 的采样值x(nT)，即输入脉冲序列为
图5-7采样开关在误差通道中
第5章线性离散系统的数学描述 如图5-7所示，当采样开关在误差通道中时，闭环z传递 函数Φ(z)为
W ( z) Φ( z ) = 1 + WH ( z )
其中WH(z)=Z［W(s)·H(s)］。 图5-8中，主通道带有数字校正D(z)时，闭环z传递函数Φ(z) 5-8 D(z) z (z)为
第5章线性离散系统的数学描述 解 系统开环z传递函数为
1 − e−Ts 1 G( z) = Z ⋅ s( s + 1) s
1 1 1 = (1 − z ) Z 2 − + s s s + 1
−1
Tz 1 1 = (1 − z )[ − + ] −1 2 −1 −T −1 (1 − z ) (1 − z ) 1 − e z
∑ x(nT )δ (t − nT )
n =0
∞
第5章线性离散系统的数学描述 根据线性离散系统的叠加原理，输出也将是一系列脉冲 响应之和。即在nT时刻的输出值并不只是nT时刻的输入脉冲 单独作用引起，而是由nT时刻之前包括nT时刻内所有输入脉 冲作用的总结果，因此在nT时刻的总输出应为
y ( nT ) = ∑ X (kT ) ⋅ h[( n − k )T ]
k =1 k =0
N
M
故
Y ( z) = ∴W ( z ) = X ( z)
∑ b x( z ) z
k =0 k N k =1
M
−k
(5.6)
1 + ∑ a k z −k
第5章线性离散系统的数学描述 3.由系统传递函数 由系统传递函数W(s)直接转换得到 由系统传递函数 直接转换得到 由W(s)得到W(z)应遵循下列过程： (1) 由 拉 氏 反 变 换 先 得 到 系 统 脉 冲响 应 函 数 h(t) ， 即 h(t)=L-1［W(s)］。 (2)对脉冲响应函数进行采样，即h(t)采样h(n)。 (3)对h(n)序列进行Z变换，得( z ) = ∑ h( n) z − n 。 W
−1
−1
(T − 1 + e−T ) z + (1 − Te −T − e−T ) = z 2 − (1 + e−T ) z + e −T
第5章线性离散系统的数学描述 闭环传递函数Φ(z)为
G( z) (T − 1 + e−T ) z + (1 − Te−T − e−T ) Φ( z ) = = 2 −T z − (2 − T ) z + (1 − Te ) 1 + G( z)
第5章线性离散系统的数学描述
图5-10二阶振荡系统
第5章线性离散系统的数学描述 若输入量已知为u(t)，且左边三项已知两项，另一项也就惟 一确定了，可见二阶方程只有两个未知量，任取两个变量，习
dy 惯上取y(t)和 作未知变量，只要这两个量知道，这个系统的 dt dy
运动状态也就惟一确定了，y(t)和
Y ( z) W ( z) = X ( z)
为了获取系统的z传递函数W(z)并进一步理解W(z)的定义， 我们另外再定义两个序列，即单位脉冲序列δ(n)和单位脉 冲响应序列h(n)。
第5章线性离散系统的数学描述
图5-2 z传递函数
第5章线性离散系统的数学描述 (1)单位脉冲序列δ(n)：
1 δ (n) = 0
，
自然也就惟一确定了
，状态向量的投影即任意时刻t时的
dy y, dt
dt
。
第5章线性离散系统的章线性离散系统的数学描述 2.状态变量和状态方程 2.状态变量和状态方程 由已经建立的系统微分方程
d2 y dy m 2 +f + ky = u dt dt
可得
f k u && = − y − y + & y m m m
应用离散系统Z变换的方法，不仅可以求解差分方程， 更重要的是描述离散系统，给系统分析与综合提供数学工 具。 如图5-1所示，对于线性连续系统，传递函数定义为零 初始条件下，环节或系统的输出量的拉氏变换与输入量的 拉氏变换之比，即
Y ( s) W ( s) = X (s)
(5.1)
第5章线性离散系统的数学描述
k =0
n
由于k>>n时，h［(n-k)T］=0，也就是kT时刻以后的输入脉 冲，x［(k+1)T］，x［(k+2)T］…不会对kT时刻的输出信号 产生影响，所以上式中的求和上限可以扩展到∞，由此可得
y (nT ) = ∑ x(kT ) ⋅ h[(n − k )T ]
k =0
∞
(5.3)
第5章线性离散系统的数学描述 这实际上就是x(nT)与h［(n-k)T］的离散卷积，由Z变换的卷 积定理，两边取Z变换，可得
输出的Z变换Y(z)为
Y ( z) = Φ( z) ⋅ X ( z )
(T − 1 + e−T ) z + (1 − Te−T − e−T ) z = ⋅ 2 −T z − (2 − T ) z + (1 − Te ) z −1
第5章线性离散系统的数学描述
5.2离散状态空间表达式 离散状态空间表达式
1 1 1 −Ts 1 = − − − e s s+a s s+a