离散型随机变量及其概率分布(理)

10-8离散型随机变量及其概率分布(理)基础巩固强化1.设随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么( )A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．n ＝9[答案] C[解析] ∵P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n ＝10.2．(2011·广州模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.88 [答案] D[解析] P ＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝0.88.3．(2011·潍坊质检)甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.89[答案] A[解析] 设甲胜为事件A ，则P (A )＝23，P (A )＝13， ∵甲以的比分获胜，∴甲前三局比赛中胜2局，第四局胜，故所求概率为p ＝C 23·(23)2·13·23＝827.4．在15个村庄中有是7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)[答案] C[解析] C 47C 68表示选出的10个村庄中有4个交通不方便，6个交通方便，∴P (X ＝4)＝C 47C 68C 1015.5．(2011·苏州模拟)甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75[答案] D[解析] 设“甲击中目标”为事件A ，“目标被击中”为事件B ，则所求概率为事件B 发生的条件下，A 发生的条件概率，∵P (AB )＝0.6，P (B )＝0.6×0.5＋0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.8，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.60.8＝0.75. 6．设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A ．[0，89] B ．[19，59] C ．[23，89] D ．[0，49][答案] D[解析] 设事件A ，B 发生的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，则P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝(1－x )·(1－y )＝19⇒1＋xy ＝19＋x ＋y ≥19＋2xy .当且仅当x ＝y 时取“＝”，∴xy ≤23或xy ≥43(舍)，∴0≤xy ≤49.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝xy ∈[0，49]．7．(2011·荆门模拟)由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以“x ，y ”代替，x 、y 是0～9的自然数)，其表如下：[答案] 2,5[解析] 由于0.20＋0.10＋(0.1x ＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y )＋0.20＝1，得10x ＋y ＝25，于是两个数据分别为2,5.8．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A，“两颗骰子的点数和大于8”为事件B，则P(B|A)＝________.[答案]5 12[解析]因为“红骰子向上的点数是3的倍数”的事件为A，“两颗骰子的点数和大于8”的事件为B，用枚举法可知A包含的基本事件为12个，A，B同时发生的基本事件为5个，即(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以P(B|A)＝512.9．(2011·西城模拟)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(1)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(2)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回地抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；(3)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．[解析](1)设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，则两次取球的编号的一切可能结果(m，n)有6×6＝36种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种，则所求概率为536.(2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率P＝C15C26＝13.所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为 C 23p 2(1－p )＝3×(13)2×(23)＝29.(3)随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6.P (X ＝3)＝C 22C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝620＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝1020＝12.所以，随机变量X 的分布列为：业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．[分析] (1)“发生故障”这一事件可表示为“x ≤2”； (2)弄清事件“x 1＝m ”和“x 2＝n ”的含义，才能求出概率分布列；(3)应该生产利润期望大的轿车．[解析] (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A .则P (A )＝2＋350＝110. (2)依题意得，X 1的分布列为X 2(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)． 因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．[点评] (1)本题主要考查古典概型，互斥事件的概率，离散型随机变量分布列等知识，考查数据处理能力．(2)概率问题的解决关键是弄清随机变量取值时所表示的事件的含义.能力拓展提升11.(2011·安溪模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值是( )A.1220B.2755C.27220D.2155[答案] C[解析] P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220.12．一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X 表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X 的数学期望E (X )＝( )A.445B.8310C.72D.92[答案] D[解析] X 的取值有：3、4、5，P (X ＝3)＝1C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝35，∴E (X )＝3×110＋4×310＋5×35＝92.13．甲罐中有4个红球，2个白球和4个黑球，乙罐中有6个红球，3个白球和1个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①A 1、A 2、A 3是两两互斥的事件； ②事件B 与事件A 1相互独立； ③P (B )＝2755； ④P (B |A 2)＝611. [答案] ①④[解析] ①从甲罐中任取一球，当“取出红球”时事件A 1发生，此时事件A 2，A 3一定不会发生，即A 1、A 2、A 3两两互斥，故①正确；②事件A 1发生与否，直接影响到事件B 的发生，故B 与A 1相互不独立，故②错误；③P (B )＝P (B ·(A 1∪A 2∪A 3))＝P (BA 1)＋P (BA 2)＋P (BA 3)＝410×711＋210×611＋410×611＝3255，故③错误；④P (B |A 2)＝P (A 2B )P (A 2)＝655210＝611，故④正确．14．(2011·通州模拟)亚洲联合馆一与欧洲联合馆一分别位于上海世博展馆的A 片区与C 片区：其中亚洲联合馆一包括马尔代夫馆、东帝汶馆、吉尔吉斯斯坦馆、孟加拉馆、塔吉克斯坦馆、蒙古馆6个展馆；欧洲联合馆一包括马耳他馆、圣马力诺馆、列支敦士登馆、塞浦路斯馆4个展馆．某旅游团拟从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一共10个展馆中选择4个展馆参观，参观每一个展馆的机会是相同的．(1)求选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆的概率； (2)记X 为选择的4个展馆中包含有亚洲联合馆一的展馆的个数，求X 的分布列．[解析] (1)旅游团从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一中的10个展馆中选择4个展馆参观的总结果数为C 410＝210，记事件A 为选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆，依题意可知我们必须再从剩下的8个展馆中选择2个展馆，其方法数是C 28＝28，所以P (A )＝28210＝215.(2)根据题意可知X 可能的取值是0,1,2,3,4.X ＝0表示只参观欧洲联合馆一中的4个展馆，不参观亚洲联合馆一中的展馆，这时P (X ＝0)＝1C 410＝1210，X ＝1表示参观欧洲联合馆一中的3个展馆，参观亚洲联合馆一中的1个展馆，这时P (X ＝1)＝C 34C 16C 410＝435，X ＝2表示参观欧洲联合馆一中的2个展馆，参观亚洲联合馆一中的2个展馆，这时P (X ＝2)＝C 24·C 26C 410＝37，X ＝3表示参观欧洲联合馆一中的1个展馆，参观亚洲联合馆一中的3个展馆，这时P (X ＝3)＝C 14·C 36C 410＝821，X ＝4表示参观亚洲联合馆中的4个展馆，这时P (X ＝4)＝C 46C 410＝114.所以X 的分布列为：大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E .则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件A － B － C －与事件E 是对立事件，于是P (E )＝1－P (A － B － C －)＝1－13×13×12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60. P (ξ＝30)＝P (A － B － C －)＝13×13×12＝118，P (ξ＝40)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A － B －C )＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518，P (ξ＝50)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝818， P (ξ＝60)＝P (ABC )＝418. 所以ξ的分布列为E (ξ)＝30×118＋40×518＋50×818＋60×418＝1453. [点评] 1.求复杂事件的概率的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示； (2)理清各事件之间的关系，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．1．在四次独立重复试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.13B.23 C.3281 D.881[答案] C[解析] 设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，则事件A 在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为P k ＝C k 4p k(1－p )4－k (k ＝0,1,2,3,4)，∴p 0＝C 04p 0(1－p )4＝(1－p )4，由条件知1－p 0＝6581，∴(1－p )4＝1681，∴1－p ＝23，∴p ＝13，∴p 1＝C 14p ·(1－p )3＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，故选C.2．(2011·烟台模拟)随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12<X <52)的值为( )A.23B.34C.45D.56[答案] D[解析] 由题意得，a 1·2＋a 2·3＋a 3·4＋a4·5＝1， a (1－12＋12－13＋…＋14－15)＝4a 5＝1，a ＝54， P (12<X <52)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1·2＋a 2·3＝2a 3＝56.3．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13[解析] 由条件知，⎩⎨⎧P (ξ＝x 3)＋P (ξ＝x 1)＝2P (ξ＝x 2)P (ξ＝x 1)＋P (ξ＝x 2)＋P (ξ＝x 3)＝1，∴P (ξ＝x 2)＝13，∵P (ξ＝x i )≥0，∴公差d 取值满足－13≤d ≤13.4．质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1,2,3,4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望E (ξ)．[解析] (1)不能被4整除的有两种情形：①4个数均为奇数，概率为P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116；②4个数中有3个奇数，另一个为2， 概率为P 2＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123·14＝18.故所求的概率为P ＝116＋18＝316.(2)P (ξ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)，ξ的分布列为ξ服从二项分布B ⎝ ⎭⎪⎫4，12，则E (ξ)＝4×12＝2.5．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：g)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505g 的产品数量． (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505g 的产品数量，求Y 的分布列．(3)从该流水线上任取5件产品、求恰有2件产品的重量超过505g 的概率．[解析] (1)重量超过505g 的产品数量是 40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12件． (2)Y 的分布列为(3)从流水线上取5件产品，恰有2件产品的重量超过505g 的概率是C 328C 212C 540＝28×27×263×2×1×12×112×140×39×38×37×365×4×3×2×1＝21×1137×19＝231703. 6．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘，已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5由对立事件的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F－，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D E F、D E F、D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35.P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.。