【高考模拟】广东省揭阳市2017届高三第二次(4月)模拟考试理数试题含答案

揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()lg(63)f x x =-的定义域为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．[1,2)-D ．[1,2]-2.已知复数312a iz i+=+（a R ∈，i 是虚数单位）是纯虚数，则z 为（ ） A ．32 B ．152C ．6D ．33.“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分要件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.已知1sin cos 3αα-=，则cos(2)2πα-=（ ）A ．89-B ．23C ．89D 5.已知01a b c <<<<，则（ ）A ．b a a a >B ．a b c c >C ．a bc c > D ．log log b b c a >6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（ ）A ．14B ．122π+C ．12π+D ．382π+7.设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数（用j 表示），则判断框中应填入的条件是（ ）A ．58?i <B ．58?i ≤C ．59?j <D ．59?j ≤8.某微信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（ ） A ．14 B ．34 C ．35 D ．129.已知实数,x y 满足不等式组202300x y x y y a -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩，若2z x y =-的最小值为3-，则a 的值为（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ．7310.函数21()()2x f x x =-的大致图象是（ ）11.已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（ ）A ．64B ．128C ．192D ．38412.已知函数211()sinsin (0)222xf x x ωωω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．155(,)(,)484+∞B ．15(0,][,1)48C ．1155(,)(,)8484D ．115(,)(,)848+∞第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(1,2)a x =- ，(2,1)b x =-满足a b a b ∙=-∙ ，则x = ．14.已知直线3460x y --=与圆2220x y y m +-+=（m R ∈）相切，则m 的值为 ．15.在ABC ∆中，已知AB 与BC 的夹角为0150，2AC = ，则AB 的取值范围是 ．16.已知双曲线22214x y b -=（0b >）的离心率为2，12,F F 是双曲线的两个焦点，A 为左顶点，(0,)B b ，点P 在线段AB 上，则12PF PF ∙的最小值为 ．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 中，11a =，12(1)1nn n a a n n++=++. （1）求证：数列{1}na n+是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和为n S .18. 已知图3中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，//EF CD ，,O Q 分别为线段,AB CD 的中点，OQ 与EF 的交点为P ，1OP =，2PQ =，现将梯形ABCD 沿EF 折起，使得OQ ,AD BC ，得一几何体如图4所示（1）证明：平面ABCD ⊥平面ABFE ；（2）若图3中，045A ∠=，2CD =，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值. 19. 某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关，规定第一关没过者没奖励，过n （*n N ∈）关才奖励12n -件小奖品（奖品都一样），图5是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率.（1）估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； （2）估计小明在3次游戏中至少过两关的平均次数； （3）估计小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率.20. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）与抛物线22y px =（0p >）共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于21MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足252QF =. （1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点P 作抛物线的切线y kx m =+交椭圆于,A B 两点，设线段AB 的中点为00(,)C x y ，求0x 的取值范围.21. 设函数2()()f x x a =-（a R ∈），()l n gx x=，（1）试求曲线()()()F x f x g x =+在点(1,(1))F 处的切线l 与曲线()F x 的公共点个数； （2）若函数()()()G x f x g x =∙有两个极值点，求实数a 的取值范围. （附：当0a <，x 趋近于0时，2ln ax x-趋向于+∞） 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线1:tan l y x α=∙（0,2παπα≤<≠），抛物线2:2x t C y t⎧=⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，O 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线1l 和抛物线C 的极坐标方程；（2）若直线1l 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与1l 垂直的直线2l ，2l 和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求OAB ∆的面积的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（6）易得该几何体为一底面半径为2、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： 21()24311222ππ⨯⨯+⨯⨯=+.（8）3个红包分配给四人共有34A 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为2213223432214322C A A A ⋅⨯⨯==⨯⨯． （9）如图，当直线y x z 2-=过点(2,)A a a -时，z 取得最小值，即2231a a a --=-⇒=.（10）由(0)1f =-可排除（D ），由044)2(=-=-f ，01616)4(=-=-f ，可排（A ）（C ），故选（B ）.（116=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=．(12) 1cos sin 1())22224x x f x x ωωπω-=+-=-，由(41)()0()4k f x x k Z πω+=⇒=∈令2ω=得函数)(x f 有一零点98x π=(,2)ππ∈，排除（B ）、（C ），令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：12210,,33x x ππ== ，显然1x ∉)2,(ππ，2x ∉)2,(ππ可排除（A ），故答案为（D ） 【法二：)4si n (22)(πω-=x x f ，由0)(=x f 得ππωk x =-4，当)2,(ππ∈x 时，)42,4(4πωππωππω--∈-x ，由题意知存在Z k ∈，)42,4(πωππωππ--∈k ，即)412,41(--∈ωωk ，所以41)41(21+<<+k k ω，由0>ω知0≥k ，当 ,2,1,0=k 时，4181<<ω，4585<<ω，4989<<ω，…，所以选D ．】 二、填空题：(15) 由AB与BC 的夹角为150°知30B ∠=,由正弦定理得：||||4sinsin 30AB AC C ==||4sin AB C ⇒= ,又0150C <<得0||4AB <≤ . （16）易得1c b ==，设(,)P x y 则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-225x y =+-，显然，当OP AB ⊥时，22x y +取得最小值，由面积法易得22min4()5x y +=，故12PF PF ⋅ 的最小值为421555-=-. 三、解答题：（17）解：（I ）证法1：由已知得1211+⋅=++nan a n n ， ∴)1(2111+=+++nan a n n ，又211=+a ，得01≠+n a n ，∴21111=++++na n a nn ，∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列． 证法2：由1)1(21+++=+n na n a nn 得12(1)(1)n n na n a n n +=+++， 由01>a 及递推关系，可知0>n a ，所以01≠+na n， ∴111(1)2(1)2(1)12(1)(1)(1)(1)1n n n n n n a na n n n a n n n a n a n n n a n n n+++++++++===+++++++，∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列． （II ）由（I ）得n n nna 22211=⋅=+-，∴n n a n n -⋅=2， 23122232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅ ])1(321[n n +-++++- ，设23122232(1)22n n n T n n -=+⨯+⨯++-+⋅ ，-------------① 则2341222232(1)22n n n T n n +=+⨯+⨯++-+⋅ ，---------② ①式减去②式得23122222n n n T n +-=++++-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-22)1(1---=+n n ，得22)1(1+-=+n n n T ， 又(1)123(1)2n n n n +++++-+=， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=--+． （18）解：(Ⅰ)证明：在图中，四边形ABCD 为等腰梯形，,O Q 分别为线段,AB CD 的中点，∴OQ 为等腰梯形ABCD 的对称轴，又AB //CD EF //， ∴OP EF ⊥、PQ EF ⊥，①在图中，∵222PQ OP OQ =+，∴OP OQ ⊥由①及P PQ OP = ，得EF ⊥平面OPQ ，∴EF OQ ⊥， 又OP EF P = ，∴OQ ⊥平面ABFE ，又⊂OQ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABFE ；(Ⅱ)在图中，由45A ∠= ，2CD =，易得3PE PF ==，4AO OB ==， 以O 为原点，PO 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系xyz O -，如图所示，则)0,4,0(B 、)0,3,1(-F、(0,1C得)0,1,1(--=，(0,BC =-设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BC m m，得030m BF x y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ， 取3z =，得(m =同理可得平面ADE的一个法向量(n =设所求锐二面角的平面角为θ，则|||||||,cos |cos n m n m n m⋅⋅=><=θ35= 所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为35． （19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ的分布列为ξ的期望值41.0161.082.043.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X ，可知)7.0,3(~B X ，则X 的平均次数1.27.03)(=⨯=X E ；(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次16=ξ和两次8=ξ，恰好二次16=ξ，恰好三次16=ξ，213)8()16(=⋅=ξξP P C 003.01.01.032=⨯⨯=，)16()16(223≠⋅=ξξP P C =027.0)1.01(1.032=-⨯⨯，333)16(=ξP C 001.01.03==所以小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为031.0001.0027.0003.0=++．（20）解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p ， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由25||2=QF 得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ， 由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=， ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ， ∴椭圆的方程为18922=+y x ．- （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则89922210+-=+=k x x x <0， 由91122>=mk ，得10->x ，∴0x 的取值范围是)0,1(-． （21）解：（Ⅰ）∵2)1()1(a F -=，x a x x F 1)(2)('+-=， 切线l 的斜率为a F 23)1('-=，∴切线l 的方程为)1)(23()1(2--=--x a a y ，即2)23(2-+-=a x a y ， 联立x a x x F y ln )()(2+-==，得02ln 32=++-x x x ；设2ln 3)(2++-=x x x x h ，则x x x h 132)('+-=x x x )1)(12(--=， 由0)('>x h 及0>x ，得210<<x 或1>x ， ∴)(x h 在)21,0(和),1(∞+上单调递增，可知)(x h 在)1,21(上单调递减， 又0)1(=h ，031)1(242<-=e e e h ，所以∈∃0x )21,0(，0)(0=x h ， ∴方程02ln 32=++-x x x 有两个根：1和0x ，从而切线l 与曲线)(x F 有两个公共点． (Ⅱ)由题意知0)1ln 2)(()('=-+-=x a x a x x G 在),0(∞+至少有两不同根， 设xa x x r -+=1ln 2)(， ①当0>a 时，a x =1是0)('=x G 的根，由1ln 2+=x y 与xa y =（0>a ）恰有一个公共点，可知01ln 2=-+x a x 恰有一根2x ， 由a x x ==12得1a =，不合题意，∴当0>a 且1≠a 时，检验可知a x =1和2x 是)(x G 的两个极值点；②当0=a 时，0)1ln 2()('=+=x x x G 在),0(∞+仅一根，所以0=a 不合题意；--9分 ③当0<a 时，需01ln 2)(=-+=x a x x r 在),0(∞+至少有两不同根， 由02)('2>+=x a x x r ，得2a x ->，所以)(x r 在),2(∞+-a 上单调递增，可知)(x r 在)2,0(a -上单调递减， 因为0<a ，x 趋近于0时，)(x r 趋向于∞+，且1>x 时，0)(>x r ， 由题意知，需0)(min<x r ，即03)2ln(2)2(<+-=-a a r ，解得232-->e a ， ∴0223<<--a e ． 综上知，32(2,0)(0,1)(1,)a e -∈-+∞ ．选做题：（22）解：（Ⅰ）可知1l 是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈抛物线C 的普通方程为x y 42=，其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．（Ⅱ）解法1：由直线1l 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ， 可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ， 代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ， ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆ |cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴OAB ∆的面积的最小值为16．解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ， 依题意得直线2l 的方程为1y x k =-，同理可得点2(4,4)B k k -，故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴OAB ∆的面积的最小值为16（23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤， 解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-； （Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--- 因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+ 又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，而()()()1110m n mn m n +-+=--≤()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．。