七年级数学5.1.2_垂线(第2课时)
5.1.2 垂线(2)
七楼A座办公家园
0m 10m 20m
练1.如图，测量点A到直线m的距离。
A
m
B
1.过点A画出直线m的垂线段AB,垂足为B; 2.用直尺量出垂线段AB的长.
七楼A座办公家园
练2：选择题
已知，P是直线a外一点，则下列说法 中正确的 是：（ ）
A
M
B ∴直线MF为所求 垂线。
CN
FD
七楼A座办公家园
练习3：如果 ∠A+∠B=90°， 且∠A与∠B的度数比为4︰5， 求∠A与∠B的度数。
七楼A座办公家园
练习4：如图、已知∠ AOC=ɑ ，
OA⊥OB于O，OD ⊥ OC于O，则
∠ BOD的度数是
？
A D
O
七楼A座办公家园
C B
练习5、如图，试用直尺或三角板量出： 1.城市A与城市B的距离． 2.城市A，B到大河l的D是 点P到直线 a的距离。
（B）过点P作a 的垂线段PD，则PD是点P到直线 a 的距离。
（C）过点P作直线交 a 于 D ，则线段PD的长 是点P到直线 a 的距离。
（D）过点P作a 的垂线段PD ，则线段 PD的长 是点P 到直线 a 的距离。 七楼A座办公家园
解：∵ AC⊥BC于C，(已知) ∴ AC＜AB．(垂线的性质二) 又∵ CD⊥AD于D，(已知) ∴ CD＜AC．(垂线的性质二) ∵ DE⊥CE于E，(已知) ∴ DE＜CD．(垂线的性质二) ∴ AB＞AC＞CD＞DE．
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拓展应用1
如图：在铁路旁边有一 张庄，现在要建一火车 站，为了使张庄人乘火 车最方便（即距离最近 ），请你在铁路上选一 点来建火车站，并说明 理由。
人教版七年级数学下册最新习题课件：5.1.2_第2课时_垂线段
基础过关
1．中学生体育测试项目——立定跳远，立定跳远成绩的测
定，利用数学原理的是
( B)
A．两点之间线段最短 B．点到定义
2．【2019·江苏常州中考】如图，在线段PA、PB、PC、
PD中，长度最小的是
(B )
A．PA C．PC
B．PB D．PD
解：如题图所示，AE、BF就是村庄A、村庄B修筑水渠的最 短路线图．
7．如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15. (1)试说出点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离； (2)点C到直线AB的距离是多少？你是怎样求得的？
解：(1)点 A 到直线 BC 的距离是 9，点 B 到直线 AC 的距离是 12. (2)过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，则 S△ABC＝12BC·AC＝12AB·CD，即12×12×9 ＝12×15CD，所以 CD＝356.故点 C 到直线 AB 的距离为356.
(1)该汽车行驶到公路AB上的某一位置C′时距离村庄 C最近，行驶到D′位置时，距离村庄D最近，请在公 路AB上作出C′、D′的位置(保留作图痕迹)；
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在哪一段路上距离村 庄C越来越远，而离村庄D越来越近？(只叙述结论， 不必说明理由)
解：(1)如图所示． (2)在C′D′段路上距离村庄C越来越远，而离村庄D越来越近．
(1)表示点到直线(或线段)距离的线段共有___2__条，它们分别是 ____A__C_、__B_C____； (2)AC___<___AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是 ___垂__线__段__最__短___．
6．如图，村庄A、村庄B分别要从河流L引水入 村庄，各需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的 最短路线图．
5.1.2垂线
第2课时 垂线
如图，直线AB、CD相交于点O. 若∠AOC+∠BOD=100°，
求各角的度数.
解：因为∠AOC+∠BOD =100°且两角互 A 为对顶角， 所以依据对顶角相等的性质可得， ∠AOC =∠BOD = 50°， 所以∠AOD =∠BOC = 130°.
C O D B
引入新知
解：因为 AB⊥OE （已知）， 所以∠EOB=90°（垂直的定义）. 因为 ∠BOD =∠1=55° （对顶角相等）， 所以 ∠EOD =∠EOB +∠BOD =90°+55° =145°.
A
C
E
1
O D B
在灌溉时，要把河水中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠
道最短？ 画图并用尺量一下，
看看哪一条线段最短？
2.靠
O
l
3.画线
这样画l的垂线可以画几条？
0 1 2 3 4 5 6 7
8
9
无数条
10
11 Cm
如图，已知直线 l和l上的一点A ，过点A作l 的垂线.
B
A
l
0
1
2
3
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
4 5 6 7 8 9 10 11 Cm
如图，已知直线 l 和l外的一点A，过点A作l的垂线.
B
C
巩固练习
1.如图，分别过A、B、C作BC、AC、AB的垂线.
F A D C
B
E
课堂小结
1.垂线：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直
线垂直. 2.垂线段：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂
线段最短. 3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的 距离.
人教版数学七年级下册垂线(第2课时)教学课件
5.1 相交 线 (xiāngjiāo) 5.1.2 垂线(第2课时)
第一页，共二十一页。
导入新知
在灌溉时，要把河里的水引到农田里的P处，如何(rúhé)挖渠能使渠 道最短呢？
第二页，共二十一页。
素养目标
3. 掌握垂线段最短的性质，并会利用所学知识解决简 单的实际问题.
第四页，共二十一页。
探究新知
P
垂线(chuíxiàn)段最短
斜线段
垂线段
AB C
Dm
连接直线(zhíxiàn)外一点与直线(zhíxiàn)上各点的所有线段中，
垂线段最短.
简单说成：垂线段最短． 垂线的性质2 ∵PB⊥m于B, ∴PB<PC.
第五页，共二十一页。
探究新知
特别强调:
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端(yīduān)是一个点， 另一端(yīduān)是垂足.
第二十一页，共二十一页。
第十三页，共二十一页。
课堂检测
基础巩固题
1.如图，下列说法正确的是（ D） A.线段(xiànduàn)AB叫做点B到直线AC的距离 B.线段AB的长度叫作点A到直线AC的距离 C.线段BD的长度叫作点D到直线BC的距离 D.线段BD的长度叫作点B到直线AC的距离
AD
B
C
第十四页，共二十一页。
课堂检测
第十九页，共二十一页。
课堂小结
相两 交条
直 线
(yībān) (zhíxiàn)
情一 况般
对顶角：相等 邻补角：互补
特殊 情况
相交成 直角
垂 线
第二十页，共二十一页。
垂线的存在 性和唯一性
七年级数学下册：第五章相交线与平行线5.1相交线5.1.2垂线第2课时垂线段教学课件(新版新人教版)
解：如答图所示， (1)沿 AB 走，两点之间线段最短； (2)沿 AC 走，垂线段最短； (3)沿 BD 走，垂线段最短．
7．如图 5-1-34，为了解决 A，B，C，D 四个小区的缺水问题，市政府准备 投资修建一个水厂．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定水厂 H 的位置，使之与四个小区的距离 之和最小；
知识管理
1．垂线段的概念及性质 定 义：从直线外一点引一条直线的 垂 线，这点和 垂足 之间的线
段叫做垂线段． 性 质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简 单说成：垂线段最短．
2．点到直线的距离 定 义：直线外一点到这条直线的 垂线段 的长度，叫做点到直线的距离．
注 意：垂线、垂线段和点到直线的距离是三个不同的概念，不能混淆．垂 线是直线；垂线段是一条线段；点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数 量，不能说垂线段是点到直线的距离．
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。14、成长是一场和自己的比赛，不要担心别人会做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。
9、成功的道路上，肯定会有失败;对于失败，我们要正确地看待和对待，不怕失败者，则必成功;怕失败者，则一无是处，会更5、别着急要结果，先问自己够不够格，付出要配得上结果，工夫到位了，结果自然就出来了。 6、你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不庸人自扰。
7、别人对你好，你要争气，图日后有能力有所报答，别人对你不好，你更要争气望有朝一日，能够扬眉吐气。 8、奋斗的路上，时间总是过得很快，目前的困难和麻烦是很多，但是只要不忘初心，脚踏实地一步一步的朝着目标前进，最后的结局交给时间来定夺。 9、运气是努力的附属品。没有经过实力的原始积累，给你运气你也抓不住。上天给予每个人的都一样，但每个人的准备却不一样。不要羡慕那些总能撞大运的人，你必须很努力，才能遇上好运气。
5.1.2垂线(2)课件
1、同一平面内，两条直线的位置关系： __________. 2、怎样的两条直线我们称它们互相垂直？ 3、一条直线仅有一条垂线。对吗？
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垂线与铅垂线区别：
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方格本的横线和竖线
A
C
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G D M· C
┏N
问题1：长方体的顶点A处有 一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮 它画出爬行的最佳路线。并说明 理由。 问题2：若A处的蚂蚁想爬到 棱BC上，你认为它的最佳路线 是什么？
问题3：若蚂蚁在点M处，想 爬到棱BC上，请你设计一条最 佳路线。
· A
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Ｐ
．
O
A4
． ．． ． ． ． ． ． ．
A3 A2 A1
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短。
简单说成垂线段最短
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Ｐ
．
O
A4
． ．． ． ． ． ． ． ．
A3 A2 A1
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
A
P
B
C
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5 .文峰学校第六届运动会上，701班一名 运动员第五跳打破了年级记录。如图A、 B为这一跳的脚印落点，起跳线为CD。请 画图说明如何测量他的成绩。
解：过脚印B的后 C F D
┓ • •
A B
E
跟E作EF⊥CD，垂足 为点F。 那么垂线段EF的长度 就是这名运动员跳远的 成绩。
A
B C O D
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Ｐ
．
O
A4
．． ． ． ． ． ． ． ．
A3 A2 A1
5.1.2垂线
三、动手操作，归纳性质
问题3 如何用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线？
(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的 垂线能画出几条？
(2)经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画 出几条？ 点与直线有几种位置关系？
操作
(1)经过直线l上一点 画已知的垂线.
(2)经过直线l外一点 画已知的垂线.
二、变换角度，认识垂直
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直, 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点 叫做垂足.
垂直的图形.
如图，AB⊥CD，垂足为Ｏ．
垂直的符号 表示.
推理形式
问题2 如何用符号语言表示垂直的定义呢？
之，因为 AB⊥CD， 所以 ∠AOC=90°．
如果图中的比例尺为1:100000，水渠大约要挖 多长？
练习
如图，AC⊥BC，且BC=5，AC=12，AB=13，则 点A到BC的距离是___1_2____，点B到AC的距离是 ___5____，点B到点A的距离是____1_3_____．
五、归纳小结
1.什么是垂直？垂直和相交有什么关系？我们 是如何刻画两条直线垂直的位置关系的？
2.垂线有哪些性质？ 3.本节课的学习，你在数学思想方法方面还有 哪些收获？
六、布置作业
教科书 习题5.1 第3、4、5、6、7题
5.1 相交线(第2课时） 5.1.2 垂线
一、创设情境，导入新知
问题1 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木 条a，转动木条b．
(1)在木条b的转动过程中,什么量 也随之发生改变？
a与b所成的角 也随之发生改变
(2)∠ = 90º时，木条b与a所成另外
三个角的度数是多少？
5.1.2 垂 线教案
5．1.2 垂线(第2课时)教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解垂直的概念．2．理解垂线的性质：经过一点，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．3．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．【过程与方法】通过探索、猜测，进一步体会推理的必要性，发展学生初步推理能力．【情感态度与价值观】通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验数学活动的趣味性，感受推理过程的严谨以及结论的确定性．二、重难点目标【教学重点】垂直的概念、性质和画法．【教学难点】两条直线互相垂直的性质和画法．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P3～P6的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)垂线1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.垂直用“⊥”表示，如a、b互相垂直，则记为：a⊥b或b⊥a.2．下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有①②③④.①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直；③两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．3．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．(二)垂线段4．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．即：垂线段最短.5．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.6．如图所示，点A到直线l的距离是(A)A．线段AD的长度B．线段AE的长度C．线段AB的长度D．线段AC的长度环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】(1)如图1，过点P画AB的垂线；(2)如图2，过点P分别画OA、OB的垂线；(3)如图3，过点A画BC的垂线．【互动探索】(引发学生思考)理解画垂线的步骤，根据画垂线的步骤求解．【解答】如图所示．【互动总结】(学生总结，老师点评)垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．【例2】如图所示是一条河的示意图，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．【互动探索】(引发学生思考)根据垂线的性质可得，即过点C作CE⊥AB，再根据“垂线段最短”可得CE最短．【解答】如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短．因为垂线段最短．【互动总结】(学生总结，老师点评)在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，直线a、b相交于点A，点B在直线a上，过点B作直线b的垂线，垂足为点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为(A)A．40°B．50°C．60°D．140°2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是(C)A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线3．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为点C，AC＝3，点P是直线BC上的动点，则线段AP的长不可能是(A)A．2B．3C．4D．54．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，能表示点到直线的距离的线段有5条．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB.(1)过点O画直线MN⊥CD；(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．【互动探索】(1)根据题意画出直线MN即可；(2)当点F在射线OM上时，根据垂直定义求出∠EOF＝∠BOD，根据对顶角求出∠BOD＝∠AOC，即可求出答案；当点F在射线ON上时，求出∠AOM的度数，根据对顶角求出∠BON的度数，求出∠EOB＋∠BON即可．【解答】(1)如图所示．(2)①当点F在射线OM上时．因为OE⊥AB，MN⊥CD，所以∠EOB＝∠MOD＝90°，所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.②当点F在射线ON上时，如图中点F′.因为MN⊥CD，所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，所以∠AOM ＝90°－∠AOC ＝55°， 所以∠BON ＝∠AOM ＝55°，所以∠EOF ′＝∠EOB ＋∠BON ＝90°＋55°＝145°， 即∠EOF 的度数是35°或145°.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了垂线的作法、角的计算、对顶角、垂线等知识点的应用，关键是根据这些性质求出∠EOM 和∠AOM 的度数，题目较好，难度不大，注意分类讨论思想的运用．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)垂线⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫定义作法⎩⎪⎨⎪⎧一落二移三画性质：垂线段最短求最短距离 练习设计请完成本课时对应练习！。
第2课时垂线
数学阳艳军作业设计二1.如图,已知∠ACB =90°,即AC ___BC ，若BC =8cm ，AC =6cm ，AB =10cm ，那么B 到AC 的距离是_______；A 到BC 的距离是_______；A ，B 两点间的距离是_________.2.点P 为直线l 外一点，点A ，B ，C 在直线l 上，若P A =4cm ，PB =5cm ，PC =6cm ，则点P 到直线l 的距离是（） A.4cm B.小于4cm C.不大于4cm D.5cm3.如图，已知ON ⊥a ，OM ⊥a,所以OM 与ON 重合的理由是（）A.过两点确定一条直线B.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线C.过两点能作一条垂线D.两点之间线段最短 4.如图，已知OB ⊥OA ，直线CD 过点O ，且∠AOC =35°，则∠BOD=_____；5.如图，∠AOB =110°，OA ⊥OC ，OB ⊥OD，则∠COD =________； 6.如图，EO ⊥AB ，垂足为O ，CD 是过O EOD ：∠EOB =1：3，求∠AOC 的度数.7.如图，已知点P ，Q 分别在∠AOB 的边OA ，OB （1）过点P 作射线OB 的垂线段；（2）过点Q 作垂直于射线OA 的直线. 8.如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC =13∠BOC ，OC 是∠AOD 的平分线. （1）求∠COD 的度数；（2）判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由.9.如图，将一副三角板的两个直角顶点O 重合在一起，如图○1，图○2放置. （1）如图1，若∠BOC =60°，猜想∠AOD 的度数；（2）如图2，若∠BOC =70°，猜想∠AOD 的度数；（3）如图1，猜想∠AOD 与∠BOC 的关系，并说明理由；（4）如图2，若∠BOC ：∠AOD =7 ：29，求∠COB 和∠AOD 的度数.21OO D C BA D CB A O DC B A BE O D C B A O D C B A O C B D A a 1086C B A。
5.1.2垂线(第二课时)
垂线的第一性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意： （1）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指 唯一性。 （2）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以 在已知直线外。 (3)过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段 (或射线)所在直线的垂线.
4、按要求作图：分别过三角形三个 顶点作其对边的垂线。
．
A D
（A）线段AB叫做点B到直线AC的距离。
（B）线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离 （C）线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离 （D）线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离 B
C
3、如图所示，有两条高速公路l，m， 点P为公路l上的一个出口，现要经过 点P建一连接两高速公路的一段通道， 欲使炉衬最短，应怎样施工？
D
C
例1、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线， 若∠1＝35° ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系 垂直 是 。 解： ∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知） C A 1 O B ∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2 ＝ 180°－35°－55° ＝90° ∴OE⊥AB (垂直的定义)
2
D
E
例2：如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD
于O,∠AOC=36°，则∠BOE= D
（A）36° (B) 64°
。
(C)144°
(D) 54°
D O A C B
E
学到了什么? 1. 用三角尺、直尺过一点画一条直线的垂线； 2. 理解了点到直线的距离的概念，并会度量点 到直线的距离。 3. 掌握了垂线的两个性质
Ｐ l m A
．
4、如图，P为ABC的平分 线上一点 B
P
C
2第五章第二课时：5.1.2 垂线
数学
七年级
上册
5.1.2 垂线
【学习目标】(1)
1、了解垂线、点到直线的距离的意 义，理解垂线和垂线段的性质； 2、会用三角板过一点画已知直线的 垂线，并会度量点到直线的距离.
【课堂导入】
我们知道：两条直线相交于一点,得 到四个角,这四个角里面,有两对对顶角, 它们分别对应相等,如图,可以说成“直线 AB与CD相交于点O”． 如果把直线CD绕点O旋转,无论是按照 顺时针转,还是按照逆时针转,∠BOD的大 小都将发生变化． D A B O C
【自主学习2+2+1
阅读教材P3—4“探究”以前，然后回答问题。 1、当两条直线相交所成的四个角中有一个角为 时，叫做这两条直线互相 ,其中的一条直线叫另 一条直线的 ,它们的交点叫 。 2、如图，AB垂直于CD记为 。 3、用几何语言表示： 方式⑴ ∴ 方式⑵ ∵ ∠AOC=90° AB⊥CD(垂直的定义） ∵ AB⊥CD °
【流程】独立思考→优先展示 【展示】最先完成的同学展示
【当堂反馈】3+2
1.如图,AB,CD相交于点O,EO⊥AB于 O,FO⊥CD 于O,∠EOD与∠FOB的大小关系是（ ） A.∠EOD＞∠FOB B.∠EOD＜∠FOB C.∠EOD=∠FOB D. 大小关系不确定 2.如图,∠AOD:∠DOB=3:1, OD平分∠COB． 1）求∠AOC的度数； 2）判断AB与OC的位置关系．
A
.P .. ..
B
C D
a
2、连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段 中， 线段最短。简单的说： 线段最短。 3、直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 叫做 点到直线的距离.
【流程】独立思考→合作交流→展示评价补充 【展示】3组蓝星展示
5.1.2 垂线(授课典案)
5.1.2 垂线第1课时垂线第2课时垂线段课题第1课时垂线第2课时垂线段授课人教学目标知识技能1.使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念,理解垂线的性质,掌握在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的结论;2.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.数学思考经历观察、操作、分析、概括、交流等学习过程,进一步提高学生的作图能力以及运用数学符号进行逻辑推理的能力.问题解决通过探索垂线的性质,能解决相关的垂线问题,并能够进行适当的说理.情感态度1.通过动手观察、操作、推断、交流等数学活动,进一步发展学生交流、合作的能力及有条理地表达自己思想的能力;2.通过创设情境,利用变式训练等多种教学手段来激发学生的学习兴趣,给学生创造成功的机会,使他们爱学、会学且学会,从而体验成功的快乐.教学重点垂线的概念、画法和垂线的两个性质.教学难点垂线的画法;对点到直线的距离的概念的理解.授课类型新授课课时教具量角器、三角尺、直尺、相交线模型教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】图5-1-28被钉死在十字架上的人是谁?十字架有什么意义?十字架原是罗马帝国处以死刑的刑具,反映了帝国的残暴本性,原为耻辱的记号.上帝之子耶稣为了拯救人类,被人钉于十字架,舍命,流血,牺牲,第三天从死里复活.使一切信他的人,罪得赦免,与神和好,获得永生.从此,活动一: 创设情境导入新课十字架具有了荣耀、得胜的含义,成了耶稣救人的标志、基督教的标志和爱的标志,也被用来作为医疗的标志.该图隐含怎样的几何图形?生活中还有哪些这种图形呢?(书本相邻的两条边、窗户框相邻的两边等)今天我们就来研究这种特殊情况!图5-1-29教师出示相交线的模型(如图5-1-29),演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a,b所成的角∠α是如何变化的?通过耶稣被钉在十字架上引入相交线的模型,并揭示了“十字架”的多重含义.其中渗透了对学生的德育教育,让学生热爱生命,形成博爱的观念,并且十字架中隐含相交线的特殊情况——垂直.活动二: 实践探究交流新知【探究1】垂线的概念1.垂线的定义(1)【课堂引入】中的图5-1-29,木条a不动,当木条b转到什么位置时,两根木条互相垂直?(2)转动木条b时,它和不动的木条a互相垂直的位置有几个?活动二: 实践探究交流新知(3)当a,b相交形成的角中有一个角是直角时,其他三个角的度数是多少?通过模型展示及学生交流应使学生明白:当b的位置变化时,∠α从锐角变为钝角,其中∠α是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠α是直角时,它的邻补角、对顶角都是直角,即直线a,b相交所形成的四个角都是直角,都相等.引导学生概括垂线的定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.辨析:“互相垂直”与“垂线”.“互相垂直”指两条直线的位置关系;“垂线”是指其中一条直线相对另一条直线的命名.如果说两条直线“互相垂直”时,其中一条必定是另一条的“垂线”,如果一条直线是另一条直线的“垂线”,则它们必定“互相垂直”.图5-1-302.垂直的符号表示垂直用符号“⊥”来表示,“⊥”读作“垂直于”.如图5-1-30,直线AB垂直于直线CD,垂足为O,则记为AB⊥CD,垂足为O,一般在图中任意一个直角处作上直角记号.3.用垂线的定义进行推理(1)如图5-1-30,你能说出由什么条件就知道AB与CD互相垂直吗?因为∠BOC=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直的定义).(2)如果AB⊥CD,那么可得到什么结论?(填空)因为AB⊥CD于点O(已知),所以∠BOC=90°(或∠AOC=90°或∠AOD=90°或∠BOD=90°)(垂直的定义).1.通过探究,让学生独立思考,动手操作,经历探索过程,发现结论.培养学生归纳探究的能力及逻辑推理能力.活动二: 实践探究交流新知【探究2】垂线的性质1图5-1-31让学生用三角尺或量角器画已知直线的垂线.(1)如图5-1-31,现有一条已知直线AB,分别过直线外一点C和直线上一点D,作直线AB的垂线,你有几种方法?(2)通过上述方法画出的垂线有几条?从中你能发现什么结论?学生独立思考,动手操作,自主探索.经过思考、操作,发现对于问题(1)可以有下列两种方法来画垂线:①用量角器;②用三角尺,如图5-1-32.图5-1-32教师在学生动手操作后演示课件“用三角尺作垂线”,让学生进一步感受画垂线的过程.师生共同总结画垂线的方法:(1)用三角尺:贴直线——过定点——画垂线.用三角尺的两条直角边“一贴”:贴住已知直线,“二靠”:靠住已知点,“三画”:画垂线.(2)用量角器.学生通过思考得到:在同一平面内,经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.注意:(1)在同一平面内,经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线,只能画出一条.(2)如过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上.【探究3】垂线的性质22.引导学生总结作垂线的一般方法.3.培养学生的作图能力、说理能力以及思考问题的严谨性.活动二: 实践探究交流新知1.解释概念垂线段:垂线上一点到垂足的线段;点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度.2.问题:(1)如图5-1-33,在灌溉时需要把河AB中的水引到C处,如何挖渠能使渠道最短?图5-1-33(2)从上述探究过程中你能发现什么结论?图5-1-34学生可以自主探究,如图5-1-34,先在直线AB上任取一些点,连接这些点和点C,可以发现所连的这些线段中CD最短,此时CD ⊥AB,于是找到挖渠方案.3.学生归纳:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.注意:垂线是直线;垂线段特指一条线段;点到直线的距离是指垂线段的长度,它是一个数量,是有单位的.活动三: 开放训练体现应用【应用举例】例1如图5-1-35,在给出的图形上,完成下列作图:(1)作出点A到直线BC的垂线段AD,并量出点A到直线BC的距离;(2)过点B作AC的垂线,垂足为E,过点C作AB的垂线,垂足为F;(3)延长DA,你能发现什么有趣的结论?图5-1-351.通过例题让学生学会画线段的垂线,并感受三角形三边上的高所在的直线相交于一点的这一事实.活动三: 开放训练体现应用解:(1)如图5-1-36.测量略.(2)如图5-1-36.(3)直线DA,BE,CF相交于同一点.图5-1-36变式1.在图5-1-37中分别画出点A,B到直线CD的垂线段AE,BF.图5-1-37解:如图5-1-38所示.图5-1-382.如图5-1-39,点A表示小明家,点B表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路程最短,请画出行走路径,并说明理由.图5-1-39 图5-1-40解:行走路径如图5-1-40,从A到B再到C.理由是两点之间线段最短,垂线段最短.2.通过变式练习进一步巩固垂线的概念及作图.活动三: 开放训练体现应用【拓展提升】例2如图5-1-41,一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地,M,N是位于公路两侧的村庄.图5-1-41(1)设汽车行驶到公路AB上的点P位置时,距离村庄M最近;行驶到点Q位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置;(2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段,距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?让学生运用垂线段最短的性质解决生活中的实际问题,让他们感受到数学来源于生活,从而增加他们学习数学的兴趣.活动四: 课堂总结反思【当堂训练】1.下面四种说法:(1)在同一平面内,过一点有一条线和已知直线垂直;(2)在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直;(3)直线的垂线和直线上的任一线段垂直;(4)对顶角中有一个角是直角时,相邻的边互相垂直.其中说法正确的有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图5-1-42,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是(C)A.∠AOD=∠BOCB.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOED.∠AOD+∠BOD=180°图5-1-423.如图5-1-43是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段AP的长度.通过练习进一步巩固所学垂线的概念及性质,且能使教师及时掌握本课教学效果,为后续教学的安排提供依据.活动四: 课堂总结反思图5-1-434.课本第6页练习.课后作业:1.课本第8页习题5.1第3,4,5,6,7题.2.课本第9页习题5.1第10,12题.【板书设计】第1课时垂线第2课时垂线段框架图式总结,更容易形成知识网络.【教学反思】①[授课流程反思]通过耶稣被钉在十字架上引入相交线的模型,并揭示了“十字架”的多重含义.其中渗透了对学生的德育教育,让学生热爱生命,形成博爱的观念,这是对学生进行思想教育非常重要的方法,使学生在学到知识的同时受到了良好的美育、德育教育.活动四: 课堂总结反思②[讲授效果反思]本节采用“引导发现”法鼓励学生自己去发现、分析、解决问题,使学生在自己动手的基础上,发现垂线的性质,又借助于教具、实物、图形,从直观的感性认识发现抽象的概念,使他们成为探求知识的主体,同时还利用边讲边练的教法让学生对新知加以巩固理解.通过变式训练习题、开放性习题帮助学生逐步树立转化的思想和发展性思维.在授课过程中努力遵循由学生置疑——感知——概括——应用的过程,通过学生积极参与、积极思维,使学生从被动的学习转化到主动探索和发现的过程中,使学生能感受到学习与探索的乐趣.③[师生互动反思]④[习题反思]好题题号错题题号回顾反思,找出差距与不足,形成知识及数学体系,更进一步提升教师教学能力.一、自学范围（课本练习） 二、自学目标：1、知道垂线的定义、能过一点画出已经直线的垂线、会用符号表示垂直。
人教版七年级数学下册 5-1-2 垂线(第二课时) 教案
5.1 相交线5.1.2 垂线(第二课时)教学反思教学目标1.理解垂线段的概念.2.掌握垂线段最短的性质.3.体会点到直线的距离的意义，并会度量或计算点到直线的距离.4.学会用本节知识理解生活中的一些现象及解决生活中的一些实际问题.教学重难点重点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用.难点：对点到直线的距离的概念的理解，垂线段的画法.课前准备多媒体课件、模型教学过程导入新课教师：同学们上节课，我们研究了垂直、垂线、垂线的性质，请分别回答它们各自的定义或内容是什么？学生积极回答，教师给予肯定和表扬.教师：今天这节课我们继续深入学习，研究垂线的性质及点到直线的距离.(板书课题：5.1.2垂线(第二课时))探究新知探究点一：垂线段最短教师：同学们来看下面一个问题，出示教材图5.1-8(如图1所示)，提出问题：要把河中的水引到农田P处，如何挖渠使渠道最短？图1教师：要完美地解决这个问题，我们首先来看第一个问题：如果把上述实际问题抽象成几何图形的话，你们能否画出来？教师引导，学生上台板演，结果如图2所示.图2教师：我们来看第二个问题：在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相连(如图3所示)，猜想在P点与直线l上的点连接的线段中，哪条线段最短？这时直线l上的点的位置在什么地方？图3学生发言，指出当点P与直线l上的点的连线与直线l垂直时，点P到直线l的距离最短.也就是，过点P作l的垂线，点P与垂足之间的线段即为最短路线.教师：如果我们规定：当PO⊥直线l时，线段PO是直线l的垂线段，你们能用一句话总结你们观察得出的结论吗？学生展示，教师引导学生总结.设计意图首先引领学生回忆旧知识，加深学生对上节课所学知识的理解，为新知识的学习奠定基础.探究点二：垂线的性质2连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.教师：“垂线段最短”在日常生活中广泛应用，你们还能举出几个例子吗？学生回答，教师给予肯定和表扬.教师：我们学习了垂线段，认识了垂线，这两种图形的区别与联系是什么？学生独立思考后，小组交流，代表发言.垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分.设计意图通过设计分层问题，将实际问题转化成数学问题，结合图形直观演示.使学生对垂线的性质2有初步的认识，从而得出“垂线段最短”这一性质.探究点三：点到直线的距离教师：在以前我们学习了两个点之间的距离，你们知道怎样才能得到两个点之间的距离吗？学生：测量连接两个点的线段的长度.教师：两个点之间的距离是测量两点之间线段的长度，那确定一个点到一条直线的距离，应该测量什么？学生独立思考，小组讨论，展示答案，教师引导得出结论：确定点到直线的距离，应该测量点到直线垂线段的长度.教师：现在你们知道什么是点到直线的距离了吗？学生回答，教师板书：点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度.教师强调：点到直线的距离是长度，而非垂线段.设计意图类比两点间的距离给出点到直线的距离，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量，在教学中注意强调距离是数量，而不能说成垂线段是距离.新知应用例1 如图4所示，∠C＝90°.(1)分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度.(2)AC AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是.(3)AC+BC＝AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是.解：(1)AC，BC.(2)＜垂线段最短.(3)＞两点之间，线段最短.例2 (1)如图5所示，小刚准备从C处牵牛到河边AB处饮水，作出小刚(2)如图6所示，小刚从C处牵牛到河边AB处饮水，并且必须先到点D处观察河水水质情况，然后再去牵牛饮水，作出小刚行走的最短路线(不考虑其他因素)，并作出必要说明.师生活动学生先独立思考，教师组织学生交流并适度进行引导评价.7所示.(2)如图8所示，由C处到D处和由D处到C处，依据：两点之间线段最短；由C处到河边，依据：垂线段最短.设计意图通过例题进一步了解垂线段最短和两点之间线段最短的区别.例3 如图9所示，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点P是线段AB上一个动点，点P在运动过程中，PC长度随之发生变化.你能确定PC长度的最大值与最小值吗？师生活动学生先独立分析，再小组交流，教师巡视指导. 解：如图10所示.(1)当点P 运动到与点A 重合时，PC ＝AC ＝4，∴ PC 长度的最大值为4. (2)当点P 运动到CP ⊥AB 时，PC 的长度最小. ∵ S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CP ， ∴ AC ·BC ＝AB ·CP ，∴ 3×4＝5·CP ， ∴ PC ＝125，∴ PC 长度的最小值为125.设计意图通过解决生活中的实际问题，加深学生对垂线段最短的理解.借助“动点”运动问题(课本习题的变式)，不仅加深学生对知识的理解，而且渗透了“等积法”这一解题方法.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.C2.B3.C4.B5.4.8 66.4 10 6.(1)略 (2)略 (3)PM (4)PM ＜OP. 理由：垂线段最短.7.解：(1)如图11所示，连接AC ，BD 交于点H ，则H 为蓄水池的位置.(2)作HG ⊥EF ，如图11所示，沿线段HG 把河水引入蓄水池，开渠最短.理由：过直线外一点与直线上的各点的所有线段中，垂线段最短.(见导学案“课后提升”)参考答案1.A2.解：∵ AC ⊥BC ，∴ AC ＜m. ∵ AD ⊥CD ，∴ AC ＞n ，∴n＜AC＜m.课堂小结1.本节课主要学习了垂线的性质“垂线段最短”和点到直线的距离.2.注意垂线段、垂线概念之间的区别和联系.布置作业教材第8，9页习题5.1第6，10题板书设计。
人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)(2)
4．BN 垂线段最短
解析：试题分析：根据生活实际，确定量取的位置，然后根据点到直线的距离确定跳远的成绩BN，因此明确理论依据为：垂线段最短.
故答案为：（1）BN（2）垂线段最短
5．有且只有
解析：试题
根据垂线的性质:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
故答案为有且只有.
三、解答题
∵CD⊥OB，
∴∠AOB+∠ODC=90°，
∴与∠AOB互余的角是∠OCE与∠ODC．
点睛：
本题考查的是作图-基本作图，熟知垂线的作法是解答此题的关键．
4．（1）画图见解析；（2）OA；（3）CP；（4） ．
解析：试题分析：（1）画出图形如图所示；（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离；（3）线段PC的长度是点C到直线OB的距离.（4）根据点到直线的距离垂线段最短可得线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC.
4．D
解析：详解：
∵PO丄OR, OQ丄PR，
∴PO是点P到线段OR的距离，OQ是点O到PR的距离，OR是点R到线段PO的距离，PQ是P到线段OQ的距离，RQ是R到OQ的距离
∴共计有5条.
故选D.
5．A
解析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
详解：
根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距离；③PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离，其中，正确的是( )
5.1.2垂线
课题：垂线课型：新授课时： 1 (共2课时)【学习目标】1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。
3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。
【重点难点】1．教学重点：垂线的定义及性质。
2．教学难点：垂线的画法。
【复习提问】1、叙述邻补角及对顶角的定义。
2、对顶角有怎样的性质。
【学习过程】（一）垂线的定义问题1：如右图，（1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？（2）∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？问题2：如右图，当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？这种位置关系有几种？直线AB、CD的位置关系怎样？问题3：什么样的两条直线互相垂直？定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．想一想：在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的。
请举例说明：垂直的记法、读法直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或“CD⊥AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O”（如图）．垂直的定义的应用格式1.如果直线AB、CD相交于点O，∠AO C=90°（或三个角中的一个角等于90°），那么AB⊥CD.这个推理过程可以写成：∵∠AO C=90°（已知），∴AB⊥CD（垂直的定义）．2.如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成:∵AB⊥CD（已知），∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．【初步应用.】1、两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（）（A）有两个角相等（B）有两对角相等（C）有三个角相等（D）有四对邻补角2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直（A）4 （B）3 （C）2 （D）1（二）画图实践,探究垂线的性质(1)已知直线L,画出直线L的垂线.能画几条?再问:怎样才能确定直线L的垂线位置?结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?.结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.【初步应用.】1.如图根据下列语句画图:(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;(2)过点P 画射线BN 的垂线,交射线BN 反向延长线于Q 点; (3)过点P 画线段AB 的垂线,交线AB 延长线于Q 点.P MANPBPBA【小结整理】1.垂直的定义的应用格式2.性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
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第二课时
周闸初中初一数学备课组
温故而知新：
1、作一条已知直线的垂线，是怎么作的？ 2、垂线的基本性质是什么？
新知探究：
过线段、射线外一点作他们的垂线，应怎么画呢？
P
Q
A
B
O
A
E E
E 注意:画线段(或射线)的 垂线时,有时要将线段 延长(或将射线反向延 长)后再画垂线.
课堂练习 1.过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ C）. A B C D
2、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。 解：如图、直线AD⊥BC于 A D、直线BE⊥AC于E、直线 CF⊥AB于F 3、如图，过P作直线 PM⊥OA，垂足为点M． O 过P作线段PN⊥OB于N点。 解：如图、直线PM⊥OA 于M、线段PN⊥OB于N
F
C D M A P
B
E
N
B
思考
例4、如图2-23，试．
拓展应用1
如图：在铁路旁边有 一张庄，现在要建一火车 站，为了使张庄人乘火车 最方便（即距离最近）， 请你在铁路上选一点来建 火车站，并说明理由。
张庄
垂线段最短
拓 展 应 用2
如图：要把水渠中的水引到水池 C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟 的长度才能最短？ 请画出图来，并说明理由。
A
D
想一想： 已知： 如图AD＜AE ＜AC＜AB 能说AD的长是A到BC的 A 距离吗？
答：不能。
B D EC
小结
回忆两条直线相交这部分知识，并问：你们能够 把它们画成一个知识结构图吗？
垂线段最短
C
小常识
立定跳远中，体育老师是如何测量 运动员的成绩的？
起 跳 线
体育老师实际上测量 的是点到直线的距离
落脚点
思考 在直角三角形的三条边中哪一条 最长？
答:直角所对的边即斜边最长.
选择题：
2.如图, AC⊥BC, ∠C=900 ,线段AC、BC、CD 中最短的是( C ) (A) AC (B) BC (C) CD (D) 不能确定 C B
有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他 在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边 m呢？
P
A
B
C
D
m
连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短。 垂线段最短 简单说成：垂线段最短． 垂线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
选择题：
1、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( D ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
9cm ∴BP=CQ
A Q M P
9cm C
20cm
B
0cm
10cm
30c
例3、如图，点M、N分别在直线AB、CD 上，用三角板画图， 1)过M点画CD的垂线交CD于F点, MN 的长， 2)M点和N点的距离是线段____ MF 的长。 3)M点到CD的距离是线段____ M A B ∴直线MF为所 求垂线。 D F C N
如图，怎样测量 点A 到 直线m 的距离？
A
10m
B
20m
1.过点A画出直线m的垂线AB,垂足为B; 2.用直尺量出垂线段AB的长.
0m
m
例1、如图,量出（1）村庄A与货场B 的距离,（2）货场B到铁道的距离。 20m
30m
A
25m
0m
8m
C B
10m
例2、如图， 1)画出线段BC的中点M，连结AM； 2)比较点B与点C到直线AM的距离。