高三数学一轮复习第27讲直线与圆的方程教案(2021年整理)

安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第27讲直线与圆的方程教案编辑整理：
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直线与圆的方程
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线;两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线.
5．圆的方程
圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x .特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+.
圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ,圆心为点)2
,2(E
D --
，半径2
422F
E D r -+=
，其中0422>-+F E D 。

二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：①、
2x 项2y 项的系数相同且不为0，即0≠=C A ；②、没有xy 项，即B =0；③、0422>-+AF E D 。

典例解析
题型1:直线的倾斜角
例1．图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则
（ ）
A ．k 1＜k 2＜k 3
B ．k 3＜k 1＜k 2
C ．k 3＜k 2＜k 1
D ．k 1＜k 3＜k 2
答案：D
解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3,所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D 。

点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。

图
例2．过点P （2，1）作直线分别交x 轴、y 轴的正直线
的方
半轴于A 、B 两点，求的值最小时程。

解析：依题意作图，设∠BA O ＝, 则，
，
当，即
时的值最小,此时直线的倾斜角为135°，
∴斜率。

故直线的方程为
，即。

点评：求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型.解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，还要用到一些技巧. 题型2:斜率公式及应用
例3．（1)设实数x ，y 满足，则的最大值是___________。

（2）已知过原点O 的一条直线与函数y =lo g 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、
B 作y 轴的平行线与函数y ＝lo g 2x 的图象交于
C 、
D 两点。

（1）证明点C 、D 和原点O 在同一条直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标。

解析:（1）如图，实数x ，y 满足的区域为图中阴影部分(包括边界)，而
表
示点（x ，y )与原点连线的斜率，则直线A O 的斜率最大，其中A 点坐标为
,此时
，所以的最大值是。

的最大值即
点评：本题还可以设,则
，斜率k
y B
P （2，1）
θ
O A x
θ
为的最大值,但求解颇费周折。

(2）证明:设A 、B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知x 1＞1，x 2＞1，点A （x 1，lo g 8x 1)，
B （x 2,lo g 8x 2）。

因为A 、B 在过点O 的直线上，所以2
28118log log x x x x =
, 又点C 、D 的坐标分别为(x 1，lo g 2x 1)，（x 2，lo g 2x 2） 由于lo g 2x 1＝
2log log 818x ＝3lo g 8x 1，lo g 2x 2＝2
log log 82
8x ＝3lo g 8x 2，
所以OC 的斜率和OD 的斜率分别为
2
2
8222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC =
===
. 由此得k OC ＝k OD ，即O 、C 、D 在同一条直线上. 由BC 平行于x 轴，有lo g 2x 1＝lo g 8x 2，解得 x 2＝x 13
将其代入
2
28118log log x x x x =
，得x 13
lo g 8x 1＝3x 1lo g 8x 1. 由于x 1＞1，知lo g 8x 1≠0,故x 13
＝3x 1,x 1＝3,于是点A 的坐标为（3，lo g 83).
点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力。

例4．当
时，函数x
x
x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值是（ ）
A ．2
B ．23
C ．4
D ．
解析:原式化简为()
53cos 20sin 2x
y x -=
--，则y 看作点A （0,5）
与点
的连线的斜率。

因为点B 的轨迹是
解析二:将x =0，y =0和2x +3y =30所围成的三角形补成一个矩形。

如图所示。

对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176。

因此所求△AOB 内部和边上的整点共有
2
6
176+=91（个） 点评：本题较好地考查了考生的数学素质,尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径。

例6．已知动圆过定点P （1,0），且与定直线l ：x =－1相切，点C 在l 上。

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程；
（Ⅱ）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点。

（i ）问:△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时,求这种点C 的纵坐标的取值范围.
（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2
=4x .
解法二：设M （x ，y ）,依题意有|MP ｜=｜MN ｜， 所以|x +1｜=22)1(y x +-。

化简得：y 2
=4x 。

（Ⅱ)（i )由题意得，直线AB 的方程为y =－3（x －1）。

由⎪⎩⎪⎨⎧=--=.4),1(32x y x y 消y 得3x 2－10x +3=0，
解得x 1=3
1
，x 2=3。

所以A 点坐标为（3
3
2,31）,B 点坐标为(3，－23），
｜AB ｜=x 1+x 2+2=
3
16. 图
图
解析：设C 是x 轴正半轴上一点,在△ABC 中由正弦定理,有 .
其中R 是△ABC 的外接圆的半径。

可见,当R 取得最小值时，∠ACB 取得最大值.
在过A 、B 两定点且与x 轴正向有交点C 的诸圆中，当且仅当点C 是圆与x 轴的切点
时，半径最小。

故切点C 即为所求。

由切割线定理，得：
所以
，即点C 的坐标为
时，∠ACB 取得最大值。

点评:圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用.对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用.
例10．已知⊙O′过定点A （0，p ）（p>0），圆心O′在抛物线x 2
=2p y 上运动，MN 为圆O′截x 轴所得的弦,令|A M ｜=d 1，|A N|=d 2，
∠M A N=θ. (1）当O′点运动时，|MN ｜是否有变化？并证
明你的结论;
（2）求21d d +1
2
d d 的最大值，并求取得最大值的
θ值。

解析：设O′（x 0，y 0），则x 02
=2p y 0 （y 0≥0)，⊙O′的半径|O′A ｜=202
)(p y x -+，⊙O′的方程为(x -x 0)2+（y -y 0)2=x 02+（y 0-p)2.令y =0，并把x 02=2p y 0代入得x 2－2x 0x +x 0
2。