一些特殊图的Seidel特征多项式及S-整图

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gauss-seidel迭代法收敛判断matlab

Gauss-Seidel迭代法是解线性方程组的一种常用方法，它通过不断迭代更新解向量，逐步逼近方程组的精确解。

在实际应用中，我们往往需要判断迭代法是否收敛，以保证计算结果的准确性和可靠性。

本文将以matlab为例，介绍如何利用数值计算软件对Gauss-Seidel迭代法的收敛性进行判断，并对其进行详细分析和讨论。

一、Gauss-Seidel迭代法简介Gauss-Seidel迭代法是一种逐次迭代的线性代数方法，用于求解线性方程组Ax=b的解向量x。

它的迭代更新公式为：xn+1i=1/aii(bi-∑(j=1,j≠i)n aijxj)其中，i=1,2,...,n；n为方程组的阶数；aii为系数矩阵A的第i行第i 列元素；bi是方程组右端的常数；xj为解向量x的第j个分量；∑(j=1,j≠i)n aijxj为除去第i个分量的求和。

通过不断迭代更新解向量的各个分量，最终可以逼近线性方程组的解。

二、Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断针对Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断，我们可以利用数值计算软件matlab进行分析。

在matlab中，可以使用以下命令进行Gauss-Seidel迭代法的计算：function[x,k]=GaussSeidel(A,b,x0,tol,maxk)n=length(b);x=x0;for k=1:maxkx0=x;for i=1:nx(i)=1/A(i,i)*(b(i)-A(i,:)*x+x(i));endif norm(x-x0,inf)<tolreturn;endenderror('达到最大迭代次数，方法未收敛');end在上述matlab代码中，A为系数矩阵，b为右端常数向量，x0为初始解向量，tol为迭代精度，maxk为最大迭代次数。

在函数中，我们设定了最大迭代次数以及迭代精度的条件，当满足这些条件时，算法将停止迭代。

三、Gauss-Seidel迭代法的收敛性分析Gauss-Seidel迭代法的收敛性与系数矩阵A的性质有关。

sylvester matrix特征多项式

sylvester matrix特征多项式Sylvester 矩阵是一种与多项式相关的矩阵，它的特征多项式可以用于计算Sylvester 矩阵的特征值。

给定两个多项式：P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^nQ(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + ... + b_mx^mSylvester 矩阵是一个(n+m)×(n+m) 的矩阵，其形式如下：S = | a_0 a_1 a_2 ... a_n-1 a_n0 0 ... 0 0 || b_0 b_1 b_2 ... b_m-1b_m 0 0 ... 0 0 || 0 a_0 a_1 ... a_n-2a_n-1 a_n 0 ... 0 0 || 0 b_0 b_1 ... b_m-2b_m-1 b_m 0 ... 0 0 || 0 0 a_0 ... a_n-3a_n-2 a_n-1 a_n ... 0 0 || 0 0 b_0 ... b_m-3 b_m-2 b_m-1 b_m ... 0 0 || ... ... ... ... ... ...... ... ... ... || 0 0 0 ... a_0a_1 a_2 ... a_2 a_3 || 0 0 0 ... b_0b_1 b_2 ... b_2 b_3 |其中，矩阵的左上角部分是P(x) 的系数，矩阵的右上角部分是Q(x) 的系数，矩阵的左下角部分是P(x) 的系数往上平移一位，矩阵的右下角部分是Q(x) 的系数往上平移一位。

Sylvester 矩阵的特征多项式可以表示为：det(S - λI) = | P(x) - λI Q(x) || -P(x) Q(x) - λI |其中，I 是单位矩阵，λ 是特征值。

特征多项式的零点即为Sylvester 矩阵的特征值。

通过找到特征多项式的根，可以得到Sylvester 矩阵的特征值。

gauss seidel迭代法

Gauss Seidel迭代法简介Gauss Seidel迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。

它是Jacobi迭代法的改进版本，通过逐次更新未知数的估计值，逐渐逼近方程组的精确解。

本文将详细介绍Gauss Seidel迭代法的原理、算法步骤以及应用领域。

原理Gauss Seidel迭代法基于以下原理：对于线性方程组Ax = b，其中A是一个n×n 的矩阵，x和b是n维向量。

我们可以将矩阵A分解为L、D和U三个矩阵的和，其中L是A的下三角部分（不包括对角线），D是A的对角线部分，U是A的上三角部分（不包括对角线）。

则方程组可以重写为：(A = L + D + U)(L + D + U)x = b(L + D)x + Ux = b将上式中的x视为已知量，将(L + D)x视为已知量的估计值，我们可以得到迭代公式：x^(k+1) = -D^(-1)(Lx^(k+1) + Ux^(k)) + D^(-1)b其中，x(k)表示第k次迭代的估计值，x(k+1)表示第(k+1)次迭代的估计值，D^(-1)表示矩阵D的逆矩阵。

算法步骤Gauss Seidel迭代法的算法步骤如下：1.初始化估计值向量x^(0)为任意非零向量。

2.根据迭代公式计算x^(k+1)。

3.判断是否满足终止条件，如果满足则停止迭代，输出x^(k+1)作为线性方程组的近似解；否则，令k=k+1，返回第2步。

终止条件通常有以下几种方式： - 迭代次数达到预设的最大值。

- 两次迭代之间的误差小于预设的阈值。

- 迭代估计值与精确解之间的误差小于预设的阈值。

应用领域Gauss Seidel迭代法在科学计算和工程领域有广泛的应用。

下面列举了一些常见的应用领域：电力系统分析Gauss Seidel迭代法可以用于电力系统的潮流计算。

潮流计算是电力系统分析的基础，用于确定电力系统各节点的电压幅值和相角。

通过迭代计算节点电压，可以实现电力系统的稳态分析和潮流优化。

一类图构形的特征多项式

一类图构形的特征多项式高瑞梅【摘要】超平面构形是奇点理论的一个分支,它是一类具有非孤立奇点的超曲面.超平面构形是处在组合学、代数学、拓扑学、代数几何学等多个学科交汇处的一门年轻的学科,它的巨大魅力在于:能从组合学以及代数学等不同角度去描述它的拓扑不变量.特征多项式作为构形的一个组合不变量,在构形组合、代数、拓扑性质的研究中,起到非常重要的作用.本文利用图论中的顶点着色理论给出一类特殊图构形的特征多项式.%The arrangement of hyperplanes,which is a branch of singularity theory,is a hypersurface with non-isolated singularities. The arrangement of hyperplanes is a new interdisciplinary field which comes from combinatorics, algebra, topology,algebraic geometry and so on. The greatest charm of the theory of hyperplane arrangements is expressing to-pological invariants of the complement space in terms of combinatorics and algebra. The characteristic polynomials are combinatorial invariants for hyperplane arrangements, and play important roles in the studying of the properties of the aspects of combinatorics, algebra and topology. In this paper, the characteristic polynomials of a class of graphical ar-rangements are established by the chromatic theory of the vertices graphs.【期刊名称】《长春理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(038)006【总页数】4页(P123-126)【关键词】超平面构形;图构形;特征多项式【作者】高瑞梅【作者单位】长春理工大学理学院,长春 130022【正文语种】中文【中图分类】O189.1超平面构形是指有限维向量空间中有限个超平面所形成的集合。

完全图的seidel特征多项式及其谱

应的多项式Ｓ（）＝ＩＩａａ —Ｓ（）Ｉ称为图Ｇ的ｓｉｅＸＧｅｄｌ特征多项式．文给出了完全图Ｋ本的ｓｉｅ特征多项式及其谱．ｅｄｌ
关键词：全图｝ｉｅ特征多项式；ｉｅ完ｓｄｌｅｓｄｌ谱ｅ
中图分类号：５．Ｏ１７６文献标识码：Ａ文章编号：０１７４［０８０ — ００ — ０１０ — ５２２０）４０７３
的多项式Ｓ（）一ｌ — ｓＧ）Ｉ— ＩＧＪ（卜一Ｊ＋卜｝Ａ（＿Ｇ）Ｉ称为图Ｇ的ｓｉｅ特征多项式，能被写２ｅｄｌ它成Ｓ（）＝Ｓ ” ｓＧｏ＋＋ … ＋ｓ（参看［］．１）由于矩阵ｓＧ（）是实对称的，所对应的特征值必定是实它
一
收稿日期：０８０ — ０２０ — ４９
作者简介：吕盛梅（９０－）女（族）青海民和人，师．１８－，汉，讲
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青海师范大学学报（自然科学版）
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数．设 ≥ ： … ≥ 是图Ｇ的ｓｉｅ特征值，由此特征值及其重数构成了图Ｇ的ｓｉｅ谱． ≥ ｅｄｌ则ｅｄｌ本文中，我们主要讨论完全图的ｓｄｌｅｅ特征多项式及其谱．ｉ我们记ｎ个顶点的完全图为Ｋ，所对应的￣ｉｅ特征多项式记为Ｓ．一Ｓｉ＋５它ｄｌ（）ｏ” ｔ其￣ｄｌ征值记为 ≥ ｚ … ≥ ，有ｉｅ特 ≥ 则定理１完全图Ｋ的ｓｉｅ特征多项式的系数为：ｅｄｌ

gauss-seidel方法

gauss-seidel方法概述Gauss-Seidel方法是用于求解线性方程组的一种迭代算法。

它是一种迭代方法，通过逐步更新方程组的解来逼近真实解。

Gauss-Seidel方法在求解大型线性方程组时具有较高的效率，并且对于稀疏矩阵和对称矩阵具有较好的表现。

原理Gauss-Seidel方法的基本思想是将线性方程组分解为一系列子问题，并逐个求解这些子问题。

在每次迭代中，算法从方程组的某一行开始，通过逐步更新其他行的值，最终得到方程组的解。

具体步骤如下：1.初始化：选择一个初始解作为迭代过程的起点，通常选择方程组的一个行向量作为初始解。

2.选择一个未处理的列：从方程组的每一行中选择一个未处理的列，将其作为当前子问题。

3.求解当前子问题：使用线性代数的方法（如矩阵乘法或求解线性方程组）求解当前子问题，得到该列在当前迭代中的值。

4.更新其他列的值：根据当前子问题的解，更新其他列的值，使其满足方程组的约束条件。

5.重复步骤2-4，直到所有列都被处理完毕，或者达到预设的迭代次数。

优缺点优点：1.高效：对于大型线性方程组，Gauss-Seidel方法可以在较少的迭代次数内得到解。

2.对称性：对于对称矩阵和稀疏矩阵，Gauss-Seidel方法表现较好，因为它可以充分利用矩阵的对称性来减少计算量。

3.适用于迭代过程：Gauss-Seidel方法适用于需要多次迭代的场景，因为它可以在每次迭代中逐步逼近真实解。

缺点：1.收敛性：Gauss-Seidel方法可能存在收敛速度慢或无法收敛的问题，特别是在某些特殊情况下。

2.需要人工干预：在求解过程中需要手动选择未处理的列和初始解，这可能对结果产生影响。

3.对初始解的依赖性：初始解的选择对于算法的收敛性和效率有一定影响。

应用场景Gauss-Seidel方法适用于求解大型线性方程组，特别是对于稀疏矩阵和对称矩阵具有较好的表现。

它适用于需要多次迭代的场景，如数值分析和科学计算等领域。

图的谱特征及其相关问题

图的谱特征及其相关问题图的谱特征及其相关问题设M是以某种具体规定的方式所定义的与图相联系的图矩阵.利用矩阵M的特征值来研究图的理论称作是图的谱理论(或M-谱理论).图矩阵包括关联矩阵、邻接矩阵A、Laplacian矩阵L、规范Laplacian 矩阵和Seidel矩阵等.在以往的研究中,主要涉及图的A-谱理论和L-谱理论.近来,著名的图谱理论学者Cvetkovic,Rowlinson和Simic[42]提出并分析了用signless Lapla-cian矩阵Q研究图的可能性,并指出用Q-矩阵比用A-矩阵研究图更有效率.同时,van Dam和Haemers[52]也指出用Q-矩阵比用L-矩阵和Seidel矩阵研究图似乎更方便.本文的研究范围涉及图的A,Q和L-谱理论,侧重于前两种谱理论的研究.图的M-特征值是图矩阵M的特征值.图的M-谱是由M-特征值组成并记做SpeCM(G).如果SpecM(G)=SpecM(H),则称G和H是M-同谱图,并表示为G-M H.记G的M-同谱类为[G]M={H|H-M G}.若对于任意满足H-M G的图H都有H≌G,则称G是由M-谱所确定的(或简称为G是一个DMS-图).本文主要研究图的谱特征及相关的问题.图G 的M-谱特征问题(简记为M-SCP)主要研究以下两方面的问题：M-SCP1:图G是一个DMS-图吗?M-SCP2:若G不是DMS-图,则能否确定[G]M?研究图的谱特征问题时,知道的必要条件越多越有益于问题的解决.为此,本文也研究了与谱特征密切相关的若干问题,所得到的绝大部分结论成为解决一些图的谱特征问题的有力工具.本文所得到的主要结果如下：第二章主要研究图的A-谱特征及相关问题.首先刻画了三类含孤立点的图的A-同谱类；其次研究了一类DK-图和单圈图的A-指标,确定了一类DK-图的A-同谱类,给出了另一类DK-图是DAS-图的充要条件,其间穿插了对A-特征多项式之间整除性的研究；再次,详细地研究了两类连通的(2,3)-几乎正则图(哑铃图和θ-图)的A-谱特征.第三章主要研究图的Q-谱特征及相关问题.首先研究了图各种谱特征之间的关系,尤其是图的Q-谱特征和其剖分图A-谱特征之间的关系；其次对Q-指标加以详细地讨论,确定了Q-指标的所有小于4.38+的极限点,分别刻画了Q-指标属于区间(4,2+(?)],(2+(?),(?)+2]和((?)+2,4.5]的连通图,给出了Q-指标的一个上界并刻画了达到界的极图；再次,给出了第二大Q-指标κ2的一个上界,刻画了κ2属于区间[0,3]的所有连通图,并且完全解决了这些图的Q-谱特征问题；然后利用Q-多项式的系数定义了两个新的Q-同谱不变量,即第一特征标I1(G)和第二特征标I2(G),证明了I1(G)≤1并分别刻画了I1(G)=1,0,-1,-2,-3的所有连通图,证明了I2(G)≥-2并得到取得等号的图类,利用第一特征标研究了一类图的Q-谱特征；发现了确定与一个给定图Q-同谱图的度序列的方法,利用此法分别找到了与2-玫瑰图和3-玫瑰图Q-同谱图的度序列,完全解决了这两类图的Q-谱特征；最后分别确定了固定阶数与直径,固定阶数与割点数的最大图.第四章主要研究图的L-谱特征及相关问题.首先将Q-特征标推广到L-特征标,演示了L-特征标在解决L-谱特征中的应用；其次,部分地解决了2-玫瑰图和3-玫瑰图的L-谱特征问题；最后刻画了L-指标分别属于[0,4],(4,2+(?)],(2+(?),2+(?)]的所有连通图,然后利用得到的结论完全解决了路和圈不交并的L-谱特征问题. 摘要2-4Abstract4-8第一章绪论8-261.1 图谱理论的研究背景简介8-91.2 基本概念与符号9-111.3 本文的研究背景、进展及主要工作11-26第二章图的A-谱特征及相关问题26-752.1 A-谱理论的若干经典结论26-282.2 三类图的A-同谱类28-362.2.1 图K_1 ∪ P_n的A-同谱类29-312.2.2 图K_1 ∪ W_n的A-同谱类31-342.2.3 图K_1 ∪ T_(1,2,n-4)的A-同谱类34-362.3 DK-图的A-谱特征36-622.3.1 一类DK-图和单圈图的A-指标37-453.2 DK-图的A-谱特征Ⅰ45-502.3.3 A-特征多项式的整除性50-542.3.4 DK-图的A-谱特征Ⅱ54-622.4 (2,3)-几乎正则图的A-谱特征62-752.4.1 哑铃图的A-谱特征Ⅰ64-672.4.2 哑铃图的A-谱特征Ⅱ67-742.4.3 θ-图的A-谱特征74-75第三章图的Q-谱特征及相关问题75-1313.1 图各种谱特征的关系75-783.2 Q-谱理论的基本结论78-823.3 关于图的Q-指标82-943.3.1 图Q-特征值的极限点82-873.3.2 Q-指标所刻画的图87-913.3.3 Q-指标的一个上界91-943.4 关于第二大Q-特征值κ_294-1003.4.1 κ_2的一个上界94-963.4.2 κ_2所刻画的图96-993.4.3 κ_2与图的Q-谱特征99-1003.5 Q-同谱不变量及DQS-图100-1105.1 图的第一Q-特征标100-1053.5.2 图的第二Q-特征标105-1073.5.3 特征标与图的Q-谱特征107-1103.6 玫瑰图的Q-谱特征110-1223.6.1 2-玫瑰图的Q-谱特征110-1183.6.2 3-玫瑰图的Q-谱特征118-1223.7 两类最大图的刻画122-1313.7.1 预备工作122-1263.7.2 阶和直径固定的最大图126-1283.7.3 阶和割点数固定的图128-131第四章图的L-谱特征及相关问题131-1434.1 几类图的L-谱特征131-1344.1.1 从Q-特征标到L-特征标131-1324.1.2 2-玫瑰图的L-谱特征132-1334.1.3 3-玫瑰图的L-谱特征133-1344.2 L-指标与L-谱特征134-1434.2.1 L-指标刻画的图134-1394.2.2 路与圈并图的L-谱特征139-143附录143-145参考文献145-158科研成果158-161致谢161-162。

研究生数值分析高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法

迭代法的发展趋势和未来研究方向
非线性问题
将高斯-赛德尔迭代法应用于非线性问题是一个具有挑战性的方向，也是未来研究的重要课题。
理论分析
深入分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和误差估计，为算法改进提供理论支持。
应用领域拓展
将高斯-赛德尔迭代法应用于更多领域，如工程、物理、经济等，解决实际问题。
谢谢观看
05
高斯-赛德尔迭代法的应用
在线性方程组求解中的应用
01
02
03
线性方程组求解是高斯赛德尔迭代法的重要应用之一。对于给定的线性方程组Ax=b，高斯-赛德尔迭代法可以用来求解x的
值。
通过迭代的方式，高斯赛德尔迭代法不断逼近方程的解，直到满足一
定的收敛条件。
该方法在数值分析中广泛应用于解决线性方程组问题，具有较高的稳
高斯-赛德尔迭代法是一种直观且易于理解的迭代方法，计算过程相对简单，易于编程实现。
收敛速度快
对于某些问题，高斯-赛德尔迭代法可能比其他迭代方法具有更快的收敛速度。
高斯-赛德尔迭代法的优缺点
• 适用于多种线性系统：该方法适用于多种线性系统，包括稀疏矩阵和稠密矩阵。
高斯-赛德尔迭代法的优缺点
松弛法(SOR方法)
总结词
松弛法是一种改进的高斯-赛德尔迭代法，通过引入松弛参数，使得迭代过程更加灵活，提高了收敛速度。
详细描述
松弛法(SOR方法)是在高斯-赛德尔迭代法的基础上，引入了一个松弛参数，使得迭代过程中每一步的解不仅依赖于前一步的解，还与前几步的解有关。这种方法能够更好地处理非严格对角占优的线性系技巧通过优化迭代过程中的参数或采用其他方法，加速高斯-赛德尔迭代法的收敛速度。

逆矩阵的特征多项式求法

逆矩阵的特征多项式求法在数学的奇妙世界里，逆矩阵和特征多项式就像两个神秘的宝藏。

今天咱就来唠唠怎么用特征多项式求逆矩阵。

先来说说啥是特征多项式。

想象一下，矩阵就像一个独特的小王国，里面住着各种各样的向量子民。

特征多项式呢，就像是这个小王国的一种特殊密码。

对于一个n阶方阵A，它的特征多项式就是那个看起来有点复杂的式子：f(λ)=|λI - A|，这里的λ就像是一个神奇的变量，I呢是单位矩阵。

这个式子展开之后就是一个关于λ的n次多项式。

那这个特征多项式和逆矩阵有啥关系呢？咱举个简单的例子。

假如有个2阶方阵A = [[a,b],[c,d]]，那它的特征多项式f(λ)=|λI - A| = (λ - a)(λ - d)-bc = λ²-(a + d)λ+(ad - bc)。

这时候，如果矩阵A可逆，就意味着它的行列式det(A)不等于0。

在这个2阶的例子里，det(A)=ad - bc。

咱再深入一点。

对于一个可逆矩阵A，它的逆矩阵A⁻¹和特征多项式之间有个挺有趣的联系。

已知A的特征多项式f(λ)=λⁿ + a₁λⁿ⁻¹+...+aₙ₋₁λ+ aₙ。

这里面的系数和矩阵的一些性质相关联。

要是我们知道了特征多项式，就可以利用一些小技巧来求逆矩阵。

比如说，有个定理告诉我们，如果矩阵A的特征多项式是f(λ)，那么A⁻¹可以表示成一个关于A的多项式。

具体咋做呢？我们可以利用一种叫Cayley - Hamilton定理的东西。

这个定理就像一个魔法规则，它说矩阵A满足它自己的特征方程，也就是f(A)=0。

从这个定理出发，我们可以对f(λ)进行一些变形，然后找到A⁻¹和A的多项式关系。

再打个比方，就好像我们要在一个迷宫里找到出口。

特征多项式是我们手上的地图，虽然这个地图看起来有点复杂，上面全是一些关于λ和矩阵元素的关系。

但是只要我们仔细研究这个地图，按照一定的规则走，就能找到通往逆矩阵这个出口的路。

完全六部图是S-整图的一个充要条件

完全六部图是S-整图的一个充要条件赵宁;吴廷增;郭承志【摘要】在他人研究完全多部图的邻接谱的基础上，对整完全多部图的Seidel多项式进行研究分析，以期得到完全六部图G 是S-整图的充要条件。

从讨论完全六部图的Seidel多项式入手，应用矩阵行初等变换的方法给出完全六部图G是S-整图的充要条件。

%Based on the results of Laplacian spectrum of a graph for the complete multipartite graph, we give the necessary and suﬃcient condition for the complete 6-partite graphs G to be S-integral. Using the elementary row transformation of a matrix and the Seidel polynomial of the complete 6-partite graphs.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2013(000)002【总页数】8页(P132-139)【关键词】Seidel多项式;S-整图;完全六部图【作者】赵宁;吴廷增;郭承志【作者单位】青海民族大学数学与统计学院，青海西宁810007;青海民族大学数学与统计学院，青海西宁810007;青海民族大学数学与统计学院，青海西宁810007【正文语种】中文【中图分类】O157.5本文仅考虑有限,无向的简单图,未定义的术语和符号参见文献[1].令图G表示n个顶点的简单图,设V(G),E(G)分别是图G的顶点集和边集.用A(G)表示图G的邻接矩阵,定义称作是图G的Seidel谱.如果一个图的Seidel多项式的所有特征根都是整数,则称此图是S-整图.有关整图的研究源于上世纪70年代[2].文献[3-4]中,对由少数点构成的所有整图进行了刻画;文献[5-6]作者给出了关于拉普拉斯整图的一些优美结果.但关于S-整图方面的研究迄今不是很多.这里Vi是非空的两两不相交的点集.|Vi|=ni(i=1,2,…,t).文献[7]研究了完全多部图Ka1.p1,a2.p2,…,as.ps的邻接谱,并就此提出了一些整完全多部图.本文将从讨论完全六部图的Seidel多项式入手,给出并证明完全六部图G是S-整图的充要条件. 下面利用矩阵的一些性质,通过刻画完全六部图的Seidel谱给出S-整图的一个充要条件.首先介绍所需引理.其中Jni×nj是ni×nj(i/=j)阶全1矩阵;Ani是主对角元素为λ,其余元素为-1的ni 阶方阵(i,j=1,2,…,6).将D3按第一列展开,得到类似于D2的展开式,重复上述计算D2的方法得到D3.逐步回代,最终可得图G的Seidel多项式为(1)式.定理2.1设G是完全六部图Kn1,n2,…,n6,它的Seidel多项式为(1)式,那么图G是S-整图的充要条件是的所有根是整数.证明由引理知,完全六部图G的Seidel多项式为(1)式.要使(1)式的所有根是整数,显然必须而且只须的所有根是整数.根据定理2.1,不难有以下结果:推论2.1完全六部图Kn,n,n,n,n,n是S-整图,它的谱本文应用矩阵行初等变换,刻画了完全六部图G=Kn1,n2,…,n6的Seidel多项式,并给出了G是S-整图的一个充分必要条件.当{n1,n2,…,n6}是由一个整数或两个不同的整数构成时,我们得到了完全六部图Kn1,n2,…,n6是S-整图的充分必要条件.当在{n1,n2,…,n6}中出现两个以上不同的整数时,情况就变得比较复杂和繁琐,是今后可以继续考虑讨论的问题.参考文献[1]Bondy J A,Murty U S R.Graph Theory with Applications[M].New York:The Macmillan Press LTD,1976.[2]Harary F,Schwenk A J.Which Graphs have Integral[C]//Barir,HararyF.Graphs and Combinatorics. Berlin:Springer,1974.[3]Balinska K T,Kupczyk M,Simic S K,et al.On Generating all Integral Graphs on 11 Vertices[R]//Computer Science Center Report.Poznan:The Technical University of Poznan,2001.[4]Balinska K T,Cvetkovic D,Radosavljevic Z,et al.A survey on integral graphs[J].Univ.Beograd.Publ. Elektrotehn.Fak.(Sermat),2002,13:42-65. [5]谭尚旺.矩阵特征多项式的图论计算公式[J].纯粹数学与应用数学,2009,25(2):12-18.[6]王龙芹,橝江华,秦峰,等.围长为r的n阶本原有向图的点指数[J].纯粹数学与应用数学,2010,26(4):72-81.[7]Wang Ligong,Liu Xiaodong.Integral complete multipartitegraphs[J].Discrete Math.,2008,308:3860-3870.。

研究生数值分析高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法 PPT

x1(k
1)

1 a11
(a12 x2(k)

a13 x3( k )

a1n
xHale Waihona Puke (k) nb1)
x2(k
1)

1 a11
(a21 x1( k 1)

a23 x3( k )

a2n xn(k) b2 )

xi
(
k
1)

1 aii
(ai1 x1( k 1)
解：相应的高斯-赛德尔迭代公式为

x (k 1) 1
x (k 1) 2

0.2x2(k) 0.1x3(k) 0.3 0.2x1(k1) 0.1x3(k) 1.5

x3(k
1)

0.2 x1( k 1)
0.4x2(k1)

2
取迭代初值
X (0)

( x1(0)
1 0 1
A 1 1
0

1 2 3
其矩阵表示形式为 X (k1) D1(LX (k1) UX (k) b)
现将 X (k1) 显式化，由 (D L) X (k1) UX (k) b
得
X (k1) (D L)1UX (k ) (D L)1b
令
BG (D L)1U
（称为高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代矩阵），
雅可比迭代矩阵
0 0.2 0.1 BJ 0.2 0 0.1
0.2 0.4 0
BJ 0.6 1 雅可比迭代过程必收敛；

Gauss-Seidel迭代法

2011-2012（1）专业课程实践论文Gauss-Seidel迭代法彭泳，30号，R数学071班1.Gauss-Seidel 迭代法的基本思想由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量)1(+k ix 时，用最新分量)1(1+k x ，⋅⋅⋅+)1(2k x )1(1-+k i x 代替旧分量)(1k x ，⋅⋅⋅)(2k x )(1-k i x ，就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。

其迭代格式为T n x x x x )()0()0(2)0(1)0(，，，⋅⋅⋅= (初始向量)，)(11111)()1()1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=，，，；，，，或者写为 ⎪⎩⎪⎨⎧--=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==∆+=∑∑-=-+=+++)(1)210i 210(1111)()1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，， 2. Gauss-Seidel 迭代法的矩阵表示将A 分裂成U D L A ++=，则b x =A 等价于b x =++U)D (L则Gauss-Seidel 迭代过程)()1()1(k k k Ux Lx b Dx --=++故)()1()(k k Ux b x L D -=++若设1)(--L D 存在，则b L D Ux L D x k k 1)(1)1()()(--++++-=令b L D f U L D G 11)()(--+=--=，则Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为f Gx x k k +=+)()1(#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <conio.h>#include <math.h>#define MAX_n 100#define PRECISION 0.0000001#define MAX_Number 1000void VectorInput(float x[],int n) //输入初始向量{int i;for(i=1;i<=n;++i){printf("x[%d]=",i);scanf("%f",&x[i]);}}void MatrixInput(float A[][MAX_n],int m,int n) //输入增广矩阵{int i, j;printf("\n===Begin input Matrix elements===\n");for(i=1;i<=m;++i){printf("Input_Line %d : ",i);for(j=1;j<=n;++j)scanf("%f",&A[i][j]);}}void VectorOutput(float x[],int n) //输出向量{int i;for(i=1;i<=n;++i)printf("\nx[%d]=%f",i,x[i]);}int IsSatisfyPricision(float x1[],float x2[],int n) //判断是否在规定精度内{int i;for(i=1;i<=n;++i)if(fabs(x1[i]-x2[i])>PRECISION) return 1;return 0;}int Jacobi_(float A[][MAX_n],float x[],int n) //具体计算{float x_former[MAX_n];int i,j,k;printf("\nInput vector x0:\n");VectorInput(x,n);k=0;do{for(i=1;i<=n;++i){printf("\nx[%d]=%f",i,x[i]);x_former[i]=x[i];}printf("\n");for(i=1;i<=n;++i){x[i]=A[i][n+1];for(j=1;j<=n;++j)if(j!=i) x[i]-=A[i][j]*x[j];if(fabs(A[i][i])>PRECISION)x[i]/=A[i][i];elsereturn 1;}++k;}while(IsSatisfyPricision(x,x_former,n) && k<MAX_Number);if(k>=MAX_Number)return 1;else{printf("\nG-S %d times!",k);return 0;}}int main() //主函数{int n;float A[MAX_n][MAX_n],x[MAX_n];printf("\nInput n=");scanf("%d",&n);if(n>=MAX_n-1){printf("\n\007n must <%d!",MAX_n);exit(0);}MatrixInput(A,n,n+1);if(Jacobi_(A,x,n))printf("\nG-S Failed!");else{printf("\nOutput Solution:");VectorOutput(x,n);}printf("\n\n\007Press any key to quit!\n");getch();}四、算法实现利用Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-36123633111420238321321321x x x x x x x x x ，其中取→=0)0(x 。

单圈图的Seidel无符号拉普拉斯能量

单圈图的Seidel无符号拉普拉斯能量周后卿;徐幼专【摘要】设G是一个具有n个顶点、m条边的简单图,S(G)表示G的Seidel矩阵,di表示顶点vi的度,又以DS(G)=diag(n-1-2d,n-1-2d,…,n-1-2dn)来表示对角矩阵,再依次定义图G的Seidel拉普拉斯矩阵为SL(G)=DS(G)-S(G)、图G的Seidel无符号拉普拉斯矩阵为SL+(G)=DS(G)+S(G)和图G的Seidel无符号拉普拉斯能量为ESL+(G)=n∑i=1|σL+i-n(n-1)-4m/n|,这里σL+2,σL+2,…,σL+n为矩阵SL+(G)的特征值.文章利用不等式讨论单圈图G的Seidel无符号拉普拉斯能量的上界,得到了几个有意义的结果.【期刊名称】《湖南城市学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(028)004【总页数】4页(P43-46)【关键词】单圈图;Seidel无符号拉普拉斯矩阵;Seidel无符号拉普拉斯能量【作者】周后卿;徐幼专【作者单位】邵阳学院理学院,湖南邵阳 422000;邵阳广播电视大学,湖南邵阳422000【正文语种】中文【中图分类】TP315给出一个图，就能知道它的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵、无符号拉普拉斯矩阵和Seidel矩阵等﹒因而也就可以求出这些矩阵的特征值，进而根据各种能量的定义求出图的各种能量﹒由于图的能量是图的一个不变量，并且具有某些化学应用背景，还能刻画某些有机物的分子结构、化学物理性质等，因此，能量问题一直是学者们关注的一个热点问题[1-2]﹒迄今为止，能量概念已经推广到了60多种，得到了许多结论﹒设图是一个简单的无向图，具有n个顶点、m条边，顶点集，令di表示顶点vi的度，又以A(G)表示图G的邻接矩阵，它的特征值记为，那么图的能量E(G)可定义为其邻接矩阵的特征值的绝对值之和，即﹒设为图G的度对角矩阵，定义图G的拉普拉斯矩阵为L(G)=D(G)−A(G)，记其特征值为﹒那么，定义图G的拉普拉斯能量为；记L+(G)=D(G)+A(G)，称为图G的无符号拉普拉斯矩阵，设其特征值为，则图G的无符号拉普拉斯能量可定义为﹒关于图的拉普拉斯能量和无符号拉普拉斯能量也有很多的研究成果，具体参见文献[3-6]﹒图的Seidel矩阵是一个实对称矩阵，其中﹒较容易看出，其中，是G的补图﹒Seidel矩阵S(G)的特征值记为，定义图G的Seidel能量为Seidel矩阵特征值的绝对值之和，即﹒关于图的Seidel能量的有关结论参见文献[7-9]﹒2017年，Ramane H S[10]等人介绍了Seidel拉普拉斯矩阵的性质和Seidel拉普拉斯能量﹒定义图G的Seidel拉普拉斯矩阵为SL(G)=DS(G)−S(G)，其中，DS(G)是一个对角矩阵DS(G)=diag(n−1−2d1, n−1−2d2, …, n−1−2dn)﹒注意到，，那么﹒设SL(G)的特征值为，定义Seidel拉普拉斯能量为﹒类似地，定义图G的Seidel无符号拉普拉斯矩阵为SL+(G)=DS(G)+S(G)﹒设SL+(G)的特征值为，定义图SL+(G)的Seidel无符号拉普拉斯能量为﹒若引入一个辅助量，则图G的Seidel无符号拉普拉斯能量可表示为﹒本文研究单圈图的Seidel无符号拉普拉斯能量问题，把n阶的图G叫做单圈图，假设G是连通的，并且G的边数也是n﹒首先，回顾一下有关图的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵和Seidel矩阵的特征值之间的关系﹒由文献[11]可知，，，，，，，这里，，被称做第一类Zagreb指标﹒对于Seidel无符号拉普拉斯矩阵特征值，由代数学知识可知，矩阵的迹(trace)等于矩阵的特征值之和，即引理1(柯西不等式) 若，则﹒引理2[12] 设矩阵(即复矩阵集合)的特征值为，则，若要等式成立，则当且仅当A 为正规矩阵﹒这里，称为Frobenius范数﹒引理3[13] 设G=(V, E)是一个具有n个顶点、m条边的简单图，则有现在，证明本文的几个结论﹒定理1 若G是具有顶点和第一类Zagreb指标Z1(G)的单圈图，则G的Seidel 无符号拉普拉斯能量﹒证明由于G是单圈图，所以，边数m=n﹒在引理1中，令bi=1，得，即﹒从而，有，又因，，于是推出，﹒因此，对于单圈图G的Seidel无符号拉普拉斯能量为定理2 设G是具有顶点n的单圈图，若G的Seidel无符号拉普拉斯矩阵的Frobenius范数已知，则G的Seidel无符号拉普拉斯能量满足不等式证明由Seidel无符号拉普拉斯能量定义可知，因为G是单圈图，结合引理2，由上式可推出﹒定理3 设G是具有顶点n、圈长s的单圈图，则﹒证明因为G是具有顶点n、圈长s的单圈图，那么，悬挂边为n−s﹒于是可以得到，﹒再利用引理3，有现在，以一个例子加以说明﹒如图1所示，G是一个具有顶点9的单圈图﹒借助于计算软件Mathematica，可以直接求出单圈图的Seidel无符号拉普拉斯矩阵的特征值为11.345 2, 6.492 98, 6.177 55, 5, 5, 5, 1.152 85, −1.097 28,−3.071 29﹒再根据Seidel无符号拉普拉斯能量的定义，可求出其能量为﹒根据矩阵Frobenius范数的定义，，可以求出﹒由定理2计算，有﹒由定理3计算，有﹒显然，定理3比定理2所计算结果要更精确一些﹒【相关文献】[1] LI X L, SHI Y T, GUTMAN I. Graph energy[M]. New York: Springer, 2012.[2] GUTMAN I, FURTULA B. Survey of graph energies[J]. Mathematics Interdisciplinary Research, 2017, 2(2): 85-129.[3] GUTMAN I, ZHOU B. Laplacian energy of a graph[J]. Linear Algebra and its Applications, 2006, 414(1): 29-37.[4] DAS K C, MOJALLAL S A. On Laplacian energy of graphs[J]. Discrete Mathematics, 2014, 325: 52-64.[5] DAS K C, MOJALLAL S A, GUTMAN I. On Laplacian energy in terms of graph invariants[J]. Applied Mathematics and Computation, 2015, 268: 83-92.[6] ABREU N, CARDOSO D M, GUTMAN I, et al. Bounds for the signless Laplacian energy[J]. Linear Algebra and its Applications, 2011, 435(10): 2365-2374.[7] HAEMERS W H. Seidel switching and graph energy[J]. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 2012, 68: 653-659.[8] NAGESWARI P, SARASIJA P B. Seidel energy and its bounds[J]. International Journal of Mathematical Analysis, 2014, 8: 2869-2871.[9] OBOUDI M R. Energy and Seidel energy of graphs[J]. MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 2016, 75: 291-303.[10] RAMANE H S, JUMMANNAVER R B, GUTMAN I. Seidel Laplacian energy of graphs[J]. International Journal of Applied Graph Theory, 2017, 1(2): 74-82.[11] CVETKOVIC D, ROWLINSON P, SIMIC S K. Signless Laplacians of finite graphs[J]. Linear Algebra and its Applications, 2007, 423(1): 155-171.[12] GOLUB G H, VAN LOAN C F. Matrix computations: 4th edition[M]. Maryland: JohnsHopkins University Press, 2013.[13] RAMANE H S, GUTMAN I, PATIL J B, et al. Seidel signless Laplacian energy of graphs[J]. Mathematics Interdisciplinary Research, 2017, 2(2): 181-191.。

Gauss-Seidel迭代算法专题

Gauss-Seidel 迭代法算法实现解线性代数方程组是科学研究和工程计算中一个非常重要的问题。

无论是在数学问题方面的插值公式（包括样条插值）、求积公式、微分方程差分格式的构造，还是在工程科学中的诸如电路分析、分子构造、大地测量等方面，以及在一些经济学科和其他社会科学学科中的数量研究中，经常会遇到求解线性方程组。

线性方程组的解法大致分为直接法与迭代法两大类。

每一类方法中都有很多经典的方法，各有特色。

这里我们将介绍Gauss-Seidel 迭代法的基本理论及算法实现（以Matlab 为平台）。

1、问题描述设n nA R×∈，n b R ∈，A 非奇异，nx R ∈满足方程组Ax b = （2.1）如果能找到距阵n nB R ×∈，向量nf R ∈，使I B −可逆，而且方程组x Bx f =+ （2.2）的唯一解就是方程组（2.1）的解，则可从式（2.2）构造一个定常的线性迭代公式(1)()k k x Bx f +=+ （2.3）给定初始向量(0)n xR ∈，由(2.3)可以产生序列{}()k x ，若它有极限*x ，显然*x 就是(2.1)和(2.2)的解。

现在问题转化为如何找一个合适的B 和f ，使式（2.3）具有较好的迭代效果。

2、Gauss-Seidel 迭代公式在式（2.3）中，若在每个分量计算出来之后，下一个分量的计算就利用最新的计算结果。

这样，在整个迭代过程中只要一组单元存放迭代向量，其分量形式的计算公式为1(1)(1)()11()/,1,2,,.i nk k k ii ii jijjii j j i xb a xa xa i n −++==+=−−=∑∑L （2.4）这就是Gauss-Seidel 迭代法，简称GS 法。

在式（2.1）中，记A D L U =−− （2.5）其中1122(,,,)nn D diag a a a =L ，即A 的对角部分，而21313212,100,00n n n n a a a L a a a −⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O M M O L 121312321,00.00n n n n a a a a a U a −⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L O M M O （2.6）即L −和U −分别是A 的严格下、上三角部分（不包括对角线）。

GaussSeidel迭代法PPT教案

k
1)
b21x1(k 1)
b22 x2(k)
b2n xn(k) f2 ,xn(k Nhomakorabea1)
b x (k 1) n1 1
b x (k1) nn1 n1
bnn xn(k)
fn.
Gauss Seidel 2、
迭代法的收敛性
(2.2)
第18页/共19页
第4页/共19页
因 I L 1 存在，所以迭代格式（2.3）
也可表示为
X (k 1) (I L)1UX (k ) (I L)1 F
(2.4)
我们称 G I L1 U
迭代法的迭代矩阵。
为Gauss Seidel
由（2.4）式可见，对方程组 X BX F 作 Gauss Seidel 迭代，等价于对方程组
x1(k
1)
b11 x1( k )
b12 x2(k)
b1n xn(k) f1,
x2(k
1)
b x (k 1) 21 1
b22 x2(k)
b2n xn(k) f2 ,
xn(k
1)
b x (k 1) n1 1
b x (k1) nn1 n1
bnn xn(k)
fn.
(2.2)
第3页/共19页
X (I L)1UX (I L)1 F
作 Jacobi 迭代。
(2.5)
第5页/共19页
Gauss Seidel 二
迭代法的收敛性
由于对方程组
X BX F
作 Gauss Seidel 迭代同对方程组
X (I L)1UX (I L)1 F
作简单迭代是一回事，故由定理1有
定理 3 对于任意右端向量和初始向量 X 0

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全图和星图Ｓ的Ｓｉｅ特征多项式，ｅｄｌ同时证明了Ｓ和都是Ｓ一整图，中只有Ｃ，，Ｃ和是Ｓ一整图．Ｃ２Ｃ，４关键词：特殊图；ｅｅ特征多项式；ＳｉｌｄＳ一整图
ＴｈｅｄｌＣｈｒｃｅｉｔｌｎｍｉｌａｄＳｉｔｇａａｈｅＳｉｅａａｔｒｓｉＰｏｙｏａｎ－ｅｒｌＧｒｐｓｃｎ
∑
Ｉｌ＜ｉ ≤ ２＜
本文中，要讨论ｎ个顶点的圈Ｃ，全图Ｋ和星图Ｓ的Ｓｉｅ特征多项式及冥Ｓ一图的情彤．加主元ｎｅｆｄ整禾
说明的概念和术语见文献［］［］［］１，３，４．
其中，。Ａ表示图Ｇ的邻接特征多项Ｐ（）
引理２ｎ阶方阵Ａ的特征多项ｉ
收稿日期：０１００２１ — ４— ６
作者简介：昌盛梅（９０一）女，１８，土族，青海青海民族大学学报（Fra bibliotek教育科学版）
其中，。（［Ａ）：１ｔ（＝，Ａ）ｒ
＝
』，．Ｇ１Ａ一（）分别称为图Ｇ的邻接特征多项式和＆池２ｓ特征多项式．中，Ａ（＝１２ …，）本文设ｉ，，ｎ为图Ｇ的
引理１Ｘ：－＋ｒ￣Ｐ－一正则图Ｇ，５（ＧＡ）
ｓ（）所对应的特征值，。Ａ简称Ｓｉｅ特征值．ｅｌｄ如果图Ｇ的Ｓｉｅ特征值都是整数，ｅｌｄ我们就称图Ｇ是Ｓ一图．整
Ｎｏ２ｌ５．０１
文章编号：６４— ２５２１）５— ０１— ４１７９３（０１００２０
一
些特殊图的Ｓｉｅ特征多项式及Ｓ一整图ｅｌｄ
吕盛梅
（青海民族大学数学与统计学院，青海西宁８００）１０７
摘
要：了得出一些特殊图的Ｓｉｌ为ｅｄ特征多项式和ｓ一整图，ｅ本文利用了一些代数和矩阵论的方法不仅得到了圈Ｃ、完
ａｏａｄｌａｉｔａｇｐｓｏｌＣ，３和ＧａｅＳｉｅａｇａｈｙｐｏｅ．ｌｎＳａｅｌＳ— ｎｇｌｒｈ，ｎｙ２Ｃ，ｓｌｅａｒ６ｒ－ｔｇｌｒｐｓｉＣａｅｒｖｄｎｒｎ
ＫｅｒｓＣ，，Ｓｉｅｈｒｃｅｓｉｏｙｏａ； — ｔｇａａｈｙｗｏｄ：ＫｎＳ；ｅｄｌｃａａｔｒｔｐｌｎｍｉｌＳｉｅｌｇｐｓｉｃｎｒｒ
青海民族大学学报（教育科学版）
ＪＲＮＬＯＦＱＩＨＡＩＴＯＮＬＴＥＳＵＶＲＩＹｏＵＡＮＧＮＡＩＡＩＩＮＩＥＳＴ
（ｄｃｔｎＳｉｎｅＥｉｏＥｕａｉｃｃｄｔｎ）ｏｅｉ
２１年第５期０１
ＡｂｔａｔＡｉＴｅＳｉｅｈｒｃｅｉｔｏｙｏＭｓａｄＳ—ｉｔｇａｒｐｓｏｏａｔｕａｒｐｓｗｌｂｉｅ．ｔｏｓＳｍｅｓｒｃ：ｍｈｅｄｌａａｔｒｉｐｌｎｍｉｎｃｓｃｎｅｒｌｇａｈｆｓｍｅｐｒｃｌｒｇａｈｉｅｇｖｎＭｅｈｄｏｉｌａｇｂａａｄｍａｒｈｏｙｍｅｈｄｒｓｄＲｅｕｔＴｅＳｉｅｈｒｃｅｉｔｏｙｏａｓａｄＳｉｔｇａｒｐｓｏｉｕｔｃｍｐｅｅｌｅｒｎｔｉｔｅｒｔｏｓａｅｕｅ．ｓｌｈｅｄｌａａｔｒｓｉｐｌｎｍｉｌｎ－ｎｅｒｌｇａｈｆｃｒｉＣ，ｏｌｔｘｓｃｃｃｇａｈＫａｄｓａａｈＳｒｉｅ．ｏｃｕｉｎｔｈｓｂｅｉｅｏｎｙｔｅＳｉｅｈｒｃｅｉｔｏｙｏａｓｏ，ａｄＳ，ｂｔｒｐｓｎｔｒｇｐｓａｅｇｖｎＣｎｌｓｏｓＩａｅｎｇｖｎｎｔｏｌｈｅｄｌａａｔｒｓｉｐｌｎｍｉｌｆｎｒｃｃＣｎｕ
中图分类号：１７６０５．
文献标识码：Ａ
１预备知识
本文仅考虑简单无向图Ｇ设（），Ｇ是图Ｇ的邻接矩阵，（）Ｊ，２（）称为图Ｇ的ＳｉｌＳＧ＝一一４Ｇｅｅ矩阵，ｄ其中，是单位矩阵，是全１．，方阵．我们把ＡＧ和５Ｇ所对应的特征多项式Ｐ（）Ａ一（）ｍｓ（）（）（）Ａ＝Ｉ，ＡＧＪＧＡ
ｏｏｅＰａｔｃａｒｐｆＳｍｒｉｕｌｒＧａｈｓＬＵｅＳｈｎｇ— ｍｅ — ｉ
（ｏｅｅｏｔｅａｃａｄＳａｓｃ，ｉｈｉａｏａｔｓＵｉｒｔ，ｉｉｇＱｎｈｉ１０７ＣｉａＣｌｇｆｈｍｔｓｎｔｉｉＱｎａＮｔｎｌｉｎｖｓｙＸｎｎｉｇａ８００，ｈｎ）ｌＭａｉｔｔｓｇｉｉｅｅｉ