第二章 数学单元测试

第二章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 的映射，则满足f (0)>f (1)的映射有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．2个答案 A解析 当f (0)＝－1时，f (1)能够是0或1，则有2个映射． 当f (0)＝0时，f (1)＝1，则有1个映射． 2．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)答案 C解析 由⎩⎨⎧1－x ≠0，1＋x >0，得x >－1且x ≠1，即函数f (x )的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．3．(2012·天津文)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R 答案 B解析 逐项验证即可．4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f (2)＝0，则不等式3f (－x )－2f (x )5x≤0的解集为( )A ．(－∞，－2]∪(0,2]B ．[－2,0]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,0)∪(0,2]答案 D解析 本题主要考查函数的奇偶性、单调性及利用图像解不等式，根据已知条件可画出f (x )的草图如图所示．不等式3f (－x )－2f (x )5x ≤0⇔－5f (x )5x ≤0⇔f (x )x ≥0⇔⎩⎨⎧ x >0，f (x )≥0或⎩⎨⎧x <0，f (x )≤0.由图可知不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．故选D.5．函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图像大致是( )答案 C解析 f (x )＝1＋log 2x 的图像可由f (x )＝log 2x 的图像上移1个单位得到，且过点(12，0)、(1,1)，由指数函数性质可知g (x )＝21－x 为减函数，且过点(0,2)，故选C.6．函数f (x )＝x 2＋|x －2|－1(x ∈R )的值域是( )A ．[34，＋∞) B ．(34，＋∞) C ．[－134，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 A解析 (1)当x ≥2时，f (x )＝x 2＋x －3，此时对称轴为x ＝－12，f (x )∈[3，＋∞)． (2)当x <2时，f (x )＝x 2－x ＋1，此时对称轴为x ＝12，f (x )∈[34，＋∞)． 综上知，f (x )的值域为[34，＋∞)．7．已知函数f (x )＝9x －m ·3x ＋m ＋1对x ∈(0，＋∞)的图像恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( )A ．2－22<m <2＋2 2B ．m <2C ．m <2＋2 2D ．m ≥2＋2 2答案 C解析 令t ＝3x ，即x ＝log 3t ，则问题转化为函数y ＝t 2－mt ＋m ＋1在(1，＋∞)上的图像恒在x 轴的上方，即Δ＝(－m )2－4(m ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2<1，1－m ＋1＋m >0，解得m <2＋2 2.8．函数f (x )＝1x －6＋2x 的零点一定位于区间 ( )A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(5,6)答案 B解析 f (1)＝－3<0，f (2)＝－32<0，f (3)＝13>0，故选B.9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b －3(x ∈R )图像恒过点(2,0)，则a 2＋b 2的最小值为( )A ．5 B.15 C ．4 D.14答案 B解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b －3的图像恒过点(2,0)，∴4＋2a ＋b －3＝0，即2a ＋b ＋1＝0，则a 2＋b 2＝a 2＋(1＋2a )2＝5a 2＋4a ＋1＝5(a ＋25)2＋15，∴a 2＋b 2的最小值为15.10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．0B ．0或－12 C ．－14或－12 D ．0或－14答案 D解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一个周期内的图像如图．显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0,2]内恰有两不同的公共点．另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个公共点，由题意知y ′＝(x 2)′＝2x ＝1，∴x ＝12.∴A (12，14)，又A 点在y ＝x ＋a 上，∴a ＝－14，∴选D.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝________.答案 12 解析 ∵f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )是奇函数，利用赋值法，∴f (－1)＝－f (1)． ∴－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a ).∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12. 12．已知f (x )＝，f (lg a )＝10，则a 的值为________．答案解析＝10，两边取10为底的对数，得(lg a－12)lg a＝12，解得lg a＝1或lg a＝－12，故a＝10或.13．已知偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋49，则f(log135)的值等于________．答案 1解析由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x＋2)＝f(x)，函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数．因为log135∈(－2，－1)，log135＋2＝log1359∈(0,1)，又f(x)为偶函数且x∈[－1,0]，f(x)＝3x＋4 9，所以当x∈[0,1]时，f(x)＝3－x＋4 9.所以f(log135)＝f(log135＋2)＝f(log1359)＝＋49＝＋49＝59＋49＝1.14．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相对应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为______级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍．答案6,10 000解析由lg1 000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9－lg0.001＝9解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．15．如图中的实线部分表示函数y＝f(x)的图像，它是由y＝log2x的图像经过一系列变换而得到的，虚线表示变换过程，则f(x)＝________.答案|log2|x－1||16．对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，且有如下零点存有定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续持续的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．给出下列命题：①若函数y＝f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上有且仅有一个零点；②函数f(x)＝2x3－3x＋1有3个零点；③函数y＝x26和y＝|log2x|的图像的交点有且只有一个；④设函数f(x)对x∈R都满足f(3＋x)＝f(3－x)，且函数f(x)恰有6个不同的零点，则这6个零点的和为18；其中所有准确命题的序号为________．(把所有准确命题的序号都填上)答案②④解析易知①错，②对，对于④，由对称性知也对，对于③，在同一坐标系中，分别作出两函数的图像，在直线x＝1左侧的那个交点十分容易发现，在其右侧有无交点呢？通过图像很难断定，下面我们利用存有零点的条件f(a)·f(b)<0来解决这个问题，两函数图像的交点的横坐标就是函数f(x)＝x26－|log2x|的零点，其中f(1)＝16>0，f(2)＝－13<0，f(4)＝23>0，所以在直线x＝1右侧，函数有两个零点，一个在(1,2)内，一个在(2,4)内，故函数f(x)＝x26－|log2x|共有3个零点，即函数y＝x26和y＝|log2x|的图像有3个交点．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋2)2， x <0，4， x ＝0，(x －2)2， x >0.(1)写出f (x )的单调区间； (2)若f (x )＝16，求相对应x 的值．答案 (1)f (x )的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]．(2)－6或6解析 (1)当x <0时，f (x )在(－∞，－2]上递减，在(－2,0)上递增；当x >0时，f (x )在(0,2]上递减，在(2，＋∞)上递增．综上，f (x )的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]．(2)当x <0时，f (x )＝16，即(x ＋2)2＝16，解得x ＝－6； 当x >0时，f (x )＝16，即(x －2)2＝16，解得x ＝6. 故所求x 的值为－6或6.18．(本小题满分12分)(2012·上海改编)已知函数f (x )＝lg(x ＋1)． (1)若0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围；(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，当x ∈[1,2]时，求函数y ＝g (x )的解析式．答案 (1)－23<x <13 (2)y ＝g (3－x ) 解析 (1)由⎩⎨⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1<x <1.由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2xx ＋1<1，得1<2－2x x ＋1<10.因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，所以y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．19．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期为5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)求f (1)＋f (4)的值；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]上的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式，并求函数y ＝f (x )的最大值与最小值． 答案 (1)0 (2)f (x )＝⎩⎨⎧－3x ， x ∈[－1，1]2x 2－8x ＋3， x ∈[1，4] (3)最大值为3，最小值为－5.解析 (1)∵f (－1)＝－f (1)＝f (－1＋5)＝f (4)， ∴f (1)＋f (4)＝0.(2)设x ∈[1,4]，f (x )＝a (x －2)2－5，由(1)得a ＝2，此时f (x )＝2(x －2)2－5，且f (1)＝－3. 设f (1)＝－3，f (0)＝0，可得x ∈[－1,1]，f (x )＝－3x . 故f (x )＝⎩⎨⎧－3x ， x ∈[－1，1]，2x 2－8x ＋3， x ∈[1，4].(3)f (x )＝⎩⎨⎧－3x ＋15， x ∈[4，6]，2(x －7)2－5， x ∈[6，9]. 得f (x )max ＝3，f (x )min ＝－5.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)∵f (x )＝b ·a x 图像过点A (1,6)，B (3,24)， ∴⎩⎨⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0即为(12)x ＋(13)x －m ≥0. ∴问题转化成当x ∈(－∞，1]时m ≤(12)x ＋(13)x 恒成立． 令g (x )＝(12)x ＋(13)x ，易知g (x )在(－∞，1]上为减函数． ∴g (x )≥g (1)＝12＋13＝56. ∴m ≤56.21．(本小题满分12分)某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位能够全部租出，当床价高于10元时，每提升1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．(1)把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？解析 (1)依题意有y ＝⎩⎨⎧100x －575(x ≤10)，[100－(x －10)×3]x －575(x >10)，且x ∈N *，因为y >0，x ∈N *，由⎩⎨⎧100x －575>0，x ≤10，得6≤x ≤10，x ∈N *. 由⎩⎨⎧x >10，[100－(x －10)×3]x －575>0，得10<x ≤38，x ∈N *. 所以函数为y ＝⎩⎨⎧100x －575(x ∈N *，且6≤x ≤10)，－3x 2＋130x －575(x ∈N *，且10<x ≤38)， 定义域为{x |6≤x ≤38，x ∈N *}．(2)当x ＝10时，y ＝100x －575(6≤x ≤10，x ∈N *)取得最大值425元．当x >10时，y ＝－3x 2＋130x －575，当且仅当x ＝－1302×(－3)＝653时，y 取最大值．但x ∈N *，所以当x ＝22时，y ＝－3x 2＋130x －575(10<x ≤38，x ∈N *)取得最大值833元，比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解析 (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e. 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)．因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根． 方法二 作出g (x )＝x ＋e 2x 的图像如图．可知若使g (x )＝m 有实根，则只需m ≥2e. 方法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0. 此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0，Δ＝m 2－4e 2≥0，等价于⎩⎨⎧m >0，m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图像有两个不同的交点．作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的图像．∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2. 故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．。