2015年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案
全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案 Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）1.函数()f x =的定义域是 ．答案：()10,100.解：()2lg 3lg 20,1lg 2,10100.x x x x -+-><<<<2.设实数,x y 满足62,1x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量()()2,,1,1a x y m b =-=-，若//a b ，则实数m 的最小值为 ．答案： 2.-解：因为()()2,,1,1a x y m b =-=-，所以211x y m-=-，2.m y x =- 在条件621x yy x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩下，求得2m y x =-的最小值为 2.-3.设a 、b 都为大于零的常数，01x <<，则221a b x x+-的最小值为 ．答案：()2.a b +解：设()()22,0,11a b f x x x x=+∈-，则 ()()()()()()()()()()22222222222222111111.1b x a x a b f x x x x x bx a x bx a x x x a b x a b a x a x x --'=-+=----+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-1）当a b ≠时，()()()()()22222222111.1a a ab x x a b a b f x x x a a b x x b a b a x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭'=-⎛⎫ ⎪⎛⎫---⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪-⎝⎭=-， 因为,a b 都为正数，所以当0,a x a b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0f x '<；当,1a x a b ⎛⎫∈⎪+⎝⎭时，()0.f x '>故函数()f x 在ax a b=+处取得最小值 ()222.1a a b f a b a a a b a b a b⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭-++ 2）当a b =时，()221a a f x x x=+-，()()222122.1a x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=- 因为a 为正数，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．故函数()f x 在12x =处取得最小值 ()222214.112122aa f a a a ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭- 综上所述，当01x <<时，221ab x x+-的最小值为()2.a b +4.运行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为 ．答案：25.已知函数()3f x x =对应的曲线在点()(),k k a f a ()*k N ∈处的切线与x 轴的交点为()1,0k a +，若11a =，则(31010213ff fa +++=⎛⎫- ⎪⎝⎭．答案：3．6.已知点P 在曲线x y e =上，点Q 在曲线ln y x =上，则PQ 的最小值是 ．7.设*m N ∈，2log m 的整数部分用()F m 表示，则()()()121024F F F +++的值是 ．答案：8204.8.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两的端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 种．答案：72.9.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0ω>使()f x x ω≤对一切实数x 均成立，则称函数()f x 为“条件约束函数”．现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124.f x f x x x -≤-其中是“条件约束函数”的序号是 （写出符合条件的全部序号）．答案：①③④．10.已知线段AB 是半径为2的球O 的直径，C 、D 两点在球O 的球面上，2,CD AB CD =⊥，45135AOC ≤∠≤，则四面体ABCD 的体积的取值范围是 ．答案：4.3⎡⎢⎣⎦二、解答题（本大题共3小题，共70分）11.（本小题满分20分）已知数列{}n a 中，1211,,4a a ==且()()112,3,4,.n nn a n n a +-==-（1）设()11n nb n a =-，球数列{}2n n b ≥的通项公式；（2）求证：对一切*n N ∈，有217.6nk k a =<∑解：（1）()()1111,2,3,4,,nn nn a a a n n a +-===-∴当2n ≥时，()()111.111n n n n n a n a n a n a n +-==---- 两边同时除以n ，得()()1111,11n n na n a n n +=--- 1111n n b b n n +⎛⎫∴-=-- ⎪-⎝⎭()12121111 111k n k n k k k k n b b -+-==⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝∴-⎭-=∑∑*2211321, 2.1,.111n n n b b n b b n N n n n -⎛⎫⎛⎫∴-=--≥∴=--+=∈ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭（2）证明：当2k ≥时，()()()2211111,34313343132k a k k k k k ⎛⎫=<=- ⎪----⎝⎭-∴当2n ≥时，22121111111113255834311111711.323166n nkk k k aa n n n ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=+-<+= ⎪-⎝⎭∑∑又当1n =时，2171,6a =<∴对一切*n N ∈，有217.6nk k a =<∑12.（本小题满分25分）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接,,,,.AH BD QB QC QHAB 为⊙1O 的直径，90.ADB BDQ ∴∠=∠=BQ ∴为⊙2O 的直径．,.CQ BC BH HQ ∴⊥⊥点H 为△ABC 的垂心，,.AH BC BH AC ∴⊥⊥//,//AH CQ AC HQ ∴，四边形ACQH 为平行四边形．∴点P 为CH 的中点．13.（本小题满分25分）已知抛物线2:4C y x =，以()1,2M 为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB ．（1）求证：动直线AB 过定点；（2）过点M 作AB 的垂线交AB 于点N ，求点N 的轨迹方程． 解：（1）设直线AB 的方程为x my n =+，()()1122,,,.A x y B x y2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩得2440,y my n --= 12124,4y y m y y n ∴+==-．90,0,AMB MA MB ∠=∴⋅=即()()11221,21,20.x y x y --⋅--=()()()()121211220.x x y y ∴--+--=()()()()()()()()12122211211220,12140,my n my n y y m y y mn m y y n +-+-+--=++--++-+= ()()()221424250.mn mn m m n n +⋅-+--+-+=整理得()()22341,n m -=+()321n m ∴-=+或()321.n m -=-+当()321n m -=+，即25n m =+时，直线AB 的方程为()25x m y =++过定点()5,2P -；（2）由（1）知，点N 的轨迹是以PM 为直径的圆（除去点()1,2±），其方程为()()22381.x y x -+=≠。
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V球=πR3（R为球的半径）。
一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为。
则集合M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2|的交集M∩N所表示的图形面积为A． B． C．1 D．2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。
则四面体ABCD的体积等于A． B． C． D．3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。
若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A．90 B．100 C．110 D．1204．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A．8 B．9 C．10 D．116．设0<x<1, a,b为正常数。
则的最小值是A．4ab B．(a+b)2 C．(a-b)2 D．2(a2+b2)7．设a,b>0，且a2008+b2008=a2006+b2006。
则a2+b2的最大值是A．1 B．2 C．2006 D．20088．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=AB+AC。
全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分） 1、选C.解：关于t 的方程02=++c bt t 最多有两不同的解n m ,，从而n x f m x f ==)(,)(，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由已知，只有1)(=x f 有三个不同的实数解.不妨设54321x x x x x <<<<，由于)(x f 关于直线2=x 对称，必有23=x ，451=+x x ，442=+x x ，故12345,,,,,()x x x x x f x x x x x ++++则＝81|210|1)10(=-=f .2、选D.解：根据题意，令 21kn m += （1）201l n m += （2）其中.k l l k m >均为正整数，且、、 (1)),2(10-⨯得 .39)10(,9102==-=--kl klkm m m m 即于是有以下三种可能：I .4,2,3,110,9===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-l k m m m kl k经检验这组符合条件，此时.4=nII .,0,0,,910,1矛盾为任意正整数===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-n l k m m m kl kIII .,310,3该方程组无正整数解⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kl k m m 综上所述，n 只能取4.3、选A.解：对于正整数x ，2x被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，…；2x 被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，…. 所以，22x x -被7除所得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个x 的值使22xx -能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件.4、选A.解：以P 为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点P 到各面距离之和等于正四面体的高.四面体每个面三角形的高 h ==，从而 3h =， 于是正四面体的高 2H == .5、选B.解：设双曲线的方程为),0,0(12222>>=-b a by a x 半焦距为c ，则.222b a c +=由,22121a B F B F A F A F =-=- ,1221B F B F A F A F =+=解得a B F A F 222==，这表明AB ⊥x 轴，又易知此时ab B F A F 222==，结合.222b a c +=解得双曲线的离心率.3==ace 6、选D.解：欲使方程有实根，应有240m n -≥.如上表，适合条件的m,n 共有19组，故36=P . 二、填空题（每小题9分，共54分）1、 1 .解：由 )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 得 )0()0(2f f =，而0)0(≠f ，所以1)0(=f ， 又)()()0(x f x f f ⋅-=，故1)0()2010()2009()1()0()1()2009()2010(4021==⋅⋅⋅--⋅-f f f f f f f f .21 .解：不妨设 0a b c d ≥≥≥>，则由条件，22224,8a b c d a b c d +++=+++=，于是，22224,8b c d a b c d a ++=-++=-. 由 Cauchy 不等式，22223()()b c d b c d ++≥++， 即 223(8)(4)a a -≥-，2220a a --≤，所以01a <≤， 因此 a1（此时13b c d ===-）.3、[10,18] . 解：由条件，有2446a b a b a b a b -≥⎧⎪-≤⎪⎨+≥⎪⎪+≤⎩……①，而 (2)42f a b -=-，所以问题即求在条件①下目标函数42a b -的最值. 经从图像分析可知，由24a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点A （3，1）为(2)f -的最小值，即432110⨯-⨯=；由46a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点B （5，1）为(2)f -的最大值，即452118⨯-⨯=. 因此，10(2)18f ≤-≤.4、,1)2. 解：设点(cos ,sin )P a b θθ，则 (cos ,sin ),(cos ,sin )OP a b AP a a b θθθθ==-. 于是，0OP AP ⋅=2222cos (cos 1)cos cos (cos )(sin )0sin 1cos b a a a b a θθθθθθθθ-⇒-+=⇒=-=+， 所以 211cos e θ=+. 由 cos (1,1)θ∈-，知 1cos (0,2)θ+∈.故 21(,1)2e ∈， 即 ,1)2e ∈.5、 64 .解：令2x =-，得 064a =. 已知等式两边同时对x 求导，得251112126(22)(22)2(2)12(2)x x x a a x a x +-+=+++++.再令1x =-，由上式得12122120a a a +++=.因此 01212021264a a a a a ++++==.6、 160 .解：设至少经过3点的直线有k 条，每条上的点数从多到少依次为：12,,,(3,1)k i a a a a i k ≥≤≤则由已知，有 12222211(1)(1)(1)487ka a a C C C C -+-++-=-=. 又由 21312i a C -≥-= 知 3k ≤.当1k =时 128a C = 无解； 当2k =时 12229a a C C +=，解得 124,3a a ==； 当3k =时 12322210a a a C C C ++= 无解. 故有1条直线过其中4点，1条过3点， 即三角形个数为 3331143160C C C --=.三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：由112(32)(1)0(2)n n n na n a n a n +--+++=≥，得11(2)(1)(2)n n n n n a a n a a +--=+-，于是 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=-.……………………5分从而 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=- =1211()12n n n n a a n n --+⋅-- =21131122n na a n n +⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪-⎝⎭=12n +. ……………………10分 令 []11(1)2n n a xn y a x n y +-+=--+， 则 1111()222n n a a xn x y +-=+-比较系数，得x=1,y=0。
2015年全国高中数学联赛试题及答案解析
r2
n
1 r2
n
，这里 r 2 3 ．
y2 x2 PQ 2 1(a b 0) 与抛物线 x 2 2 py ( p 0) 有一个共同的焦点 F ， 2 a b 为它们的一条公切线， P 、 Q 为切点，证明： PF QF ．
10. （本小题满分 20 分） 设椭圆
2
令 m max ci ，证明： (
2i 2 n
m c2 c3 c2 n 2 a a an b1 b2 bn ) ( 1 2 )( )． 2n n n
四、 （本小题满分 50 分） n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局．规定胜者得 1 分，负者得 0 分，平局各得 0.5 分．如果 赛后发现任何 m 个棋手中都有一个棋手胜了其余 m－1 个棋手， 也有一个棋手输给了其余 m－1 个棋手， 就称 此赛况具有性质 P（m） ．对给定的 m（m≥4） ，求 n 的最小值 f（m） ，使得对具有性质 P（m）的任何赛况， 都有所有 n 名棋手的得分各不相同．
2.若函数 f x log a ax x
2
3.已知 0
2
，且 tan 3tan ，则 u 的最大值为________.
解：因为 0 所以 tan
2
， tan 3tan ，所以 0
5. 已知点 P (1, 2, 5) 是空间直角坐标系 O xyz 内一定点，过 P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于 A, B, C 三点，则所有这样的四面体 OABC 的体积的最小值为 ． x y z 解：设此平面的方程为 1 ， a, b, c 0 分别是该平面在 x, y, z 轴上的截距，又点 P 在平面 ABC 内， a b c 3 1 2 5 1 10 1 1 2 5 1 1 2 5 1 2 5 ，即 ，得 VOABC abc 45 ．当 ， 故 1 ，由于 1 3 a b c a b c 27 abc a b c 3 a b c 6 即 (a, b, c) (3, 6,15) 时， VOABC 的最小值为 45．
2015年全国高中数学联合竞赛XX省预赛校模拟试卷(高一年级)
3．若对于任意实数 x ， | x + a | - | x + 1 |≤ 2a 恒成立，则实数 a 的最小值为 1a2015}，则集合 S中的元| x x2015年全国高中数学联合竞赛XX 省预赛校模拟试卷（高一年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．已知数列{a n } 是等差数列，a 2 和 a 项的和为 1209 ．2014是方程 5x 2 - 6 x + 1 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 20152．已知 a , b 是常数，函数 f ( x ) = ax 3 + b ln( x +x 2 + 1) + 3 在 (-∞,0) 上的最大值为 10,则 f ( x )在 (0,+∞) 上的最小值为 －4 ．3 ．4．设 a = 2 n , b = 5n - 1(n ∈ N *)， S = {a , a , , ann12素的个数为504 ．2015} {b , b , , b1 2△5．ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ．若 a - c = a sin C ，则 sinA - C B+ sin 的值为2 21．6．设多项式 f ( x ) 满足 f ( x ) + f ( x + 1) = -2x 2 + 2x + 3 ，则 f (1) + f (2) + + f (9) = －186 ．7．已知点 P 在 △Rt ABC 所在平面内，∠BAC = 90︒ ，∠CAP 为锐角， AP |= 2 ，AP ⋅ AC = 2 ，AP ⋅ AB = 1 ．当 | AB + AC + AP | 取得最小值时， tan ∠CAP =72 ．8． 8sin 2 10︒ + 1 sin10︒的值为 6 ．9．函数 f ( x ) = 8 - x + 3x + 6 的最小值为10 ．p + 1p 2 + 110．使得和都是完全平方数的最大质数 p 为7 ．2 2二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．） 11．定义在 (0,+∞) 上的函数 f ( x ) 满足：x① f (2) = 1 ；②当 x > 1时， f ( x ) > 0 ；③ f ( ) = f ( x ) - f ( y ) ．y（1）试判断函数 f ( x ) 的单调性；（2）若 f (t ) + f (t - 3) ≤ 2 ，试求 t 的取值范围．x x解 （1）设 0 < x < x ，则 2 > 1 ，故 f ( 2 ) > 0 ，即 f ( x ) - f ( x ) > 0 ，所以 f ( x ) > f ( x ) ，1 2 2 1 2 1 1 1故 f ( x ) 在 (0,+∞) 上是单调增函数． ………………………………………（5 分）4（2）因为 f (2) = f ( ) = f (4) - f (2) ，所以 f (4) = 2 f (2) = 2 ，从而2f (t ) + f (t - 3) ≤ f (4) ． ………………………………………（10 分） 即 f (t ) ≤ f ( 4 t - 3) ，于是⎨t - 3 > 0,………………………………………（15 分）⎪⎩ t - 312．已知正实数 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 2 ，求 (1 +)(1 + ) 的最小值． 当 x = 2 时， u ＝ (1 + )(1 + ) 取得最小值1 +（2）设 S n = T 12 + T 22 + + T n 2 ，求证： a n +1 - 1 < S n < a n +1 - ． a n +1 n +1 = n +1 = =1 - a n +1 1 - a n n + 1 n + 1n + 1n +1 - ；……………（15 分）n + - = - = a n +1 - ． < S n < a n +1 - ． ………………………………………（20分） ⎧⎪t > 0,⎪ ⎪ 4 t ≤ . 解得 3 < t ≤ 4 ．故 t 的取值范围是 (3,4] ．………………………………………（20 分）c ca bπ解 设 a = c ⋅ sin α , b = c ⋅ cos α ， α ∈ (0, ) ，则2c c 1 1 sin α + cos α + 1u = (1 + )(1 + ) = (1 + )(1 + ) = 1 + ． …………………（5 分）a b cos α sin α sin α cos απ令 x = sin α + cos α ，则 x = 2 sin(α + ) ，1 < x ≤ 2 ． …………………（10 分）4x 2 - 1 x + 1 2又 sin α cos α = ，所以 u = 1 + = 1 +2 x 2 - 1 x - 1 2 c c 2a b 2 - 1． ………………………………（15 分）= 3 + 2 2 ．…………………（20 分）13．设 T n 是数列{a n } 的前 n 项之积，满足 T n = 1 - a n , n ∈ N * ．（1）求数列{a n } 的通项公式；1 2 3解 （1）易知 T 1 = a 1 = 12， T ≠ 0, a ≠ 1 ，且由 T n n n +1 = 1 - a n +1 , T = 1 - a ，得n nT 1 - a 1 1 1a n +1 ，即 ，即 - = 1． ……………（5 分） T 1 - a 1 - a 1 - a n n n +1 n 1 1 1所以 = + n - 1 = + n - 1 = n + 1 ，故1 - a 1 - a1 n 1 1 -21 na = 1 - = ． ………………………………………（10 分） n 1（2）由（1）得 T = a a a = ．n 1 2 n一方面， S = n 1 1 1+ + +2 2 32 (n + 1) 21 1 1 1 1 1 > + + + = - = a2 ⋅3 3 ⋅4 (n + 1)(n + 2) 2 n + 2 2 另一方面，S < 1n 2 2 - 1 4 + 1 + + 11 1 32 - (n + 1) 2 -4 4 = 1 + 1 + + 35 5 7 ⋅ ⋅ 2 2 2 211 3 (n + )(n + )2 2 = 2 3- 1 n + 2 ． 32 1 又 -3 2 3< 2 1 n + 1 1 1 3 n + 2 n + 2 3 3所以 a n +1 - 1 2 1 3。
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
2013年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
2013年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题一、填空题： 本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 已知函数423)(--=x x x f 的反函数为)(1x f -，定义数列}{n x 如下：21=x ，)(11n n x f x -+=，*N n ∈，则数列}{n x 的通项公式是n x =__________.2. 设y x ,为实数，且满足225410x y x +=，则22x y +的最大值为_________.3.S =的整数部分是_______.4. 已知三棱锥A －BCD 的体积是V ，棱BC 的长是a ，面ABC 和面DBC 的面积分别是1S 和2S ，设面ABC 和面DBC 所成的二面角是α，那么sin α＝_______.5. 函数1111()1232013f x x x x x =++++++++ 图像的对称中心的坐标为________. 6. 设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为________. 7. 将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有________.8. 从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde ，满足条件“a b c d e <><>”的概率为_________.二、解答题：本大题共3小题，共56分.9. （本小题满分16分）是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：（1）最大角是最小角的两倍？（2）最大角是最小角的三倍？若存在，分别求出该三角形的三边长；若不存在，请说明理由.10. （本小题满分20分）如图，O△的外接圆，直线BO和CO分别与边AC、AB交于点D、⊙为锐角ABCE，直线DE交ABC=.△的外接圆于点M、N，且AM AN（1）求证：2=⋅；AM AE AB（2）求证：AO BC⊥.11. （本小题满分20分）设椭圆221:11612x yC+=与抛物线22:8C y x=的一个交点为00(,)P x y,定义,(0)())2x xf xx x⎧<<=>⎩,若直线()y a f x=与的图像交于,A B两点，且已知定点(2,0)N，求ABN∆的周长的取值范围.。
2015年广西“创新杯”高一决赛试题答案
2015年广西“创新杯”数学竞赛高一决赛试卷解答一、选择题（每小题6分，共36分,请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后面的括号内）1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）A . 1a +B . 21a +C . 221a a ++D . 1a ++解：选D .设与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是x ，则1+=a x ，所以12)1(2++=+=a a a x .2、已知2=，则+ ( ) A . 3B . 4C . 5D . 6 解：选C .提示：22251510x x +=−−+= 3、计算111111111111(1......)(1......)23102392392310+++++++−+++++++=( ) A .1 B . 110 C . 12D . 2 解：选B . 设1111...2310a =++++，则原式=11(1)(1)1010a a a a −−−−−=1104、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若060B ∠=，则b c a b a c +++的值为（ ）.A . 21B . 22C . 1D . 2解：选C .过A 点作AD ⊥CD 于D ，在Rt △BDA 中，由于∠B ＝60°，所以DB ＝2C ，AD ＝C 23。
在Rt △ADC 中，DC 2＝AC 2－AD 2，所以有222324C a b C −=−，整理得222a c b ac +=+，从而有1))((22222=++++++=+++++=+++bbc ab ac bc ab c a b c b a ab a cb c b c a b a c . 5、关于x 的一元二次方程2210x mx m −+−=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x −的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．25解：选C .6、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的顶点在第一象限，且过点(0)，1和(1)−，0，下列结论：①0ab <；②24b a >；③0a b c <++④01b <<；⑤当1x >−时，0y >．结论正确的个数是（ A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．解：选B ．∵由图知0a <，对称轴04b x a=−>，∴0b >，0ab <∵抛物线经过点(0)，1，∴0c =．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac −>．∵1c =，∴2b ∵由图可知当x =1时函数值为正数，∴0a b c ++>．∵方程的一个根为11x =−，∴1b a c a =+=+．∴20a <，11a a a b ++=+<，1a b ++=2a b c ++<．∴③正确.∵01b a <=+，0a <，∴01b <<，④正确.∵由图可知1x >−时函数值的符号不确定，∴⑤错误．二、填空题（每小题9分，共54分，请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横线上）7、实数,x y 满足22260x x y −+=，则222x y x ++的最大值为____________ 答案：15.解析：由已知得22260y x x =−+≥，解得03x ≤≤，原式=22(26)2x x x x +−++ 2(4)16x =−−+，当3x =时，原式有最大值为15。
2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案
2016年全国高中数学联赛赛区预赛试题及答案一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）1.函数()f x =的定义域是 ．答案：()10,100.解：()2lg 3lg 20,1lg 2,10100.x x x x -+-><<<<2.设实数,x y 满足62,1x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量()()2,,1,1a x y m b =-=-，若//a b ，则实数m的最小值为 ．答案： 2.-解：因为()()2,,1,1a x y m b =-=-，所以211x y m-=-，2.m y x =- 在条件621x yy x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩下，求得2m y x =-的最小值为 2.-3.设a 、b 都为大于零的常数，01x <<，则221a b x x+-的最小值为 ． 答案：()2.a b +解：设()()22,0,11a b f x x x x=+∈-，则 ()()()()()()()()()()22222222222222111111.1b x a x a b f x x x x x bx a x bx a x x x a b x a b a x a x x --'=-+=----+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-+--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-1）当a b ≠时，()()()()()22222222111.1a a a b x x a b a b f x x x a a b x x b a b a x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭'=-⎛⎫ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪-⎝⎭=-， 因为,a b 都为正数，所以当0,a x ab ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0f x '<；当,1a x a b ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0.f x '>故函数()f x 在ax a b=+处取得最小值 ()222.1a a b f a b a a a b a b a b⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭-++ 2）当a b =时，()221a a f x x x=+-，()()222122.1a x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=- 因为a 为正数，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．故函数()f x 在12x =处取得最小值 ()222214.112122aa f a a a ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭- 综上所述，当01x <<时，221ab x x+-的最小值为()2.a b + 4.运行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为 ．答案：25.已知函数()3f x x =对应的曲线在点()(),k k a f a ()*k N ∈处的切线与x 轴的交点为()1,0k a +，若11a =，则(31010213ff fa +++=⎛⎫- ⎪⎝⎭．答案：3．6.已知点P 在曲线xy e =上，点Q 在曲线ln y x =上，则PQ 的最小值是 ．7.设*m N ∈，2log m 的整数部分用()F m 表示，则()()()121024F F F +++的值是 ．答案：8204.8.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两的端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 种．答案：72.9.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0ω>使()fx x ω≤对一切实数x 均成立，则称函数()f x 为“条件约束函数”．现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124.f x f x x x -≤-其中是“条件约束函数”的序号是 （写出符合条件的全部序号）． 答案：①③④．10.已知线段AB 是半径为2的球O 的直径，C 、D 两点在球O 的球面上，2,CD AB CD =⊥，45135AOC ≤∠≤，则四面体ABCD 的体积的取值围是 ．答案：4.3⎡⎢⎣⎦二、解答题（本大题共3小题，共70分）11.（本小题满分20分）已知数列{}n a 中，1211,,4a a ==且 ()()112,3,4,.n nn a n n a +-==-（1）设()11n nb n a =-，球数列{}2n n b ≥的通项公式；（2）求证：对一切*n N ∈，有217.6nkk a =<∑ 解：（1）()()1111,2,3,4,,nn nn a a a n n a +-===-∴当2n ≥时，()()111.111n n n n n a n a n a n a n +-==---- 两边同时除以n ，得()()1111,11n n na n a n n +=--- 1111n n b b n n +⎛⎫∴-=-- ⎪-⎝⎭()12121111 111k n k n k k k k n b b -+-==⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝∴-⎭-=∑∑*2211321, 2.1,.111n n n b b n b b n N n n n -⎛⎫⎛⎫∴-=--≥∴=--+=∈ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭（2）证明：当2k ≥时，()()()2211111,34313343132k a k k k k k ⎛⎫=<=- ⎪----⎝⎭-∴当2n ≥时，22121111111113255834311111711.323166nnk k k k aa n n n ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=+-<+= ⎪-⎝⎭∑∑又当1n =时，2171,6a =<∴对一切*n N∈，有217.6nk k a =<∑ 12.（本小题满分25分）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接,,,,.AH BD QB QC QHAB 为⊙1O 的直径，90.ADB BDQ ∴∠=∠= BQ ∴为⊙2O 的直径．,.CQ BC BH HQ ∴⊥⊥点H 为△ABC 的垂心，,.AH BC BH AC ∴⊥⊥//,//AH CQ AC HQ ∴，四边形ACQH 为平行四边形．∴点P 为CH 的中点．13.（本小题满分25分）已知抛物线2:4C y x =，以()1,2M 为直角顶点作该抛物线的接直角三角形MAB ．（1）求证：动直线AB 过定点；（2）过点M 作AB 的垂线交AB 于点N ，求点N 的轨迹方程． 解：（1）设直线AB 的方程为x my n =+，()()1122,,,.A x y B x y2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩得2440,y my n --= 12124,4y y m y y n ∴+==-．90,0,AMB MA MB ∠=∴⋅=即()()11221,21,20.x y x y --⋅--=()()()()121211220.x x y y ∴--+--=()()()()()()()()12122211211220,12140,my n my n y y m y y mn m y y n +-+-+--=++--++-+= ()()()221424250.mn mn m m n n +⋅-+--+-+=整理得()()22341,n m -=+()321n m ∴-=+或()321.n m -=-+当()321n m -=+，即25n m =+时，直线AB 的方程为()25x m y =++过定点()5,2P -；（2）由（1）知，点N 的轨迹是以PM 为直径的圆（除去点()1,2±）， 其方程为()()22381.x y x -+=≠。
2015年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考答案
2． 答案： 5 解析： 原式= (6 1)
11 11 10 9 ∵ 7 2 7 1 3 (7 1)(7 7 7 1) 3 2 711 2 ，
8(710 79 7) 5 ，∴原式被 8 除余数为 5.
3．答案：
a4 b4 c4 x2 3 3 ， 2 2 2 ， 2 b c c a a b x3 2
3 ． 2
∵ f ( x) f (3)
∴当且仅当 a b c 1 时取到最小值，所求最小值为 12. 证明：连结 OP, OA, OC , EP ． ∵ N 是 AB 的中点，∴ O, P, N单 调 递 减 ． 同 理 ， 当 x 1 时 y f (0) g (0) 2 ，当 x 1 时 y
11
f ( x) g ( x ) 递 增 ， 而 当 x 0 时 函 数 值
f (1) g (1) ，而当 x 时 y ，∴ ymin 1 ．
取得最小值，当且仅当 10．答案：81
2 a 3 2a 3 a 8 7 5 ．解得 a ，b ， 3a 4b 12. 1 b 2 3b 3 2b 6 3 4
解析：∵由题设 n 恰有 5 个约数，设 n 的质因数分解是 n p1 1 pk k ，∴n 的约数个
a4 c4 2a 2 c 2 a 2 c2 b2 ac 1 2 2 2 2 ，∴ B [ , ) ． b 2 2 a c 2 2 ．∵ cos B a c 3 2 2ac 2 a c a c
2
9． 答案： 12
解析： ∵易求得 z1 z2 z3 8 6i ， z1 z2 z3 z1 z2 z3 ＝10， ∴ z1 z2 z3
2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2015年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2015B1、已知函数⎩⎨⎧+∞∈∈-=),3(log ]3,0[)(2x a x x a x f x ，其中a 为常数，如果)4()2(f f <，则a 的取值范围为◆答案：()+∞-,2★解析：(2)2,(4)2f a f a =-=，所以22a a -<，解得：2a >-．2015B 2、已知3)(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为◆答案：2015★解析：由己知得33(10)(10)(10)10f f -+-=+，即(10)(10)2000f f -=+=2015．2015B 3、某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系为：),0(,cos sin +∞∈+=t t b t a T ，其中b a ,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则b a +的最大值为◆答案：★解析：由辅助角公式：sin cos )T a t b t t ϕ=+=+，其中ϕ满足条件sin ϕϕ==T 的值域是[，室内最大温差为10≤5≤．故a b +≤≤等号成立当且仅当a b ==2015B 4、设正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是单位正方形，如果二面角11C BD A --的大小为3π，则=1AA ◆答案：62★解析：取BD 的中点O ，连接OA,OA 1,OC 1．则∠A 1OC 1是二面角A 1-BD-C 1的平面角，因此∠A 1OC 1=3π,又△OA 1C 1是等边三角形．故A 1O=A 1C 1，所以12AA ===．2015B 5、已知数列{}n a 为等差数列，首项与公差均为正数，且952,,a a a 依次成等比数列，则使得121100a a a a k >+⋅⋅⋅++的最小正整数k 的值是◆答案：34★解析：设数列{}n a 的公差为d ,则215191,4,8a a d a a d a a d =+=+=+．因为952,,a a a 依次成等比数列，所以2295a a a =，即2111()(8)(4)a d a d a d ++=+．化简上式得到：218a d d =．又0d >，所以18a d =．由11211(1)(1)210016k k k a k d a a a k k k a a -++++-==+> ．解得min 34k =．2015B 6、设k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{})(2),(22y x y x y x A +=+=和{}03),(≥++-=k y kx y x B ，若B A 是单元集，则k 的值为◆答案：2-★解析：点集A 是圆周22:(1)(1)2x y Γ-+-=，点集B 是恒过点)3,1(-P 的直线:3(1)l y k x -=+及下方（包括边界）．作出这两个点集知，当A 自B 是单元集时，直线l 是过点P 的圆Γ的一条切线．故圆Γ的圆心M (1,l ）到直线l，=2k =-2015B 7、设P 为椭圆122=+x y 上的动点，点)1,0(),1,1(-B A ，则PB PA +的最大值为◆答案：5★解析：取F (0,l )，则F,B 分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4．因此，|PA|+|PB|=4-|PF|+|PA |≤4+|FA|=4+l=5．当P 在AF 延长线与椭圆的交点3(,1)2-时，|PA|+|PB|最大值为5．2015B 8、正2015边形201521A A A ⋅⋅⋅内接于单位圆O ，任取它的两个不同顶点j i A A ,，1≥+OA 的概率为◆答案：6711007★解析：因为||||1i j OA OA == ，所以222||||||22(1cos ,)i j i j i j i j OA OA OA OA OA OA OA OA +=++⋅=+<> ．故1≥+OA 的充分必要条件是1cos ,2i j OA OA <>≥- ，即向量,i j OA OA 的夹角不超过32π．对任意给定的向量i OA，满足条件1≥的向量可的取法共有：222134232015ππ⎡⎤÷⨯=⎢⎥⎣⎦1≥+OA 的概率是：20151342671201520141007p ⨯==⨯．二、解答题：本大题共3小题，共56分。
全国高中数学竞赛集合真题汇编与典型例题
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题全国联赛真题：1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为.2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n 个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.8．【2014年全国联赛】设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.9．【2013年全国联赛】一次考试共有道试题，名学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有名学生没有答对，则每名答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值.10．【2012年全国联赛】试证明：集合满足（1）对每个，若，则一定不是的倍数；（2）对每个表示中的补集），且，必存在，使的倍数.各省预赛典型题1．【2018年江苏】在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个。
2015年广西高二“创新杯”决赛试题_含答案_
2015年广西“创新杯”数学竞赛高二决赛试卷一．选择题（每小题6分，共36分，请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后面的括号内）1．（南宁市教科所黎福庆供题）已知向量,a b 夹角为45 ，1=a且2−=a b ，则=b A ．23 B ．6 C ．22 D ．2 答案：A 2．3.若方程2sin sin 10()6x a x a x ππ+−−=≤≤有三个根，则a 的取值范围为（ ） 答案：A 解析：1,10)1)(1(01,10sin 212−−==⇒=++−⇒=−−+≤≤=a t t a t t a at t t x t 方程为则令2321121],6[1sin 2],6[1sin ,1sin 1sin −≤<−⇒<−−≤⇒−−===−−==a a a x x x a x x 上有两根在故上只有一根在而或即πππππ3．（广西师院赵继源供题）如图，已知正方体1111ABCD A B C D −中，E 为CD 中点，则二面角1E AB B −−的正切值为A ．1 BCD．解析：选D ．如图，作EF AB ⊥于F ，作1FO AB ⊥于O ，连结OE ． 由1111ABCD A B C D −为正方体，知11EF ABB A ⊥面，1EF AB ⊥． 又1AB OF ⊥．因此，1AB OEF ⊥面，1OE AB ⊥． ∴ EOF ∠为面角1E AB B −−的平面角． 设正方体棱长为a ，则EF a =，114OF A B ==．∴ tan EFEOF OF∠==． 4．（广西师院赵继源供题）已知当6x π=时，函数sin cos y x a x =+取最大值，则函数sin cos y a x x =−图象的一条对称轴为A ．3x π=−B ．3x π=C ．6x π=− D ．6x π=解析：选A.∵当6x π=时，函数sin cos y x a x =+取最大值，∴12+= 解得a =sin cos 2sin(6y a x x x π=−=−，∴3x π=−是它的一条对称轴.5．（广西师院赵继源供题）已知函数()ln f x e x x =−在(]0e ，上为增函数，在[)e +∞，上为减函数，记ea e =，b ππ=，c e π=，ed π=，则a ，b ，c ，d 的大小关系为A ．a d c b <<<B ．a c d b <<<C ．b a d c <<<D ．b c d a <<<解析：选A ．ln c π=，ln ln d e π=．由()f x 在(]0e ，上为增函数，在[)e +∞，上为减函数，得()()f f e π<，于是()ln ()ln 0f e f e e e e πππ=−<=−=．∴ln e ππ<，即ln ln d c <，于是d c <，ee ππ<．显然，e e a e d π=<=，c e b πππ=<=．于是，a d c b <<<．6．（恭城中学韦兴洲供题）在2013，2014，2015，2016这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数共有A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．4个 答案： A解析：一个整数能表示为两个整数平方差，等价于这个整数可以表示为两个奇偶性相同的整数的乘积．而201312013=×，201421007=×，201512015=×，201621008=×，故只有2014无法写成两个奇偶性相同的整数的乘积．选A ．二．填空题（每小题9分，共54分，请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横线上）７．（南宁市教科所黎福庆供题）已知直线:30l x y −+=被圆4)2()(:22=−+−y a x C 截得的弦长为22，则a 的值为 ． 答案：1或-3 解析：2r ==即12a +=，故a 的值为1或-3。
2015年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题详细解答(word版)
2015年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题（考试时间： 2015 年5月17 日上午 8 : 30 一 10 : 30 )注意：1．所有答题均写在密封线右边，写在其他纸上一律无效；2．密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记．一、填空题（本大题共10小题，每小题8分，共80分，请将答案填写在下面答题卡相应的横线上）1．函数y =的最小值是 ．解析：定义域为(,0][1,)-∞+∞，设2237()2322()48f x x x x =-+=-+，2211()()24g x x x x =-=--．∵当0x ≤时()f x 单调递减，()g x 单调递减， ∵当0x ≤同理，当1x ≥递增，而当0x =时函数值y ==当1x =时y =，而当x →+∞时, y →+∞，∴min 1y =．2．11110291011111166661C C C ++++-被8除所得余数是 ．解析：原式＝1111(61)272=+-=-．∵111172713-=+-109(71)(7771)3=+-+-+-1098(777)5=-+-+，∴原式被8除余数为5． 3．己知实数,,x y z 满足24,2x y z xy yz zx ++=++=，则z 的取值范围是 ．解析：由己知得42,2()x y z xy z x y +=-=-+，由2()4x y xy +≥,将前面两个式子代入得220z -≤得z ≤4．己知数列｛n a｝的通项公式为*)n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列122015,,,S S S 中,有理数项共有 项．解析：∵k a ===,∴111n nn k k k S a =====∑∑．45=,∴222212,3,4,,44n +=,从而122015,,,S S S 中只有43个有理项．5．四面体A-BCD 中，A-BCD 的外接球半径为 ．解析：∵构造棱长分别为3、4、5的长方体，则四面体A-BCD 的外接球即为长方体的外接球，∴22R R ===． 6．函数2y ax bx c =++的图像是开口向下的抛物线，,,a b c 互异，且都在集合{|||5,}A n n n Z =≤∈中取值，则这些抛物线中通过点（0，-l ）的有 个．解析：∵抛物线过点（0，-l), ∴1c =-, ∴A ={-5,-4,-3,-2，-1, 0, 1,2,3,4, 5},∴a 只能从-5，-4，-3，-2中取一个有14C 种取法，b 则有19C 种取法，由乘法原理共有14C 19C =36种可能．7．△ABC 内有2015个点，加上三个顶点，共有2018个点．把这些点连线，形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数是 ．解析：∵112,3n n a a a +=+=,∴20153(1)221,4031n a n n a =+-⋅=+=．8．在锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边长依次为,,a b c , 若22cos cos cos b B ac A C≥，则∠B 的取值范围是 ．解析：∵22cos cos cos b B ac A C ≥，∴22222222222()222c a b b ca b c a a b cac bc ab+-≥+-+-⋅， 442222222222c a c a b c a c a c a +≥=+-++，∵222221cos 22c a b ca B ca c a +-=≤=+，∴[,)32B ππ∈． 9．设复数123(2)(1),(32)(23),(3)(32)z a b i z a b i z a b i =-+-=+++=-+-，其中,a b R ∈，当123||||||z z z ++取得最小值时，34a b += ．解析：∵易求得12386z z z i ++=+, 123123||||||||10z z z z z z ++≥++=,∴ 123||||||z z z ++取得最小值，当且仅当23238123326a a ab b b -+-===-+-．解得75,,341234a b a b ==+=．10．正整数500n ≤，具有如下性质：从集合｛1, 2，…，500｝中任取一个元素m ，若m 整除n 的概率是1100，则正整数n 的最大值是 ．解析：∵由题设n 恰有5个约数，设n 的质因数分解是11k k n p p αα=，∴n 的约数个数为12(1)(1)(1)5,k n ααα+++=具有4p 的形式．∵44381,5625500==>，∴n 的最大值为 81．二、解答题（本大题共3小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11. （本小题满分20分）设,,a b c R +∈，且3a b c ++=，求444222a b c b c c a a b+++++的最小值．解：由柯西不等式知4442222222222()()()a b c b c c a a b a b c b c c a a b+++++++≥+++++，∴44422222222222222222()()3a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b c ++++++≥=+++++++++++． 令222a b c x ++=，∴22221()33x a b c a b c =++≥++=，∴44422223a b c x b c c a a b x ++≥++++． 设2()(3)3x f x x x =≥+，∴2'26()0(3)x x f x x +=≥+，∴()f x 在[3,)+∞单调递增． ∵3()(3)2f x f ≥=，∴44422232a b c b c c a a b ++≥+++．∴当且仅当1a b c ===取到最小值，所求最小值为32． 12. （本小题满分 25 分）如图，已知PA 、PB 是由O 外一点P 引出的两条切线， M 、N 分别是线段AP 、AB 的中点，直线MN 交⊙O 于C 、 E 两点，点N 在M 与C 之间， PC 交⊙O 于点D ，延长ND 交PB 于点Q ．证明：四边形MNQP 为菱形．证明：连结,,,OP OA OC EP ，显然,,O P N 三点共线， 且OP AB ⊥，所以N 是AB 中点，由M 是PA 的中点，故MNMP MA ==，MNPQ ． ……………………(5分)22PM AM ME MC ==⋅，所以 MPE ∆∽MCP ∆，MCP MPE ∠=∠．……………………(10分) 又,,,O A P B 四点共圆，ON PN AN BN CN EN ⋅=⋅=⋅，故,,,O C P E 四点共圆，OCN EPN ∠=∠． ……………………(15分) PAO ∆是直角三角形，有2PN PO PA PD PC ⋅==⋅，于是,,,C D N O 四点共圆． ……………………(20分) QNP PCO MCP MCO MPE EPN APN ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠， 所以M NPQ ，四边形MNQP 是菱形. ……………………(25分)13.（本小题满分25分）动点P 在椭圆22(1)(0)x a y a a +-=>上移动时，求连结原点O和点P 所得线段长的最大值．解：设点(,)P x y ，∵将椭圆方程变形为222(1)11()x y a -+=，∴椭圆的中心在（0, l)，,x y 满足：,02a x a y -≤≤≤≤．∵22222222(1)(21)(1)2OP x y a a y y a a y y y a y ay =+=--+=--++=-+．∴在条件02y ≤≤下，22(1)2OP a y ay =-+的最大值可作如下分析：(l)当01a <<时，∵222(1)2(1)2224OP a y ay a a =-+≤-⨯+⨯=，∴2y =时，max |2OP =；（2）当1a >时，∵2222(1)2(1)()11a a OP a y ay a y a a =-+=--+--，∴在221a a ≤-时，即在2,1aa y a ≥=-，max |1a OP a =-；∵在12a <<时时最大值在2y =取得，∴max |2OP =．综合上述：当02a <<且1a ≠时，max |2OP =；当2a ≥时max |1aOP a =-．。
全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分） 1、选C.解：关于t 的方程02=++c bt t 最多有两不同的解n m ,，从而n x f m x f ==)(,)(，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由已知，只有1)(=x f 有三个不同的实数解.不妨设54321x x x x x <<<<，由于)(x f 关于直线2=x 对称，必有23=x ，451=+x x ，442=+x x ，故12345,,,,,()x x x x x f x x x x x ++++则＝81|210|1)10(=-=f .2、选D.解：根据题意，令 21kn m += （1）201l n m += （2）其中.k l l k m >均为正整数，且、、 (1)),2(10-⨯得 .39)10(,9102==-=--kl klkm m m m 即于是有以下三种可能：I .4,2,3,110,9===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-l k m m m kl k经检验这组符合条件，此时.4=n II .,0,0,,910,1矛盾为任意正整数===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-n l k m m m kl kIII .,310,3该方程组无正整数解⎪⎩⎪⎨⎧=-=-kl k m m 综上所述，n 只能取4. 3、选A.解：对于正整数x ，2x 被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，…；2x 被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，…. 所以，22xx -被7除所得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个x 的值使22xx -能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件. 4、选A.解：以P 为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点P 到各面距离之和等于正四面体的高.四面体每个面三角形的高 h ==，从而 3h =， 于是正四面体的高 2H == . 5、选B.解：设双曲线的方程为),0,0(12222>>=-b a b y a x 半焦距为c ，则.222b a c +=由解得a B F A F 222==，这表明AB ⊥x 轴，又易知此时ab B F A F 222==，结合.222b a c +=解得双曲线的离心率.3==ace 6、选D.解：欲使方程有实根，应有240m n -≥.如上表，适合条件的m,n 共有19组，故36=P . 二、填空题（每小题9分，共54分） 1、 1 .解：由 )()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 得 )0()0(2f f =，而0)0(≠f ，所以1)0(=f ， 又)()()0(x f x f f ⋅-=，故1)0()2010()2009()1()0()1()2009()2010(4021==⋅⋅⋅--⋅-f f f f f f f f .21 .解：不妨设 0a b c d ≥≥≥>，则由条件，22224,8a b c d a b c d +++=+++=，于是，22224,8b c d a b c d a ++=-++=-. 由 Cauchy 不等式，22223()()b c d b c d ++≥++， 即 223(8)(4)a a -≥-，2220a a --≤，所以01a <≤， 因此 a1（此时13b c d ===-）. 3、[10,18] . 解：由条件，有2446a b a b a b a b -≥⎧⎪-≤⎪⎨+≥⎪⎪+≤⎩……①，而 (2)42f a b -=-，所以问题即求在条件①下目标函数42a b -的最值. 经从图像分析可知，由24a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点A （3，1）为(2)f -的最小值，即432110⨯-⨯=；由46a b a b -=⎧⎨+=⎩得到的交点B （5，1）为(2)f -的最大值，即452118⨯-⨯=. 因此，10(2)18f ≤-≤.4、,1)2. 解：设点(cos ,sin )P a b θθ，则 (cos ,sin ),(cos ,sin )OP a b AP a a b θθθθ==-. 于是，0OP AP ⋅=2222cos (cos 1)cos cos (cos )(sin )0sin 1cos b a a a b a θθθθθθθθ-⇒-+=⇒=-=+，所以 211cos e θ=+. 由 cos (1,1)θ∈-，知 1cos (0,2)θ+∈.故 21(,1)2e ∈， 即,1)2e ∈. 5、 64 .解：令2x =-，得 064a =. 已知等式两边同时对x 求导，得251112126(22)(22)2(2)12(2)x x x a a x a x +-+=+++++.再令1x =-，由上式得12122120a a a +++=.因此 01212021264a a a a a ++++==.6、 160 .解：设至少经过3点的直线有k 条，每条上的点数从多到少依次为：则由已知，有 12222211(1)(1)(1)487ka a a C C C C -+-++-=-=. 又由 21312ia C -≥-= 知 3k ≤. 当1k =时 128a C = 无解； 当2k =时 12229a a C C +=，解得 124,3a a ==； 当3k =时 12322210a a a C C C ++= 无解. 故有1条直线过其中4点，1条过3点， 即三角形个数为 3331143160C C C --=.三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：由112(32)(1)0(2)n n n na n a n a n +--+++=≥，得11(2)(1)(2)n n n n n a a n a a +--=+-，于是 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=-.……………………5分 从而 11111()22n n n n n a a a a n +-+-=- =1211()12n n n n a a n n --+⋅--=21131122n na a n n +⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪-⎝⎭=12n +. ……………………10分 令 []11(1)2n n a xn y a x n y +-+=--+， 则 1111()222n n a a xn x y +-=+-比较系数，得x=1,y=0。
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11. （本小题满分 20 分）
设 a, b, c R , 且 a b c 3 ，求
a4 b4 c4 的最小值． b2 c c2 a a 2 b
2015 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 第 2页（共 4页）
12. （本小题满分 25 分） 如图，已知 PA 、 PB 是由圆 O 外一点 P 引出的两条切线， M 、 N 分别是线段 AP 、 AB 的中点， 点 E 在 M 与 N 之间，PC 与圆 O 交于点 D ， 延长 ND 与 PB 交于点 Q ． 直线 MN 与圆 O 交于点 C 、E ， 求证：四边形 MNQP 为菱形．
2015 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
（考试时间：2015 年 5 月 17 日上午 8:30—10:30） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 考试座位号： 满分： 150 分
题号 得分
填空题
11
12
13
总分
注意：1. 所有答题均写在密封线右边，写在其他纸上一律无效； 2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记． 一、填空题 (本大题共 10 小题，每小题 8 分，共 80 分，请将答案填写在下面答题卡相应的横线上) 所在学校：
１ห้องสมุดไป่ตู้ 6．
1．函数 y 答题不要超过此线 2． 6
11
； 2． ； 7．
； 3. ； 8.
； 4. ； 9.
； 5． ； 10．
； ；
2 x 2 3 x 2 x 2 x 的最小值是
1 10 2 9 10 C11 6 C11 6 C11 6 1 被 8 除所得余数是_______ .
3．已知实数 x, y , z 满足 x
y 2 z 4, xy yz zx 2 ，则 z 的取值范围是_______．
1 (n 1) n n n 1
（ n N ） ，其前 n 项和为 S n ，则在
4．已知数列 an 的通项公式为 a n
准考证号：
密封线
数列 S1 ， S 2 ，… ， S 2015 中，有理数项共有 5．四面体 A BCD 中， AB CD 5, AC BD 的外接球半径为
2
项.
34, AD BC 41 ，则四面体 A BCD
.
性别：
6 ． 函 数 y ax bx c 的 图 像 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 ， a, b, c 互 异 ， 且 都 在 集 合
b2 cos 2 B , 则 B 的取值范 ac cos A cos C
姓名：
9 ．设复数 z1 (2 a ) (1 b) i , z2 (3 2a ) (2 3b) i , z3 (3 a ) (3 2b) i , 其中 a, b R ， 当 z1 z2 z3 取得最小值时， 3a 4b __________.
2015 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 第 1页（共 4页）
10．设正整数 n 500 ，具有如下性质：从集合 1，， 2 ， 500 中任取一个元素 m， m 整除 n 的概 率是
1 ，则正整数 n 的最大值是 100
.
二、解答题 (本大题共 3 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
（第 12 题图）
2015 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 第 3页（共 4页）
13. （本小题满分 25 分） 动点 P 在椭圆 x a ( y 1) a ( a 0) 上移动时，求连结原点 O 和点 P 所得线段长的最大值.
2 2
2015 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题 第 4页（共 4页）
A {n || n | 5, n Z } 中取值，则这些抛物线中通过点 (0， 1) 的有_______个.
7． ABC 内有 2015 个点，加上三个顶点，共有 2018 个点．把这些点连线，形成互不重叠的小三 ． 角形，则一共可以形成小三角形的个数是 8．在锐角 ABC 中， A, B, C 的对边长依次为 a, b, c ，若 围为 ．