2020年河南省新乡市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)

2020 年河南省新乡市高考数学三模试卷（理科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. （1+i）（2+i）（3+i）=（ ）A. -10iB. 10iC. -10D. 102. 已知集合 A={x|x2-4x＜5}，则（ ）A. -1.2∈AB. 30.9∉AC. log230∈AD. A∩N={1，2，3，4}3. 设向量 ， 是平面内的一组基底，若向量 =-3 与 =共线，则 λ=（ ）A.B.C. -3D. 34. 若 f（x）=a-2+asin2x 为奇函数，则曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线的斜率为（ ）A. -2B. -4C. 2D. 45. 已知函数 f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当 x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4，则关于 x 的不等式 f（x）＜-1 的解集为（ ）A. （-∞，-1） B. （-∞，3）C. （-1，3）D. （-1，+∞）6. 某图形由一个等腰直角三角形，一个矩形（矩形中的阴影部分为半圆），一个半圆组成，从该图内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A.B.C.D.7. 如图，过双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的右焦点 F 作 x 轴的垂线交 C 于 A，B 两点（A 在 B 的上方），若 A，B 到 C 的一条渐 近线的距离分别为 d1，d2，且 d2=4d1，则 C 的离心率为（ ）A.B.C.第 1 页，共 15 页D.8. 若钝角 α 满足，则 tanα=（ ）A.B.C.D.9. 某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为 2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A.B. 或 6C.D. 或10. 设，，则（）A.B.C.D.11. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c．已知 a∈（ ， ），b=1，且 abcosC+ccosA=abc，则 cosB 的取值范围为（ ）A. （ ， ）B. （ ， ）C. （0， ）D. （0， ）12. 在直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+1 与抛物线 C：x2=4y 交于 A，B 两点，若∠AOB=120°，则 k= （）A.B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 某校有高一学生 n 名，其中男生数与女生数之比为 6：5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为 的样本，若样本中男生比女生多 12 人，则 n=______．14. 一个球的内接正方体的表面积为 32，则该球的体积为______．15. 已知 a＞0，则当的展开式的常数项（即不含 x 的项）取得最小值时，a=______．16. 某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过 30 亩，投入资金不超过 25 万元，假设种植莴 笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价莴笋 5 吨1 万元0.5 万元西红柿4.5 吨 0.5 万元0.4 万元那么，该农户一年种植总利润（总利润＝总销售收入-总种植成本）的最大值为__________．第 2 页，共 15 页三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在数列{an}中，a1=1，且 an，2n，an+1 成等比数列．（1）求 a2，a3，a4； （2）求数列{a2n}的前 n 项和 Sn．18. 以下是新兵训练时，某炮兵连 8 周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：（1）计算该炮兵连这 8 周中总的命中频率 p0，并确定第几周的命中频率最高；（2）以（1）中的 p0 作为该炮兵连甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发 射 5 次，记命中的次数为 X，求 X 的方差；（3）以（1）中的 p0 作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹 同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过 0.99．(lg 0.4＝-0.398)19. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，且 PA=AB=BC=2，．（1）证明：三棱锥 P-ABC 为鳖臑；（2）若 D 为棱 PB 的中点，求二面角 D-AC-P 的余弦值．注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的棱锥．第 3 页，共 15 页20. 已知椭圆的短轴长为 2，且椭圆的一个焦点在圆(x-2)2+(y-3)2＝18 上．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的焦距小于 4，过椭圆的左焦点 F 的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，若，求|AB|．21. 已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若 a≥0，不等式 x2f（x）+a≥2-e 对 x∈（0，+∞）恒成立，求 a 的取值范围．22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为，（α 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐标为．（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）过 A 作曲线 C 的切线，切点为 M，过 O 作曲线 C 的切线，切点为 N，求 ．第 4 页，共 15 页23. 已知函数 f（x）=| |+|x+2a|．（1）若 a=1，证明：f（|x|）≥5； （2）若 f（1）＜5a2，求 a 的取值范围．第 5 页，共 15 页1.答案：B-------- 答案与解析 --------解析：解：（1+i）（2+i）（3+i）=（1+3i）（3+i）=10i． 故选：B． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：C解析：解：A={x|x2-4x＜5}={x|-1＜x＜5}， ∵0＜log230＜log232=5， ∴log230∈A 故选：C． 根据元素与集合的关系进行判断 本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．3.答案：B解析：【分析】 本题主要考查向量共线的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力，属基础题．由题得存在 μ∈R，使得，得到关于 μ，λ 的方程组，解之即得解．【解答】解：∵ 与 共线，∴存在实数 μ∈R，使得，即，故 μ=-3，-λμ=-1，∴．故选：B．4.答案：D解析：【分析】 本题考查函数的奇偶性的定义和导数的运用：求切线的斜率，属于基础题． 由奇函数的定义可得 f（0）=0，求得 a=2，求得 f（x）的导数，可得在 x=0 处的切线的斜率． 【解答】 解：f（x）=a-2+asin2x 为奇函数， 可得 f（0）=0，即 a-2=0，可得 a=2，第 6 页，共 15 页则 f（x）=2sin2x， ，为奇函数，符合题意， 其导数为 =4cos2x， 则曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线的斜率为 k=4cos0=4． 故选：D．5.答案：D解析：【分析】 本题考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．根据条件可得出 f（-1）=-1，根据 f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由 f（x）＜-1 得出 f（x）＜f（-1），从而 得到 x＞-1，即得出原不等式的解集． 【解答】 解：∵x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4； ∴f（-1）=-1； ∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减； ∴由 f（x）＜-1 得，f（x）＜f（-1）； ∴x＞-1； ∴不等式 f（x）＜-1 的解集为（-1，+∞）． 故选：D．6.答案：C解析：解：设矩形的长为 2a，则宽为 a，∴该图形的面积为．阴影部分的面积为．故该点取自阴影部分的概率为 P=．故选：C． 设矩形的长为 2a，则宽为 a，分别求出图形面积及阴影部分面积，再由测度比是面积比得答案． 本题考查几何概型概率的求法，正确求出阴影部分的面积是关键，是基础题．7.答案：B解析：【分析】 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平和分析推理能力，属于简单题． 先求出 d1，d2，化简，即得离心率的值． 【解答】解：易知 A，B 的坐标分别为（c， ），（c，- ），图中对应的渐近线为 bx-ay=0，则 d1= ，d2= ， ∵d2=4d1，∴3c=5b，第 7 页，共 15 页∴9c2=25（c2-a2），5a=4c， ∴e= = ． 故选：B．8.答案：D解析：解：∵钝角 α 满足，∴tanα＜0，且=，求得 tanα=2- ， 故选：D． 由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得 tanα 的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基 础题．9.答案：D解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左边为直三棱柱 ABC-EFG， 右边为四棱锥 P-BCGF（或三棱锥 P-CFG 或三棱锥 P-BCF），则或．故选：D． 由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左边为直三棱柱 ABC-EFG，右边为四棱锥 P-BCGF（或 三棱锥 P-CFG 或三棱锥 P-BCF），再由棱柱与棱锥的体积公式求解． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．10.答案：D解析：【分析】 本题考查对数值的求法，考查计算能力，属基础题． 把已知条件表示为，lg2，lg3 的方程，求解即可． 【解答】 解：∵a=lg6=lg2+lg3，b=lg20=1+lg2，∴，故选 D．第 8 页，共 15 页11.答案：A解析：解：∵b=1，且 abcosC+ccosA=abc，∴abcosC+bccosA=ac，即：ab•+bc•=ac，∴b2=ac=1，从而 c= ，∴cosB==，∵a∈（ ， ），∴当 a= 时，cosB= ；当 a= 时，cosB= ，又 f（x）=x+ 在（ ，2）上单调递增，故 cosb 的取值范围为（ ， ）． 故选：A． 利用余弦定理化简已知等式可得 c= ，可求 cosB==，结合范围 a∈（ ， ），根据 f（x）=x+ 在（ ，2）上单调递增，可求 cosb 的取值范围．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了函数的单调性，考查了转化思想和函数思想， 属于中档题．12.答案：A解析：解：y=kx+1 与抛物线 C：x2=4y 联立，可得 x2-4kx-4=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得 x1x2=-4，x1+x2=4k，kOA= = ，kOB= = ，由题意可得 tan60°=|=4| |= ，即有（x1+x2）2-4x1x2=27，可得 16k2+16=27，解得 k=± ．故选：A． 联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及两直线的夹角公式，化简整理， 计算可得所求值． 本题考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及两直线的夹角公式，考查 化简运算能力，属于中档题．第 9 页，共 15 页13.答案：1320解析：解：∵样本中男生比女生多 12 人，∴（ - ）× =12，即=12，得 n=1320， 故答案为：1320． 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．14.答案：解析：解：设正方体棱长为 a，则 6a2=32，解得 a= ，故球的半径 R= =2，∴球的体积 V= = ．故答案为 ． 求出正方体的棱长，得出球的半径，再计算球的体积． 本题考查了棱柱与球的位置关系，几何体的面积与体积计算，属于中档题．15.答案：解析：解：已知 a＞0，则=（a3-x）[1+ + + • +…+ • ]的展开式的常数项为 a3-9a， 令 f（a）=a3-9a，则 f′（a）=3a2-9，则当 a= 时，f′（a）=0，f（a）=a3-9a 取得最小值， 故答案为： ． 利用二项展开式的通项公式，求得展开式的常数项为 f（a）=a3-9a，再利用导数求函数 f（a）的最 小值，可得结论． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，利用导数求函数的最值，属于中档题．16.答案：43 万元解析：【分析】 本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和目标函数，同时考查了作图的能力，属于 基础题． 设种植莴笋和西红柿的种植面积分别为 x，y 亩，种植总利润为 z 万元，然后根据题意建立关于 x 与 y 的约束条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出最值时的 x 和 y 的值即可． 【解答】 解：设种植莴笋和西红柿的种植面积分别为 x， y 亩，种植总利润为 z 万元，由题意可知，第 10 页，共 15 页一年的种植总利润为z=0.5×5x+0.4×4.5y-x-0.5y=1.5x+1.3y，作出约束条件如下图阴影部分，由,解得A（20，10），平移直线1.5x+1.3y=0，当过点A（20，10）时，一年的种植总利润为z取最大值43万元．故答案为43万元．17.答案：解：（1）在数列{a n}中，a1=1，且a n，2n，a n+1成等比数列，可得4n=a n a n+1，即有a2=4；a3==4，a4==16；（2）由4n=a n a n+1，4n+1=a n+1a n+2，可得=4，即有数列{a n}的偶数项以4为首项，公比为4的等比数列，可得数列{a2n}的前n项和S n==（4n-1）．解析：（1）由等比数列中项性质，可令n=1，2，3，计算可得所求值；（2）由数列的递推式可得数列{a n}的偶数项以4为首项，公比为4的等比数列，由求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列中项性质和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.答案：解：（1）这8周总命中炮数为40+45+46+49+47+49+53+52=381．总未命中炮数为32+34+30+32+35+33+30+28=254，∴p0==0.6．∵＞，∴根据表中数据易知第8周的命中率最高．（2）由题意可知X～B（5，0.6），则DX=5×0.6×（1-0.6）=1.2．（3）由1-（1-p0）n＞0.99，即1-0.4n＞0.99，得0.4n＜0.01，∴n＞log0.4 0.01==-=≈5.025，故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99．解析：（1）根据古典概型概率公式可得；（2）由题意可知X～B（5，0.6），根据二项分布的方程公式可得．（3）由1-（1-p0）n＞0.99，解得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．19.答案：（1）证明：∵AB=BC=2，，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，△ABC为直角三角形．∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，PA⊥AB，△PAB，△PAC均为直角三角形．∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，△PBC为直角三角形．故三棱锥P-ABC为鳖臑．（2）解：以B为坐标原点，建立空间直角坐标系B-xyz，如图所示，则A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，0，1），则，．设平面ACD的法向量为，则令x=1，则．易知平面PAC的一个法向量为，则．由图可知二面角D-AC-P为锐角，则二面角D-AC-P的余弦值为．解析：（1）证明AB⊥BC，PA⊥BC，PA⊥AB，即可证明BC⊥平面PAB．说明△PBC为直角三角形．推出三棱锥P-ABC为鳖臑．（2）以B为坐标原点，建立空间直角坐标系B-xyz，求出平面ACD的法向量，平面PAC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D-AC-P的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：（1）由题意可得2b=2，即b=1，∵椭圆的一个焦点在圆（x-2）2+（y-3）2=18上，当y=0时，解得x=-1或x=5，∴c=1或c=5，当c=1时，a2=b2+c2=2，此时椭圆方程为+y2=1，当c=5时，a2=b2+c2=26，+y2=1，（2）椭圆的焦距小于4，则2c＜4，则c＜2，故c=1，此时椭圆方程为+y2=1，此时椭圆的左焦点F（-1，0），设直线l的方程为x=my-1，由，消x可得（m2+2）y2-2my-1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=，①，y1y2=-，②∵，∴（-1-x1，-y1）=3（x2+1，y2），∴y1=-3y2，③，由①②③可得m2=1，∴|AB|=•=•=•=．解析：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．（1）由题意可得b=1，再根据椭圆的一个焦点在圆（x-2）2+（y-3）2=18上可得c=1或c=5，分类讨论，即可求出椭圆方程，（2）由题意可得椭圆方程为+y2=1，此时椭圆的左焦点F（-1，0），设直线l的方程为x=my-1，根据韦达定理，以及向量的关系可得m2=1，再根据弦长公式即可求出．21.答案：解：（1）∵函数，∴x＞0，则g（x）=，．若a≤-，∵x＞1，∴ln x＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，若a＞-，令g′（x）=0，得x=，当1＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成立，∴x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，令h′（x）=0，得x=e a-1，当x∈（0，e a-1）时，h′（x）＜0，当x∈（e a-1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）的最小值为h（e a-1）=（a-1）e a-1+a+e-2-ae a-1=a+e-2-e a-1，令t（a）=a+e-2-e a-1，则t′（a）=1-e a-1，令t′（a）=0，得a=1，当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，当a∈[1，+∞）时，t′（a）0，t（a）在[1，+∞）上单调递减，∴当a∈[0，1）时，h（x）的最小值为t（a）≥t（0）=e-2-，当a∈[1，+∞）时，h（x）的最小值为t（a）=a+e-2-e a-1≥0=t（2），∴a的取值范围是[0，2]．解析：本题考查导数的综合应用，考查推理能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．（1）x＞0，．利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．（2）推导出x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，由此利用导数性质，结合分类讨论思想能求出a的取值范围．22.答案：解：（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，即x2+y2-4x-6y+12=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0（2）点A的极坐标为．所以点A的极坐标为A（0，3），|AC|=2，|OC|==，∴|AM==，|ON|===2，∴==2．解析：（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，即x2+y2-4x-6y+12=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0（2）利用勾股定理可得|AM|，|ON|，再求比值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）证明：若a=1，则，f（|x|）=+1+|x|+2=+|x|+3≥2+3=5，当且仅当x=±1时，等号成立，从而f（|x|）≥5（2）由f（1）＜5a2，得|a+1|+|1+2a|＜5a2，当a≤1时，-3a-2＜5a2，即5a2+3a+2＞0恒成立，则a≤-1；当-1＜a＜-时，-a＜5a2，则-1＜a＜-；当a≥-时，3a+2＜5a2，则-≤a或a＞1，综上，a的取值范围为（-∞，-）∪（1，+∞）解析：（1）利用基本不等式证明f（|x|）≥5；（2）即解不等式|a+1|+|1+2a|＜5a2，再利用分类讨论法解不等式得解．本题主要考查基本不等式，考查利用零点分类讨论法解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．。