函数单调性与导数说课课件
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函数的单调性与导数 课件
②若 k＝1 时，1k－1＝0，f′(x)≥0 恒成立，
所以，k＝1 时单调增区间为(－1，＋∞)．
③若 k＞1 时，1k－1∈(－1,0)，当 x∈(－1，1k－1)时，f′(x) ＞0，当 x∈(1k－1,0)时，f′(x)＜0，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x) ＞0， 所以，k＞1 时的单调增区间为(－1，1k－1)，(0，＋∞)； 单调减区间为(1k－1,0)．
由
f′ (x)＜0
得
x＜
2， 2
又 x∈(0，＋∞)，
所以函数
f(x)的单调递减区间为0，
2 2
.
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
f′(x)＝exxx－－22－2 ex＝exx－x－232.
因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以 ex＞0，(x－2)2＞0.
由 f′(x)＞0 得 x＞3， 所以函数 f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 由 f′(x)＜0 得 x＜3，
综上所述：当 k＝0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，
单调递减区间为(0，＋∞)；
当 0＜k＜1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(1k－1， ＋∞)，单调递减区间为(0，1k－1)； 当 k＝1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)；
当 k＞1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1，1k－1)，(0，＋ ∞)，单调递减区间为(1k－1,0)．
即函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为(0， ＋∞)．
(2)当 k≠0 时，令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝1k－1， ①若 0＜k＜1 时，1k－1＞0，当 x∈(－1,0)时，f′(x)＞0，当 x∈(0，1k－1)时，f′(x)＜0，当 x∈(1k－1，＋∞)时，f′(x) ＞ 0， 所以，0＜k＜1 时的单调增区间为(－1,0)，(1k－1，＋∞)； 单调减区间为 (0，1k－ 1)．
所以，k＝1 时单调增区间为(－1，＋∞)．
③若 k＞1 时，1k－1∈(－1,0)，当 x∈(－1，1k－1)时，f′(x) ＞0，当 x∈(1k－1,0)时，f′(x)＜0，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x) ＞0， 所以，k＞1 时的单调增区间为(－1，1k－1)，(0，＋∞)； 单调减区间为(1k－1,0)．
由
f′ (x)＜0
得
x＜
2， 2
又 x∈(0，＋∞)，
所以函数
f(x)的单调递减区间为0，
2 2
.
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
f′(x)＝exxx－－22－2 ex＝exx－x－232.
因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以 ex＞0，(x－2)2＞0.
由 f′(x)＞0 得 x＞3， 所以函数 f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 由 f′(x)＜0 得 x＜3，
综上所述：当 k＝0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，
单调递减区间为(0，＋∞)；
当 0＜k＜1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(1k－1， ＋∞)，单调递减区间为(0，1k－1)； 当 k＝1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞)；
当 k＞1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－1，1k－1)，(0，＋ ∞)，单调递减区间为(1k－1,0)．
即函数 f(x)的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为(0， ＋∞)．
(2)当 k≠0 时，令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝1k－1， ①若 0＜k＜1 时，1k－1＞0，当 x∈(－1,0)时，f′(x)＞0，当 x∈(0，1k－1)时，f′(x)＜0，当 x∈(1k－1，＋∞)时，f′(x) ＞ 0， 所以，0＜k＜1 时的单调增区间为(－1,0)，(1k－1，＋∞)； 单调减区间为 (0，1k－ 1)．
函数的单调性与导数说课课件
知识目标：
结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单 调性与导数的关系. 能力目标：
能够利用导数研究函数的单调性，并在探索过
程中培养学生的观察、分析、概括能力． 情感目标：
通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真
分析、严谨论证的良好思维习惯,体会数学之美，
从而更加热爱数学，热爱生活.
3、重点与难点：
板书设计
3.3.1函数的单调性与导数
一、函数的单调性与导数 正负的关系 二、知识应用 例1
例3
课堂练习：
三、课堂小结：
例2
四、布置作业：
教学评价
在教学过程中，实现了学生积极参与的主
体地位和教师引导探索的主导作用.以问题为主
线，不断地探究，进而归纳，总结得出结论，
这是一个思维不断提升的过程.在这个过程中，
2.函数 y = f ( x)的图象如图所示， 试画出导函数 f ( x ) 图象
ห้องสมุดไป่ตู้的大致形状.
【设计意图】
通过练习，使学生更好地理解和掌握函数的 单调性与导数之间的关系，从而使所学知识得 到进一步的熟练和巩固.
第五环节
归纳小结 加深理解
课堂小结 【问题3】想一想本节课你有些什么收获呢？
【设计意图】
3
(2) f (x)= sin x-x (x (0,π ))
3
(3) f (x)=x- ln x (4) f (x)=2 x -6 x+7
【设计意图】
通过例2，让学生在具体的应用中深化对结 论的理解，帮助学生明确解题步骤及规范性.
趣味数学：如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积
相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与 各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单 调性与导数的关系. 能力目标：
能够利用导数研究函数的单调性，并在探索过
程中培养学生的观察、分析、概括能力． 情感目标：
通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真
分析、严谨论证的良好思维习惯,体会数学之美，
从而更加热爱数学，热爱生活.
3、重点与难点：
板书设计
3.3.1函数的单调性与导数
一、函数的单调性与导数 正负的关系 二、知识应用 例1
例3
课堂练习：
三、课堂小结：
例2
四、布置作业：
教学评价
在教学过程中，实现了学生积极参与的主
体地位和教师引导探索的主导作用.以问题为主
线，不断地探究，进而归纳，总结得出结论，
这是一个思维不断提升的过程.在这个过程中，
2.函数 y = f ( x)的图象如图所示， 试画出导函数 f ( x ) 图象
ห้องสมุดไป่ตู้的大致形状.
【设计意图】
通过练习，使学生更好地理解和掌握函数的 单调性与导数之间的关系，从而使所学知识得 到进一步的熟练和巩固.
第五环节
归纳小结 加深理解
课堂小结 【问题3】想一想本节课你有些什么收获呢？
【设计意图】
3
(2) f (x)= sin x-x (x (0,π ))
3
(3) f (x)=x- ln x (4) f (x)=2 x -6 x+7
【设计意图】
通过例2，让学生在具体的应用中深化对结 论的理解，帮助学生明确解题步骤及规范性.
趣味数学：如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积
相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与 各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
函数的单调性与导数优秀ppt课件
①当1<x<4时，f’(x)>0; ②当x>4,或x<1时，f’(x)<0; ③当x=4,或x=1时，f’(x) =0. 试画出函数f(x)图象的大致形状。
y y=f(x)
O1
4
x
7/20/2024
例2 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 1 的单调区间
解： f '(x) 6x2 6x 12
7/20/2024
例1
设 f '( x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '( x)的图象如
c 右图所示,则 y f ( x) 的图象最有可能的是( )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '( x)
o 1 2x o 1 2x
(A)
y y f (x)
(B)
o
2x
y y f (x)
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上有单调性。
G 称为单调增（减少）区间
新授 画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y x2
y x3
y1 x
y
y
y
ox
ox
o
x
（-∞，0） （0，+∞）
（- ∞ ，+∞） （-∞，0） （0，,+∞）
为增区间； （4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分
为减区间．
7/20/2024
课堂练习 求下列函数的单调区间。
(1) f (x) x2 2x 3 (2) f (x) x3 3x
y y=f(x)
O1
4
x
7/20/2024
例2 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 1 的单调区间
解： f '(x) 6x2 6x 12
7/20/2024
例1
设 f '( x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '( x)的图象如
c 右图所示,则 y f ( x) 的图象最有可能的是( )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '( x)
o 1 2x o 1 2x
(A)
y y f (x)
(B)
o
2x
y y f (x)
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上有单调性。
G 称为单调增（减少）区间
新授 画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y x2
y x3
y1 x
y
y
y
ox
ox
o
x
（-∞，0） （0，+∞）
（- ∞ ，+∞） （-∞，0） （0，,+∞）
为增区间； （4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分
为减区间．
7/20/2024
课堂练习 求下列函数的单调区间。
(1) f (x) x2 2x 3 (2) f (x) x3 3x
函数的单调性与导数说课课件
三、课堂结构
进 递
反思篇 课堂小结，内化知识 实践篇 典例演练，强化应用
层
层
观察篇
归纳篇 归纳结论，揭示本质
操作篇 动手操作，深入探究
观察图形，初步分析
上 螺
升 旋
设问篇 有效设问，引入新课
四、教学媒体
1.借助多媒体，制作课件，提高 课堂效率和学生学习兴趣；通过几何 画板演示 , 使抽象的知识直观化、形 象化.
五、教学过程
（一）有效设问，引入新课
设计意图
利用问题吸引学生，达 到激发学习兴趣的目的.若学 生能说出单调区间，则追问 端点“1”的由来；若学生不 清楚单调性？从而引入新课.
1 如何判断函数 f ( x )=x + x(x ＞0)
(3)教法学法分析
教法
问题引领式 启发式 讨论式 动手操作 自主探究 合作交流
学法
二、教学目标
知识 技能 (1)探索函数单调性与导数正负的关系; (2)会判断函数单调性，求单调区间.
(1)在“分析、实验、讨论、总结”的探究 过程 过程中,发展学生自主学习能力； 方法 (2)强化数形结合思想.
情感 态度 (1)培养学生的探究精神； (2)体验动手操作带来的成功感.
y x 2 ( x 1)
五、教学过程
（四）归纳结论，揭示本质
设计意图
经历上述活动之后， 引导学生对一般情况进 行归纳、总结，得出结 论，教师板书.并解决开 始提出的问题：判断函 1 0)的单 数 (x + ＞ f ( x )= x x 调性，及端点“1”是怎 样产生的？
五、教学过程
（五）典例演练，强化应用 例1. 求函数 f ( x) 3 x 3 3 x 的单调区间. x 变式：求函数 f ( x ) 3e 3 x 的单调区间.
函数的单调性与导数(说课)
05 课程总结
本节课的收获
01
理解了函数的单调性与导数的关系
通过本节课的学习，学生们能够理解函数的单调性与其导数之间的关系，
掌握利用导数判断函数单调性的方法。
02
掌握了求导的基本法则
学生们学会了使用求导的基本法则，如链式法则、乘积法则、商的求导
法则等，能够熟练地求出函数的导数。
03
增强了数学思维能力
04 导数与函数的单调性
导数与单调性的关系
01
02
03
导数大于零
函数在该区间内单调递增。
导数小于零
函数在该区间内单调递减。
导数等于零
函数可能存在拐点或极值 点。
单调性判定定理的应用
判断函数单调性
通过求导数并分析导数的 正负来判断函数的单调性。
确定极值点
通过导数为零的点来确定 可能的极值点，并结合单 调性判断是否为极值点。
通过本节课的学习，学生们不仅掌握了相关的数学知识，更重要的是培
养了他们的数学思维能力，如逻辑推理、抽象思维和归纳演绎等。
课程中的不足与改进
部分学生对于求导法则的运用还不够熟练
在练习过程中，发现部分学生对于求导法则的运用还不够熟练，需要在课后加强练习和巩固。
部分学生对单调性与导数的关系理解不够深入
在讨论单调性与导数的关系时，发现部分学生对其理解不够深入，需要在后续课程中加强这方面的讲解和练习。
详细描述
基本初等函数的导数公式包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三 角函数的导数。复合函数的导数法则涉及到内外函数的导数计算，以及链式法 则的应用。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
《函数单调性与导数》课件
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
在运动学中，导数可以用来描述 物体的速度和加速度。例如，自 由落体运动中，物体的速度和加
速度可以通过求导得到。
热传导
在热力学中，导数可以用来描述 热量传递的过程。例如，通过求 导得到温度场的变化率，可以帮
助我们理解热传导的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描 述物体的应力应变关系。例如， 通过求导得到物体的应力分布和 应变状态，可以帮助我们理解物
调性
利用导数的符号变化，确定函数 在某区间内的增减性
通过求解一阶导数的不等式，判 断函数的单调性
利用导数判断函数单调性的方法
直接求导
对于已知函数，直接求导并分 析导数的符号变化
利用导数的几何意义
通过导数的几何意义，绘制函 数图像，直观判断函数的单调 性
构造新函数
通过构造函数并求导，利用导 数判断新函数的单调性来研究 原函数的单调性
成本效益分析
导数可以用来分析企业的成本效益，从而制定最优的经营策略。例如，通过求导找到最小 化成本或最大化的利润点，可以帮助企业制定合理的价格和产量策略。
投资组合优化
在金融领域，导数可以用来优化投资组合，以实现最大的收益或最小的风险。例如，通过 求导找到最优的投资组合比例，可以帮助投资者实现资产配置的目标。
详细描述：导数的计算方法包括定义法、求导公式和法则、复合函数求导、隐函数求导、参数方程确定的函数求导等。
03
利用导数判断函数单调性
导数与函数单调性的关系
导数大于零，函数单 调递增
导数等于零，函数可 能为极值点或拐点
导数小于零，函数单 调递减
单调性判定定理的推导
基于极限的导数定义，通过分析 函数在某区间的变化率来判断单
高中数学PPT课件-函数的单调性与导数
新知探究
解 当1<x<4时，f′ (x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增； 当x>4或x<1时，f′ (x)<0，可知f(x)在此区间内单调递减； 当x=4或x=1时，f′ (x)=0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
综上，函数f(x)图像的大致形状如右图所示.
y y=f(x)
O1
4
x
课堂练习
讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性. 解:f ' (x)=3x2-12x+9
令3x2-12x+9>0, 解得x>3或x<1, 因此,当 x (,1) 或 x (3, ) 时， f(x)是增函数. 令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当 x (1, 3) 时, f(x)是减函数.
因此,函数 f x = x3 + 3x 在x R 上单调递增 ,如图1.3 - 51所示.
y
fx x3 3x
o x
图1.3 51
新知探究
2因为f x = x2 - 2x - 3, 所以f ' x = 2x - 2 = 2x - 1. 当f ' x > 0,即x > 1时,函数f x = x2 - 2x - 3单调递增; 当f ' x < 0,即x < 1时,函数f x = x2 - 2x - 3单调递减. 函数f x = x2 - 2x - 3的图象如图1.3 - 52所示.
y
o
x
新知探究
例4 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
1 f x = x3 + 3x; 2 f x = x2 - 2x - 3 ; 3 f x = sinx - x, x 0, π ; 4 f x = 2x3 + 3x2 - 24x + 1.
函数单调性说课稿PPT(共25张PPT)
19
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…
设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
14
2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
…
-4
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-2
-1
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2
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4
…
…
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9
4
1
0
1
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16
…
设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
14
2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
函数的单调性与导数-说课.ppt
教法、 三、教法、学法分析
1．教学方法的选择： ．教学方法的选择： 本节课以“问题解决”贯穿始终，采用发现式、 本节课以“问题解决”贯穿始终，采用发现式、 启发式的教学方法。通过问题激发学生求知欲， 启发式的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使 学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、 学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、 分析和解决问题，总结规律， 分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学 精神. 精神 2.自主探究法 自主探究法 让学生自己发现问题，自己归纳总结， 让学生自己发现问题，自己归纳总结，自 己评 析解题对错， 析解题对错，从而提高学生的 参与意识和数学表达 能力. 能力 3.教学手段的利用： 教学手段的利用： 教学手段的利用 本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂 容量，通过数形结合， 表并用， 容量，通过数形结合，图、表并用，使抽象的知识 直观化，形象化，以促进学生的理解. 直观化，形象化，以促进学生的理解
h
的图象, 的图象 图(2)表示高台跳水运 表示高台跳水运 h(t) = −4.9t + 6.5t +10
2
①运动员从起跳到 (1) 最高点, 最高点,离水面的高度h 的增加而增加, 随时间t 的增加而增加, h(t)是增函数 是增函数. 即h(t)是增函数.相应 地, v(t ) = h′(t ) > 0.
四、说教学过程
（一）回顾与思考
提问引入： 提问引入： 1．判断函数的单调性有哪些方法？ ．判断函数的单调性有哪些方法？ 引导学生回答“定义法” 图象法” （引导学生回答“定义法”，“图象法”。） 2．比如，要判断 f(x)=x2 的单调性，如何进行？ ．比如， 的单调性，如何进行？ 引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。） （引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。） 3．还有没有其它方法？ ．还有没有其它方法？ 如果遇到函数：判断单调性呢？ 如果遇到函数：判断单调性呢？ 让学生短时间内尝试完成，结果发现用“定义法” （让学生短时间内尝试完成，结果发现用“定义法”作差 后要判断差的正负麻烦， 图像法” 图像很难画出 后要判断差的正负麻烦，用“图像法”,图像很难画出 来。） 4．有没有捷径？ （学生疑惑，由此引出课题） ．有没有捷径？ 学生疑惑，由此引出课题）
函数的单调性与导数(课堂PPT)
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
5
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? 3.3.1 (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然 可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象 时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法 呢？
f′(x)＝exxx－－22)－)2 ex＝exx－x－23)2).
因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
3.3.1
26
3.3.1
4．求下列函数的单调区间． (1)y＝xex；(2)y＝x3－x. 解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)， 令y′>0得x>－1. 令y′<0得x<－1， 因此y＝xex的单调递增区间为(－1，＋∞)， 递减区间为(－∞，－1)．
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在D上是增函数或减函数， D 称为单调区间
3
3.3.1
定义法 判断函数单调性有哪些方法？
图象法
比如：判断函数 y x 2 的单调性。
y
如图：
函数在 ( , 0)上为__减__函数，
在(0, )上为__增__函数。 o
y x2
x
4
3.3.1
2.怎样用定义判断函数的单调性？
32
3.3.1
练 3 已知 f′(x)是 f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，
则 f(x)的图象只可能是
()
33
3.3.1
解析 从 f′(x)的图象可以看出，在区间a，a＋2 b内，导数 递增；在区间a＋2 b，b内，导数递减.即函数 f(x)的图象在 a，a＋2 b内越来越陡峭，在a＋2 b，b内越来越平缓. 答案 D
5
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? 3.3.1 (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然 可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象 时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法 呢？
f′(x)＝exxx－－22)－)2 ex＝exx－x－23)2).
因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
3.3.1
26
3.3.1
4．求下列函数的单调区间． (1)y＝xex；(2)y＝x3－x. 解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)， 令y′>0得x>－1. 令y′<0得x<－1， 因此y＝xex的单调递增区间为(－1，＋∞)， 递减区间为(－∞，－1)．
y
y
oa
bx
oa
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若 f(x) 在D上是增函数或减函数， D 称为单调区间
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定义法 判断函数单调性有哪些方法？
图象法
比如：判断函数 y x 2 的单调性。
y
如图：
函数在 ( , 0)上为__减__函数，
在(0, )上为__增__函数。 o
y x2
x
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2.怎样用定义判断函数的单调性？
32
3.3.1
练 3 已知 f′(x)是 f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，
则 f(x)的图象只可能是
()
33
3.3.1
解析 从 f′(x)的图象可以看出，在区间a，a＋2 b内，导数 递增；在区间a＋2 b，b内，导数递减.即函数 f(x)的图象在 a，a＋2 b内越来越陡峭，在a＋2 b，b内越来越平缓. 答案 D
函数的单调性与导数 课件
函数的单调性与导数
知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思考1 观察高台跳水运动员的高度h 随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10的图象及h′(t)＝－9.8t＋6.5的图 象，思考运动员从起跳到最高点，从 最高点到入水的运动状态有什么区别. 答 从起跳到最高点，h随t的增加而增加，h(t)是增函数，h′(t)>0； 从最高点到入水，h(t)是减函数，h′(t)<0.
由于 k≥1x，而 0<1x<1，所以 k≥1. 即 k 的取值范围为[1，＋∞).
(2)若函数 f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1 在区间(1,4)内为减函数，在区间 (6，＋∞)上为增函数，试求实数 a 的取值范围.
解 函数求导得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，令f′(x)＝0得x＝1 或x＝a－1， 因为函数在区间(1,4)内为减函数， 所以当x∈(1,4)时，f′(x)≤0， 又因为函数在区间(6，＋∞)上为增a≤7. 即实数a的取值范围为[5,7].
思考2 观察图中函数f(x)，填写下表
切线的
曲线的 函数的
导数值
倾斜角
斜率
变化趋势 单调性
>0 __>_0_ 锐 角 上升 递增 <0 _<_0__ 钝 角 下降 递减
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上 单调递增 ；
(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上 单调递减 .
类型二 利用导数研究函数的单调性 例2 讨论函数f(x)＝1 ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性.
2
类型三 已知函数的单调性求参数的范围
知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思考1 观察高台跳水运动员的高度h 随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10的图象及h′(t)＝－9.8t＋6.5的图 象，思考运动员从起跳到最高点，从 最高点到入水的运动状态有什么区别. 答 从起跳到最高点，h随t的增加而增加，h(t)是增函数，h′(t)>0； 从最高点到入水，h(t)是减函数，h′(t)<0.
由于 k≥1x，而 0<1x<1，所以 k≥1. 即 k 的取值范围为[1，＋∞).
(2)若函数 f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1 在区间(1,4)内为减函数，在区间 (6，＋∞)上为增函数，试求实数 a 的取值范围.
解 函数求导得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，令f′(x)＝0得x＝1 或x＝a－1， 因为函数在区间(1,4)内为减函数， 所以当x∈(1,4)时，f′(x)≤0， 又因为函数在区间(6，＋∞)上为增a≤7. 即实数a的取值范围为[5,7].
思考2 观察图中函数f(x)，填写下表
切线的
曲线的 函数的
导数值
倾斜角
斜率
变化趋势 单调性
>0 __>_0_ 锐 角 上升 递增 <0 _<_0__ 钝 角 下降 递减
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上 单调递增 ；
(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上 单调递减 .
类型二 利用导数研究函数的单调性 例2 讨论函数f(x)＝1 ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性.
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类型三 已知函数的单调性求参数的范围
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二.教法分析
1．教学方法的选择： 本节课运用“问题解决”课堂教学模式，采用 发现式、启发式的教学方法。通过问题激发学生求 知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指 导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极 探索的科学精神。
2．教学手段的利用： 本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂 容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，
设计意图：让学生初步体会用导数的方法确定函数 单调性的简便。
心得与体会
（引导学生按这一模式进行小结：）
通过这堂课的研究，我明确了
，
我的收获与感受有
我还有疑惑之处是
，
。
五.作业布置
(课本) P93 4， P98 A组 1
六.效果分析
现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转 变，本课从单调性与导数关系的发现到应用都有意识地营 造一个较为自由的空间，让学生能主动地去观察、猜测、 发现、验证，积极地动手、动口、动脑，使学生在学知识 的同时形成方法。 整个教学过程突出了三个注重： 1. 注重学生参与知识 的形成过程，体验应用数学知识解决简单问题的乐趣。2. 注重师生间、同学间的互动协作、共同提高。 3.注重知 能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活应用。 通过本节课的学习，学生当堂能够掌握利用导数求函 数的单调性，并了解其优越性。
七.板书设计
课题
结论 板演
投影
解题步骤
函数的单调性与导数
说课人：董燕
一.教材分析与处理
1. 教材的地位及作用
2. 教学目标 3. 重点难点
4.教材处理
（一）教材的地位与作用
• “函数单调性与导数”是人教版《普通高中 课程标准实验教科书数学》选修1－1第三章 《导数及其应用》的内容。本节的教学内容属 导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计 算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既 可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的 极值和最值打好基础。 • 由于学生在高一已经掌握了单调性的定义， 并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。 通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数 判断单调性要比用定义判断简洁得多（尤其对 于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以 画出的函数而言），充分展示了导数解决问题 的优越性。
（三）教学重点难点
重点： 探索并应用函数的单调性与
导数的关系求单调区间
难点：探索函数的单调性与导的
关系
（四）教材处理
本节教材主要内容是学习函数的单调 性和导数的关系；能利用导数研究函数的 单调性；利用导数信息绘制函数的大致图 像;会求函数和的单调区间。
本节课结合高考大纲的要求和考虑到 学生基础的实际，从简单入手，探索函数 的单调性与导数的关系，并求函数的单调 区间，去除比较难的部分利用导数信息绘 制函数的大致图像。
（二）教学目标设计
知识与技能：
1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间
过程与方法：
1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力， 渗透数形结合思想、转化思想。
情感态度与价值观：
通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善 总结，培养学生的探索精神。
通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到 五.解决问题 的结论，形成一般性结论。 理论的学习最终要回归于应用，帮我们解决 设计意图：让学生经历观察、分析、归纳、发现 问题。 通过例题的讲解和课堂练习，让学生在具 规律的过程，体会函数单调性与导数的关系 体的应用中深化对结论理解，巩固所学的知识， 体会用导数判断函数单调性的优越性。
以促进学生的理解。
三.学法分析
为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的 学习方法： １、合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共 同探讨问题；
２、自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动 脑、动手参与数学活动；
３、探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探 索新知。
ห้องสมุดไป่ตู้
四.教学过程
一.知识回顾 从已学过的知识（判断二次函数的单调性）入 二.提出问题 手，提出新的问题（判断三次函数的单调性）， 引起认知冲突，激发学习的兴趣。 从具体的实际情景出发，提出本节课要探索的 问题，函数的单调性与导数的关系。 设计意图：通过复习回顾，巩固旧知，学生疑 惑，逐步浮现本节课的探讨任务。 设计意图：为学生提供一个联想的“源”，巧 妙设问，把学习任务转移给学生；让学生完成 对函数单调性与导数关系的第一次认识，明确 研究课题。
四.教学过程
三.分析问题
观察四个函数的图像和求导数，从这四个函数 的单调性与导数符号的关系，归纳总结导数的单调 性与导数的关系。
设计意图：从具体的函数出发，让学生体会从 特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度， 让学生在老师的引导下自主学习和探索，提高学习 的成就感和自信心。
四.教学过程
四.归纳形成结论