【VIP专享】线性代数 第五章 5.29
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ak1
a1k , , An A akk
称为矩阵A的顺序主子式，按顺序分别称为
1阶，2阶， ，n阶顺序主子式。
定理5.9 : 矩阵Ann为正定矩阵
矩阵A的每一个顺序主子式均大于零， 即：Ak 0, i 1,2, , n。
想一想：如何判定实对称矩阵的负定性？
（1）A是负定矩阵的充分必要条件是， A的特征值全小于零。
用配方法化标准形为：f y12 2 y22 5 y32
若 作 变 换X
QY , Q
2 2
3 3
1 3
则
f
y12
2
y
2 2
5
y
2 3
23 1 3 2 3
1 2
3 3
2 3
虽然用不同的非退化线性变换化二次型，所得 的标准形不同，但是不同标准形中所含平方项的个 数是相同的(等于二次型的秩);并且不同标准形中所 含正平方项的个数也是相同的.
定理5.8: A是正定矩阵 存在非奇异矩阵C,使得A=CTC
推论1: A为正定矩阵 A的正惯性指标p=n
推论2: 如果A为正定矩阵,则|A|>0； 但反之不成立.
例
如:
A
1 0
01, A 0, 但A负定矩阵
定理5.9：A是正定矩阵的充分必要条件是， A的特征值全大于零.
定义5.5:
设n阶矩阵A
（2）A的奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶 顺序主子式全大于零。
例1.判定下列矩阵的有定性
3 0 3 A 0 1 2
3 2 8
判别n元实二次型正定的充要条件是：
1)A是正定矩阵
2) f 的正惯性指数为 n
3) f 的规范形为
z12
z
2 2
z
2 n
4) f 的 标准形 di 0, i 1,2, , n g( y1 , y2 , , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
f X T AX
d1 y12
d
2
y
2 2
d
p
y
2 p
d
p1
y
2 p1
d r yr2
( di 0, i 1,2, , r)
进一步有：
f
X T AX
z12
z
2 2
z
2 p
z
2 p1
z
2 r
称上式为二次型 f X T AX 的规范形
例1 : 化下列二次型为规范形
f
( x1 ,
x2 ,
x3 )
第二节 二次型与对称矩阵的标准形
二次型与对称矩阵的标准形
化二次型与对称矩阵为标 准形的方法 二次型的规范形
二次型的规范形
一个实二次型，既可以通过正交变换化为 标准形，也可以通过配方法或初等变换法化为 标准形，其标准形一般来说是不唯一的,但标准 形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型 的秩．
如：化下列二次型为标准形 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 4 x1 x2 2 x22 4 x2 x3 3 x32
二次型及对称矩阵的有定性
考察下列二次型：
(1) f
x12
4
x
2 n
(2) f
x12
4
x
2 n
(3) f x12 2x1 x2 x22 ( x1 x2 )2
(4) f x12 2x1 x2 x22 ( x1 x2 )2
(5) f x12 x22
定义5.4 :对称矩阵A的二次型xT Ax,
称为半正定矩阵(半负定矩阵)
二次型及矩阵的正定（负定）半正定（半负定） 统称为二次型及矩阵的有定性；不具有有定性的二 次型及矩阵称为不定的。
例1. f x12 4xn2是正定的
例2. f x12 2x1 x2 x22 ( x1 x2 )2 是半正定的
例3.矩阵A
1 1
11是半负定矩阵。
6x2
x3
x
2为正定的。
3
小结：1、二次型与对称矩阵的规范形
形如 :
y12
y
2 2
y22
y
2 p
y
2 p1
yr2 中 :
1) 正 项 的个 数p称 为 二次 型 的正 惯 性指 标.
2) 负 项 的个 数q r p称 为 二次 型 的负 惯 性指 标.
3） p q 2 p r称 为 二次 型 的 符号 差.
规范形所对应的矩阵为
1
1 1
1 0
I p
1)如对于任何x
xxn1
0,
都有xT
Ax
0(
0)
成立, 称 xT Ax为正定(负定)二次型, 矩阵A
称 为 正 定 矩 阵 ( 负 定 矩 阵).
2)如对任何x
xxn1 ,
都有xT
Ax
0(
0)
成立, 且有x0
xx1n00
0, 使得x0T
Ax0＝0，
称xT Ax为半正定(半负定)二次型, 矩阵A
a11
an1
A的子式：
ai1i1 ai2i1
ai1i2 ai2i2
aik i1 aik i2
ai1ik ai2ik
aik ik
(1 i1 i2 ik n) 称为A的k阶主子式
a1n
ann
而子式
A1 a11 ,
A2
a11 a21
a12 a22
,
,
a11 Ak
x12
4 x1 x2
2
x
2 2
4x2 x3
3 x32
定理5.4(Sylvester惯性定理） 凡二次型都可通过非退 化线性替换化为规范形;且规范形是由二次型本身决 定的唯一形式(即:规范形中正平方项的个数p和负平 方项的个数q是由二次型唯一确定的),与所作的非退 化线性替换无关.
规 范 形y12
5)存在可逆矩阵C,使二次型的矩阵A=CTC
6)二次型的矩阵A合同于I 7)二次型的矩阵A的n个特征值全大于零.
例2.判定下列二次型的有定性：
5x12 4x1 x2 x22 8x1 x3 4x2 x3 5x32
例3 : 为何值时, 二次型x12 2 x1 x2 4 x1 x3
2
x
2 2
Irp
0
0
定理5.5: 合同的矩阵具有相同的正惯
性 指 标 和 秩.即 ：A为 任 意 对 称 矩 阵 ，
如果
I p
C T AC
Irp
,
0
Iq
QT AQ
Irq
0
(其中C Q, C 0, Q 0)则p q
第三节 二次型与对称矩阵的正定性
二次型及对称矩阵的有定性的概念 正定矩阵的性质和判定
因： f
x12
2 x1
x2
x
2 2
( x1
x2 )2
例4. f x12 x22是不定的。
正定矩阵的性质和判定
定理5.6: A是正定矩阵,且A与B是合同矩阵， 则B也是正定矩阵。
定理5.7:
对角矩阵D
d1
d
n
是
正定矩阵 对角线上的元素di均大于零
即：di 0, i 1,2, , n.
a1k , , An A akk
称为矩阵A的顺序主子式，按顺序分别称为
1阶，2阶， ，n阶顺序主子式。
定理5.9 : 矩阵Ann为正定矩阵
矩阵A的每一个顺序主子式均大于零， 即：Ak 0, i 1,2, , n。
想一想：如何判定实对称矩阵的负定性？
（1）A是负定矩阵的充分必要条件是， A的特征值全小于零。
用配方法化标准形为：f y12 2 y22 5 y32
若 作 变 换X
QY , Q
2 2
3 3
1 3
则
f
y12
2
y
2 2
5
y
2 3
23 1 3 2 3
1 2
3 3
2 3
虽然用不同的非退化线性变换化二次型，所得 的标准形不同，但是不同标准形中所含平方项的个 数是相同的(等于二次型的秩);并且不同标准形中所 含正平方项的个数也是相同的.
定理5.8: A是正定矩阵 存在非奇异矩阵C,使得A=CTC
推论1: A为正定矩阵 A的正惯性指标p=n
推论2: 如果A为正定矩阵,则|A|>0； 但反之不成立.
例
如:
A
1 0
01, A 0, 但A负定矩阵
定理5.9：A是正定矩阵的充分必要条件是， A的特征值全大于零.
定义5.5:
设n阶矩阵A
（2）A的奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶 顺序主子式全大于零。
例1.判定下列矩阵的有定性
3 0 3 A 0 1 2
3 2 8
判别n元实二次型正定的充要条件是：
1)A是正定矩阵
2) f 的正惯性指数为 n
3) f 的规范形为
z12
z
2 2
z
2 n
4) f 的 标准形 di 0, i 1,2, , n g( y1 , y2 , , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
f X T AX
d1 y12
d
2
y
2 2
d
p
y
2 p
d
p1
y
2 p1
d r yr2
( di 0, i 1,2, , r)
进一步有：
f
X T AX
z12
z
2 2
z
2 p
z
2 p1
z
2 r
称上式为二次型 f X T AX 的规范形
例1 : 化下列二次型为规范形
f
( x1 ,
x2 ,
x3 )
第二节 二次型与对称矩阵的标准形
二次型与对称矩阵的标准形
化二次型与对称矩阵为标 准形的方法 二次型的规范形
二次型的规范形
一个实二次型，既可以通过正交变换化为 标准形，也可以通过配方法或初等变换法化为 标准形，其标准形一般来说是不唯一的,但标准 形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型 的秩．
如：化下列二次型为标准形 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 4 x1 x2 2 x22 4 x2 x3 3 x32
二次型及对称矩阵的有定性
考察下列二次型：
(1) f
x12
4
x
2 n
(2) f
x12
4
x
2 n
(3) f x12 2x1 x2 x22 ( x1 x2 )2
(4) f x12 2x1 x2 x22 ( x1 x2 )2
(5) f x12 x22
定义5.4 :对称矩阵A的二次型xT Ax,
称为半正定矩阵(半负定矩阵)
二次型及矩阵的正定（负定）半正定（半负定） 统称为二次型及矩阵的有定性；不具有有定性的二 次型及矩阵称为不定的。
例1. f x12 4xn2是正定的
例2. f x12 2x1 x2 x22 ( x1 x2 )2 是半正定的
例3.矩阵A
1 1
11是半负定矩阵。
6x2
x3
x
2为正定的。
3
小结：1、二次型与对称矩阵的规范形
形如 :
y12
y
2 2
y22
y
2 p
y
2 p1
yr2 中 :
1) 正 项 的个 数p称 为 二次 型 的正 惯 性指 标.
2) 负 项 的个 数q r p称 为 二次 型 的负 惯 性指 标.
3） p q 2 p r称 为 二次 型 的 符号 差.
规范形所对应的矩阵为
1
1 1
1 0
I p
1)如对于任何x
xxn1
0,
都有xT
Ax
0(
0)
成立, 称 xT Ax为正定(负定)二次型, 矩阵A
称 为 正 定 矩 阵 ( 负 定 矩 阵).
2)如对任何x
xxn1 ,
都有xT
Ax
0(
0)
成立, 且有x0
xx1n00
0, 使得x0T
Ax0＝0，
称xT Ax为半正定(半负定)二次型, 矩阵A
a11
an1
A的子式：
ai1i1 ai2i1
ai1i2 ai2i2
aik i1 aik i2
ai1ik ai2ik
aik ik
(1 i1 i2 ik n) 称为A的k阶主子式
a1n
ann
而子式
A1 a11 ,
A2
a11 a21
a12 a22
,
,
a11 Ak
x12
4 x1 x2
2
x
2 2
4x2 x3
3 x32
定理5.4(Sylvester惯性定理） 凡二次型都可通过非退 化线性替换化为规范形;且规范形是由二次型本身决 定的唯一形式(即:规范形中正平方项的个数p和负平 方项的个数q是由二次型唯一确定的),与所作的非退 化线性替换无关.
规 范 形y12
5)存在可逆矩阵C,使二次型的矩阵A=CTC
6)二次型的矩阵A合同于I 7)二次型的矩阵A的n个特征值全大于零.
例2.判定下列二次型的有定性：
5x12 4x1 x2 x22 8x1 x3 4x2 x3 5x32
例3 : 为何值时, 二次型x12 2 x1 x2 4 x1 x3
2
x
2 2
Irp
0
0
定理5.5: 合同的矩阵具有相同的正惯
性 指 标 和 秩.即 ：A为 任 意 对 称 矩 阵 ，
如果
I p
C T AC
Irp
,
0
Iq
QT AQ
Irq
0
(其中C Q, C 0, Q 0)则p q
第三节 二次型与对称矩阵的正定性
二次型及对称矩阵的有定性的概念 正定矩阵的性质和判定
因： f
x12
2 x1
x2
x
2 2
( x1
x2 )2
例4. f x12 x22是不定的。
正定矩阵的性质和判定
定理5.6: A是正定矩阵,且A与B是合同矩阵， 则B也是正定矩阵。
定理5.7:
对角矩阵D
d1
d
n
是
正定矩阵 对角线上的元素di均大于零
即：di 0, i 1,2, , n.