2010年高考真题简单的线性规划与数列、三角函数

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2010年全国高考数学试题分类汇编——三角函数

y sin(2x ) 的图像 6

（A）向左平移个长度单位
4

（C）向左平移个长度单位
2
（2010 陕西文数）3.函数 f (x)=2sinxcosx 是
(A)最小正周期为 2π 的奇函数
(C)最小正周期为 π 的奇函数
（B）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
（2010 辽宁文数）（6）设 0 ,函数 y sin( x ) 2 的图像向右平移 4 个单位后
（A） f (x)
(B) f (x)
（2010 北京文数）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 1，
顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组
成，该八边形的面积为
（A） 2sin 2 cos 2 ；（B） sin 3 cos 3
（C） 3sin 3 cos 1 ；（D） 2sin cos 1
2010 年全国高考数学试题分类汇编——三角函数
（2010 上海文数）18.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C 5 :11:13 ，则△ ABC
（A）一定是锐角三角形.
（C）一定是钝角三角形.
（B）一定是直角三角形.
(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
（2010 福建文数）2．计算1 2 sin 22.5 的结果等于( )
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（C）1200
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2010年高考数学试题三角函数部分解析及应对策略

2010年高考数学试题三角函数部分解析及应对策略一、考情分析三角函数是基本初等函数之一，三角函数与三角恒等变换结合是高考考查的重点内容之一，也是高考的热点之一。

通读2010年全国各地的高考试题发现有如下特点：1、有关三角函数的试题在客观题、主观题均有所体现，一般情况是选择题一个，填空题一个，解答题一个，解答题一般处于大题第一个题的位置。

总分值占到25分左右。

2、考小题，重在基础运用考查的重点在于基础知识：解析式、图像及图像变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、简单的三角变换（求值、化简及比较大小）以及在三角形中结合正余弦定理考察。

3、考大题，难度明显降低有关三角函数的大题即解答题，一般都是通过降幂，或者两角和差的三角公式，最后通过辅助角公式化成标准形式b wx A y ++=)sin(φ的形式，然后再研究四性，或者求值化简。

难度明显降低，只要熟记公式即可。

4、考应用，融入三角图形之中这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能。

主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正（余）弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换，从而获解。

5、考综合，体现三角函数的工具性由于近年高考命题突出以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处命题。

因而对三角知识的考查总是与平面向量、数列、立体几何、解析几何、导数等综合在一起来考查，突出三角的工具性作用。

二、常考题型及应对策略1、考察三角函数图像、四性（单调性、周期性、奇偶性、对称性）、最值、定义域、值域。

应对策略是利用诱导公式、降幂公式、和差角公式、辅助角公式化成标准形式b φ)Asin(wx y ++=，然后求解。

1、（2010陕西文数）函数f (x )=2sin x cos x 是[C](A)最小正周期为2π的奇函数（B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数解析：本题考查三角函数的性质f (x )=2sin x cos x=sin2x ，周期为π的奇函数 2、（2010江西理数）已知函数()()21cot sin sin sin 44f x x x m x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1) 当m=0时，求()f x 在区间384ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围； (2) 当tan 2a =时，()35f a =，求m 的值。

(4年真题推荐)2010-2013年全国高考数学试题分类汇编三角函数

2010三角函数1.（2010·某某高考理科·Ｔ7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22a b -=，sin C B =，则A= ( )（A ）030（B ）060（C ）0120（D ）0150【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。

【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。

【规X 解答】选A ，根据正弦定理及sin C B =得：c =2222222()cos 2222b c a c a c c A bc bc bc +---====，0000180,30A A <∴=。

【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。

2.（2010·高考文科·Ｔ7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( ) （A ）2sin 2cos 2αα-+；（B ）sin 3αα+（C ）3sin 1αα+ （D ）2sin cos 1αα-+【命题立意】本题考查解三角形的相关知识，用到了面积公式、余弦定理等知识。

【思路点拨】在等腰三角形中利用余弦定理求出底边，从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方形的面积之和。

【规X 解答】选A =21411sin 2sin 22cos 2ααα⨯⨯⨯⨯+=+-。

3.（2010·某某高考理科·Ｔ4）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，c =,则（）A 、a>bB 、a<bC 、a=bD 、a 与b 的大小关系不能确定【命题立意】以三角形为依托，以余弦定理为明线，以方程的解为暗线考查学生的运用知识和等价转化的能力。

【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系，然后从方程的角度消元求解.【规X 解答】选A.∵∠C=120°，c =，∴2a 2=a 2+b 2-2abcos120°，∴a 2=b 2+ab ，∴（ab ）2+a b-1=0，∴ab= 215-<1，∴b<a.【方法技巧】三角形是最简单的平面图形，是中学数学所学知识最多的图形，在高考中是重点.常常考查边角关系，余弦定理和正弦定理，常常结合不等式和方程来解.尤其是均值不等式的考查. 4.（2010·高考理科·Ｔ１0）在△ABC 中，若b = 1，23C π∠=，则a=。

2010年福建省高考数学试卷（理科）及解析

2010年福建省高考数学试卷（理科一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1、（2010•福建）计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（）A、B、C、D、考点：两角和与差的余弦函数。

分析：先根据诱导公式将sin137°cos13°+cos103°cos43°转化为sin43°cos13°﹣sin13°cos43°，再根据两角差的正弦公式得到答案．解答：解：∵sin137°cos13°+cos103°cos43°=sin（180°﹣43°）cos13°+cos（90°+13°）cos43°=sin43°cos13°﹣sin13°cos43°=sin（43°﹣13°）=sin30°=故选A．点评：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正弦公式．这种题型经常在选择题中出现，应给与重视．2、（2010•福建）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A、x2+y2+2x=0B、x2+y2+x=0C、x2+y2﹣x=0D、x2+y2﹣2x=0考点：圆的一般方程；抛物线的简单性质。

分析：先求抛物线y2=4x的焦点坐标，即可求出过坐标原点的圆的方程解答：解：因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．点评：本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题．3、（2010•福建）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A、6B、7C、8D、9考点：等差数列的前n项和。

2010年高考数学理科试题解析版(全国卷II)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）（数学理）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+>（C ）211(R )x y e x +=-∈ （D ）211(R )x y ex +=+∈【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。

【解析】由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选D.（3）.若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A (1,1),B(1,4),C(1,1)---构成的三角形，可知目标函数过C 时最大，最大值为3，故选C.（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++===（5）不等式2601x x x ---＞的解集为（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】s i n (2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将s i n (2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.（8）A B C V 中，点D 在A B 上，C D 平方A C B ∠．若CB a =u u r，C A b =uur ，1a =，2b =，则C D =uuu r（A ）1233a b +（B ）2133a b +（C ）3455a b +（D ）4355a b +【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为C D 平分A C B ∠，由角平分线定理得A D C A 2=D BC B1=，所以D 为AB 的三等分点，且22A D A B (C B C A )33==- ，所以2121C D C A +A D C B C A a b 3333==+=+，故选B.（9）已知正四棱锥S A B C D -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = （A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.. 【解析】332211',22y xk a--=-∴=-，切线方程是13221()2y aax a ---=--，令0x =，1232y a-=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.（11）与正方体1111ABC D A B C D -的三条棱A B 、1C C 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

2010年高考数学试题(新课程卷)分类解析(三)--三角函数

二、典型解法和错解分析例１（江卷・１）在 △ＡＢ浙理８Ｃ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边
填空
文
１２
●
４１３５Ｙ＝Ａｓ（ｘ＋的图象与性质，正、余弦定理，消元转化，合一变形ｉｔ）ｎｏ
解答理辽宁卷选择
１８５
文
解答
选择
１７
ｌ
１２
５
两角和的正余弦
消元转化
，
合一变形
两角差的正弦，特殊角的三角函数，Ｙ＝Ａｓ（ｘ＋ｉｔ）ｎｏ
和基本方法，在难度要求上有所下降．一、本专题被考查的知识点的分类统计分析
关键词：高考；三角函数；解三角形
卷别科别题型题号分值
考查的主要知识点
主要解题方法
文江苏卷
理
填空
ｌＯ１３
５５
１４
三角函数图象同角关系，正、余弦定理，直角三角形中的三角函数，两
价转化
解答安徽卷文理解答
２１
，
１２两角和与差的正弦公式，余弦定理，向量的数量
，
１６
１２
积
同角关系
解三角形
理
选择解答
３１７
５
陕西卷
文１２
倍角公式，三角函数的性质，、余弦定理正
解三角形
由上表可以看出，同角关系、利用正、余弦定理解三角形
２１年００第７８＼－期

2010届高考数学三角函数

y
有关，而与终边上点P的位置无关.如（1）已知角的终边经过点P（5，-12），则sin +cos 的 7 值为 . 13 2m 3 (2)设是第三、四象限角，sin = 4 m ,
则m的取值范围是
sin cos
3 (1, ) 2
r
x
.
(3)若 sin cos 0则cot(sin , )·tan(cos ) 的符号是负（用“正”、“负”填空）.
2

（2）值域：都是［-1,1］，对y=sin ，当 x x 2 k (k∈Z)时，y取最大值 1 ；当 x 2k ( k∈ Z )
3 x 2k 2
x 2 k
小值-1.如①若函数y=a-bsin(3x ) 的最大值为
②函数f(x)=sin x+ 3 cos x( x , ) 的值域是
2 2
3 1 , 最小值为 , 2 2
则 a=
1 2
,b=
6
1或-1
.
［-1,2］
.
(3)周期性：①y=sin x、y=cos x的最小正周期都
)和是 2 ;②f(x)=Asin( x+
f(x)=Acos( x+ )
T 2

sin

的最小正周期都是

.
x
3
,
如若f 0(x)=
1 cos 2 (4)三角函数次数的降升（降幂公式： cos , 2 2 1 cos 2 1 cos 2 2 cos ,1 与升幂公式： sin
2
4
2
2
cos 2 2 sin 2 ).

2010年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版ⅰ)(含解析版)

2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅰ）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）复数=（）A．i B．﹣i C．12﹣13i D．12+13i2．（5分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5 分）若变量x，y 满足约束条件，则z=x﹣2y 的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．14．（5 分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．5．（5分）（1+2）3（1﹣）5的展开式中x 的系数是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．46．（5分）某校开设A 类选修课3 门，B 类选择课4 门，一位同学从中共选3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．30 种B．35 种C．42 种D．48 种7．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，BB1 与平面ACD1 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）设a=log32，b=ln2，c= ，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 9．（5 分）已知F1、F2 为双曲线C：x2﹣y2=1 的左、右焦点，点P 在C 上，∠F1PF2=60°，则P 到x 轴的距离为（）A．B．C．D．10．（5 分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b 的取值范围是（）A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）11．（5 分）已知圆O 的半径为1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为（）A．B．C．D．12．（5 分）已知在半径为2 的球面上有A、B、C、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）不等式的解集是．14．（5 分）已知α为第三象限的角，，则=．15．（5分）直线y=1 与曲线y=x2﹣|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是．16．（5 分）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D，且，则C 的离心率为．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）已知△ABC 的内角A，B 及其对边a，b 满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．18．（12 分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（I）求投到该杂志的1 篇稿件被录用的概率；（II）求投到该杂志的4 篇稿件中，至少有2 篇被录用的概率．19．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（I）证明：SE=2EB；（II）求二面角A﹣DE﹣C 的大小．20．（12 分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．（I）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a 的取值范围；（II）证明：（x﹣1）f（x）≥0．21．（12 分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l 与C 相交于A、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D．（I）证明：点F 在直线BD 上；（II）设，求△BDK 的内切圆M 的方程．22．（12 分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=c﹣．（I）设c=，b n=，求数列{b n}的通项公式；（II）求使不等式a n＜a n+1＜3 成立的c 的取值范围．2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）复数=（）A．i B．﹣i C．12﹣13i D．12+13i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】复数的分子中利用﹣i2=1 代入3，然后化简即可．【解答】解：故选：A．【点评】本小题主要考查复数的基本运算，重点考查分母实数化的转化技巧．2．（5 分）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GG：同角三角函数间的基本关系；GO：运用诱导公式化简求值．【专题】11：计算题．【分析】法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果．【解答】解：法一，所以tan100°=﹣tan80°= ．：法二cos （﹣80°）=k ⇒cos （80°）=k ，=【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用．3．（5 分）若变量x，y 满足约束条件，则z=x﹣2y 的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y⇒y=x﹣z，由图可知，当直线l 经过点A（1，﹣1）时，z 最大，且最大值为z max=1﹣2×（﹣1）=3．故选：B．【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5 分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=8 8 （） A ．B ．7C ．6D ．【考点】87：等比数列的性质．【分析】由数列{a n }是等比数列，则有 a 1a 2a 3=5⇒a 23=5；a 7a 8a 9=10⇒a 3=10．【解答】解：a 1a 2a 3=5⇒a 23=5；a 7a 8a 9=10⇒a 3=10，a 52=a 2a 8， ∴ ，∴，故选：A ．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．5．（5 分）（1+2）3（1﹣ ）5 的展开式中 x 的系数是（） A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用完全平方公式展开，利用二项展开式的通项公式求出 x 的系数．【解答】解：（1+2）3（1﹣）5=（1+6+12x +8x）（1﹣）5 故（1+2）3（1﹣）5 的展开式中含 x 的项为 1×C 53（）3+12x=﹣10x +12xC 50=2x ，所以 x 的系数为 2．故选：C ．【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力6．（5 分）某校开设A 类选修课3 门，B 类选择课4 门，一位同学从中共选3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A．30 种B．35 种C．42 种D．48 种【考点】D1：分类加法计数原理．【专题】11：计算题．【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选1 门，B 类选修课选2 门；A 类选修课选2 门，B 类选修课选1 门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：可分以下2 种情况：①A 类选修课选1 门，B 类选修课选2 门，有C31C42 种不同的选法；②A 类选修课选2 门，B 类选修课选1 门，有C32C41 种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故选：A．【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．本题也可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：C73﹣C33﹣C43=30．7．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，BB1 与平面ACD1 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5G：空间角．【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1 所成角，即为BB1 与平面ACD1 所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O 与平面ACD1 所成角就是BB1 与平面ACD1 所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1 中，cos∠O1OD1= ==，故选：D．【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面ACD1 的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．8．（5 分）设a=log32，b=ln2，c= ，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】根据a 的真数与b 的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1 与之比较大小，便值a、b、c 的大小关系．【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c= = ，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选：C．【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用．9．（5 分）已知F1、F2 为双曲线C：x2﹣y2=1 的左、右焦点，点P 在C 上，∠F1PF2=60°，则P 到x 轴的距离为（）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理；KA：双曲线的定义；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】设点P （x0 ，y0 ）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos ∠F1PF2=，由此可求出P 到x 轴的距离．【解答】解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos ∠F1PF2= ，即cos60°= ，解得，所以，故P 到x 轴的距离为故选：B．【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力．10．（5 分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b 的取值范围是（）A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）【考点】34：函数的值域；3D：函数的单调性及单调区间；4H：对数的运算性质；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】由题意f（a）=f（b），求出ab 的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，确定a+2b 的取值范围．【解答】解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b 的取值范围是（3，+∞）．故选：C．【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b= ，从而错选A，这也是命题者的用心良苦之处．11．（5 分）已知圆O 的半径为1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为（）A．B．C．D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；JF：圆方程的综合应用．【专题】5C：向量与圆锥曲线．【分析】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆O 的半径为1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB 的长度和夹角，并将表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．【解答】解：如图所示：设OP=x（x＞0），则PA=PB=，∠APO=α，则∠APB=2α，sinα=，==×（1﹣2sin2α）=（x2﹣1）（1﹣）==x2+﹣3≥2 ﹣3，∴当且仅当x2=时取“=”，故的最小值为2﹣3．故选：D．【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法﹣﹣判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．12．（5 分）已知在半径为2 的球面上有A、B、C、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；ND：球的性质．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】四面体ABCD 的体积的最大值，AB 与CD 是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．【解答】解：过CD 作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB 于P，设点P 到CD 的距离为h，则有，当直径通过AB 与CD 的中点时，，故．故选：B．【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力．二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）不等式的解集是[0，2] ．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】法一是移项后平方，注意等价转化为不等式组，化简求交集即可；法二是化简为等价不等式组的形式，求不等式组的解集．【解答】解：法一：原不等式等价于解得0≤x≤2．法二：故答案为：[0，2]【点评】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致．14．（5 分）已知α为第三象限的角，，则=．【考点】G3：象限角、轴线角；GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又＜0 确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同．【解答】解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2 （2k+1）π）（k∈Z），又＜0，所以，于是有，，所以=．方法二：α为第三象限的角，，⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．15．（5 分）直线y=1 与曲线y=x2﹣|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是（1，）．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1 与曲线y=x2﹣|x|+a 的图象，观察求解．【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1 与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a 的取值必须满足，解得．故答案为：（1，）【点评】本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想．16．（5 分）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D，且，则C 的离心率为．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】16：压轴题；31：数形结合．【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D 的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于a、c 的方程，解方程求出的值．【解答】解：如图，，作DD1 ⊥y 轴于点D1 ，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，故答案为：．【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）已知△ABC 的内角A，B 及其对边a，b 满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得sin（A -）=sin（B+），进而根据A，B 的范围，求得A﹣和B+的关系，进而求得A+B=，则C 的值可求．【解答】解：由已知及正弦定理，有sinA+sinB=sinA•+sinB•=cosA+cosB，∴sinA﹣cosA=cosB﹣sinB∴sin（A﹣）=sin（B+），∵0＜A＜π，0＜B＜π∴﹣＜A﹣＜＜B+＜∴A﹣+B+=π，∴A+B=，C=π﹣（A+B）=【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中关键是利用了正弦定理把边的问题转化为角的问题．18．（12 分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．（I）求投到该杂志的1 篇稿件被录用的概率；（II）求投到该杂志的4 篇稿件中，至少有2 篇被录用的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CA：n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率．【分析】（1）投到该杂志的1 篇稿件被录用包括稿件能通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专家的评审又能通过复审专家的评审两种情况，这两种情况是互斥的，且每种情况中包含的事情有时相互独立的，列出算式．（2）投到该杂志的4 篇稿件中，至少有2 篇被录用的对立事件是0 篇被录用，1篇被录用两种结果，从对立事件来考虑比较简单．【解答】解：（Ⅰ）记A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用．则D=A+B•C，P（A）=0.5×0.5=0.25，P（B）=2×0.5×0.5=0.5，P（C）=0.3，P（D）=P（A+B•C）=P（A）+P（B•C）=P（A）+P（B）P（C）=0.25+0.5×0.3=0.40．（2）记4 篇稿件有1 篇或0 篇被录用为事件E，则P（E）=（1﹣0.4）4+C41×0.4×（1﹣0.4）3=0.1296+0.3456=0.4752，∴=1﹣0.4752=0.5248，即投到该杂志的4 篇稿件中，至少有2 篇被录用的概率是0.5248．【点评】本题关键是要理解题意，实际上能否理解题意是一种能力，培养学生的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．19．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（I）证明：SE=2EB；（II）求二面角A﹣DE﹣C 的大小．【考点】LY ：平面与平面垂直；MJ ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）连接 BD ，取 DC 的中点 G ，连接 BG ，作 BK ⊥EC ，K 为垂足，根据线面垂直的判定定理可知 DE ⊥平面 SBC ，然后分别求出 SE 与 EB 的长，从而得到结论；（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE 为等腰三角形，取 ED 中点 F ，连接 AF ，连接FG ，根据二面角平面角的定义可知∠A【解答】解：（Ⅰ）连接 BD ，取 DC 的中点 G ，连接 BG ，由此知DG=GC=BG=1，即△DBC 为直角三角形，故 BC ⊥BD ．又 SD ⊥平面 ABCD ，故 BC ⊥SD ，所以，BC ⊥平面 BDS ，BC ⊥DE ．作 BK⊥EC ，K 为垂足，因平面 EDC ⊥平面 SBC ，故 BK⊥平面 EDC ，BK ⊥DE ，DE 与平面 SBC 内的两条相交直线 BK 、BC 都垂直， DE ⊥平面 SBC ，DE ⊥EC ，DE ⊥SB ． SB=， DE=EB= 所以 SE=2EB（Ⅱ）由 SA=，AB=1，SE=2EB ，AB ⊥SA ，知AE= =1，又 AD=1．故△ADE 为等腰三角形．取ED 中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF=．连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．所以，∠AFG 是二面角A﹣DE﹣C 的平面角．连接AG，AG= ，FG=，cos∠AFG=，所以，二面角A﹣DE﹣C 的大小为120°．【点评】本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．（I）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a 的取值范围；（II）证明：（x﹣1）f（x）≥0．【考点】63：导数的运算．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）先根据导数公式求出导函数f′（x），代入xf′（x）≤x2+ax+1，将a 分离出来，然后利用导数研究不等式另一侧的最值，从而求出参数 a 的取值范围；（Ⅱ）【解答】解：（Ⅰ），根xf′（x）=xlnx+1，题设xf′（x）≤x2+ax+1 等价于lnx﹣x≤a．令g（x）=lnx﹣x，则当0＜x＜1，g′（x）＞0；当x≥1 时，g′（x）≤0，x=1 是g（x）的最大值点，g（x）≤g（1）=﹣1综上，a 的取值范围是[﹣1，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=﹣1 即lnx﹣x+1≤0．当0＜x＜1 时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0；当x≥1 时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）= =≥0所以（x﹣1）f（x）≥0．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及利用参数分离法求参数的取值范围，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．21．（12 分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l 与C 相交于A、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D．（I）证明：点F 在直线BD 上；（II）设，求△BDK 的内切圆M 的方程．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；IP：恒过定点的直线；J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K 的直线L 方程代入抛物线方程消去x，设L 与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得y1+y2 和y1y2 的表达式，进而根据点A 求得点D 的坐标，进而表示出直线BD 和BF 的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x2=y22，依题意可知等式成立进而推断出k1=k2 原式得证．）（Ⅱ）首先表示出结果为求得 m ，进而求得 y 2﹣y 1 的值，推知 BD 的斜率，则 B D方程可知，设M 为（a，0），M到 x=y﹣1和【解答】解：（Ⅰ）抛物线 C ：y 2=4x ①的焦点为 F （1，0），设过点K （﹣1，0）的直线 L ：x=my ﹣1，代入①，整理得y 2﹣4my +4=0，设 L 与 C 的交点 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4，点 A 关于 X 轴的对称点 D 为（x 1，﹣y 1）． BD 的斜率 k 1===，BF 的斜率 k 2=．要使点 F 在直线 BD 上需 k 1=k 2 需 4（x 2﹣1）=y 2（y 2﹣y 1），需 4x 2=y22，上式成立，∴k 1=k 2， ∴点 F 在直线 BD 上．（Ⅱ =（x 1﹣1，y 1）（x 2﹣1，y 2）=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2=（my 1﹣2）（my 2 ﹣2）+y 1y 2=4（m 2+1）﹣8m 2+4=8﹣4m 2=， ∴m 2=，m=±．y 2﹣y 1= =4 =，∴k 1=，BD ：y=（x ﹣1）．易知圆心 M 在 x 轴上，设为（a ，0），M 到 x= y ﹣1 和到 BD 的距离相等，即|a +1|×=|（（a ﹣1）|×，∴4|a +1|=5|a ﹣1|，﹣1＜a ＜1，解得 a=．∴半径 r=，∴△BDK 的内切圆 M 的方程为（x ﹣）2+y 2=．【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想．22．（12 分）已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=c ﹣．（I ）设 c=，b n =，求数列{b n }的通项公式；（II ）求使不等式 a n ＜a n +1＜3 成立的 c 的取值范围．【考点】8H ：数列递推式；RG ：数学归纳法．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）令c=代入到（2）先求出 n=1，2 时的 c 的范围，然后用数学归纳法分 3 步进行证明当 c ＞2 时 a n ＜ a n +1 ，然后当 c ＞ 2 时，令 α= ，根据由可发现 c ＞时不能满足条件，进而可确定 c 的范围．【解答】解：（1），，即b n=4b n+2+1，a1=1，故所以{ }是首项为﹣，公比为4 的等比数列，，（Ⅱ）a1=1，a2=c﹣1，由a2＞a1 得c＞2．用数学归纳法证明：当c＞2 时a n＜a n+1．（i）当n=1 时，a2=c﹣＞a1，命题成立；（ii）设当n=k 时，a k＜a k+1，则当n=k+1 时，故由（i）（ii）知当c＞2 时，a n＜a n+1当c＞2 时，令α=，由当2＜c≤时，a n＜α≤3当c＞时，α＞3 且1≤a n＜α于是α﹣a n+1≤（α﹣1），当n＞因此c＞不符合要求．所以c 的取值范围是（2，]．【点评】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查．。

2010-2019历年高考数学《三角函数》真题汇总(含答案)

2010-2019历年高考数学《三角函数》真题汇总（含答案）专题四三角函数与解三角形第九讲三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换2019年1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠ 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β2.（全国Ⅱ文11）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A ．15B 5C 3D 253.（2019江苏13）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 .2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos 23α=，则a b -= A ．15B 5C 25D ．12．(2018全国卷Ⅲ)若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-3．(2018北京)在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH4．（2017新课标Ⅲ）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79- B ．29- C ．29 D ．795．（2017山东）已知3cos 4x =，则cos2x =A ．14-B ．14C ．18-D ．186．（2016年全国III 卷）若1tan 3θ=-，则cos2θ=A ．45-B ．15-C ．15D ．457．（2015重庆）若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan β= A ．17 B ．16 C ．57 D ．568．（2015福建）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于A ．125B ．125-C ．512D ．512-9．（2014新课标1）若0tan >α，则A ．0sin >αB ．0cos >αC ．02sin >αD ．02cos >α 10．（2014新课标1）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=11．（2014江西）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a 若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为A ．19- B ．13 C ．1 D ．7212．(2013新课标2)已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=A ．16B ．13C ．12D ．2313．（2013浙江）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A ．34 B ．43 C ．43- D ．34-14．（2012山东）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ，8732sin =θ，则=θsin A ．53 B ．54 C ．47 D ．4315．(2012江西)若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=A ．−34B ．34C ．−43D ．4316．（2011新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．4517．（2011浙江）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则 cos()2βα+=A．3 B．3- C．9 D．9- 18．（2010新课标）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- A ．12-B ．12C ．2D ．-2二、填空题19．（2017新课标Ⅰ）已知(0,)2πα∈，tan 2α=，则cos()4πα- =__________．20．（2017北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α=13，则sin β=_________． 21．（2017江苏）若1tan()46πα-=，则tan α= ．22．（2016年全国Ⅰ卷）已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= . 23．（2015四川）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是________． 24．（2015江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______． 25．（2014新课标2）函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_______． 26．（2013新课标2）设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则sin cos θθ+=_____. 27．（2013四川）设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan2α的值是____________．28．（2012江苏）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为．三、解答题29．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．30．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-．(1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 31．（2015广东）已知tan 2α=．（Ⅰ）求tan()4πα+的值；（Ⅱ）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．32．(2014江苏)已知),2(ππα∈，55sin =α．(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值． 33．（2014江西）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a ．（1）求θ，a 的值；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值．34．（2013广东）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．35．（2013北京）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（1）求()f x 的最小正周期及最大值．（2）若(,)2παπ∈，且()2f α=，求α的值． 36．（2012广东）已知函数()2cos()6f x x πω=+，（其中0ω>，x R ∈）的最小正周期为10π． (1)求ω的值； (2)设,[0,]2παβ∈，56(5)35f απ+=-，516(5)617f βπ-=，求cos()αβ+的值．2019年1.解析由题意和题图可知，当P 为优弧AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-.此时阴影部分面积211222222AOP BOP AOB S S S S β=++=⨯⨯+⨯⨯⨯△△扇形()sin 44sin βββπ-=+.故选B.2.解析由2sin 2cos21αα=+，得24sin cos 2cosααα=.因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2sin αα=.由22cos 2sin sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得sin 5α=.故选B. 3.解析由tan 23tan()4αα=-π+，得tan 23tan tan 41tan tan 4ααα=-π+π-，所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-．当tan 2α=时，22tan 4sin21tan 5ααα==+，221tan 3cos21tan 5ααα-==-+，43sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=⨯-⨯=.当1tan 3α=-时，22tan 3sin21tan 5ααα==-+，221tan 4cos21tan 5ααα-==+，所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=-⨯+⨯=. 综上，sin(2)4απ+的值是10． 2010-2018年1．B 【解析】由题意知cos 0α>，因为22cos 22cos 13αα=-=，所以cos α=，sin α=|tan |α=，由题意知|||tan |12a b α-=-，所以||a b -=．故选B ．2．B 【解析】2217cos 212cos 12()39αα=-=-⨯=．故选B ． 3．C 【解析】设点P 的坐标为(,)x y ，利用三角函数可得yx yx <<，所以0x <，0y >．所以P 所在的圆弧是EF ，故选C ．4．A 【解析】由4sin cos 3αα-=，两边平方得161sin 29α-=，所以7sin 29α=-，选A ．5．D 【解析】由3cos 4x =得2231cos22cos 12()148x x =-=⨯-=，故选D ． 6．D 【解析】由1tan 3θ=-，得sin θ=，cos θ=或sin θ=，cos 10θ=-，所以224cos2cos sin 5θθθ=-=，故选D ．7．A 【解析】71312113121tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan =⨯+-=++-+=-+=ab a a b a a b a b ．8．D 【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα=512=-，故选D ．9．C 【解析】tan 0α>知α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 22sin cos 0ααα=>，选C ．10．B 【解析】由条件得sin 1sin cos cos αβαβ+=，即sin cos cos (1sin )αβαβ=+，得sin()cos sin()2παβαα-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，所以22παβ-=．11．D 【解析】2222sin sin sin B A A -=22sin 2()12()1sin B b A a -=-，∵32a b =，∴上式=72．12．A 【解析】因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，选A. 13．C【解析】由22(sin 2cos )αα+=，可得2222sin 4cos 4sin cos 10sin cos 4αααααα++=+，进一步整理可得23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，于是22tan 3tan 21tan 4ααα==--．14．D 【解析】由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈，812sin 12cos 2-=--=θθ，4322cos 1sin =-=θθ，答案应选D 。

十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学专题05 三角函数(含解析)

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题05 三角函数1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0,π2,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( ) A.15 B.√55C.√33D.2√55【答案】B【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1, ∴4sin αcos α=2cos 2α.∵α∈（0,π2）,∴cos α>0,sin α>0, ∴2sin α=cos α. 又sin 2α+cos 2α=1, ∴5sin 2α=1,即sin 2α=15. ∵sin α>0,∴sin α=√55. 故选B.2.(2019·全国2·文T8)若x 1=π4,x 2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( ) A.2 B.32C.1D.12【答案】A【解析】由题意,得f(x)=sin ωx 的周期T=2πω=23π4−π4=π,解得ω=2,故选A.3.(2019·全国2·理T9)下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是( ) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 【答案】A【解析】y=|cos 2x|的图象为,由图知y=|cos 2x|的周期为π2,且在区间（π4,π2）内单调递增,符合题意;y=|sin 2x|的图象为,由图知它的周期为π2,但在区间（π4,π2）内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cos x,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin |x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g（π4）=√2,则f（3π8）=()A.-2B.-√2C.√2D.2 【答案】C【解析】已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.∵g(x)的最小正周期为2π,∴2πω=2π,∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.由g（π4）=√2,得Asin π4=√2,∴A=2.∴f(x)=2sin 2x.∴f（3π8）=2sin 3π4=√2.故选C.5.(2019·北京·文T8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β【答案】B【解析】(方法一)如图,设圆心为O,连接OA,OB,半径r=2,∠AOB=2∠APB=2β,阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S1=βr2=4β为定值,S△OAB=12|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值,全部阴影部分的面积S=S△PAB+S1-S△OAB.当P为弧AB的中点时S△PAB最大,最大值为12(2|OA|sin β)(OP+|OA|cos β)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β,所以全部阴影部分的面积S的最大值为4β+4sin β,故选B.(方法二)观察图象可知,当P 为弧AB 的中点时,阴影部分的面积S 取最大值,此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S 的最大值为βr 2+S △POB +S △POA =4β+12|OP||OB|sin(π-β)+12|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sin β=4β+4sin β,故选B.6.(2019·全国3·理T 12)设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0,π10)单调递增 ④ω的取值范围是[125,2910) 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】∵f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点, ∴5π≤2πω+π5<6π, 解得125≤ω<2910,故④正确.画出f(x)的图像(图略),由图易知①正确,②不正确. 当0<x<π10时,π5<ωx+π5<ωπ10+π5,又125≤ω<2910,∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2, ∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中,AB⏜,CD ⏜,EF ⏜,GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( ) A.AB⏜ B.CD⏜C.EF ⏜ D.GH⏜【答案】C【解析】若P 在AB⏜上,则由角α的三角函数线知,cos α>sin α,排除A;若P 在CD ⏜上,则tan α>sin α,排除B;若P 在GH⏜上,则tan α>0,cos α<0,sin α<0,排除D;故选C. 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23,则|a-b|=( ) A.15 B.√55C.2√55D.1【答案】B【解析】因为cos 2α=2cos 2α-1=23,所以cos 2α=56,sin 2α=16.所以tan 2α=15,tan α=±√55. 由于a,b 的正负性相同,不妨设tan α>0,即tan α=√55, 由三角函数定义得a=√55,b=2√55,故|a-b|=√55. 9.(2018·全国3·T4)若sin α=13,则cos 2α=( ) A.89B.79C.-79D.-89【答案】B【解析】cos 2α=1-2sin 2α=1-2×(13)2=79. 10.(2018·全国3·文T6)函数f(x)=tanx1+tan 2x的最小正周期为( )A.π4 B.π2 C.π D.2π【答案】C【解析】f(x)=tanx1+tan 2x =sinx cosx1+sin 2x cos 2x=sinxcosxcos 2x+sin 2x =12sin 2x,∴f(x)的最小正周期是π.故选C.11.(2018·全国1·文T8)已知函数f(x)=2cos 2x-sin 2x+2,则( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 【答案】B【解析】因为f(x)=2cos 2x-(1-cos 2x)+2=3cos 2x+1=3×1+cos2x 2+1=32cos 2x+52,所以函数f(x)的最小正周期为2π2=π,当cos 2x=1时,f(x)max =4.12.(2018·天津·理T 6)将函数y=sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间[3π4,5π4]上单调递增B.在区间[3π4,π]上单调递减 C.在区间[5π4,3π2]上单调递增D.在区间[3π2,2π]上单调递减【答案】A【解析】函数y=sin (2x +π5)y=sin [2(x -π10)+π5]=sin 2x.当-π2+2k π≤2x≤π2+2k π,k ∈Z,即-π4+k π≤x≤π4+k π,k ∈Z 时,y=sin 2x 单调递增. 当π2+2k π≤2x≤3π2+2k π,k ∈Z,即π4+k π≤x≤3π4+k π,k ∈Z 时,y=sin 2x 单调递减, 结合选项,可知y=sin 2x 在[3π4,5π4]上单调递增.故选A. 13.(2018·全国2·理T 10)若f(x)=cos x-sin x 在[-a,a]是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D .π【答案】A【解析】f(x)=cos x-sin x=-√2sin x ·√22-cos x ·√22=-√2sin x-π4,当x ∈[-π4,34π],即x-π4∈[-π2,π2]时,y=sin x-π4单调递增,y=-√2sin x-π4单调递减.∵函数f(x)在[-a,a]是减函数,∴[-a,a]⊆[-π4,34π],∴0<a≤π4,∴a 的最大值为π4.14.(2017·全国3·文T4)已知sin α-cos α=43,则sin 2α=( ) A.-79B.-29C.29D.79【答案】A【解析】∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=169,∴sin 2α=-79. 15.(2017·山东·文T4)已知cos x=34,则cos 2x=( ) A.-14 B.14C.-18D.18【答案】D【解析】cos 2x=2cos2x-1=2×(34)2-1=18.16.(2017·全国3·理T6)设函数f(x)=cos (x +π3),则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称 C.f(x+π)的一个零点为x=π6D.f(x)在(π2,π)单调递减【答案】D【解析】由f (x )=cos (x +π3)的【解析】式知-2π是它的一个周期,故A 中结论正确;将x=8π3代入f (x )=cos (x +π3),得f (8π3)=-1,故y=f (x )的图象关于直线x=8π3对称,故B 中结论正确;f (x+π)=cos (x +4π3),当x=π6时,f (x+π)=cos (π6+4π3)=0,故C 中结论正确;当x ∈(π2,π)时,x+π3∈(5π6,4π3),显然f (x )先单调递减再单调递增,故D 中结论错误. 17.(2017·全国2·文T3)函数f(x)=sin (2x +π3)的最小正周期为( ) A.4π B.2π C .πD.π2【答案】C【解析】T=2π2=π,故选C .18.(2017·天津·T7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f (5π8)=2,f (11π8)=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( ) A .ω=23,φ=π12B .ω=23,φ=-11π12C .ω=13,φ=-11π24 D .ω=13,φ=7π24 【答案】A 【解析】∵f （5π8）=2,f （11π8）=0,且f (x )的最小正周期大于2π,∴f (x )的最小正周期为4（11π8−5π8）=3π. ∴ω=2π3π=23,∴f (x )=2sin （23x+φ）. ∴2sin （23×5π8+φ）=2,∴φ=2k π+π12,k ∈Z . 又|φ|<π,∴取k=0,得φ=π12.19.(2017·山东·文T7)函数y=√3sin 2x+cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C .π D.2π【答案】C【解析】因为y=√3sin 2x+cos 2x=2(√32sin2x +12cos2x)=2sin (2x +π6),所以其最小正周期T=2π2=π. 20.(2017·全国1·理T 9)已知曲线C 1:y=cos x,C 2:y=sin (2x +2π3),则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 【答案】D【解析】曲线C 1的方程可化为y=cos x=sin (x +π2),把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得曲线y=sin (2x +π2)=sin 2(x +π4),为得到曲线C 2:y=sin 2(x +π3),需再把得到的曲线向左平移π12个单位长度.21.(2017·全国3·文T 6)函数f(x)=15sin (x +π3)+cos (x -π6)的最大值为( ) A.65 B.1C.35D.15【答案】A【解析】因为cos (x -π6)=cos [π2-(x +π3)]=sin (x +π3),所以f (x )=15sin (x +π3)+sin (x +π3)=65sin (x +π3),故函数f (x )的最大值为65.故选A .22.(2016·全国2·理T9)若cos (π4-α)=35,则sin 2α=( ) A.725B.15C.-15D.-725【答案】D【解析】cos [2(π4-α)]=2cos 2(π4-α)-1=2×(35)2-1=-725,且cos [2(π4-α)]=cos (π2-2α)=sin 2α,故选D .23.(2016·全国3·理T5)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425 B.4825C.1D.1625【答案】A 【解析】由tan α=34,得cos2α+2sin 2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=1+4×341+(34)2=42516=6425.故选A .24.(2016·全国3·文T6)若tan θ=-13,则cos 2θ=( ) A.-45B.-15C.15D.45【答案】D【解析】cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=1-(-13)21+(-13)2=45.故选D .25.(2016·全国1·理T12)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π4为f (x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(π18,5π36)单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5【答案】B【解析】由题意知π4--π4=T4+kT2,k ∈Z,即π2=2k+14T=2k+14·2πω,k ∈Z,又ω>0,所以ω=2k+1,k ∈Z .又因为f (x )在(π18,5π36)单调, 所以5π36−π18≤T2,T ≥π6,即2πω≥π6,ω≤12.因为ω>0,所以0<ω≤12.若ω=11,又|φ|≤π2,则φ=-π4,此时f (x )=sin 11x-π4,f (x )在π18,3π44单调递增,在3π44,5π36单调递减,不满足条件;若ω=9,又|φ|≤π2,则φ=π4,此时f (x )=sin 9x+π4,满足f (x )在π18,5π36单调的条件,由此得ω的最大值为9.26.(2016·山东·理T7)函数f(x)=(√3sin x+cos x)(√3cos x-sin x)的最小正周期是( ) A.π2 B .πC.3π2D.2π【答案】B【解析】f (x )=2sin (x +π6)×2cos (x +π6)=2sin (2x +π3),故最小正周期T=2π2=π,应选B .27.(2016·浙江·理T5)设函数f(x)=sin 2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( ) A.与b 有关,且与c 有关 B.与b 有关,但与c 无关 C.与b 无关,且与c 无关 D.与b 无关,但与c 有关【答案】B【解析】f (x )=sin 2x+b sin x+c=1-cos2x2+b sin x+c =-12cos 2x+b sin x+12+c.当b=0时,f (x )=-12cos 2x+12+c ,周期T=π; 当b ≠0时,f (x )=-12cos 2x+b sin x+12+c ,∵y=-12cos 2x 的周期为π,y=b sin x 的周期为2π, ∴f (x )的周期T=2π.∴f (x )的最小正周期与b 有关,但与c 无关.故选B .28.(2016·全国2·文T3)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( ) A.y=2sin (2x -π6) B.y=2sin (2x -π3)C.y=2sin (x +π6)D.y=2sin (x +π3)【答案】A【解析】由题图知,A=2,周期T=2[π3-(-π6)]=π, 所以ω=2ππ=2,y=2sin(2x+φ). 因为函数图象过点(π3,2), 所以2=2sin (2×π3+φ).所以2π3+φ=2k π+π2(k ∈Z).令k=0,得φ=-π6,所以y=2sin (2x -π6),故选A .29.(2016·全国2·理T 7)若将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A.x=kπ2−π6(k ∈Z) B.x=kπ2+π6(k ∈Z) C.x=kπ2−π12(k ∈Z) D.x=kπ2+π12(k ∈Z)【答案】B【解析】由题意可知,将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度得函数y=2sin [2(x +π12)]=2sin (2x +π6)的图象,令2x+π6=π2+k π(k ∈Z),得x=kπ2+π6(k ∈Z).故选B .30.(2016·全国1·文T 6)将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4) B .y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4) D.y=2sin (2x -π3) 【答案】D【解析】由已知周期T=π,右移14T=π4后得y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3)的图象,故选D .31.(2016·四川·理T 3)为了得到函数y=sin (2x -π3)的图象,只需把函数y=sin 2x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度 C.向左平行移动π6个单位长度 D.向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】y=sin (2x -π3)=sin [2(x -π6)].32.(2016·北京·理T 7)将函数y=sin (2x -π3)图象上的点P (π4,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x 的图象上,则( ) A.t=12,s 的最小值为π6B.t=√32,s 的最小值为π6C.t=12,s 的最小值为π3 D.t=√32,s 的最小值为π3【答案】A【解析】设P'(x ,y ).由题意得t=sin (2×π4-π3)=12,且P'的纵坐标与P 的纵坐标相同,即y=12.又P'在函数y=sin 2x 的图象上,则sin 2x=12,故点P'的横坐标x=π12+k π(k ∈Z)或5π12+k π(k ∈Z),结合题意可得s 的最小值为π4−π12=π6.33.(2016·全国2·文T 11)函数f(x)=cos 2x+6cos (π2-x)的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B【解析】因为f (x )=1-2sin 2x+6sin x=-2sin x-322+112,而sin x ∈[-1,1],所以当sin x=1时,f (x )取最大值5,故选B .34.(2015·福建·文T6)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125B.-125C.512 D.-512【答案】D【解析】∵sin α=-513,且α为第四象限角,∴cos α=√1-sin 2α=1213.∴tan α=sinαcosα=-512.35.(2015·全国1·理T 2,)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.-√32 B.√32C.-12D.12【答案】D【解析】sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(10°+20°)=sin 30°=12.36.(2015·重庆·理T9)若tan α=2tan π5,则cos (α-3π10)sin (α-π5)=( )A.1B.2C.3D.4 【答案】C【解析】因为tan α=2tan π5,所以cos (α-3π10)sin (α-π5)=sin (α-3π10+π2)sin (α-π5)=sin (α+π5)sin (α-π5)=sinαcos π5+cosαsin π5sinαcos π5-cosαsin π5=tanα+tan π5tanα-tan π5=3tan π5tan π5=3.37.(2015·重庆·文T6)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=( ) A.17 B.16C.57D.56【答案】A【解析】tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tanα1+tan (α+β)tanα=12-131+12×13=17.38.(2015·安徽·理T10)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( ) A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2) C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2) 【答案】A【解析】将要比较的函数值化归到函数的同一单调区间内.∵f (x )的最小正周期为π,∴f (-2)=f (π-2).又当x=2π3时,f (x )取得最小值, 故当x=π6时,f (x )取得最大值,π6,2π3是函数f (x )的一个递减区间.又∵π6<π-2<2<2π3,∴f (π-2)>f (2),即f (-2)>f (2).再比较0,π-2与对称轴x=π6距离的大小.∵π-2-π6-0-π6=5π6-2-π6=2π3-2>0, ∴f (0)>f (π-2),即f (0)>f (-2),综上,f (0)>f (-2)>f (2).故选A .39.(2015·全国1·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( ) A.(kπ-14,kπ+34),k ∈ZB.(2kπ-14,2kπ+34),k ∈Z C.(k -14,k +34),k ∈ZD.(2k -14,2k +34),k ∈Z 【答案】D【解析】不妨设ω>0,由函数图象可知,其周期为T=2×(54-14)=2,所以2πω=2,解得ω=π.所以f (x )=cos(πx+φ).由图象可知,当x=12(14+54)=34时,f (x )取得最小值,即f (34)=cos (3π4+φ)=-1, 解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z),解得φ=2k π+π4(k ∈Z). 令k=0,得φ=π4,所以f (x )=cos (πx +π4). 令2k π≤πx+π4≤2k π+π(k ∈Z), 解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z).所以函数f (x )=cos (πx +π4)的单调递减区间为[2k -14,2k +34](k ∈Z).结合选项知选D .40.(2015·陕西·理T 3文T 14)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin (π6x +φ)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10 【答案】C【解析】因为sin (π6x +φ)∈[-1,1],所以函数y=3sin (π6x +φ)+k 的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知k-3=2,解得k=5. 所以y 的最大值为k+3=5+3=8.故选C .41.(2015·山东·理T 3文T 4)要得到函数y=sin (4x -π3)的图象,只需将函数y=sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位 D.向右平移π3个单位【答案】B【解析】∵y=sin (4x -π3)=sin [4(x -π12)],∴只需将函数y=sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可.42.(2014·全国1·T 文2)若tan α>0,则( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0【答案】C【解析】由tan α>0知角α是第一或第三象限角,当α是第一象限角时,sin 2α=2sin αcos α>0;当α是第三象限角时,sin α<0,cos α<0,仍有sin 2α=2sin αcos α>0,故选C . 43.(2014·大纲全国·文T2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45B.35C.-35D.-45【答案】D【解析】设角α的终边上点(-4,3)到原点O 的距离为r ,r=√(-4)2+32=5,∴由余弦函数的定义,得cos α=x r =-45,故选D .44.(2014·全国1·理T8)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( ) A.3α-β=π2 B.3α+β=π2 C.2α-β=π2 D.2α+β=π2【答案】C 【解析】由已知,得sinαcosα=1+sinβcosβ, ∴sin αcos β=cos α+cos αsin β. ∴sin αcos β-cos αsin β=cos α. ∴sin(α-β)=cos α, ∴sin(α-β)=sin (π2-α). ∵α∈(0,π2),β∈(0,π2), ∴-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2,∴α-β=π2-α,∴2α-β=π2.故选C .45.(2014·大纲全国·理T3)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b 【答案】C【解析】∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=sin35°cos35°, ∴sin35°cos35°>sin 35°>sin 33°.∴c>b>a.故选C .46.(2014·全国1·文T7)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos (2x +π6),④y=tan (2x -π4)中,最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③【答案】A【解析】由于y=cos|2x|=cos 2x,所以该函数的周期为2π2=π;由函数y=|cos x|的图象易知其周期为π;函数y=cos (2x +π6)的周期为2π2=π;函数y=tan （2x-π4）的周期为π2,故最小正周期为π的函数是①②③,故选A.47.(2014·全国1·理T 6)如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )【答案】C【解析】由题意知|OM|=|cos x|,f(x)=|OM||sin x|=|sin xcos x|=12|sin 2x|,由此可知C 项中图符合.故选C .48.(2014·浙江·理T 4)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数y=√2cos 3x 的图象 ( ) A.向右平移π4个单位 B.向左平移π4个单位 C.向右平移π12个单位 D.向左平移π12个单位【答案】C【解析】y=sin 3x+cos 3x=√2cos (3x -π4)=√2cos [3(x -π12)],因此需将函数y=√2cos 3x 的图象向右平移π12个单位.故选C .49.(2013·浙江·理T6)已知α∈R,sin α+2cos α=√102,则tan 2α=( ) A.43B.34C.-34 D.-43【答案】C【解析】由sin α+2cos α=√102,得sin α=√102-2cos α. ① 把①式代入sin 2α+cos 2α=1中可解出cos α=√1010或cos α=3√1010, 当cos α=√1010时,sin α=3√1010; 当cos α=3√1010时,sin α=-√1010. ∴tan α=3或tan α=-13,∴tan 2α=-34.50.(2013·大纲全国·文T2)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A.-1213B.-513C.513D.1213【答案】A 【解析】∵α是第二象限角,∴cos α=-√1-sin 2α=-√1-(513)2=-1213.故选A . 51.(2013·广东·文T4)已知sin (5π2+α)=15,那么cos α=( ) A.-25 B.-15C.15 D.25【答案】C【解析】∵sin (5π2+α)=sin (π2+α)=cos α=15,∴cos α=15.52.(2013·全国2·文T6)已知sin 2α=23,则cos 2(α+π4)=( )A.16 B.13C.12D.23【答案】A【解析】由降幂公式变形,可得cos 2(α+π4)=1+cos (2α+π2)2=1-sin2α2=1-232=16.53.(2012·全国·理T9)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)单调递减,则ω的取值范围是()A.[12,54] B.[12,34] C.(0,12] D.(0,2]【答案】A【解析】结合y=si n ωx的图象可知y=sin ωx在[π2ω,3π2ω]单调递减,而y=sin（ωx+π4）=sin[ω（x+π4ω）],可知y=sin ωx的图象向左平移π4ω个单位之后可得y=sin(ωx+π4)的图象,故y=sin(ωx+π4)在[π4ω,5π4ω]单调递减,故应有[π2,π]⊆[π4ω,5π4ω],解得12≤ω≤54.54.(2012·全国·文T9)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=()A.π4B.π3C.π2D.3π4【答案】A【解析】由题意可知函数f(x)的周期T=2×(5π4-π4)=2π,故ω=1,∴f(x)=sin(x+φ).令x+φ=kπ+π2,将x=π4代入可得φ=kπ+π4,∵0<φ<π,∴φ=π4.55.(2011·全国·理T5文T7)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )A.-45B.-35C.35D.45【答案】B【解析】由三角函数的定义知tan θ=2,且θ为第一或第三象限角,故由“1”的代换得cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos 2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-221+22=-35.56.(2011·全国·理T11)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则()A.f(x)在(0,π2)单调递减B.f(x)在(π4,3π4)单调递减C.f(x)在(0,π2)单调递增D.f(x)在(π4,3π4)单调递增【答案】A【解析】∵f (x )=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin ωx+φ+π4,又∵f (x )的最小正周期为π,∴2πω=π,即ω=2.又f (-x )=f (x ),故f (x )是偶函数,即φ+π4=π2+k π(k ∈Z),φ=k π+π4(k ∈Z).因|φ|<π2,取k=0,则φ=π4,从而f (x )=√2cos 2x ,且在(0,π2)上单调递减,故选A .57.(2011·全国·文T11)设函数f(x)=sin (2x +π4)+cos (2x +π4),则( ) A.y=f(x)在(0,π2)单调递增,其图象关于直线x=π4对称B.y=f(x)在(0,π2)单调递增,其图象关于直线x=π2对称C.y=f(x)在(0,π2)单调递减,其图象关于直线x=π4对称D.y=f(x)在(0,π2)单调递减,其图象关于直线x=π2对称【答案】D【解析】∵f (x )=sin (2x +π4)+cos (2x +π4)=√2sin (2x +π4+π4)=√2cos 2x ,∴f (x )在(0,π2)内单调递减,且图象关于直线x=π2对称.故选D . 58.(2010·全国·理T9)若cos α=-45,α是第三象限的角,则1+tan α21-tanα2=( )A.-12B.12C.2D.-2【答案】A【解析】∵cos α=-45,α为第三象限角,∴sin α=-35.1+tan α21-tan α2=1+sin α2cos α21-sin α2cos α2=cos α2+sin α2cos α2-sin α2=(cos α2+sin α2) 2(cos α2+sin α2)(cos α2-sin α2)=1+sinαcos 2α2-sin 2α2=1+sinαcosα=-12.59.(2010·全国·文T10)若cos α=-45,α是第三象限的角,则sin (α+π4)等于( )A.-7√210B.7√210C.-√210 D.√210【答案】A【解析】因为α是第三象限的角,所以sin α<0.sin α=-√1-cos 2α=-√1-(-45)2=-35.故sin (α+π4)=sin αcos π4+cos αsin π4=√22(sin α+cos α)=√22(-35-45)=-7√210.60.(2010·全国·文T 6)如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P 0(√2 ,-√2),角速度为1,那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数大致图象为( )【答案】C【解析】因为d 是圆周上的点P 到x 轴的距离,所以每转半周,即π弧度,d 的值就会周期性出现,又质点P 的角速度为1,可知,该函数的周期为T=π1=π.起始点为P 0(√2,-√2)在第四象限,对应的d=√2,逆时针旋转到x 轴时,d 的值逐渐减小到0且此时t=π4.综上,只有C 项满足,故选C .61.(2019·江苏·T13)已知tanαtan (α+π4)=-23,则sin 2α+π4的值是 .【答案】√210 【解析】由tanαtan (α+π4)=tanαtanα+11-tanα=tanα(1-tanα)tanα+1=-23,得3tan 2α-5tan α-2=0,解得tan α=2或tan α=-13.又sin (2α+π4)=sin 2αcos π4+cos 2αsin π4=√22(sin 2α+cos 2α)=√22×2sinαcosα+cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=√22×2tanα+1-tan 2αtan 2α+1. (*) ①当tan α=2时,(*)式=√22×2×2+1-2222+1=√22×15=√210;②当tan α=-13时,(*)式=√22×2×(-13)+1-(-13)2(-13)2+1=√22×13-19109=√210.综上,sin (2α+π4)=√210.62.(2019·全国1·文T 15)函数f(x)=sin (2x +3π2)-3cos x 的最小值为.【答案】-4【解析】f(x)=sin (2x +3π2)-3cos x =-cos 2x-3cos x =-2cos 2x-3cos x+1=-2(cosx +34)2+178. ∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=1时,f(x)min =-4. 故函数f(x)的最小值是-4.63.(2018·全国2·理T15)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= . 【答案】—12【解析】∵(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=1,∴sin 2α+cos 2β+cos 2α+sin 2β+2sin αcos β+2sin βcos α=1+1+2sin(α+β)=1. ∴sin(α+β)=−12.64.(2018·全国2·文T15)已知tan α-5π4=15,则tan α=_________.【答案】32【解析】∵tan (α-54π)=tanα-tan 54π1+tanαtan 54π=tanα-11+tanα=15,∴5tan α-5=1+tan α.∴tan α=32.65.(2018·北京·理T11)设函数f(x)=cos (ωx -π6)(ω>0).若f(x)≤f (π4)对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为____________. 【答案】23【解析】∵f(x)≤f (π4)对任意的实数x 都成立,∴当x=π4时,f(x)取得最大值,即f (π4)=cos (π4ω-π6)=1, ∴π4ω-π6=2k π,k ∈Z,∴ω=8k+23,k ∈Z. ∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值23.66.(2018·全国3·理T 15)函数f(x)=cos (3x +π6)在[0,π]的零点个数为 . 【答案】3【解析】令f(x)=cos (3x +π6)=0,得3x+π6=π2+k π,k ∈Z,∴x=π9+kπ3=(3k+1)π9,k ∈Z.则在[0,π]的零点有π9,4π9,7π9.故有3个.67.(2018·全国1·理T 16)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 . 【答案】3√32【解析】由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x 的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x-2. 令f'(x)=0,可得cos x=12或cos x=-1,x ∈[0,2π)时,解得x=π3或x=5π3或x=π. 因为f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在x=π3,x=5π3,x=π或x=0时取到,且f (π3)=3√32,f (5π3)=-3√32,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-3√32.68.(2018·江苏·T 7)已知函数y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的图象关于直线x=π3对称,则φ的值为_______. 【答案】−π6【解析】由题意可得sin (2π3+φ)=±1,解得2π3+φ=π2+k π(k ∈Z),即φ=-π6+k π(k ∈Z). 因为-π2<φ<π2,所以k=0,φ=-π6.69.(2017·北京·文T9)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= 【答案】13【解析】由角α与角β的终边关于y 轴对称,得α+β=2k π+π,k ∈Z,即β=2k π+π-α,k ∈Z,故sinβ=sin(2k π+π-α)=sin α=13.70.(2017·全国1·文T15)已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos (α-π4)=__________.【答案】3√1010【解析】由tan α=2,得sin α=2cos α. 又sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=15.因为α∈(0,π2),所以cos α=√55,sin α=2√55.因为cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4,所以cos (α-π4)=√55×√22+2√55×√22=3√1010.71.(2017·北京·理T12)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则cos(α-β)=________________. 【答案】-79【解析】由角α与角β的终边关于y 轴对称可得β=(2k+1)π-α,k ∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sin 2α-1=2×(13)2-1=-79.72.(2017·江苏·T5)若tan (α-π4)=16,则tan α=________.【答案】75【解析】因为tan (α-π4)=tanα-tan π41+tanα·tan π4=tanα-11+tanα=16,所以tan α=75.73.(2017·全国2·理T 14)函数f(x)=sin 2x+√3cos x-34(x ∈[0,π2])的最大值是________. 【答案】1【解析】由题意可知f (x )=1-cos2x+√3cos x-34=-cos 2x+√3cos x+14=-(cosx -√32)2+1.因为x ∈[0,π2],所以cos x ∈[0,1]. 所以当cos x=√32时,函数f (x )取得最大值1.74.(2017·全国2·文T 13)函数f(x)=2cos x+sin x 的最大值为 . 【答案】√5【解析】因为f (x )=2cos x+sin x=√5sin(x+φ)(其中tan φ=2),所以f (x )的最大值为√5. 75.(2016·全国1·文T14)已知θ是第四象限角,且sin (θ+π4)=35,则tan (θ-π4)= . 【答案】-43【解析】∵sin (θ+π4)=35,∴cos (θ-π4)=cos [(θ+π4)-π2]=35.又θ是第四象限角,∴θ-π4是第三或第四象限角.∴sin (θ-π4)=-45.∴tan (θ-π4)=-43.76.(2016·四川·文T 11)sin 750°= . 【答案】12【解析】sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12. 77.(2016·四川·理T11)cos 2π8-sin 2π8=_________. 【答案】√22【解析】cos 2π8-sin 2π8=cos π4=√22.78.(2016·浙江·T10)已知2cos 2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=√2,b= . 【答案】1【解析】因为2cos 2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=√2sin (2x +π4)+1,所以A=√2,b=1.79.(2016·全国3·理T 14)函数y=sin x-√3cos x 的图象可由函数y=sin x+√3cos x 的图象至少向右平移_______个单位长度得到. 【答案】2π3【解析】因为y=sin x+√3cos x=2sin (x +π3),y=sin x-√3cos x=2sin （x-π3）=2sin[（x-2π3）+π3],所以函数y=sin x-√3cos x 的图象可由函数y=sin x+√3cos x 的图象至少向右平移2π3个单位长度得到.80.(2015·江苏·理T8)已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为 . 【答案】3【解析】tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tanα1+tanαtan (α+β)=17+21-27=3.81.(2015·四川·理T 12)sin 15°+sin 75°的值是_____________. 【答案】√62【解析】sin 15°+sin 75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=2sin 45°cos 30°=2×√22×√32=√62. 82.(2015·四川·文T13)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos 2α的值是 . 【答案】-1【解析】由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.所以原式=2sinαcosα-cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα-1tan 2α+1=2×(-2)-1(-2)2+1=-55=-1. 83.(2015·天津·文T14)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx (ω>0),x ∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 . 【答案】√π2【解析】f (x )=sin ωx+cos ωx=√2sin ωx+π4,因为f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f (ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+π4=2k π+π2,k ∈Z,所以ω2=π4+2k π,k ∈Z . 又ω-(-ω)≤2πω2,即ω2≤π2,所以ω=√π2.84.(2015·湖南·文T15)已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2√3,则ω=____________. 【答案】π2【解析】如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图象,A ,B 为符合条件的两交点.则A (π4ω,√2),B (-3π4ω,-√2), 由|AB|=2√3,得√(πω)2+(2√2)2=2√3,解得πω=2,即ω=π2.85.(2014·全国2·理T14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 . 【答案】1【解析】∵f (x )=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sin φ=sin[(x+φ)-φ]=sin x.∴f(x)max=1.86.(2014·全国2·文T14)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为. 【答案】1【解析】∵f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x=sin x cos φ-cos x sin φ=sin(x-φ),∴f(x)max=1.87.(2014·重庆·文T13)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x的图象,则f(π6)=______.【答案】√22【解析】本题可逆推,将y=sin x的图象向左平移π6个单位长度得到y=sin(x+π6)的图象,再保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的两倍,得到f(x)=sin(12x+π6)的图象.所以f(π6)=sin(π12+π6)=sinπ4=√22.88.(2014·全国2·理T14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为. 【答案】1【解析】∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sin φ=sin[(x+φ)-φ]=sin x.∴f(x)max=1.89.(2014·全国2·文T14)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为. 【答案】1【解析】∵f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x=sin x cos φ-cos x sin φ=sin(x-φ),∴f (x )max =1.90.(2013·全国2·理T15)设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 【答案】-√105【解析】由tan (θ+π4)=1+tanθ1-tanθ=12,得tan θ=-13,即sin θ=-13cos θ.将其代入sin 2θ+cos 2θ=1,得109cos 2θ=1.因为θ为第二象限角,所以cos θ=-3√1010,sin θ=√1010,sin θ+cos θ=-√105.91.(2013·全国2·文T 16)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin (2x +π3)的图象重合,则φ=_________. 【答案】A【解析】由降幂公式变形,可得cos 2(α+π4)=1+cos (2α+π2)2=1-sin2α2=1-232=16.92.(2013·全国1·理T 15文T 16)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则cos θ= . 【答案】−2√55【解析】∵f (x )=sin x-2cos x=√5sin(x-φ), 其中sin φ=2√55,cos φ=√55.当x-φ=2k π+π2(k ∈Z)时,f (x )取最大值. 即θ-φ=2k π+π2(k ∈Z),θ=2k π+π2+φ(k ∈Z).∴cos θ=cos (π2+φ)=-sin φ=-2√55. 93.(2011·江西·理T14)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y= . 【答案】-8【解析】∵sin θ=-2√55<0及P (4,y )是角θ终边上一点,∴θ为第四象限角.又由三角函数的定义得√4+y 2=-2√55,且y<0,∴y=-8(合题意),y=8(舍去).故y=-8.94.(2019·浙江·T18)设函数f(x)=sin x,x ∈R. (1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值; (2)求函数y=f x+π122+f x+π42的值域.【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),。

2010年高考数学试题(大纲课程卷)分类解析(一)--集合、函数、三角函数、极限和导数

摘要：通过对 “ 合、函数、三角函数、极限和导数 ” 等性质的考查，是高考考查的重点，除了基础题考查独立的函数集
内容的每个知识点在２１００年高考大纲课程地区试卷中出现的内性质与图象外，通常结合集合、不等式、方程、数列、导数等容和频数对照考点进行了分类统计分析，对该类试题进行剖析知识，考查学生处理综合问题的能力．有客观题，填空题，也有与新题赏析，并对学生在高考中的典型解法和出现的错误进行解答题．既有简单题，中等题，又有难题．函数和导数结合考查深刻分析，指出了２１高考中本专题的考查热点、重点考查单调性、函数的极值、最值等问题，每年主要以解答题的形式００年内容与解题思想方法以及今后高中数学教学与高考复习的应对出现．而函数与不等式、数列、导数结合的考题，主要利用构造策略，提供给同行在高中数学教学与高考复习时参考．
０多分，教学时要引起性的试题主要利用导数知识进行求解．函数的综合应用主要与方法的综合运用进行求解，分值大概３
对数函数
７
１０
２
注：未考点：映射和有理指数幂的运算．一次考点：函数的应用举例（湖北卷－理）和指数函数（重庆卷・）次考点：互为文．二
反函数的图象关系（江西卷・文理）和指数概念扩充（国卷Ｉ・全文理）．
２３年００第７８＼－期
Ｊｕ１ｆｈｅａｅａｃＥｕａｏ０ｍａｏＣｉｓＭｔｍｔｓｄｅｔｎｎｅｈｉｉ

2010年高考全国数学卷(全国Ⅱ.理)(含详解答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）数学(理科）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。

【解析】由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选D.（3）.若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A(1,1),B(1,4),C(1,1)---构成的三角形，可知目标函数过C 时最大，最大值为3，故选C.（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=== （5）不等式2601x x x ---＞的解集为（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】s i n (2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将s i n (2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若C B a =u u r ，CA b =uu r，1a =，2b =，则CD =u u u r（A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA2=DBCB 1=，所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==- ，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+，故选B.（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】332211',22y x k a --=-∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

高考题(2010年三角函数文科)

2010年高考题（三角函数文科）一、选择题1．（全国卷Ⅰ文1）= 300cos ( )A ．23-； B ．21- ； C ．21 ； D ．232．（全国卷Ⅱ文3）已知32sin =α，则=-)2cos(απ ( ) A ．35-； B ．91- ； C ．91 ； D ．353．（湖北卷文2）函数)42sin(3)(π-=x x f (R x ∈)的最小正周期为 ( )A ．2π； B ．π ； C ．π2 ； D ．π44．（四川卷文7）将函数x y sin =的图象上的所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为( )A ．)102sin(π-=x y ；B ．)52sin(π-=x y ；C ．)1021sin(π-=x y ；D ．)2021sin(π-=x y5．（重庆卷文6）下列函数中，周期为π，且在]2,4[ππ上为减函数的是( )A ．)22sin(π+=x y ；B ．)22cos(π+=x y ；C ．)2sin(π+=x y ；D ．)2cos(π+=x y6．（江西卷文6）函数1sin sin 2-+=x x y 的值域为( )A ．]1,1[- ；B ．]1,45[-- ；C ．]1,45[- ；D ．]45,1[-7．（宁夏、海南、黑龙江、吉林卷文10）54cos -=α，α是第三象限的角，则=+)4sin(πα ( )A ．1027-； B ．1027 ； C ．102- ； D ．1027．（宁夏、海南、黑龙江、吉林卷文6）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为)2,2(0-P ，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )8．（辽宁卷文6）设0>ω，函数2)3sin(++=πωx y 的图象向右平移34π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A ．32 ；B ．34 ；C ．23； D ．39．（天津卷文8）下图是函数)sin(ϕω+=x A y (R x ∈)在区间]65,6[ππ-上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将函数x y sin =(R x ∈)的图象上所有的点( )A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变；B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变；D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10．（浙江卷文6）设20π<<x ，则“1sin 2<x x ”是“1sin <x x ”的( )A ．充分而不必要条件；B ．必要而不充分条件；C ．充分必要条件；D ．既不充分也不必要条件11．（福建卷文2）计算 5.22sin 212-的结果等于( )A ．21 ； B ．22 ； C ．33 ； D ．2312．（福建卷文10）将函数)sin()(ϕω+=x x f 的的图象向左平移2π个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4 ；B ．6 ；C ．8 ；D ．12 13．（北京卷文7）某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为( )A ．2cos 2sin 2+-αα ；B ．3cos 3sin +-αα ；C ．1cos 3sin 3+-αα ；D ．1cos sin 2+-αα14．（陕西卷文3）函数x x x f cos sin 2)(=是( )A ．最小正周期为π2的奇函数；B ．最小正周期为π2的偶函数；C ．最小正周期为π的奇函数；D ．最小正周期为π的偶函数 15．（湖南卷文7）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若120=∠C ，a c 2=，则( )A ．b a > ；B ． b a < ；C ．b a = ；D ．a 与b 的大小关系不能确定二、填空题 1．（2010年全国卷Ⅰ文14）已知α为第三象限的角，53sin =α，则=α2tan 2．（2010年全国卷Ⅱ文13）已知α是第二象限的角，21tan -=α，则=αcos 3．（宁夏、海南、黑龙江、吉林卷文16）在AB C ∆中，D 为边BC 上一点，BD BC 3= 2=AD ， 135=∠ADB ，若AB AC 2=，则=BD4．（山东卷文15）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2=a ，2=b ，2cos sin =+B B ，则A 的大小为5．（广东卷文13）已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边若1=a ，3=b ，B C A 2=+，则=A sin6．（江苏卷文10）定义在区间)2,0(π上的函数x y cos 6=的图象与x y tan 5=的图象的交点为P ，过点P 作x PP ⊥1轴于点1P ，直线1PP 与x y sin =交于点2P ，则线段21P P 的长为7．（江苏卷文13）在锐角ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， C b a a b cos 6=+，则=+BC A C tan tan tan tan8．（浙江卷文12）函数)42(sin )(2π-=x x f 的最小正周期是9．（福建卷文16）观察下列等式： ①1cos 22cos 2-=αα②1cos 8cos 84cos 24+-=ααα③1cos 18cos 48cos 326cos 246-+-=αααα④1cos 32cos 160cos 256cos 1288cos 2468+-+-=ααααα⑤1cos cos cos 1120cos 1280cos 10cos 246810-+++-=ααααααp n m 可以推测=+-p n m10．（北京卷文10）在ABC ∆中，1=b ，3=c ，32π=∠C ，则=a三、解答题 1．（全国卷Ⅰ文18）已知ABC ∆的内角A 、B 及其对边a 、b 满足B b A a b a cot cot +=+，求内角C ．2．（全国卷Ⅱ文17）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33=BD ，135sin =B ，53cos =∠ADC ，求AD ．3．（湖北卷文16）已知函数2sin cos )(22xx x f -=，412sin 21)(-=x x g ．（Ⅰ）函数)(x f 的图象可由函数)(x g 的图象经过怎样的变化得出？（Ⅱ）求函数)()()(x g x f x h -=的最小值，并求使)(x h 取得最小值的x 的集合．4．（四川卷文19）（Ⅰ）证明两角和的余弦公式)(βα+C ：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ （Ⅱ）由)(βα+C 推导两角和的正弦公式)(βα+S ：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+（Ⅲ）已知54cos -=α，)23,(ππα∈，31tan -=β，),2(ππβ∈，求)cos(βα+．5．（重庆卷文18）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且bc a c b 24333222=-+．（Ⅰ）求A sin 的值；（Ⅱ）求AC B A 2cos 1)4sin()4sin(2-+++ππ的值． 6．（江西卷文19）已知函数)4sin()4sin(2sin )cot 1()(2ππ-+-+=x x x x x f ．（Ⅰ）若2tan =α，求)(αf ；（Ⅱ）若]2,12[ππ∈x ，求)(x f 的取值范围．7．（山东卷文17）已知函数x x x x f ωωωπ2cos cos )sin()(+-= (0>ω)的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数)(x f y =的图象上各点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g y =在]16,0[π上的最小值．8．（广东卷文16）已知函数)6sin(3)(πω+=x x f (0>ω，),(+∞-∞∈x ，且以2π为最小正周期．（Ⅰ）求)0(f ；（Ⅱ）求)(x f 的解析式；（Ⅲ）若59)124(=+παf ，求αsin 的值． 9．（江苏卷文17）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位m )，如示意图，垂直放置的标杆BC 高度m h 4=，仰角α=∠ABE ，β=∠ADE（Ⅰ）该小组已经测得一组α，β的值，24.1tan =α，20.1tan =β，请据此算出H 的值；（Ⅱ）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d (单位m )，使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为m 125，问d 为多少时，βα-最大？10．（辽宁卷文17）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若1sin sin =+C B ，试判断ABC ∆的形状．11．（天津卷文17）在ABC ∆中，CBAB AC cos cos = （Ⅰ）证明：C B =；（Ⅱ）若31cos -=A ，求)34sin(π+B 的值．12．（安徽卷文16）ABC ∆的面积是30，内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，1312cos =A ．（Ⅰ）求AC AB ⋅；（Ⅱ）若1=-b c ，求a 的值． 13．（浙江卷理18）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设S 为ABC ∆的面积，满足)(43222c b a S -+=．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求B A sin sin +的最大值．14．（福建卷文21）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西 30且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（Ⅲ）是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由．15．（北京卷文15）已知函数x x x f 2sin 2cos 2)(+=．（Ⅰ）求)3(πf 的值；（Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值．16．（陕西卷文17）在ABC ∆中，已知 45=B ，D 是BC 边上的一点，10=AD14=AC ，6=DC ，求AB 的长．17．（湖南卷文16）已知函数x x x f 2sin 22sin )(-=．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 的最大值及)(x f 取最大值时x 的集合．ACB D。

高考数学2010年全国卷1理科试题答案及解析

高考数学试卷第I 卷一．选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i i i i +++++-===--+. (2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=B. C.D.2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,所以tan100tan80︒=-sin 80cos80k=-=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-⨯-=.x +20y -=（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 424.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =, 所以13336456465528()()(50)52a a a a a a a a a ===== (5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 45.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】35533(12)(1)(16128)(1)x x x x x x x +-=+++-故353(12)(1)x x +-的展开式中含x 的项为3303551()1210122C x xC x x x ⨯-+=-+=-,所以x 的系数为-2.(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.AB C DA 1B 1C 1D 1 O(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A23 B 33 C 23D 637.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a, 则12211133sin 60(2)2222ACD S AC AD a a ∆==⨯⨯=,21122ACD S AD CD a ∆==. 所以1312333ACD ACD S DD a DO a S a∆∆===,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则13sin 3DO DD θ==,所以6cos 3θ=. （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b, c=125-=15,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b. (9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P到x 轴的距离为(A)32 (B)62(C) 3 (D) 69.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]12a PF e x a ex x c =--=+=+，22000||[)]21a PF e x ex a x c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 0602220000(12)(21)(22)2(12)(21)x x x x ++--=+-,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为06||2y =（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 222a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a =，所以a+2b=2a a+ 又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). （11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •的最小值为(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，21x +，2sin 1xα=+PA BO||||cos 2PA PB PA PB α•=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令PA PB y •=，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得322y ≤--或322y ≥-+.故min ()322PA PB •=-+.此时21x =-.（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)233 (B)433 (C) 23 (D) 83312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,22max 22123h =-=,故max 433V =.绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2010年全国统一高考真题数学试卷(理科)(大纲版ⅱ)(含答案及解析)

2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数（）2=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i2．（5分）函数的反函数是（）A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y=e2x﹣1+1（x＞0）C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y=e2x﹣1+1（x∈R）3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14B．21C．28D．355．（5分）不等式＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3} 6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）A．+B．+C．+D．+9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．310．（5分）若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）A．64B．32C．16D．811．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣，则tanα=．14．（5分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=．15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=．16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M 与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：++…+＞3n．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．22．（12分）设函数f（x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数（）2=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．【解答】解：（）2=[]2=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i．故选：A．【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．2．（5分）函数的反函数是（）A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y=e2x﹣1+1（x＞0）C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y=e2x﹣1+1（x∈R）【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x=e 2y﹣1+1，∴f﹣1（x）=e 2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z max=3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14B．21C．28D．35【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．5．（5分）不等式＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】解，可转化成f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解．【解答】解：⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，故选：C．【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题．6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有=3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6种放法，∴共有3×6×1=18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】1：常规题型．【分析】先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．【解答】解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），所以将y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y=sin（2x﹣）的图象，故选：B．【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）A．+B．+C．+D．+【考点】9B：向量加减混合运算．【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故选：C．【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．10．（5分）若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）A．64B．32C．16D．8【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】31：数形结合．【分析】欲求参数a值，必须求出在点（a，）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=a处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到切线的方程，最后求出与坐标轴的交点坐标结合三角形的面积公式．从而问题解决．【解答】解：y′=﹣，∴k=﹣，切线方程是y﹣=﹣（x﹣a），令x=0，y=，令y=0，x=3a，∴三角形的面积是s=•3a•=18，解得a=64．故选：A．【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．11．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】16：压轴题．【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为=（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF=；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A．1B．C．D．2【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1=﹣3y2，∵，设，b=t，∴x2+4y2﹣4t2=0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣，则tanα=．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】根据诱导公式tan（π+α）=tanα得到tan2α，然后利用公式tan（α+β）=求出tanα，因为α为第二象限的角，判断取值即可．【解答】解：由tan（π+2a）=﹣得tan2a=﹣，又tan2a==﹣，解得tana=﹣或tana=2，又a是第二象限的角，所以tana=﹣．故答案为：．【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力．14．（5分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=1．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得．【解答】解：展开式的通项为=（﹣a）r C9r x9﹣2r令9﹣2r=3得r=3∴展开式中x3的系数是C93（﹣a）3=﹣84a3=﹣84，∴a=1．故答案为1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法．15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=2．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）=2，即x B=2+，得p2+4P﹣12=0，解得p=2，p=﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M 与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=3．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，∴NE=，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE=，ON=3，∴，∴，∴MN=3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM=ON=3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB=2；所以NC=，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC=∴MN=2EN=2•CN•=2××=3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【分析】先由cos∠ADC=确定角ADC的范围，因为∠BAD=∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC=＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sinB=，可得cosB=，又由cos∠ADC=，可得sin∠ADC=．从而sin∠BAD=sin（∠ADC﹣B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB==．由正弦定理得，所以AD==．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：++…+＞3n．【考点】6F：极限及其运算；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）由题意知，由此可知答案．（2）由题意知，==，由此可知，当n≥1时，．【解答】解：（1），所以=；（2）当n=1时，；当n＞1时，===所以，n≥1时，．【点评】本题考查数列的极限问题，解题时要注意公式的灵活运用．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K 为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH 为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H=，C1H=，AC1=，HK=tan∠B1KH=，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】11：计算题．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i=1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）=（1﹣p）3=1﹣0.999=0.001，计算可得，p=0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）=P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD 两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2=3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|=（a﹣2x1）（2x2﹣a）=﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2=5a2+4a+8．又|BF|•|FD|=17，故5a2+4a+8=17．解得a=1，或（舍去），故=6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．22．（12分）设函数f（x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）将函数f（x）的解析式代入f（x）≥整理成e x≥1+x，组成新函数g（x）=e x﹣x﹣1，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．（2）先确定函数f（x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直接得到f（x）≤不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函数判断单调性并求出最值，求a的范围．【解答】解：（1）当x＞﹣1时，f（x）≥当且仅当e x≥1+x令g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（﹣∞，0]是减函数于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即e x≥1+x所以当x＞﹣1时，f（x）≥（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0当a＜0时，若x＞﹣，则＜0，f（x）≤不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，则f（x）≤当且仅当h（x）≤0因为f（x）=1﹣e﹣x，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）﹣1=af（x）﹣axf （x）+ax﹣f（x）（i）当0≤a≤时，由（1）知x≤（x+1）f（x）h'（x）≤af（x）﹣axf（x）+a（x+1）f（x）﹣f（x）=（2a﹣1）f（x）≤0，h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤；（ii）当a＞时，由y=x﹣f（x）=x﹣1+e﹣x，y′=1﹣e﹣x，x＞0时，函数y递增；x＜0，函数y递减．可得x=0处函数y取得最小值0，即有x≥f（x）．h'（x）=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f（x）≥af（x）﹣axf（x）+af（x）﹣f（x）=（2a ﹣1﹣ax）f（x）当0＜x＜时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞综上，a的取值范围是[0，]【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在．。

2010年高考大纲全国卷 II文科数学试题及答案 (云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)

2010年高考大纲全国卷 II 理科数学试题及答案文科数学(必修+选修)(云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)一、选择题（1）设全集{}*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()AB =ð（）（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.∵ A={1,3}。

B={3,5}，∴ {1,3,5}AB =，∴(){2,4}UC A B =故选 C .（2）不等式32x x -+＜0的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或（D ）{}3x x >【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A （3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=（A）3-B ）19-（C ）19（D）3【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（A ）y=1x e +-1(x>0) (B) y=1x e-+1(x>0)(C) y=1x e+-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴ 11ln(1)1,1,1y x x y x ey e ---=--==+另法（一点定乾坤――反函数选择题最快捷的方法）：原函数过点(11e -+,0)，反函数必过点(0,11e -+),符合条件的只有选项D.(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)(附答案,完全word版)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =锥体，其中S 是锥体的底面面积，h 是高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.设集合{1,1,3}A =-，{}4,22++=a a B ，{}3=⋂B A ，则实数a 的值为____▲____. 1.【答案】1.【命题意图】本题考查交集的定义，对求得的集合中的元素要进行检验.【解析】由题意得1,32==+a a .又由342=+a 不符合题意.经检验得1=a .2.设复数z 满足(23)64z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为____▲____. 2.【答案】2.【命题意图】本题考查复数有关运算及复数模的计算. 【解析】由i i z 46)32(+=-得,2)32)(32()32)(46(3246i i i i i i i z =+-++=-+=即2,2=∴=z i z . 3.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球.若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_ ▲__.3.【答案】21. 【命题意图】本题考查古典概型知识. 【解析】31.62p == 4.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有_ ▲__ 根棉花纤维的长度小于20mm. 4.【答案】30.【命题意图】本题考查概率统计中频率分布直方图的有关运用,注意纵坐标是频率/组距.【解析】由频率分布直方图得棉花纤维长度小于mm 20的根数为(0.01+0.01+0.04)301005=⨯⨯. 5.设函数()()xxf x x e ae -=+(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为____▲____. 5.【答案】1-.【命题意图】本题考查函数的奇偶性.【解析】设R x ae e x g xx∈+=-,)(,由题意分析)(x g 应为奇函数(奇函数⨯奇函数=偶函数), 又R x ∈ ，0)0(=∴g ，则,01=+a 所以1-=a .6.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为____▲____.6.【答案】4.【命题意图】本题考查求曲线上点的坐标、双曲线的焦点坐标、两点间距离公式的运用. 【解析】由题意得点15,3(±M ),双曲线的右焦点的坐标为(4,0)，2MF 22)015()43(-±+-==4.或用第二定义：2MFe d==，2d =，4MF =. 7.右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是____▲____.7.【答案】63.【命题意图】本题考查算法流程图,由流程图得出S 的关系式,比较得出S 的值.【解析】由流程图得12345122222S =+++++=1+2+48+16+32=6333≥,即.63=S8.函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中k ∈N *.若116a =，则123a a a ++的值是____▲____.8.【答案】21.【命题意图】考查函数的切线方程、数列的通项.【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2ka x =，所以 1135,1641212kk a a a a a +=++=++=. 9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是____▲____. 9.【答案】(13,13)-.【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.【解析】如图,圆422=+y x 的半径为2,圆上有且仅有四个点到直线的距离为1,问题转化为原点(0,0)到直线05=+-c y x 的距离小于1,即1313,13,151222<<-∴<<+c c c .10.设定义在区间(0,)2π上的函数y=6cosx 的图象与y=5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y=sinx 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为____▲____. 10.【答案】.32y O 0512=+-c y x1 11【命题意图】本题考查三角函数问题,由图象相交,即三角函数值相等,建立关系式,求出,32sin =x 结合图象,数形结合分析P 1P 2的值.【解析】由题意得x x tan 5cos 6=，即x x xxx sin 5cos 6,cos sin 5cos 62==， 226(1sin )5sin ,6sin 5sin 60x x x x -=+-=得,32sin =x 结合图象分析得32sin 21==P P x .11.已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是____▲____.11.【答案】).12,1(--【命题意图】本题考查分段函数的单调性.【解析】2212,10,x x x ⎧->⎪⎨->⎪⎩解得121x -<<，所以x 的取值范围是).12,1(-- 12.设x,y 为实数，满足3≤2xy ≤8，4≤2x y≤9，则34x y 的最大值是____▲____.12.【答案】27.【命题意图】考查不等式的基本性质，等价转化思想.【解析】22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy=⋅∈，43y x 的最大值是27.13.在锐角△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若6cos b a C a b +=,则tan tan tan tan C CA B+的值是 ▲ . 【答案】4.【解析】考查三角函数知识，三角形中的正、余弦定理的应用，等价转化思想. （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性. 当A=B 或a=b 时满足题意，此时有1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，2tan 22C =.等腰三角形中，1tan tan 2tan 2A B C ===，tan tan tan tan C CA B+=4. （方法二）226cos 6cos b a C ab C a b a b +=⇒=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=.2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B+++=⋅=⋅=⋅,由正弦定理，得上式22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅. 14.将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(s =梯形的周长）梯形的面积,则s 的最小值是____▲____. 【答案323. 【解析】考查函数中的建模应用，等价转化思想. 设剪成的小正三角形的边长为x ，则222(3)(01)1133(1)(1)x s x x x x -==<<-⋅+⋅⋅-. （方法一）利用导数求函数最小值.22(3)()13x S x x -=-，2222(26)(1)(3)(2)()(1)3x x x x S x x -⋅---⋅-'=-222(31)(3)(1)3x x x ---=- 1()0,01,3S x x x '=<<=.当1(0,]3x ∈时，()0,S x '<递减；当1[,1)3x ∈时，()0,S x '>递增.故当13x =时，S 323. （方法二）利用函数的方法求最小值.令1113,(2,3),(,)32x t t t -=∈∈，则22218668331t S t t t t==-+--+-.故当131,83x t ==时，S 323. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A --，(2,3)B ，(2,1).C -- (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值.【解析】本小题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）由题设知(3,5)AB =，(1,1)AC =-，则 (2,6)A B A C +=，(4,4).AB AC -=所以||210AB AC +=||4 2.AB AC -= 故所求的两条对角线长分别为42，210.（2）由题设知 (2,1)OC =--，(32,5).AB tOC t t -=++由()0AB tOC OC -=，得(32,5)(2,1)0t t ++--=，从而511t =-，所以11.5t =- 16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900. (1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离.【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.满分14分.解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC. 由∠BCD=900，得BC ⊥DC.又PD DC D ⋂=，PD ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC. （2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF.则易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 由（1）知BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD.因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F. 易知DF=22.又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍，故点A 到平面PBC 2（方法二）连结AC.设点A 到平面PBC 的距离h. 因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 从而由AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=.由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P ABC -的体积11.33ABC V S PD ∆== 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC.又PD=DC=1，所以22 2.PC PD DC =+=由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆的面积22PBC S ∆= 由1121333PBC V S h h ∆===，得2h =.因此，点A 到平面PBC 的距离为2. 17.（本小题满分14分）某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H(单位：m).如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.（1）该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，αβ-最大？【解析】本小题主要考查解三角形、基本不等式、导数等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力.满分14分. 解：（1）由tan H AB α=，tan h BD β=，tan HAD β= 及AB BD AD +=，得tan tan tan H h Hαββ+=，解得tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--.因此，算出的电视塔的高度H 是124m. （2）由题设知d AB =，得tan .H dα= 由tan tan H hAB AD BD ββ=-=-，得tan H h d β-=，所以tan tan tan()()1tan tan 2()h H H h H H h d dαβαβαβ--==≤-+⋅-+，当且仅当()H H h d d-=，即()125121555d H H h -⨯=. 所以当555d =tan()αβ-最大. 因为02πβα<<<，则02παβ<-<，所以当555d =αβ-最大.故所求的d 是555m. 18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0，0,021<>y y . （1）设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关).【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力.满分16分.解：由题设得(3,0)A -，(3,0)B ，(2,0).F（1）设点(,)P x y ，则222(2)PF x y =-+，222(3).PB x y =-+ 由422=-PB PF ，得2222(2)(3)4x y x y -+---=，化简得92x =. 故所求点P 的轨迹为直线92x =. （2）由12x =，2211195x y +=及10y >，得153y =，则点5(2,)3M ，从而直线AM 的方程为113y x =+；由213x =，2222195x y +=及20y <，得2109y =-，则点110(,)39N -，从而直线BN 的方程为5562y x =-. 由11,355,62y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得7,10.3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以点T 的坐标为10(7,)3. （3）由题设知，直线AT 的方程为(3)12m y x =+，直线BT 的方程为(3)6my x =-. 点11(,)M x y 满足112211(3),121,95m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22111(3)(3)(3)9125x x x m -++=-，因为13x ≠-，则211339125x x m -+=-，解得212240380m x m -=+，从而124080m y m =+. 点22(,)N x y 满足2222222(3),61,953,m y x x y x ⎧=-⎪⎪⎪+=⎨⎪≠⎪⎪⎩解得22236020m x m -=+，222020m y m -=+. 若12x x =，则由222224033608020m m m m--=++及0m >，得210m = 此时直线MN 的方程为1x =，过点(1,0).D若12x x ≠，则210m ≠MD 的斜率2222401080240340180MDmm m k m m m +==---+，直线ND 的斜率222220102036040120NDmm m k m mm -+==---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点. 因此，直线MN 必过x 轴上的点(1,0). 19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S .已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立，求证：c 的最大值为29.【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力.满分16分. 解：（111(1)(1)n S S n d a n d =-=-，则当2n ≥时，221111()()232.n n n n n n n a S S S S S S a d d n ---=-==+由2132a a a =+，得221112(2)23a d a a d =+1.a d = 故当2n ≥时，222.n a nd d =-又21a d =，所以数列{}n a 的通项公式为2(21)n a n d =-.（21a d =1(1)n S a n d =-，得0d >，22n S n d =. 于是，对满足题设的k ,，m n ≠，有2222222()99()222m n k m n S S m n d d d k S ++=+>==.所以c 的最大值max 92c ≥.另一方面，任取实数92a >.设k 为偶数，令331,122m k n k =+=-，则k n m ,,符合条件，且22222222331()((1)(1))(94).222m n S S d m n d k k d k +=+=++-=+于是，只要22942k ak +<，即当29k a >-时，就有22122m n k S S d ak aS +<⋅=.所以满足条件的92c ≤，从而max 92c ≤.因此c 的最大值为92.20.（本小题满分16分）设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P . (1)设函数2()ln (1)1b f x x x x +=+>+，其中b 为实数. (i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ；(ii)求函数)(x f 的单调区间.(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P .给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数,21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.满分16分.解：(1)(i)由2()ln 1b f x x x +=++，得'()f x 221.(1)x bx x x -+=+ 因为1x >时，21()0(1)h x x x =>+，所以函数)(x f 具有性质)(b P .(ii)当2b ≤时，由1x >得222121(1)0x bx x x x -+≥-+=->，所以)('x f 0>，从而函数)(x f 在区间),1(+∞上单调递增.当2b >时，解方程210x bx -+=得214b b x --=，224b b x +-=因为214b b x --=2214b b b =<<+-，2241b b x +-=>，所以当2(1,)x x ∈时，)('x f 0<；当2(,)x x ∈+∞时，)('x f 0>；当2x x =时，)('x f =0.从而函数)(x f 在区间2(1,)x 上单调递减，在区间2(,)x +∞上单调递增. 综上所述，当2b ≤时，函数)(x f 的单调增区间为),1(+∞；当2b >时，函数)(x f 的单调减区间为24b b +-，单调增区间为24()b b +-+∞.(2)（方法一）由题意，得22'()()(21)()(1)g x h x x x h x x =-+=-. 又)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，所以对任意的),1(+∞∈x 都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增.当1m =时，1x α=，2x β=，不合题意.1212,(21)()x x m x x αβαβ+=+-=--. 当1,12m m >≠时，αβ<，且112212(1)(1),(1)(1)x m x m x x m x m x αβ-=-+--=-+-， 221212()()(1)()0x x m x x αβ∴--=---<，12x x αβ∴<<<或12x x αβ<<<，若12x x αβ<<<,则12()()()()f f x f x f αβ<<<,12|()()||()()|g g g x g x αβ∴->-,不合题意.12x x αβ∴<<<，即112122(1),(1),x mx m x m x mx x <+-⎧⎨-+<⎩解得1m <，11.2m ∴<< 当12m =时，αβ=，120|()()||()()|g g g x g x αβ=-<-，符合题意. 当12m <时，αβ>，且212112(),()x m x x x m x x αβ-=--=--，同理有12x x βα<<<，112122(1),(1),x m x mx mx m x x <-+⎧⎨+-<⎩解得0m >，10.2m ∴<<综合以上讨论，得所求的m 的取值范围是(0，1).（方法二）由题设知，()g x 的导函数2'()()(21)g x h x x x =-+，其中函数()0h x >对于任意的),1(+∞∈x 都成立，所以，当1x >时，2'()()(1)0g x h x x =->，从而()g x 在区间),1(+∞上单调递增. ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，222(1)mx m x x α<+-=，得12(,)x x α∈，同理可得12(,)x x β∈，所以由()g x 的单调性知()g α，()g β12((),())g x g x ∈，从而有|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，符合题设.②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，于是由1,1αβ>>及()g x 的单调性知12()()()()g g x g x g βα≤<≤，所以|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符.③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，进而得|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符.因此，综合①、②、③得所求的m 的取值范围为(0，1).数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并．在．相应的答题．．．．．区域内作答．．．．．.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C.若DA=DC ，求证：AB=2BC.【解析】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力.满分10分.证明：（方法一）连OD ，则OD ⊥DC.又OA=OD ，DA=DC ，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO ，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO ，所以∠DCO=300，所以OC=2OD ，即OB=BC=OD=OA ，所以AB=2BC.（方法二）连结OD 、BD.因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2OB.因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO=900.又因为DA=DC ，所以∠A=∠C ，于是△ADB ≌△CDO ，从而AB=CO.即2OB=OB+BC ，得OB=BC.故AB=2BC.B.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(2,0),(2,1)A B C --.设k 为非零实数，矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值.【解析】本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力.满分10分.解：由题设得0010011010k k MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.由0001000k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，0201002k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，021012k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可知1(0,0)A ，1(0,2)B -，1(,2)C k -.计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ，则由题设知||212k =⨯=.所以k 的值为2-或2.C.选修4-4：参数方程与极坐标（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值.【解析】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力.满分10分.解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为22222,(1)1x y x x y +=-+=即，直线的方程为340x y a ++=.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1221,34=+解得8a =-，或2a =.故a 的值为8-或2.D.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a ，b 是非负实数，求证：3322()a b ab a b +≥+.【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力.满分10分.证明：由a ，b 是非负实数，作差得 3322()()()a b ab a b a a a b b b b a ++=+55()[()()]a b a b =-.当a b ≥a b ≥，从而55()()a b ≥，得55()[()()]0a b a b -≥；当a b <a b <，从而55()()a b <，得55()[()()]0a b a b ->. 所以3322()a b ab a b +≥+.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品.甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各件产品相互独立.（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解的能力.满分10分.解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18，P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02.由此得X 的分布列为： X-3 2 5 10 P 0.02 0.08 0.18 0.72（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件.由题设知4(4)10n n --≥，解得145n ≥，又n N ∈，得3n =，或4n =. 所以3344440.80.20.80.8192P C C =+=. 故所求概率为0.8192.23.（本小题满分10分）已知△ABC 的三边长都是有理数.（1）求证：cos A 是有理数； (2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数.【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力.满分10分.证法一：(1)由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知222cos 2AB AC BC A AB BC+-=是有理数. (2)①当1n =时，由(1)知cos A 是有理数.当2n =时，∵2cos22cos 1A A =-，因为cos A 是有理数，∴cos 2A 也是有理数；②假设当(2)n k k ≤≥时，结论成立，即coskA 、cos(1)k A -均是有理数.当1n k =+时，cos(1)cos cos sin sin k A kA A kA A +=-，1cos(1)cos cos [cos()cos()]2k A kA A kA A kA A +=---+， 11cos(1)cos cos cos(1)cos(1)22k A kA A k A k A +=--++，解得cos(1)2cos cos cos(1)k A kA A k A +=--. ∵cos A ，cos kA ，cos(1)k A -均是有理数，∴2cos cos cos(1)kA A k A --是有理数，∴cos(1)k A +是有理数.即当1n k =+时，结论成立.综上所述，对于任意正整数n ，cos nA 也是有理数.证法二：(1)由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知222cos 2AB AC BC A AB BC+-=是有理数. (2)用数学归纳法证明cos nA 和sin sin A nA 都是有理数.①当1n =时，由(1)知cos A 是有理数，从而有2sin sin 1cos A A A =-也是有理数.②假设当(1)n k k =≥时，cos kA 和sin sin A kA 都是有理数.当1n k =+时，由cos(1)cos cos sin sin k A kA A A kA +=-，sin sin(1)sin (sin cos cos sin )A k A A A kA A kA +=+(sin sin )cos (sin sin )cos A A kA A kA A =+，及①和归纳假设，知cos(1)k A +与sin sin(1)A k A +都是有理数.即当1n k =+时，结论成立.综合①、②可知，对任意正整数n ，cos nA 也是有理数.毋意，毋必，毋固，毋我。

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z 3x y
的取值范围是（）
3 3 3 A. ,6 ...... B . , 1 ...... C . 1 , 6 ...... D . 6 , 2 2 2
(12 .山东 . 文 . 17 ) 在 ABC 中，内角
内角 A ， B ， C 的对边，且有
c 3 a sin C c cos A
(1 ) 求 A ; ( 2 ) 若 a 2 , ABC 的面积为

3
3 , 求 b , c.
答案：（
1）
.......（ 2） b c 2
( 2012 . .理 . 17 )已知 a , b , c 分别为 ABC 的三个宁
3 ..... B.2
3 ..... C . 3 ...... D .
3 2
(12 . 广东 . 12 ) 若等比数列
a n 满足
a2a4
1 2
,
则 a 1 a 3 a 5 (....)
1 16
2
( 2010 辽宁 .14 )已知等比数列
2
a n 为递增数列， a n 的
A , B , C 所对
的边分别为
a , b , c ，已知
sin B (tan A tan C ) tan A tan C .
（ 1）求证：
a , b , c 成等比数列；
（ 2）若 a 1， c 2 , 求 ABC 的面积 S .
( 2012 广东 . 6 )设 x , y 满足约束条件
且 a 5 a 10 , 2 ( a n a n 2 ) 5 a n 1 , 则数列通项公式为
(.....)
答案： a n 2
n
（ 2012 辽宁 . 17 ）在 ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 角 A , B , C 成等差数列
a4 a7 2,
a 5 a 6 8 , 则 a 1 a 10 (..) A . 7 ...... B . 5 ....... C . 5 ....... D. 7
( 2012 宁 . 16 ) 数列 .
a n 满足
a n 1 ( 1 ) a n 2 n 1，
x y 1 x y 1, x 1 0
则 z x 2 y 的最小值为
(........)
A . 3； B . 1； C . 5 ； D . 6 ；
(12 . 广东 . 8 ) 在 ABC 中，若 A 60 ， B 45 , BC 3 A .4 2 , 则 AC ）（
n
则
a n 的前
60 项和为（
...... ）
答案：1830
（ 12 . . 文 . 14 ）等比数列宁
a n 的前 n 项和
为 S n ，若 S 3 3 S 2 0 ，则公比 q (....)
( 2012 . . 文 . 17 )已知 a , b , c 分别为 ABC 的三个宁
n 1
a n 的前 n 项和为
2 3 1 2
S n，
...... B.(
3 2
)
n 1
...... C .(
)
n 1
...... D .(
)
n 1
( 2012 .全国 . 文 17 ) ABC 中，内角
A， B， C成
2
等差数列，其对边求 A.
a ， b ， c满足 2 b
内角 A ， B ， C 的对边，且有
a cos C (1 ) 求 A ; ( 2 ) 若 a 2 , ABC 的面积为

3
3 a sin C b c 0
3 , 求 b , c.
答案：（
1）
.......（ 2） b c 2
(12 .山东 . 文 . 6 )设变量 x , y 满足约束条件 x 2y 2 2 x y 4 ，则目标函数 4 x y 1
的前 100 项和
为（）
A.
100 101
....... B .
99 101
....... C .
99 100

...... D .
101 100
(12 .全国 .理 . 13 ) 若 x , y 满足条件
x y 1 0 x y 3 0 , x 3y 3 0
值；
( 2012 . . 14 )设 x , y 满足约束条件宁
x y 1 x y 3 , x 0 y 0
则 z x 2 y 的取值范围为
(........)
答案： 3， 3
( 2012 宁 . 5 )已知 .
a n 为等比数列，
3 ac ,
( 2012 .全国 . 文 . 18 )已知数列
a n 中，
a 1 1，
前 n 项和为 S n
n 2 3
an.
（ 1）求 a 2 ， a 3 .
（ 2）求
a n 的通项公式
.
.
（ 1）求 cos B 的值；
sin A sin C 的值 .
（ 2）边 a , b , c 成等比数列，求
答案：（
1）cos B
1 2
....( 2 )
3 4
(12 .全国 .5 )已知等差数列 a 5 5 , S 5 15 , 则数列
a n 的前
n 项和为 S n ，
1 a n a n 1
( 2009 宁 . 6 )设 x , y 满足约束条件 .
2 x y 4 x y 1, x 2y 2
则 z x y (........)
A .有最小值 2 ，最大值 3；
B.有最小值2，无最
C .有最大值
大值；
3，无最小值；
D .既无最小值，也无最大
则 z 3 x y 的最小值为（
...）
-1
(12 .全国 .理 . 17 ) ABC 的内角 A ， B ， C 的对边
分别为 a ， b ， c ，已知
a 2 c .求 C .
cos( A C ) cos B 1 ,
( 2012 .全国 . 文 . 6 )已知数列 a 1 1 , S n 2 a n 1 , 则 a n (...) A .2