二次函数的图象与性质-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

中考数学第一轮总复习
典例精讲
考点聚集查漏补缺
拓展提升
第三单元 函数及其图象专题3.4 二次函数的图象与性质
知识点
二次函数的图象及性质01
抛物线与a ,b ,c 的关系02
二次函数的图象的变换03
二次函数与方程(不等式) 04
拓展训练
05
【例1】已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列对其图象的说法：
①开口向下； ②当x＜3时,y随x的增大而减小；
③顶点坐标为(3,-1)； ④对称轴为直线x=-3；
则其中说法正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个　D.4个
A
解析式开口方向对称轴顶点坐标一般式
顶点式交点式
(h,k)
x=h
a＞0向上
a＜0向下
无y=a(x-h)2+k
y=a(x-x
1
)(x-x
2
)
y=ax2+bx+c
1.抛物线y=(x+3)(x-1)的对称轴是直线_______.
2.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是( ) A.直线x=-3 B.直线x=-2 C.直线x=-1 D.直线x=0
3.对于二次函数y=ax 2-2ax-3a+3的性质,下列说法中错误的是( ) A.抛物线的对称轴为直线x=1 B.抛物线一定经过两定点(-1,3)和(3,3) C.当a＜0时,抛物线与x轴一定有两个不同的交点 D.当a＞0时,抛物线与x轴一定有两个不同的交点
x=-1x …-3-2-101…
y …-3
-2
-3
-6
-11…
B D
4.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n 2与二次函数y=x 2+m的图象可能是( )
D
y O
x
A
y O
x B y O
x
C y O
x
D 5.已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax 2的图象有可能是( )y O
x
A
-1
1y O x
B
-1
1y
O
x C
-11y O
x D
-11C
6.已知二次函数y=ax 2-2ax-3a(a≠0),关于此函数的图象及性质,下列结论中不一定成立的是( ) A.该图象的顶点坐标为(1,-4a)； B.该图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0)； C.若该图象经过点(-2,5),则一定经过点(4,5)； D.当x＞1时,y随x的增大而增大.
7.已知二次函数y=ax 2+bx+c中,y与x的部分对应值如下表：
根据表中信息,下列结论错误的是( ) A.其图象开口向下； B.其图象的对称轴为直线x=2 C.方程ax 2+bx+c=0有一个根大于5； D.当x＜1时,y随x的增大而增大
D
知识点一
强化训练
二次函数图象与性质C x -1014y -7/3131用描点法画出函数的图象
知识点
二次函数的图象及性质01
抛物线与a ,b ,c 的关系02
二次函数的图象的变换03
二次函数与方程(不等式) 04
拓展训练
05
y
O
x
1y=ax 2+bx+c
【例2】已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,则以下结论同时成立的是( ) A. B. C. D.
abc＞0b 2-4ac＜0
abc＜02a+b＞0
abc＞0a+b+c＜0
abc＜0b 2-4ac＞0
判断常见式
子的符号
判断方法
a a的符号决定抛物线的开口方向及大小
b
a,b的符号(左同右异)决定抛物线对称轴的位置c c决定抛物线与y轴交点的位置
b 2-4a
c b 2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数a+b+c 当x=1时,y=a+b+c 4a+2b+c 当x=2时,y=4a+2b+c
C
1.已知二次函数y=ax 2+bx+c的图象如图,对称轴是直线x=1.下列结论:①abc＞0；②2a+b=0；③b 2-4ac＜0；④4a+2b+c＞0其中正确的是( ) A.①③ B.只有② C.②④ D.③④
2.如图是抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的一部分,下列结论：①ab＜0,②b 2-4ac＞0,③9a-3b+c＜0,④b-4a=0,⑤方程
ax 2+bx=0的两根为x 1=0,x 2=-4.其中正确的结论有( ) A.①③④ B.②④⑤ C.①②⑤ D.②③⑤
C
x 1
O
y
x =1
B x
O
y
-2
3.如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,
对称轴为直线x=1,下列结论：①abc＜0,② ,③ac+b+1=0,④2+c是关于x的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根其中正确的有______.4.如图是抛物线y=ax 2+bx+c的一部分,下列结论:①b-2a=0,②4a-2b+c＜0,③10a-b+c=0,④(-3,y 1),(1.5,y 2)是抛物线上两点,则y 1＞y 2,⑤8a+7b+2c ＞0.其中正确的是________. ①④y O x
1
C A B ④点B的坐标为(2+c,0)∴④正确.∴③错误；③把A(-c,0)代入y=ax 2+bx+c得ac 2-bc+c=0
∴ac-b+1=0,x
y O
2x =-1①③④③当x=-4时,y=16a-4b+c=0∵-b/2a=-1,∴10a-b+c=0,∴-3b=-6a,∴b=2a,⑤∵b=2a,4a+2b+c=0,∴8a+7b+2c=6a＜0
∴c=-8a
5.二次函数y=ax2+bx+c图象如图,下列结论错误的是( )
A.4ac＜b2
B.abc＜0
C.b+c＞3a
D.a＜b
6.如图,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0),则下列结论①abc＞0；
②a-b+c＝0；③2a+c＜0；④a+b＜0.其中正确的结论是( )
A.①③
B.②③
C.②④
D.②③④
D
y
O x
-1
-2
C.∵-b/2a＞-1, ∴-b＜-2a
∵a-b+c＞0,∴a-2b+b+c＞0
∴a-4a+b+c＞0,∴b+c＞3a
D.∵a-b+c＞0 ∴a-b＞-c＞0∴a＞b
D
③∵-b/2a＜0.5,
y
O x
-11
∴a+a+c＜0即2a+c＜0
∴-b＞a
∵a-b+c＝0
知识点二
强化训练抛物线与a,b,c的关系
知识点
二次函数的图象及性质01
抛物线与a ,b ,c 的关系02
二次函数的图象的变换03
二次函数与方程(不等式) 04
拓展训练
05
平移方向平移前的解析式
平移后的解析式
简记向左平移m个单位y=a(x-h)2+k
向右平移m个单位向上平移m个单位向下平移m个单位
y=a(x-h+m)2+k y=a(x-h-m)2+k
y=a(x-h)2+k+m y=a(x-h)2+k-m
左加右减上加下减
平移a 不变.1.上下平移, 括号外__________； 2.左右平移, 括号内__________.上加下减左加右减
一般式顶式点
顶点坐标变换前y=x 2+2x-3关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称关于顶点对称关于y=-2对称y=(x+1)2-4
(-1,-4)
y=-(x+1)2+4 y= (x-1)2-4 y=-(x-1)2+4 y=-x 2+2x+3y= x 2-2x-3y=-x 2-2x+3y=-x 2-2x-5y=-(x+1)2-4 y=-x 2-2x-1y=-(x+1)2
(1,-4) (1,4) (-1,-4) (-1,0)
(-1,4) 一般式变换前后的对应点变换前y=x 2+2x-3关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称
任取一点(x,y)
y=-x 2+2x+3
y= x 2-2x-3y=-x 2-2x+3对称点(-x,y) 对称点(-x,-y) 对称点(x,-y) 代入y=x 2+2x-3 代入y=x 2+2x-3 代入y=x 2+2x-3
知识点三
强化训练二次函数的图象的变换1.将抛物线y=(x-1)2+2绕关于直线 x=-1 对称的新抛物线所对应的函数解析式是____________.2.把抛物线y=-x 2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是_____________________.
3.如图,抛物线y=x 2-4x(0≤x≤4)记为l 1,l 1与x轴分别交于点O,A 1；将l 1绕点A
1旋转180º得到l 2交于点A 2；将l 2绕点A 2旋转180º得到l 3,l 3交x轴于点A 3；
…,如此变换下去,若点P(2021,m)在这种连续变换的图象上,则m=____.
y=(x+3)2+2y=-1y=-(x-1)2-4
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 3
知识点
二次函数的图象及性质01
抛物线与a ,b ,c 的关系02
二次函数的图象的变换03
二次函数与方程(不等式) 04
拓展训练
05
【例4】已知二次函数y=x 2-3x+m的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x 2-3x+m=0的两实数根是( )
A.x 1=1,x 2=-1
B.x 1=1,x 2=2
C.x 1=1,x 2=0
D.x 1=1,x 2=3
B
1.已知二次函数y=x 2-x+ m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是_____.
2.已知抛物线y=x 2-4x+k的顶点在x轴下方,则k的取值范围是______.
3.函数y=ax 2+2ax+m(a＜0)的图象过点(2,0),则使函数值y＜0成立的x的取值范围是____________ .
4.二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x 1,0)与(x 2,0)(x 1＜x 2),方程ax 2+bx+c-a=0的两根为m、n(m＜n),则下列判断正确的是( ) A.b 2-4ac≥0 B.x 1+x 2＞m+n C.m＜n＜x 1＜x 2 D.m＜x 1＜x 2＜n
5.已知m＞0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x 1,x 2(x 1＜x 2),则下列结论正确的是( )
x ＜-4或x ＞2
m≤5
k ＜4
D A
知识点
二次函数的图象及性质01
抛物线与a ,b ,c 的关系02
二次函数的图象的变换03
二次函数与方程(不等式) 04
拓展训练
05
1.若二次函数y=ax 2+bx+c图象上部分点的
坐标如下表,则该图象的顶点坐标为( ) A.(-2,-2) B.(-3,-3) C.(-1,-3) D.(0,-6)
2.已知二次函数y=ax 2-4ax+m(a,m为常数,且a＞0)的图象与直线y=3的一个
交点为(-2,3),则关于x的一元二次方程ax 2-4ax+m-3=0的两个实数根是(
)
A.x 1=-2,x 2=6
B.x 1=-1,x 2=3
C.x 1=-2,x 2=4
D.x 1=-1,x 2=6
3.已知二次函数y=ax 2+bx+c的图象开口向下,并经过(2,-3),
(-2,0)两点,那么该函数图象的对称轴( )
A.有可能为y轴
B.有可能在y轴的右边且在直线x=2的左边
x …-3-2-101…
y …-3-2-3-6-11…A A
提升能力
拓展训练二次函数C
4.已知在二次函数y=ax 2-2x-3a的图象有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(0,-3),
其中x 1＜-1,0＜x 2＜3,则y 2-y 1的值为( )
A.正数
B.负数
C.0
D.非负数
5.关于抛物线y=x 2-(a+1)x+a-2,下列说法错误的是( ) A.开口向上 B.不论a为何值,都过定点(1,2)
C.当a=2时,经过坐标原点O
D.当a＞0时,对称轴在y轴的右侧
6.四位同学在研究函数y=x 2+bx+c(b,c是常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值,乙发现-1是方程x 2+bx+c=0的一个根,丙发现函数的最小值为3,丁发现当x=2时,y=4,已知这四位同学中只有一位发现的结论错误,则该同学是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁B B
B
7.已知点P(1，m)关于原点对称的点在一次函数y=2x-3的图象上,则点P的
坐标是______.
8.已知抛物线y=ax 2+bx+c与x轴交于点(-3,0),(1,0),则b:a=_____.
9.二次函数y=-(x-h)2+2的图象上有两点A(1,y 1),B(2,y 2),若y 1≤y 2,则h的
取值范围为________.
10.已知二次函数y=m(x-2m)2+m 2,当x＞m+1时,y随x的增大而增大,则m的取
值范围是_________.
11.当0≤x≤3时,直线y=a与抛物线y=(x-1)2-3有交点,则a的取值范围是___________.12.已知二次函数y=-x 2+2bx+c,当x＞1时,y的值随x值的增大而减小,则实
数b的取值范围是______.
(1,5)2:10＜m≤1h≥1.5-3≤x≤1
b≤1
13.若抛物线y=x 2+2x+c与坐标轴只有两个交点,则c的值为______.14.已知直线y=4与二次函数y=x 2-2mx+m 2+3(m是常数)的图象交于M,N两点
(点M在点N的左侧),与y轴交于点P.当点P,M,N中恰好有一点是其余两点组成线段的中点时,m的值为_________.15.如图,二次函数y=-x 2+4与x轴交于A、B两点(点A在点
B的左侧),等腰直角△ACD的直角顶点D在x轴上,AD=3.现
将△ACD沿x轴的正方向平移,则当点C在函数图象上时,
△ACD的平移距离为______.
16.如图,抛物线y=ax 2-4x+c经过坐标原点,与x轴交与点
A(-4,0).若在抛物线上存在一点P,满足S △AOP =8,则点P的坐标___________________________.
0,3或-3
0或1
x y O D B A C 4或6
17.抛物线y=(x-t)(x-t-2)(t为常数)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),则下列说法不正确的是( ) A.点A,B的坐标分别是(t,0)(t+2,0) B.AB为定值
C.当y≥0时,t≤x≤t+2
D.y的最小值为-1
18.已知抛物线y=ax 2-2ax+a-c与y轴的正半轴相交,直线AB∥x轴,且与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,当x=x 1+x 2时,函数值为p,当 时,函数值为q,则p-q的值为( ) A.a C.-a+c D.a-c C
A
对称轴：∴x 1+x 2=2
∴p=4a-4a+a-c=a-c ；q=a-2a+a-c=-c
∴p-q=a-c-(-c)=a
19.在平面直角坐标系中,把横、纵坐标都是整数的点叫做整点,如图,已知反比例函数 与二次函数 的图象所围成的阴影部分中(不含边界)有5个整点,则k的值可能为( ) A.4 B.3 C.2 D.14
C y O x 43(1,3)(1,2)(1,1)(2,3)(2,2)(2,1)(3,2)(3,1)2≤x ＜3
×
×
×20.二次函数 的图像与x轴围成的封闭区域内(包括边界),横纵坐标都是整数的点有___个7
21.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上横纵坐标均为整数的点称为好点,已知点P为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点,若点P在正方形OABC的内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,则m的取值范围为
_____________.y
O x
4
4P
22.如图,抛物线 ,点F(0,p),直线l:y=-p,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A、B两点
,AA
1⊥l于点A
1
,BB
1
⊥l于点B
1
,连接A
1
F、B
1
F、A
1
O、B
1
O,若A
1
F=a,B
1
F=b,则
△A
1OB
1
的面积=____(只用a,b表示).
y
O
x
l
F
B
1
A
1
B
A
23.设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).若该函数图象经过A(-23.
1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的两个点,求该二次函数的解析式.
当x=1时，y=0，所以不经过点C.
y=3x2-2x-1。