2020版高考数学(理)刷题小卷练： 15 Word版含解析
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4．[2019·广东潮州模拟]若 ＝－ ，则sin 的值为()
A. B．－
C. D．－
答案：C
解析：∵ ＝ ＝－(cosα＋sinα)＝－ ·sin ＝－ ，∴sin ＝ .故选C.
5．已知在△ABC中，cos ＝－ ，那么sin ＋cosA＝()
A. B．－
C. D.
答案：B
解析：因为cos ＝－ ，即cos ＝－ ，所以sin ＝－ ，则sin ＋cosA＝sinAcos ＋cosAsin ＋cosA＝ sin ＝－ .故选B.
A. B．－
C. D．－
答案：D
解析：sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos30°＝－ .故选D.
2．[2019·福建莆田第九中学模拟]若tanα＋ ＝ ，α∈ ，则sin 的值为()
A．－ B.
解得sin(α－β)＝－ .
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝ ＝ ＝ .
因为α为锐角，sinα＝ ，
所以cosα＝ ＝ ＝ .
所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝ × ＋ × ＝ .
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析：因为sin2α＝2sinαcosα＝－ ，即1－2sinαcosα＝ ，所以(cosα－sinα)2＝ ，又α为第二象限角，所以cosα<sinα，则cosα－sinα＝－ .故选B.
3．化简 cosx＋ sinx等于()
A．2 cos B．2 cos
C.2 cos D．2 cos
答案：2
解析：f(x)＝sinx－2 sin2 ＝sinx－ (1－cosx)＝2sin － ，当x∈ 时，x＋ ∈ ，则f(x)的最大值与最小值分别为2－ ，－ ，因而f(x)的最大值减去最小值等于2.
刷题课时增分练⑮综合提能力 课时练 赢高分
一、选择题
1．[2019·贵阳监测]sin415°－cos415°＝()
二、非选择题
9．[2019·广西玉林陆川中学模拟]已知sin ＋2sin ＝0，则tan ＝________.
答案：2
解析：∵sin ＋2sin ＝0，
∴sin cosθ＋cos sinθ＋2sin cosθ－cos sinθ＝0，
∴sin cosθ＋cos sinθ＋2 ＝0.等式两边同时除以cos cosθ，得tan ＋tanθ＋2 ＝0，∴ ＝2，即tan ＝2.
∴tanα＝ ＝ ，tan ＝ ＝ ＝－3－2 .故选A.
7．[2019·山西联考]若cos ＝－ ，则cos ＋cosα＝()
A．－ B．±
C．－1D．±1
答案：C
解析：由cos ＋cosα＝ cosα＋ sinα＋cosα＝ cos ＝－1，故选C.
8．[2019·广西桂林、贺州模拟]若α∈ ，且3cos2α＝cos ，则sin2α的值为()
10．[2018·全国卷Ⅲ]函数f(x)＝cos 在[0，π]的零点个数为________．
答案：3
解析：由题意可知，当3x＋ ＝kπ＋ (k∈Z)时，f(x)＝cos ＝0.
∵x∈[0，π]，
∴3x＋ ∈ ，
∴当3x＋ 取值为 ， ， 时，f(x)＝0，
即函数f(x)＝cos 在[0，π]的零点个数为3.
C. D.
答案：A
解析：∵α∈ ，∴tanα>1.∴由tanα＋ ＝ ，解得tanα＝3.∴sin ＝ sin2α＋ cos2α＝ × ＝ × ＝ × ＝－ .故选A.
3．[2019·广州调研]已知α为锐角，cosα＝ ，则tan ＝()
A. B．3
C．－ D．－3
答案：A
解析：因为α是锐角，cosα＝ ，所以sinα＝ ，所以tanα＝ ＝2，所以tan ＝ ＝ ，故选A.
A．－ B．－
C. D.
答案：A
解析：∵sin(π－α)＝ ，即sinα＝ ，又 ≤α≤π，∴cosα＝－ ＝－ ，∴sin2α＝2sinαcosα＝－ .
6．[2019·四川联考]已知角θ∈ ，且cos2α＋cos2α＝0，则tan ＝()
A．－3－2 B．－1
C．3－2 D．3＋2
答案：A
解析：由题意结合二倍角公式可得2cos2α－1＋cos2α＝0，∴cos2α＝ .∵α∈ ，∴cosα＝ ，∴sinα＝ ＝ ，
11．[2019·江苏如东模拟]已知α，β都是锐角，且sinα＝ ，tan(α－β)＝－ .
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cosβ的值．
解析：(1)因为α，β∈ ，所以－ <α－β< .
又因为tan(α－β)＝－ ，所以－ <α－β<0.
由sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1和 ＝－ ，
11．[2019·山西康杰月考]若 ＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
答案：
解析：∵ ＝ ＝3，∴tanα＝2.
∵tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－ ＝ .
12．已知f(x)＝sinx－2 sin2 ，则当x∈ 时，函数f(x)的最大值减去最小值等于________．
8．[2019·嘉兴模拟]有四个关于三角函数的命题：
①∃x0∈R，sin2 ＋cos2 ＝ ；②∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sinx0－siny0；③∀x∈[0，π], ＝sinx；④sinx＝cosy⇒x＋y＝ .
其中假命题的序号为()
A．①④B．②④
C．①③D．②③
答案：A
解析：因为sin2 ＋cos2 ＝1≠ ，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，所以②为真命题；因为 ＝ ＝|sinx|＝sinx，x∈[0，π]，所以③为真命题；当x＝ ，y＝2π时，sinx＝cosy，但x＋y≠ ，所以④为假命题．故选A.
A．－ B．－
C．－ D．－
答案：A
解析：由tan2α＝ ，即 ＝ Hale Waihona Puke Baidu得tanα＝ 或tanα＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα＝2cosxsinα－2sinα≥0恒成立，所以sinα≤0，tanα＝－3，sinα＝－ ，cosα＝ ，所以sin ＝sinαcos －cosαsin ＝－ ，故选A.
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析：∵3cos2α＝cos ，
∴3(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝ (cosα－sinα)．
∵α∈ ，∴cosα－sinα≠0，∴cosα＋sinα＝ .
两边平方可得1＋sin2α＝ ，解得sin2α＝－ .故选B.
二、非选择题
9．[2019·荆州模拟]计算：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝________.
6．[2019·河北沧州教学质量监测]若cosα＋2cosβ＝ ，sinα＝2sinβ－ ，则sin2(α＋β)＝()
A．1B.
C. D．0
答案：A
解析：由题意得(cosα＋2cosβ)2＝cos2α＋4cos2β＋4cosαcosβ＝2，
(sinα－2sinβ)2＝sin2α＋4sin2β－4sinαsinβ＝3.
答案：B
解析： cosx＋ sinx＝2 ＝2 ＝2 cos .故选B.
4．cos12°cos18°－sin12°sin18°的值等于()
A．－ B．－
C. D.
答案：D
解析：cos12°cos18°－sin12°sin18°＝cos(12°＋18°)＝cos30°＝ ，故选D.
5．若sin(π－α)＝ ，且 ≤α≤π，则sin2α的值为()
两式相加，得1＋4＋4(cosαcosβ－sinαsinβ)＝5，
∴cos(α＋β)＝0，∴sin2(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝1.
7．[2019·丰台模拟]已知tan2α＝ ，α∈ ，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin 的值为()
答案：
解析：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝sin46°·cos16°－cos46°·sin16°＝sin(46°－16°)＝sin30°＝ .
10．[2018·全国卷Ⅱ]已知tan ＝ ，则tanα＝________.
答案：
解析：tan ＝tan ＝ ＝ ，
解得tanα＝ .
刷题增分练15三角恒等变换
刷题增分练⑮小题基础练提分快
一、选择题
1．[2018·全国卷Ⅲ]若sinα＝ ，则cos2α＝()
A. B.
C．－ D．－
答案：B
解析：∵sinα＝ ，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2× 2＝ .故选B.
2．[2019·成都诊断]已知α为第二象限角，且sin2α＝－ ，则cosα－sinα的值为()
A. B．－
C. D．－
答案：C
解析：∵ ＝ ＝－(cosα＋sinα)＝－ ·sin ＝－ ，∴sin ＝ .故选C.
5．已知在△ABC中，cos ＝－ ，那么sin ＋cosA＝()
A. B．－
C. D.
答案：B
解析：因为cos ＝－ ，即cos ＝－ ，所以sin ＝－ ，则sin ＋cosA＝sinAcos ＋cosAsin ＋cosA＝ sin ＝－ .故选B.
A. B．－
C. D．－
答案：D
解析：sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos30°＝－ .故选D.
2．[2019·福建莆田第九中学模拟]若tanα＋ ＝ ，α∈ ，则sin 的值为()
A．－ B.
解得sin(α－β)＝－ .
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝ ＝ ＝ .
因为α为锐角，sinα＝ ，
所以cosα＝ ＝ ＝ .
所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝ × ＋ × ＝ .
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析：因为sin2α＝2sinαcosα＝－ ，即1－2sinαcosα＝ ，所以(cosα－sinα)2＝ ，又α为第二象限角，所以cosα<sinα，则cosα－sinα＝－ .故选B.
3．化简 cosx＋ sinx等于()
A．2 cos B．2 cos
C.2 cos D．2 cos
答案：2
解析：f(x)＝sinx－2 sin2 ＝sinx－ (1－cosx)＝2sin － ，当x∈ 时，x＋ ∈ ，则f(x)的最大值与最小值分别为2－ ，－ ，因而f(x)的最大值减去最小值等于2.
刷题课时增分练⑮综合提能力 课时练 赢高分
一、选择题
1．[2019·贵阳监测]sin415°－cos415°＝()
二、非选择题
9．[2019·广西玉林陆川中学模拟]已知sin ＋2sin ＝0，则tan ＝________.
答案：2
解析：∵sin ＋2sin ＝0，
∴sin cosθ＋cos sinθ＋2sin cosθ－cos sinθ＝0，
∴sin cosθ＋cos sinθ＋2 ＝0.等式两边同时除以cos cosθ，得tan ＋tanθ＋2 ＝0，∴ ＝2，即tan ＝2.
∴tanα＝ ＝ ，tan ＝ ＝ ＝－3－2 .故选A.
7．[2019·山西联考]若cos ＝－ ，则cos ＋cosα＝()
A．－ B．±
C．－1D．±1
答案：C
解析：由cos ＋cosα＝ cosα＋ sinα＋cosα＝ cos ＝－1，故选C.
8．[2019·广西桂林、贺州模拟]若α∈ ，且3cos2α＝cos ，则sin2α的值为()
10．[2018·全国卷Ⅲ]函数f(x)＝cos 在[0，π]的零点个数为________．
答案：3
解析：由题意可知，当3x＋ ＝kπ＋ (k∈Z)时，f(x)＝cos ＝0.
∵x∈[0，π]，
∴3x＋ ∈ ，
∴当3x＋ 取值为 ， ， 时，f(x)＝0，
即函数f(x)＝cos 在[0，π]的零点个数为3.
C. D.
答案：A
解析：∵α∈ ，∴tanα>1.∴由tanα＋ ＝ ，解得tanα＝3.∴sin ＝ sin2α＋ cos2α＝ × ＝ × ＝ × ＝－ .故选A.
3．[2019·广州调研]已知α为锐角，cosα＝ ，则tan ＝()
A. B．3
C．－ D．－3
答案：A
解析：因为α是锐角，cosα＝ ，所以sinα＝ ，所以tanα＝ ＝2，所以tan ＝ ＝ ，故选A.
A．－ B．－
C. D.
答案：A
解析：∵sin(π－α)＝ ，即sinα＝ ，又 ≤α≤π，∴cosα＝－ ＝－ ，∴sin2α＝2sinαcosα＝－ .
6．[2019·四川联考]已知角θ∈ ，且cos2α＋cos2α＝0，则tan ＝()
A．－3－2 B．－1
C．3－2 D．3＋2
答案：A
解析：由题意结合二倍角公式可得2cos2α－1＋cos2α＝0，∴cos2α＝ .∵α∈ ，∴cosα＝ ，∴sinα＝ ＝ ，
11．[2019·江苏如东模拟]已知α，β都是锐角，且sinα＝ ，tan(α－β)＝－ .
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cosβ的值．
解析：(1)因为α，β∈ ，所以－ <α－β< .
又因为tan(α－β)＝－ ，所以－ <α－β<0.
由sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1和 ＝－ ，
11．[2019·山西康杰月考]若 ＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
答案：
解析：∵ ＝ ＝3，∴tanα＝2.
∵tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－ ＝ .
12．已知f(x)＝sinx－2 sin2 ，则当x∈ 时，函数f(x)的最大值减去最小值等于________．
8．[2019·嘉兴模拟]有四个关于三角函数的命题：
①∃x0∈R，sin2 ＋cos2 ＝ ；②∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sinx0－siny0；③∀x∈[0，π], ＝sinx；④sinx＝cosy⇒x＋y＝ .
其中假命题的序号为()
A．①④B．②④
C．①③D．②③
答案：A
解析：因为sin2 ＋cos2 ＝1≠ ，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，所以②为真命题；因为 ＝ ＝|sinx|＝sinx，x∈[0，π]，所以③为真命题；当x＝ ，y＝2π时，sinx＝cosy，但x＋y≠ ，所以④为假命题．故选A.
A．－ B．－
C．－ D．－
答案：A
解析：由tan2α＝ ，即 ＝ Hale Waihona Puke Baidu得tanα＝ 或tanα＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα＝2cosxsinα－2sinα≥0恒成立，所以sinα≤0，tanα＝－3，sinα＝－ ，cosα＝ ，所以sin ＝sinαcos －cosαsin ＝－ ，故选A.
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析：∵3cos2α＝cos ，
∴3(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝ (cosα－sinα)．
∵α∈ ，∴cosα－sinα≠0，∴cosα＋sinα＝ .
两边平方可得1＋sin2α＝ ，解得sin2α＝－ .故选B.
二、非选择题
9．[2019·荆州模拟]计算：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝________.
6．[2019·河北沧州教学质量监测]若cosα＋2cosβ＝ ，sinα＝2sinβ－ ，则sin2(α＋β)＝()
A．1B.
C. D．0
答案：A
解析：由题意得(cosα＋2cosβ)2＝cos2α＋4cos2β＋4cosαcosβ＝2，
(sinα－2sinβ)2＝sin2α＋4sin2β－4sinαsinβ＝3.
答案：B
解析： cosx＋ sinx＝2 ＝2 ＝2 cos .故选B.
4．cos12°cos18°－sin12°sin18°的值等于()
A．－ B．－
C. D.
答案：D
解析：cos12°cos18°－sin12°sin18°＝cos(12°＋18°)＝cos30°＝ ，故选D.
5．若sin(π－α)＝ ，且 ≤α≤π，则sin2α的值为()
两式相加，得1＋4＋4(cosαcosβ－sinαsinβ)＝5，
∴cos(α＋β)＝0，∴sin2(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝1.
7．[2019·丰台模拟]已知tan2α＝ ，α∈ ，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sinα，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin 的值为()
答案：
解析：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝sin46°·cos16°－cos46°·sin16°＝sin(46°－16°)＝sin30°＝ .
10．[2018·全国卷Ⅱ]已知tan ＝ ，则tanα＝________.
答案：
解析：tan ＝tan ＝ ＝ ，
解得tanα＝ .
刷题增分练15三角恒等变换
刷题增分练⑮小题基础练提分快
一、选择题
1．[2018·全国卷Ⅲ]若sinα＝ ，则cos2α＝()
A. B.
C．－ D．－
答案：B
解析：∵sinα＝ ，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2× 2＝ .故选B.
2．[2019·成都诊断]已知α为第二象限角，且sin2α＝－ ，则cosα－sinα的值为()