高二数学选修2-2(B版)_总结归纳：推理与证明

推理与证明
对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．
一．推理部分
1．知识结构：
2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．
①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．
②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．
③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．
例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f =>
(3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．
例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．
④推理过程：
从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．
3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．
①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；
推理模式：“三段论”：
ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）；
ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）；
ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；
集合简述：
ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ；
ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ；
ⅲ结论： y 也具有性质P ；
例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,
n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++
++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；
现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ．
解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++
++++≤（大前提）
因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 （小前提）
得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）
即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=
因此，sin sin sin A B C ++的最大值是
2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型
4.和情推理与演绎推理的关系：
①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；
②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；
例2．设()2
x x a a f x -+=，()2x x
a a g x --=（其中0a >且1a ≠） （1）5＝2＋3请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；
（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.
解答:（1）由(3)(2)(3)(2)f g g f +＝332a a -+222a a --＋332a a --22
2
a a -+ ＝55
2
a a -- 又(5)g ＝55
2
a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +
（2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +
即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +
于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y + 证明：因为：()2
x x a a f x -+=，()2x x
a a g x --=（大前提） 所以()g x y +＝2
x y x y
a a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2
y y
a a -+，（小前提及结论） 所以()()()()f x g y g x f y +＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2
y y
a a -+ ＝2
x y x y
a a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造(23)g +＝
(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +．
二．证明部分
1．知识结构
2．综合法与分析法
①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．
②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．
③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．
例3．已知：0a b >>，求证：22
()()828a b a b a b ab a b
-+-<-< 证明：因为0a b >> 所以22
()()828a b a b a b ab a b
-+-<< ⇔22
2()()()44a b a b a b a b
--<< ⇔|22a b a b
<< ⇔2a b a b a b
<< ⇔121b a a b < ⇔1b a a b
<
又由已知0a b >>1b a a b
<<成立． 由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．
解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)1b a a b
<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.
例4.求证抛物线22(0)y px p =>，以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-
相切. 证明：（如图）作AA ／、BB ／垂直准线，取AB 的
中点M ，作MM ／垂直准线. 要证明以AB 为直径的圆与
准线相切只需证｜MM ／｜＝12
｜AB ｜ 由抛物线的定义：｜AA ／｜＝｜AF ｜，｜BB ／｜
＝｜BF ｜
所以｜AB ｜＝｜AA ／｜＋｜BB ／｜
因此只需证｜MM ／｜＝12
（｜AA ／｜＋｜BB ／｜） 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-
相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.
解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.
3.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：
（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；
（2）（归纳递推）假设ｎ＝k （0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+ 时命题也成立。

就可以断定对从ｎ0开始的所有正整数ｎ都成立．其证明的方法叫数学归纳法．
（3）学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可．特别地，在证明第二步1n k =+时命题成立，一定要用上归纳
假设ｎ＝k 时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即 确定证题方向；数学归纳法常和和情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．
例5．已知数列{}n a 的前n 和为n S ，其中(21)
n n S a n n =
-且113a = (1)求23,a a
(2)猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
解答：（1）21222(221)6S a a a +==⨯- 又113
a =，则2115a =，类似地求得3135a = （2）由1113a =⨯，2135a =⨯，3157
a =⨯… 猜得：1(21)(21)
n a n n =-+ 以数学归纳法证明如下：
①当1n =时，由（1）可知等式成立；
②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)
k a k k =-+ 那么，当1n k =+时，由题设(21)
n n S a n n =- 得(21)k k S a k k =-，11(1)(21)
k k S a k k ++=++ 所以(21)k S k k =-k a ＝(21)
k k -1(21)(21)k k -+＝21k k + 11(1)(21)k k S k k a ++=++
11k K K a S S ++=-=1(1)(21)k k k a +++－
21k k + 因此，1(23)21k k k k a k ++=
+ 所以11(21)(23)k a k k +=++1[2(1)1][2(1)1]
k k =+-++
这就证明了当1n k =+时命题成立.
由①、②可知命题对任何n N *∈都成立.
解题评注：（1）本题首先采用了归纳推理，即由特殊到一般的推理；（2）解题时注意已知式(21)
n n S a n n =-对任何n N *∈都成立，因此要注意其变形应用；归纳假设已用上，在上面的横线处，是解题关键的一步.
三．复习小结
“和情推理”是一种重要的归纳、猜想推理，它是发现问题和继续推理的基础.逻辑思维能力主要体现在对演绎推理的考察.试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考察，又考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考察，立体几何是考察演绎推理的最好教材.。