高中数学学案43第五章三角函数的图象与性质

5.4 三角函数的图象与性质 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
【学习目标】1.了解正弦函数、余弦函数的图象． 2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象．
3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．
【自主学习】
一．正弦函数的图象
正弦函数的图象叫做 ，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
五点法：在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，以下五个点： ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1， ，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2，－1，
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图． 二．余弦函数图象
1.变换法
将正弦函数的图象向左平移π
2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示．
余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
2.五点法：y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的五个关键点为： ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ，⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，0， ，
用光滑曲线连接这五个点可得到x ∈[－π，π]的简图．
注意：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．
(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正、余弦函数的图象形状相同，位置不同．( ) (2)正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展．( )
(3)将正弦曲线向右平移π
2个单位就得到余弦曲线．( )
(4)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )
(5)函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]k ∈Z ，且k ≠0的图象与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致．( ) 2.用五点法作函数y ＝sin 2x ，x ∈[0，π]的简图的五个点的横坐标为( ) A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π
4，π C ．0，π，2π，3π，4π D ．0，π6，π3，π2，2π
3
【经典例题】
题型一 用“五点法”作三角函数图象
点拨：用“五点法”画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤 1.列表
2.描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y 1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 2，(π，y 3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 4，(2π，y 5)．
3.连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． 例1 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y ＝－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝1＋cos x (0≤x ≤2π)．
【跟踪训练】1 用“五点法”作出函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，11π6的图象．
题型二 利用正、余弦函数的图象解简单的三角不等式 点拨：用三角函数图象解三角不等式的步骤
1.作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)；
2.在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集；
3.根据公式一写出定义域内的解集．
例2 利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤3
2的x 的集合．
【跟踪训练】2 求下列函数的定义域．
(1)y ＝lg(－cos x )； (2)y ＝2sin x － 2.
题型三 利用正弦(余弦)函数图象解决图象交点问题 点拨：方程根(或个数)的两种判断方法
1.代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．
2.几何法：(1)方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图象，利用对应函数的图象，观察与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．
(2)转化为两个函数，分别作这两个函数的图象，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根． 例3 方程x ＋sin x ＝0的根有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
【跟踪训练】3 方程sin x ＝lg x 的解的个数是________．
【当堂达标】
1.对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；
③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2.函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )
3.使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
2k π＋5π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z
4.方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．
5.若方程sin x ＝4m ＋1在[0，2π]上有解，则实数m 的取值范围是________．
6.求下列函数的定义域．
(1)y ＝ sin x －1
2＋cos x ；(2)y ＝sin x ＋25－x 2.
7.在[0，2π]内用“五点法”作出y ＝－2cos x ＋3的简图．。