2012年高考文科数学湖北卷(含详细答案)

数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）
绝密★启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学(文史类)
本试卷共4页,共22题.满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
考生注意：
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑.
2.选择题的作答：每小题选出答案后,用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.
3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合23 20,|} {A x x x x -+=∈R ,05 {|}B x x x =∈＜＜,N ,则满足条件
A C
B ⊆⊆的集合
C 的个数为
( ) A .1
B .2
C .3
D .4
2.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表：
则样本数据落在区间[10,40)的频率为
( )
A .0.35
B .0.45
C .0.55
D .0.65 3.函数s ()co 2f x x x =在区间[0,2π]上的零点的个数为 ( ) A .2
B .3
C .4
D .5
4.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是
( )
A .任意一个有理数,它的平方是有理数
B .任意一个无理数,它的平方不是有理数
C .存在一个有理数,它的平方是有理数
D .存在一个无理数,它的平方不是有理数 5.过点)(1,1P 的直线,将圆形区域22{()|+4}x y x y ,≤分为两部分,使得这两部分的面积
差最大,则该直线的方程为
( )
A .20x y +-=
B .10y -=
C .0x y -=
D .340x y +-=
6.已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如图所示,则()2y f x =--的图象为
( )
A
B
C
D
7.定义在()
(),00,-∞+∞上的函数)(f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{)(}
n f a 仍是等比数列,则称)(f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞+∞上的如
下函数：①2()f x x ＝；②()2x f x ＝
；③()f x =；④()ln ||f x x ＝.
则其中是“保等比数列函数”的)(f x 的序号为
( ) A .①②
B .③④
C .①③
D .②④
8.设ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若三边的长为连续的三个正整 数,且A B C ＞＞,320b acosA =,则sin :sin :sin A B C 为 ( ) A .4∶3∶2
B .5∶6∶7
C .5∶4∶3
D .6∶5∶4
9.设a b c ∈,,R ,则“1abc =
++a b c ”的
(
)
--------在
--------------------此--------------------
卷--------------------上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效----------------
姓
名________________ 准考证号_____________
数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）
A .充分条件但不是必要条件
B .必要条件但不是充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要的条件
10.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是
( )
A .112π-
B .1π
C .2
1π
-
D .2π
二、填空题：本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位
置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
11.一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有 人.
12.若
3+i
=+i 1i
b a b －（a ,b 为实数,i 为虚数单位）,则a b += . 13.已知向量0)(1,=a ,1)(1,=b ,则
（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为 ；
（Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为 .
14.若变量x ,y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y --⎧⎪
+⎨⎪-⎩≥≥≤则目标函数23z x y =+的最小值是 .
15.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .
16.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s = .
17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研
究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10,
记为数列{}n a ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺
序组成一个新数列{}n b .可以推测： （Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第 项； （Ⅱ）21k b =－ .（用k 表示）
三、解答题：本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分12分）
设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x ωωωωλ-∈++=R 的图象关于直线π=x 对称,其中ω,λ为常数,且)11(2
ω∈,. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π()4
0，,求函数()f x 的值域. 19.（本小题满分12分）
某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台
1111A B C D ABCD －,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D －. （Ⅰ）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；
（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知10=AB ,
1120=A B ,20=3A ,113=AA （单位：厘米）,每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元？ 20.（本小题满分13分）
已知等差数列{}n a 前三项的和为,前三项的积为.
（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2a ,3a ,1a 成等比数列,求数列{||}n a 的前n 项和.
21.（本小题满分14分）
设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足|(|)|01DM m DA m m ≠=＞,且.当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .
（Ⅰ）求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标；
3-
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（Ⅱ）过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限,且它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ,使得对任意的0k ＞,都有PQ PH ⊥？若存在,求m 的值；若不存在,请说明理由.
22.（本小题满分14分）
设函数()(1)()0n f x ax x b x ＝－＋＞,n 为正整数,a ,b 为常数.曲线()y f x =在
(1)(1)f ,处的切线方程为1x y +=.
（Ⅰ）求a ,b 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()e
f x n <
.
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数学试卷 第12页（共26页）
3S ，4S 。

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）由(1,0)a =，(1,1)b =，得2(3,1)a b +=。

设与2a b +同向的单位向量为(,)c x y =，
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，故310c ⎛= ，2a b +同向的单位向量的坐标为）由
(1,0a =，(1,1)
b =，3(2,b a -=-3b a -与向量a 的夹(3)(2,1)(1,0)
25|3|||51
b a a b a a --==--⨯。

【提示】与某向量同向的单位向量一般只有的最小值为2.
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AB
AD A =，所以2AA BD ⊥。

因为底面共面。

又已知平面D
平面ABCD D
平面11A B BD ，AC ⊥，可得21AA B D ⊥2
AC A =，所以）解：因为四棱柱22+S 10AB AA =四棱柱上底面四棱柱侧面的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，1
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||5(337)(347)(37)n a n ++=+⨯-+⨯-++-
1110n -+。

当2n =时，满足此式。

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数学试卷 第24页（共26页） (0,1)(1,)
+∞，所以，当2,0)m ，(11212121121212()()12()()PQ PH
y y y y y y y K x x x x x x x --+===--+1PQ PH K K =-，即212
m -=-，又m >，使得在其对应的椭圆
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