(中考数学)专题几何模型-瓜豆模型-中考数学第二轮总复习课件(全国通用)

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专题16 几何模型“瓜豆”模型
考点归纳知识梳理题型概述
在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值.
本文继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,
题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当
然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路.
种圆得圆01种线得线02种形得形03
知识点
1.如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点.【思考】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆,而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系?考虑到Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,连接QM,PO,任意时刻,QM:PO=AQ:AP=1:2.则M点即为Q点轨迹圆圆心,半径MQ是OP一半,A
Q
P
O
M
2.如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.【考虑】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？
【分析】Q点轨迹是个圆,可理解为将AP绕点
A逆时针旋转90º得AQ,故Q点轨迹与P点轨迹都
是圆.接下来确定圆心与半径.
当AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
当AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM.O
A P
Q M
3.如图,△APQ是直角三角形,∠PAQ=90º且AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.
即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO∽△AQM,且相似比为2.O
A P
Q M
【总结】为了便于区分动点P,Q,可称点P为主动点,点Q为从动点.此类问题的必要条件：两个定量
主动点,从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；
主动点,从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)．
【结论】(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心
到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也等于两
圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨
迹圆,Q与P的关系相当于旋转+伸缩.
古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.
“种”圆得圆,“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.O
A
P Q
M
【思考1】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为一边作等边△APQ.【考虑】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?【分析】Q点满足(1)∠PAQ=60º；(2)AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：
1)当∠PAQ=60º,可得Q点轨迹圆圆心M满足
∠MAO=60º；2)当AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且
可得半径MQ=PO.即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ 由AP 旋转得来,故圆M 亦由圆O 旋转得来,旋转角度与缩放比例均等于AP 与AQ 的位置和数量关系.O A P Q M
【思考2】如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为斜边作等腰直角△APQ.【考虑】当点P在圆O上运动时,如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足(1)∠PAQ=45º；(2)AP:AQ= :1,故Q点轨迹是个圆.连接AO,构造∠OAM=45º且AO:AM= :1.M点即
为Q点轨迹圆圆心,此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ.即可确定点Q的轨迹圆.O
A P Q M
【例1】如图,已知P是⊙O外一点,Q是⊙O上的动点,线段PQ的中点
为M,连接OP,OM.若⊙O的半径为2,OP=4,则线段OM的最小值是(　) A.0 B.1 C.2 D.3
B
P
Q M
O
N
定点定长N
NM=0.5 OQ
辅
助
圆
知识点一
典例精讲种圆得圆
如图,点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点,点C是MB的中点,则AC的最小值是_____.【分析】M点为主动点,C点为从动
点,B点为定点.考虑C是BM中点,可
知C点轨迹：取BP中点N,以N为圆
心,NC为半径作圆,即为点C轨迹.y B P C M
N M
C
1.5
知识点一针对训练种圆得圆
种圆得圆01种线得线02种形得形03
知识点
引例：如图,A为直线BC外一定点,P是直线BC上一动点,连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时,Q点轨迹是?
【分析】当P点轨迹是直线时,Q点轨迹
也是一条直线.
分别过A、Q向BC作垂线,垂足分别
为M、N,在运动过程中,因为AP=2AQ,所
以QN始终为AM的一半,即Q点到BC的距离是定值,故Q点轨迹是一条直线.
N C B P
Q
A
M
【引例】如图,△APQ是等腰直角三角形,∠PAQ=90º且AP=AQ,当点P在直线BC上运动时,求Q点轨迹?
【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为
定值的话,P、Q轨迹是同一种图形.
当确定轨迹是线段的时候,可以任
取两个时刻的Q点的位置,连线即可,
比如Q点的起始位置和终点位置,连接即得Q点轨迹线段.
C B P
Q
A
Q
2
P
2
P
1
Q
1
必要条件:主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ(当∠PAQ≤90º时，∠PAQ等于MN与BC夹角)P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ (由△ABC∽△AMN,可得AP:AQ=BC:MN)
C B P A
M Q
N α
α
C B A N
M αα
【例2】如图,在等边△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动,连结PD,以PD为边,在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF,当点P从点E运动到点A时,点F运动的路径长是____.【分析】根据△DPF是等边三角形,所以
可知F点运动路径长与P点相同,P从E点运动到A点路径长为8,故此题答案为8.
A
D F P E
C B 8知识点二典例精讲种线得线
1.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,AD为BC边上的高,点E为线段AD上一动点,连接EF,CE,将CE绕点C逆时针旋转60º得到线段CF,连接DF.△CEF的周长的最小值为___,DF的最小值是___.
G
A
D
E F C
B 1
6
【方法一】连接BF,可得△CFB≌△CAE,
∴∠CBF=∠CAE=30º,∴点F在射线BF上，
当DF⊥BF时，DF最短，
【方法二】取AC的中点G,连接EG,
可得△CFD≌△CEG,∴DF=EG,由垂线段最短得:当GE⊥AD时GE最短,即DF最短。

2.如图,∠AOB=60º,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边 A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直
A
60º60º60º60º【变式】如图,等边△AOB的边长为4cm,动点C从点O出
发,沿射线OB方向移动,以AC为边作等边△ACD.在点C
从点O开始移动至点B的过程中,求点D移动的路径长.
【分析】连接BD,得出△AOC≌△ABD,
点D 的运动路径即线段BD,
BD=OC=OB=4cm。

3.如图,等边△ABC的边长为8,点D为AB边上一动点,DE始终平行于BC,MN为△ADE的中位线,现将点D开始沿AB方向移动,移动到点B处停止,在整个移动过程中线段MN扫过的面积是____.A M
D E C
B N 双动点的运动问题中,第二动点的运动轨迹如果是直线型,通常可以找到第二动点所在直线与已知直线的位置关系如：平行、垂直等,或者是某一条特殊直线(或直线上的一部分)如中位线、平分线等.
种圆得圆01种线得线02种形得形03知识点
所谓“瓜豆原理”,就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性,根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比,可确定从动点的轨迹,而当主动点轨迹是其他图形时,从动点轨迹必然也是．知识点三知识归纳种形得形
M N y O x
A C
B 【例3】如图,在反比例函数 的图像上有一动点A,连接AO并延长交图像的另一支于点B,在第一象限内一点C,满足AC=BC,当点A运动时,点C始终在函数 的图像上运动,若tan∠CAB=2,则k的
值为( )A.2 B.4 C.6 D.8 【分析】∠AOC=90º且AO:OC=1:2,∴点C的轨迹也是一
条双曲线,分别作AM、CN垂直x轴,垂足分别为M、N,连
接OC,易证△AMO∽△ONC,∴CN=2OM,ON=2AM,
∴ON·CN=4AM·OM,故k=4×2=8.
【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等
边三角形”，k会是多少? D
知识点三
典例精讲种形得形
1.如图,A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),点P是△ABC边上一动点,连接OP,以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ,当点P在△ABC边上运动一周时,点Q的轨迹形成的封闭图形面积为___.
【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：点Q的运动轨迹与点P的轨迹形状相同，根据OP:OQ= ,可得点P的轨迹图形与点Q的轨迹
图形相似比为 ，故面积比为2:1,△ABC 面积为0.5×3×4=6，故点Q的轨迹形成的封闭图形面积为3.
【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨
迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图. y O x Q
P C
B A
3
2.如图所示,AB=4,AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角△BCD,连接AD并延长至点P,使AD=PD,则PB的取值范围为_______.【分析】固定AB不变,AC=2,则点C的轨迹是
以A为圆心,2为半径的圆,以BC为斜边作等
腰直角△BCD,则点D的轨迹是以点M为圆心、 为半径的圆.∵AP=2AD,故点P轨迹是以N为圆心， 为
半径的圆，即可求出PB的取值范围.A C
D P
B M N。