最新九年级数学中考复习：几何探究题--线段问题含答案
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12．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90，点D是BC的中点，作正方形DEFG使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）猜想线段AE和BG的关系，请直接写出你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D顺时针方向旋转一定角度后（旋转角大于0°，小于或等于360°），如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
问题探究：
（1）如图1，若 、 都是直角，把 绕点A逆时针旋转90°至 ，使AB与AD重合，则 ______度，线段BE、DF和EF之间的数量关系为______；
问题再探：
（2）如图2，若 、 都不是直角，但满足 ，线段BE、DF和EF之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（1）如图1，求∠BDC的度数（用含α的式子表示）．
（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；
（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接 ．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．．
17．（1）发现问题：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝ ，则 ＝；
②当点D到直线BC的距离等于2时，DG的长为；
③当以点A、C、D、B为顶点的四边形时矩形时，点P在线段DG上，且∠CPG与∠A互余，连接CP，则直线CP与AB所夹锐角的正切值为．
11．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点
【观察猜想】
(2)如图2，点D在AC左侧且在点A上方，连接BE交CD于点M，F为BE上一点，连接DF，过点F作FG∥AC交BC延长线于点G，连接GM，EG，AD．若∠EDF+∠EBG＝∠DEB，GM＝BM．求证：AD＝EF．
(3)如图3，已知BC＝3，CD＝6，连接BE交CD于点M，连接CE，将△CEM沿直线EM翻折至△ABC所在平面内，得△C′EM，当AM+C′M最小时，求C′到BC的距离．
（1）如图1，当 落在CA的延长线上时，
①连接 ，求线段 的长．
②求从初始状态到此位置时，线段AB扫过的面积．
（2）如图2，连接 ， ， 所在直线与 所在直线交于点M， 所在直线与 交于点N，当0°＜α≤180°时，是否存在α使得 ＝2MN，若存在，请求出α；若不存在，请说明理由．
（3）如图3， 所在直线与 所在直线交于点M，K为边AB的中点，连接MK，请直接写出在旋转过程中，MK长度的取值范围．
（3）在（1）的条件下，将△BFD绕D点顺时针旋转∠α（0°＜α＜180°）得△B'F'D，直线B'F'交AB于点M，交AC于点N．在旋转过程中，是否存在△AMN为直角三角形？若存在，请直接写出AM的长度；若不存在，请说明理由．
16．已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点ห้องสมุดไป่ตู้或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．
(2)拓展延伸：当 时， ， 时，把 绕点 在平面内自由旋转，如图3，请求出 面积的最大值.
2．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上方，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°到ED．
(1)如图1，点D在AC左侧且在点A上方，连接AE，CE，若∠ACD＝15°，AB＝2 ，CE＝1+3 ，求AE的长．
6．(1)10；(2)42；(3)AE⊥CG， ；(4)300
7．（1） ， ；（2）②
9．（2） 且 ；（3）
10．（1）① ；；（2）① ；② 或 ；③
11．（1）DE＝2AM，DE⊥AM；（2）成立，（3）
12．（1）BG=AE且BG⊥AE，；（2）成立；（3） .
13．（1）见解析；（2）CP1＝ P1P2．，
（3）将图3中线段 绕点C顺时针旋转 到 （如图4），连结 ，求证： ．
14．阅读理解：如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在边CD、DA上，且∠EBF=45°，连接EF，则线段AF、CE、EF之间存在着一定的数量关系．
（1）我们可以通过将∆ABF绕点B顺时针旋转90°或者延长EC至点G使得CG=AF并连接BG，这两种方法来判断线段AF、CE、EF之间的数量关系，请你写出它们的数量关系，并完成证明；
14．（1）EF＝AF＋CE，（2）EF＝CE-AF；（3） 或 ．
15．（1） ；（3）存在，
16．（1） α；（3）
17．（1） ；（2） ；（3） 或
18．（1）4；②2π；（2）存在，α＝60°；（3）1≤MK≤3
19．（2） （3）
20．（1）45， ；（2）成立（3）
（3）当 时，将 绕点 顺时针旋转 的度数至 的位置，连接 ，如图③，试判断线段 和 的位置关系并说明理由．
5．已知△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）．连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1．当∠DAC＝90°时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由．
19．如图，在△ABC中， ，点 在 上，以点 为中心，将线段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）按要求作出图形；
（2）若 ＝90°，用等式表示线段 大小关系，并证明；
（3）若 ＝120°， ， 为 的中点，求 的最小值．
20．综合与实践，已知：如图1和图2，四边形ABCD中， ， ，点E、F分别在BC、CD上， ．
①求证： ．
②把 绕点 顺时针旋转120°得到 ，连结 （如图3）．求证： ．
9．已知： 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 为 中点，连接 ．
（1）如图1所示，点 、 分别在边 、 上，求证： 且 ；
（2）将 绕点 旋转到图2所示位置时，线段 与 又有怎样的关系，证明你的结论．
（3）如图3所示，当 ， 时，求 长的取值范围．
（3）若BC＝DE＝4，在（2）的旋转过程中，当AE取最大值时，直接写出AF的长
13．将两块含 角且大小相同的直角三角板如图1摆放．
（1）将图1中 绕点C顺时针旋转 得图2，点 是 与 的交点，求证： ；
（2）将图2中 绕点C顺时针旋转 到 （如图3），点 是 与 的交点，线段 与 之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；
（2）类比探究：如图2，在（1）的条件下，将正方形BFED绕点B旋转，连接AE，BE，CF，求 的值；
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，当A，E，F三点共线时，直接写出线段CF的长．
18．在Rt ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将 ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到 ，其中点A，B的对应点分别为点 ， ．
(3)如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积．
4．如图①，在 中， ， ， ， ，点 是 边上（不与底 ， 重合）的一个动点，连接 ．
（1）当线段 把 分成两个周长相等的三角形时， 的长是多少？
（2）将 沿直线 折叠，当点 恰好落在 边上的 处时， 的长是多少？动手折一折并在图②中画出符合题意的图形．
（1）线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；
【探究证明】
（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH的最小值
（3）如图3，连接 ，判断线段 与 的位置关系且说明理由，并求 的值；
（4）在旋转过程中，请直接写出 的最大值．
7．如图所示，正方形 中，点 、 、 分别是边 、 、 的中点，连接 ， ．
（1）如图1，直接写出 与 的关系______；
（2）如图2，若点 为 延长线上一动点，连接 ，将线段 以点 为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段 ，连接 ．
3．如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2 ，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD
(1)为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；
(2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
延伸拓展：
（2）如图2，四边形ABCD是正方形，∠EBF=45°，交边CD、DA的延长线与点E、F，连接EF，请你直接写出这种情况下线段AF、CE、EF之间的数量关系；
知识运用：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，边长为5的正方形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，现在将正方形绕点O逆时针旋转α（0°<α<90°），当点C坐标为（x，y），且整数x、y满足xy= 12时，设直线AB与直线y=x相交于点D，直线BC与y轴相交于点E，请直接写出DE的长度．
①求证： ≌ ；
②直接写出 、 、 三者之间的关系；
8．有如下一道作业题：
如图1，四边形 是菱形，且 ，以 为顶点作顶角为120°的等腰 ，且 ， ， 在一条直线上，连结 ， ．
求证： ．
（1）请你完成这道题的证明．
（2）如图2，在菱形 中， ，点 是边 上一点， ，且 ，连结 ，延长 交 于点 ，连结 ．
10．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点G在AB边上，∠ACG＝∠B，点D在AB边上，BD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于点E．
（1）如图1，
①CG与DE的位置关系是；
②求证：△BDE～△BGC．
（2）将图1中的△BDE绕点B顺时针旋转，连接EC、DG，
①如图2， 的值为；
（2）如图2．当∠DAC是锐角时．求∠QEP的度数．
（3）如图3．当∠DAC＝120°，且∠ACP＝15°，点E恰好与点A重合．若AC＝6．求BQ的长．
6．如图1，矩形 中， ，将矩形 绕着点A顺时针旋转，得到矩形 ．
（1）当点E落在 上时，则线段 的长度等于________；
（2）如图2，当点E落在 上时，求 的面积；
2023年九年级数学中考复习：几何探究题--线段问题
1．如图1，在等腰三角形 中， ， ， ，连接 ，点 、 、 分别为 、 、 的中点.
(1)当 时，
①观察猜想：图1中，点 、 分别在边 、 上，线段 、 的数量关系是___________， 的大小为___________；
②探究证明：把 绕点 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 、 、 ，判断 的形状，并说明理由；
拓展应用：
（3）如图3，在 中， ， ．点D、E均在边BC边上，且 ，若 ，则DE的长为______．
参考答案：
1．(1)①MN=NP； ；② 是等边三角形，理由见解析
(2)32
2．(1)
(3)
3．(1)AD＝2PD
(2)成立
(3)
4．（1）6；（2）3，（3）线段AB垂直平分线段EF
5．（1）BC⊥EQ．理由见解析；（2）∠QEP＝60°；（3）BQ＝3 ﹣3．
15．在锐角△ABC中，AB＝AC，D是线段BC上的一点，连接AD，将AD绕着点A顺时针旋转至AE，使得∠EAD＝2∠BAC，连接DE交AB于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，∠DAC＝15°，BD＝4，求AB的长；
（2）如图2，点G是线段AC的一点，连接DG，FG，若DA平分∠EDG，求证：FE＝DG+FG；
（1）猜想线段AE和BG的关系，请直接写出你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D顺时针方向旋转一定角度后（旋转角大于0°，小于或等于360°），如图2，判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
问题探究：
（1）如图1，若 、 都是直角，把 绕点A逆时针旋转90°至 ，使AB与AD重合，则 ______度，线段BE、DF和EF之间的数量关系为______；
问题再探：
（2）如图2，若 、 都不是直角，但满足 ，线段BE、DF和EF之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（1）如图1，求∠BDC的度数（用含α的式子表示）．
（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；
（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接 ．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．．
17．（1）发现问题：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝ ，则 ＝；
②当点D到直线BC的距离等于2时，DG的长为；
③当以点A、C、D、B为顶点的四边形时矩形时，点P在线段DG上，且∠CPG与∠A互余，连接CP，则直线CP与AB所夹锐角的正切值为．
11．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点
【观察猜想】
(2)如图2，点D在AC左侧且在点A上方，连接BE交CD于点M，F为BE上一点，连接DF，过点F作FG∥AC交BC延长线于点G，连接GM，EG，AD．若∠EDF+∠EBG＝∠DEB，GM＝BM．求证：AD＝EF．
(3)如图3，已知BC＝3，CD＝6，连接BE交CD于点M，连接CE，将△CEM沿直线EM翻折至△ABC所在平面内，得△C′EM，当AM+C′M最小时，求C′到BC的距离．
（1）如图1，当 落在CA的延长线上时，
①连接 ，求线段 的长．
②求从初始状态到此位置时，线段AB扫过的面积．
（2）如图2，连接 ， ， 所在直线与 所在直线交于点M， 所在直线与 交于点N，当0°＜α≤180°时，是否存在α使得 ＝2MN，若存在，请求出α；若不存在，请说明理由．
（3）如图3， 所在直线与 所在直线交于点M，K为边AB的中点，连接MK，请直接写出在旋转过程中，MK长度的取值范围．
（3）在（1）的条件下，将△BFD绕D点顺时针旋转∠α（0°＜α＜180°）得△B'F'D，直线B'F'交AB于点M，交AC于点N．在旋转过程中，是否存在△AMN为直角三角形？若存在，请直接写出AM的长度；若不存在，请说明理由．
16．已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点ห้องสมุดไป่ตู้或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．
(2)拓展延伸：当 时， ， 时，把 绕点 在平面内自由旋转，如图3，请求出 面积的最大值.
2．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上方，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°到ED．
(1)如图1，点D在AC左侧且在点A上方，连接AE，CE，若∠ACD＝15°，AB＝2 ，CE＝1+3 ，求AE的长．
6．(1)10；(2)42；(3)AE⊥CG， ；(4)300
7．（1） ， ；（2）②
9．（2） 且 ；（3）
10．（1）① ；；（2）① ；② 或 ；③
11．（1）DE＝2AM，DE⊥AM；（2）成立，（3）
12．（1）BG=AE且BG⊥AE，；（2）成立；（3） .
13．（1）见解析；（2）CP1＝ P1P2．，
（3）将图3中线段 绕点C顺时针旋转 到 （如图4），连结 ，求证： ．
14．阅读理解：如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在边CD、DA上，且∠EBF=45°，连接EF，则线段AF、CE、EF之间存在着一定的数量关系．
（1）我们可以通过将∆ABF绕点B顺时针旋转90°或者延长EC至点G使得CG=AF并连接BG，这两种方法来判断线段AF、CE、EF之间的数量关系，请你写出它们的数量关系，并完成证明；
14．（1）EF＝AF＋CE，（2）EF＝CE-AF；（3） 或 ．
15．（1） ；（3）存在，
16．（1） α；（3）
17．（1） ；（2） ；（3） 或
18．（1）4；②2π；（2）存在，α＝60°；（3）1≤MK≤3
19．（2） （3）
20．（1）45， ；（2）成立（3）
（3）当 时，将 绕点 顺时针旋转 的度数至 的位置，连接 ，如图③，试判断线段 和 的位置关系并说明理由．
5．已知△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）．连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1．当∠DAC＝90°时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由．
19．如图，在△ABC中， ，点 在 上，以点 为中心，将线段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）按要求作出图形；
（2）若 ＝90°，用等式表示线段 大小关系，并证明；
（3）若 ＝120°， ， 为 的中点，求 的最小值．
20．综合与实践，已知：如图1和图2，四边形ABCD中， ， ，点E、F分别在BC、CD上， ．
①求证： ．
②把 绕点 顺时针旋转120°得到 ，连结 （如图3）．求证： ．
9．已知： 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，点 为 中点，连接 ．
（1）如图1所示，点 、 分别在边 、 上，求证： 且 ；
（2）将 绕点 旋转到图2所示位置时，线段 与 又有怎样的关系，证明你的结论．
（3）如图3所示，当 ， 时，求 长的取值范围．
（3）若BC＝DE＝4，在（2）的旋转过程中，当AE取最大值时，直接写出AF的长
13．将两块含 角且大小相同的直角三角板如图1摆放．
（1）将图1中 绕点C顺时针旋转 得图2，点 是 与 的交点，求证： ；
（2）将图2中 绕点C顺时针旋转 到 （如图3），点 是 与 的交点，线段 与 之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；
（2）类比探究：如图2，在（1）的条件下，将正方形BFED绕点B旋转，连接AE，BE，CF，求 的值；
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，当A，E，F三点共线时，直接写出线段CF的长．
18．在Rt ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将 ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到 ，其中点A，B的对应点分别为点 ， ．
(3)如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积．
4．如图①，在 中， ， ， ， ，点 是 边上（不与底 ， 重合）的一个动点，连接 ．
（1）当线段 把 分成两个周长相等的三角形时， 的长是多少？
（2）将 沿直线 折叠，当点 恰好落在 边上的 处时， 的长是多少？动手折一折并在图②中画出符合题意的图形．
（1）线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；
【探究证明】
（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH的最小值
（3）如图3，连接 ，判断线段 与 的位置关系且说明理由，并求 的值；
（4）在旋转过程中，请直接写出 的最大值．
7．如图所示，正方形 中，点 、 、 分别是边 、 、 的中点，连接 ， ．
（1）如图1，直接写出 与 的关系______；
（2）如图2，若点 为 延长线上一动点，连接 ，将线段 以点 为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段 ，连接 ．
3．如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2 ，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD
(1)为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；
(2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
延伸拓展：
（2）如图2，四边形ABCD是正方形，∠EBF=45°，交边CD、DA的延长线与点E、F，连接EF，请你直接写出这种情况下线段AF、CE、EF之间的数量关系；
知识运用：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，边长为5的正方形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，现在将正方形绕点O逆时针旋转α（0°<α<90°），当点C坐标为（x，y），且整数x、y满足xy= 12时，设直线AB与直线y=x相交于点D，直线BC与y轴相交于点E，请直接写出DE的长度．
①求证： ≌ ；
②直接写出 、 、 三者之间的关系；
8．有如下一道作业题：
如图1，四边形 是菱形，且 ，以 为顶点作顶角为120°的等腰 ，且 ， ， 在一条直线上，连结 ， ．
求证： ．
（1）请你完成这道题的证明．
（2）如图2，在菱形 中， ，点 是边 上一点， ，且 ，连结 ，延长 交 于点 ，连结 ．
10．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点G在AB边上，∠ACG＝∠B，点D在AB边上，BD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于点E．
（1）如图1，
①CG与DE的位置关系是；
②求证：△BDE～△BGC．
（2）将图1中的△BDE绕点B顺时针旋转，连接EC、DG，
①如图2， 的值为；
（2）如图2．当∠DAC是锐角时．求∠QEP的度数．
（3）如图3．当∠DAC＝120°，且∠ACP＝15°，点E恰好与点A重合．若AC＝6．求BQ的长．
6．如图1，矩形 中， ，将矩形 绕着点A顺时针旋转，得到矩形 ．
（1）当点E落在 上时，则线段 的长度等于________；
（2）如图2，当点E落在 上时，求 的面积；
2023年九年级数学中考复习：几何探究题--线段问题
1．如图1，在等腰三角形 中， ， ， ，连接 ，点 、 、 分别为 、 、 的中点.
(1)当 时，
①观察猜想：图1中，点 、 分别在边 、 上，线段 、 的数量关系是___________， 的大小为___________；
②探究证明：把 绕点 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 、 、 ，判断 的形状，并说明理由；
拓展应用：
（3）如图3，在 中， ， ．点D、E均在边BC边上，且 ，若 ，则DE的长为______．
参考答案：
1．(1)①MN=NP； ；② 是等边三角形，理由见解析
(2)32
2．(1)
(3)
3．(1)AD＝2PD
(2)成立
(3)
4．（1）6；（2）3，（3）线段AB垂直平分线段EF
5．（1）BC⊥EQ．理由见解析；（2）∠QEP＝60°；（3）BQ＝3 ﹣3．
15．在锐角△ABC中，AB＝AC，D是线段BC上的一点，连接AD，将AD绕着点A顺时针旋转至AE，使得∠EAD＝2∠BAC，连接DE交AB于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，∠DAC＝15°，BD＝4，求AB的长；
（2）如图2，点G是线段AC的一点，连接DG，FG，若DA平分∠EDG，求证：FE＝DG+FG；